Конформные и топологические теории поля и интегрируемые системы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РГб ол

Физически» Институт им. П. II. Лебедева <р р 'г; Российской Академии Наук

Семихатов Алексей Михайлович

УДК 530-145

Конформные и топологические теории поля и интегрируемые системы

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

Диссертации на соискание ученой стелеяя доктора, физико-математических паук

Москва 1995

Работа выполнена в Отделении Теоретической Физики им. И.Е. Тамма Физического Института им. П.Н. Лебедева РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук И.М. Кричевер (Институт теоретической физики им. Ландау РАН)

доктор физико-математических наук М.А. Савельев (Институт физики высоких энергий РАН)

доктор физико-математических наук член-корреспондент РАН A.A. Славнов

(Математический институт им. Стеклова РАН)

Ведущая организация:

Объединенный институт ядерных исследований

Защита состоится " ^¿Л^СнВ^_ 1995г. в часов на заседании

Специализированного Совета Д 002.39.03 в Физическом институте им. П.Н. Лебедева РАН (115580, Москва, Ленинский проспект 53).

С Диссертацией можпо ознакомиться в библиотеке Физического института.

Автореферат разослан

Ученый секретатрь Специализированного Совета Д 002.39.03 доктор физико-математических наук

Л.М. Горбунов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Проблемы, связанные с теорией струн, занимают в современной теоретической физике особое положение в силу широты спектра как задан, так и используемых методов их решения, объединенных некоторыми универсальными концепциями. Первоначальной мотивацией развитая теории струн являлось построение непротиворечивой квантовой гравитации, по в ходе развития теории были выявлены ее фундаментальные связи с такими областями теоретической и математической физики, как интегрируемые системы, двумерные конформные теории поля, точно-решаемые задачи статистической механики, матричные модели и др. Что касается собственно 'струнных' приложений, то здесь были построены разнообразные теории струн, основанные на различных алгебрах симметрии. Центральным объектом, непременно присутствующим в любой струне, а также проявляющимся в связанных со струнами приложениях, является алгебра Вирасоро. Изучение динамических реализаций алгебры Вирасоро составляет содержание копформной теории поля; в то же время, это и нетривиальный объект изучения со стороны математиков из-за удачного сочетания в бескопечпомерпой ситуации теории представлений и дифференциальной геометрии. По мере развития теории были открыты алгебры, тем или иным способом расширяющие алгебру Вирасоро - суперсимметричные алгебры, Ж-алгебры и дх гибриды с суперо.имметричными, алгебры Каца-Мудц и топологические алгебры. Множественность ассоциируемых с этими алгебрами теорий струп приводит к поста-товке задачи их классификации. На современном этапе мы, по-видимому, находимся зсе еще далеко от ее полного решения, по ряд частичных результатов может быть полу 1еп путем исследования вложений теорий струн в модели ВЗВ (\Vess-Zummo-Witten) 1 в рамках т.наз. Универсальной теории струп, а также путем соотнесения струн-шх теорий объектам в других парадигмах (таких как интегрируемые ураппения). Теобходнмость подобных построений для выяснения истинного динамического содер-кания теории струн была осознана сравнительпо недавно, но, судя по полученным >езулътатам, именно здесь может быть достигнуто новое понимание такого сложного (инамического объекта, каким является теория струн.

Делыо работы является изучение связей между конформными теориями ноля на ми->овом листе струны л интегрируемыми системами, а также установление внутренних оаимосвязей между различными классами теорий струн п исследование круга вопро-ов, связапных с алгеброй Вирасоро на интегрируемых иерархиях, топологической и £(2)-ВЗВ симметриями в двумерной конформной теории поля и с квантовой гравита-;ией.

1аучная новизна. Автором впервые получены результаты о действии алгебры Вира-оро на основных интегрируемых иерархиях, об отображении условий Вирасоро в урав-:ения отщепления нулевых векторов в конформных моделях (с1есоирН^-уравнепня), о

наличии топологической алгебры симметрии во всякой некритической теории струн, о вложении произвольной некритической теории струн в 5/(2) модель ВЗВ, о тождественности топологических и з£(2)-сингулярных векторов.

Научная и практическая ценность диссертационной работы обусловлена возможностью применения полученных в ней результатов в дальнейших исследованиях по теории струн и конформных моделей. Построенная в работе скрученная N = 2 симметрия теорий, взаимодействующих с двумерной гравитацией, получила широкое применение и дальнейшее развитие в ряде современных исследований. Обнаруженные связи между топологическими н s£(2)- алгебрами и соответствющими конформными теориями реализуют новое направление в развитии концепции Универсальной теории струн. Апробация работы. Результаты, изложенные в Диссертации, неоднократно обсуждались на семинарах Теоретического отдела ФИАН и многих других научных центров (МИАН, ИТЭФ, ЛОМИ, ОИЯИ, ЕрФРГ, CERN, ICTP, I. Newton Institute for Mathematical Sciences (Cambridge), Imperial College (London), Queen Mary and West-field College (London), University of Durham, Chalmers Institute of Technology (Gteborg), LPTHE (Paris), Université de Geneve, Mathematical Science Research Institute (Berkely) и др.), а также на международных научных конференциях, семинарах и школах, включая Karpacz School on Theoretical Physics, Dublin Institute of Advanced Studies Seminar, Aspen Center for Physics, Johns Hopkins Conference и др.

Публикации. Написанные по теме написапы 21 работа (см. стр. 28) опубликованы в отечественных и зарубежных научных журналах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, трех глав, объединяющих 25 разделов, Заключения, списка цитируемой литературы, включающего более 200 названий, и Приложения. Общий объем работы - 230 стр.

Краткое содержание работы

Во Введении сформулирован объект исследований и цели Диссертации, прокомментировано современное состояние круга вопросов, затрагиваемых в Диссертации.

Глава I. Алгебра Вирасоро и интегрируемые иерархии

В этой главе установлено, что действие алгебры Вирасоро может быть определено па фазовом пространстве интегрируемых иерархиях KII (Кадомцева-Петвиашвили) и 'Годы (и их редукциях). В разделе 1 Действие алгебры Вирасоро на КП-иерархии показано, что действие алгебры Вирасоро на римановых поверхностях можно перенести на псевдодифференциальные (*/>Diff) операторы, описывающие КП-иерархию, в

соответствии с диаграммой

риманова поверхность —>■ тау функция —>• tADiff оператор

ты

Т(и)

ЭД (1)

риманова поверхность —У тау функция —► ^¿Diff оператор

где под римановой поверхностью погашается набор данных Кричевера, в котором линейное расслоение является расслоением J-дифференциалов, а левая вертикальная стрелка дается известным действием векторного поля Епе^и~п~2гп+1д/дг (и - формальный параметр, a z - локальная координата). Здесь Т(u) = £pezu~!'"2LI, с обычными выражениями для генераторов алгебры Вирасоро, например,

=Ш a&ir:+ § "'¿Ь+ (J - й +< • <2>

а %{и) - семейство векторных полей, зависящих от формального параметра и, которые действуют на одевающий оператор К как К — X(и) К, где

и удовлетворяют алгебре Вирасоро (без центрального расширения). Автором утверждается, что поля T(ti) касательны к пространству решений иерархии и при ограничении на образ отображения Кричевера делают диаграмму (1) коммутативной. Индивидуальные генераторы Вирасоро имеют вид

£„ 2 (A"(J(ra + l)Dn + PD"+1)A'_1)_, P-x + YirUD'-1. ' (4)

»■>i

При этом вариация волновой функции имеет вид

¿0(t, 2) = ±(и).ф(1, Z) = "(1 - JM*, и, + J (5)

ои аи

ф, = z)r{t, v)) = j* ф{х', i>2, г)ф'(х', ¿>2, u)dx'. (6)

Полученное нами уравнение (3) демонстрирует замечат&аыгое сходство с тензором энергии-импульса Ье-системы спина J: 'Г — —Л ■ дс-f (1 — 1)дЬ ■ с, так что уравнение (5) можно считать абстрактной версией обычного операторного произведения (в котором uj(z,u\t) является аналогом ядра Кошл). Соответствие с описанием be системы подчеркивается рассмотрением бозонизации на римановых поверхностях: в то время как на комплексной плоскости поля Ь и с выражаются через ток j посредством Ь = , с = ev, df = j, на римановых поверхностях старших родов эти простые формулы модифицируются из-за того, что поле ip больше не определяется током

j однозначно как <р{х) ~ ¡х}, поскольку интеграл совершает скачки вокруг гомологии. Механизм Бейкера-Лхиезсра борется с этой неоднозначностью путем придания наивному выражению Ь(и)с(у) ~ ехр ] инвариантного смысла при внесении его в фон некоторого оператора В, осповным ингредиептом которого является операторная тэта-функция, зависящая от Ь-перидов операторного тока

В~в(... + £з). (7)

Таким образом, бозонизация предполагает наличие объектов двух сортов: фопового оператора В, представляющего риманову поверхность как целое с минимальным числом операторных вставок на пей, и дополнительных вставок. Первые соответствуют операторам К, тогда как вторые - векторным полям на пространстве этих операторов, так что элементарная нейтральная вставка Ь(и)с(и) описывается в терминах векторным полем

¿(и,®) = £>(н,»)Я^:1 где 0(и,») = {Кс^рХ-5{ь, (8)

В разделе 2 Действие алгебры Вирасоро на иерархии Тоды рассматривается другой, помимо КП, важнейший пример интегрируемой иерархии — (двумерная) решеточная иерархия Тоды. Важность иерархии Тоды определяется тем, что она, как известно, связана с матричными моделями кваптовой гравитации до двойного скейлин-гового предела; первостепенный интерес поэтому представляет определение действия алгебры Вирасоро па фазовом пространстве этой иерархии и исследование его возможной связи с построенными в предыдущем разделе генераторами Вирасоро па иерархии КП. В соответствии с этим, в разделе 2 вычисляется действие алгебры Вирасоро на соответствующих пространствах оо х оо-матриц. Результаты замечательным образом оказывются структурно повторяющими полученные в разд. 1. Тензор энергии-импульса, представляющий действие алгебры Вирасоро на одевающей матрице иерархии Тоды, дается следующей пижне-треугольной матрицей:

ад =

ЕЕ и »-х^) - (в_Р|

(9)

(ср. (3)). Аналогичные результаты получены автором и для действия алгебры Вирасоро па второй одевающей матрице IV'0' иерархии Тоды.

Важным примером редукции иерархии Тоды являются /V-периодические иерархии. В Диссертации показано, что лишь генераторы = допустимым образом дей-

ствуют па ¿У-периодической иерархии Тоды. /^-периодическая иерархия Тоды обла-

дает, как известно, формулировкой, связанной с алгеброй токов ¿¿(Л'). На этот случай в Диссертации также перенесено действие алгебры Вирасоро. Значение n x м-формулировки определяется тем, что она проясняет теоретико-групповую природу и открывает возможности построения обобщенных иерархий Тоды, соответствующих другим, помимо алгебрам Каца-Муди. Связь с оо х оэ-матричным формализмом

доставляется гомоморфизмом ¿/(Л') —> оо), при котором Аг-периодические генераторы Вирасоро могут быть реализованы следующими операторами, действующими слева на токовую матрицу € вЬ^):

( 1

О

о

n

+

(10)

N-1

а=1 \1>а

n

)%Ni+aC

•'J A^iO-JinV^V)-1

Важно заметить, что (...)_ может означать здесь одну из двух операций: (г) выделение отрицательных степепей матрицы Ллг(С), в соответствии с тем, что всякая матрица может быть представлена в виде

Я = Е £ kM*)(4Vv(0\ тогда тг_ = £ £ |i>r.-(i){i|A.v(C)i,

.Of s=0 ¡<0 5-0

(11)

тип же (гг) выделение отрицательных степеней спектрального параметра С- Получаемые двумя способами генераторы (как и потоки иерархии) оказываются калибровочно эквивалентными.

С иерархией Тоды ассоциируются также 'двумерные' операторы Шредингера, параметризующие естественный кандидат на роль компактификацпи универсального пространства модулей римановых поверхностей. В разделе 3 Действие алгебры Вирасоро на дифференциальных операторах рассматриваются двумерные дифференциальные операторы второго порядка вида

(12)

с периодическими (комплексными) коэффициентами: /(г + £],г) = /(г, г), f(z,z -{-(2) = f(z,z), f = b, с. Каждый подобный оператор кодирует информацию о римановой поверхности. Рассмотрим решения этого оператора и его сопряженного

Нф = 0, Н'ф* = 0

(13)

/

с мультипликаторами и)1 и ю2:

ф{г + £иг) = иф(г,г +12) = т2ф(г,г),

ф'(г + еиг) = ЧУ(^), + =

Теорема Кричевера утверждает, что, исходя из спектральной задачи и ее блоховских решений, можно реконструировать риманову поверхность, иэоморфпую спектральной кривой оператора II, определяемой мультипликаторами. При этом блоховские решения оказываются мероморфными функциями на этой римановой поверхности с полюсами, не зависящими от г и г (функции Бейкера-Ахиезера).

Как показано в Диссертации, действие алгебры Вирасоро на эти данные - вставка тензора энергии-импульса в точке Р € Г - приводит к инфинитезимальному преобразованию волновой функции ф1(х,у,(}):

= (1 - Р)дрф^х,у; Р) - Юрши{х,у,д,Р)ф,{х,у\Р)

(где суммируется по значениям I = 1,2), причем и>и определяется из системы

(15)

= -М*,г,<3) 4 Ь(х, у)ф'(х,у\ Р)^ ,

дии(х,у;<2,Р)

дх

-аЦ- =--Ту—

(16:

В Диссертации найдены также вариации, претерпеваемые коэффициентами оператор: //; они могут быть формально осуществлены по модулю ядра Н посредством комму тации с псев до дифференциальным оператором

(1 - ))дРф,(Р) . а;1 о ф'(р) о д„ - ЩР) - а;1 °.орф:(Р) . а,. (п

Построенные прсдсталения алгебры Вирасоро на фазовых пространствах иптегрг руемых иерархий применяются далее в Диссертации к проблемам, мотивированны] матричными моделями - непертурбативным методом описания двумерной квантово гравитации и взаимодействующей с ней материи. Именно, анализируются условия В1 расоро на интегрируемых иерархиях и изучаются иерархии, ограниченные условиям Вирасоро.

В разделе 4 Непрерывный предел иерархии Тоды, ограниченной условш ми Вирасоро исследуется фундаментальный для метода матричных моделей вопрос соответствии условий Вирасоро на дискретном уровне (т.е. для решеточных иерарх! типа Тоды) с 'непрерывными' условиями Вирасоро. Показано, что два основных пр: мера иерархий, ограниченных условиями Вирасоро - КП и Тода - связаны некоторы скейлинговым пределом. Этот предельный переход естественно выполняется на язья

одевающих операторов и переводит определенные комбинации 'дискретных' условий Вирасоро в их континуальный вариант. Тем самым построенный скеплинговый предел оказывается иерархической версией так называемого двойного скейлингового предела в матричных моделях. Скейлипгу при этом подвергается вся иерархия целиком. Показано, что после предела возпикает КП-иерархия, ограниченная условиями Вирасо-ро, причем генераторы алгебры Вирасоро оказываются теми же, что мы получили в разделе 1.

Ввиду коммутативности потоков иерархии, имеется свобода в выборе линейных комбинаций потоков иерархии Тоды п, тем самым, соответствующих времен. Для осуществления скейлинга вводятся новые времена хг:

= + г>1, (18)

где - бииомиальпые коэффициенты, и затем времена КП-ирархии вводятся как хг = рЦ при е -> 0. Имеется также свобода в составлени линейных комбинаций самих условий Вирасоро. Хорошим скейлинговым поведением обладают комбинации

VI = Е Й^ИГ'- (19)

п—О \п/

Если бы в генераторах Вирасоро на иерархии Тоды

= ^1У(ос>{[1(п + 1) + р]А" + £ г1гЛг+"}Г/(°0»-11 = 0, п > 0 (20)

отсутствовала (.. .)„-проекция, не представляло бы труда вычислить суммы, возникающие при подстановке (18) п (20) п (19). Однако наличие (.. .)_-проекппи значительно усложняет задачу. Рассматривая векторы ^М-4) (где ~ дискретный параметр иерархии Тоды) как функции !'(«), определенные на целых числах 2, можно формально отождествить Л с оператором еэ, где д, также формально, есть И/дз. Далее примепяется скейлинг для превращения з в непрерывную переменную:

£ 3

« = -, 3 = = , £->0. (21)

е от 1

Можно считать, что е имеет размерность длины, тогда такова же размерность t\. Изменяя масштаб вводептшх выше связей получаем алгебру векторных полей .С, ассоциированных с операторами £, вида

[[£рЛ]] = (р-9)£&ег",,-'( \ ) =(Р-?)(£„+, + (22)

г>0 \г Р V

Было бы, однако, преждевременным заключить отсюда, что в пределе с —> 0 возникают коммутационные соотношения алгебры Вирасоро, поскольку этот предел затрагивает

построение пе только отображения £„ £„, но и самого пространства, на котором действуют векторные поля ¿„. Иными словами, скобка в левой части (22) несет некоторую зависимость от е при проведении скейлингового предела. Тем не менее, в Диссертации установлено, что из условий Вирасоро на иерархии Тоды после скейлинга действительно возникают условия Вирасоро для КП-иерархии:

4k?s(A'(Jí>+ J2^rDr)IF-1K-i). = 0, (P-1)>-1, (23)

Г>1

где (...)_ обозначает уже проекцию на интегральную часть псевдодифферепциального оператора, а не матричную операцию взятия нижне-треугольной части.

В разделе 5 Симметрии и редукции иерархий, ограниченных условиями Вирасоро выясняется, как и в каком смысле КП-иерархия, подчиненная условиям Вирасоро, редуцируется к обобщенным JV-КдВ иерархиям и какие ограничения возникают при этом на последних, а также исследуется алгебра симметрии иерархий, подчиненных условиям Вирасоро. Редукцию к iV-КдВ-иерархии допускают генераторы

%) = + . (24)

a,t

Связи суммируются в производящее выражение

(K(ezPDl~" — е10" K~l)_ = 0, (25)

разлагая которое по степеням z мы получаем набор петлевых уравнений, позволяющих, в принципе, установить связь с теоретико-полевым описанием. В iV-КдВ-случае 'тензор энергии-импульса' повторяет обобщенную структуру тензора энергии-импульса Ьс-системы:

S<">(£)=X>c —•D-1.^, e.=exp(2WTl±) (26)

и дается, как и в конформной теории поля па Zw-кривых, суммой по листам пакрытия над CP1. В Диссертации обсуждается также появление алгебры токов s£(N) на языке одевающих операторов. Следующая конструкция повторяет для псевдодяфферепци-альных операторов структуру токов со значениями в алгебре Каца-Муди:

T\E) = ^a\t,E)oD-1^V>(t,E) = (K¿*°-zJp-^ó{zb,D)K-1} . (27)

Ассоциированные векторные поля 3°6 действительно удовлетворяют алгебре токов sl(N)

[КГ (£), = *')У\Е) - г')3Л{Е). (28)

z z

Возможность ввести иерархии, подчиненные соответствующим связям, выражающим условия старшего веса по отношению к алгебре токов, иллюстрирует предлагаемый в работе общий способ действий: в качестве исходпого объекта для описания непертур-бативвой квантовой гравитации рассматривать интегрируемые иерархии, подчиненные подходящим связям.

Далее в Диссертации генераторы и условия Вирасоро 'подняты' со скалярных на матричные дифференциальные операторы, соответствующие 5^(Лг)-формулировке для ^-редуцированных КдВ-иерархий. Пусть, как и ралыпе, означает кольцо псев-

додифференцнальных операторов, а Р обозначает пространств векторов, являющихся столбцами высоты элементы которых - формальные ряды Лорана от С и одновременно функции от х. Заданный матричный оператор С позволяет, как известно, определить следующее действие ^^¡АГ на Р, превращающее Р в алгебру над кольцом

• : фВШ х Р —> Р , АшТ] — гДе в правой части имеется в виду

с с

матричное умножение и стандартное действие оператора £> = д)дх на функции от х. Соответствие между матричпым оператором С и скалярным оператором Ь задается формулой

/ 0 \

1.17а = С%, т = с

(29)

О

V 1 /

При проверке согласованности скалярных и матричных генераторов Вирасоро вычисляется полная вариация левой части (29) при вариации как 'аргумента' Ь, так п самой

операции .. При этом, как показано в Диссертации, необходимо также подвергнуть с

вариации спектральный параметр:

¿¿с = /,с = С5+1- ' (30)

В результате устанавливается согласованность вирасоровского действия на А'-КдВ-стерархии в скалярном формализме и формализме Дрппфельда-Соколова.

Важное отличие матричпого описания от скалярного касается струпного уравнения. Ввиду структуры (24) генераторов Вирасоро, условие £1°! = (Р,с)_ означа-зт, что оператор Р5С является чисто дифференциальным. При этом [¿,Р5С] — 1, где Ь = К'1 - оператор Лакса (также дифференциальный!). Но применительно к матричному формализму это условие влечет за собой [£, Рт] = 1, где, снова, (Р™)_ = £™г Это уравпепие имеет другую структуру, так как, в противоположность скалярному злучаю, £ не япляется собственным значением оператора Лакса £ и, вообще говоря, С, Рт] / 1.

В разделе 6 Суперсимметричные условия Пирасоро рассматривается супер-:имметричная КП-иерархия. Для супер-матричных моделей наивная матричная формулировка оказалась не адекватной, но при этом несомненно, что как суперсимме-гричные теории, взаимодействующие с сунергравитацпей, так и суперсимметричные

иерархии сами по себе, конечно, существуют. Как показано в Диссертации, оказыва ется возможным ввести условия Вирасоро, согласованные со всеми - четными и нечет ными - уравнениями супер-КП-иерархии.

Для описания супер-КП-исрархии требуется расширить пространство ■фТЛШ раторов до супер-^О^А' операторов. Пусть £ - суперпартнер переменной х и пуст V = щ + V2 = В = Одевающий оператор представляется в виде

Я = 1 + Х>пУ-\ (31

П>1

где {»„} - функции от х и (. Четные и нечетные времена обозначаются как ¿2 ] > 1 и ] > 0. Четные времена являются обычными временами КП-иерархш

перенумерованными как >-> ¿2;, поскольку нечетные индексы теперь используютс для нечетных времен.

В Диссертации найдены следующие генераторы супер-Вирасоро в секторе Неве Шварца:

©т = (К (П - (Р + 2тЛ)-')(У + П£>)) ОтК~1)_ , (32

где' т £2 и

Р = X + <2;-О'-1 + £ Е + ЕЕ ^ънхтмВ»' - Ел^с^у (за

¿>1 ;>0 ¡>0г>0 ¿>0

является супер-расширепием оператора Р из (4), тогда как

П = £-5>Ч1)г2,+11>' (34

¿>о

- его супсрпартнер и оператор V = щ — коммутирует с V. Операция (...)- обе значает взятие отрицательных степеней нечетного дифференцирования V.

Коммутируя друг с другом векторные поля С, соответствующие, генераторам Й мы находим четные генераторы Вирасоро

£„ = (к(РО + («•+ 1)1 + ^рПУ^А'"1) , пеЪ. (Зс

Они являются супер-расширением бозонных генераторов Вирасоро (с более тонко операцией (...)_!). Проверяется, что ипфипитеэимальпые деформации одевающег оператора вида 5К = £„/<' и ®т_;_А' касательны к многообразию решений супе] КП-иерархии.

Таким образом, супер-КП-иерархия, ограниченная условиями Вирасоро, может бьп определена равенствами

{ £„ = 0, п > -1 ^

Следовательно, весь предыдущий анализ алгебраической структуры и симметрии КП-терпрхпи, ограниченной условиями Вирасоро, может быть без труда обобщен на супер-хяучай, поскольку он целиком основан на алгебраической структуре 'голых* генерато-50В, т.е. на коммутационпых соотношениях между операторами Р, D, П и V, V.

Глава II. Конформные теории как решения условий Вирасоро

Во второй главе Диссертации рассматривается вопрос о решении условий Вирасоро. Гаковыми оказываются мшгамальпые модели конформной теории поля, точнее - n = 2 .шпимальпые модели в их 'скрученной' (топологической версии).

Ключевым шагом в построении конформной теории поля, являющейся решенном условий Вирасоро, окалывается использование формализма, в котором времена наглядят почти так же, как п спектральный параметр - преобразования Мивы на <Г1-иерархип. Это преобразование выражает (комплексифицированные) времена КП-lepapxmi как

tr = ~Y<njZjr, г>1, (37)

г i

'де {zj} - набор точек па комплексной плоскости. Традиционные приложения преобра-ювания (37) в интегрируемых моделях кояцентрировалнсь в основном вокруг переформулировки уравнений в форме Хироты в виде конечно-разностных уравнений для гараметров п¡. С другой стороны, Концевич использовал подобную же параметриза-щю времен в случае, когда все Пу совпадают друг с другом, в своей матричной модели. 3 Диссертации предлагается 'оживить' дополнительные степени свободы, содержащп-:ся в параметрах rij, и рассматривать уравнения (37) как набор преобразований от отмплексных координат Zj к временам ir, параметризованный величинами п, (преобра-ювание Капцетгта-Мивы). Язык и интуиция конформной теории поля применяются три этом для того, чтобы интерпретировать координаты z3 из (37) как точки вставок конформных операторов в корреляторах некоторой конформнох! теории поля.

Построенное в Диссертации преобразование Копцевича-Мивы отображает КП-lepapxnio, подчиненную условиям Вирасоро, в минимальные модели, одетые дополнительным скаляром в духе гравитационного ДДК- (David-Distler-Kawai) одевания. Параметры nj тогда приобретают смысл соответствующих 'лиувиллевских' С/(1)-зарядов i доставляют необходимую свободу для того, чтобы связать условия Вирасоро (2) с lecoupling-ypaBiienuflMn, соответствующими сипгулярным векторам в конформной те-)рии. Эта связь с decoupling-уравпениями является ключевым шагом, позволяющим шйти за пределы 'фермионно-грассманпиашгого' контекста. Для любого выбранного шдекса г, условие Вирасоро

2>r"V = 0 (38)

р>-i

определяет следующий вид зависимости r(t) = r{z} от z¡:

г = (...*(«)■■■). (3

где Ф - это одетые (¿,1)- или (1,£)-примарные состояния, а многоточие обозначав вставки в других точках z¡¿¡ произвольных (одетых) (С, 1)- или (1,^')-нримаряых п лей. Соответствующий параметр Мивы п,- того из них, которое относится к точке ; становится лиувиллевским {/(1) зарядом поля Ф и связан со спином J, который пар метризует условия Вирасоро, следующим образом:

i - 1 2 щ

2J - 1 =--т—1- . (4'

n¡ £-1 v

Тогда, как выясняется в Диссертации, все dccoupling-уравнепия, ассоциированные входящими в коррелятор (39) примарными полями, удовлетворяются в силу услов! Вирасоро.

Роль одевания материи дополнительным скаляром состоит в изменении вида d coupling-уравнений таким образом, чтобы к ним можно было применить преобразов нце Концевича-Мивы. Это одевающее предписание было обнаружено впервые авторе совместно с В. Gato-Rivera исходя из внутренних свойств преобразования Коцевич; Мивы. Оно может быть воспроизведено более инвариантным способом из БРСТ-инв puaumuocmu в топологической теории поля, исходя из условий, определяющих прима ные поля в скрученной N = 2 (топологической конформной) алгебре, при реализацг этой алгебры в терминах минимальной материи, лиувиллсвского скаляра и духов.

Как показано в Диссертации, такая реализация для топологической алгебры (кг и для собственно N = 2-алгебры) может быть осуществлена путем одевания любе теории материи с центральным зарядом d < 1 или d > 25. Точнее, существуют ров! две подобпых конструкции для скрученной Лг = 2-алгебры,и одна из них, называем; в дальнейшем 'зеркалыюй', позволяет установить соответствие с условиями Bnpacoj путем использования преобразования Концевича-Мивы. Вторая версия конструкц! (развитая, после работ автора, также рядом других исследователей в приложении различным расширениям алгебры Вирасоро), использует духи спина 2 и имеет, кг показано в Диссертации, своим следствием предписание ДДК для одевания матер* гравитацией (тем самым доставляя 'топологическое' происхождение рецепта ДДК).

Использование зеркальной конструкции позволяет увидеть, что условие факториз ции по БРСТ-точным состояниям в представлении топологической алгебры приводу в секторе материя + 'Лиувилль' в точности к decoupling-уравнениям, которые допуск ют преобразование Концевича-Мивы и тем самым порождают условия Вирасоро. Э)

можно суммировать диаграммой

с ф 3 топологическая алгебра

N

'КМ'-одетая ДДК-одетая (41)

материя материя

\ / d < 1 U d > 25- материя

в нижней части которой - произвольная материя с пептралыгам зарядом d < 1(J d > 25; любая такая теория тем самым может быть вложена в топологическую!

В раздаче 9 'Зеркальная' конструкция для топологической алгебры, принимая в качестве 'первопршщипа' идею скрученной n — 2-симметрии, автор показывает, как условие КРСТ-инвариантности приводит к появлению тех decoupling-урав-нений, которые порождают условия Вирасоро при преобразовании Концевича-Мивы. Для генератороз топологической конформной (скрученной iV = 2) алгебры предложено представление в терминах обычной (несуперспмметричной) матерпп, одевающего ли-увиллепского скаляра и духов. Именно, вводя стандартные обозначения а+ — —1 /а_, ао = Q+. 4 а- и d — 1 — 6а§ для центрального заряда материи, получим топологические геператоры

Q =

^ 2 у/2 ' £

% -= -0^-уДо^дф, Т г, т-\{дфу + ^д2ф-ьЩ^

2 yj'2

(42)

при условии что центральный заряд материи d связан с топологическим центральным зарядом с уравнением

^Ил)(с±б)_ (43)

с — о

Помимо генераторов, в Диссертации строятся также примарные состояния топо-тогической алгебры:

|h(r, л)>1вр - |г, s) <а Ыг, i)>L ® |0)w (44)

"де |0)М - это Ь^сМ-вакуум, а |r, s) - состояние материи с конформной размерностью

A(r,s) = (г2 - 1) + al(s2 - 1) - 2r.s + 2) , (45)

которое одевается состоянием Лиувилля с импульсом рь = Ры(г, где рм(г,з) = — ^(а+(г — 1) + а-(з — 1)). Тогда топологический ¡7(1) заряд состояния |Ь(г, з))^ оказывается равным

Ь(г,з) = -а^(г-1) + я-1, (46)

чем и характеризуются эти состояния.

В разделе 10 Две конструкции из нескрученной N — 2 алгебры устанавливается, что известный рецепт ДДК взаимодействия материи с гравитацией следует в действительности из условия топологической инвариантности. Автором построена, наряду с (42), другая реализация топологической конформной алгебры1:

2

О „ _

2

см(т-]-дфдф+а+ +га-д2ф-ьМдсМ)+<Яа+дсМдф+(1--а1) ¿¡У2',

4 2 V2 ' 2

G = Ьи, (47)

■Н = чГ2а+дф+\Р]сЫ.

В Диссертации показано, что условия топологической инвариантности при этой реализации топологических генераторов приводят в секторе материя + Лиувилль в точности к формализму ДДК. Тем самым обнаружено топологическое происхождение последнего.

В разделе 11 Deco upling-y равнения из условия БРСТ инвариантности изучаются сингулярные (нулевые) векторы топологической алгебры и рассматривается редукция decoupling-уравнений в терминах материи, Лиувилля и духов.

БРСТ-инвариантные примарные состояния топологической конформной алгебры характеризуются своим топологическим У(1)-эарядом:

So|h)toP = 0, "Ho|h)toP = h|h)toP,

(48)

£>o[h}toP = 'HjilhJtop = i?>i|h)toP — S>i|h)top = 0

Сингулярные векторы, построенные на БРСТ-ипвариантных топологических примар-ных состояниях, оказываются БРСТ-точными, а такие состояния должны быть от-факторизоваяы в БРСТ-ицвариантной теории, что и обеспечивается наложением de-coupling-уравнений на корреляторы, содержащие хотя бы одну вставку оператора, соответствующего состоянию |Ь). При редукции в секторе материя ® Лиувилль получается сингулярный вектор, одетый таким образом, что соответствующее decoupling-уравнение допускает последующее преобразование Концевича-Мивы. Чтобы осуществить эту редукцию, в Диссертации используется конструкция (42) и представление

*Обе эти конструкции следуют, как показано в Диссертации, аз скручивания собственно N — 2 алгебры.

i) = ¡Ф) ® |0)Bh- Получаемые в результате сингулярные векторы в секторе материя + [иувилль характеризуются тем свойством, что в них отсутствуют a priori допустимые лены вида (/_i)', где / - уровень. Это условие может быть применено для прямого остроения сингулярных векторов в (минимальных) моделях материи, одетых лиувил-евским скаляром.

В разделе 12 Прямое построение одетых сингулярных состояний decoupl-ig-уравпения строятся непосредственно, путем наложения соответствующих условий а сингулярные векторы общего вида л тензорном произведении материи па поле Ли-вплля. Например, на уровне 4 существуют сипгуллрные векторы над '41' (д '14') и 22' состояниями, и то же верно для одетых сингулярных векторов. Эти векторы над 11'-состоянием в полупрямом произведении алгебры Вирасоро и ¡7(1) имеют вид

|Т41) = (25(2Д + Й2 + + 50(2A4-ft2 + 3)n/_1i_2i_1

- (8ft4 + 32Й2Д f 23ft2 + 32Д2 + 46Д - 3)L-3L-i

- 75n/_iLi, - ^Lii + 25(—2ft3 + 2ЙД + 3ftJ/IiL-i + 25(f - 4Й2 + AJ/ijiLj + 25(ft3 + 2йД - §ft)/_j£ii - (27+ 3ft4 + 12й2Д + 18й2 4 12Д2 + 36Д)!?_,

+ (<£ + |ft6+ + ^Й2Д2+ Шй2д + |Д3 + 1|в д2 + 1|1Д)£_4

+ (—8й5 - 32й3Д + 27ft3 - 32ЙД2 + 54ЙД + 3n)/_3£-i + (-27 + 22п4 + 38й2Д + 57п2 - 12Д2 - 36Д)/2, £_2

- (6п5 + 24й3Д+ lift3 + 24йД2 + 22йД - 21n)/_j£_2 (49)

- (8й5 + 32йэД + 23й3 + 32ЙД2 + 46ЙД - Зп)/_,£_3 + (3 + 42й4 4 68й2Д - 98й2 - 32Д2 - 46Д)/_3/_1 £_1 + (-Ц - 7ft4 + 22ft2Д + 33ft2 - ЗД2 - 9A)/ii

-К|"7 + f й5Д - f й5 + f й3Д2 - ifft'A + fft3 + УйД3 - ~пД2 (- % ЙД + f?ft)/-4 +(Ш _ U-ns - f Л4Д + ft4 - ^Й2Д2 + ¿§^Й2Д - ^й2 + f Д3 + + f Д) Лг + - ^й6 - ~п4Д-(- 1|-?й4 - ИЙ2Д2 + 3|5Й2Д _ ?1й2 + б»дз + ™д2 _ ™Д)/_з/_1

+ (14п5 + 6йэД - 66ft3 - 44ЙД2 - 57ЙД + "n)/-2/_i) |Ф«>,

де п п Л - £/(1)-заряд и размерность состояния |Ф«). Условие запуления в (49) сла-амого п2 = = ^тр приводит к следующему decoupling-onepaTopy

„ 1 / 8n? lin, 3 V Q

+ (к ~ Ts")n^n,dj ~ "-^j

где dj = d/dzj (a также n, s ft).

Этот и другие построенные автором dccoupling-операторы используются далее для установления соответствия с условями Вирасоро. В Диссертации показано, что построенные decoupling-операторы демонстрируют свойства факторизации через генераторы Вирасоро (2). Полная факторизация имеет место для (/, 1) decoupling-уравненип. Возникающие генераторы Вирасоро имеют в каждом случае тот же фоновый заряд Q = 2J — 1, что и минимальная материя, входящая в конструкцию для топологической алгебры. Эти факты устанавливаются путем значительных по объему вычислений, проделанных в разделах 13-15. Приведем в качестве примера результат преобразования Концевича-Мивы decoupling-onepaTopa (50) уровня 4:

= e^-'-'l«4», • (si)

г

р>-1

где

А =

2ni 4nf\ „ n, 4nf njnt

5 15 J iti (ZJ - zi? 5 jïifïi (zi - z')(zh ■

, (4п< n, д 8nfy* tij y^.-r-i à

V 5 15 ) rti zi - zi dzi 5 f^zj- Zi '' dtr

Qn2 №■ n2 r+1 <9

+

■î 3 \ д2

> 10 J dz? '

и Э/дг{ действуют только на явные появления координат 2; в (51), тогда как операторы д/ди перемножаются в операторном смысле с Подобные же формулы факторизации через условия Вирасоро получены и во всех остальных случаях для уровпей 2, 3 и 4 В разделе 16 Факторизация: некоторые обобщения суммируются и обобщаются полученные результаты по извлечению условий Вирасоро из ¿есоир1^-оиерато-ров. Ответ на вопрос, допускают ли заданные условия Вирасоро преобразование I

переменным zj, введеппым в соответствии с (37), зависит от относительных значений параметров: веса J, входящего в генераторы Вирасоро, параметра Мивы п, и целого числа /, которому предстоит стать уровнем. При I > 3 генераторы Вирасоро могут преобразовываться к переменным zj не сами по себе, по только в комбинациях более высокого порядка. При этом возникает соответствие с (¡,1) decouplmg-уравнением з одетой (р',р) минимальной модели, где

= (53)

VPP

при условии, что выполнено соотношение (40). Уравнение (53) нк есть простая перезапись стандартной формулы для фонового заряда минимальных моделей, поскольку величина Q = 2J — 1, определяемая из условий Вирасоро, a priori не обязана совпадать с фоновым зарядом минимальной модели q = (это совпадение оказывается результатом вычисления).

Для сингулярных векторов, построенных над (/, 1)-примарным состоянием, в теории материя®Лиувилль рецепт одевания сводится к требованию исчезновения коэффициента перед Il_i членом. Тогда decouplmg-уравнепие порядка I, соответствующее задапной вставке оператора Ф s Фц в точке г,-,

Ь' + Е -i—(-In.-n^"1 + bjdj-'dj + ...) + ...) /ф(*) П = 0, ■ '■ (54)

I J -А -> z' ) х jyti '

припимает после преобразования Концевича-Мивы вид условия

( Е -Г-'и!" + Е 737 s V""'41^'-" + ■ ■ •] 'M =0' ■ (35)

|,п>-(+1 li-i ~i 1 n>-I+2 J

где опущенные члены содержат полюсы высших порядков, вплоть до последпей группы членов порядка (/ — 2), содержащих Ul2' = Ln. Операторы U факторизуются через Ln справа. Эти генераторы Вирасоро имеют вид (2) с параметром J, фиксированным выбрапной минимальной моделью в соответствии с (53).

Глава III. Топологические алгебры, алгебры токов и квантовая гравитация

В третьей главе работы изучается связь между 5^(2)-теорией ВЗВ и материей, одетой гравитацией, а также между соответствующими алгебрами симметрии - алгеброй токов s£(2) и топологической конформпой алгеброй.

В разделе 17 напоминаются пужные для дальнейшего известные из литературы реализации топологической алгебры, в частности та, что получается из простейшей

модели Казамы-Судэуки ^/(2)^ © и(1)/ч(1). Здесь 2)к обозначает л^(2)-алгебру уровня к:

= -------, (56)

(г — ю)-* г — и)

которой соответствует скрученный Сугаваровскпй тензор энергии-импульса

** = Ш (70,/0 ~ 5(7+,7~+ ■/"-/+)) + • (57)

Алгебра и(1) в числителе модели Казамы-Судзуки фермионизуется в духи спица 1, обозначаемые ниже как ВС, и с их помощью строятся топологические генераторы

которые порождают топологическую конформную алгебру с топологическим цеятраль-з к к+2-

ным зарядом с = ет- Скалярный ток

dv- = {kT2{J°~BC)' (59

представляющий знаменатель модели Казамы-Судзуки, является ортогональным ( смысле операторных произведений) к топологическим генераторам.

В разделе 18 Топологические сингулярные векторы явным образом строятс топологические сингулярные векторы на уровнях 2, 3 и 4. Два целых числа г = 2j¡ + и s = 2ja -t-1 характеризуют топологический сингулярный вектор |Т) следующим обрг зом: |Т) является сингулярным вектором на уровне I — rs, построенным над кирал! ным прямаршлм состоянием ]h), чей топологический £7(1) заряд h связан с тополоп ческим центральным зарядом с посредством

h = ~ii+2¿2. (6(

Например, на уровне 4 мы имеем таким образом три возможных зпачения для {ii,j2 {|>0}i Ib í^i гЬ ^ первом случае, когда h = (c — 3)/2, соответствующий сипгуля; 'ный вектор имеет вид

(4) 108 /72(5-2с> 2(18 + 12с — 11с2 + с3) 3(2с - 13)

tT<f- ^Гз)Т^-(Г-'^р- -(ГГз)2--с-з í5-3*3-1 "

2(51-13с + 2с2) , Ф -с) 4(21-16с + 2с2) 2

- (225,+ 13-:2с2)а-за-1 - 3(33 + ^-.«-.о-. + ^е-^а-г

(с — ¿г (с-З)^ 3-е (с —3)'

'20 2 6(9 -2с) , 18(с —14) , 2(72 -5с)

(с-8)2 1 1 (с-3)2 1 (с — З)2 (с — З)2

132 + - - 3)/2).

' (с — З)2 1 (с —З)2 1 (с-3)2

(61)

В разделе 19 Векторы МФФ напоминается известная конструкция (Маликова-Фейгина-Фукса) для ^£(2)-сингулярных векторов над допустимыми векторами старшего веса ,со спипом ] = — ^(¿ + 2) прп (полу)целых jl и Далее, в разделе 20 Изоморфизм сингулярных векторов, с использованием отображения (58) автором установлено, что построепные выше топологические сингулярные векторы совпадают с сингулярными векторами МФФ. Именно, показано, что для топологических сингулярных векторов |Т) имеется тождество

|Т)(Э|У>„. = |5)8,и®|0)вс, (62)

где |0)вс ~ духовый вакуум, а V - примарное состояние (вертексный оператор)" в теории ¡7(1)-тока (59), и потому в (62) нет ни дь\-, ни /?С-осцилляторов, так что топологические сингулярные векторы можно отождествить с таковыми для алгебры л^(2). Сипгулярпый вектор |5%;(2) построен над состоянием старшего веса ¡{л,.72}), а топологический сингулярный вектор |Т) — пад топологическим примарпым состоянием ¡И)^, где И, выражается через {л,л} (см. (60)):

Ь = = (63)

Проведенная в работе проверка совпадения топологических и МФФ- сингулярных векторов для уровней 2, 3 и 4 позволяет сделать заключение об общем характере тождества между сингулярными векторами топологической конформпой алгебры и алгебры б/(2) (56). Тем самым, имеется диаграмма

топологические ^ «£(2)

сингулярные состояния сингулярные состояния

\ ^ (64)

сингулярные состояния материи

где редукция к теории материи следует из нового представления для алгебры ¿¿(2), построенного далее в Диссертации.

В разделе 21 Состояния МФФ в теории Гинзбурга-Ландау проводится вы числение топологических сингулярпых векторов в бозонизащш Виттена, предоставляемой теорией Гинзбурга-Лалдау.

В разделе 22 "Материальное" представление для алгебры ^¿(2) автором обнаружено существование представления для з£(2)-токов в почти тех же терминах, что и представление топологической алгебры. Это представление ассоциировано с материей, взаимодействующей с гравитацией, и не требует бозонизации или спецификации каких бы то ни было дополнительных свойств этой материи. Происхождение построенного представления можно пояснить, используя отображение Казамы-Судзуки (58) и одновременно реализуя топологическую алгебру I как материю, одетую гравитацией (1=ш® I © [Ьс]):

0

4

т © [ ® [Ьс]

1

0->б£(2) -> Л-их(1)вс ->0 . (65)

I

«(1к 4 о

И вертикальная, и-горизонтальная последовательности расщепляются, что дает два способа описать алгебру .А: как просто 3^(2) © "(1), и в то же время как Ш @ (© [Ьс] © и(1)„.. В этих терминах расщепление горизонтальной последовательности достигается следующим построением духов ВС из топологических ингредиентов и и.-скаляра:

В = сМе^М«"-*), С = ьМе-^+К-*). (60)

Кроме того, для вложения в1(2)к ш £Е) I ф [Ьс] © "(1)^ найдены следующие явные формулы:

У = Ь['1см 4- \Ьа+дф - + , (67)

Г = [а1(Т-\(дфУ + ^ф) +

+ 2ЬМйсМ - а2_9(бМСМ) + л/га-д^'У^е"^"^--«

Это дает новое представление для алгебры токов 2), в которое материя входит только через свои генераторы Вирасоро и поэтому может быть произвольной в том же смысле, что и в конструкции для топологической алгебры. Кроме того, это представление реализует 'обращение' гамильтоновой редукции, позволяя, путем одевания

гатсрии, восстановить те з£(2)-токи, гамильтонова редукция которых дает эту ма-ерию. Оно фактически расширяет предложенную выше реализацию топологической юнформной алгебры до алгебры токов .ч^(2). Одновременно строятся и духи, необхо-[имые для построения БРСТ-комплекса.

Путем вычисления Сугаваровского тензора энергии-импульса для токов, задаи-[ых формулами (67), в Диссертации устанавливается 'условие полноты' для тепзоров нергии-пмпульса

Г5 1-дВ-С = Т+^(ду,)2 - (68)

2 \/2

де Т определяется равенством (42). Состояния старшего веса со спином

+ ■ (69)

троятся в представлении (67) (тензорно умноженном на духовый вакуум) путем умножения топологических состояний на состояния Ди,-теории:

У(г,*)и2) О ¡0) = |г,л) ® Ыг, з))ь ® |0)М ® |-йи(г,л)). (70)

де |0) - духовый ВС вакуум, а |р), соответствует оператору ер1". Другими словами, оператор материи £/г,5 ~ |г,в правой части (70) одевается состоянием

5 _ е-рм(г,»)(».-#) _ ^("•.Оу^+т^*-^) . (71)

?ем самым построенное выше представление топологической конформной алгебры рас-ппряется до представления алгебры токов з£(2).

В разделе 23 От формализма КПЗ к ДДК найденные связи между топологи-геской конформной алгеброй и алгеброй токов й£(2) применяются для анализа фор-гализма КПЗ2 для квантовой гравитации и его связи с Л' - 2-суперсимметричиым щисанием.

Теория материи, одетой гравитацией, в формализме КПЗ составлена материей, ¿(2)ь-алгеброй и двумя системами Ье-духов спинов 2 и 0. Материя описывается тенором энергии-импульса Т' с центральным зарядом = 1 — 6о[,2, где а'+а'_ — —1 , + а'_ — а'0 ('штрихованные' обозначения введены для того чтобы различать далее (ве сходные теории). Полный тензор энергии-импульса имеет вид

Т^ = Т' + Та ИИ + *И, (72)

ь ВРСТ-ток строится как

дкрг = с[2] + уз + * ¿Н + ¿о]) + СМ р (73)

2Кнпжник-Поляков-Замолодчикоп.

Для нильпотентности QgP2 = / QKez требуется, чтобы полный центральный зар} заяулялся, откуда к± = —2 — а'±2. Далее для опеределенности будет выбран случг к = к. = —2 — а'_2.

Следуя идеологии Универсальной теории струн, но примененной к гравитационнол сектору, автор далее показывает, что теория КПЗ расщепляется на специальном фо] на теорию ДДК и дополнительный топологический сектор:

DDK т.

rKPZ = t И + Т, + т + + + у;' (7,

Г__^

T4tM

КПЗ-формулировка получается при прочтении этой диаграммы как ¿М + Т' + Т^ + г'0', другое прочтение позволяет описать теорию как ДДК-сектор, к которому прибавле! дополнительная »-топологическая теория, в соответствии со следующими выражени ми для тензоров энергии-импульса:

TKPZ -_=Т' + Т + гМ + Тф + tM + т~ ■ (7:

■ = тф = -\{дф)*+^ф, iW = -b[0ScW. (71

Оказывается, что здесь

d + d' = 26, {Г

что необходимо для выделения ДДК-сектора.

Дополнительная »-топологическая теория составлена полями дф,дь\ и ЬМсМ и п строена в соответствии с конструкцией (42), в которой материя Т заменяется на ' из ур. (76). Эквивалентность между КПЗ- и топологическим формализмами предп лагает, что эта лишняя топологическая теория должна быть пуста. Ее тривцализащ осуществляется выбором БРСТ-оператора, для чего в Диссертации проводится анал! экранирующих операторов. Фермиошшй экранирующий оператор

«S, = {)[tJeo-(".-W^2) (71

даст полностью ОРЕ3-изотропный ток: S.(z)S*(w) = U и к тому же удовлетворяв операторным произведениям Q(z)S,(w) -—'0, H(z)S,(w) = 0. Нильпотентный оп ратор £>М -- /5, можно рассматривать как БРСТ заряд. Тогда возникают д] DPCT заряда, Q и и различные теории могут быть определены в зависимое! от выбора тех или ипых когомологий (когомологиц Q или или их линейной koi бйнации Qt m m- = Q -f 2'*')4. Поскольку в рассматриваемом в Диссертации случае топологический сектор составляет только часть полной теории, но при этом действ]

3Operator Product Expansion

4Например, как хорошо известно, решение вопроса об эквивалентности топологической теории, я строенной путем одевания материи гравитацией, и топологической минимальной модели опеделяет тем, прибавляется ли Q^ к БРСТ заряду.

тератора Q'*' сохраняет как Q-БРСТ инпариаптлость, так и топологические /7(1) за-иды топологических примарных полей, оказывается возможным рассматривать кого-ологии операторов Q и одновременно. Оператор же S» оказывается БРСТ-током эугой скрученной Л' = 2-алгебры, и все состояния, соответствующие операторам (71), РС'Г-тривиальны в этой алгебре. Таким образом, в »-топологическом секторе, соот-;тствующем разбиению KPZ = DDK © ^-topological, лшпние состояпия исключаются ) пространства физических состояний путем выбора двойных когомологий онерато-эв QW и Q,

В разделе 24 Суперсимметризация показапо, каким образом новое представление [гебры Каца-Муди sl( 2) продолжается на супер симметричный случай, до предста-[ения алгебры o.sp(l|2), ассоциированной с N=1 супергравитацией. Автор паходит, го добавлением к мультиплету супергравитации единственного скаляра dvm (без су-:рпартнера) можно добиться расширения построенного выше представления для s((2) ) osp(l|2). При этом озр(1|2)-токи имеют вид

j+ = V5 фе*^-"^

Г = («--W1 + + -ЛЬ^сЫф + ~Gm + 4=(«2- - 2(79)

* у2 v2 V2

J- =

(-1(1 + а1)ЭФдФ + ia-^/l + a^l - а2_)дгФ - a_/l + а^'с^ЗФ

+ hi 4- «1)Те„ + 1(3 - aUbW - 1(1 +

дФ = 1 -(дф - а+0-уЩ, (80)

V1 +

1 ±a+_„ , . 1 — 2aJ

т.2 '

(есь Лг=1-материя составлена из тензора энергии-импульса Тт и его суперпартнера „ (и имеет центральный заряд Л = у — За2_ — где «_ = —1 /о+), супер-Лиувилль 1едставлен в компонентах скаляром </> и Майорапа-Вейлевским фермиопом ф, а Ьс и с - фермионгпле и бозошше духи. Скалярпый ток дп, имеет тензор энергии-импульса

Т. = \dv.dv, + а+ + а~Э2ь. (82)

го время как тензор эпергии-импульса остальных полей (мультиплета супергравита-:и, обладающего N = 3 суперсимметрией) имеет вид

Т=Тт- \дф дф+\{а+-а-)д2ф-\дфф-дЪс-2 Ьдс - ~\дрч (83)

В работе утверждается, что токи (79) удовлетворяют озр(1|2) алгебре уровня к — Фермионные (ВС) ц бозонные (/3-у) духи строятся как

В = _ с = ,

/3 = ! -у = е^-ьСв^—^

Рассмотрение духов из (84) п озр(1|2)-токов в качестве независимых полей, имеющ тензоры эпергии-импульса

II (5

За« = 2 + + +

связано с описание.« той же системы в терминах элементарных полей (ГП1, <?т,6 /3,7, дф, у, ду,) следющим условием полноты, выведенным в Диссертации:

^Биг + = Т + Т, (í

Опо означает, что никакие степени свободы 'не пропали' при реинтерпретации суго материи, взаимодействующей с супергравитацией и дополонительным Т„-скаляром, к озр(1 |2)-алгебры с соответствующими духами.

В Диссертации показывается, далее, что оператор В3+ — и фермионный тоь

о- = г^сл-

1 + а%

= - -с'Чэфйф - ^¿^с'ч^Ф - Ф + смгеЯ П

2 2/Т^ \Л + с4 1

_Ь1Чэс|']см+ '-Нд^" 2(1 + а\)

порождают другую, N — 2, топологическую алгебру с топологическим централыи зарядом с = 3(1 — За+)/(1 + В работе устанавливается, что удовлетвор*

алгебре Вирасоро с центральным зарядом

(3-^)(-1+2<) 6

«4(1+с4) + (

и таким образом описывает обычную минимальную материю и, более того, поля 1 ЭФ, и Ьс образуют обычную топологическую алгебру, в полном соответствии с ре птом, описанным в разд. 9. Ее можно достроить до представления алгебры токов путем добавления одпого скаляра

дУ. = — а+ дф + уг+ч'Зи. - (

у/1 + о^ У + " у/1 + а]

: эта в£(2) алгебра оказывается 5^(2)-подалгеброй алгебры озр(1|2). Таким образом, ложение подгруппы ¿£(2) <^4 озр( 112) индуцирует новое вложение суперструны в озоппую струпу и, далее, отображение вида (суперматерия, ф) —у ('эффективная' ма-ерия). Последнее отображение можно применить к любой ./V —1 (р, ^-минимальпопй :одели, умноженной тензорпо па фермиоп ф, тогда Л'= 1-централышй заряд претер-евает отображение

2 <7 Р

.p + q 6 29

2 q p + q

р + q -в 2р

2 р p + q

13 - 6-

Ул п Л- п

(90)

13-6

тем самым дает центральлыи заряд песуперсимметричнои минимальной материи, жим образом, построены вложепия теорий n = 1 в /V = 0 как на уровне материи, >аимодействующей с гравитацией, так и для собственно материи. Эти вложепия типа аиверсальной теории струн индуцированы простым вложением подгруппы s((2) «-> р(1|2), что указывает, возможно, па скрытую теоретико-групповую природу других шестных отображений в копцепцип Универсальной теории струн.

В Диссертации яайдепо также jV = 1-суперсимметричное обобщепие построенного ■ображения между формулировками двумерной гравитации в конформной и кираль-й калибровках. Вывод озр(1|2)-описалия супергравитации из формализма в конформ-й калибровке позволяет объяснить, в частности, состав полей N— 1-супергравитацип {иралъпой калибровке и продемонстрировать появление 'эхетра-'духа - дополпитель-го Майорана-Вейлевского спинора - из дополнительного топологического сектора, е этот дух играет роль суперпартнера «.-скаляра и вместе с пим составляет 'эф-жтивпую' n = 1-матергао. В работе построены детали, следующего расщепления персимметричпого КПЗ-формализма:

super-DDK 7.

ruper-KPZ = t[2] + i(|] + т„ + ^ + Тф + t И + ^ + + Т^РГ^ (91)

; т" - 'затравочная' теория n = 1-материи, а у - дополнительный дух. Объеди-ше материя" + материя + Ь^сМ -(- /^гЦШ составляет супер симметричный сектор стлера-Каваи, в котором т'' и Тт играют роли материи и Лиувилля. В остаюодем-секторе реализуется скрученная n = 3-алгебра, получаемая одеванием эффектив-i n = 1-материи ТП1» ■= т, + тх. Замечательно, что, несмотря па значительные лические усложения, имеется, таким образом, прямой суперсимметричный апалог •уации, реализуемой в бозонном случае.

Заключение: основные результаты

1. В Диссертации найдены представления алгебры Вирасоро на фазовых пространствах важнейших интегрируемых иерархий: на псевдодифференциальных операторах, реализующих КП-иерархию, и на бесконечномерных матрицах, реализующих иерархию Тоды. Вычислены редукции этих представлений к ^-периодическим иерархиям, в частности к обобщенным иерархиям КдВ как в матричной, так и в скалярной формулировках. Установлено соответствие между условиями Вирасоро на иерархиях КдВ в матричном и в скалярном формализмах.

2. Вычислено представление алгебры Вирасоро на дифферепциалышх операторах второго порядка, согласованное с действием алгебры Вирасоро па иерархии Тоды, что дает одну из реализаций действия алгебры Вирасоро на пространстве

. модулей римаповых поверхностей.

3. Построено действие супер-алгебры Вирасоро па фазовом пространстве суперсимметричной иерархии КП - на супер-псевдодифференциальных операторах, совместное как с четными, так и с нечетными потоками супер-КП-иерархии. Этс

. дает возможность непротиворечиво определить супер-иерархию КП, подчиненную супер симметричным условиям Вирасоро.

4. Построен скейлинговый предел, переводящий иерархию Тоды в иерархию КП Вычислен скейлинговый предел условий Вирасоро, сформулированных на фазовое пространстве иерархии Тоды. Установлено, что этот предел описывает условш Вирасоро на фазовом пространстве КП-исрархии.

5. Предложено решение условий Вирасоро на КП-иерархии, реализуемое коиформ ной теорией поля. Для установления связи с конформными теориями построен« преобразование типа преобразования (Копцевича-)Мивы и изучены его свойст ва. Показано, что это преобразование дает отображение в 'эффективную' теорик поля, которая определена на римановой сфере, но при этом является нспертурба тивцым решением условий Вирасоро, учитывающих все порядки струнной теорш возмущений. Установлено, что эта эффективная теория представляет собой то пологическую конформную теорию.

6. Установлено, что все обычные, песуперсимметричные двумерпые конформные те ории приобретают топологическую (скрученную n — 2) симметрию в процесс взаимодействия с гравитацией. Тем самым обнаружена скрытая топологическа природа конформных теорий поля и значительно расширен класс двумерных тс пологических теорий поля, которыми оказываются фактически все конформны теории.

7. Выявлена топологическая природа известного рецепта ДДК для описания мат< рии, взаимодействующей с гравитацией. Одновременно найдена связь тополе

гической симметрии в конформной теории поля с интегрируемыми системами: показано, что ипволютивный автоморфизм топологической алгебры переводит формализм ДДК в новую формулировку, связанную с интегрируемыми системами посредством построенного в Диссертации отображения Концевича-Мивы.

, Обнаружен класс конформных моделей, обладающих скрытой симметрией по отношению к алгебре токов я£(2), и установлена связь этих моделей с теориями материи, взаимодействующей с гравитацией. Найдено новое представление алгебры токов с произвольным уровнем к, получаемое расширением модуля Верма минимальной материи. Это представление позволяет осуществить вложение (пе)критических теорий струн в модели ВЗВ, что является важным шагом на пути классификации струнных теорий.

. Найдено оэр( 1|2)-обобщение нового представления для з£(2) и его связь со скрытой N = 3 симметрией А' = 1-супергравитации. Предложенные конструкции и в бозонном и в супер симметричном случаях позволяют одновременно с алгеброй токов реализовать также соответствующие духи, необходимые для построения БРС'Г-комплекса. Это приводит, в частности, к обращению квантовой гамиль-тоновой редукции.

. Проведены нетривиальные вычисления сингулярных векторов на младших уровнях алгебры токов в£(2) и топологической конформной алгебры. Устаповлено тождественное совпадение построенных сингулярных векторов этих алгебр', что дает основание предполагать идентичность всех их сингулярных векторов. Тем самым продемонстрирована эквивалентность, с точки зрения структуры модулей Верма, топологических конформных теорий и моделей ВЗВ, основанных на алгебре з/(2),

.. Построено явное отображение между двумя альтернативными описаниями двумерной квантовой гравитации: э^(2)-ковариантным формализмом в световой (ки-ральной) калибровке и N — 2-суперсимметричным описанием в конформной калибровке, включающим формализм ДДК. Показано, что 5^(2)-гравитация расщепляется на специальном фоне на сектор ДДК и дополнительную топологическую теорию, которая может быть тривиализована специальным выбором БРСТ ко-гомологий. Тем самым, в частности, продемонстрирована возможность распространения подхода Универсальной теории струн на гравитационный сектор.

I. Найдено лУ = 1-суперсимметричное обобщение построенного отображения между формулировками двумерной гравитации в конформпой и киральной калибровках. Вывод о«р(1|2)-описания из формализма в конформпой калибровке позволяет объяснить, в частности, состав полей N = 1-супергравитации в киральной калибровке и продемонстрировать появление 'экстра-'духа из дополнительного топологического сектора.

Публикации автора по теме диссертации

[1] A.M. Semikhatov, A bosonic operator realization of Krichever construction and be systems Riemann surfaces. Mod. Phys. Lett. A3 (1988) 1689-1697.

[2] A.M. Semikhatov, Soliton Equations and Virasoro Algebra, Int. J. Mod. Phys. A4 (191 4679-4710.

[3] A.M. Semikhatov, Bosonizaiion, т-Functions and Operator Formalism on Riemann Surfac Nucl. Phys. B315 (1989) 222-247.

[4] A.M. Semikhatov, Вosonization, т-functions and operator formalism on Riemann surfac Nucl. Phys. B315 (1989) 222-248.

[5] A.M. Semikhatov, A note on the supersymmetric coset construction, Phys. Lett. B238 (19! 81-85.

[6] A.M. Семихатов, Непертурбативная квантовая гравитация как теория интегрируем• иерархий со связями, Письма ЖЭТФ 54 (1991) 3 - 8.

[7] A.M. Semikhatov, Conformal Fields: from Riemann Surfaces to Integrable Hierarchies, Ph; Lett. B263 (1991) 195-205.

[8] A.M. Semikhatov, Virasoro algebra action on integrable hierarchies and Virasoro constraii in matrix models: Matrix models from the viewpoint of integrable hierarchies, Nucl. Ph; B366 (1991) 347-400.

[9] A.M. Semikhatov, Continuum reduction of lattice Virasoro-constrained hierarchies, Mc . Phys. Lett. A6 (1991) 2601 - 2612.

[10] A.M. Semikhatov, Higher-spin and W^J) aigebras in Virasoro-constrained KP and N-Ki: hierarchies, Phys. Lett. B265 (1991) 311-320.

[11] A.M. Semikhatov, Virasoro algebra, integrable hierarchies, and Virasoro-constrained hien chies, in: "Nonlinear Fields: Classical, Quantum, Semiclassical, Eds. P. Garbaczewski ai Z. Popowicz, World Sci. 1991, pp.36-85.

[12] B. Gato-Rivera and A.M. Semikhatov, Phys. Lett. B288 (1992) 38 Minimal models from constrained hierarchies via the Kontsevich-Miwa transform, Phys. Lett. B288 (1992) 38-46.

[13] B. Gato-Rivera and A.M. Semikhatov, d < 1LM > 25 and constrained KP hierarchy fro BRST invariance in thec^3 topological algebra, Phys. Lett. B293 (1992) 72-80;

Теор. Мат. Физ. 95 (1993) 239-250.

[14] A.M. Semikhatov, Solving Virasoro constraints on integrable hierarchies via Kontsevich-Mi\ transform, Nucl. Phys. B386 (1992) 139-165.

[15] A.M. Семихатов, Алгебра Вирасоро на интегрируемых иерархиях и методы магричпь моделей, ЖЭТФ, 101 (1992) 779-827.

[16] A.M. Semikhatov, Matrix models without matrices: from integrable hierarchies to recursk relations, Mod. Phys. Lett. A7 (1992) 43-54.

[17] A.M. Semikhatov, A conformal field theory formalism from integrable hierarchies via tl Kontsevich Miwa transform, JETP Lett. 55 (1992) 199-205.

[18] B. Gato-Rivera arid A.M. Semikhatov, Singular vectors and topological theories from Viraso, constraints via the Kontsevich-Miwa transform, Nucl. Phys. B408 (1993) 133-179.

[IS] A.M. Семихатов, Сингулярные векторы МФФ в топологических теориях, Письы ЖЭТФ 58 N11 (1993) 916-924.

[20] A.M. Semikhatov, The MFF singular vectors in topological conformal theories, Mod. Phy Lett. A9 (1994) 1867-1896.

[21] A.M. Семихатов, Универсальная теория струн и двумерная (супер)гравитация, Письм ЖЭТФ 60 N7 (1994) 553-559.