Циклические TI-подгруппы порядка 4 в конечных группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ГI а 0«

1 Ь МАЙ 1535

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

Зюляркпиа Наталья Дмитриевна

ЦИКЛИЧЕСКИЕ Т/-ПОДГРУППЫ ПОРЯДКА 4 В КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ

01.01.03 — математическая логика, алгебра п теория чисел

Автореферат диссертации на сопскаппе ученой степени кандидата фпзяко-матекатпчесхгнс пауз

Екатеринбург 1СЭ5

Работа вы .олнена на кафедре ВМ и УМФ Уральского государственного технического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор A.A. Махнев

Официальные оппоненты: доктор фнзйко-ыатоматнчсскнх наук,

профессор Л.С. Казарин

канд1шат физико-математических наук, старший научный сотрудник А.Н. Фомин

Ведущая организация: Институт математики СО РАН

Защита состоится ".......* ................. 19S5 г. в " 15 " часов иа заседа-

пж! специализированного совета К.002.07.02 па защите диссертаций на cG;:ci<,iiu:s ученой степени кандидата наук в Институте математики и игхашжк УрО РАН ко адресу:

62G21S, г.Ехатернкбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией ион но ознаюшятьса в библиотеке Института нате-1>атикн и ыгх&инкя УрО PAII.

Автореферат разослал; "......"....................1S95 года.

Ученый секретарь

специализированного совета ^ '

д.ф.-мль, профессор............ikirW.____А. .С. Кондратьев

Многие задачи теории конечных групп связаны с описанием класслв групп, содержащих подгруппы с рядом определенных свойств. В частности, большой интерес представляют так называемые плотно вложенные подгруппы и 77-подгруппы.

Подгруппа II конечной группы О называется плотно вложенной в С, если \Н\ четен, а |// П Н9\ нечетен для любого д 6 О - N(11).

Подгруппа А группы й называется 77- подгруппой, если АО А' = 1 для любого <7 € С - №а(А).

Заметим, что плотно вложенная 2-подгрунпа А является Т/-подгруплой.

В теории конечных групп изучение групп, содержащих плотно вложенную подгруппу, является важным в связи с задачей классификации конечных простых групп. Результаты о плотно вложенных подгруппах полезны при описании групп так называемого компонентного типа, а также при исследовании групп с условиями на классы инволюций.

Исследование плотно вложенных подгрупп началось с работы М.Судзукл (см. [8] ), где были описаны группы, в которых силовская 2-подгрулпа является 17-подгруппой. Следующий важный результат в этом направлении был получен X.Вендором ( см. [4] ), который описал группы с сильно вложенной подгруппой. Собственная подгруппа II группы С называется сильно вложенной, если А^с(Т) < Я для любой нетривиальной 2-подгрутты Т в Н. Очевидно, что сиг по вложенная подгруппа является плотно вложенной.

Определение плотно вложенной подгруппы было введено М. Лшба-хером в работе, посвяшенной исследованию групп компонентного типа (см. [2]). Им лге изучались ллотно пложенные подгруппы корневого типа (см. [3]). Плотно вложенная подгруппа ,!азывается подгруппой корневого типа в С7, если для любого д € С? Ф 1 влечет

|Я : ЫиШ1)] нечетен. В противном случае П является подгруппой некорневого типа, а соответствующая пара подгрупп (Я, П3) — некорневой парой.

При этом остались кенсследсзаннкгги случая, когда енлсвсх&я 2-подгруппа этой группы элементарная абелеза или содержит единственную инволюцию. Ашбахером были изучены группы с плотно гложен-ной подгруппой, у которой силозскзя 2-подгруппа является группой кватеркиоиаз.

А.А.Махневым в [1] был изучен случай плотно вложенной подгруппы корневого типа с неэлементарной циклической силовоксй 2-подгрутгай А при условии, что слабое замыкание инволюции из А в складской 2-лодгруппе — абелева группа. Там же показало, что при изучении плотно вложенных подгрупп с неэлементарной циклической 52-псдгруппой можно ограничиться случаем, когда 5V подгрупп а плотно вложенной подгруппы — циклическая порядка 4.

Ввиду того, что в известных простых группах, содержащих плотно вложенную подгруппу, эта подгруппа оказывается в большинстве случаев 2-группой, особый интерес представляет изучение групп, содержащих 2-подгруппу, являющуюся Ti-подгруппой. Описанию таких групп посвящены ызюгке работы Ф.Тиьшесфельда и его соавторов (см.

И ,[7] ,[9])-

В {6] А.А.Махневым была доказана следующая редукционная теорема для 27-подгрупп:

ТЕОРЕМА. Пусть 2-группа А лелеется TI-подгруппой конечной группы G и G<¡ — {Ас). Тогда выполнено одно из следующих условий:

(1) А является циклической или элементарной группой.

(2) [А, А»] = 1 для любого g € G - N{A).

(3) (ÁGa) а £3(2"), 5г(2"), Us(2a) или SV3{2n), А является силов-спой S-подгруппой в (Ава).

(4) Л содержит подгруппу Aq индекса 2, которая инвертируется элементом х из А — Ао, V = является абелевой группой, и Gо = G0/V порождается множеством нечетных транспозиций. xG.

(5) А ~ Qa х £2» или А абелева группа периода 4, группа V — {Ü(Á)G} элементарном, и для множества D элементов из G, сопряженных с элементами из А — V, С является множеством корневых инволюций в Go = G/V.

(6) A-ZtxZi.u (Ав°) ~ L3(4) или SL3{4).

(7) A* QSl и {А°о) ~ G2(2),G2(3),M10)Mu,M12 или (Лс°> является гомоморфным образом универсальной группы Шевалле G* над полем из трех элементов, и А есть образ Ov(K), где К является фундаментальной подгруппой G*, представленной длинными коршг-ящ (AGc) — G* если G* — ортогональная группа размерности, не жхыисй чем 4-

Основная цель дассептация — изучение конечных групп, содержа-

щих циклическую Т7-лодгруплу порядка 4. В ней также исследуются группы, содержащее плотно вложенную подгруппу с <циклической сл-ловской 2-подгруппой А порядка 4 с условием на слабое замыкание инволюции из Л в силовской 2-поцгруппе всей группы.

Диссертация состоит из введения, трех глав и двенадцати параграфов, изложена на 66 страницах. Библиография содержит 24 наименования. Нумерация утверждений (теорем, лемм) имеет вид Ц.к., где 1 — номер главы, ] — номер параграфа, к — номер утверждения.

В лемме 3.1.1 данной диссертации показано, что если конечная группа С содержит циклическую Т1 -подгруппу А порядка 4, то Л нормализует любую компоненту Ь из б, если таковые имеются. Ввиду этого факта интерес представляют те группы (?, для которых F*(G) — квазипростая группа иС = F*(G)Л. Для изучения таких групп полезно иметь информацию о том, какие известные квазипростьге группы могут быть использованы для получения данной конструкции. Этому вопросу посвящены первые две главы диссертации.

В первой главе данной диссертации изучаются конечные группы в, которые представляются в виде й = ХА, где X = ^((7) — накрывающая группа для классической группы Шевалле нечетной характеристики, а А — циклическая ТТ-подгруппа порядка 4 в б, не лежащая в Z{F*(G)). Через а0 обозначим инволюцию из А. Через X* обозначим множество таких расширений группы X, что для группы X из X* любой элемент из X - X индуцирует на X внешний внутренне-диагональный автоморфизм.

Во втором параграфе первой главы рассмотрен случай, когда X является накрывающей группой для линейной группы Ьп(д) над полем нечеткой характеристики. Возможности для л и А приведены в следующей теореме:

ТЕОРЕМА 1.2.1. Пусть X — накрывающая группа для £я(д), п > 2. Тогда либо X — накрывающая группа для £2(9), <3 = X и = 3, либо X — частное ЗЬл{ц), п > 2, по центральной подгруппе порядка <1, и имеет место один из следующих случаев:

для нечетного п:

(1) X ~ Гз(3), или X ^ Ь3(7), С? = Х(т), где г — автоморфизм графа, во соответствует инволюции типа 2 из X.

(2) С = X, <{ — 1 = 0(4), ао соответствует инволюции четного

типа из SLn{q).

>\гя четного п:

(3) X — Lj(9), элемент а индуцирует на X внутренне-полевой автоморфизм, со соответствует полуинволюции типа 1 из SLi(9).

(4/ G — X, q — 1 = 0(4), n > 4, во соответствует инволюции типа т, т = 0(4), из SLn(q).

(5) G — X, q — 1 = 0(4), п > 4, ао соответствует инволюции типа т, т = 2(4), из SLn(q), (q — 1,га) ф (q — l,2n) и d либо делится на (« - 1» !)j, если п = 0(4), либо d = 0(2), если п s 2(4).

(6)G-X, q-1 = 0(4), п > 2, (g-l,2n) j= (<j-l,4n) ud делится на {q— l,n)2, ao соответствует инволюции нечетного типа из GLn(q).

(7) G = X, q + 1 = 0(4), d четно uq = -1(8) или n = 0(4), a0 соответствует полуьнволюции типа 0 из SLn{q)

(8) \G:X\=2,G€X\q~l = 0(4), (q- l,2n) = (■? - l,n), a0 соответствует инволюции типа m, m = 2(4).

(9) |G:X| = 2, G e X\ g - 1 s 0(4), (<? - 1,2n) ф {q - l,n), {q — l,4n) — (q — 1,2n), d делится на (q — 1,п)з, ao соответствует икаолгэции нечетного типа из GLn(g).

(10) |G : = 2, G € X\ q+1 = 4(8), un = 2(4), o0 соответствует полуинволюции muña 0 из SL„(q).

(11) |G: X| = 4, G 6 A'*, q - 1 = 0(4), (g - l,2n) = (q - l,n), a0 соответствует инволюции нечетного типа из GLn(q).

Третий параграф первой глады посвящен исследованию симплекти-ческнх групп. Возможности для X и А описаны в теореме 1.3.1.

ТЕОРЕМА 1.3.1. Пусть X — частное Spn(q), п > 4, q - нечетко. Тогда X = PSpa(q), G 6 X* и имеет место один из случаев:

(I) С — X, q — 1 = 0(8), во соответствует инволюции w типа | из GSpB{q) с ги, - -1.

(¿) G = X, q+1 = 0(8), со соответствует полуинволюции из типа 0 из Spa(q).

(3) ¡G : Х\ — 2, q— 1 ~ 4(8), со соответствует инволюции w типа | ve GSpr,(q) сг„ = -1.

(4) \G : Х\ — 2, q+ I = 4(8), а0 соответствует полуинволюции w типз 0 из Sp-(q)-

Случай., когда X является, накрывающей группой для унитарной группы PSUr.{q) над полем нечетной характеристики, рассматривает-

i з четвертом параграфе первой главы. Все возможности описаны в »реме 1.4.1.

ТЕОРЕМА 1.4.1. Пусть X — накрывающая группа для PSUn(q),

> 3. Тогда либо X — waKpwaawt/fíLí группа для PSUi(3), \Z(X)\ елится на 9 и [<7 : Х\ = 4, либо -Y' — частное SUn(q), п > 3 по одгруппе порядка d и имеет место один из следующих случаев:

для нечетного п:

(1) X са PSU3(b), G = Х(<р), где <р — полевой автоморфизм поряд-а 2, а0 соответствует инволюции типа 2 из X.

(2) G = X, q + 1 = 0(4), а0 соответствует инволюции четного ита из SUn(q).

для четного п:

(3) G = X ,</+ \ = 0(4), я > 4, и во соответствует инволюции чипа т, т — 0(4) из SUn{q).

(4) G — X, q+ 1 = 0(4), во соответствует инволюции типа т, а ~ 2(4) u3SUn(q), (q+l,n) ф (д-И,2п) илибо<1 делится на (д+1,§)з, ели п = 0(4), либо d = 0(2), если п = 2(4).

(5) G = X, q+ 1 н 0(4), (<7 + l,2n) ¿ (q + l,4n) и d делится на q + 1, п)?, во соответствует инволюции нечетного типа из Ui(q).

(6) G = X, q — 1 = 0(4), d четно и выполнено хотя бы одно из /словий:

а) g - 1 = 0(8)

б)п~ 0(4)

Элементу ао соответствует полуинволюция типа | из SUn(q).

(7) \G : Х\ = 2, G € X*, q + 1 3 0(4), (q + l,2n) = (q + l,n), a0 гоответствует инаолюции типа m, m н 2(4) из SU*(q).

(8) \G : X\ = 2, G € X , q + 1 = 0(4), (q + 1,2») ф (q + l,n), q+ l,4n) = (g+ l,2n), d делится на (q+ l,n)2, ао соответствует инволюции нечетного типа из Un(q).

(9) \G: Х\ - 2, G € X", q - 1 = 4(8), и n ~ 2(4), d — петко, a0 соответствует полуинволюции типа | ш SUn(q).

(10) jG:X¡ = 4, G e X*, q-f 1 = 0(4), (q+ 1,2») = (<7 + 1,»), a0 соответствует инволюции нечетного типа из U^q).

Исследованию ортогональных групп нечетной характеристики и лх накрывающих групп посвящены последние два параграфа первой главы. Результаты приведены в теоремах 1.5.1 п 1.6.1.

-s -

ТЕОРЕМА 1.5.1. Пусть X — частное Тогда имеет место

один из следующих случаев:

Для нечетного т:

(1) q2 — 1 = 0(16), G = X, ао соответствует инволюции типа 2 из

íWff).

(") q1 - 1 5 8(16), |G : Л| = 2, G £ X*, Оо соответьствует инволюции типа 2 ид íím(g).

Для т = 2п и ind(V/k) = г»:

^ G = X, п — нечетно, 1 = 0(4), ао соответствует инволюции типа 2 из ÍÍ2"n(í).

(4) G = X, п — четно, д2~1 = 0(16) или и — нечетно uq-1 = 0(4), а о соответствует инволюции типа 2 из

G = X, X = Pílt(q), n — четко, 2 G (*#)2, ? + 1 = 0(4), o0 соответствует полуинволюции типа 0 из

(6) G = X, X = PQjn(q), п — четно, q— 1 = 0(8), а0 соответствует полуинволюции типа п из

(7) G — X, X = Pfij„(q), п — нечетно, q— 1 = 0(16), ао соответствует полуинв 'люции типа п из й^Ля)-

(8) |G : ЛГ( = 2, п — четно, q2 — 1 = 8(16) или п — нечетко и g — 1 = 0(4), ао соответствует инволюции типа 2 из ííj^g).

(9) \G : Х\ = 2, X = РП&д), п - четно, 1 g {к*)\ q+ 1= 0(4), а0 соответствует полуинволюции типа 0 из fl}n(q).

(10) |G : = 2, X = Pn¿n{q), п — четно, q - 1 = 4(8), а0 соответствует полуинволюции типа п из П£п(д).

(И) \G : Х\ = 2, JV = " — нечетно, q - 1 = 8(16), а0

соответствует полуинволюции типа п из

(12) \G : = 4, п — нечетно, q — 1 s 4(8), ао соответствует инволюции типа п из GO^Cq).

Для тп = 2п и ind(Vjk) = п - 1:

(13) G = Х: п четно, ао соответствует инволюции типа 2 из

(Ц) G—X,n нечетно и выполнено одно из условий:

а) q- 1=0(4)

б) 1 = 0(8),

ао соответствует инволюции типа 2 из

(15) G — X, п нечетно, q +1 = 0(4), 2 + а £ (fc#)2, где а2 = 2, и а0

соответствует полуинволюции типа 0 из fljn(g).

(16) |G : Л'| =2, п нечетно, q + 1 = 4(8), и ао соответствует инволюции типа 2 из ^„(д)-

(17) ¡G : Х\ = 2,п нечетно, <7 + 1 = 0(4), 2 € (fc#)2, но 2 + а £ (к#)7, где а2 = 2, и Оо соответствует полуинволюции типа 0 из fi^g).

(18) |G : Х\ = 4, п нечетно, q+ 1 = 0(4) 2 £ {к*)7, а0 соответствует полуинволюции типа 0 из PGO^n(q).

ТЕОРЕМА 1.0.1. Если существует группа С, представимая « виде X А, где X — накрывающая группа для Qm(q), X ф Om(g), т > 6, то |G : > 2, гп = 2п, п — нечетно и выполнено хотя бы одно из следующих условий:

(1) X — Spin^iq), q — 1 = 4(8), |G : Х\ = 2, и ао соответствует инволюции типа 2 из ^„(д).

(2) X = Spin?n(q), q + 1 s 4(8), |G : X\ — 2, и аа соответствует инволюции типа 2 из njn(g).

(3) X = Spin^iq), q - 1 = 4(8), \G : Х\ = 4, и aQ индуцирует на X/Z(X) автоморфизм, соответствующий полуинволюции типа п из

GOUq)-OUq)-

(4)Х = Spin2n{q), 9+ 1 Н 0(4), |G : Х\ = 4, и а0 индуцирует на X/Z(X) автоморфизм, соответствующий полуинволюции типа 0 из

GOM-

Во второй главе диссертации изучаются конечные rpyi; ы G, которые представляются в виде G = XЛ, где X — F*(G) — накрывающая группа для известной простой группы за исключением классических групп Шевалле нечетной характеристики, а А — циклическая Т7-подгруппа порядка 4 в G, не лежащая > Z{F'{G)).

Все возможности для X и А описываются в следующей теореме:

ТЕОРЕМА 2. Пусть G - F*(G)A, где F*{G) — накрывающая группа для знакопеременной группы Ап, п > 5, п ^ 6, спорадической группы, исключительной группы типа JIu над полем нечетной характеристики или группы типа Ли над полем характеристики 2, А = {а) — циклическая TI-подгруппа порядка 4 eG. Тогда реализуется одна из следующих возможностей:

(1) G = F\G) ~ Er(q), q1 - 1 s 0(16).

(2) G = F'{G) ~ E^q) или CovE6(q), q~l~ 0(4).

(5) G = F\G) ~ 3Ee(q) или Cev2Ee(q), <? + 1 = 0(4).

(4) : Р*(сг)] = 2, Р*(<?) к - 1 = 8(16), и элемент а индуцирует на Р*{С) диагональный автоморфизм.

(5) С = /"(С?) — накрывающая группа для Яг'5 или СИ.

(6) |<7 : **(<?)| = 2, С?~ 5., Г((3) *Аа,п> 5.

(7) X к ¿4(2) или £/<(2).

Третья глава диссертации посвящена исследованию конечных групп С? с О(б) = 1, содержащих плотно вложенную подгруппу Н некорневого типа с циклической смловской 2-пацгрушюй А порядка 4 при условии, что слабое замы^длие инволюции из А в силовской 2-падгруппе всей группы <7 является абелевой группой.

Основной результат ггрйвадится в теореме 3.

ТЕОРЕМА 3, Пусщр Д — подгруппа некорневого типа конечной группы О с 0((7) = ) в пусть силовская 2-подгруппа А из Я циклическая группа цоррдцв Предположим, что слабое замыкание инволюции ад из А в силовспай 2-подгруппе из С — абелева группа. Тогда выполнено одно из двух утверждений:

(1) (ср ) — абелева группа и (А°)/(а$) порождается множеством 3-транспозиций.

(2) (Аа) — прямое произведение подгрупп, сопряженных в С? с подгруппой J « <А-'>) и J — РвЬ^д), д = 3,5(8).

Все основные результаты, полученные в диссертации являются новыми и имеют теоретическое значение. Они докладывались на международной алгебраической конференции в Красноярске (1993 г.) и алгебраических семинарах (алгебраический семинар ИММ УРО РАН, семинар при кафедре алгебры к геометрии Челябинского гос. университета). Все результаты опубликованы в [10] — (13].

Теорема 3 получена совместно с научным руководителем. В теореме 2 руководителю принадлежит идея доказательства и реализация для групп Сг(д) и Зп4(д).

Список литературы

{1} Махкез A.A. О плотно вложенных подгруппах с циклическими си-лоаокиии 2-Ё0ягрузхпалш. // Мекдунар. алгебр, конф: Тез. докл. ЕоБОшбпрСй, 1689, С.76.

- и-

[2j Aschbacher M. On finite groups of component type. // Ill.J.Math., 1975, N.l, P.87 — 115.

[3j Aschbacher M. Tightly embedded subgroups of finite groups. //J. Algebra, 1976, N.l, P. 85 — 101.

[4j Bender H. Transitive Gruppen gerader Ordnung in denen jede Involution genau einen Punkt festlast. // J.Algebra,V.17. P.527 — 554.

[5] Hochheim Y. and Timmesfeld F. A note on Tl-subgroups. // Arch.Math. 1985. V.51. P. 97 — 103.

[6] Makhnev A.A. A reduction theorem for Tl-subgroups.// English transl. in Math.USSR Sb. V.38. P.2S9 — 311.

[7] Solomon R. and Timmesfeld F. A note oh tightly embedded subgroups. //Arch.Math. 1978/79. V.31. P.217 — 223.

[8] Suruki M. Finite groups of even order in which Sylow 2-grcups are independent. // Ann. of Math. 1964. V.SO.P.58 — 77.

[9| Timmesfeld F. On the structure cf 2-local subgroups in finite groups. // Math.Z. 1978. V.161. P.119 — 138.

Работы автора по теме дпссертйцпн:

[10] Зюлярхлна Н.Д. Циклические Т/-подгрулпы порядка 4 з классических группах Шевалле нечетной характер и стнхл. // Чедиб. гсс. ун-т. 1995. 31 с. дел. а ВИНИТИ, 11.01.95, N 87 - В 95.

[11] Зюляршша Н.Д., Махлез A.A. Плотно вложенные подгруппы с абэ-яегын слиянием. // Труды ЙММ УрО РАИ, Екатеринбург, 1S92, Т.2, С.19 — 26.

[12] Зюляршша ИЛ., Махпев A.A. Циклические У/-поцгрушш порядка 4 в исключительных группах Шезапяе. // Труды ИММ УрО РАН, Екатеринбург, 1S94, Т.З. С.41 — 49.

[13] Зюлярхила BJJ-, Махнез A.A. Цякяячесзиг Г/-псдгрупт1 порядка 4 в пзвестпых группах. // Мезд. лспф. но алгебра. Тез. докл. Красноярск, 1993, С.130.