Категорные оболочки бесконечномерных групп и представления категорий римановых поверхностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Математический институт Российской академия наук пм.В.А.Стеклова

На правах рукописи

НЕРЕТИН Е>рий Александрович

КАТЕГОРКНЕ ОБОЛОЧКИ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КАТЕГОРИИ РОМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Специальность 01.01.06— математическая логика, алгебра, теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учбной степени доктора фиэико-натечатичоскнх наук

Москва - 1992

Работа выполнена на кафедре алгебры и анализа Московского института влектронного мавиностроення

Официальные олпононти

доктор физико-иатаматических наук Р.И.Григорчук доктор физико-математических наук А.Л.Они^ик доктор физико-иатеаатинэских наук А.Н.Рудаков

Водукал организация

кафедра алгебра Санкт-Петербургского государственного университета

Зацкта диссертации состоится X Л- шИ 199 3_года в 4-Ь час Ъ О иин на заседании специализированного совета Л 002.38.02 при Математическом институте Российской академии на} ки.В.А.Стеклова по адресу: Москва, П7966, ГСП-1, ул.Вавилова, к

С диссертацией модно ознаксикться в библиотеке Цатеиатичоскогс института ии. В.А.Стеклова

Учбный секретарь специализированного совета Д ООЯ.33.02 при МИРАН доктор физико-математических наук

Актуальность темы. Теория представлений бесконечномерных групп началась с исследований К.О.Фридрихеа, И.Сигала, Ф.А.Березина, Д. Нейла, В.Стайнеспринга по автоморфизмам канонических коммутационн-иых и антикоммутационных соотновений (1953 - 1965). Основным результатом этих работ была конструкция представления Вейля бесконечномерной симплектической группы и спинорного представления ортогональной группы. С середины 60-ых годов предметом исследования становятся представления бес конечной симметрической группы, 5есконечномерных аналогов классических групп, групп токов, групп диффеоморфизмов (работы Э.Тома, Р.С.Исмагилова, А.Либермана, Л.А. Кириллова, Д.Войкулесяу, С.Стратилы, А.М.Вероика, И.М.Гельфачда, И.И.Граева, Г.И.Ольшанского, С.В.Керова, А.Гишарде, К.Партасарати, Х.Шмидта и др.). Около 1990 г. после работ Г.Сигала, Леповского, Зильсона, В.Каца основной интерес переместился на представления алгебры Вирасоро и аффинных алгебр.

К началу 80-ых годов теория представлений бесконечномерных групп состояла из многочисленных слабо связанных (а иногда никак не связанных) между собой частей, число которых продолжало расти. 3 это время постепенно начали появляться объединяющие факторы. Первый, "внешний", объединяющий фактор - "универсальность" спинорного представления и "представления Вейля". Если мы хотим построить представление бесконечномерной группы Ст , мы должны вложить Су- в бесконечномерную симплектическую или ортогональную групИу, а потом ограничить представление Вейля или соответственно спинор-ное представление' на 0- .

Второй объединявший фактор - принцип полугруппового продолжения, сформулироЕэнный Г.И.Ольшанским около 1980 г. Оказалось, что

почти с любой бесконечномерной группой 0 (по-видимому с любой; допускающей содержательную теорию представлений) связана некоторая невидимая невооруженным глазом полугруппа причем представления С жестким образом продолжаются на Г . Оказалось, что все доказанные к тому времени теоремы о классификации представлений для бесконечномерных групп неявным образом использовали полугруппу Г . Используя полугрупповую оболочку, Г.И. Ольшанский получил также теоремы о классификации представлений групп [/(р^оо) , Оо") , (р со) . Однако

для Солее сложных групп полугрупповую оболочку в точение продолжительного времени не удавалось построить.

В 1986 г. автор построил полугрупповую оболочку для алгебры Вирасоро (двумя годами позднее она была постреена Г.Сигалом). Далее Г.И.Ольшанский, П.Л.Назаров и автор построили полугрупповую оболочку для представления Вейля (

Ш ) , а автор ( [4] ) -для спинорного представления. Как только это было сделано, стало ясным ( примерно в 1988 г.), что речь идет не о полугруппах, а о категориях.

Принцип категорного продолжения, которому посвящена диссертация состоит в следующем. Пусть С- - бесконечномерная группа (допускающая содержательную теорию представлений). Тогда с (? , как правило, связана жестким образом некоторая категория^, причем представления (г жестким образом продолжаются до представлений категории

Оказалось, что подобные категории сами по себе имеют интересную теории представлений. При этом по существу все теории представлений групп со старшим весом оказывгиотся теориями представлений категорий (сюда относятся категории линенйых отношений

СА.В.С .д , связанные с сериями комплексных классиче-:ких групп Ва , Са, ; категории I/ , Sp , 50 , гвязанные с сериями вещественных классических групп С/^р, (у ) .

• $0*(2п.) ; категория Sh.ta.fi

связанная с алгеброй Вирасоро, категории С" «>Я£о.п. , свлза-ные с аффинными алгебрами, исключения (быть может) составляют особые группы (у^ . ^ , Две вещественные формы групп , и серия Я )

Цель работы. Изучение категорных оболочек различных бесконечномерных групп и их представлений. Изучение полугрупповой оболочки Г* алгебры Вирасоро и категории Ша п

Научная новизна. Построены категорные оболочки для представления Вейля и спинорного представления - категории $р и

О 2) морфизмов канонических коммутационных и антикоммутационных соотнозений (это "универсальные" объекты теории, большинство представлений категорий "пропускаются" через $р и ОХ) ).

Построена полугрупповал обоЛочка Р группы диффе-

оморфизмов окружности. Показано, что все представления алгебры Вирасоро со старшим весом интегрируются до представлений Г"7 . Получены явные конструкции и явные формулы для этих представлйт ний.

Построены примеры представлений категории $ кХ(Х1Х. Концевича-Сигала (в терминах представлений этой категории согласно М.Л.Концевичу и Гр.Сигалу может быть переформулирована конформная квантовая теория поля).

Получена классификация представлений категорий

СА .В.

С .V . $0* .

Подучены условия ограниченности интегральных операторов вида )(2), (4) в боаоннои и фермионном пространстве Фоке.

Приложения. Результаты диссертации могут иайти приложения в конфорь иой квантовой теории поля, в различных областях теории представлений (конечные группы,алгебраические группы, классические группы Ли. бесконс чномерные группы, особые группы), в геометрической теории функций, в те риа пространств Тейхшаллера, в теории операторов, в геоиетрии симметрических пространств. Полугруппа Р довольно часто используется в работах по бесконечномерным группам.

Лпробация. Результаты диссертации докладывались на семинарах А.А.Кириллова в МГУ, семинаре А.Ы.Верейка в ЛОМИ, семинаре на Д.К.Фадеева в СПГУ, Семинаре В.С.Фрадкина в ОИАНе, семинаре Н.М.Гельфанда н А.Н.Рудакова в МГУ и др., на Московской математическом обществе, на ряде математических икол и конференций ( околы по теории представлений с Тамбове 1987 и 1989гг., Международной вколе "Геометрия и фисика" в Црнн (Чехословакия), международной конференции по алгебра 1989г. в Новосибирске, Сибирской вколе "Алгебра и анализ" 1989г.в Иркутске, oso/ по алгебрам Ли 1987г. в Левкове, около "Бесконечномерная диффоренцналь пая геометрия" 1991г.в Вене, международном сеиестре"Бесконечномерная алгебра и алгебраическая геоиетрня"1991г. в Пизе(Италил) и др.), по результатам диссертации был прочитан курс лекций в Копенгагенском Уни верситете(1990г). Цикл работ озтора по представлениям группы диффзомор-фнзмсв окружности, алгебры Вирасоро к катеогрии SK.to.rx был удостоея премии Московского математического общества за 1990г. Автор был приг лавбн в качестве лектора на 1-ый Европейский Математический конгресс.

Публикации.Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ ~t7] (см.списо* в конце автореферата).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения н 4 ryiae Список литературы состоит из 94 названий.

Содержание работы.

Линеныа отношения. Пусть V .W - линейные пространства. Линейным отношением Р: Vr-W мы назовем произвольное линейное подпространство Р С V 0 W . Если Р :

, Q.I V/Z5 У линейные отношения, то определено

их произведение QP: W^y , оно состоит из всех (t/^ ^©У Для которых существует иУ € W такой, что Р Q . Для любого линейного

отношения Р • W мы определим

а) Ядро кеъ Р- {VerV: (с^О)^ Р}

б) Образ Xm. Р - проекция Р на V .

в) Область определения CD(P) - проекция Р на V .

г) Неопределенность Luc/ Р=[иг&У: Р]

Пусть пространства V , V/ снабжены одновременно симметричными билинейными, (кососимметричнымй билинейными, эрмитовыми и т.д.) формами А у . -А^/ • скажем, что отношение Р сохраняет формуА . есл» Р - максимальное изотропное подпространство в VQW относительно формы

Пусть, наконец, \/ и 1л/ одновременно снабжены невырожденными (индефинитными) эрмитовыми формами М у , М -Мы скажем, что Р сжимает форму М , если Р - максимальное подпространство в

v©u/ , на котором форма

неотрицательно определена.

Категории Ь- Я

л :с ,ъ

(глава 4). Объекты категории

С А - конечномерные комплексные линейные пространства. Морфи-ЗМЫ ИЗ V Б V/ Сывают двух типов

а) Линейные отношения

б) Формальный морфизм л.и г гил С С у ^ , который не отождествляется ни с как..м линейным отновением.

Если Р • У^?. V! и

- линейные отношения, то их произведение как произведение морфизмов категории О А в случае Кеч. О О МР^О, 1т Р+£>(£) = V/ совпадает с произведением линейных отношений. В противном случае произведение есть Пи.И^ у . Произведение с любым мор-

фиэмом есть ни.

и . '

Объектами категорий

в .С являются соответственно

а) в случае 8 - нечетном<?рные комплексные линейные пространства, снабженные невырожденной симметричной билинейной формой.

б) в случае С - конечномерные комплексные линейные пространства, снабженные невырожденной кососимметричной билинейной формой.

в) в случае

• четномерные комплексные линейные пространства, снабженные невырожденной симметричной билинейной формой.

Множество морфизмов из V в V/ во всех трех случаях состоит из аи, и

и линейных отношений, сохраняющих билиненйую форму. Произведение морфизмов определяется так же, как в категории О А .

Грассианиан состоит из двух компонент

связности. Чожно согласовано выбрать в каждом множестве ^^(Рф ^^ П° одно" компоненте связности так, чтобы получить подкатегорию в

С 2)

. Полученную категории мы обозначим

через ^ . /'

Легко видеть, что ^^(У) •

т-

Пусть нам дано проективное представление I одной из перечисленных категорий УС , т.е. каждому объекту V поставлено в соответствие линейное пространство Т^ У) , а каждому «орфизму Р'. 1%/ - оператор £ (Р^ . такой, что

^(б)г(р) = с(р, а)ъ(вР)

где С (<Q Р} - ненулевое комплексное число. Тогда в каждом пространствеТ^У^ действует классическая группа Аи£.(у). Тем самым с каждым представлением категории

С , соответствует набор представлений всех классических групп соответствующей серии.

Теорема 17.2. а) Голоморфные проективные представления категорий В , С вполне приводимы.

б) Множество всех неприводимых голоморфных проективных представлений категорий

8 .С ГЬ

нумеруется соответственно диаг-

раммами вида

6: С:

О:

где О,^ - неотрицательные целые числа, из которых лишь конечное число отлично от О . Рассмотрим, например, случай категории С (случаи 6 ч £> аналогичны). Пусть (X - самая правая ненулевая

а

отметка. Если Ц. < о^ - X " , то соответствующее диаграмме !1) представление группы является нулевым. Если же Л_ ^ 01 - £ - то это представление группы

(П^ с числовыми отметками - ^ ^п.

Теорема 17.1. а) Представления категории С/4 вполне приводимы.

С) Неприводимые голошрфще проекишше представления •категории £ Д нумеруются дааграмиаш вида

^ ао ал

где С1* - неотрицательные целые числа, из которых лишь конечное число отлично от О (При сдвиге диаграммы Представление не меняется). Пусть - самая левая, а О.а - самая правая ненулевая отметка. Тогда соответствующее представление группы =

(С^ есть однократная сумма всех представле

ний А^ с числовыми отметками вида О.^ , .....

где . р£:ОС+1 ,

Категории V, , 5о» . Объект категории V - конечномерное пространство V , снабженное невырожденной (вообще говоря, индефинитной) эрмитовой формой И ^ . Пусть V. V - объекты категории V . Морфизм Р из V в Ч/ - это линеййое отношение, сжимающее эрмитову форму, причем форма у строго положительно

определена на Ке-1* Р , а М^ строго отрицательно определена на Хлс/ Р . Группа автоморфизмов V , очевидно, является псевдоунитарной группой.

Объект категории - конечномерное вещественное линейное пространство V . снабженное невырожденной кососимметричной фор-иоЯ у . Форму у можно двумя способами продолжить на комп-лексификацию пространства V - по билинейности и по полуто-ралинейности. Тем самым становится одновременно объектом категорий Си V. Морфизмы из V в и/ - это линейные отношения, являющиеся одновременно морфизмами в в смысле категорий С иТ/ . Легко видеть, что —

Объект категории $0 - конечномерное кватернионное пространство V , снабженное невырожденней антиэрмитовой формой у

(ьГ ¿Г) • Рассмотрим V как ком-

плексное пространство и представим форму у в виде

где - индефинитная эрмитова форма, аУ\. - симметричная билинейт ная форма. Теперь V становится одновременно объектом категорий

. Морфизмы из у 3 V/ - это комплексные линейные отношения, которые являются одновременно морфизмами категорий {/* и 3) .. Легко видать, что А иХ. ( У ) ^ О *(V)-. С;сдп представлений "категории 5р

есть самое простое и замечательное - "представление Вейля"

к/е

(см. ниже), соответствующие представления групп %р(2ц.. —

/ О \ IV/

— Аи-Ь ( Л ) 0 этом с^У430 являются представле-

ниями Вейля и/е^ групп £р (р.п.^Л} .

В главе У показано, что тензорные степени, ^в представления Вейля содержат все неприводимые унитарные проективные голомо-

морфные представления категории Sp • Получено явное разложение этих степеней в терминах двойственности Хау. Аналогичные результаты получпны и для категорий V и S О .Их представления строятся с помощью естественных влоаений I/ S р и

Морфизмы канонических коммутационных соотношений (глава I). Пусть H - комплексное гильбертово простра нство размерности П. - 0J ij . . , со . Пусть F( и) - соответствующее

бозонное пространство Фока, т.е. пространство голоморфных функций на H со скалярным произведением

<!, р = И я^П^^'

Пусть , dùn У i От . Рассмотрим блоч^ю матрицу S' = ( Lt jij } размера (п + т.} г т.} , удовлетворяющую условиям

1) S = S , т.е. £ симметрична.

2) Il S || éi . причем |( К К < 1 .IIMIKi (через 1( • || здесь и везде обозначается евклидова норма).

3) К , H - операторы Гильберта-Шмидта (т.е. сумма квадратов модулей матричных элементов сходится), если П- и ГУЛ конечны, это условие выполнено само собой.

Рассмотрим оператор В С SJ • f ( H) . заданный

формулой ,

BCSJft^SJ^f^od^^^JftaV.:

(г)

где 2 - это матрица строка а ^ ') '

А 1

Оказывается (теорема 1.1), что произведение операторов вида снова имеет вид а ВИТ] , где <£ (С • Рассмотрим категорию £ , объектами которой является пространства Фока, а ыорфизмаыи операторы вида ВС . определенные с точностью до умножения на скаляр. Пусть^ - ее подкатегория, отвечающая пространства».! ^Н^ таким, что

сИгк И < оо

Теорема 2.1. Категория о£ эквивалентна категории 6 р.

Собственно, эта теорема и послужила побудительной причиной, для введения категории , а затем и всех остальных категорий линейных отношений.

Опишем явный вид функтора

из в оС ("представления ВеПля"). Пусть V - объект $р , выберем в два подпространства и У_ такие, что и V. лаграндевы относительно формы У1 у и ортогональны относительно Му . причем Н у положительно определена на и отрицательно определена на VI. . Пусть теперь Р^МоЪ. • Оказывается, что Р являе-

тся графиком оператора действующего из

У_ © • Пусть - матрица этого оператора. То-

гда

1МР) ^ 8 СБ] (з)

Перейдем к обсуждению случая о/^т. И - и построим категорию линейных отношений $р , эквивалентную категории £ . .Объект категории - комплексное гильбертово пространство V в котором

I) Фиксировано разложение в прямую сумму У — .

2. Фиксирована антилинейная изометрия Введем в V эрмитову индефинитную форму

Л' >

и кососимметричную билинейную форму

Морфиэмом Р- V-* V мы назовем линейное отношение

Р С1 такое, что Р является графиком оператора

Ь7 г ( М ) • причем

I. ^ (это эквивалентно тому, что Р сохраняет

форму_Л ) •

2. II (это эквивалентно тому, что Р сжимает форму

А ), ЙК1К1 . ИМ1К4

3. к , М - операторы Гильберта-Шмидта.

Морфизмы перемножаются как линейные отношения. Поставим в соответствие каждому объекту категории 5р пространство Фока а каждому морфиэму - оператор

Теорема 2.2. \Vef0- прое1стивное представление категории О р Пусть -. -ортогональные относительноМу и двойственные

относительно -А. базисы в V и V . Пусть сГ6" VI© V ¿Г= ^сГ- О.' +][()*. О.* , Введем операторы рождения-уничтожения

¿(■Л"." ^4

' Теорема 2.3. Пусть

Ре МогИ

. Тогда для любых

выполнено

/ч О-

(У)1МР) = и/еС Р^М

Эта теорема является обобщением классической теоремы Фридри-хса-Сигала-Березина об автоморфизмах канонических коммутационных соотношений. Группа есть ни что иное, как группа авто-

морфизмов канонических коммутационных соотношений, при этом Д 1сЬ^У) имеет половинную размерность в полугруппе .

Морфизмы симметрических пространств и условия ограниченности операторов . Рассмотрим, для простоты, подкатегорию $'р С. $р ■ Рассмотрим множество

где

через 0 обозначен нульмерный объект 5р ■ Это множество состоит из ыатриц Т» У,. У_ таких, что || Т~ Н ^ 4.

Пусть, далее Р<£Мог(У • ТогдаТ^ И О

Таким образом мы получили отображение

^(еут^к+ьт^-мту1!.*

р

где \ у - матрица, соответствующая г .

Множество - одна из моделей эрмитова симметрического

пространства (З.п.^Й^/Ц'^/ъ^ . Среди многочисленных геометрических структур на ¡¡У)/1/(Н-} т упомянем сложное

расстояние между и ' I ,, это набор >... ? J соб-

Д. а Д.*" ственных чисел матрицы

Обычное расстояние на считается по формуле

р ("г, т А? Риг - /> -

т

Теорема 22.1. Пусть сложное расстояние между

и Tz , a /¿¿j?.. ■ " сложное расстояние между и

) (Р)Тг■ Тогда Д для любого i .

Отсюда следует, что (р (P)T^ \ £ ^СЧ,"^)

В случае llSII^i. удаётся показать, что^^Р^ - сжимающее отображение, тем самым для Таких существует непо-

движная точка у отобракения ^^Р) • 5Т0 позволяет привести мор-физм Р к каноническому виду и доказать теорему 4.1.

Теорема 4.1. Пусть S — ( j^j ^ - матрица, соответствующая морфизму PsMot^^W). Если Ц Sil<i, то8Г$] ограничен.

Теорема 4.2. Пусть S^^t/^^ -матрица, соответствующая морфизму Pi= Mo'L^^ W). Если операторы \(} M - ядерные, то оператор (([ SJ ограничен.

В п.1.5 диссертации приведён контрпример, который показывает, что условия теорем существенны.

Морфизмы канонических антикоммутационных соотношений. Пусть Ji0- пространство многочленов от антикоммутирующих переменных £ V . Введём в _Л.л скалярное произведение, поло-

кив, что все одночлены ортогональны и имеют норму Д. . Гильбертовым фермионньы пространством Фока À мы назовём пополнение

An

по этому скалярному произведению. Любой элемент •^(^еЛ представим в виде ряда Z к СО

где - однородная форма степени К . Полинормирован-

ное фермионное пространство Фока .А состоит из элементов , удовлетворяющих условию

А 5"

УС ЗА: Ц Аг^(-Ск)

Формула рс (/) = ^О-Р^^И гхр(Ск)) задает полунорму в Д , естественная топология в .А определяется полунормами р^ . Пусть ^ , ^ - Два набора попарно антикоммутирующих перемен-

ных. Рассмотрим ядра вида Л/

'Г ■V

где Ч^ч,.4. ■

1| ^^ , а К , Н ■ операторы Гильберта-Шмидта. Опера-

тори

где - ядра вида^^мы будем называть операторами Березина (определение интегральных операторов в фермионном пространстве Фока см. Оператор (5) действует, вообще говоря, из

одного фермионного пространства Фока б другое.

Теорема 7.1. Операторы Березина в полинормированном пространстве Фока корректно определены и ограничены. •

В гильбертовом пространстве Фока Л. операторы Березина, вообще говоря не ограничены. Здесь известны необходимые и достаточные условия ограниченности, щель между ними не очень велика.

Теорема 9.1. Пусть операторы К иМ Авляются ядерными. Оператор (5) ограничен тогда и только тогда, когда (_| представим в виде

. где |1(_' ¡1 < 4 , а т - ядерные

операторы.

Теорема 9.2. Пусть оператор ограничен. Тогда матрица Ь

i6

представима в виде , где IIL'lU 1 , а

т - оператор Гильберта-Шмидта.

Теорема 9.3, Пусть матрица L представима в виде L - L (l +Т* ) , где

IIL'lU 1 . аТ - оператор Гильберта-Шмидта. Тогда (5) - ограниченный оператор.

Оказывается, что произведение операторов Березина снова является оператором Березина (теорема 8.1). Рассмотрим категорию Jil , объектами которой являются фермионные пространства Фока, а морфизмами - оператора Березина. Сейчас мы построим категорию линейных отношений

, эквивалентную JU .

Сначала построим категорию Q& .Ее объект - прямая сумма двух гильбертовых пространств

. Пусть

V ,W -

объекты G А . Обозначим через OT-^Vj V\/) множество линейных отношений Р- V3 W таких, что Р является графиком one-

ратора S - ({> м ); V+© W_-> V©W* . причем

1. II SIIC со

2. К . А/ - операторы Гильберта-Шмидта.

Линейное отношение Р является морфизмом категории GA из V в W , если существует Q.G-т (у' W ) , такое, что РОб- имеет конечную коразмерность в Р и Q. Кроме

того Mot (V W^ содержит riu. 11 . Правила умножения мор-физмов - те же, что и в категорий

Ок.

Объект категории G'iO - прямая сумма гильбертовых пространств V- V+ © V- , причем фиксирован антилиненый изометрический оператор I *• V_ V^. • Тогда в V определена симметричная билинепиая форма

А (К,л), («.-;, + >

и из всех

А?

йнолество М О ^У, Уу/^ состоит из

«орфизмов категории , сохраняющих форму_Л..

Теорема 8.1. бЖатегория О) эквивалентна категории ^Ц. . В диссертации описан явный вид функтора '> .

Особенно просто выглядит оператор , еслиР являет-

ся графиком оператора £ - ( ^ Ь V- У*. ® ^ У ©•

N) т ~~ ~

Тогда имеет ядро вида

Аналогично категории категорию (х2) можно интерпретировать как категорию ыорфизыов канонических антикоммутационнных со-отнопений (теорема 8.1.а). Ваянуа роль в дальнейшем играет естественное вложение категории

<?А в 67) . Пусть V- У+© У_ -

объект О А . Пусть У+ ,У_ - пространства, сопряженные к У^ и

V.. Пусть У"=(^©У_')©(Х©У+ ) = 4"©^

Определим оператор X: кан естественную антили-

нейную изочетрию гильбертова пространства и его сопряженного. Таким образок V - объект

. Пусть

и пусть Р - аннулятор Р в . Тогда Р© Р

цорфигм

Полугруппа Г7 . Элементом полгруппы Р является тройка Ъ ^ ^ , где К. - ко'йактная риманова поверхность (одномерное коипленсно9 многообразие) с краем, конформно эквивалентная кольцу, а + в4*1^ »-» - фиксированные аналитические па-

раметризации компонент края, причем при обходе контура ^в1"^) поверхность остается слева, а при обходе (о.1"^ ^ - справа. Доа элемента ) и ^ считаются сов-

падающими, если существует конформное отображение I '

/г-*«/

такое, что Т / г « (, + . Если XI -

^ , то их произведение - это тройка

(¿2 } ^ +} - ^ такая, что й получается склейкой иР

путем отождествления пар точек ^С.1"1^ и р^в1'^' ^ . В §12 объясняется (см.["5] . а также £ 2-3 ), что полугруппу Г следует рассматривать как комплексификацию группы диффеоморфизмов окружности. В §13 доказывается, (теоремы 13.1,

13.2) что любое представление алгебры Вирасоро со старвим весом интегрируется до представления полугруппы Р .

Явные конструкции представлений основаны на вложенияхР в полугруппы вида Еп.с{^ (V) и Еи-Л^д (теоореиы 13.1,

13.3). Построим, например, вложение Р в полугруппу Ецс(о^ С^О • Пусть ^ ~ пространство дифференциалов вида

) ^ 00 скаляРньм произведением

Пусть у+ состоит из форм вида ¿~ "■к.®' '

а V - ортогональное дополнение "до • Итак V становится объектом категории

. Пусть теперь Р р^р_) • Рассмотрим множество 0_ всех пар таких, что существует голоморфный дифференциал Р степени П, на Р такой, что прообраз Р при отображении р^ совпадает с • а прообраз при отображении р совпадает с (У^ . Оказывается, что Q,G ИоЪ^д • ТАким образом, полугруппа Р вложена в En.il (у) , полугруппа £и_с/ — (V) в свою

СЛ 4 ' /»/¿гн/'Ч Л

очередь вложена в * ) и тепеРь мы можем

ограничить спкнорное представление на '

Оказывается, что все стандартные конструкции представлений

алгебры Вирасоро со старшим весом (см.[33 ) могут быть переведены на этот язык (§13). В §14 получены явные формулы для представлений Г со старшим весом, для сферических функций и Характеров представлений (слово характер понимается в классическом смысле

, операторы ™еют след).

Категория^/ь£а п. . Объект категории Ък^Ыъ - неотрицательное целое число. Морфизи из Щ з П, категории 5¡\jttXtx, это набор

, ^} ^ ^ . 1 < и С т , 1С £ п. ,

где Й. - компактная риманова поверхность с Г>1 + П_ (занумерованными) компонентами края, а б.1"^--? й. - фиксированные параметризации компонент края, причем при обходе контуров ('еЛ^ поверхность остается слева, а при обходе (в^ справа. Два морфизма $,-(1%., ^ ^ и ¡Рг^Р^р^- р^ (У) п, считаются совпадающими, если существует биголсморфное отобраление сГ - Р , такое, что р+ : 1>° +

Если ^ — ^^ ) - иорфизм изП1 в а , а

^ Р+ ) Р-С ) ' и°РФизи из П. в К .то определено

их произведение № ^ ^ • Поверхность 0. полу-

чается склейкой Р и с помощью отондествления всевозможных пар. точек вида рЛ (е.^) и ■ При этом С^^ = '¿^

Категория была независимо определена Ц.Л.Кон-

цевичеи и Гр.Сигалом в 1987 - 1988 гг. эти авторы переформулировали конформную квантовую теорию поля в терминах теории представлений категории ^

В §16 построены примеры представлений категории с5*А-£-£1л..

Пусть - то же пространство дифференциалов степени П. , что и выше, и пусть V - К -кратная суммма Пусть pí)\m~* К морфизм категории Sitan.

Построим по (Р линейное отношение

Набор v uf± .. -,<«£)лежит > если существует

голоморфный дифференциал F степени П. на Р такой, что прообразы f- при отображениях суть ti- , а при ото-

1С 6

бражени ях Pj суть ¿с/j- . Таким образом мы получаем вложение категории S litan в категорию

GA ■ (теорема 16.3), а категория GA вложена в G7) . Ограничивая спинорное представление категории (?¿) на категорию Slitan. , мы получаем серию представлений категории SJctatL-

В §16 содержится также бозонная конструкция того *е типа. Она основана на вложении категории Síbtart- в категорию

Sp •

Литература

1. Неретин D.A. 0 спинорном представлении ДАН СССР.- 1986.Т.289,№2,- С.282 -285.

2. Н-зретин D.A. 0 комплексной полугруппе, содержащей группу диффеоморфизмов окружности.// Функцион.анализ и прилож. -1987.Т.21, вып.2 - С.82-83.

3. Неретин D.A. Представления алгкбры Вирасоро и аффинных алгебр// Соврем . проблемы матем. Фунд.направления.-Ы.: ВИНИТИ, 1988. - С.163-224.

4. Неретин Ю.А. Спинорное представление бесконечномерной ортогональной полугруппы и алгебра Вирасоро.//Функцион. анализ и прилож.- 1989.т.23,вып.3. - С.32-44.

5. Неретин Ю.А. Голоморфные продолжения представлений группы диффеоморфизмов окружности.// Матем.сб.-1989.Т.180,!Р5 -С.635-657.

6. Неретин D.A. Об одной полугруппе операторов в боэонном пространстве Фока.//Функцион.анализ.и прилож,- 1990. Т.24.Р2.- С.63-73.

7. Нерзтна Э.Д. Прогрлгиниа представлен tft кдассичэсквх групп до

лродстаздгапа кйтогор:а//Алг«!ра и ачэ^шз Д991,т.3,й1.с.175~ 201.

Q.Nazarov И., Neretin Yu.A ,01shanskii G. Semigroupea angendros par la representation de Ueil du groupe aynplectique de dimension infinie // Comp t. Rend. Acad. Se i . , Paria,-1989.V.309, N 7.

НЕРЕТШ ЮРИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

KATETOFHHE ОБОЛОЧ<И БЕСКОНЕЧКЖРНЫХ ГР7Ш И ПРВДСТАВЛШЩ КАТЕГОРИЙ РШАНСВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

/Автореферат/

Подписано к печати 23.03.52 Формат Я0х90 I/I6 п.л. 1,5 Уч.изд.л.1.3 Тирад ТОО Заказ Т49

Ротапринт ИАСК/ВТУЗ-ЗИЛ/,Ю9280,Москва,Автозаводстш,15