Условия Вирасоро в матричных моделях

Александров, Александр Сергеевич

Условия Вирасоро в матричных моделях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Александров, Александр Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Условия Вирасоро в матричных моделях»

Автореферат диссертации на тему "Условия Вирасоро в матричных моделях"

Государственный научный центр Российской Федерации Институт теоретической и экспериментальной физики

1 На правах рукописи

Александров Александр Сергеевич

Условия Вирасоро в матричных моделях

Специальность 01.04.02 теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

УДК 530.145+514.745.82

Работа выполнена в ГНЦ РФ Институт теоретической и экспериментальной физики, г. Москва.

Научный руководитель: д. ф.-м. н., чл.-корр. РАН А.Ю.Морозов

(ГНЦ РФ ИТЭФ, г. Москва)

Официальные оппоненты: д. ф.-м. н. А.П.Исаев

(ОИЯИ, ЛТФ им. Н.Н.Боголюбова, г.Дубна)

д. ф.-м. н. ЮМ.Макеенко (ГНЦ РФ ИТЭФ, г. Москва)'

Ведущая организация: Математический институт им. В.А.Стеклова РАН

Защита состоится "20" сентября 2005г. в 11 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д.201.002.01 ФГУП ГНЦ РФ Института теоретической и экспериментальной физики по адресу: 117259, Москва, Б.Черемушкинская, 25, ГНЦ РФ ИТЭФ, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГНЦ РФ ИТЭФ.

Автореферат разослан: "18" августа 2005г.

Ученый секретарь диссертационного совета, ^

кандидат физико-математических наук ,В.В.Васильев

Общая характеристика работы Актуальность темы

Матричные мотели являются важной и активно разрабатываемой областью современной науки. Исторически матричные модели впервые возникли в работах Е.Вигнера и Ф.Дайсона в 50-е годы прошлого века при описании спектров сложных атомов и молекул. С тех пор матричные модели заняли достойное место в арсенале теоретической физики. Матричные модели являются достаточно простыми и, в тоже время, богатыми по набору интересных свойств объектами, которые возникают во многих областях физико-математических наук. Особенно интересны матричные модели с точки зрения теории струн, в которой они являются базисным элементом для построения множества более сложных моделей и возникают, в частности, при описании конформных теорий, топологических теорий, двумерной гравитации, суперсимметрии, интегрируемых систем. В различных задачах возникают различные матричные модели, и изучение взаимосвязи между ними позволяет получать нетривиальные утверждения о связях различных теорий.

Наиболее широко используемой является одновременно и наиболее простая матричная модель - эрмитова, которая описывается интегралом

где Ф - эрмитова матрица размером N X а мера интегрирования -просто произведение дифференциалов всех матричных элементов

¿ф - П

Как было показано еще в работах Е.Вигнера и Ф.Дайсона, интегралы такого типа можно значительно упростить, а именно, проинтегрировав по угловым переменным, свести Лг2-кратный интеграл к ЛГ-кратному интегралу по собственным значениям. При этом Ши им I щ'рнрщьнф и I I ни

вится нетривиальной. В случае эрмитова интеграла эта мера равна квадрату определителя Вал-дер-Монда от собственных значений матрицы.

Другим важным шагом в изучении матричных моделей было осознание того факта, что матричный интеграл удовлетворяет бесконечному набору условий, которые являются для него просто тождествами Уорда, и называются условиями Вирасоро или петлевыми уравнениями. Эти условия представляются в виде дифференциальных уравнений

Ьп2(№) = 0, п > -1, где операторы Ьп имеют вид

ьп = уЫк д 1у д2

и образуют подалгебру алгебры Вирасоро.

Для того, чтобы доопределить расходящийся матричный интеграл, в потенциале необходимо выделить конечную затравочную часть

00 оо

ТгФ* ]Г^*ТгФ* - ТгИ^Ф), к=0 к=0

где IV (Ф) = Т/.Фк обычно является полиномом, и считать статистическую сумму формальным рядом по константам связи При этом зависимость от параметров затравочного потенциала Т^ может быть сложной и, вообще говоря, сингулярной. Простейшим примером потенциала является гауссов потенциал И/(Ф) = Для гауссового интеграла существует диаграммная техника, которая позволяет вычислять различные корреляционные функции. Диаграммы являются толстыми графами, лежащими на римановых поверхностях. При этом, как показал т'Хофт, у статистической суммы в такой теории существует естественное разложение по родам, то есть вклады кривых старших родов подавлены по константе связи д:

\л=о /

Здесь 5 - т'Хофтовская константа связи. Но технически оказывается проще не вычислять вклады от отдельных диаграмм, а ввести производящие функции для бесконечного набора диаграмм, например резольвенты

которые достаточно просто вычислять с помощью условий Вирасоро.

Негауссовы интегралы, как обычно, сложнее и интереснее, и именно они чаще всего возникают в физических задачах. В частности, в серии работ Р.Дижкграафа и К.Вафы была обнаружена нетривиальная связь между низкоэнергетическим эффективным точным препотенциалом в N = 1 четырехмерной суперсимметричной теории Янга-Милса и так называемыми многоразрезными решениями (или, что тоже самое, решениями Дижкграафа-Вафы (ДВ)) эрмитовой матричной модели с размером матрицы N -У оо. Эти решения имеют интегральные представления в виде специальным образом переопределенного эрмитово го матричного интеграла. А именно, матричный интеграл берется с помощью метода перевала, при этом рассматривается вклад только одного, произвольного, экстремума, а не сумма по всем экстремумам. Этот экстремум задается числами заполнения Б,, г = 1,...,гс — 1, определяющими количества собственных значений вблизи экстремумов потенциала IV (х). Таким образом, получившаяся производящая функция (решение ДВ) зависит от дополнительного набора параметров. Эти параметры вместе с параметрами затравочного потенциала задают гиперэллиптическую кривую у(г)2 = 1У'(г)2 — /(г), играющую важную роль в построении статистической суммы. В частности, резольвенты являются мультидифференци-алами на этой римановой кривой, а числа заполнения равны контурным интегралам на ней

Для пленарного и первого непланарного вклада в свободную энергию также существуют выражения в терминах контурных интегралов на этой кривой.

У определенного таким образом решения ДВ и исходного матричного интеграла есть важное общее свойство - они удовлетворяют условиям В и

расоро. Таким образом возникают вопросы: какие еще решения есть у условий Вирасоро, как устроены эти решения, что между ними общего и чем решения ДВ выделены. Интересным классом решений являются решения, имеющие разложение по родам. Оказывается, что при построении таких решений тоже возникают гиперэллиптические кривые, и свойства резольвент на этих кривых универсальны.

В настоящее время исследование свойств решений условий Вирасоро для эрмитовой матричной модели, в частности, решений ДВ, является важной и активно разрабатываемой темой в теории струн.

Еще одним важным примером матричной модели является модель Кон-цевича, возникшая в 90-е годы при исследовании связи двумерной топологической теории гравитации и интегрируемой иерархии Картевега де Вриза (КдВ), которая является представителем важного класса обобщенных моделей Концевича:

гк = / ¿Фе--ггп*нъА* ЗмхЯ

Здесь Л - произвольная эрмитова матрица, следы от отрицательных степеней которой играют роль констант связи, а У"(Ф) - потенциал, который для модели Концевича просто равен Ф3. Модель Концевича может быть получена из эрмитовой матричной модели в специальном (двойном скей-линговом) пределе. Но в литературе, в частности, в работах Л.Чехова и И.Костова есть указания на то, что существует нетривиальная точная связь между двумя этими моделями. Эта связь должна основываться на формулах разложения, являющихся аналогами формул разложения, которые известны в топологической теории струн. Топологические теории поля и струн активно изучались в конце 80-х - начале 90-х годов прошлого века, в частности, в работах Э.Виттена и Р Дижкграафа были получены важные результаты, которые определяют связь топологических теорий с геометрией пространств модулей римановых кривых и интегрируемыми иерархиями. Топологические теории образуют важный класс моделей теории струн, многие общие свойства которых очень похожи на свойства матричных моделей. В некоторых случаях известно явное отождествление, в частности, для простейших топологических теорий струн - теорий

для точки и для многообразия СРу статистические суммы задаются матричными интегралами.

Формулы разложения позволяют выразить статистические суммы нетривиальных теорий через произведение т-функций Концевича, связанных друг с другом некоторыми дифференциальными операторами. Существование формул разложения в топологических теориях является нетривиальным и до конца не понятым фактом, который позволяет вычислять корреляционные функции в этих теориях. Эти корреляционные функции являются важными геометрическими инвариантами пространств модулей римановых кривых с отмеченными точками и их отображений.

Цель работы

Целью диссертации является:

исследование матричной модели как решения условий Вирасоро на примере эрмитовой матричной модели;

изучение конкретных решений - решений ДВ, исследование их специальных свойств;

построение и проверка формул разложения для матричных моделей;

проверка формул разложения в топологических теориях струн для простых многообразий.

Научная новизна

Исследован вопрос о пространстве решений условий Вирасоро эрмитовой матричной модели в зависимости от степени потенциала.

Получены явные выражения для простейших корреляционных функций для общих решений в гауссовом и негауссовом случаях.

Показано существование универсального оператора эволюции по бесконечному набору констант связи.

Получен явный вид для первых коэффициентов разложения оператора эволюции в ряд по константам связи.

Построены операторы чисел заполнения и сопряженные к ним. Доказана их коммутативность в лидирующем порядке по константам связи. Высказана гипотеза о том, что эти операторы с точностью до упорядочения по форме совпадают с операторами для гауссовой модели.

Проверена формула разложения для CPi топологической теории струн до третьего порядка по константе разложения включительно.

Практическая и научная ценность

Предложена новая формулировка универсальных свойств матричных моделей.

Предложен новый метод получения корреляционных функций для матричных моделей в терминах специальных дифференциальных операторов.

Предложены гипотезы о связи таких дифференциальных операторов для произвольных потенциалов с операторами для гауссовой модели.

Предложен метод конструктивной проверки формул разложения с помощью условий Вирасоро.

Апробация диссертации и публикации

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на теоретических семинарах ИТЭФ, а также на международных конференциях "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (Москва, 2001), "The 31st ITEP Winter School of Physics" (Москва, 2003), "Quantum Particles, Fields and Strings" (Баку, 2003), "Международная школа ИТФ - ИТЭФ по теоретической и математической физике", (Киев, 2001-2003), "Quantum Fields and Strings"(Домбай, 2003), на семинаре отделения Теоретической Физики University of Uppsala (Sweden, 2003). По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Список литературы содержит около 100 наименований Общий объем дис-

сертации составляет 125 страниц.

Краткое содержание диссертации

Введение обосновывает актуальность изучения рассматриваемых задач, содержит обзор литературы и методов решения.

В первой главе описывается общая конструкция построения статистической суммы эрмитовой матричной модели. Излагается новый подход к матричным моделям, а именно, предлагается рассматривать матричную модель как £>-модуль, описывающий все решения условий Вирасоро со сложной структурой ветвей, особенностей и т.д. Такая конструкция основывается на решении уравнений Вирасоро, которые являются тождествами Уорда для матричного интеграла. Эти условия приводят к рекуррентным соотношениям на вклады отдельных родов в мультирезольвенты. В диссертации представлено несколько первых шагов рекурсии и получены выражения для мультирезольвент младших родов. Исследована иерархическая структура решений и показано, что для физически важного класса решений, а именно для решений, обладающих т'Хофтовским разложением по родам, произвол в решении определяется функцией от коэффициентов потенциала и константы связи д: Я(0|Т) — ехр д2Н~2Р<-н'1{Т)), удо-

влетворяющей двум условиям согласованности:

¿_,^(0|Г) = 0, Ьог(0\Т) = 0.

То есть, решение, статистическая сумма которого имеет разложение по рсдам, задается произвольной функцией от п — 1 коэффициента затравочного потенциала. Для важного подкласса решений (решений Дижкграафа-Вафы, возникающих при описании Л/" = 1 суперсимметричной теории Янга-Милса для <1 — 4) получена формула разложения, нетривиальным образом связывающая статистические суммы этих решений со статистическими суммами простейших (гауссовых) эрмитовых матричных моделей:

ГТ" х/п1 П п п п

АХ XX XX

с операторами

ОЦ] — а}, где а, - экстремум потенциала IV(х) и

где = д*\У(х). При этом переменные ^ задаются соотношениями

00 / п \ П / 00 \

ЕЦЕтг.ц+м,)* =£ £4°^ .

к=0 \»=1 / «=1 \(Ь=0 /

Получены явные формулы для корреляционных функций для гауссовой и общей негауссовой эрмитовых матричных моделей. Оказывается, что особенности всех корреляционных функций, в том числе для старших родов, определяются гиперэллиптической кривой у (г), которая возникает уже в простейшей резольвенте

Из того факта, что процедура восстановления зависимости от констант связи t не зависит от конкретного решения, сделан вывод о существовании универсального оператора эволюции. Это универсальный оператор эволюции, который восстанавливает зависимость от бесконечного набора времен по произвольной функции от коэффициентов затравочного потенциала,

т) = иц)г(о\т).

Показано, что решения ДВ образуют базис в пространстве решений, то есть произвольное решение можно представить в виде интеграла от решения ДВ с некоторым весом f{S):

ЩТ) = У"Ц^/(5)^(Г|«|5).

Во второй главе исследуются свойства универсального оператора эволюции. Явно предъявлено несколько первых коэффициентов разложения

этого оператора по константам связи:

G(t) = 1 + j Ki m(z)v(z)dz + Km{zu z2)v{z1)v(z2)dzldz2 + ...

Здесь v(z) — YUcLq tkzk. Выражения для этих коэффициентов являются непосредственными операторозначными аналогами выражений для корреляционных функций. Эти операторозначные коэффициенты и различные их комбинации называются чек-операторами. Выражения для первых коэффициентов этого ряда оказываются значительно проще, чем выражения для соответствующих корреляционных функций. Например, выражение для вклада рода д = 2 в одноточечную резольвенту имеет вид

J№)( + (Ry)(RFV) (RF®) (R2y)

(z)- ? 3 у T

(Ry") f{RFV) 1 2( {Ry) {RFV)\ yA yi V 2y2 + у )

5 iff 1

WJ 8 t '

16 у5 Ву2

в то время как соответствующий оператор гораздо проще:

8у2 \у2) 8 у4

На этом основании формулируется гипотеза о том, что универсальный оператор может быть выражен полностью через операторы

Диф) = ~ £ (« + Ъ -I- 2)Та+мт?—,

аДв=0

y{z]9) = jw'{z)2- 4g2R(z),

и это выражение (с точностью до упорядочения некоторых членов, которое полностью не фиксируется) воспроизводит выражение для статистической суммы гауссовой эрмитовой матричной модели. При этом гиперэллиптическая кривая, которая определяет особенности всех мульти-резольвент, определяется по свободной энергии для рода д = 0, а именно, ууу{г) = Показано, что можно определить чек-

операторы как для связанных, так и для несвязанных мультирезольвент.

Далее показано, что по коэффициентам разложения универсального оператора эволюции можно построить бесконечный набор операторов, для которых решения ДВ являются собственными функциями с определенными собственными значениями, в частности, у операторов

•М.

собственными числами являются числа заполнения й,-. Высказана и проверена в лидирующем порядке по константе связи гипотеза о коммутативности этих и сопряженных с ними операторов:

Jл, Jв¡

В главе 3 исследуется предложенная А.Гивенталем формула разложения, которая задает статистическую сумму для топологической теории струн на многообразии М. Топологические теории поля по сравнению с обычными теориями имеют малое число степеней свободы и обладают дополнительными симметриями, что делает их похожими на матричные модели. В частности, статистические суммы топологических теорий удовлетворяют уравнениям Виттена-Дижкграафа-Верлинде-Верлинде. Ограничение формул разложения на малое фазовое пространство имеет вид еЕ,.^М - Д ... )],,)=г,(в).

)

Здесь я* - координаты на малом фазовом пространстве для многообразия М, а - дифференциальный оператор, действующий на константы

связи

*,/=о и

где 1#(з), Д^в) и Т%(з) - некоторые функции, которые строятся по свободной энергии для рода ноль В правой части этой формулы разложения стоит произведение т-функций Концевича. Эта г-функция интегрируемой иерархии КдВ, которая удовлетворяет дополнительному условию -струнному уравнению (одному из условий Вирасоро) и является статистической суммой для простейшей топологической теории струн - топологической гравитации. Она описывается матричным интегралом Концевича,

разложение которого задает триангуляцию римановых поверхностей. В случае многообразия СР1, статистическая сумма для которого описывается некоторым матричным интегралом, формула разложения проверена с точностью до третьего порядка по константе связи с использованием условий Вирасоро, которым удовлетворяет т-функция Концевича. Высказала гипотеза об общей связи между дифференциальными операторами, входящими в формулы разложения и условиями Вирасоро, и гипотеза о связи формул разложения с уравнениями Хироты, которые имеют аналогичную структуру. Эти гипотезы также проверены с точностью до третьего порядка по константе связи.

В Заключении подводятся итоги и перечисляются нерешенные проблемы.

В Приложении приводятся некоторые полученные формулы и таблицы.

Основные результаты диссертации

Поставлена и решена задача об описании матричной модели с помощью условий Вирасоро. Получена классификация решений, вычислены некоторые корреляционные функции для производящих функций общего вида.

Показано, что решения ДВ образуют базис в пространстве всех решений условий Вирасоро.

Показано, что существует универсальный оператор эволюции, который не зависит от выбранной ветви производящей функции. Получены явные выражения для коэффициентов разложения этого оператора в ряд по константам связи. Сформулированы гипотезы о связи таких операторов в гауссовом и негауссовом случаях.

Получены операторы, для которых решения ДВ являются собственными функциями. Проверена коммутативность этих операторов в лидирующем порядке. Получена формула разложения для решений ДВ.

Формула разложения для СРх топологической теории струн проверена до третьего порядка точности с использованием условий Вирасоро.

Основные публикации автора по теме диссертации

1. А. Александров,

Формула Гивенталя и ее связь с условиями Вирасоро и уравнением Хироты, Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук, (2002) 65

2. A. Alexandrov,

"Givental formula in terms of Virasoro operators," J.Math.Phys. 44 (2003) 5268

3. A. Alexandrov, A. Mironov and A. Morozov,

"Partition functions of matrix models: first special functions of string theory,"

Int.J Mod.Phys. A19 (2004) 1-37

4. А. Александров, А. Миронов и А. Морозов,

"Статистические суммы матричных моделей как первый пример специальных функций теории струн. Эрмитова одноматричная модель с матрицами конечного размера," ТМФ 142 (2005) 419

5. A. Alexandrov, A. Mironov and A. Morozov, "Solving Virasoro constraints in matrix models," Fortschr.Phys. 53 (2005) 512-521

Подписано к печати 28.07.05 Формат 60 х 90 1/16 Усл.печ.л. 0,9 Уч.-изд.л. 0,6 Тираж 100 Заказ 512

Отпечатано в ИТЭФ, 117218 Москва, Б.Черемушкинская, 25

Щ1340?

РНБ Русский фонд

2006-4 10391

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Александров, Александр Сергеевич

1 Введение

2 Эрмитова матричная модель

2.1 Введение.

2.2 Статистическая сумма как функциональный интеграл.

2.2.1 Понятие статистической суммы.

2.2.2 Матричная модель как простейшая струнная модель.

2.3 Статистическая сумма как Р-модуль

2.3.1 Понятие статистической суммы.

2.3.2 Условия Вирасоро для ЭММКР.

2.3.3 Условия Вирасоро и петлевые операторы.

2.3.4 Рекуррентное решение условий Вирасоро.

2.3.5 Независимые переменные затравочного потенциала.

2.4 О количестве решений.

2.4.1 Типы зависимости от д

2.4.2 Сдвиги переменных t и происхождение параметров /: сверхпростой пример

2.4.3 Оператор эволюции и базис в гильбертовом пространстве решений

2.5 Гауссова статистическая сумма

2.6 Формулы разложения типа формулы Гивенталя для негауссовых статистических сумм КИВ-ДВ.

2.7 Препотенциал КИВ-ДВ.

2.8 Непрерывные пределы.

3 Оператор эволюции

3.1 Введение.

3.2 Корреляционные функции и чек-операторы.

3.2.1 Полные связные корреляционные функции.

3.2.2 От корреляторов К к операторам R.

3.2.3 От К к р- несколько примеров.

3.2.4 От К к р- общие результаты

3.2.5 От Кир назад к К и р.

3.2.6 Операторы, соответствующие числам заполнения.

3.3 Обращение с оператором у

3.3.1 Алгебра, генерируемая dkW{z) и &R{z).

3.3.2 Интегральное представление оператора у и его степеней.

3.3.3 Модельный пример дальнейших вычислений.

3.3.4 Распутывание экспонент.

3.3.5 Действие оператора у и его степеней

3.4 Резюме: гипотезы.

4 Формулы разложения

4.1 Введение.

4.2 Основные ингредиенты.

4.3 Связь между уравнениями Сонга и Вирасоро.

4.4 От квадратичного уравнения к линейному.

Введение диссертация по физике, на тему "Условия Вирасоро в матричных моделях"

Матричные модели являются важной и активно разрабатываемой областью современной науки. Исторически матричные модели впервые возникли в работах Е.Вигнера и Ф.Дайсона в 50-е годы прошлого века при описании спектров сложных атомов и молекул. С тех пор матричные модели заняли достойное место в арсенале теоретической физики. Матричные модели являются достаточно простыми и, в тоже время, богатыми по набору интересных свойств объектами, которые возникают во многих областях физико-математических наук. Особенно интересны матричные модели с точки зрения теории струн, в которой они являются базисным элементом для построения множества более сложных моделей и возникают, в частности, при описании конформных теорий, топологических теорий, двумерной гравитации, суперсимметрии, интегрируемых систем. В различных задачах возникают различные матричные модели, и изучение взаимосвязи между ними позволяет получать нетривиальные утверждения о связях различных теорий.

Z№) = тгг- / d*ехр ( iу;ТгФ*) , где Ф - эрмитова матрица размером N х N, а мера интегрирования - просто произведение дифференциалов всех матричных элементов N П ЛФц. ij=1

Как было показано еще в работах Е.Вигнера и Ф.Дайсона, интегралы такого типа можно значительно упростить, а именно, проинтегрировав по угловым переменным, свести #2-кратный интеграл к JV-кратному интегралу по собственным значениям. При этом мера интегрирования становится нетривиальной. В случае эрмитова интеграла эта мера равна квадрату определителя Ван-дер-Монда от собственных значений матрицы.

LnZ(t\N) = О, п > -1, где операторы Ln имеют вид д ^ д2 = ktk^i— + У. ъгы— t^o dtk+n t^o и образуют подалгебру алгебры Вирасоро.

Для того, чтобы доопределить расходящийся матричный интеграл, в потенциале необходимо выделить конечную затравочную часть оо оо

J2 ** ъ фк Stk ^ ф* - ^ к=0 Л=0 где W(<&) = X)fc=o ткфк обычно является полиномом, и считать статистическую сумму Z(t\N) формальным рядом по константам связи При этом зависимость от параметров затравочного потенциала Т* может быть сложной и, вообще говоря, сингулярной. Простейшим примером потенциала является гауссов потенциал ТУ(Ф) = Для гауссового интеграла существует диаграммная техника, которая позволяет вычислять различные корреляционные функции. Диаграммы являются толстыми графами, лежащими на римановых поверхностях. При этом, как показал т'Хофт, у статистической суммы в такой теории существует естественное разложение по родам, то есть вклады кривых старших родов подавлены по константе связи g:

ZgW) = exp (Х>2А-2^л>(<|5)) . л=о /

Здесь S - т'Хофтовская константа связи. Но технически оказывается проще не вычислять вклады от отдельных диаграмм, а ввести производящие функции для бесконечного набора диаграмм, например резольвенты

TV—Ц-.TV—i—>,

Zi-Ф Zm-$ которые достаточно просто вычислять с помощью условий Вирасоро.

Негауссовы интегралы, как обычно, сложнее и интереснее, и именно они чаще всего возникают в физических задачах. В частности, в серии работ Р.Дижкграафа и К.Вафы была обнаружена нетривиальная связь между низкоэнергетическим эффективным точным препотенциалом в М =■ 1 четырехмерной суперсимметричной теории Янга-Милса и так называемыми многоразрезными решениями (или, что тоже самое, решениями ДижкграафагВафы (ДВ)) эрмитовой матричной модели с размером матрицы N —> оо. Эти решения имеют интегральные представления в виде специальным образом переопределенного эрмитовою матричного интеграла. А именно, матричный интеграл берется с помощью метода перевала, при этом рассматривается вклад только одного, произвольного, экстремума, а не сумма по всем экстремумам. Этот экстремум задается числами заполнения Si, i = l,.,n — 1, определяющими количества собственных значений вблизи экстремумов потенциала W(x). Таким образом, получившаяся производящая функция (решение ДВ) зависит от дополнительного набора параметров. Эти параметры вместе с параметрами затравочного потенциала задают гиперэллиптическую кривую y(z)2 — W'(z)2 — f(z), играющую важную роль в построении статистической суммы. В частности, резольвенты являются мультидифференциалами на этой римановой кривой, а числа заполнения равны контурным интегралам на ней

Si = j> y{z)dz.

Для планарного и первого непланарного вклада в свободную энергию также существуют выраг жения в терминах контурных интегралов на этой кривой.

У определенного таким образом решения ДВ и исходного матричного интеграла есть важное общее свойство - они удовлетворяют условиям Вирасоро. Таким образом возникают вопросы: какие еще решения есть у условий Вирасоро, как устроены эти решения, что между ними общего и чем решения ДВ выделены. Интересным классом решений являются решения, имеющие разложение по рсдам. Оказывается, что при построении таких решений тоже возникают гиперэллиптические кривые, и свойства резольвент на этих кривых универсальны.

Еще одним важным примером матричной модели является модель Концевича, возникшая в 90-е годы при исследовании связи двумерной топологической теории гравитации и интегрируемой иерархии Картевега де Вриза (КдВ), которая является представителем важного класса обобщенных моделей Концевича:

ZK= Г «tte-^vw+TVA*

УлГхАГ

Здесь Л - произвольная эрмитова матрица, следы от отрицательных степеней которой играют роль констант связи, а У"(Ф) - потенциал, который для модели Концевича просто равен Ф3. Модель Концевича может быть получена из эрмитовой матричной модели в специальном (двойном скейлинговом) пределе. Но в литературе, в частности, в работах Л.Чехова и И.Костова есть указания на то, что существует нетривиальная точная связь между двумя этими моделями. Эта связь должна основываться на формулах разложения, являющихся аналогами формул разложения, которые известны в топологической теории струн. Топологические теории поля и струн активно изучались в конце 80-х - начале 90-х годов прошлого века, в частности, в работах Э.Виттена и Р.Дижкграафа были получены важные результаты, которые определяют связь топологических теорий с геометрией пространств модулей римановых кривых и интегрируемыми иерархиями. Топологические теории образуют важный класс моделей теории струн, многие общие свойства которых очень похожи на свойства матричных моделей. В некоторых случаях известно явное отождествление, в частности, для простейших топологических теорий струн -теорий для точки и для многообразия <CPi- статистические суммы задаются матричными интегралами.

Содержание диссертации

В первой главе описывается общая конструкция построения статистической суммы эрмитовой матричной модели. Излагается новый подход к матричным моделям, а именно, предлагается рассматривать матричную модель как D-модуль, описывающий все решения условий Вирасоро со сложной структурой ветвей, особенностей и т.д. Такая конструкция основывается на решении уравнений Вирасоро, которые являются тождествами Уорда для матричного интеграла. Эти условия приводят к рекуррентным соотношениям на вклады отдельных родов в мультирезольвен-ты. В диссертации представлено несколько первых шагов рекурсии и получены выражения для мультирезольвент младших родов. Исследована иерархическая структура решений и показано, что для физически важного класса решений, а именно для решений, обладающих т'Хофтовским разложением по родам, произвол в решении определяется функцией от коэффициентов потенциала и константы связи д: Z(0\T) — exp g2h~2F^(Т)), удовлетворяющей двум условиям согласованности: iZ(0|T) = О, L0Z{0\T) = 0.

То есть, решение, статистическая сумма которого имеет разложение по родам, задается произвольной функцией от п — 1 коэффициента затравочного потенциала. Для важного подкласса решений (решений Дижкграафа-Вафы, возникающих при описании N = 1 суперсимметричной теории Янга-Милса в d = 4) получена формула разложения, нетривиальным образом связывающая статистические суммы этих решений со статистическими суммами простейших (гауссовых) эрмитовых матричных моделей: zSr** mo) = II,=1V1 UW) П <*T"j П П^П ZG{ e(<) m с операторами

6 - «CD (i V f + ^ d 'i otij = ац — aj, где сц - экстремум потенциала W{x) и wW(**i) d i = exp J -J2 k>3 где W^^(x) = d*W(x). При этом переменные tj^ задаются соотношениями

00 / п \ п / оо \

X; tЛ Е ^(«»+M')fc) = Е Е ^ МП • к=0 \«=1 / «=1 \*=0 /

Получены явные формулы для корреляционных функций для гауссовой и общей негауссовой эрмитовых матричных моделей. Оказывается, что особенности всех корреляционных функций, в том числе для старших родов, определяются гиперэллиптической кривой у (z), которая возникает уже в простейшей резольвенте

Z{t\T) = tf(i)Z(0|T).

Показано, что решения ДВ образуют базис в пространстве решений, то есть произвольное решение можно представить в вида интеграла от решения ДВ с некоторым весом /(5): адг) = J HdSif{S)ZDV(T\t\S).

Во второй главе исследуются свойства универсального оператора эволюции. Явно предъявлено несколько первых коэффициентов разложения этого оператора по константам связи: z)v{z)dz + £ k^2\zi, z2)v{z\)v{z2)dz]dz2 +.

Здесь v{z) = о tkZk- Выражения для этих коэффициентов являются непосредственными опе-раторозначными аналогами выражений для корреляционных функций. Эти операторозначные коэффициенты и различные их комбинации называются чек-операторами. Выражения для первых коэффициентов этого ряда оказываются значительно проще, чем выражения для соответствующих корреляционных функций. Например, выражение для вклада рода д = 2 в одноточечную резольвенту имеет вид

2|i)/■ ■> (RFW)2 + (R2fW) jRy)(RFV) , (RFW) (&y) Pw 3 - +— ^4- +

11(%)2 2y"(Ry) (.Ry") y»(RFV) 1 # ( {Ry) , ,

4 у5 + у5 у4 у4 гуЗ6^ 2y2 + у J^

5 (У*)2 1 «а (У"\ 1 У(4)

16 у5 8у2° \y2J 8 у4 ' в то время как соответствующий оператор гораздо проще:

Kw W-le ^ 88 Г

У''

Rw{z) = - £ (а + 6 + 2)Ta+b+2za^r, о,6=0 y(z;g) = yjw'W -4g2R(z), и это выражение (с точностью до упорядочения некоторых членов, которое полностью не фиксируется) воспроизводит выражение для статистической суммы гауссовой эрмитовой матричной модели. При этом гиперэллиптическая кривая, которая определяет особенности всех мультире-зольвент, определяется по свободной энергии для рода д — 0, а именно,

Показано, что можно определить чек-операторы как для связанных, так и для несвязанных муль-тирезольвент. Далее показано, что по коэффициентам разложения универсального оператора эволюции можно построить бесконечный набор операторов, для которых решения ДВ являются собственными функциями с определенными собственными значениями, в частности, у операторов

Si = 92<f №4') JAi lAi собственными числами являются числа заполнения 5*. Высказана и проверена в лидирующем порядке по константе связи гипотеза о коммутативности этих и сопряженных к ним операторов: р2 f ХЩг),д* f К^Цг)

JAi JBj 92Sij.

Здесь sl - координаты на малом фазовом пространстве для многообразия М, a Dm{s) - дифференциальный оператор, действующий на константы связи h °° ■ » л • • k I где Vу (s), Aj(s) и Tk(s) - некоторые функции, которые строятся по свободной энергии для рода ноль Fj{p(8). В правой части этой формулы разложения стоит произведение т-функций Конце-вича. Эта т-функция интегрируемой иерархии КдВ, которая удовлетворяет дополнительному условию - струнному уравнению (одному из условий Вирасоро) и является статистической суммой для простейшей топологической теории струн - топологической гравитации. Она описываг ется матричным интегралом Концевича, разложение которого задает триангуляцию римановых поверхностей. В случае многообразия CP1, статистическая сумма для которого описывается некоторым матричным интегралом, формула разложения проверена с точностью до третьего порядка по константе связи с использованием условий Вирасоро, которым удовлетворяет т-функция Концевича. Высказана гипотеза об общей связи между дифференциальными операторами, входящими в формулы разложения и условиями Вирасоро, и гипотеза о связи формул разложения с уравнениями Хироты, которые имеют аналогичную структуру. Эти гипотезы также проверены с точностью до третьего порядка по константе связи.

В заключении подводятся итоги и перечисляются нерешенные проблемы.

В приложении приводятся некоторые полученные формулы и таблицы.

Благодарности

Я выражаю искреннюю признательность за ценные советы и полезные обсуждения Н. Амбург, Э. Ахмедову, Д. Васильеву, И. Горделию, В. Долотину, А. Дымарскому, А. Зотову, С. Клевцо-ву, С. Локтеву, А. Лосеву, Д. Малышеву, А. Маршакову, Д. Мельникову, В. Насретдиновой, Г. Нозадзе, В. Пестуну, В. Побережному, А. Соловьеву, Т. Султанову, А. Червову.

Я многим обязан своему научному руководителю А.Ю.Морозову, который помог мне сделать первые шаги в области матричных моделей. Я искренне признателен ему не только за предложенные задачи и большое внимание к моей научной работе, но и за ряд бесценных жизненных уроков.

Также я хочу выразить особую благодарность А.Д.Миронову за поддержку и многочисленные разъяснения научных вопросов. Его помощь в работе была незаменима.

Мне приятно поблагодарить Е.С.Суслову за неоценимую поддержку и помощь, оказываемую в течение всей моей работы.

Глава 2

Эрмитова матричная модель

2.1 Введение

Одна из целей общей теории струн [1] состоит в том, чтобы идентифицировать свойства статистических сумм различных струнных моделей. По определению статистические суммы являются производящими функциями всех корреляционных функций в квантовой теории. Существуют три различных описания/определения статистической суммы: в виде матричного элемента, в виде решения системы линейных дифференциальных уравнений (то есть как элемента £>-модуля) и в виде (функционального) интеграла по траекториям в конфигурационном и/или фазовом пространстве (по полевым конфигурациям), которые аналогичны трем существующим формулировкам квантовой механики (в виде линейной алгебры операторов в гильбертовом и фо-ковском пространствах, через волновые функции, через интеграл по путям). Эти совершенно непохожие определения подчеркивают различные свойства статистических сумм. Из их эквивалентности проистекают глубокие и нетривиальные соотношения и симметрии. Среди таких следствий важную роль играют свойства интегрируемости статистических сумм, из которых следует, что они принадлежат к классу обобщенных т-функций [2], удовлетворяющих бесконечному набору совместных нелинейных разностно-дифференциальных уравнений (обобщенных уравнений Хиротпы). Более того, статистические суммы различных моделей часто бывают связаны через дуальности и/или симметрии типа зеркальной. Несмотря на общие определения и симметрии, статистические суммы редко выражаются через стандартные специальные функции, но при этом обладают сложными аналитическими свойствами с всевозможными особенностями и ветвлениями.

Все это - универсальность, богатые симметрии и невозможность свести задачу к известным функциям - означает, что статистические суммы (т-функции) струнных моделей являются естественными кандидатами на роль следующего поколения специальных функций: они должны быть изучены безотносительно к их конкретным применениям, их свойства должны быть исследованы и описаны, интересные частные случаи (при специальных значениях параметров, в асимптотиках, на специальных ветвях) должны быть найдены, перечислены и сведены в таблицы - и в конце концов собраны в справочниках по специальным функциям. Эта задача является очень естественной, поскольку, по аналогии с обыкновенными специальными функциями (из семейств гипергеометрических, эллиптических и Римановых тета-функций), все т-функции тесно связаны с теорией представлений алгебр и групп Ли [2]. Важно отметить, что, хотя статистические суммы обычно являются т-функциями, обратное - неверно; статистические суммы образуют очень специальный подкласс среди т-функций - с дополнительными структурами и глубокими свойствами (ситуация хорошо моделируется соотношением между римановыми и общими тетагфункциями: первые, представляя усеченные статистические суммы свободных полей на римановых поверхностях, обладают дополнительными, очень важными, свойствами - такими, например, как тождества Фэя, которые следуют из теоремы Вика для свободных полей). Другими словами, интегрируемость является важной и естественной, но лишь малой, не исчерпывающей, частью теории статистических сумм.

В данной главе мы представляем первую итерацию предложенного выше анализа/изучения простейшей и очень важной специальной функции теории струн: статистической суммы эрмитовой одноматричной модели с матрицами конечного размера (ЭММКР) [3]-[7]. Общая схема рассуждений применима и к любой другой матричной модели. Очевидные примеры, которые следует проанализировать аналогичным образом - колчанные (конформные) матричные модели [8]-[10] (отметим также недавний прогресс в двухматричных (нормальных) моделях [11]) и (обобщенные) модели Концевича [12]-[17]. После этого можно будет перейти к геометрическим r-функциям, связанным с топологическими сигма-моделями и моделями квантовой гравитации в различных фоновых полях. Однако из всех статистических сумм естественнее всего начать именно с относящихся к матричным моделям (различные аспекты матричных моделей изложены в [18]-[20]). Можно ожидать, что они не только являются простейшими примерами, но и представляют элементы для построения многих других r-функций. Пример разложения геометрической статистической суммы (а именно, в случае СРп топологической сигма-модели) в композицию элементарных функций (в данном случае это - n + 1 т-функция Концевича), линейную по всем элементам, был получен А.Гивенталем [21]-[22] (смотри также [10]). В данной работе будет рассмотрена более простая формула разложения для ЭММКР (которая, на самом деле, была получена уже в [23]).

• В стандартной теории специальных функций принято различать два уровня общности: общее решение дифференциального уравнения и частные решения (ветви), обычно связанные с характерными интегральными представлениями (и/или специальными представлениями возникающей алгебры Ли). В качестве тривиального примера можно рассмотреть цилиндрическую функцию [24] (Х?-модуль, связанный с оператором z2d% + zdz + (z2 — i/2)) и ее специальные ветви: функции Бесселя и Неймана или функции Ганкеля. Любая пара этих ветвей образует базис в пространстве решений (в 17-мсщуле) и может быть зафиксирована с помощью выбора контуров интегрирования.

То же самое верно и для специальных функций теории струн - специальные (функциональные) интегралы описывают специальные ветви общей статистической суммы, которая определяется набором тождеств Уорда (уравнений ШвингерагДайсона) - причем разница между ветвями может оказаться более отчетливой, чем в элементарном случае. Мы детально разберем это явление на примере ЭММКР: сначала рассмотрим наивный матричный интеграл в §2.2.2, затем рассмотрим его обобщение как произвольное решение условий Вирасоро в §§2.2.3-2.2.4 (хотя сейчас мы очень мало можем сказать про решения, не обладающие разложением по родам) и в конце вернемся к специальным решениям: гауссовой т-функции -Z^f (i) в §2.2.5 и КИВ-ДВ т-функции ZDv[T\S](t) в §2.2.6. С помощью формул разложения, аналогичных формулам из работы Гивен-таля (§2.2.6), КИВ-ДВ т-функция строится из полилинейной комбинации гауссовых т-функций, и, как показано в §2.4.3, такие функции можно рассматривать как базис в линейном пространстве всех решений условий Вирасоро (примерно так же, как егрх в пространстве всех функций от х; другими словами, так же, как и е,рх, Zdv[T 1*5] задает ядро интегрального преобразоваг ния функций переменных Т к функциям переменных S). К сожалению, до сих пор не ясно, чем выделен этот базис, хотя он имеет очевидные преимущества: а именно, он задается формулами разложения, аналогичными формулам Гивенталя, и связан с теорией Уизема-Зайберга-Виттена.

• Результаты данной главы можно разбить на четыре пункта:

- Мы формулируем задачу, состоящую в описании свойств матричномодельных и геометрических т-функций, определенных как D-модули, то есть как общие решения системы условий, типа условий Вирасоро, в виде формальных рядов, и даем предварительный вариант такого описания для ЭММКР.

- Мы утверждаем, что описание сложной структуры фаз (ветвей) т-функции является очень важной - и до сих пор недооцененной и неисследованной - составной частью этой программы и делаем попытку такого описания для ЭММКР.

- Мы вводим иерархическое описание фаз. Во-первых, с помощью струнной константы связи д, мы вводим градуировку по степеням переменных t (констант связи или времен) и используем ее для того, чтобы выделить фазы, обладающие разложением по родам, для которых логарифм статистической суммы (препотенциал) допускает разложение в полу-бесконечный ряд по степеням д. Во-вторых, сдвиг конечного числа переменных t, t —t t — Т позволяет нам ввести различные виды t-разложений (фаз) с различными величинами (на самом деле, разностями aij = оц — <>j корней полинома степени п, W'(z) = = ПГ=1(г — а»))> возникающими в знаменателях. Полином W(<j>) степени п + 1 играет роль древесного суперпотенциала в контексте теории ДижкграафагВафы [25]. В третьих, каждая из этих фаз расщепляется в бесконечно-параметрическое семейство с различными положениями особенностей (точек ветвления) полиплотностей1 pw(zu. ,zm) = П I I (2-1-1) i=l \ft>0 Zi K ) где Zw{t) = es7^^ - это статистическая сумма ЭММКР. Это семейство фаз параметризуется произвольной функцией Fw(g) = F(T,g) = J-~w(t = 0, g) от параметра j ип переменных

- Мы утверждаем, что альтернативный подход к описанию ветвей может основываться на формулах разложения, аналогичных формулам Гивенталя, представляющих матричномодель-ные/геометрические т-функции с помощью оператора, действующего на произведение "элементарных т-функций". В случае ЭММКР "элементарными т-функциями" являются гауссовы, и формулы разложения приводят к КИВ-ДВ т-функциям ZDv[T\S](t). Если задан W(z), то общая статистическая сумма, построенная по произвольной функции Z[T\ = с помощью оператора эволюции Uw(t) (смотри §2.4.3),

Zw(t,T) = Uw(t)Z(T) (2.1.2) может быть представленна через КИВ-ДВ т-функции

Zw(t,T) = J ZDV[T\S](t)C[S\dS, (2.1.3) где коэффициенты С[5] определяются разложением "начальной" Z[T] в линейную комбинацию ZDV[T\S] = eF"vPW92 = ZDV[T\S](t = 0),

Z[T\ = J ZDV\T\S\C[S\dS. (2.1.4)

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

Заключение

В качестве итога приведем основные результаты диссертации

• Поставлена и решена задача об описании матричной модели с помощью условий Вирасоро. Получена классификация решений, вычислены некоторые корреляционные функции для производящих функций общего вида.

• Показано, что решения ДВ образуют базис в пространстве всех решений условий Вирасоро.

• Показано, что существует универсальный оператор эволюции, который не зависит от выбранной ветви производящей функции. Получены явные выражения для коэффициентов разложения этого оператора в ряд по константам связи. Сформулированы гипотезы о связи таких операторов в гауссовом и негауссовом случаях.

• Получены операторы, для которых решения ДВ являются собственными функциями. Проверена коммутативность этих операторов в лидирующем порядке. Получена формула разложения для решений ДВ.

• Формула разложения для CPi топологической теории струн проверена до третьего порядка точности с использованием условий Вирасоро.

Результаты диссертации могут быть использованы для исследования различных задач из области матричных моделей. В частности, интересно было исследовать связь формул разложения для эрмитовой матричной модели и других подобных моделей с алгебрами Кричевера-Новикова на римановых кривых старших родов с выколотыми точками. Такая связь прослеживается для гауссовой модели, но для потенциалов старшей степени она не ясна. Другим направлением исследований является связь матричных моделей с конформными теориями поля. Одним из интересных вопросов в этой области связан с существованием конфорной теории, статистическая сумма которой совпадала бы с статистической суммой матричной модели в нетривиальном бэкграунде. О такой возможности говорит существование интересной диаграмной техники для многоразрезного решения. Интересен вопрос о наличии в матричных моделях структур топологической теории струн таких, например, как соотношения топологической рекурсии и детерминантные выражения для непланарных вкладов в свободную энергию. Особенно интересно было бы увидеть эти структуры в многоразрезном случае.

Глава 6

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Александров, Александр Сергеевич, Москва

1. A.Polyakov, Gauge Fields and Strings, Chur, Switzerland: Harwood (1987) 301 p. (Contemporary Concepts in Physics, 3)

2. M.Green, J.Shwarz and E.Witten, Superstring Theory, v.1,2, Cambridge, Uk: Univ. Press (1987) (Cambridge Monographs On Mathematical Physics)

3. A.Morozov, Sov.Phys.Usp. 35 (1992) 671-714 (Usp.Fiz.Nauk 162 (1992) 83-176 J.Polchinski, String Theory, v.1,2, Cambridge, UK: Univ. Press (1998) A. Marshakov, Phys. Usp. 45, 915 (2002) Usp. Fiz. Nauk 172, 977 (2002).

4. A.Gerasimov, S-Khoroshkin, D.Lebedev, A.Mironov and A.Morozov, Int.J.Mod.Phys. A10 (1995) 2589-2614, hep-th/9405011

5. A.Mironov, A.Morozov and L.Vinet, Theor.Math.Phys. 100 (1995) 890-899 (Teor.Mat.Fiz. 100 (1994) 119-131)

6. S.Kharchev, A.Mironov and A.Morozov, Theor.Math.Phys. 104 (1995) 129-143

7. A.Mironov, Theor.Math.Phys. 114 (1998) 127

8. A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett. B524 (2002) 217-226

9. Mehta M.L., Random matrices, (2nd ed., Academic Press, New York, 1991)

10. Brezin E., Itzykson C., Parisi G., and Zuber J.B., Commun.Math.Phys. 59 (1978) 35

11. Bessis D., Commim.Math.Phys. 69 (1979) 147

12. Bessis D., Itzykson C., and Zuber J.B., Adv.Appl.Math. 1 (1980) 1091.zykson C. and Zuber J.-B., J. Math.Phys. 21 (1980) 411

13. A.Gerasimov, A.Marshakov, A.Mironov, A.Morozov and A.Orlov, Nucl.Phys. B357 (1991) 565618

14. S.Kharchev, A.Marshakov, A.Mironov, A.Orlov and A.Zabrodin, Nucl.Phys. B366 (1991) 569601

15. A. Morozov, Phys. Usp. (UFN) 37 (1994) 1 arXiv:hep-th/9303139].

16. A.Mironov, Int.J.Mod.Phys. A9 (1994) 4355-4405; Fiz.Elem.Chast.Atom.Yadra 33 (2002) 10511145; Phys.Part.Nucl. 33 (2002) 537-582; hep-th/9312212;

17. K. Kostov, arXiv:hep-th/9907060.

18. A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett. B265 (1991) 99-107

19. S.Kharchev, A.Marshakov, A.Mironov, A.Morozov and S.Pakuliak, Nucl.Phys. B404 (1993) 717750

20. A.Mironov, S.Pakuliak, Theor.Math.Phys. 95 (1993) 604-625 (Teor.Mat.Fiz. 95 (1993) 317-340)

21. I.Kostov, Phys.Lett. B297 (1992) 74-81

22. J. Alfaro and I. K. Kostov, "Generalized Hirota Equations in Models of 2D Quantum Gravity," arXiv:hep-th/9604011.

23. M.Mineev-Weinstein, P.B.Wiegmaim and A.Zabrodin, Phys.Rev.Lett. 84 (2000) 5106-5109

24. K. Kostov, I. Krichever, M. Mineev-Weinstein, P. B. Wiegmann and A. Zabrodin, "r-function for analytic curves," Proceedings of MSRI Workshop "Matrix Models and Painlev£ Equations", Berkeley (USA) 1999 Math.Sci.Res.Inst.Publ. 40 (2001) 285-299

25. A. Boyarsky, A. Marshakov, O. Ruchayskiy, P. Wiegmann and A. Zabrodin, Phys.Lett. B515 (2001) 483-492

26. Krichever, A. Marshakov and A. Zabrodin, Commun. Math. Phys. 227 (2002) 131-153

27. Kontsevich M.L., Funk.AnaLPrilozh. 25 (1991) v. 2, p. 50 (in Russian)

28. A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett. B274 (1992) 280

29. S.Kharchev, A.Marshakov, A.Mironov, A.Morozov and A.Zabrodin, Nucl.Phys. B380 (1992) 181-240; Phys.Lett. B275 (1992) 311-314

30. S.Kharchev, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Nucl.Phys. B397 (1993) 339-378

31. S.Kharchev, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Mod.Phys.Lett. A8 (1993) 1047-1061

32. L.Chekhov and Yu.Makeenko, Phys.Lett. B278 (1992) 271-278

33. Chekhov, "Matrix Models and Geometry of Moduli Spaces," arXiv:hep-th/9509001. S. Kharchev, Amer. Math. Soc. Transl. (2) 191 (1999) 119-162

34. Wigner E.P., Ann.Math. 53 (1951) 36

35. Dyson F.J., J.Math.Phys. 3 (1962) 140

36. Gross D. and Witten E., Phys.Rev. D21 (1980) 446 Eguchi T. and Kawai H., Phys.Rev.Lett. 48 (1982) 1063

37. Voiculescu, D.V., Dykema, K.J., Nica, A.:Free Probability Theory. A Noncommutative Probability Approach to Free Products with Applications to Random Matrices, Operator Algebras and

38. Harmonic Analysis on Free Groups. CRM Monograph Series. 1. Providence, RI:American Mathematical Society, v, 70 (1992)

39. Di Francesco P., Ginsparg P., and Zinn-Justin J., Phys.Rep. 254 (1995) 1

40. F. David, Nucl. Phys. В 257, 45 (1985).

41. Kazakov V.A., Kostov I.K., and Migdal A.A., Phys. Lett. B157 (1985) 295

42. A.Givental, Semisimple IVobenius structures at higher genus. math.AG/0008067

43. J. S. Song and Y. S. Song, "Notes from the underground: A propos of Givental's conjecture," arXiv:hep-th/0103254.

44. F. David, Phys.Lett. B302 (1993) 403-410, hep-th/9212106;

45. G. Bonnet, F. David, B. Eynard, J.Phys. A33 (2000) 6739-6768, cond-mat/0003324 A.Klemm, M.Marino and S.Theisen, JHEP 0303 (2003) 051

46. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, 5th ed., Academic, London, U.K., 1994.

47. R. Dijkgraaf and C. Vafa, Nucl.Phys. B644 (2002) 3-20; NucLPhys. B644 (2002) 21-39; hep-th/0208048

48. Migdal A.A., Phys.Rep. 102 (1983) 199

49. Ambj0rn J., Jurkiewicz J., and Makeenko Yu., Phys.Lett. B251 (1990) 517

50. E.Witten, Nucl.Phys. B460 (1996) 335-350

51. I.A.Batalin and G.A.Vilkovisky, Phys.Lett. B102 (1981) 27-31; Phys.Lett. B120 (1983) 166-170; Phys.Rev. D28 (1983) 2567-2582; Nucl.Phys. B234 (1984) 106-124; J.Math.Phys. 26 (1985) 172-18429. See for a review:

52. M.Henneaux and C.Teitelboim, Quantization of Gauge Systems, Princeton University Press, 1992 J.Gomis, J.Paris and S.Samuel, Phys.Repfc. 259 (1995) 1-145

53. E.S.Fradkin and G.A.Vilkovisky, Phys.Lett. B55 (1975) 224 LA.Batalin and G.A.Vilkovisky, Phys.Lett. B69 (1977) 309-31231. See for a review:

54. M.Henneaux, Phys.Rept. 126 (1985) 1

55. E.Witten, Mod.Phys.Lett. A5 (1990) 487

56. A.S.Schwarz, Comm.Math.Phys. 155 (1993) 249-260

57. J.Polchinski, Nucl-Phys. B231 (1984) 269

58. A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett. B490 (2000) 173-179

59. N.Seiberg and E.Witten, Nucl.Phys. B426 (1994) 19

60. David F., Mod.Phys.Lett. A5 (1990) 1019

61. A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett. B252 (1990) 47-52 Ambj0rn J. and Makeenko Yu., Mod.Phys.Lett. A5 (1990) 1753

62. H.Itoyama and Y.Matsuo, Phys.Lett. 255B (1991) 202 A. Marshakov, A. Mironov and A. Morozov, Phys. Lett. В 274, 280 (1992) arXiv:hep-th/9201011.

63. Fukuma M., Kawai H., and Nakayama R., Int.J.Mod.Phys. A6 (1991) 1385 Dijkgraaf R-, Verlinde H., and Verlinde E., Nucl.Phys. B348 (1991) 435

64. J. Ambjorn, J. Jurkiewicz and Y. M. Makeenko, Phys. Lett. В 251, 517 (1990).

65. Makeenko Yu., Marshakov A., Mironov A., and Morozov A., Nucl.Phys. B356 (1991) 574

66. H. Itoyama and A. Morozov, Int. J. Mod. Phys. A 18, 5889 (2003)

67. J.Harer and D.Zagier, Invent.Math. 85 (1986) 457-485

68. S.K.Lando and A.K.Zvonkin, Embedded graphs, Max-Plank-Institut fur Mathematik, Preprint Series 2001 (63), Bonn

69. C.Itzykson and J.-B.Zuber, Comm.Math.Phys. 134 (1990) 197-208

70. E. Witten, Nucl. Phys. B340 (1990) 281

71. R. Dijkgraaf, H. Verlinde and E. Verlinde, Nucl. Phys. B352 (1991) 59

72. R. Dijkgraaf and E. Witten, Nucl. Phys. В 342, 486 (1990). В. Dubrovin, Geometry of 2D topological field theories, Integrable Systems and Quantum Groups, Lecture Notes in Math., vol. 1620, Springer, Berlin, 1996, pp. 120-348

73. A. Marshakov, A. Mironov and A. Morozov, Phys. Lett. B389 (1996) 43; Mod.Phys.Lett. A12 (1997) 773-787; Int.J.Mod.Phys. A15 (2000) 1157-1206

74. A. Losev, JETP Lett. 65, 386 (1997) Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 65, 374 (1997)]. K.Ito and S.-K.Yang, Phys.Lett. B433 (1998) 56-62

75. G.Bertoldi and M.Matone, Phys.Rev. D57 (1998) 6483-6485 A.Morozov, Phys.Lett. B427 (1998) 93-96

76. A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett., B424 (1998) 48-52

77. H.W. Braden, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett. B448 (1999) 195 A.Veselov, Phys.Lett. A261 (1999) 297-302

78. J.MJsidro, Nucl.Phys., B539 (1999) 379-402

79. A. Mironov, "WDW equations and Seiberg-Witten theory," Integrability: the Seiberg-Witten and Whitham equations, Gordon and Breach Science Publishes, 2000, 103-122 A. Marshakov, Theor.Math.Phys. 132 (2002) 895 (Teor.Mat.Fiz. 132 (2002) 3)

80. F. Cachazo, K. Intriligator and C. Vafa, Nucl.Phys. B603 (2001) 3-41

81. F. Cachazo and C. Vafa, "N = 1 and N = 2 geometry from fluxes," arXiv:hep-th/0206017.

82. N. Dorey, Т. J. Hollowood, S. Prem Kumar and A. Sinkovics, JHEP 0211 (2002) 039; ibid., 040; ibid., 0212 (2002) 003

83. F. Ferrara, Nucl.Phys. B648 (2003) 161-173; Phys.Rev. D67 (2003) 085013

84. D. Berenstein, Phys.Lett. B552 (2003) 255-264

85. R. Dijkgraaf, S. Gukov, V. Kazakov and C. Vafa, Phys.Rev. D68 (2003) 045007

86. A. Gorsky, Phys.Lett. B554 (2003) 185-189

87. R. Dijkgraaf, M. T. Grisaru, C. S. Lam, C. Vafa and D. Zanon, Phys. Lett. В 573, 138 (2003).

88. B. Feng, "Seiberg duality in matrix model," arXiv:hep-th/0211202.

89. B. Feng, Nucl. Phys. В 661, 113 (2003) F. Cachazo, M. R. Douglas, N. Seiberg and E. Witten, JHEP 0212 (2002) 071

90. F. Cachazo, N. Seiberg and E. Witten, JHEP 0302 (2003) 042; JHEP 0304 (2003) 018 A. Dymarsky and V. Pestun, Phys.Rev. D67 (2003) 125001 R.Boels, Jan de Boer, R.Duivenvoorden, J.Wijnhout, hep-th/0305189

91. G. Bonelli, Nucl. Phys. В 649, 130 (2003) arXiv:hep-th/0209225].

92. H. Suzuki, JHEP 0303, 005 (2003) arXiv:hep-th/0211052., JHEP 0303, 036 (2003) [arXiv:hep-th/0212121].

93. Bena and R. Roiban, Phys. Lett. В 555, 117 (2003) arXiv:hep-th/0211075.

94. Y. Demasure and R. A. Janik, Phys. Lett. В 553, 105 (2003) arXiv:hep-th/0211082. R. Gopakumar, JHEP 0305, 033 (2003) [arXiv:hep-th/0211100].

95. Bena, R. Roiban and R. Tatar, Nucl. Phys. В 679, 168 (2004) arXiv:hep-th/0211271. Y. Tachikawa, Phys. Lett. В 573, 235 (2003) [arXiv:hep-th/0211189],Prog. Theor. Phys. 110, 841 (2003) [arXiv:hep-th/0211274].

96. Y. Ookouchi, JHEP 0401, 014 (2004) arXiv:hep-th/0211287.

97. S. K. Ashok, R. Corrado, N. Halmagyi, K. D. Kennaway and C. Romelsberger, Phys. Rev. D 67,086004 (2003) arXiv:hep-th/0211291.

98. K. Ohta, JHEP 0302, 057 (2003) arXiv:hep-th/0212025.

99. RR. A. Janik and N. A. Obers, Phys. Lett. В 553, 309 (2003) arXiv:hep-th/0212069. S. Seki, Nucl. Phys. В 661, 257 (2003) [arXiv:hep-th/0212079].

100. C. Hofman, JHEP 0310, 022 (2003) arXiv:hep-th/0212095.

101. C. h. Ahn and S. Nam, Phys. Lett. В 562, 141 (2003) arXiv:hep-th/0212231. C. h. Ahn, Phys. Lett. В 560, 116 (2003) [arXiv:hep-th/0301011]. S. Aoyama and T. Masuda, JHEP 0403, 072 (2004) [arXiv:hep-th/0309232].

102. A.Gorsky, I.Krichever, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett. B355 (1995) 466477

103. E.Martinec and N. Warner, Nucl.Phys. 459 (1996) 97

104. R.Donagi and E.Witten, Nucl.Phys. B460 (1996) 299-334

105. A.Gorsky, A.Mironov, A.Marshakov and A.Morozov, Nucl.Phys. B527 (1998) 690-716 H.Itoyama and A.Morozov, Nucl.Phys., B477 (1996) 855-877; Nucl.Phys., B491 (1997) 529-573; "Integrability and Seiberg-Witten theory," arXiv:hep-th/9601168.

106. E. D'Hoker and D. H. Phong, "Lectures on supersymmetric Yang-Mills theory and integrable systems," arXiv:hep-th/9912271.

107. A.Marshakov, Seiberg-Witten Theory and Integrable Systems, Singapore, Singapore: World Scientific (1999) 253 p.

108. H.W.Braden and LM.Krichever (Eds.), Integrability: The Seiberg-Witten and Whitham Equations, Gordon and Beach, 2000

109. A. Gorsky and A. Mironov, "Integrable many-body systems and gauge theories," arXiv:hep-th/0011197.

110. L.Chekhov and A.Mironov, Phys.Lett. B552 (2003) 293-302 V.Kazakov and A.Marshakov, J.Phys. A36 (2003) 3107-3136

111. H. Itoyama and A. Morozov, NucLPhys. B657 (2003) 53-78; Phys.Lett. B555 (2003) 287-295;

112. H. Itoyama and A. Morozov, Prog.Theor.Phys. 109 (2003) 433-463

113. L.Chekhov, A.Marshakov, A.Mironov and D.Vasiliev, Phys.Lett. B562 (2003) 323-338 A.Mironov, Fortsch.Phys. 51 (2003) 781-786

114. Ambj0m J., Chekhov L., Kristjansen C.F., and Makeenko Yu., NucLPhys. B404 (1993) 127 Ambj0rn J., Chekhov L., and Makeenko Yu., Phys.Lett. B282 (1992) 34154. 't Hooft G., NucLPhys. B72 (1974) 461

115. Veneziano G., NucLPhys. B117 (1976) 519

116. D. De Wit and G. 4 Hooft, Phys.Lett. 69 (1977) 61

117. Witten E., 'The 1/N expansion in atomic and particle physics', in Recent developments in gauge theories, eds. G. 't Hooft et аI (Plenum, New York, 1980) p. 403 Wadia S.R., Phys.Rev. D24 (1981) 970

118. A.Mironov, A.Morozov and G.Semenoff, Int.J.Mod.Phys. All (1996) 5031-5080

119. B.Eynard, JHEP 0301 (2003) 051; hep-th/0309036

120. Вгёгш E. and Kazakov V.A., Phys.Lett. B236 (1990) 144

121. Gross D. and Migdal A.A., Phys.Rev.Lett. 64 (1990) 127; NucLPhys. B340 (1990) 333 Douglas M. and Shenker S., NucLPhys. B335 (1990) 635

122. D.Berenstein, J.Maldacena and H.Nastase, JHEP 0204 (2002) 013

123. N.R.Constable, D.Z.Freedman, M.Headrick and S.Minwalla, JHEP 0210 (2002) 068

124. D. J. Gross, A. Mikhailov and R. Roiban, "Operators with large R charge in N = 4 Yang-Millstheory," Annals Phys. 301, 31 (2002) arXiv:hep-th/0205066. ; JHEP 0305 (2003) 025

125. N.Beisert, С.Kristjarisen, J.Plefka, G.W.Semenoff and M.Staudacher, Nucl.Phys. B643 (2002) 3-30; ibid., B650 (2003) 125-161

126. G.Akemann, Nucl.Phys. B482 (1996) 403 L.Chekhov, hep-th/0401089

127. B.Eynard, JHEP 0411 (2004) 031, hep-th/0407261

128. J.-P.Serre, "Lie Algebras and Lie Groups", LNM 1500 (1992)

129. A.Morozov and L.Vinet, Int.J.Mod.Phys. A13 (1998) 1651, sec.B.7, hep-th/9409093

130. E. Witten, Commun. Math. Phys. 118, 411 (1988).

131. E. Witten, Nucl. Phys. В 340, 281 (1990).,

132. R. Dijkgraaf and E. Witten, Nucl. Phys. В 342, 486 (1990).

133. A. Morozov, "Matrix models as integrable systems,"

134. Proceedings of CRM-CAP Summer School "Banff 1994, Particles and Fields" (1995) 127-210

135. M. Kontsevich and Y. Martin, Commun. Math. Phys. 164 (1994) 525 arXiv:hep-th/9402147].

136. T. Eguchi and S. K. Yang, Mod. Phys. Lett. A 9, 2893 (1994) arXiv:hep-th/9407134]., K. Hori, Nucl. Phys. В 439, 395 (1995) [arXiv:hep-th/9411135]. T. Eguchi, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 45BC, 149 (1996).

137. T. Eguchi, K. Hori and C. S. Xiong, Int. J. Mod. Phys. A 12, 1743 (1997) arXiv:hep-th/9605225].

138. M. Fukuma, H. Kawai and R. Nakayama, Commun. Math. Phys. 143, 371 (1992). M. Fukuma, H. Kawai and R. Nakayama, Commun. Math. Phys. 148, 101 (1992).

139. M. R. Douglas, Phys. Lett. В 238, 176 (1990).

140. M. Kontsevich, Commun. Math. Phys. 147 (1992) 1.

141. E. Getzler, arXiv:alg.geom/0108108.

142. T. Eguchi, M. Jinzenji and C. S. Xiong, Nucl. Phys. В 510, 608 (1998) arXiv:hep-th/9709152].

143. E. Getzler, arXiv:alg.geom/9612004.

144. E. Getzler, arXiv:math.ag/9805114.

145. E. Date, M. Jimbo, M. Kashiwara and T. Miwa, RIMS-394 In *Stone, M. (ed.): Bosonization* 427-507.

146. L. Chekhov, A. Marshakov, A. Mironov and D. Vasiliev, arXiv:hep-th/0506075.