Примарные разложения узлов в утолщенных поверхностях и виртуальные узлы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

005007541

Кораблей Филипп Глебович

ПРИМАРНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ УЗЛОВ В УТОЛЩЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ И ВИРТУАЛЬНЫЕ УЗЛЫ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 ННВ 2012

Екатеринбург — 2012

005007541

Работа выполнена на кафедре компьютерной топологии и алгебры Челябинского государственного университета.

Научный руководитель: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор С. В. Матвеев

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, А. Ю. Веснин

кандидат физико-математических наук, М. А. Овчинников

Ведущая организация: Московский государственный

университет имени М. В. Ломоносова

Защита состоится 31 января 2012 г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 004.006.03. в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан декабря 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

И. Н. Белоусов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ1

Актуальность темы

Утолщенные поверхности, то есть прямые произведения замкнутых ориентируемых поверхностей на отрезок, являются самыми простыми многообразиями после трехмерной сферы S3. Изучение узлов в таких многообразиях является естественным шагом в дальнейшем развитии теории классических узлов в S3.

Одним из распространенных способов исследования объектов комбинаторной топологии является разбиение их на максимально простые части, и исследование каждой из частей по отдельности. Хорошо известна теорема Кнезера-Милпора (см. [6]), которая утверждает, что любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие M может быть представлено в виде

M = Mi#... #Mn#k(S2 х S1),

где каждое из многообразий М\,..., Мп неприводимо. Более того, такое представление единственно, то есть определяется исходным многообразием М. В силу этой теоремы в большинстве случаев рассматриваются только неприводимые многообразия.

Аналогом теоремы Кнезера-Милпора для классических узлов в 53 является теорема X. Шуберта (см. [8]), которая состоит в том, что любой нетривиальный узел раскладывается в связную сумму конечного числа примарных узлов, и слагаемые такого разложения определены однозначно, то есть зависят только от исходного узла. Одной из целей настоящей диссертации является доказательство аналога теоремы X. Шуберта для узлов в утолщенных поверхностях.

Отметим, что в общем случае обобщение теоремы X. Шуберта на случай узлов в утолщенных поверхностях неверно. Один из контрпримеров приведен в работе C.B. Матвеева [10]. В ней же было доказано, что любой гомологически тривиальный узел в утолщенной поверхности (то есть узел, определяющий нулевой элемент первой группы гомологий с коэффициентами в Z2) раскладывается на примарные слагаемые единственным образом. Для такого разложения используется операция кольцевой связной суммы, которая является прямым обобщением операции связного суммирования классических узлов на случай узлов в утолщенных поверхностях.

хРабота выполнена при поддержке гранта РФФИ (№11-01-00605).

Хорошо известна связь между узлами в утолщенных поверхностях и виртуальными узлами, введенными Л. Кауффманом в 1999 году в работе [3] (также см. [10]). Определим на множестве узлов в утолщенных поверхностях отношение эквивалентности следующим образом: два узла стабильно эквивалентны, если от одного к другому можно перейти с помощью последовательности преобразований дестабилизации (уменьшений рода поверхности без изменения узла) и обратных преобразований стабилизации. Тогда множество виртуальных узлов совпадает со множеством классов стабильно эквивалентных узлов в утолщенных поверхностях (см. [1, 3, 5, 9, 10]). В частности, каждый виртуальный узел реализуется бесконечным числом различных узлов в утолщенных поверхностях, при этом операция связного суммирования виртуальных узлов индуцируется операцией кольцевой связной суммы их представителей.

Будем говорить, что узел в утолщенной поверхности, являющийся представителем виртуального узла, минимален, если он не допускает дестабилизации. В 2003 году Г. Куперберг доказал (см. [5]), что для каждого виртуального узла, существует единственный минимальный представитель.

Одним из основных результатов диссертации является теорема, являющаяся обобщением теоремы X. Шуберта для виртуальных узлов:

Теорема 2.1. Любой виртуальный узел раскладывается в связную сумму конечного числа примарпых и тривиальных виртуальных узлов, причем примарные слагаемые такого разложения определены однозначно.

Важное отличие этой теоремы от теоремы X. Шуберта состоит в том, что в разложении присутствуют тривиальные слагаемые. Причина этого заключается в том, что, как показал Т. Кишино в 2004 году в работе [4], существуют нетривиальные виртуальные узлы, являющиеся связной суммой тривиальных виртуальных узлов. В случае классических узлов это невозможно.

На множестве всех узлов в утолщенных поверхностях вводятся четыре типа редукций. Редукция типа 1 узла К С F X I состоит в разрезании утолщенной поверхности 1? х 7 по несжимаемому разбивающему собственному послойному кольцу, пересекающему узел К в двух точках, и приклеивании к копиям этого кольца двух ручек индекса 2, содержащих тривиальные дуги. Ре-

дукцией типа 2 является операция дестабилизации. В качестве кольца, задающего дестабилизацию, выбирается любое несжимаемое послойное кольцо, в том числе и разбивающее. Если в результате дестабилизации получается утолщенная поверхность, не содержащая никакого узла, то мы помещаем в нее тривиальный узел. Редукция типа 3 узла К С F х / состоит в следующем: разрежем утолщенную поверхность ^ х 7 по паре собственных послойных колец, каждое из которых пересекается с узлом К в одной точке и которые разбивают все многообразие ^х/ на две части. Склеим копии колец на крае каждой из частей так, чтобы получились два узла в утолщенных поверхностях. Редукция типа 4 состоит в вырезании локального узла. Непосредственно проверяется, что редукции типов 1 и 4 являются обратными для операции кольцевой связной суммы узлов в утолщенных поверхностях, а редукция типа 3 является суперпозицией стабилизации и редукции типа 1. Если в результате редукции типа 1,3 или 4 один из получившихся узлов совпадает с исходным, то такая редукция называется тривиальной.

В диссертации используются методы теории корней, разработанной С. Матвеевым и С. Хог-Анжелони в 2007 году (см. [2]). В этой работе было получено простое доказательство теоремы Кнсзера-Мшпгора (см. [6]), обобщение теоремы X. Шуберта для заузленных графов в произвольных многообразиях и другие результаты. В частности, приемы, описанные в этой работе, оказываются полезными для доказательства еще одного основного результата диссертации, который состоит в следующем:

Теорема 1.4. Пусть К С Г х I — узел. Будем применять к паре (^ х К) и получающимся из нее парам нетривиальные редукции типов 1 - 4 до тех пор, пока это возможно. Тогда этот процесс всегда конечен, причем получающийся в результате набор узлов в утолщенных поверхностях зависит только от исходной пары (^ х I, К), с точностью до удаления пар вида (З2 х 1,0), где О С Б2 х I — тривиальный узел в 82 х I.

Цель работы. Целью настоящей диссертации является доказательство аналогов теоремы X. Шуберта для узлов в утолщенных поверхностях и виртуальных узлов.

Основные результаты

1. Доказано, что конечный результат применения 4-х видов

редукций к произвольному узлу в утолщенной поверхности существует и определен однозначно с точностью до удаления тривиальных узлов в S2 х /, то есть не зависит от последовательности редукций, а определяется только исходным узлом (теорема 1,4).

2. Доказано, что любой виртуальный узел раскладывается в связную сумму нескольких примарных и нескольких тривиальных виртуальных узлов. Примарные слагаемые такого разложения определены однозначно (теорема 2.1).

Основные методы исследования. В работе используются стандартные методы маломерной топологии, в том числе техника устранения пересечения поверхностей в трехмерных многообразиях. Используется модификация этой техники, при которой все получаемые поверхности должны допустимым образом пересекать фиксированную кривую (узел) в многообразии. Помимо этого используются методы теории корней [2].

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы для дальнейших исследований узлов в трехмерных многообразиях. Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов и семинаров для студентов и аспирантов математических специальностей.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

1. Семинар под руководством академика РАН А. Т. Фоменко в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова ;

2. Семинар под руководством член.-корр. РАН C.B. Матвеева в Челябинском государственном университете;

3. Семинар под руководством член.-кор. РАН И.А. Тайманова в Институте математики Сибирского отделения Российской Академии паук;

4. Семинар под руководством под руководством член.-кор. РАН A.A. Махнева в Институте математики и механики Уральского отделения Российской Академии наук;

5. Международная школа-конференция по геометрическому анализу (Горно-Алтайск, 2010);

G. Всероссийская школа-конференция по геометрии и анализу (Кемерово, 2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12]-[16]. К списку ВАК относятся работы [12]-[14].

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографии. Она изложена на 71 странице, снабжена. 45 рисунками, библиография содержит 21 наименование. Нумерация теорем, лемм и т. п. в каждой главе своя. Основные результаты диссертации — это теоремы 1.4. и 2.1.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение состоит из двух параграфов. В нем описываются направления исследований, наиболее близкие к теме диссертации, формулируются известные результаты.

Глава 1 посвящена изучению редукций узлов в утолщенных поверхностях и состоит та четырех параграфов.

Параграф 1.1 посвящен определениям основных объектов изучения — узлам в утолщенных поверхностях и четырем видам редукций всех таких узлов. Под узлом в утолщенной поверхности понимается пара (F х I, К), где К С F х I — простая замкнутая кривая в прямом произведении замкнутой ориентируемой поверхности F на отрезок I. Приводится два примера узлов в утолщенных поверхностях рода 2 и результаты примененных к ним редукций.

Параграф 1.2 посвящен теории корней геометрических объектов (см. [2]). Пусть Г — произвольный ориентированный граф с множеством вершин ¥(Г) и множеством ребер Е(Г). Обозначим через Е(2)(Г) множество таких пар ребер графа Г, что начальные вершины каждой пары совпадают.

Будем говорить, что вершина V € ¥(Г) является корнем вершины U G ¥(Г), если существует ориентированный путь в графе

Г из вершины U в вершину V, и из вершины V не исходит ни одного ребра.

Следующие условия на граф Г были предложены C.B. Матвеевым. Они достаточны как для существования, так и для единственности корня любой его вершины, и уточняют аналогичные условия, приведенные в [2].

(FC): (от слов Finiteness Condition) любой ориентированный путь по ребрам графа Г имеет конечную длину;

(MF): (от слов Mediator Function) существует такая функция

ц: E<2)(r)->NU{0},

что для любой пары ребер выполнено

следующее:

(MF1): если

= 0, то найдется вершина W € V(r), в которую можно проложить ориентированные пути по ребрам графа Г как из вершины V\, так и из вершины V%\

(MF2): если fi{U\\, UV2) > 0, то найдется такое ребро U\Ù с той же начальной вершиной, что для каждого ¿ = 1,2

ц{0г,Ш) <li(WUW2).

Теорема 1.1. Если граф Г удовлетворяет условиям (FC) и (MF), то корень любой его вершины существует и единственен.

Это теорема является аналогом леммы Ньюмана о диаманте (см. [7]), но лучше нее приспособлена для решения конкретных геометрических задач.

Построим конкретный ориентированный граф Г. В качестве множества вершин У(Г) рассмотрим множество, состоящее либо из пар вида (F х I, К), то есть узлов в утолщенных поверхностях, либо наборов таких пар, рассматриваемых с точностью до добавления или удаления тривиальных узлов в S2 х I. Две вершины U, V € У(Г) соединены ориентированным ребром

Ûf G Е(Г),

если набор узлов V получается из набора узлов U с помощью нетривиальной редукции типа 1, 2, 3 или 4.

Параграф 1.3 посвящен доказательству теоремы о том, что построенный граф Г обладает свойством (РС). Ключевой момент состоит в построении функции сложности. Пусть — вполне упорядоченное множество, состоящее из троек вида (д, в,гу), где д, Э — неотрицательные числа, а ю — упорядоченная конечная последовательность неотрицательных чисел, причем множество таких последовательностей упорядочено лексикографически. На множестве всех троек также вводится лексикографический порядок. Пусть 1С — множество всевозможных пар вида х I, К), где А'СРх/- узел. Функция <-р: К, —> <1 называется функцией сложности, если для любой пары (Р' х I, К') 6 /С, получающейся из пары (Р х I, К) € 1С в результате нетривиальной редукции типа 1, 2, 3 или 4, справедливо соотношение

х 1,К) > <р(Р' х 1,К').

Пусть (Р х I, К) — узел. Числом Шуберта называется максимальное число I, К) таких попарно непересекающихся трехмерных шаров , В2,... в Р х I, что для каждого ¿ = 1,2,... пересечение К П В, является заузленной дугой в Bi.

Пусть (Р х /, К) — узел, д(Р) — род поверхности Р, и пусть съ ■ ■ • - с-2д(^) ~~ такой упорядоченный набор простых замкнутых кривых на Р, что каждая следующая кривая трансверсально пересекает предыдущую ровно в одной точке. Упорядоченный набор трансверсальных узлу /С вертикальных колец С = {Сг С ^^ х 7,1 ^ г ^ называется контрольным, если для каждо-

го I— 1,..., 2д(Р) кольцо Сг нзотошю кольцу а х I.

Пусть (.Р х 1,К) — узел, С = {Сг..., С2д(р)} — контрольный набор колец. Весом узла (Р х I, К) называется величина ги(Р х 1,К) = тт(#(С1 П К),... ,#{С2д(Р) П К)), где минимум берется по всем возможным контрольным наборам колец, а на множестве всех упорядоченных последовательностей вида (#(С]. ПК),..., (С2д{Р) П К)), где П К) - число точек пересечения кольца С, и кривой К, вводится лексикографический порядок.

Функция (р: 1С Г2 задается следующим образом:

№ х I, К) = *(Р х I, К), Ш(К)),

где д(Р) — род поверхности Р, ь(Р х I, К) — число Шуберта пары (У х /, К), 'ш(К) — вес узла К в утолщенной поверхности

Г х I. Значением ^(Р1 х I, К) является тройка элементов, где первые два элемента — это неотрицательные числа, а третий — упорядоченная последовательность чисел длины 2д(Р).

В леммах 1.3 и 1.4 доказывается, что построенная функция <~р действительно является функцией сложности. Основным результатом параграфа 1.3 является следующая теорема:

Теорема 1.2. Граф Г обладает свойством (КС).

Параграф 1.4 посвящен доказательству того, что построенный граф Г обладает свойством (МЕ). Функция /у: Е2(Г) -> N и {0} определяется следующим образом: пусть для каждого ¿ = 1,2 ребро и\\ е Е(Г) отвечает нетривиальной редукции пары (Рг х1. Кг) е 11 вдоль поверхности Х\ С Ргх1. Тогда значение равно минимальному числу П компонент

связности пересечения П X? среди всевозможных пар поверхностей Х\,Х-2, задающих ребра [/Ух, 11\^ соответственно.

Для доказательства свойства (МР2) используется некоторая модификация стандартной техники устранения пересечений поверхностей в многообразиях. Отличие от стандартной техники состоит в том, что при устранении пересечений каждая из поверхностей должна допустимым образом пересекаться с рассматриваемым узлом.

Основным результатом первой главы является следующая теорема:

Теорема 1.4. Пусть К С Р х I — узел. Будем применять к паре (7*1 х 7, К) и получающимся из нее парам нетривиальные редукции типов 1 - 4 до тех пор, пока это возможно. Тогда этот процесс всегда конечен, причем получающийся в результате набор узлов в утолщенных поверхностях зависит только от исходной пары (7*1 х 7, К), с точностью до удаления пар вида (£2 х I, О), где О С Я2 х 7 — тривиальный узел в .5'2 х I.

Глава 2 состоит из двух параграфов и посвящена приложению доказанной теоремы 1.4 к теории виртуальных узлов. Основным результатом этой главы является следующая теорема:

Теорема 2.1. Любой виртуальный узел раскладывается в связную сумму конечного числа примарных и тривиальных виртуальных узлов, причем примарные слагаемые такого разложения определены однозначно.

В параграфе 2.1 приводятся основные понятия теории виртуальных узлов. Помимо классического определения виртуального узла через виртуальные диаграммы и обобщенные движения Радемайстера (см. [3, 9]), мы приводим более удобное в нашем случае эквивалентное определение виртуального узла как класса эквивалентности узлов в утолщенных поверхностях (см. [3, 5, 9]). Отношение эквивалентности порождается гомеоморфизмами узлов и операцией стабилизации, которая состоит в следующем: для узла в утолщенной поверхности (Т7 X I, К) выберем два таких непересекающихся диска Б2 С Р, что (0{ х I) П К = 0, г = 1,2. Вырежем из многообразия Р х I цилиндры Б\ х 7, П2 х I и склеим кольца <5Д х /, г = 1,2, на крае замыкания многообразия (Р \ (I?! и £>2)) х / по такому гомеоморфизму дБ 1 х I —> дВ2 х I, что в результате получается утолщенная поверхность, содержащая узел.

В параграфе 2.2 операция кольцевой связной суммы узлов в утолщенных поверхностях (Р^ х1, К1) и (Р2 х1, К2) определяется следующим образом: для каждого г выберем диск Д с Г; и изотопно продеформируем узел К, так, чтобы пересечение ^ = х/) было тривиальной дугой в топологическом шаре 7^ х 7. Тогда узел К С (Р\#Р2) х 7, который получается склеиванием многообразий ^ \ ТпШг) х I, г = 1,2, по такому гомеоморфизму (р: Э£>1 х 7 -> дЮ2 х I, что ¡¿(Э^) = д12, называется кольцевой связной суммой узлов К1 С Р1 х I и К2 С Р2 х I (также см. [9, 11]).

Операция кольцевой связной суммы узлов в утолщенных поверхностях индуцирует операцию связного суммирования виртуальных узлов, которую удобно понимать следующим образом: для каждого виртуального узла VI, у2 выберем его реализацию узлом в утолщенной поверхности К^ С Р{ х 7, г = 1, 2 соответственно. Кольцевая связная сумма К\#К2 задает виртуальный узел V, который называется связной суммой узлов У\, г>2 и обозначается V = их #«2- Операция связного суммирования виртуальных узлов многозначна, так как зависит от конкретных реализаций виртуальных узлов г>х, у2 и дисков, задающих кольцевую связную сумму.

Будем говорить, что разложение и = г>1#1>2 одного виртуального узла V в связную сумму узлов г>1, ь2 тривиально, если один из этих узлов совпадает с V, а второй тривиален. Нетривиальный виртуальный узел называется прилгарным, если его нельзя пред-

ставить в виде нетривиальной связной суммы двух виртуальных узлов. Реализация виртуального узла называется минимальной, если она не допускает дестабилизация (редукций типа 2).

Лемма 2.1. Если V = и^г^, то минимальная реализация узла V допускает редукцию тина 1, 3 или 4, в результате которой получаются реализации узлов и чъ.

В частности, из этой леммы следует, что виртуальный узел и примарен тогда и только тогда, когда его минимальная реализация узлом в утолщенной поверхности примарна.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю С. В. Матвееву за постановку задачи и всестороннюю помощь в работе.

Список литературы

Scott Carter, J. С., Seiichi, К., Saito, M. Stable equivalence of knots on surfaces and virtual knot cobordisms // J.Knot Theory Ramifications. 2002. V. 11. P. 311 - 322.

Hog-Angelony, C., Matveev, S. Roots in 3-manifold topology // Geometry and Topology Monographs. 2008. V. 14. P. 295 - 319.

Kauffman, L. H. Virtual knot theory // European Journal of Combinatorics. 1999. V. 20. № 7. P. 662 - 690.

Kishino, Т., Satoh, S. A note on non-classical virtual knots II Journal of Knot Theory and Its Ramifications. 2004. V. 13. № 7. P. 845 - 856.

Kuperberg, G. What is a virtual link? // Algebraic and Geometric Topology. 2003. V. 3. P. 587 - 591.

Milnor, J. A unique decomposition theorem for 3-manifolds // Amer. J. Math. 1962. V. 84. P. 1 - 7.

Newman, M. H. A. On theories with a combinatorial definition of "equivalence " 11 Ann. of Math. 1942. V. 43. P. 223 - 243.

Schubert, H. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten // Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949. V. 3. P. 57 - 104.

[9] Кауффман, Jl., Мантуров, В.О. Виртуальные узлы и зацепления // Труды МИРАН им. В.А Стеклова. 2006. Т. 252. № 1. С. 114- 134.

[10] Мантуров, В.О. Теория узлов // Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2005. 512 с.

[11] Матвеев, С.В. Разложение гомологически тривиальных узлов в F х I II Доклады Академии Наук. 2010. Т. 433.

№ 1. С. 13 - 15.

Работы автора по теме диссертации

[12] Кораблев, Ф.Г., Матвеев, C.B. Редукции узлов в утолщенных поверхностях и виртуальные узлы // Доклады Академии наук. 2011. Т. 437. № 6. С. 748 - 750.

[13] Кораблев, Ф.Г. Единственность корней узлов в F х I и примарные разложения виртуальных узлов // Труды Института Математики и Механики УрО РАН. 2011. Т. 17.

№ 4. С. 160 - 175.

[14] Кораблев, Ф.Г. Примарные разложения виртуальных узлов // Вестник Кемеровского государственного университета. 2011. Т. 2. № 3. С. 59 - 63.

[15] Кораблев, Ф.Г. Разложение узлов в прямом произведении поверхности на отрезок /,/ Тезисы школы-конференции по геометрическому анализу. Горно-Алтайск. 2010. С. 50 - 51.

[16] Кораблев, Ф.Г. Примарные разложения виртуальных узлов // Тезисы докладов Международной школы-конференции по геометрии и анализу, Кемерово, 19-26 нюня 2011. [http://www.raath.kernsu.ru/kma/file/tesis/mdex.htm] — Кемерово: КемГУ, 2011, номер гос. Per. 0321102235.

Кораблев Филипп Глебович

ПРИМАРНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ УЗЛОВ В УТОЛЩЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ И ВИРТУАЛЬНЫЕ УЗЛЫ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 7.12.2011 Формат 60х84у1б. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,85. Уч.-изд. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ 138. Бесплатно. ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет». 454001 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129.

Издательство ЧелГУ. 454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57е

1. C. Adams, The Knot Book: An Elementary 1.troduction to the Mathematical Theory of Knots jj American Mathematical Society. 2004.

2. J. C. Scott Carter, Seiichi Karnada, Masahico Saito, Stable equivalence of knots on surfaces and virtual knot cobordisrns ! J.Knot Theory Ramifications. 2002. V. 11. P. 311-322.

3. G. Kuperberg, What is a virtual link? /, Algebraic and Geometric Topology. 2003. V. 3. P. 587-591.

4. S. Nelson, Unknotting virtual knots with Gauss diagram forbidden moves // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. 2001. V. 10. JY°- 6. P. 931 -935.

5. M. H. A. Newman, On theories with a combinatorial definition of -equivalence" Ann. of Math. 1942. V. 43. P. 223-243.

6. H. Schubert, Die eindeatige Zcrlegbarkeit eines Knot ens in Pr'unknotev // Ileidelbergcr Akad. Wiss. Matli.-Nat. Kl. 1949. V. 3. P. 57-104

7. P. Кроуэлл, P. Фокс Введение в mtopuio узлов 1 / Г1ер. с англ — Череповец: Меркурий-Пресс. 2000. С. 348.

8. Л. Кауффмап, В.О. Мантуров, Виртуальные узлы и зацепления // Труды MIIPAH им. В А Стсклова. 2006. Т. 252. № 1. С. 114-134.

9. В.О. Мантуров, Теории у^лов // ПКИ. 2005.

10. С.В. Матвеев, Разложение гомологически тривиальных ijsnoe в Р х I Ц Доклады Академии Наук. 2010. Т. 433. № 1. С. 13-15.Рабслъ! автора по теме диссертации

11. Ф.Г. Кораблей, С.В. Матвеев, Редукции узлов в уто иценных поверхностях и виртуальные узлы, / / Доклады Академии наук. 2011. Т. 437. № 6. С. 748-750.

12. Ф.Г. Кораблев, Единственность корней узлов в Р х I и при-марные разложения виртуальных узлов '; Труды Института Математики и Механики УрО РАН. 2011. Т. 17. № 4. С. 160-175.

13. Ф.Г. Кораблев, Примарные разложения виртуальных уз,лов // Вестник Кемеровского государственного университета. 2011. Т. 2. № 3. С. 59-63.

14. Ф.Г. К о pa б л о is. Разложение узлов в прямом произведении поверхности на отрезок / ' Тезисы школы-копферепцпп но геометрическому анализу. Горно-Алтайск. 2010. С. 50-51.