Алгебраическая геометрия над жёсткими метабелевыми про-Р-группами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ч

/

1

На правах рукописи

Афанасьева Светлана Григорьевна

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НАД ЖЁСТКИМИ МЕТАБЕЛЕВЫМИ ПРО-Р-ГРУППАМИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 б ОКТ 20И

Новосибирск-2014

005553341

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Романовский Николай Семенович.

Официальные оппоненты: Лыткина Дарья Викторовна

доктор физико-математических наук, доцент, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики», профессор кафедры высшей математики факультета информатики и вычислительной техники;

Романьков Виталий Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского», заведующий кафедрой информационных систем Института математики и информационных технологий (математического факультета).

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайский государственный университет».

Защита состоится 14 ноября 2014 года в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 003.015.02 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: пр. Академика Коптюга 4, г. Новосибирск, 630090.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, http://math.nsc.ru.

Автореферат разослан «¿0» сентября 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ¡/V Стукачёв

кандидат физико-математических наук, доцент О" Алексей Ильич

Общая характеристика работы

Актуальность и степень разработанности темы

исследования. Алгебраическая геометрия — раздел математики, объединяющий абстрактную алгебру с геометрией. Главный предмет изучения алгебраической геометрии — алгебраические многообразия, т.е. множества решений систем уравнений, задаваемых многочленами. Классическая алгебраическая геометрия изучает решения систем алгебраических уравнений над полем. Сначала решения систем алгебраических уравнений рассматривались над полем комплексных чисел, затем был переход к алгебраически замкнутому и произвольному полю. Лишь сравнительно недавно были сформулированы основные понятия и доказаны базисные факты в алгебраической геометрии над группами и другими алгебраическими системами. Универсальная алгебраическая геометрия (по-другому её называют алгебраической геометрией над алгебраическими системами) — это новое направление исследований, которое в последние годы активно развивается.

Основы алгебраической геометрии над группами разработаны в двух фундаментальных статьях Г. Баумслага, А.Г. Мясникова, В.Н. Ремесленникова [1] и А.Г. Мясникова, В.Н. Ремеслешшкова [2]. Э.Ю. Дашшрова, А.Г. Мясников и В.Н. Ремесленников в работах [3-8] развивают алгебраическую геометрию над произвольной алгебраической системой и доказывают объединяющие теоремы.

А.Г. Мясников, О.Г. Харлампович [9-12] и 3. Села [13,14] изучили алгебраическую геометрию над свободными группами и успешно применили ее при решении известных проблем Тарского о свободных группах.

Другим важным классом групп, где удалось построить хорошую алгебраическую геометрию, является класс жёстких разрешимых групп. Он был определен и изучался в работах Н.С. Романовского [1519] и А.Г. Мясникова, Н.С. Романовского [20,21]. Примерами жёстких групп являются свободные разрешимые группы, итерированные сплетения абелевых групп без кручения, а также их подгруппы.

Приведём основные понятия алгебраической геометрии над группами.

Для данной группы С всякую группу, содержащую б в качестве фиксированной подгруппы, называют С-грушюй. Естественным образом для С-груип определяется понятие С-подгруппы,

С?-гомоморфизма и т.п. В качестве уравнений от набора переменных х = (.г-1,..., л;п) над (7 можно брать выражения вида и(х) = 1, где 1)(х) — элемент группы уравнений Р, которая представляет из себя свободное произведение группы С и свободной группы с базой X = {хг,...,хп}. Иногда удобнее уравнениями называть сами элементы группы Р. Решением уравнения и(х) называется набор (<71,...,дп) 6 С™ такой, что ...,дп) = 1 в группе С?. Подмножество Я из (7™ называется алгебраическим, если оно является множеством решений некоторой системы уравнений. Фактор-группа F/^(5), где А^) ~ {^(зО е Р I г'(А') ~ II'15 е 3} — аннулятор 5, называется коордтатной группой алгебраического множества 5 и обозначается через Г(5).

В диссертации рассматривается алгебраическая геометрия над проконечными группами. В этом случае эти определения переносятся не буквально, так как наши объекты топологические.

Цели и задачи. Главная цель диссертации — перенести основные понятия алгебраической геометрии на случай проконечных групп и исследовать алгебраическую геометрию над жёсткими метабелевыми про-р-группами.

Основные результаты диссертации.

1. Найдено представление координатной группы прокопечной группы в виде проективного предела координатных групп её конечных гомоморфных образов. (Теорема 1.1)

2. Введено понятие стандартной линейной про-р-группы и доказано, что такая группа всегда нётерова по уравнениям. Как следствие получено, что свободные нильпотентные про-р-группы и свободные метабелевы про-р-груипы нётеровы по уравнениям. (Теорема 1.4 и следствие 1.1)

3. Построены два примера про-р-групп, не являющихся нётеровыми по уравнениям: первая из этих групп является нильпотентной (не конечно порождённой), а вторая — центрально метабелевой с четырьмя порождающими.

4. Введены понятия универсальной формулы и универсальной теории над прокопечной группой. Доказано (совместно с Н.С. Романовским), что все жёсткие 2-ступенно разрешимые

про-р-группы универсально эквивалентны между собой. (Теорема 2.1)

5. Доказано (совместно с Н.С. Романовским), что в категории 2-градуированных жёстких про-р-грунп существует операция коироизведения, установлены её свойства. (Теорема 2.2 и следствие 2.2)

6. Для конечно порождённой 2-ступенно разрешимой жёсткой про-р-группы (3 найдена координатная группа аффинного пространства С2 и установлено, что пространство С1 неириводимо в топологии Зарисского. (Теоремы 2.3 и 2.4)

Результаты 1 — 3 и 6 получены автором лично. Результаты 4 и 5 получены в неразделимом соавторстве с научным руководителем Н.С. Романовским.

Научная новизна и значимость работы. Работа носит теоретический характер. Все основные результаты диссертации являются новыми. Результаты работы могут быть использованы при дальнейшем исследовании алгебраической геометрии над проконечными группами. Также результаты могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.

Методы исследования. В работе используются методы алгебраической геометрии над группами и прокоиечнымп группами.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технические прогресс» (Новосибирск 2009, 2010); международной школе-семинаре «Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах» (Омск, 2009); международной конференции «Мальцевские чтения», посвященной 100-лстию со дня рождения Анатолия Ивановича Мальцева (Новосибирск, 2009); международной конференции «Стохастические модели в биологии и предельные алгебры» (Омск, 2010); международной школе «Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей» (Республика Алтай, 2012); международной молодежной школе- конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург. 2013).

Результаты диссертации обсуждались на семинарах «Теория групп»

лаборатории теории групп Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН и «Алгебра и логика» Новосибирского национального исследовательского государственного университета.

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [27—35], при этом работы [27-29] опубликованы в изданиях, которые входят в перечень ВАК российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата наук. Результаты работы [28] получены в неразделимом соавторстве с Н.С. Романовским.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 2 глав, заключения и списка литературы. Она изложена на 39 страницах, библиография содержит 39 наименований.

Перейдем к более подробному изложению работы.

Содержание диссертации

Общая структура диссертации. Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Все утверждения (теоремы, леммы и следствия) имеют двойную нумерацию: первое число — номер главы, второе — номер утверждения в текущей главе.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, освещается степень ее разработки; изложены цели, методы исследования и основные результаты диссертации; отражены научная новизна и значимость работы и данные об апробации. Также приведены сведения о публикации результатов диссертации.

Глава 1. Эта глава посвящена построению алгебраической геометрии над проконечными группами.

Напомним, что проконечная группа (7 является проективным (обратным) пределом (3 = Ига Сг некоторого проективного спектра С = {бг,^, 7} конечных групп О, (здесь : (7; —С^,

г ^ — гомоморфизмы, I — направленное множество индексов), и

на пей определяется проконечная топология. Замкнутые подгруппы являются обратными пределами некоторых подспектров спектра С. Говоря о подгруппах ироконечных групп, будем иметь ввиду только замкнутые подгруппы. С проконечными группами можно ознакомиться по монографиям [22,23]

Пусть С — фиксированная проконечная группа.

Прокопечную группу Я назовём С-группой, если она содержит С? как выделенную подгруппу.

Под С-эпиморфизмо.м (?-групп Я ->• Я' понимаем обычный эпиморфизм, действующий тождественно на О.

Пусть (XI,..., хп) — свободная проконечная группа с базой {ж],..., хп}. Положим

Р = (?* (х1,...,хп),

где * обозначает свободное прокопечное произведение.

Уравнением над (3 назовём выражение у(х) — 1, где х = {х\,..., хп), ь(х) е Р. Отметим, что в отличие от абстрактного случая левая часть уравнения, вообще говоря, не является групповым словом над С от Х\ ,..., хп.

Решеньем уравнения назовём набор (д1,... ,дп) е С'1 = С х ... х С такой, что ь(д1, ...,дп) — 1, здесь ь(д1,. .., дп) обозначает образ у{х) при (З-эпиморфизме У7 (7, определённом отображением ж, д^.

Подмножество 5 множества С™ называется алгебраическим, если 5 является множеством решений некоторой системы уравнений от переменных хх,... ,хп.

Множество решений уравнения г(х) = 1 замкнуто в проконечной топологии как прообраз 1 при отображении С х ... х <3 —» С, действующем по правилу {д\,...,дп) ^ ь'{дг,... ,дп). Алгебраическое множество 5 замкнуто в проконечной топологии как пересечение замкнутых множеств решений уравнетш соответствующей системы.

Топологией Зарисского аффинного пространства называется

топология, предбазой замкнутых множеств которой является совокупность всех алгебраических над С? множеств 5 С <3П. Топология Зарисского в общем случае слабее проконечной топологии, т.е. всякое множество, замкнутое в топологии Зарисского, замкнуто в проконечной топологии.

Замкнутое в топологии Зарисского множество 5" С С называется

неприводимым, если его нельзя представить с виде объединения 5 = 51 и £2 собственных замкнутых подмножеств.

Пусть 1(Б) — аннулятор алгебраического множества ¿> в т.е. множество всех левых частей уравнений, у которых все элементы из 5 содержатся во множестве решений. Он замкнут в проконечной топологии как пересечение ядер всех эпиморфизмов Р —> б, определяемых отображениями л 4 « £

Фактор-группа Г(5) = F/^(S) называется координатной группой множества 5; очевидно, она содержит С, а потому может рассматриваться как (З-группа.

Теорема 1.1. Пусть проконечная группа С является обратным пределом спектра С = {Gi,^plpI} конечных групп и все

Ру : С г —> С^ — эпиморфизмы (так можно представить всякую прокопечпую группу). Тогда группы = Г* конечны,

причём существуют канонические эпиморфизмы —> Г^, г ^ у, и Г(<3") = ^тГ».

Алгебраическая геометрия над данной (проконечной) группой может быть достаточно хорошей лишь в том случае, если группа нётерова по уравнениям.

Проконечная группа С? называется нётеровой по уравненияли если для любого натурального числа, п и любой системы уравнений над (3

{иг(хь ... ,х„) = 1 | г е 1}

найдётся конечная подсистема

. ,хп) = 1 | з е 7 С I, |7| < оо},

такая что множество её решений совпадает с множеством решений всей системы.

Для данной проконечной группы (3 полагаем п(С) = итг(&',;). где <3; пробегает все конечные гомоморфные образы группы (3, а тг(6';) обозначает множество простых делителей порядка группы С,.

Доказаны две следующие теоремы:

Теорема 1.2. Еаги множество ж (б) бесконечно, то проконечная группа С не является нётеровой по уравнениям от одной переменной.

Теорема 1.3. Если проконечная группа б абелева и множество 7г(С) конечно, то группа <3 нётерова по уравнениям.

В силу этих фактов центральным является исследование алгебраической геометрии над про-р-группами. Вводится понятие стандартной линейной про-р-группы.

Рассмотрим алгебру формальных степенных рядов %р[[Ьп \а е 21]] от переменных (п над кольцом целых р-адических чисел с проконечной топологией. Вазу окрестностей нуля составляют идеалы вида

мп + 1<* ■

где М — р ■ ТрА + • ЪрА — максимальный идеал. Пусть I

— произвольный замкнутый простой идеал рассматриваемого кольца. Обозначим через Л фактор-кольцо по этому идеалу и оставим за образом идеала М в Л то же самое обозначение.

Через Ьт(В) обозначим группу матриц из GLm(i?), сравнимых с единичной по модулю М. Она является прор-группой.

Стандартной линейной про-р-группой назовём всякую про-р-группу, которая вкладывается в Ьт(К).

Теорема 1.4. Группа б = Ьт{К), а значит, и любая её подгруппа нётеровы по уравнениям.

Из неё получаем

Следствие 1.1. Свободные нилъпотентные про-р-группы, а также свободные метабелевы про-р-группы любых рангов нётеровы по уравнениям.

Кроме того, строятся два примера про-р-групп, не являющихся нётеровыми по уравнениям. Первая — 2-ступенио нильпотептная про-р-группа, естественно, не конечно порождена, т.к. конечно порождённые нильпотентные про-р-группы нётеровы по уравнениям. Вторая — центрально метабелева нро-р-гругша с четырьмя порождающими. Для абстрактных групп похожие примеры построены в работе [24].

Далее вводится понятие универсальной формулы и универсальной теории над проконечной группой.

Пусть А и В — проконечные (З-группы. Будем говорить, что группа А <3-дискриминируется группой В, если для всякого конечного набора неединичных элементов из А существует (З-гомоморфизм А —г В, такой что образы элементов набора остаются неединичными. Это условие равносильно тому, что для всякого конечного подмножества из А

существует (7-гомоморфизм А —> В, действующий инъективно на данном подмножестве.

Пусть (7 — проконечная группа. Универсальной формулой над (7 назовём предложение вида ... ,хпФ(х), где Ф(:г) — дизъюнкция конъюнкций конечного числа равенств или неравенств вида у(х) — 1 ШШ у(х) Ф 1, ь(х) = 1, .. ■ , хп).

Универсальной теорией над (7 проконечной (7-группы Н назовём совокупность ис(Н) всех универсальных формул над (7, истинных на Я.

Для нётеровых по уравнениям проконечных групп в следующих двух теоремах даётся характеризация координатных групп неприводимых алгебраических множеств на языке универсальных теорий с использованием понятия дискриминируемости.

Теорема 1.5. Пусть А и В — две проконечные С-группы, причём обе нётеровы по уравнениям с коэффициентами из (7. Тогда эквивалентны следующие условия:

1) иа(А) = ис(В);

2) группа А локально С-дискриминируется группой В и наоборот. Теорема 1.6. Пусть А — конечно порождённая проконечная

й-группа, которая нётерова по уравнениям с коэффициентами из (7. Тогда эквивалентны следующие условия:

1) А — координатная группа неприводимого алгебраического множества над <7;

2) группа А С-дискриминируется группой (7;

3) ис{А) = ис{С).

Последние две теоремы аналогичны соответствующим утверждениям об абстрактных группах из [1,2].

Теоремы 1.1.-1.6. получены автором лично и опубликованы в [27].

Глава 2. В этой главе рассматриваются жёсткие метабелевы про-р-группы.

Метабелеву про-р-группу (7 назовём жёсткой, если в ней существует нормальный ряд

с = Ох > С2 ^ Сз = 1, (1)

такой что фактор-группа А = О/Со абелева без кручения, и Сг, как 2рЛ-модуль, не имеет модульного кручения.

В случае неабелевой группы <7 подгруппа С2 и, следовательно, ряд (1) указанными свойствами определяется однозначно. Абелева

про-р-группа будет жёсткой, если она не имеет кручения, в качестве С2 в ней можно взять либо единичную подгруппу, либо всю группу.

Теорема 2.1. Все жёсткие 2-ступенно разрешимые про-р-группы универсально эквивалентны между собой.

Отметим, что в работе [25] было доказано, что (абстрактные) метабелевы группы, универсально эквивалентные свободной метабелевой группе, — это в точности (в нашей терминалогии) жёсткие 2-ступенно разрешимые группы. В отличие от абстрактного случая неизвестно, будет ли про-р-группа, универсально эквивалентная жёсткой 2-ступенно разрешимой про-р-группе, сама являться жёсткой.

По аналогии с [16] жёсткие метабелевы про-р-группы можно рассматривать как 2-градуированные с возможными градуировками (1,1), (1,0) и (0,1). Если группа 2-ступенно разрешима, то у неё градуировка (1,1). Для абелелевой группы возможны два случая в зависимости от выбора ряда, а именно градуировка (1,0), если Сг = 1, и градуировка (0,1), если С?2 = С. Назовём морфизмом 2-градуированных жёстких про-р-групп с соответствующими рядами вида (1) такой гомоморфизм ф : С? —> Н, что ^ Н^ (г = 1,2,3).

Далее доказывается, что в категории 2-градуированных жёстких про-р-групп существует операция копроизведения, полученная теорема по формулировке аналогична теореме 1 из [16] об абстрактных градуированных жёстких группах.

Теорема 2.2. Пусть С? и Н — две 2-градуированные жёсткие про-р-группы. Тогда существует 2-градуированная жёсткая про-р-группа С о Н, которую назовём 2-жёсткил1 произведением групп С и Н, удовлетворяющая следующим условиям:

1) группы С? и Н вкладываются в О о Н и порождают эту группу;

2) произвольные гомолюрфизмы

71 : С -» Ь, 72 : Н Ь

2-градуированных жёстких про-р-групп продолжаются до гомолюрфизма

7 : б о Я ->• Ь.

Следствие 2.2. 1) Группа (3 о Н определяется условиями 1) и 2) теоремы 2.2 однозначно с точностью до изоморфизма 2-градуированных жёстких про-р-групп.

2) Операция о, как операция копроизведения, коммутативна и ассоциативна.

3) Пусть — свободные однопорожденные про-р-группы с градуировкой (1,0). Тогда их 2-жёсткое произведение ^ о ... о является свободной метабелевой про-р-группой ранга п.

Теорема 2.3. Пусть С — конечно порождённая 2-ступенно разрешимая 2-градуированная жёсткая про-р-группа и Р = {хх,..., хп) — свободная метабелева про-р-группа ранга п, которая при п = 1 рассматривается с градуировкой (1,0), а при остальных значениях п естественно с градуировкой (1,1). Тогда группа <3 о ^ С-дискриминируется группой С.

Из теоремы 2.3. с помощью теоремы 1.6. выводится

Теорема 2.4. В условиях теоремы 2.3 группа б о ^ является координатной группой аффинного пространства С и эт,о пространство неприводимо.

Последняя теорема аналогична соответствующему утверждению, доказанному в [26] для метабелевых жёстких абстрактных групп и в [16] для жёстких абстрактных групп любой ступени разрешимости.

Теорема 2.1.—2.2. получены в соавторстве с Н.С. Романовским и опубликованы в работе [28]. Теоремы 2.3.-2.4. получены автором лично и опубликованы в [29].

Заключение

В диссертации были определены основные понятия и доказаны некоторые принципиальные факты, относящиеся к алгебраической геометрии над проконечными группами.

Обоснован переход от построения алгебраической геометрии над произвольной проконечной группой к рассмотрению случая про-р-группы.

Изучается алгебраическая геометрия над жёсткими метабелевыми про-р-груипами. Для конечно порождённой 2-стуненно разрешимой 2-градуированной жёсткой про-р-группы С? найдена координатная группа аффинного пространства С1 и доказано, что пространство С неприводимо в топологии Зарисского.

В дальнейшем представляется интересным перенесения понятия жёсткой группы на случай разрешимых про-р-групп большей ступени разрешимости. Как выше отмечалось остается открытым вопрос:

будет ли про-р-группа, универсально эквивалентная жёсткой 2-ступенно разрешимой про-р-группе, сама являться жёсткой?

Б л агодарности

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору Николаю Семеновичу Романовскому за неоценимую помощь и поддержку в процессе обучения и работы над диссертацией. Автор признателен всем сотрудникам лаборатории теории групп ИМ СО РАН и кафедры алгебры и математической логики НГУ за творческую атмосферу и полученные знания в процессе обучения в аспирантуре.

Литература

[1] BaumslagG., MyasnikovA., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups. I: Algebraic sets and ideal theory //J. Algebra. — 1999.

— Vol. 219, No. 1. — P. 16-79.

[2] MyasnikovA., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups. II. Logical foundations //J. Algebra. — 2000. — Vol. 234, No. 1. — P. 225-276.

[3] ДапияроваЭ. 10., Мясников А. P., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами И: Основания // Фундаментальная и прикладная математика. — 2012. - Т. 17, № 1. — С. 65-106.

[4] ДанияроваЭ. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами.

IV. Эквациональные области и ко-области // Алгебра и логика. — 2010. - Т. 49, № 6. — С. 715-756.

[5] ДанияроваЭ. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами.

V. Случай произвольной сигнатуры // Алгебра и логика. — 2012.

— Т. 51, № 1. — С. 41-60.

[6] ДанияроваЭ. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Универсальная алгебраическая геометрия // ДАН. — 2011. — Т. 439, № 6. — С. 730-732.

[7] DaniyarovaE., MiasnikovA., Remeslennikov V. Algebraic geometry over algebraic structures III: Equationally Noetherian Property and Compactness // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. — 2011. — Vol. 35. — P. 35-68.

[8] DaniyarovaE., MiasnikovA., Remeslennikov V. Unification theorems in algebraic geometry // Algebra and Discrete Mathematics. — 2008.

— № 1. — P. 80-112.

[9] Kharlampovich O., Myasnikov A. Algebraic geometry over free groups: Lifting solutions into generic points // Contemp. Math. — 2005. — Vol. 378. — P. 213-318.

[10] Kharlampovich О., Myasnikov A. Elementary theory of free nonabelian groups // J. Algebra. — 2006. — Vol. 302 No. 2. — P. 451-552.

[11] Kharlampovich 0., Myasnikov A. Irreducible affine varieties over free group I: Irreducibility of quadratic equations and Nullstellensatz // J. Algebra. — 1998. — Vol. 200, No. 2. — P. 472-516.

[12] Kharlampovich O., Myasnikov A. Irreducible affine varieties over free group II: Systems in trangular quasi-quadratic form and description of residually free groups //J. Algebra. — 1998. — Vol. 200. No. 2. — P. 517-570.

[13] SelaZ. Diophantine geometry over groups I: Makanin-Razborov diagrams // Publications Mathématiques de l'IHES. — 2001. — .V* 93. — P. 31-105.

[14] SelaZ. Diophantine geometry over groups VI: The elementary theory of a free group // GAFA. - 2006. - № 16. — P. 707-730.

[15] Романовский H. С. Делимые жесткие группы // Алгебра и логика.

- 2008. - Т. 47, № 6. - С. 762-776.

[16] Романовский H. С. Копроизведения жестких групп // Алгебра и логика. — 2010. — Т. 49, № 6. — С. 803-818.

[17] Романовский Н. С. Неприводимые алгебраические множества над делимыми распавшимися жесткими группами // Алгебра и логика.

- 2009. - Т. 48, № 6. — С. 793-818.

[18] Романовский Н. С. Нетеровость по уравнениям жестких разрешимых групп // Алгебра и логика. — 2009. — Т. 48, № 2. — С. 258-279.

[19] Romanovskiy N.S. Presentations for rigid solvable groups //J. Group Theory. — 2012. — Vol. 15, № 6. — P. 793-810.

[20] Мясников А.Г., Романовский H. С. Об универсальных теориях жестких разрешимых групп // Алгебра и логика. — 2011. — Т. 50, № 6. — С. 802-821.

[21] Myasnikov A., Romanovskiy N. Krull dimension of solvable groups // J.Algebra. — 2010. — Vol. 324, № 10. — P. 2814-2831.

[22] RibesL., Zalesskii P. Profinite groups. — Berlin: Springer-Verlag, 2000.

- 435 p.

[23] WilsonJ.S. Profinite groups. — Oxford: Clarendon Press, 1988. — 296 p.

[24] ГуптаЧ.К., Романовский H. С. Нётеровость по уравнениям некоторых разрешимых групп// Алгебра и логика. — 2007. — Т. 46, № 1. — С. 46-59.

[25] ChapuisO., V-free metabelian groups // J.Symbolic Logic. — 1997. — Vol. 62, № 1. — P. 159-174.

[26] Ремесленников B.H., Романовский H. С. Неприводимые алгебраические множества в метабелевой группе // Алгебра и логика. - 2005. — Т. 44, № 5. — С. 601-621.

Работы автора по теме диссертации

[27] Мелешева С. Г. Об уравнениях и алгебраической геометрии над проконечными группами // Алгебра и логика. — 2010. — 'Г. 49, № 5. — С. 654-669.

[28] АфанфсъеваС.Г., Романовский Н. С. Жёсткие метабелевы про-р-группы // Алгебра и логика. — 2014. — Т. 53, № 2. — С. 162-177.

[29] Афанфсьева С.Г. Координатная группа аффинного пространства над жёсткой метабелевой про-р-группой // Алгебра и логика. — 2014. — Т. 53, № 3. — С. 295-299.

Тезисы конференций

[30] Мелешева С. Г. Об основаниях алгебраической геометрии над проконечными группами // Материалы XLVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технические прогресс», посвященной 50-летию НГУ. — Новосибирск, 2009. С. 76-77.

[31] Мелешева С.Г. Об основаниях алгебраической геометрии над проконечными группами // Тезисы Международной школы-семинара «Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах = New algebraic-logical methods in solutions for systems of équations in algebraic structures». — Омск, 2009. — С. 45.

[32] Мелешева С.Г. Об основаниях алгебраической геометрии над проконечными группами // Тезисы Международной конференции

«Мальцевские чтения», посвященная 100-летию со дня рождения Анатолия Ивановича Мальцева. — Новосибирск, 2009. — С. 70.

[33] Мелешева С. Г. Нетеровость по уравнениям и алгебраическая геометрия над проконечными группами // Материалы XLVIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технические прогресс». — Новосибирск, 2010. — С. 15-16.

[34] Мелешева С.Г. Элементы алгебраической геометрии над проконечными группами // Труды Международной конференции «Стохастические модели в биологии и предельные алгебры = Stochastic models in biology and limit algebras». — Омск, 2010. — С. 66-68.

[35] Афанасьева С.Г. Об универсальной эквивалентности жестких метабелевых про-р-групп / / Тезисы Межународной (44-й Всероссийской) молодежной школы-конференции «Современные проблемы математики». — Екатеринбург, 2013. — С. 3-4.

Подписано в печать 10.09.2014 Формат 60x84 1\16 Усл. печ. л. 1 Объем 16 стр. Тираж 130 экз. Заказ № 172 Отпечатано Омега Принт 630090, г. Новосибирск, пр. Ак.Лаврентьева,6 email: omegap@yandex.ru