Описание некоторых классов тождеств алгебры M3(F) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ОПИСАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ТОЖДЕСТВ АЛГЕБРЫ М3(Р)

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск-2009

Работа выполнена на кафедре алгебро-геометрических вычислений в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Ульяновский государственный университет

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Кемер Александр Робертович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Латышев Виктор Николаевич

кандидат физико-математических наук Рацеев Сергей Михайлович

Ведущая организация:

Институт Математики СО РАН

Защита диссертации состоится «16» июня 2009 года в II00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: ул. Набережная р. Свияга, 106, корп. 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета, с авторефератом - на сайте вуза http://www.uni.ulsu.ru

Т.

Автореферат разослан мая 2009 года

Отзывы по данной работе просьба направлять по адресу:

432000, г. Ульяновск, ул. Л.Толстого, д. 42, УлГУ, Управление научных

исследований

Ученый секретарь

диссертационного совета А 7 Волков М.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Теория тождеств ассоциативных алгебр (теория ассоциативных PI-алгебр) является одним из самых современных и интенсивно развивающихся разделов алгебры.

Одна из центральных проблем PI-теории была поставлена Шпехтом' в 1950г.: "Имеет ли любая ассоциативная PI-алгебра над полем пулевой характеристики конечный базис тождеств?". Эта проблема имеет смысл для алгебр над любым полем, а также для колец, групп, и многих других алгебраических структур. Для групп проблема конечного базирования была отрицательно решена Ольшанским2. В 1973г. Крузе и Львов3 доказали, что любое конечное кольцо имеет конечный базис тождеств. Проблеме конечной базируемое™ над полями нулевой характеристики было посвящено множество работ. У В.Н.Латышева имеется большой цикл работ на эту тему4. Многие русские и болгарские математики работали в этом направлении. Отметим наиболее важные результаты. В 1978г. Латышев5 доказал, что любая ассоциативная алгебра над полем нулевой характеристики, удовлетворяющая тождеству вида

[xi,...,xn]....[zb...,zn] = 0 имеет конечный базис тождеств. В 1982г. А.В.Яковлев анонсировал следующий результат: алгебра матриц любого порядка над полем нулевой характеристики имеет конечный базис тождеств.

1 Specht W. Gesetze in Ringen //1, Math. Z. 52,1950,557-589.

2 Ольшанский А. Ю. О проблеме конечного базиса тождеств в группах И Изв. АН СССР. Сер. матем., 34:2, 1970, с.376-384.

3 Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец //1, Алгебра и логика 12,1973, с,266-297.

4 Латышев В.Н. Конечная базируемость тождеств некоторых колец // УМН, 32:4(196), 1977, с.259-260. Латышев В.Н. О некоторых многообразиях ассоциативных алгебр // Изв. АН СССР. Сер. матем., 37:5, 1973, с.1010-1037.

Латышев В.Н. О шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных алгебр // Алгебра и логика 8, 1969, с.660-673.

Латышев В.Н. К теореме Регева о тождествах тензорного произведения PI-алгебр // УМН, 27:4(166), 1972, с.213-214.

5 Латышев В.Н. Нематричные многообразия ассоциативных алгебр // Матем. заметки, 27:1, 1980, с. 147— 156.

Полностью проблема Шпехта для полей нулевой характеристики была решена А.Р. Кемером6 в 1986г. В 2000г. Белов7 построил контрпример к гипотезе Шпехта для алгебры над полем характеристики р и показал справедливость гипотезы Шпехта для конечномерных Р1-алгебр (хотя результат не опубликован даже в России).

Несмотря на положительное решение проблемы Шпехта в случае поля нулевой характеристики, возникают проблемы нахождения базисов тождеств конкретных алгебр, в частности, алгебр матриц - важнейшего класса алгебр в PI-теории. Эти проблемы оказываются неожиданно сложными. Основным результатом в этом направлении является описание тождеств алгебры матриц второго порядка над полем нулевой характеристики8. Однако базисы тождеств для алгебр матриц более высокого порядка до сих пор неизвестны. Тем не менее, Размыслов9 нашел базисы тождеств со следом для алгебр матриц Mn(F) произвольного порядка п. Также описаны базисы тождеств алгебры матриц второго, третьего и четвертого порядка в случае конечного основного поля.

Большое число работ посвящено градуированным тождествам матричных алгебр. Различные 22-градуировки алгебры Мг(К) и базисы соответстующих идеалов градуированных тождеств в случае конечного поля К были описаны Кошлуковым и Азеведо10. Также в работах Василовского" и Азеведо12 описаны базисы градуированных тождеств алгебры МП(К), наделенной Zn-градуировкой, в случае произвольного

6 Кемер А.Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр. //Алгебра и логика 26, 1987, с.597-641.

7 Belov, A. Counterexamples to the Specht problem // Sb. Math. 191 (3-4), 2000,329-340.

! Размыслов Ю.П. О конечной базируемое™ тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль // Алгебра и логика 12,1973, с.83-113.

* Размыслов Ю.П. Тождества со следом полных матричных алгебр над полем характеристики нуль // Изв. АН СССР. Сер. матем., 38:4,1974, с.723-756.

10 Koshlukov Р., Azevedo S.S. A Basis for the Graded Identities of the Matrix Algebra of Order Two over a

Finite Field of Characteristic p Ф 2 // Fini'.e Fields and Their Applications, 8:4,2002, 597-609. " Vasilovsky S. Yu Z„-graded polynomial identities of the full matrix algebra of order n // Proc. Amer. Math. Soc., 127, 1999,517-524.

12 Azevedo S.S. Graded identities for the matrix algebra of order n over an infinite field // Communications in Algebra, 30:12,2002, 849-860.

бесконечного поля К. В статье В. Дренского и 10. Бахтурина13 исследуются градуированные тождества G-градуированной алгебры МП(К) в случае произвольной группы G и char К = 0, также в ней найдены базисы соответствующих идеалов градуированных тождеств в случае простейшей градуировки.

Диссертация продолжает дальнейшее исследование различных классов градуированных тождеств и тождеств со следом:

• находится базис градуированных тождеств супералгебры M]2(F);

• находятся алгебры порождающие многообразие трейскиллеров для M3(F);

• решается классическая проблема К. Прочези для алгебры общих _матриц порядка 3.__

Объектом исследования является алгебра матриц третьего порядка Мз(Р) над бесконечным полем F (нулевой и положительной характеристики).

Предметом исследования являются тожества различных типов алгебры матриц третьего порядка Мз(Р) над бесконечным полем F (нулевой и положительной характеристики).

Цели и задачи исследования. Целью исследования является получение новой информации о тождествах алгебры матриц третьего порядка, позволяющей более глубокого исследовать многообразие алгебр Var(M3(F))

Методы исследования. Исследования, проводимые в диссертации, основываются на следующих методах и результатах:

• базис градуированных тождеств супералгебры M!i2(F) получен с использованием общей теории представлений симметрической группы и результатов о тождествах со следом и обычных тождествах алгебры M2(F);

13 Bahturin Y., Drensky V. Graded polynomial identities of matrices // Linear Algebra and its Applications, 357:1,2002,15-34.

• алгебры порождающие многообразие трейскиллеров для М3(Р) найдены с использованием структурной теории Р1-алгебр, разработанной А.Р. Кемером;

• проблема К. Прочези для алгебры общих матриц порядка 3 решается с помощью результатов о тождествах со следом и обычных тождествах алгебры М2(Р).

Личный вклад автора.

Задача о нахождении базиса градуированных тождеств супералгебры М],2(Р) поставлена научным руководителем и решена автором самостоятельно. Проблема Прочези для алгебры общих матриц порядка 3 поставлена и решена совместно с научным руководителем при равном участии. Задача описания алгебр, порождающих многообразие трейскиллеров для М3(Р) поставлена и решена совместно с научным руководителем при равном участии.

Достоверность результатов. Достоверность научных положений и выводов, сформулированных в диссертации, подтверждаются строгостью математических расчетов. Также результаты исследований обсуждались на международных конференциях и представлены в российской и зарубежной печати.

Научная новизна. Работа носит теоретический характер. Представленные в диссертации теоретические результаты являются новыми, не полученными ранее: описаны все тождества супералгебры М|,2(Р); описаны алгебры, порождающие многообразие трейскиллеров для М3(Р); решена известная открытая проблема Прочези в частном случае, для алгебры общих матриц порядка 3.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Базис градуированных тождеств супералгебры М^ (Р).

2. Полиномы, порождающие все тождества супералгебры М^/Р) от нечетных переменных.

3. Базис градуированных тождеств супералгебры М|-2(Р).

4. Алгебры, порождающие многообразие трейскиллеров для Мз(Р).

6

5. Решение проблема Прочези для алгебры общих матриц порядка 3.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер, информация об исследуемых тождествах позволяет более глубоко изучить тождества матриц третьего порядка:

• Один из путей к получению асимптотического базиса (обычных) тождеств алгебры M3(F) лежит через нахождение градуированных тождеств алгебры Mi>2(F)14.

• Описание идеала трейскиллеров для алгебры матриц Mn(F) необходимо для изучения подмногообразий многообразия Var(Mn(F)) в случае положительной характеристики поля F.

• Описание трейскиллеров является также описанием центральных полиномов соответствующей алгебры матриц.

Апробация работы. Основные научные и практические результаты исследований по теме диссертации докладывались на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (Москва, 2008), а также на Втором Международном Конгрессе по Алгебре и Комбинаторике (Пекин, 2007).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, из них 1 статья в журнале из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов по главам, заключения, списка используемой литературы, включающего 51 наименование. Общий объем диссертации - 66 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассмотрена актуальность и значение исследования тождеств матричных алгебр, проведен обзор достигнутых ранее результатов, сформулированы цели и задачи исследования.

14 Kemer A.R. Ideals of identities of associative algebras. Providence RI: Amer. Math. Soc. (Transi. Math. Monogr.;87, 1991.

В первой главе «Базис градуированных тождеств супералгебры Mi,2(F)» решается задача о нахождении базиса градуированных тождеств супералгебры Mi?2(F).

Во вступительной части введены определения градуированных алгебр, градуированных полиномов, градуированных тождеств супералгебр, грассмановых оболочек супералгебр, и дано определение матричных супералгебр Matk)i(F).

Пусть F - некоторое поле нулевой характеристики. Z2-градуированной

алгеброй или супералгеброй называется тройка (A,A0,Ai), где А -ассоциативная алгебра над полем F, А] - подпространства А, удовлетворяющие условиям:

1. А = А0+АЬ

2. А0А0+А1А1 сА0и

3. А0А]+AiA0c Аь

Пара (A0,Ai) называется градуировкой алгебры А. Пусь G - алгебра Грассмана счетного ранга, Go и Gi - подпространства G, порожденные словами соответственно четной и нечетной длины. Градуировка (Go,G|) превращает G в супералгебру. Супералгебра ( Л0® Go+Ai<S>Gi, Ao®Go, Ai ® GO называется Грассмановой оболочкой супералгебры (A,A0,Ai).

Пусть F<X> - свободная ассоциативная алгебра над полем F, порожденная счетным множеством X. Представим X в виде X = Y и Z, Y , Z - счетные непересекающиеся подмножества. Будем говорить, что супералгебра (А, А0, А)) удовлетворяет градуированному тождеству f(yi,..., Ук, Zi,...,Z)) е F<X>, Z; s Z, yj е Y , если f(ab...,ak,bb...,bi) = 0 Vaj е А0, bi е Ар Идеал градуированных тождеств некоторой супералгебры называется Т2-идеалом. Будем обозначать через Maty(F) алгебру Mn(F) матриц порядка n = k + 1 с градуировкой (Mat°,(F),Mati,(F)), где Mat",(F) имеет базис {еу, i < k, j < к} u {е^, i > к, j > к} и Mat,, (F) имеет базис {е^, i < к, j > к}и{еу, i > к, j < к}. Грассманову оболочку супералгебры Matk/F) обозначим через Mk |(F).

Также во вступительной части сформулировано понятие К-однородности градуированных полиномов, и описание градуированных

тождеств супералгебры Mat]2(F) сведено к описанию К-однородных тождеств.

Во второй части первой главы описан базис градуированных тождеств супералгебры Mati.^F). Получено 6 полиномов (F|,...F6), порождающих идеал градуированных тождеств супералгебры Mat|,„,(F):

• F1(sbS2,Zo,ri,r2) = [SbS2]z0[rbr2];

• F2(s0, Zo, Z|, r0, t0) = SoZo[toZ|, r0] - zo[tosozb r0];

• F3(s0, zo, zi, Го, to) = [zoroto, s0]z, - [zoto, s0]z,r0;

• F4(s0, zo, r0, rb to) = [zo[r0, r,]t0, s0];

— •-F5(zo,-z,,-ro,-to,-ti) = zo[t0zi, r0]t|+-Zi[t,Z0, r0]t0;-

• F6(Zo, zu z2, to, t|) = foto, ziti]z2+ foto, zotj]z,+ [z,to, Z2t)]Zo.

В третьей части первой главы решена задача описания тождеств алгебры Mat,-n(F) от нечетных переменных. Доказано, что все они следуют из указанных выше тождеств(Н)=0), а также тождества

Gn(Z|,..., Zn+i,ti,...,tn) = Yj С" 1 )SZst 1 1 Zs(2 )t2 - - tnZs(n +!).

s6S(»)

В четвертой части найдены оставшиеся 12 полиномов НЬ...,Н12 (имеющих довольно громоздкую запись) которые вместе с полиномами Fi,...,F6 и полиномом G2 порождают идеал градуированных тождеств алгебры Mat),2(F). Также из этих полиномов получен базис градуированных тождеств алгебры Mij2(F).

Во второй главе «Описание алгебр, порождающих многообразие трейскиллеров» исследуются тождества со следом алгебры M3(F), а именно, важный класс тождеств, называемых трейскиллерами.

Во вступительной части даны основные определения. Пусть F<X> -свободная ассоциативная алгебра над полем F, порожденная счетным множеством X (charF=0 или charF > 3 , поле F бесконечно), F <Х> -свободная ассоциативная алгебра со следом, порожденная X, M„(F) -алгебра матриц порядка п над F. Будем считать 1 eF<X> и F<X> с F<X>.

Многочлен f(xb...,xn) е F<X> называется трейскиллером для Mn(F), если f(xi,...,xn)Tr(z) = h(xi,...,x„,z) - тождество алгебры Mn(F) для некоторого h(xi,...,xn,z)sF<X>. Очевидно, что трейскиллеры для Mk(F) образуют Т-идеал, обозначим его Г(к) . Дня любой алгебры А мы также обозначим Т„[А] идеал Т[А] n F<xi,...,xn> алгебры F<xb...,x„>, xi,...,xn б X. Пусть Г<5) = Г(3> п /Г<Х|,...,ХП>, Вторая глава посвящена описанию алгебр, порождающих многообразие, соответствующее идеалу тождеств .

В первой части главы дано полное описание трейскиллеров для алгебры матриц второго порядка (все они порождаются полиномами [x,y,z] и [a,b][c,d]). Эта часть носит вспомогательный характер.

Во второй части дано общее описание алгебр, порождающих многообразие трейскиллеров. Показано, что многообразие порождается тремя конечномерными классическими алгебрами A¡ следующего вида:

А, = F + RadA,

А2 = M2(F) + RadA2

A3 = F©F + RadA3.

Третья часть посвящена описанию алгебры А2, в частности, показано, что можно считать А2 = M2(F).

Четвертая часть посвящена исследованию алгебры А3, получены соотношения, которым удовлетворяет эта алгебра.

В пятой части мы завершаем описание идеалов трейскиллеров.

Пусть E=eiF+e2F, $е*=е„ e¡ej=0, если i/j, 5 = E*FF<X|,X2,X3,X4>. Обозначим за В, факторалгебру алгебры В, определенную следующими соотношениями:

a) eiuej[ejve¡wej, ejaej] = 0, [e¡uejve¡, e¡ae¡]ejwej = 0;

b) eiuejve¡wei[ejaej, ejbej] = 0, e¡uej[ejaej, ejbe¡]ejVeiWej = 0,

b) [e¡ae¡, e¡be¡]e¡uejve¡wej = 0, e¡ue¡ve¡[eiaei, e¡bei]e¡wej = 0;

c) [e¡uejve¡, e¡aejbe¡] = 0;

d) e¡uejS4(e¡aej, ejbej, ejcej, ejdej) = 0,

d) S^ejaej, ejbej, ejcej, ejde^ejuej = 0;

c) eiuej[ejaej, Cjbej, ejcej] = 0, [ejaej, Cjbej, ejcej]ejUei = 0;

i) ejuejlcjaej, ejbej] [e^, ejdej] = 0,

f) [ejaej, ejbej][ejcej, е^е^ие, - 0;

g) [е^, eibeilciuejfejcej, ejdej] = 0;

h) [ejuejvej, [е;ае,-, e;be,J] = 0;

i) [e.uejVe;, ejbej] + [ejuejvej, ejbej, ejaej] = 0; j) [ejuejvej, ejaej, Cjbej] = 0;

k) [ejae,-, е,Ье;][е;ие^е;, е;се;] = 0; 1) [ejuejfejaej, ejbe/lCjVej, CjCej] = 0; m) ejaiejbieja2ejb2eja3ej = 0;

_a,.b, c, d, u, v,w, ak, bk e B, {i, ¡И {1, 2}._

Очевидно, ejBej = Dj + Rj, Dj = ejF, Dj n Rj = (0), Rj - идеал в ejBej. Положим ejaieja2eja3eja4ej = 0 в В для любых а; е Rj Очевидно, В -конечномерная классическая алгебра.

Мы доказываем следующую теорему:

Для любого п существует конечномерная классическая локальная (некоммутативная) алгебра С, такая, что Г™ = Tn[M2(F)] оТ„[В] <лТ„[С].

Данная теорема имеет важное следствие.

Если char F = р, р > 3, то для любого п существует N, такое, что если / е Tn[M2(F)], deg(j) > N и f представим в виде суммы произведений пяти или более коммутаторов, то /- - трейскиллёр для M](F). Если char F = 0, то существует N, такое, что если f е T[M2(F)], deg(f) > N и f представим в виде суммы произведений пяти или более коммутаторов, то f -трейскиллер для M3(F).

Данные теоремы завершают описание Г(„3).

В третьей главе «Проблема Прочези для алгебры общих матриц порядка 3» решается известная проблема Прочези для двупорожденной алгебры общих матриц порядка 3 с использованием теории обычных и следовых тождеств.

Во вступительной части дано описание проблемы. Пусть и -алгебры общих матриц порядка п над кольцом С}р и полем Рр соответственно, где (Зр - кольцо рациональных чисел со знаменателями, не делящимися на р, а Рр - бесконечное поле характеристики р. Хорошо известна гипотеза Прочези, согласно которой ядро канонического гомоморфизма Идр -> Ярр равно рИоР.

Обозначим (2Р<Х> свободную ассоциативную алгебру многочленов со следом, порожденную не более чем счетным множеством X, 1 е 0р<Х>. Свободную алгебру (}р<Х> обычных многочленов будем считать вложенной в <3Р<Х>, 1 е Qp<X>. Пусть ф„:Мп((2р)-»Мп(Рр) - канонический гомоморфизм матричных колец, ^хь...,хп) е Qp<X> и 9п(Г(аь...,а„)) = О V а!бМп(Ор). Положительное решение проблемы Прочези заключается в нахождении для каждого f с таким свойством некоторого многочлена g 6 <3Р<Х> такого, что {- - тождество в М„(9).

В первой части введено понятие следовой степени многочлена Г и понятия редуцироемости и р-редуцироемости многочленов со следом. Проблема Прочези сведена к доказательству р-редуцироемости редуцироемого многочлена.

Во второй части доказано несколько вспомогательных лемм о необходимых условиях редуцируемости.

В третьей части доказательство р-редуцироемости редуцироемого многочлена проведено для многочленов следовой степени с1(0, <1 >1.

В четвертой части доказана р-редуцироемость редуцироемых многочленов следовой степени = 1 и, таким образом, завершено доказательство положительного решения проблемы Прочези для двупорожденной алгебры общих матриц порядка 3:

Пусть — двупорожденная алгебра общих матриц порядка 3 над кольцом ()р, Ярр - двупорожденная алгебра общих матриц порядка 3 над бесконечным полем Рр характеристики р > 3 . Тогда ядро канонического гомоморфизма -> равно рЯ^-

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

Полученные результаты предоставляют новую информацию о тождествах алгебры Мз(Р) различных типов.

Описание градуированных тождеств супералгебры Mi.2(F) открывает путь к нахождению асимптотического базиса обычных тождеств алгебры M3(F). Также из полученных результатов можно сделать вывод о тесной связи градуированных тождеств супералгебры Mi^F) и тождеств со следом алгебры M2(F), информация об этой связи дает путь к описанию градированных тождеств матриц больших порядков. Описание многообразия трейскиллеров предоставляет информацию, необходимую для изучения подмногообразий многообразия ассоциативных алгебр Var(M3(F)).

Полученное описание многообразия трейскиллеров также является описанием центральных полиномов для алгебры M3(F) - важного в современной алгебре класса полиномов. Также сделан еще один важный шаг в решении одной из известных и сложных нерешенных проблем современной алгебры - проблемы Прочези.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Кемеру Александру Робертовичу за постановку задач, сотрудничество и множество интересных обсуждений.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В журналах из списка ВАК

1. И. В. Аверьянов, Базис градуированных тождеств супералгебры М,д(Р), Матем. заметки, 85:4, 2009,483-501

В прочих изданиях

2. Kerner A., Averyanov I. Conjecture of Procesi for 2-generated algebra of generic 3*3 matrices // Journal of Algebra Vol. 299, Issue 1, 2006, p. 151-170.

3. Kemer A., Averyanov I. Description of the algebras generating the variety of trace-killers // Advances in Applied Mathematics Vol. 37, Issue 3, 2006, p. 390-403.

4. Кемер А.Р., Аверьянов И.В. Проблема Прочези для общих матриц порядка 3 // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Серия Фундаментальные проблемы математики и механики, 1(14), Вып. 1(14), Ульяновск: 2004, с.18-33.

5. Kemer A.R., Averyanov I.V. Some problems in Pi-theory // Advances in Algebra and Combinatorics. Proceedings of the Second International Congress in Algebra and Combinatorics, Singapore, World Sei. Publ., 2008, p. 189-204.

6. Кемер A.P., Аверьянов И.В. Описание алгебр, порождающих многообразие трейскиллеров // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Серия Фундаментальные проблемы математики и механики, Вып. 1(15), Ульяновск, 2005, с. 4-20.

7. Кемер А.Р., Аверьянов И.В. О трейскиллерах // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша. Материалы конференции, М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2008, с. 120-121.

8. Аверьянов И.В. Тождества супералгебры Mi,2(F) // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша. Материалы конференции, М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2008, с. 24-25.

Подписано в печать 4.05.2009 Формат 60x84/16. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № XlHW

Отпечатано с оригинал-макета в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432000, г. Ульяновск, ул. JI. Толстого, 42

Введение

Глава 1 Базис градуированных тождеств супералгебры Mi,2(F)

1.1 Предварительные замечания.

1.2 Описание градуированных тождеств супералгебры MatiiOQ(F).

1.3 Тождества Mati,n(F) от нечетных переменных.

1.4 Базис тождеств супералгебры Mnti^{F).

1.5 Полученные результаты.

Глава 2 Описание алгебр, порождающих многообразие трейскиллеров

2.1 Трейскиллеры для M2(F)

2.2 Общее описание алгебр, порождающих Г^

2.3 Описание Л2.

2.4 Описание -А3.

2.5 Доказательство основной теоремы.

2.6 Полученные результаты.

Глава 3 Проблема Прочези для алгебры общих матриц порядка

3.1 Основные определения.

3.2 Необходимые условия редуцируемости.

3.3 Сведение задачи к многочленам следовой степени

3.4 Решение задачи для многочленов «ледовой слепени 1.

3.5 Полученные результаты.

История проблем, связанных с тождествами

Теория тождеств в алгебраических структурах является очень своеобразной и интересной областью современной алгебры, тесно связанной с другими ее разделами: теорией групп, колец, тел, алгебраической геометрией, теорией инвариантов, и пр. Тождества были введены как обобщения известных математикам с древних времен свойств обычных чисел для того, чтобы иметь возможность переносить известные факты на новые алгебраические объекты.

С возникновением формальных алгебраических систем в начале двадцатого века математики смогли сформулировать понятие «тождества» на подходящем алгебраическом языке, и проследить, как тождества связаны с алгебраической структурой объектов. Например, бинарная операция коммутативна, если выполнено тождество ху ■ ух . Также легко проверить, что любая группа, удовлетворяющая юждеству х2 = 1, является коммутативно]'!.

Тождества в ассоциативных алгебрах имеют вид /(.гь я-2. • • •, хп) = g(xi,x2,. хп), где f(xi,x2,. ,хп) и g{xi,x-2, ■ ■. ,.rn) - некоммутативные полиномы, или, эквивалентно, вид /(.х'1, х'2, ■ • .,хп) = 0.

Тождеством в алгебре А называется нетривиальное соотношение f(xi,X2,- • - хп) = 0, выполняющееся при любых подстановках х\ н-> а; элементов из А. Тождество / называют PI -тождеством или полиномиальным тождеством. PI -степенью А называется наименьшая степень полиномиального тождества, выполненного в А.

Например, алгебра А коммутативна, если ab = ba Va, Ь £ А , или если xix<2~x?xi = 0 является полиномиальным тождеством в А. Т.о. полиномиальные тождества обобщают коммутативность.

Изучение PI-теории было начато Деиом [5], который стремился описать теоремы Дезарга с помощью полиномиальных тожесгв соответствующего тела D. Заметив, что теорема Паппа верна в точности тогда, когда D комм)гггативно, он хотел найти полиномиальные ограничения на D, необходимые и достаточные для выполнения соответствующей теоремы.

Несмотря на то, что эта цель была достигнута лишь много позднее Амицуром, благодаря этому было заложено понятие полиномиального тождества.

Следующий важный шаг в изучении PI -алгебр был сделан В. Вагнером [17] - он доказал коммутативность упорядоченного РI-тела и нашел некоторые важные тождествва алгебры матриц порядка 2. Позднее М.Холл изучал тела, удовлетворяющие тождеств}' [[а;, г/]2, z] — 0.

Большую роль в теории PI -алгебр сыграла проблема Куроша, поставленная им в 1941г. [40] Курош сформулировал аналог проблемы Бернсайда для алгебр: является ли любая конечно-порожденная алгебраическая алгебра над полем F конечномерной над F ? Джекобсон [7] заметил, что любая алгебраическая алгебра ограниченной степени является PI -алгеброй. Используя недавно разработанную структурную теорию и результаты Левицкого [18], Капланский установил, что любая алгебраическая конечно-порожденная PI -алгебра является конечномерной [9].

В общем виде проблема Куроша была решена отрицательно в 1964г. Голодом и Шафаревичем [32], [33].

Положительное решение проблемы Куроша для PI-алгебр немедленно следует из знаменитой теоремы Ширшова о высоте [51], доказанной им в 1957г.

Другая очень важная проблема PI-теории была поставлена Шпехтом [25| в 1950г.: "Имеет ли любая ассоциативная PI-алгебра над полем нулевой характеристики конечный базис тождеств?".

Эта проблема имеет смысл для алгебр над любым полем, а также для колец, групп, и многих других алгебраческих структур. Для групп проблема конечного базирования была отрицательно решена Ольшанским [47]. В 1973г. Крузе и Львов |46] доказали, что любое конечное кольцо имеет конечный базис тождеств. Проблеме конечной базируемое™ над полями нулевой характеристики было посвящено множество работ. У В.Н.Латышева имеется большой цикл работ па эту тему [41]-[45]. Многие русские и болгарские математики работали в этом направлении. Отметим наиболее важные результаты. В 1978г. Латышев [45] доказал, что любая ассоциативная алгебра над полем нулевой характеристики, удовлетворяющая тождеству вида ал,., £„]. = 0, имеет конечный базис тождеств. В 1982г. А.В.Яковлев анонсировал следующий результат: алгебра матриц любого порядка над полем нулевой характеристики имеет конечный базис тождеств. Полностью проблема Шпехта для полей нулевой характеристики была решена А.Р.Кемером [36] в 1986г. В 2000г. Белов [3] построил контрпример к гипотезе Шпехта для алгебры над полем характеристики р и показан справедливость гипотезы Шпехта для конечномерных PI-алгебр (хотя результат не опубликован даже в России).

Актуальность исследований

Несмотря на положительное решение проблемы Шпехта в случае поля нулевой характеристики, возникают проблемы нахождения базисов тождеств конкретных алгебр, в частности, алгебр матриц - важнейшего класса алгебр в PI-теории. Эти проблемы оказываются неожиданно сложными. Основным результатом в этом направлении является описание тождеств алгебры матриц второго порядка над полем нулевой характеристики [48]. Однако базисы тождеств для алгебр матриц более высокого порядка до сих пор неизвестны. Тем не менее, Размыслов [50] нашел базисы тождеств со следом для алгебр матриц Mn{F) произвольного порядка п. Также описаны басисы тождеств алгебры матриц второго, третьего и четвертого порядка в случае конечного основного поля.

Большое число работ посвящено градуированным тождествам матричных алгебр. Различные ^-градуировки алгебры Мч(К) и базисы соответстугощнх идеалов градуированных тождеств в случае конечного поля К были описаны в [16]. Также в работах [26] и [1] описаны базисы градуированных тождеств алгебры Мп[К), наделенной Zn-градуировкой, в случае произвольного бесконечного поля К. В статье В. Дренского и Ю. Бахтурина исследуются градуированные тождества G-градуированной алгебры Мп(К) в случае произвольной группы G и char К = 0, также в ней найдены базисы соответствующих иделов градуированных тождеств в случае простейшей градуировки[2].

Диссертация продолжает дальнейшее исследование различных классов градуированных тождеств и тождеств со следом:

1. находится базис градуированных тождеств супералгебры Mi, 2(F);

2. находятся алгебры порождающие многообразие трейскиллеров для Л/3(F);

3. решается классическая проблема К.Прочези для алгебры общих матриц порядка 3 .

Цели и задачи исследования. Целью исследований является по пучение новой информации о тождествах алгебры матриц третьего порядка, позволяющей более глубокого исследовать многообразие алгебр Var(Mz(F)). Полезные эффекты

Информация об исследуемых тождествах позволяет более глубоко изучить юждества матриц третьего порядка:

1. Один из путей к получению ассимптотического базиса (обычных) тождеств алгебры Мз(Г) лежит через нахождение градуированных тождеств алгебры Mit2(F) [10].

2. Описание идеала трейскиллеров для алгебры матриц Mn(F) необходимо для изучения подмногообразий многообразия Var(Mn(F)) в случае положительной характеристики поля р.

3. Описание трейскиллеров является также описанием центральных полиномов соответствующей алгебры матриц.

Объект исследования

Объектом исследования является алгебра матриц третьего порядка M2{F) над бесконечным полем F и ее тождества различных типов. Методологическая и теоретическая основы

Исследования, проводимые в диссертации, основываются на следующих результатах:

1. Базис градуированных тождеств супералгебры M\'z{F) получен с использованием общей теории представлений симметрической группы и результов о тождествах со следом и обычных тождествах алгебры M2(F).

2. Алгебры порождающие многообразие трейскиллеров для Мз(F) найдены с использованием структурной теории FI-алгебр, разработанной А.Р.Кемером.

3. Проблема К.Прочези для алгебры общих матриц порядка 3 решается с помощью результатов о тождествах со следом и обычных тождествах алгебры M%{F).

Научная значимость и новизна

Работа носит теоретический характер. Представленные в диссертации теоретические результаты являются новыми, не полученными ранее:

1. Найден базис градуированных тождеств супералгебры M1)2(F).

2. Найдены алгебры порождающие многообразие трейскиллеров для M^(F).

3. Решена проблема К.Прочези для алгебры общих матриц порядка 3.

Два последних результата получены в соавторстве с научным руководителем А.Р.Кемером.

Структура работы

1. Первая глава посвящена нахождению базиса градуированных тождеств супералгебры M\ti{F). В печати данные результаты представлены в [30] и [31].

2. Вторая глава посвящена описанию алгебр, порождающих многообразие трейскиллеров для M3(F). Результаты представлены в [14], [38], [15] и [39].

3. Третья глава посвящена решению проблемы Прочези для алгебры общих матриц порядка 3. Результаты представлены в [13], [37] и [15].

Автор очень признателен А.Р.Кемеру за сотрудничество и множество интересных обсуждений.

Заключение

В заключении представленной диссертационной работы можно отметить, что поставленная задача исследований решена в полном объеме. Основные результаты работы:

1. Найден базис градуированных тождеств супералгебры Mi${F).

2. Найдены алгебры порождающие многообразие трейскиллеров для M3(F).

3. Решена проблема К.Прочези для алгебры общих матриц порядка 3.

К полезным эффектам работы можно отнести:

1. Возможность получения ассимптотического базиса (обычных) тождеств алгебры Mz(F) через нахождение градуированных тождеств алгебры i\/i)2(F).

2. Описание идеала трейскиллеров для алгебры матриц Mn(F), необходимое для изучения подмногообразий многообразия Var(Mn(F)) в случае положительной характеристики поля р.

3. Описание центральных полиномов соответсвующей алгебры матриц M${F).

1. Azevedo S.S. Graded identities for the matrix algebra of order n over an infinite field // Communications in Algebra, 2002 30:12, pp.849-5800.

2. Bahturin Y., Drensky V. Graded polynomial identities of matrices // Linear Algebra and its Applications, 2002, 357:1, 15-34

3. Belov, A. Counterexamples to the Specht problem // Sb. Math. 191 (3-4), 2000, 329-340.

4. Burnside, W. On an unsettled question in the theory of discontinuous groups // Quart. J. Puie Appl. Math. 33 (1902), 230-238

5. Dehn, M. Uber die Grundlagen der projektiven Geometric und allgemeine Zahlsysteme // Math. Ann. 85, 1922, 184-193.

6. Ilall, M. Projective planes // Trans. Amer. Math. Soc. 54, 1943, 229-277.

7. Jacobson, N. Structure theory for algebraic algebras of bounded degree // Ann. of Math., 1945, 695-707.

8. Kaplansky, I. Rings with a polynomial identity // Bull. Amer.Math. Soc. 54, 1948, 575-580.

9. Kaplansky, I. Topological representation of algebras. II Trans. Amer. Math. Soc. 66, 1949, 464-491.

10. Kemer A.R. Ideals of identities of associative algebras — Providence RI: Amer. Math. Soc., 1991. (Trans!. Math. Monogr.; 87).

11. Kemer A.R. Identities of finitely generated algebras over an infinite field // Izv. AN SSSR. Ser Mat., vol 54, no 4, 1990 726-753(russian).

12. Kemer A. R. On some problems in Pl-theory in characteristic p connects with dividing by p //Proc. of 3 Intern. Algebra conf., Kluwer Acad. Publish., 2003, pp. 53-67.

13. A. Kemer, I. Averyanov Conjecture of Procesi for 2-generated algebra of generic 3x3 matrices // Journal of Algebra, Vol. 299, Issue 1, 2006, pp. 151-170.

14. A. Kemer, I. Averyanov Description of the algebras generating the variety of trace-killers // Advances in Applied Mathematics, Vol. 37, Issue 3, 2006, pp. 390-403.

15. Kemer A.R., Averyanov I.V. Some problems in Pi-theory // Advances in Algebra and Combinatorics. Proceedings of the Second International Congress in Algebra and Combinatorics, 2008, c. 189-204

16. Ivoshlukov P., Azevedo S.S. A Basis for the Graded Identities of the Matrix Algebra of Order Two over a Finite Field of Characteristic p ф 2 I j Finite Fields and Their Applications, 2002,8:4, 597-609.

17. Lewin J. A matrix representation for associative algebras // I, II, Trans. Amer. Math. Soc. 188. 1974, 293-308, 309-317

18. Levitzki. J. On a problem of Kurosch // Bull. Amer. Math. Soc. 52, 1946, 1033-1035.

19. Lewin, J. A matrix representation for associative algebra //I, II, Trans. Amer. Math. Soc. 188, 1974, 293-308, 309-317.

20. Procesi C. The invariant theory of n x n matrices // Adv. in Math., Vol 19, 1976, 306-381.

21. Procesi C. Rings with polynomial identities — Marcel Dekker, 1973.

22. Razmyslov Yu. P. Trace identities of the matrix algebras over field of characteristic zero // Izv. AN SSSR (russian), Vol. 38, no 4, 1974, 723-756.

23. Regev A. Existence of identities in А® В // Israel J. Math. 11, 1972, 131-152.

24. Schelter W. F. On question concerning generic matrices over the integers // J. Algebra, Vol. 96, 1985, 48-53.

25. Specht W. Gesetze in Ringen // I, Math. Z. 52, 1950, 557-589.

26. Vasilovsky S. Yu Zn-graded polynomial identities of the full matrix algebra of order n // Proc. Amer. Math. Soc., 1999, 127, pp.517-3524.

27. Di Vincenzo O.M On the graded identities of Л/М(Я) // Israel J. Math., 1992. 80:3, pp.23-335.k

28. Wagner, W. Uber die Grundlagen der projektiven Gcometrie und allgcmcine Zahlsys-teme 11 Math. Z. 113 (1937), 528-567.

29. Zubkov A. N. On the generalization of the theorem of Procesi Razmyslov // Algebra i Logika, Vol. 35, no 4, 1996, 433-457.

30. Аверьянов И.В. Тождества супералгебры Mii2(F) // Между народная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша. Тезисы докладов., М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2008, с.24-25

31. Аверьянов И.В. Базис тождеств алгебры Aflj2(F) '/ Математические заметки, 2009(принято в печать)

32. Голод Е.С. О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых р -группах // Изв. АН СССР, сер. матем., 28, 1964, 273-276.

33. Голод Е.С. Шафаревич И.Р. О башне полей классов // Изв. АН СССР, сер. матем., 28, 1964, 261-272

34. Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп — М., Мир, 1982

35. Дренски В. Минимальный базис тождеств агебры матриц второго порядка над полем характеристики 0 //Алгебра и логика, 1981, 20:4, 282-290.

36. Кемер А.Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр //Алгебра и логика 26, 1987, 597-641.

37. Кемер А.Р., Аверьянов И.В. Проблема Прочези для алгебры общих матриц порядка 3 // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Серия Фундаментальные проблемы математики и механики, Вып. 1(14), 2004, с. 8-33.

38. Кемер А.Р., Аверьянов И.В. Описание алгебр, порождающих многообразие трейскиллеров // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Серия Фундаментальные проблемы математики и механики. Вып. 1(15), 2005, с. 4-20.Q