Инвариантные почти комплексные структуры на квазиторических многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

004603106

московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.772.1

КУСТАРЕВ Андрей Александрович

ИНВАРИАНТНЫЕ ПОЧТИ КОМПЛЕКСНЫЕ СТРУКТУРЫ НА КВАЗИТОРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ

Специальность 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учено: кандидата физико-математических наук

1 6 СЕН 2010

Москва 2010

004608106

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научные руководители: член-корреспондент РАН,

профессор Бухштабер Виктор Матвеевич,

доктор физико-математических наук, доцент Панов Тарас Евгеньевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Ландо Сергей Константинович

кандидат физико-математических наук Дужин Сергей Васильевич

Ведущая организация: Институт математики

им. С. Л. Соболева СО РАН

Защита диссертации состоится 1 октября 2010 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 1 сентября 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

А. О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Тема настоящей диссертации - инвариантные почти комплексные структуры на квазиторических многообразиях. Мы исследуем вопросы существования, единственности и эквивалентности таких структур, а также характеризацию этих структур в терминах комбинаторных данных квазиторического многообразия.

Квазиторические многообразия - один из основных объектов торической топологии, области математики, возникшей за последние 20 лет на стыке таких классических областей, как эквивариантная алгебраическая топология, симплектическая и алгебраическая геометрия и комбинаторика. Ключевой в создании торической топологии явилась статья Дэвиса и Янушкиевича 1. В этой работе был построен топологический аналог торического многообразия -центрального объекта, торической геометрии. Новые объекты вошли в литературу под именем «квазиторических многообразий». Оказалось, что квазиторические многообразия наследуют фундаментальные свойства теории проективных торических многообразий, такие как комбинаторное описание кольца когомологий, стратификация по орбитам действия тора.

В работе 2 был описан комбинаторный язык, позволивший описать все топологические свойства и характеристики квазиторических многообразий в терминах чисто комбинаторных данных - простого многогранника и целочисленной характеристической функции. Это сделало возможным конструктивное построение в терминах комбинаторных данных канонической инвариантной гладкой структуры и канонической стабильно комплексной структуры на квазиторическом многообразии.

Известная задача о том, когда стабильно комплексная структура на многообразии эквивалентна почти комплексной, была решена в работе 3. Критерий таков: условие (с„(М"2"), [М2"]) = х(М2п), необходимое для того, чтобы стабильно комплексная структура была почти комплексной, является также и достаточным.

Задачи существования стабильно комплексных и почти комплексных структур на многообразиях важны, поскольку напрямую связаны с задачей существованием комплексных и симплектических структур на многообразии. Рассматриваемая задача находится в ведении алгебраической топологии, в то время как вопросы об интегрируемости почти комплексной структуры или эквивалентности симплектической структуре относятся к дифференциальной геометрии и анализу. К примеру, до сих пор остается открытой проблема о существовании комплексной структуры на шестимерной сфере. Известно лишь, что для ортогональной комплексной структуры ответ отрицательный 4.

Для существования симплектических структур на открытых многообразиях, согласно ft-принципу Громова, достаточно существования почти комплексной структуры. 5 На компактных многообразиях задача становится гораздо сложнее. Для компактных многообразий размерности 2п > 4 пока не известно ни одного препятствия к существованию симплектических структур, кроме топологических.

'Michael W. Davis and Tadeusz Januszkiewicz. Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions. Duke Math. J., 62 (1991), no. 2, 417-451.

2 Victor M. Buchstaber, Taras E. Panov and Nigel Ray. Spaces of polytopes and cobordism of quasitoric manifolds. Moscow Math. J. 7 (2007), nu. 2, 219-242.

'Emery Thomas. Complex structures on real vector bundles. Amer. J. Math. 89 (1967), 887-908

4 Claude LeBnin. Orthogonal complex structures on S6 Proc. of the American Mathematical Society, Vol. 101 (1987), nu. 1

5M. Л. Громов. Стабильные отображения слоений в многообразия. Изв. АН СССР. Сер. матем.

1969. Т.ЗЗ. С. 707-734.

В размерности 4 имеется теорема Таубса 6, использующая технику инвариантов Зайберга-Виттена. Согласно ей, связная сумма двух четырехмерных компактных многообразий с b£ > О не имеет нетривиальных инвариантов Зайберга-Виттена и тем самым не может обладать симплектической структурой.

Одним из наиболее известных результатов, касающихся инвариантных симплектических структур является теорема Дельзана 7, согласно которой любое симплектическое многообразие с гамильтоновым действием тора половинной размерности является торическим. Имеется ряд результатов о симплектических действиях окружности на многообразиях 8 9 10.

Цель работы. Исследование вопросов существования, единственности и эквивалентности инвариантных почти комплексных структур на квазиторических многообразиях, а также зависимости этих структур от комбинаторных данных квазиторического многообразия.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.

Основные результаты диссертации:

1. Получен критерий эквивалентности канонической стабильно комплексной структуры на квазиторическом многообразии М2п некоторой Т"-инвариантной почти комплексной структуре. Тем самым, дан ответ на вопрос, поставленный в классической работе Дэвиса и Янушкиевича 11 о комбинаторном критерии существования инвариантной почти комплексной структуры. Результат является следствием двух основных теорем работы. Первая теорема - существование инвариантной почти комплексной структуры на квазиторическом многообразии с положительной полиориентацией. Вторая теорема — эквивалентность двух инвариантных стабильно комплексных структур с данной полиориентацией.

2. Получена оценка на число инвариантных почти комплексных структур на квазиторическом многообразии М2п. Это число не превосходит 2". Структуры считаются эквивалентными, если соответствующие им отображения М2п BU(n) гомотопны. С помощью комплексной К-теории устанавливается, что число структур не превосходит число положительных полиориентаций. Число положительных полиориентаций, в свою очередь, является инвариантом многогранника Р (пространства орбит действия) и может быть оценено с помощью комбинаторных методов.

3. Получены структурные теоремы, описывающие множества классов инвариантных почти комплексных структур с точностью до эквивариантной и неэквивариантной эквивалентности соответственно. Показано, что для существования эквивариантной гомотопии между двумя структурами

еС. Н. Taubes. The Seiberg-Witten invariants, symplectic forms. Math. Res. Lett. 1994. V. 1. P. 809-822

7D. Delzant. Hamiltoniens périodiques et images convexes de l'application moment. Bull. Soc. math, France, 116 (1988), 315-339

8A. Hattori. S1-actions on unitary manifolds and quasi-ample line bundles. J. Fac. Sei. Univ. Tokyo 31 (1985), 433-486

9D. McDuff. The moment map for circle actions on symplectic manifolds, Journal of geometry and physics 5 (1988), 149-160

10K.E.Feldman. Hirzebruch genera of manifolds equipped with a Hamiltonian circle action. arXiv:math/0110028v2

11 Michael W. Davis and Tadeusz Januszkiewicz. Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions. Duke Math. J., 62 (1991), no. 2, 417-451.

достаточно совпадения этих структур на прообразе двумерного остова многогранника.

Методы исследования. В работе используются методы классической алгебраической топологии и теории препятствий, адаптированные к зквивариантной ситуации торических действий. Важную роль играют методы торической топологии, развитые в работе Бухштабера, Панова и Рэя 12. Конструкции, используемые в диссертации, опираются на методы симплектической и алгебраической геометрии, геометрии выпуклых многогранников и комбинаторики.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут найти применение в комбинаторике, алгебраической и торической топологии, комплексной дифференциальной геометрии.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались:

• Неоднократно (2008-2010 гг.) на семинаре им. M. M Постникова «Алгебраическая топология» кафедры высшей геометрии и топологии МГУ; руководители чл.-корр. РАН, проф. В. М. Бухщтабер и проф., д.ф.-м.н.

A. В. Чернавский.

• На научно-исследовательском семинаре «Топологические инварианты особенностей» кафедры высшей геометрии и топологии МГУ; руководитель проф., д.ф.-м.н. С. М. Гусейн-Заде, в марте 2010 года.

• На научном семинаре «Характеристические классы в теории пересечений», НМУ, МЦНМО, руководители - д.ф.-м.н. С. К. Ландо и д.ф.-м.н. М.Э.Казарян.

• На международной научной конференции «Топология и динамика: мемориал

B.А.Рохлина», Институт Леонарда Эйлера, г. Санкт-Петербург, в январе 2010 года.

• На международной научной конференции «Геометрия, топология, алгебра и теория чисел, приложения», МИРАН им. В.А. Стеклова, г. Москва, в августе 2010 года.

• На международной научной конференции «Toric Topology In Manchester», Манчестер, Великобритания, в ноябре 2009 года.

• На международном математическом конгрессе ICM2010, HICC, Хайдарабад, Индия, в августе 2010 года.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведён в конце автореферата [1-3].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Текст диссертации изложен на 75 страницах. Список литературы содержит 28 наименований.

12Victor M. Buchstaber, Taras E. Panov and Nigel Ray. Spaces of polytopes and cobordism of quasitoric manifolds. Moscow Math. J. 7 (2007), no. 2, 219-242.

Содержание работы

Во введении описана история рассматриваемой проблемы, приведён список основных результатов, изложено содержание диссертационной работы и дан список основных обозначений.

Глава 2 содержит основные понятия и факты о торических многообразиях. Торические многообразия как класс алгебраических многообразий впервые возникли в алгебраической геометрии в начале 1970-х годов в связи с задачами эквивариантной компактификации действий алгебраического тора. Геометрия торических многообразий, или "торическая геометрия", очень быстро превратилась в один из самых привлекательных разделов алгебраической геометрии и нашла приложения во многих других областях исследований, которые до этого казались весьма далекими друг от друга. Классическая конструкция торических многообразий приводится в разделе 2.2.1. Отдельно обсуждаются проективные торические многообразия (раздел 2.2.2), происходящие из простых многогранников.

Наряду с классической конструкцией торических многообразий, описанной в разделе 2.2, имеется другая конструкция (Батырева-Кокса), описывающая торические многообразия как факторпространства некоторых открытых подмножеств в С™ по действию подгрупп алгебраического тора. Версии этой конструкции появлялись в работах различных авторов с начала 1990-х годов. Конструкции Батырева-Кокса посвящен раздел 2.3.

В разделе 2.4 мы излагаем подход к определению гладких торических многообразий на основе метода симплектической редукции (раздел 2.4.1). Этот метод позволяет получать гладкое проективное торическое многообразие Ур как фактор некоторого компактного подмногообразия Хр С и (Ер) по свободному действию компактной группы К, изоморфной компактному тору размерности тп — п. Таким образом, в гладком проективном случае вместо факторизации некомпактного множества и(£) по некомпактной группе (? можно рассматривать факторизацию компактного многообразия по компактной группе. Исторически именно метод симплектической редукции послужил мотивацией для введения конструкции из раздела 2.3.

В разделе 2.4.2 более подробно рассматривается структура многообразия уровня для отображения моментов, соответствующего действию группы К на множестве и(Ер) . в случае, когда Ер - полный неособый веер, определяемый простым многогранником Р. Это многообразие уровня, называемое момент-угол многообразием, используется в конструкции торических многообразий методом симплектической редукции (раздел 2.4.3). Данная конструкция является известной, однако само момент-угол многообразие до сих пор изучалось довольно мало. Как было отмечено во введении, момент-угол многообразия сами по себе представляют большой интерес, ввиду их обширных взаимосвязей с различными конструкциями из комбинаторной геометрии и гомологической алгебры.

В разделе 2.5 более подробно изучается действие компактного тора Т, содержащегося в алгебраическом торе Тс; полученные результаты будут играть мотивирующую роль для конструкций из следующей главы.

В главе 3 мы осуществляем переход от алгебраических построений торической геометрии к топологической теории действий тора на многообразиях. Основным объектом изучения становится класс компактных 2п-мерных многообразий с действием п-мерного тора Т, обладающих свойствами, моделирующими действие компактного тора на неособых торических многообразиях.

В работе 13 Дэвис и Янушкиевич использовали топологические свойства действия тора на торическом многообразии для определения нового класса многообразий с действием тора. Эти многообразия, впоследствии названные квазиторическими, можно рассматривать как «топологические аналоги» неособых компактных торических многообразий. Определение и конструкции из работы Дэвиса и Янушкиевича приведены в разделе 3.1.

В разделе 3.2 завершается комбинаторное описание квазиторических многообразий М. Характеристические пары (Р, А) заменяются на более естественно задаваемые комбинаторные квазиторические пары (Р, Л), состоящие из ориентированного простого многогранника и целочисленной матрицы специального вида. По сравнению с характеристической парой, пара (Р, Л) несет некоторую дополнительную информацию, которая эквивалентна выбору полиориентации -ориентации для многообразия М и всех его характеристических подмногообразий. Получаемое взаимно однозначное соответствие между комбинаторными квазиторическими парами и классами эквивалентных полиориентированных квазиторических многообразий уточняет результат Дэвиса и Янушкиевича о соответствии квазиторических многообразий и характеристических пар.

В разделе 3.3 приводится явная геометрическая конструкция канонической модели М(Р,А) квазитсрического многообразия как фактор-пространства момент-угол многообразия Zp по свободному действию тора. Эта конструкция может рассматриваться как обобщение конструкции проективных торических многообразий методом симплектической редукции. Ее достоинством по сравнению с изначальной конструкцией Дэвиса-Янушкиевича является геометричность; благодаря этому мы построим явные канонические инвариантные гладкие структуры на квазиторических многообразиях, а далее опишем инвариантные стабильно комплексные структуры.

В разделе 3.4 приводится несколько эквивалентных определений знака неподвижной точки квазиторического многообразия. Определения и конструкции разделов 3.3 и 3.4 необходимы для работы с квазиторическими многообразиями на нужном уровне - в частности, для корректной формулировки критерия существования инвариантной почти комплексной структуры.

Глава 4 является ядром диссертации: в ней приведены формулировки и доказательства собственно результатов работы.

Основной результат диссертации таков:

Теорема. Каноническая стабильно комплексная структура на квазиторическом многообразии эквивалентна некоторой инвариантной почти комплексной, если и только если соответствующая ей полиориентация положительна.

Это утверждение, в свою очередь, является следствием теорем 4.1 и 4.2, формулировки которых приведены ниже.

Теорема 4.1 (существование). Квазиторическое многообразие М допускает Г1-инвариантную почти комплексную структуру тогда и только тогда, когда оно обладает положительной полиориентацией.

Утверждение теоремы было ранее получено Н. Э. Добринской для случая п < 8

"Michael W. Davis and Tadeusz Januszkiewicz. Convex polytopes, Coxeter orbifolds aod torus actions. Duke Math. J., 62 (1991), по. 2, 417-451.

иным методом. Существенные результаты были также получены в работе и.

Теорема 4.1 является решением проблемы, поставленной в упоминавшейся выше работе Дэвиса и Янушкиевича: найти комбинаторный критерий существования инвариантной почти комплексной структуры на квазиторическом многообразии (Prob. 7.6, р. 450).

Схема доказательства теоремы 4.1 следующая. Мы фиксируем на М инвариантную риманову метрику и строим согласованную с этой метрикой Тп-инвариантную почти комплексную структуру J по индукции. Через ski(P) будем обозначать объединение всех граней размерности г многогранника Р. Предполагая, что J построена на 7r_1(sfc,_i(P)) - прообразе (г — 1)-мерного остова многогранника Р, мы продолжаем J на ir~1(ski(P)). Препятствием к продложению J оказывается клеточная коцепь аj е С'(Р, 7ri_1(50(2i)/f/(i))). После этого доказываются стандартные для теории препятствий утверждения, что а) - коцикл, и что если Cj = öß, то J может быть изменена на прообразе внутренностей (г — 1)-мерных клеток Р и продолжена на Tr~1(ski(P)).

Приведем последовательность лемм, образующих полное доказательство теоремы 4.1.

Лемма 4.12 Если Mq С М - квазиторическое подмногообразие, то и

fj-Ц* при j ф к.

Лемма 4.13 Пусть J - структура на 7r_1(s&o(P))> построенная по некоторой полиориентации о. Структура J продолжается на ir~1[aki{P)), тогда и только тогда, когда полиориентация о положительна.

Лемма 4.13 - единственное место в доказательстве, где используется положительность полиориентации. Оказывается, если инвариантная почти комплексная структура построена на прообразе 1-остова многогранника Р, то ее можно продолжить и на прообраз всего многогранника, но доказать это уже труднее.

Предположим, что структура J задана на 7r-1(sfcj_i(P)) и попытаемся продолжить ее на прообраз ¿-мерного остова Р.

Пусть i : Р М - непрерывное вложение многогранника Р в М,

удовлетворяющее условию: 7г о i = id. Вложение i строится как композиция Р —> Р х Г" -4 М, где последняя стрелка - отображение факторизации.

Если V - вещественное евклидово пространство четной размерности с фиксированной ориентацией, то через J(V) будем обозначать пространство всех комплексных структур на V, согласованных с метрикой и ориентацией V. Для наших приложений будет важен случай V — т{Мс)\Х1 где G С Р - некоторая грань, а х € ¿(С). Отметим, что после выбора базиса в V пространство J(V) естественно отождествляется с SO(2i)/U(i), где г = dimG. В частности, J(V) всегда односвязно.

Пусть G С Р - некоторая ¿-мерная грань, Mq — n~l(G) - соответствующее квазиторическое подмногообразие.

Лемма 4.14 Пространство структур J на 7Г~1(IntG), согласованных с полиориентацией о, гомеоморфно пространству непрерывных отображений Map(IntG, J(r(MG)U), где х 6 i{IntG) - произвольная точка.

"MIkiya Masuda. Unitary toric manifolds, multi-fans and equivariant index. Tohoku Math. J. 51 (1999), no. 2, 237-265

Фиксируем произвольную точку х 6 1(6) и тривиализацию расслоения т(Ма) над ¿((У). Поскольку структура J уже задана на ¿(96') С тг_1(5^_1(Р)), она определяет некоторое непрерывное отображение / : 9(3 —> 1(т(Л^д)|1). Гомотопический класс сфероида / мы обозначим через Со-

Лемма 4.15 Структура J, согласованная с о, продолжается с 7г~1(з/с;_1(Р)) на 7г~х(з^_1(.Р)) и М<з, если и только если Са — 0 в группе ^¡_1(1(г(МСг)|;с)), где х 6 ¿(б) - некоторая фиксированная точка.

Чтобы корректно определить препятствующую коцепь ст} е С,(Я,^_1(50(2г)/С/(г))), нужно доказать три технические леммы.

Лемма 4.16 Пусть йт(? = г, з < 2г - 2, х £ (.(С), у € ¿(Р). Тогда гомотопические группы. ^(3(т(Мо)\х)) и канонически изоморфны.

Лемма 4.17 Отображение

с. : тгу(50(2г)/г/(г)) я>-(50(2г + 2)/1/(г + 1)) является изоморфизмом при з ^ 2г — 2.

Рассмотрим произвольное вложение двух граней Н С Ь, размерности которых различаются на единицу и обе не меньше г. Пусть х 6 ¿(//). Тогда имеется вложение пространств комплексных структур

с(Н,Ь) : 1(т(Мн)\х) 1(г(Мх,)и),

определенное формулой ,7 —)■ У © где ^/2 - поворот на угол 7г/2 в двумерном ортогональном дополнении т(Мц)С т(М£,)|х. Направление поворота продиктовано коориентацией т{Мн)\х в т(Мь)\1.

Если мы фиксируем вещественные базисы в т{Мя)\х и т(Мь)\х так, чтобы один из них являлся частью другого, то с(Н, V) превратится в каноническое вложение однородных пространств с : 50(2г)/Е/(г) —^ БО{2г + 2)/II(г + 1), где г = <111111?.

Рассмотрим теперь произвольную цепочку вложений С? = бо С ... С Сп-{ = Р, в которой размерности любых двух соседних граней различаются на единицу. Определим изоформизм с,(<3, Р) : 7г,(${т(Мв)\х)) —">'ШТ(-Л01х)) °° формуле С„((7,Р) = С„_<) о ... О с.((?о, <?!).

Лемма 4.18 Изоморфизм с» (С, Р) не зависит от выбора цепочки (? = С?о С ... С <?„_,- = Р.

Все сказанное можно суммировать в следующем утверждении.

Лемма 4.19 Пусть структура 3 задана на (5/^-1 (Р)) и согласована с о. Тогда определена препятствующая коцепь а%3 € С'(Р, тг;_!(50(2г)/{7(г)) - функция на г-мерных гранях Р, равная нулю, если и только если ] продолжается на 7г-1(зА;,(Р)) как согласованная с о структура.

Коцепь Оу в общем случае совершенно не обязана быть нулевой, но мы покажем, что структуру 3 можно соответствующим образом изменить так, чтобы препятствия к ее продолжению исчезли.

Лемма 4.20 Предположим, что структура 3 согласована сои определена на <2 - некоторая (г 4- 1)-мерная грань Р. Тогда

£ = о.

<?с ад

Лемма 4.21 Если структура 3 согласована с о, определена на 7Г_1(5А;4_1(Р)) и препятствующая коцепь а), является кограницей, то можно так изменить 3 на ^'(з^-ДР)), не меняя на 7Г~1(зк;-2(Р)), что для новой структуры 3' будем иметь а]), =0.

Теперь мы можем привести полное доказательство теоремы 4.1. Лемма 4.13 и положительность полиориентации о гарантируют, что продолжение 3 с 7г-1(8&о(Р)) на 7г~1(зк1(Р)) возможно. В силу лемм 4.19 и 4.20, при г > 1 препятствием к продолжению 3 с тг~1(вк^1(Р)) на 7г~1(зк{(Р)) является коцепь а} е С'(Р, 7Г{_1(5С(2г)/С/(г))), причем да} — 0. Так как многогранник Р ацикличен как клеточный комплекс, оу является кограницей, и, в силу леммы 4.21, существует Г"-инвариантная почти комплексная структура 3' на 7Г-1 (з/с;(Р)).

Приведем теперь формулировку второй основной теоремы - о стабильной эквивариантной эквивалентности структур.

Теорема 4.2 (стабильная эквивалентность). Пусть 30 и Зу - две Тп-инвариантные комплексные структуры на расслоении т(М) ® К2', I > 0, индуцирующие одну полиориентацию на М. Тогда За и 3\ эквивариантно гомотопны. Иными словами, существует непрерывное по t семейство 3{1) инвариантных комплексных структур на т(М) © К21 такое, что 3(0) = Зо и 3(1) = 3,.

Прокомментируем условие теоремы 4.2. Любая ^-инвариантная комплексная структура 3 на расслоении т(М) © К21 обязательно индуцирует ориентацию на М, так как действие Тп на слагаемом К21 тривиально и подрасслоение т(М) С т(М) ф К21 ./-инвариантно. Кроме того, 3 индуцирует также и ориентацию любого характеристического подмногообразия 7Г~1(Р,) с М, так как 7г-1(Ру) инвариантно относительно действия Г", и следовательно, касательное расслоение г(7г-1(Р,)) С т(М)|тг-»(^) также ./-инвариантно. Следовательно, М является полиориептированвым квазиторическим многообразием.

Доказательство теоремы 4.2 состоит в построении эквивариантной гомотопии между Зо и 3\ индукцией по остовам. Аналогично стандартной теории препятствий, мы показываем, что продолжение гомотопии с 7Г-1 (в^-^Р)) на тг^1 (вк,(Р)) равносильно обращению в ноль некоторой различающей коцепи (¿' (,З1) £ С'(Р, 7Г;(50(2г)///(г))). Как будет ясно ниже, условие I > 0 в формулировке теоремы нельзя отбросить. Детали доказательства в многом аналогичны теореме 4.1, поэтому здесь мы их не приводим.

Из доказательств теорем 4.1 и 4.2 следует ряд утверждений о структуре множества '/^-инвариантных почти комплексных структур на данном квазиторическом многообразии.

Следствие 4.4 Пусть Зо и 3\ - две Т1-инвариантные почти комплексные структуры на квазиторическом многообразии М, согласованные с одной

полиориентацией о. Тогда /о и Л гомотопны в классе неинвариантных почти комплексных структур на М.

Следствие 4.5 Пусть и - две Т™-инвариантные почти комплексные структуры на квазиторическом многообразии М, согласованные с одной полиориентацией о и совпадающие на л~1(Бкз(Рп)). Тогда ^ и ^ гомотопны в классе инвариантных почти комплексных структур на М.

Следствие 4.6 Множество структур на М2п, рассматриваемых с точностью до эквивариантной гомотопии и согласованных с данной положительной полиориентацией, может быть неканонически отождествлено с Здесь /1 (Р) - число ребер, /о (Р) - число вершин многогранника Р.

Следствие 4.7 На любом квазиторическом многообразии М2п, п > 1 с положительной полиориентацией существует бесконечное количество эквивариантно негомотопных друг другу Т"-инвариантных почти комплексных структур.

В частности, уже на многообразии СР2 имеется бесконечное количество Т2-инвариантных почти комплексных структур, между которыми не существует эквивариантной гомотопии.

Раздел 4.5 посвящен исследованию некоторых комбинаторных аспектов, таких, как существование в каждой четной размерности квазиторического многообразия, не допускающего никакой положительной полиориентации (предложение 4.30). Кроме того, мы вводим новый комбинаторный инвариант г{Р) многогранника Р, устанавливаем его простейшие свойства и связь с неэквивариантными классами эквивалентности почти комплексных структур.

В предложении 4.33 мы устанавливаем оценку г(Р) ^ п — 1, откуда следует такой результат.

Теорема 4.8 Число инвариантных почти комплексных структур на квазиторическом многообразии М2п не превосходит 2".

В формулировке последней теоремы структуры рассматриваются с точностью до неэквивариантной эквивалентности, т.е. лишь с точностью до гомотопии соответствующих классифицирующих отображений М2п -4- В11{п).

В разделе 4.6 приводится краткий обзор задачи Хирцебруха о допустимых значениях чисел Черна для различных классов многообразий - комплексных алгебраических, связных почти комплексных, квазиторических многообразий. Теорема 4.1 позволяет полностью описать характеристические числа почти комплексных квазиторических многообразий в размерности 4 (предложение 4.40).

Благодарности.

Автор благодарит своих научных руководителей, члена-корреспондента РАН, профессора Виктора Матвеевича Бухштабера и доктора физико-математических наук, доцента Панова Тараса Евгеньевича, за постановку задачи, внимание и интерес к работе. Автор также благодарит всех сотрудников кафедры высшей геометрии и топологии за творческую атмосферу, которая способствовала научной работе.

Работы автора по теме диссертации

[1] А. А. Кустарев. Циклы особенностей и характеристические классы в кобордизмах. УМН, 2007, 62:5, 157-158.

[2] А. А. Кустарев. Эквивариантные почти комплексные структуры на квазиторических многообразиях. УМН, 2009, 64:1(385), 153-154.

[3] А. А. Кустарев. Эквивариантные почти комплексные структуры на квазиторических многообразиях Тр. МИАН, 2009, 266, 140-148.

Подписано в печать 3/ О<?, (О Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. /,0 Тираж (ОС экз. Заказ 32.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова

1 Введение

2 Торические многообразия

2.1 Вееры.

2.2 Классическая конструкция торических многообразий

2.2.1 Аффинные торические многообразия.

2.2.2 Проективные торические многообразия.

2.3 Торические многообразия как факторпространства: конструкция Батырева-Кокса.

2.4 Гамильтоновы действия тора и симплектическая редукция

2.4.1 Метод симплектической редукции.

2.4.2 Момент-угол многообразия.

2.4.3 Торические многообразия и симплектическая редукция.

2.5 Пространство орбит действия компактного тора

3 Квазиторические многообразия

3.1 Определение и конструкция квазиторических многообразий Дэвиса-Янушкиевича.

3.2 Полиориентации и комбинаторные квазиторические данные

3.3 Канонические гладкости и стабильно комплексные структуры

3.4 Веса и знаки неподвижных точек действия тора

4 Инвариантные почти комплексные структуры на квазиторических многообразиях

4.1 Формулировки и определения.

4.2 Примеры и замечания.

4.3 Доказательство теоремы (4.1).

4.3.1 Обозначения.

4.3.2 Условие положительности и переход к 1-остову

4.3.3 Тривиальность высших препятствий.

4.3.4 Окончание доказательства.

4.4 Доказательство теоремы (4.2) и следствий.

4.4.1 Согласованность с инвариантной метрикой

4.4.2 Построение и свойства различающей коцепи.

4.4.3 Доказательства следствий и примеры.

4.5 Связь с комбинаторикой многогранника. Инвариант г(Р)

4.6 Характеристические числа.

Обзор результатов в неэквивариантном случае . . Полиориентированные квазиторические многообразия

Тема настоящей диссертации - инвариантные почти комплексные структуры на квазиторических многообразиях. Мы исследуем вопросы существования, единственности и эквивалентности таких структур, а также зависимости от комбинаторных данных.

Квазиторические многообразия - один из основных объектов торической топологии, области математики, возникшей за последние 20 лет на стыке таких классических областей, как эквивариантная алгебраическая топология, симплектическая и алгебраическая топология и геометрия и комбинаторика. Основополагающей работой в области явилась статья Дэвиса и Янушкиевича ([9]). В этой работе была решена такая важная задача, как построение чисто топологического аналога ставшего классическим объекта алгебраической геометрии - торических многообразий. Новые объекты стали известны в литературе под именем "квазиторических многообразий". Оказалось, что эти объекты наследуют многие известные свойства проективных торических многообразий, такие, как комбинаторное описание1 кольца когомологий, стратификация по орбитам действия тора. В работе [9] были также приведены наброски доказательства существования гладкости и комплексной структуры на стабилизированном касательном расслоении.

В работе [6] был описан комбинаторный язык, позволивший описать все топологические свойства и характеристики квазиторических многообразий в терминах чисто комбинаторных данных - простого многогранника и целочисленной характеристической функции. Это сделало возможным конструктивное построение канонической инвариантной гладкой структуры и канонической стабильно комплексной структуры на квазиторическом многообразии в терминах комбинаторных данных.

Кроме того, благодаря комбинаторному языку появилась возможность строить автоматически в неограниченном количестве многообразия с теми или иными заранее известными топологическими свойствами. Комбинаторный язык сделал возможным создание "машины" для производства квазиторических многообразий.

Говоря более детально, квазиторические многообразия это многообразия с действием тора половинной размерности с пространством орбит действия, эквивалентным простому многограннику. Как уже было сказано, одним из их основных свойств является наличие канонической инвариантной стабильно комплексной структуры. Вопрос о том, эквивалентна ли стабильно комплексная структура на данном многообразии некоторой почти комплексной, был успешно решен в работе [24]. В работе [9] была поставлена аналогичная проблема торической топологии: предъявить комбинаторный критерий для существования инвариантных почти комплексных структур на данном квазиторическом многообразии.

Одним из результатов, полученных в данной диссертации, является решение этой проблемы.

Результаты диссертации опубликованы в работах [14] и [15]. Главы 1 и 2 посвящены классической теории торических многообразий и квазиторическим многообразиям. В главе 1 мы рассматриваем классические и современные конструкции торических многообразий, включая конструкцию Кокса и симплектическую редукцию для проективных торических многообразий. В главе 2 приводятся конструкции квазиторических многообразий, канонической гладкости и канонических стабильно комплексных структур, а также несколько определений знака неподвижной точки, играющих роль комбинаторного языка для формулировки критерия существования и единственности.

В главе 3 приводятся формулировки и доказательства результатов и утверждений, касающихся инвариантных структур. Основной результат диссертации таков:

Теорема. Каноническая стабильно комплексная структура на квазиторическом многообразии эквивалентна некоторой инвариантной почти комплексной, если и только если соответствующая ей полиориентация положительна.

Это утверждение, в свою очередь, является следствием двух следующих теорем.

Теорема 4.1 (существование). Квазиторическое многообразие М допускает Тп-инвариантную почти комплексную структуру тогда и только тогда, когда оно обладает положительной полиориентацией.

Положительная полиориентация многообразия определяется в терминах знаков неподвижных точек, введенных в п. 3.4. Утверждение теоремы было ранее получено Н. Э. Добринской для случая п ^ 7 иным методом. Существенные результаты были также получены в работе [17].

Теорема 4.2 (стабильная эквивалентность). Пусть «/о и Jl ~ две

Тп-инвариантные комплексные структуры на расслоении т(М) © К21, I > 0, индуцирующие одну полиориентацию на М. Тогда «70 и Л эквивариантно гомотопны. Иными словами, существует непрерывное по £ семейство J(t) инвариантных комплексных структур на т(М)фМ2' такое, что ,/(0) = ./о и J(l) = J\.

Из двух основных теорем и их доказательств можно получить ряд следствий об эквивалентностях инвариантных структур, которые приведены в п. 4.4.3.

В разделе 4.5 рассматриваются комбинаторные вопросы, возникающие в связи с исследованием множества инвариантных почти комплексных структур. Для каждой размерности строится пример квазиторического многообразия, не допускающего никакой инвариантной почти комплексной структуры (следствие 4.30). Мы определяем комбинаторный инвариант многогранника г{Р), отвечающий за число положительных полиориентаций, и с помощью оценки на г(Р), полученной в предложении 4.33, доказываем следующий результат.

Теорема 4.8. Число инвариантных почти комплексных структур на квазиторическом многообразии М2п не превосходит 2п.

В разделе 4.6 содержится краткий обзор проблемы Хирцебруха о допустимых значениях чисел Черна различных классов многообразий. Приводятся результаты для квазиторических многообразий с инвариантной почти комплексной структурой.

Я благодарен моему научному руководителю Виктору Матвеевичу Бухштаберу за постановку задачи, постоянное внимание и поддержку, интересные и продуктивные обсуждения и интерес к моей научной работе. Хотел бы выразить благодарность Т. Е. Панову, также проявившему очень большое внимание и оказавшему поддержку в работе, Н. Рэю, Л. А. Алании, М. Э. Казаряну, С. В. Дужину, И. А. Дынникову, С. К. Ландо, Ю. М. Бурману, О. В. Мусину за неоценимое научное обсуждение. Я благодарен всем людям, научившим и привившим мне интерес к математике, в особенности И. В. Ященко, Р. К. Гордину, А. Ю. Митягину, А. Б. Скопенкову, А. В. Иншакову, С. В. Маркелову, Р. М. Федорову.

Большое спасибо Е. Горскому, Г. Мерзону, Г. Гусеву, М. Берштейиу, А. Мазур, Д. Гугнину, А. Гайфуллину, Н. Ероховцу, В. Горину, Е.

Гречникову, Ю. Устиновскому, М. Горскому, беседы с которыми много для меня проясняли.

В заключение я хотел бы поблагодарить своих родителей, родных, близких и знакомых за их терпение и понимание, проявленное в процессе работы над диссертацией.