Уравнения и аппроксимации в алгебрах ЛИ тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ Р5 ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ШАНТАЕЕНКО Валерий Георгиевич

УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ В АЛГЕБРАХ ЛИ

01.01.03 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание учаной степени кандидата физико-математических наук

ОМСК 1992

Работа выполнена в Омском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор

Ремесленников Владимир Никанорович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Бокуть Л.А.

- кандидат физико-математических наук,доцент Агалаков С.А.

Ведущее учреждение- Иркутский государственный университет чу , .

Защита состоится "_1992 г. в "_часов

на заседании специализированного совета К 064.36.02 при Омском государственном университете по адресу: 644077, Омск, пр.Мира, 55-а.

С диссертацией можно ознакомиться' в библиотеке Омского государственного университета^

Автореферат разослан 1-Ч с-г- ч 1992 г.

Ученый секретарь —

специализированного совета/!^/- .

кандидат физ.-мат.наук ^ ^-—/ В.А.Романьков

Актуальность темы. В теории групп известно больше число результатов о разрешимости уравнений в группах (см.например [9-12])о С другой стороны, в теории алгебр Ли проблема разрешимости уравнеютй в алгебрах Ли мало разработана, и в дшшой работе получены одни из первых результатов в этом направлении. В диссертации рассматриваются некоторые вопросы, связанные с разрешшостью системы уравнений 4 = 0 в свободной алгебро Ли и свойства ассоциированной с системой алгебры Ли А (¥) • Также в ней изучаются некоторые классы алгебр Ли, близких к свободным (алгебры Ли, аппроксимируемые и Ш -аппроксимируемые свободны!®, 3 -свободные алгебры Ли, парасвободшо алгебры Ли).

А.А.Разборов [13] показал, что множество всех решений система 4=1 уравнений в свободной группе взаимно однозначно соответствует некоторому множеству гомоморфизмов группы

)» ассоциированной с этой системой.'Разрешимость системы V = I оказалась связанной со свойством аппроксимируемости группы & (4) свободными группами. Аппроксимируемость группы свободными группами изучалась Б.Баумслагом [14], в частности, мл установлены связи мецду свойствами аппроксимируемости и со -аппроксимируемости (вполне аппроксимируемости) группы свободными группами, построены примеры несвободных групп, которые

^-аппроксимируются свободными группами. В.Н.Ремесленников [15], продолжив изучение класса групп, аппроксимируемых свободными группами, доказал, что конечно-порожденная группа

О) -аппроксимируется свободными группами тогда и только тогда, когда она 3 -свободная, то есть ее 3 -теория совпадает с 3 -теорией свободной неабелевой группы, кроме того, в [15] указаны примеры несвободных 3 -свободных групп. Аналогичные проблемы рассматриваются в диссертации для алгебр Ли, в частности, вычисляются ранги некоторых бесхоэффиционтных уравнений в свободных алгебрах Ли, устанавливается условия, при которых алгебра Ли, аппроксимируемая свободными алгебрами Ли, будет о) -аппроксимироваться свободными, изучаются 3 -теории алгебр Ли (метабелевых алгебр Ли) и их связи со свойством

0) -аппроксимируемости свободными алгебрами Ли (свободными метабелевк.от атгебрами Ли). Таете построен пример уразнсшм ^=0 в свободной алгебре Ли, для которого ассоциированная ал-

гебра Ли А (f ) является несвободной, С0 -аппроксимируемой свободными алгебрами Ли, кроме того, A ("i ) - 3 -свободна.

В работах [20, 2l] Г.Баумслаг ввел понятие парасвободной группы и построил некоторые примеры парасвободных несвободных групп, в частности, такой парасвободной группы G , для которой фактор-группа G / G является свободной метабелевой группой. В диссертации изучаются ларасвободные алгебры Ли, в частности, доказан результат о парасвободности свободного производеши парасвободных алгебр Ли, построена счетная серия парасвободных несвободных алгебр Ли.

Пель работы. Целью работы является изучение некоторых проблем, связанных с разрешимостью систем уравнений в свободных алгебрах Ли, исследование свойств алгебры Ли, ассоцииро-вашюй с системой уравнений. Кроме того, рассматриваются связи мозду свойствам;! аппроксимируемости и (О -аппроксимируемости алгебры Ли свободными алгебрами Ли, отношения меаду классами 3 -свободных алгебр Ли и сд -апцроксимируемых свободными алгебр Ли. Также в диссертации проведено исследова-]ше парасвободных алгебр Ли.

Методика исследования. Основные методы исследования восходят к методам, разработанным А.И.Ширшовым при изучении свободных алгебр Ли. Доказательства основных утвервдений и свойств построенных алгебраических объектов используют результаты теории свободных алгебр Ли и теории относительно свободных алгебр Ли многообразий нильпотентных и метабелевых алгебр Ли. В частности, применяются результаты А.И.Ширшова: о вложении свободной алгебры Ли со счетным множеством свободных по-роздаюищх в свободную алгебру Ли с двумя свободными порожда-юпрмн [з]; теорема о свободе подалгебр свободной алгебры Ли И; результаты о композиции, введенной в [4], изложенные в [5]. Кроме того, результаты о базах свободных метабелевых алгебр Ли [б], о примитивных элементах в свободной алгебре Ли

[7], о влокешш свободных метабелевых алгебр Ли в сплетения

[8]. В работе также применяются некоторые методы теории моделей.

Научная новизна. Boo основные результаты диссертации яв-л>ттсл H0Bif.ii!. Они получены автором за период с 1988 по 1992 г.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результата и методы исследований га-гут найти применение в дальнейших исследованиях проблем, связашых с разрешимостью систем уравнений в свободных алгебрах Ли, использоваться при алгебраическом описании класса 3 -свободных алгебр Ли. Также работа дает маториаш для учебных специальных курсов по теории алгебр Ли, близких к свободным.

Апробация работа. Результаты, изложенные в диссертант, неоднократно докладывались на алгебраическом семинаро Омского государственного университета, на международной конференции по алгебре (Барнаул, 1991 г.), на семинаре "Алгебра и логика" Новосибирского государственного университета, а такяэ в Институте Математики СО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах автора, список которых приведен в конце автореферата*

Структура работы. Текст диссертации состоит из ввздешш, восьми параграфов и списка цитируемой литературы, содержащего 28 наименований. Работа изложена на 74 страницах машинописного текста.

Краткое содешанке диссерташт. Дусть далее F обозначает основное поле, LLX] , LС X- свободные атгебры Ли со множествами свободных порождающих X = { , ..., ,

} » Xn, ={xi , соответствешо, скобки на про-

изведении элементов в алгебре Ли расставляются слова направо, то есть а&е ... <L = (...С(а&)е)...) £t = здесь х повторяется L раз, 1^0. •

В § I вводятся понятия системы уравнений f ( ж , с ) = = ( 4*1, ...Лш) = 0в свободной алгебре Ли с неизвестными ^ = ( =4. > ..., хп, ), коэффициентам 5 = ( Ci, ..., с к ) я ассоциированной с ней алгебры Ли с*,..., ск |

¡Ч,(.^0,...,Ч'т=о) . Решения ха = (=е ® , ) системы ^ = б

ищутся в свободной алгебре Ли LLCJ, тогда множество М ? всех решений взаимно однозначно соответствует множеству Pq всех отмоченных гомоморфизмов LCC3 • Если

) = LC X «.и С] , I (Н5) - вдоая L ^ Y ), пороздетшй элемента',от ЧЧ , ..., 'f m. « ТО Под неизпестшг.я

Xi t ...,-Xn. и коэффициентами Ci , ...,C-K в фактор-алгебре L (4)/J по ццеалу J^LC'f ) понимавших соответствующие образы при естественном эпиморфизме L(f )~r L(40/J, отмеченным гомоморфизмом Ji называем гомоморфизм, сохраняющий коэффициенты, то есть fii. с)« Р С С-*)) = с .

Для бескоэффициентной системы уравнений ^ (х) в = sc.п. ) в 0 ее решения = ( , )

ищем в свободной алгебре Ли LUX п.] , рангом ъ (*„) решения . ж. называем число свободных порождающих свободной подалгебры Вx.^-LiX«.] » порожденной компонентами решения sc* , . je X , тогда ранг t (>f ) бвскоэффициентной системы Ч (*) в О - это максимум рангов всех решений системы. Множество всех решений М Ц системы Ч5 (« ) = 0 взаимно-однозначно соответствует множеству Рч всех гомоморфизмов £>: Д(.Ч)-»

— LCXrv] . Пусть S(A(Y))=eQJ<et.jb , тогда алгебра A(^)/S (АС1?)) аппроксимируется свободными алгебрами Ли. Решению 7,eHi соответствует гомоморфизм Р с? , индуцированный гомоморфизмом «¿г. , продолжающим отобракение «!.-»■ »I , L = i, ...,/г , при этом = >СЮ=(р>Сх±)/...,

' Еол^дяя ЧЧ*) = О t(4>) = t , то все решения системы Ч «= 0 можно искать в алгебре LLXx] .

В § 2 вычислены ранги некоторых бескоэффициентных уравнений в свободной алгебре Ли. Оказалось, что для уравнения

- = 0 ' ранг t/Cg-^-tx-l,rt> 1 , для уравнения f*i + *<,*,+ ... + =10 ранг 'vCin^-tu,

2 , в случае однородного уравнения второй степени = »t x-j = 0 с невырожденной кососе,метрической

матрицей У;;) , где с/ ,i>J, Jfij- =

= 7 W» Усг=0, i^i-.J^m, , ранг % ( кп)й. L^/Zl, здесь im/2.1 - целая часть числа т/2,

В § 3 изучаются связи мевду понятиями аппроксимируемости и О) - аппроксимируемости алгебры Ли свободными алгебрами Ли. Для фиксированного целого числа п & 1 алгебра Ли А И- -аппроксимируется свободными алгебрами Ли, если для любого набора ненулевых элементов &i , Д существует вдеал К4 Д,

такой, что А/К - свободная алгебра Ли, а* , ..., К ; Д О) - аппроксимируется свободными, если она rv -аппроксимируется для всякого п? 1 ; говорим, что Д аппроксимирует-

ся свободными, если она I - аппроксимируется. Обозначаем далее через 3) класс всех алгебр Ли, в которых центрачизатор каждого ненулевого элемента одномерен. Известно, что свободные алгебры Ли лежат в классе <0 . Цусть алгебра Ли А над произвольным полем Р аппроксимируется свободными алгебрами Ли, тогда дая А верны следующие утверждения. Если то А аппроксимируется свободными. Если А со - ап-

проксимируется свободными, то в А коммутирование ненулевых элементов является транзитивным отношением, обратное утверждение верно в случае бесконечного поля р . Если А О)- аппроксимируется свободными, то А но содержит подалгебр, изоморфных прямому произведению ЬС-**^!*!-.^! , обратное утверждение верно в случае бесконечного поля Р .

В § 4 построена несвободная алгебра Ли, которая СО - аппроксимируется свободными алгебрами Лп. В групповом случае известны примеры несвободных групп, которые СО - аппроксимируются свободными группами (см.[14 , 15]). В частности, НИИ - расширения вида < = , где'

гее Рп. не является степенью другого элемента, а также группы с квадратичным определяющим соотношением =

при гъ ? 4 -В случае алгебр Ли аналогичные примера балл неизвестны. Оказалось, что свободная конструкция типа МММ -расширения для алгебр Ли не дает со - аппроксимируемости, а именно, над конечным полем Р алгебра А (?) |_.[ХпЛ»'«ч*»! 13 = для ненулевого ие|_,[ХпЛ не &> - аппрок-

симируется свободными, а над бесконечным полем р алгебра А(З-) для даже не аппроксимируется свободными.

Однако над произвольным полем Р несвободная алгебра Ли А("?) = 4 **>•••» | ■} = О > , ассоциированная с уравнением =

+ х^ = о в свободной алгебре Ли, СО - аппроксимируется свободными алгебрами Ли, здесь определяющее соотношение ^ о 0 типа квадратичного. Точнее, алгебра А ( $ ) аппроксимируется свободной алгеброй Ли ЬС*'^-!] с двумя свободными порождающими с помощью гомоморфизмов Рх.н: АО-)-* -»ЬС1»^^ » соответствующих решениям уравнения $ = 0 в ^.С31»У^З из счетной серии , к?1 . Доказано также, что Д(^)е^) , то есть класс ^ шире класса всех свободных алгебр Ли. Таким образом, А (^ ) СО - аппроксимируется сво-

Йодными алгебрами Ли в соответствии с результатами § 3. Алгебра А С* ) является расширением свободной алгебры Ли'!_,[ йс] со счетным множеством свободных порождающих при помощи свободной аболевой алгебры Ли с четырьмя свободными порождающими, причем ЬСЯ.] = Ав'- коммутант А ), АШ/АС#= • Ллгебра Ли А к , ассоциированная с системой = .= ), Где •= (х«-».*^»-.*'.;.-!,*.,!. ), 1 =

■=1, К , аппроксимируется свободными алгебрами Ли при к? {.

В § 5 изучаются 3 - свободные алгебры Ли. Для линейной алгебры А ее 3 - теорией Тз А называется множество всех Э - предложений кольцевой сигнатуры ё = <-*-,•> , истинных на А . Э - теории линейных алгебр можно изучать с помощью конечных подмоделей. Если М- (А) - множество всех абстрактных конечных подмоделей, реализуемых в линейной ал-гебро А | то для линейных алгебр А1 , Аг. имеемТэА^Тз Аг тогда и только тогда, когда . Если алгебра Д^ '

аппроксимируется алгеброй Аг. , то Т3А1-ТзАг. . Известно , что .свободная алгебра Ли = Ь С X1 над полем р вкладывается в алгебру Ь[Хь] » следовательно, ТэЬIХп.] =ТэЬ 1фи Иъ £ и можно говорить о 3 - теории Тз Ь свободной неабелевой алгебры Ли. Называем алгебру Ли А свободной, если В.Н.Ремесленников указал примеры несвободных

3 - свободных групп в [15]. Для алгебр Ли аналогичные примеры были неизвестны. Оказалось, что указанная выше алгебра Ли АС£)=,Сх*>->хч|£ = 0) , ассоциированная с уравнением -= + =0 в свободной алгебре Ли, является несвободной 3 - свободной алгеброй Ли над произвольным полем р. Установлены также некоторые связи 3 - теории Тэ Р основного поля Р с 3 - теорией Тэ свободной алгебры Ли ЬГ над р со счетным множеством свободных порождающих, а пшшю, ос.та "ПэР-ТзФ для полей р , ф , то Тз ~ Тэ ; верны строгие включения Тз ?Т3 .

В § б изучаются 3 - теории метабелевых алгебр Ли и связь 3 - теории со свойством - аппроксимируемости мета-беловод алгебры Ли свободныг.ш метабелевими алгебрами Ли. Мета-болопн алгпбры Ли рассматриваются над ассоциативно-коммутативным кольца К характеристики нуль, здесь

обозначают свободные глетабелевы алгебры Ли со множествами свободных метабелевых порождающих X , Хп. соответственно. Метабелева алгебра Ли Ма~ Рп. А Аи, , п. ъ 1 _ полупрямое произведение А г- - свободной абелевой алгебры Ли над К со свободными порождающими , , а Рп. - свободного

модуля над кольцом многочленов КС*!,-,1^] со свободными порождающими , ..., г. п. с нулевым умножением. Известно [8], что Ьп, изоморфно вкладывается в Ми , оказалось, что над кольцом К характеристики нуль Мп. 03- аппроксимируется алгеброй Ьг. для п.-*!, , отсюда получается, чтоТз|_,~

п при п. с , и можно говорить о

3 - теории Тз Ь свободной мэтабелевой неабелевой алгебры Ли над К . Называем метабелеву алгебру Ли М 3 - свободной, метабелевой, если Тз М = Та Ь • Алгебры М л , к ъ £ образуют счетную возрастающую цепочку М^М^м^М,,,0... несвободных. 3 - свободных метабелевых алгебр Ли над К • Над полем 0 (кольцом ) удалось доказать следующий результат: для конечно-порожденной метабелевой алгебры Ли М 3 - теория ТзМ -Тз ■ тогда и ю ль ко тогда, когда М 03 - аппроксимируется свободными метабелевыми алгебрами Ли. Пусть свободная метабелева алгебра Ли над полем р со счетным множеством свободных метабелевых порождающих, тогда как и в случае абсолютно свободных алгебр Ли верны следующие утверждения: если ТэР = Т3Ф для полей Ё" , Ф , то Тз1/=ТэЬф :

Т3Ь^ТэЬй$Т3Ьс.

В § 7 вводится понятие парасвободной алгебры Ли и излагается доказательство результата о парасвободности свободного произведения парасвободных алгебр Ли. Алгебра Ли Р - пара-свободная, если она аппроксимируется свободными нильпотентными алгебрами Ли и содержит свободную подалгебру [_, - ЬЕХ! ^ Р > такую, что для всякого целого числа Р/Ргг,^[_/|_1м'>

при этом X - множество парасвободных порождающих Р . Если А , В - парасвободные алгебры Ли над произвольным полем со множествами парасвободных порождающих Х,У соответственно, то их свободное произведение А * 5 является парасвободной алгеброй Ли со множеством парасвободных порождающих X и У .

В § 8 построена счетная серия парасвободных несвободашх алгебр Ли Рк , К над произвольным полем, где Рк = <*1,<2.,

г | Ък=2х"хг. + х1.х>.-'г-=0 > , з«1 , ^^ - парасвободные порождающие Рк . Для доказательства падасвободности алгебры Рк строится вложение Рк в алгебру Ли [_, формаль-

ных степенных рядов от переменных ,*г. . Показано, что алгебра Рк является расширением свободной алгебры Ли

С & 1 Ркг со счетным множеством свободных поровдающих <3- = {>** хг/ | >0} при помощи свободной абелевой алгебры Ли Рк / Р,^ с двумя свободными порождающими , осг , причем для = Рк/Рк"^ Ьг/Ьг,' -свободная

метаболева алгебра Ли. Если 0 с ~ некоторая алгебра из указанной выше серии с парасвободными пороадающими , , , то 01*,.,* + ЬСУЗ - парасвободная несвободная алгебра Ли со множеством ларасвободных поровдающих

II У,

После получения изложенных выше результатов о парасво-бодных алгебрах Ли автору стало известно, что в [23] построен другой пример парасвободной несвободной алгебры Ли. Указанная в [23] парасвободная алгебра Ли является расширением свободной алгебры Ли со счетным множеством свободных поровдающих при помощи одномерной абелевой алгебры Ли; ее фактор - алгебра по второму коммутанту не является свободной метабелевой алгеброй Ли. Техника доказательств в [23] опирается на гомологические методы и существенно отличается от используемой нами техники, идущей от работ А.И.Ширшова.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, профессору В.Н.Ремеоленникову за постановку проблем, постоянное внимание и поддержку в работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. - М.: Наука,

1985.

2. Ширшов А.И. Подалгебры свободных алгебр Ли // • Матем.сб. - 1953. - Т.ЗЗ. - С.441-452.

3. Ширшов А.И. О свободных кольцах Ли // Матем.сб.

- 1958. - Т.45. - И 2. - C.II3-I22.

4. Ширшов А.И. Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли // Сиб.матем.я. - 1962. - Т.З. - Г» 2. - С.292-296.

5. Бокуть Л.А. Неразрешимость проблемы равенства и подалгебры конечно определенных алгебр Ли // Изв.АН СССР.

- 1972. - Т.36. - й 6. - C.II73-I2I9.

6. Бокуть Л.А. О базах свободных полинильпотентных алгебр Ли // Алгебра и логика. - 1963. - Т.2. - .'5 4.

- С.13-20.

7. Кукин Г.П. Примитивные элементы свободных алгебр Ли // Алгебра и логика. - 1970. - Т.9. - № 4. - С.458-472.

8. Шмелькин А.Л. Сплетения алгебр Ли и их применение в теории групп // Труды Моск.матем.общ-ва. - 1973. - Т.29.

- С.247-260.

9. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. - М.: Мир, 1980.

10. Мельников О.В., Вэмесленникоз В.Н., Ромапьков В.А., Скорняков Л.А., Шестаков И.П. Общая алгебра. - М.: Наука, Ï990.

11. Гркгорчук Р.И., Курчанов П.Ф. Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.

- Т.58. - М.: ВИНИТИ, 1990. - С.191-256.

12. Макания Г.С. Уравнения в свободной груше // Изв.АН СССР. - 1982. - Т.46. - Js 6. - C.II99-I273.

13. Разборов A.A. О системах уравнений в группе: Дис. ... кацц.физ.-мат.наук. - M., 1987.

14. Baumç.u\o- В. Re<udually fbee OrtooPs // рлос. London Млтн. Soc. - 196?. -V.3. N17. - P.402-41S .

15. Взмеслэшгакоз В.H. 3 - свободные груши // Спб.матем. л. - 1989. - Т.30. - Я 6. - C.I93-IS7.

16. Маканин Г.С. Разрешимость универсальной и позитивной теорий свободной группы // Изв.АН СССР. - 1984. - Т.48.

- й 4. - С.735-749.

17. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. -M.î Наука, 1979.

18. Лент С. Алгебра. - М.: Мир, 1968.

19. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1972.

20. Baumslag- G. G-roops with the same lower centèal'

SÉQUENCE AS A RELATIVELY FREE 6ROOP. I. THE (KWUPS //

Trans. A"£R. Matm. Sot. -1967.-V. 12. 9.-P. 308 - 1 .

21. Baumslag G-. Groups WITH THE skhe. U>WE.r central sequence AS À KELATÎVÊLY free e-eow P-Д . Properties // Trans. Amer. Math.Soc.- 1969. - V142. . - p. 507- 530 .

22. EWmslao G. Stammsach U. On the inverse limit of pe.ee mit-potent e-«oups // Comment. Math. He^vetic'i

- IQ??. - V. 52. - P. Zi9 -233.

23. Baur H., Stammbach V. A note on i^Rapree. Lie aloe Û ft AS // Common. în ALG. - 198 0. - V. 8 (10).- P- --960.

Работы автора по теме диссертации:

24. Шантаренко В.Г. 3 -теории и ы- аппроксимируемость метабелевых алгебр Ли и колец многочленов // Препринт 812, ВЦ СО АН СССР. - Новосибирск, 1988. - 16 с.

25. Шантаренко В.Г. О парасвободных алгебрах Ли // Международная конференция по алгебре. Тезисы докладов по теории колец, алгебр и модулей. - Новосибирск, 1989. - С.159.

26. Шантаренко В.Г. О парасвободных алгебрах Ли // Аннот.в Сиб.матем.ж. - 1990. - Т.31. - Л 2. - С.208 (Депон. в ВИНИТИ. - № 2391. - В.90. - 22 е.).

27. SwANTARENKO v. (j. Ом ТнЕ EQUATION + *«.*» «О

in a free Lie au&eara // меадународная конференция по алгебре. Тезисы докладов по теории колец, алгебр и модулей. - Барнаул, 1991. - С.176.

28. Шантаренко В.Г. Уравнения в свободной алгебре Ли и аппроксимируемость свободными алгебрами Ли // Препринт 6, ШГШ СО РАН. - Омск, 1992. - 24 с.

Ротапринт ОмИИТа. 3ax.fiи Тираж 100 пкз.