Конечные группы с максимальными f- подгруппами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

л> 1 Я

'АКАДЕМИЯ ПАЖ БЕЛАРУСИ

июптуг :,цткшш

На правах рукописи БУЗЛА110В Александр Васильевич

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ШСИШЬНЬШ £ -ПОДТРЛПШИ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВГОРЕЗЕРЛ!'

диссертации на соискание ученой ?рвпени кандидата физико-математических наук

- 1932

Работа выполнена в Гомельском государственном университете имени Франциска Скорины

Научный руководитель - член-корреспондент АН Беларуси,

доктор физико-математических наук, профессор ШЕМЕЯКОВ Леонид Александрович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

НАЛЬЧЖ Эдуард Михайлович

кандидат физико-математических на: ВЕДЕРНИКОВ Виктор Александрович

Ведущее учреждение - Институт математики АН Украины

Защита состоится г. в

часов на заседании специализированного совета Д 006.19.01 Институте математики АН Беларуси по адресу: 220072, Минск ул. Сурганова, II.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Инсти тута атики АН Беларуси.

Автореферат разослан 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета,

доктор физико-математических , „ __

наук ур*-"-^ А.С.Рапинцук

Актуальность темы. Вахтой задачей теории конечных групп является исследование груш, у которых заданные подгруппы обладают некоторым фиксированным свойством. К группам такого рода относятся группы с системой подгрупп, принадлежащих некоторому классу. Впервые такая ситуация рассматривалась Миллером и Морено, которые изучили минимальные неабелевн группы. В 1924 году О.Ю.Шмидт опубликовал работу, в которой исследовалось строение минимальной нанг.льпотентной группы. Такую группу сейчас называют группой Шмидта. Изучением группы, не припадлс-ащсй некоторому классу , но имеющей все собственные подгруппы из , занимались многие из-Еест^но учение, такие как Хупперт, Деря, Томпсон, Н.И.Кон-торовкч, В.Т.Нагрзбецкий, Картер, Фишер, Хоукс. Новый этап возник в связи с развитием теории формаций. В 1979 г. В.Н.Ссмснцук рассмотрел предложенную Л.А.Шеметковым задачу изучен;:п строения произвольных конечных минимальных не § -групп в случае произвольной локальной формации Обзор результатов по минимальным но «р -группам моано найти в монографии Л.А.Ыеметкова "Формации конечных групп".

Миткальные не -группы можно рассматривать как классы групп, у которых любая максимальная подгруппа принадлежит с? . Естественно возникает задача изучения групп, не принадлег.зпих классу , но имеющих некоторые максималь-нне подгруппы из .В 1965 г. В.А.Белоногов исследовал конечные ненильпотентные группы с двумя несопряяенными ниль-потентными максимальными подгруппами. В 1980 г. Л.С.Казарин и Ю.А.Корзюков получили результаты о строении конечных разрешимых, но нессерхразрешимых^групп со сверхразрешимыми максимальными подгруппами.

Цельп диссертационной работы является изучение конечной разрешимой не $ -группы, имеющей одну или две максимальные подгруппа, принадлежащие произвольной локальной под-Сюркацки г? фог.мации ИЬОС всех конечных групп с ниль-нотен'.'ч;;.*: коммутантом.

.^т-.'чы. иссптованкя. Используются методы -абстрактной

теории групп и теории формаций конечных групп.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) Изучено строение конечной разрешимой группы, имеющей максимальную подгрупду, принадлежащую локальной формации, содержащейся в классе 1ГШ1 всех конечных групп с нильпотентным коммутантом,

2) Изучено строение конечной разрешимой группы, имеющей две неостриженные максимальные подгруппы, принадлежащие локальной подформации ^ формации ЧТИЛ . .

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при изучении конечных групп с системой подгрупп, принадлежащих заданному классу.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсукдались на семинарах кафедры алгебры и геометрии Гомельского государственного университета имени Ф.Скорины, на 11-м Всесоюзном симпозиуме по теории групп в г.Свердловске (1589 г.). и МеждународнойАлгебраической конференции по алгебре в г.Новосибирске (1989 г.).

Публ;чсации. Но теме диссертации опубликованы 4 печатные работы.

Струг.-.'ура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 97 страницах машинописного текста и состоит из введения и трех глав, включающих в себя 6 параграфов. Список литературы содержит 29 наименований.

содереаше работы

В диссертации рассматриваются только конечное разрешимые группы. Используются определения и обозначения из монографии Л.А.Шеметкова "Формации конечных групп". Буквы р и с^ обозначают только простые числа. Неединичную нормальную р -подгруппу Р' группы О называют подгруппой шмидтовского типа в О , если выполняются следпэщие уело-

вия: t

1) если P неабелева, то Ф(Р)"РЖ2(Р} - подгруппа экспоненты р ;

2) если Р абелеаа, то она элементарна;

3) если р>г , то еэс.р(р") = р , при р = г.

4) Р/ФСР) - G -главный фактор и ф^Р) =

Зкстраспециальной будем называть р -группу Р , если Р = £(р) = Ф(Р) - группа порядка р . Определения и результаты о FG- -модулях, используемые в диссертации, можно найти в книге ЧДэртиса, И.Райнера "Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр".

В § I изучается вопрос о числе локальных подформаций i формации И10С . Понятно, что поскольку всякая подформация формации Ю, всех нильпотентных групп является подформа-цией формации , то ИИЭЬ шеет бесконечно много

локальных подформаций. Интерес представляли локальные под-формации из TfL(X > содержащие 'TfJ, . Оказалось, что существует континуальное множество локальных подформаций формации Т1СХ , содержащих все нильпотентше группы.

В 5 2 рассматриваются группы с нормальной максимальной подгруппой из <? <=. /ZL(jC . Основным результатом параграфа является следующая

Теорема 2.6. Пусть локальная формация со-

держится s TLUL , а конечная разрешимая группа G- имеет нормальную ¿F -подгруппу М простого индекса О^ и = Л . Тогда выполняется одно из следующих условий:

1) группа & = <.-=с>х. М для некоторого "aceGNM , G^s <ос> ;

2) подгруппа M=FCg}xH , подгруппа И абелева

и для.лэбой -эксцентральной минимальной нормальной подгруппы Р группы Qr справедливо одно из следующих утверждений:

2.DM=Cg.(P) • ^ ^С^/^О ~ прибивная группа П1мидта;

2.2)Mt>C&CP) . группа PeE>*J>*x...x , где

,-х-бОЧМ , С^ - минимальная М -допустимая подгруппа группы Р , причем, если 1 < к < с^. , то подгруппы ^ и Г** М -изоморфны для любого хе&\М и либо Щ| =М С су/) , либо |р,|а1 0?4С0СР^ •

Группы с не нормальной в группе & максимальной подгруппой, принадлежащей локальной подгрормацли из описываются основной теоремой § 3.

Теорема 3.6. Пусть локальная формация <•? содержится в 'ТГЬСХ , а конечная разрешимая группа & имеет не нормальную максимальную подгруппу М , принадлежащую формации , и ^-Р(СО *= Л . Тогда выполняется одно из следующих условий:

1) группа С = А/ X М , гдо N - минимальная нормальная подгруппа группы & , N ;

2) М ■ и для лпбой £ -эксцентральной минимальной нормальной р -подгрупп» Р группы <3- подгруппа С-СсХР")«^ М , группа М/С "=(м/с")р х(&/с)

с абелевой подгруппой В/С и группа &/С является группой одного из следующих типов:

2.1) а/с -Со/сТРЧм/с") - Р'-1 ■руппа, Со/сУ1 -подгруппа шидтовского типа в Сг/с , зкстраспецпальная в кеабелевом случае, М/с - картсровская абелева подгруппа, (Сг/с)/ ъ. С&/с^ - группа 1робениуса с ядром

Со/О'"-

2.2) С/С «СО/ОСм/О - ро(.-группа, 0,/с

Оу -подгруппа шидтовского типа в , з'гстроспецналь-

ная в кеабелевом случае, а ^ р , (м/с*)р =(о/с")р и либо о/с 4 5 и о./с = , либо о/с € £

а/С «О/сУ* и М/С абелева.

Результаты параграфов 2 и 3 примснлгтсл пр;; исследовании групп с двумя максимальными подгруппами, принадлежащими г? с Ж ОС .

В § 4 изучены группы с дгумя насопрахсшаод I» нормальными максимальными подгруппами из заданной ф^рманнл. Сформулируем основной результат параграфа.

Теорема 4.7. Пусть ^ - локальная информация формации ИЬОС и цусть конечная раз[.е.::;1мзя не -группа

& с Ф0&) = 4 тлеет две несопряженные не нормальные максимальные подгруппы, принадлежащие . Тогда одна из

этих подгрупп М содержит Р С©-) , - Ог -глав-

ный фактор порядка р""* С = С<»С&?) с. М

и выполняются следующие утверждения:

1) &/с «(а/сУЧм/О е 5- , где - о -подгруппа шидтовского типа в группе &/С » ^^Р и ^/С абелева;

2) С м/с СС^УО'*1') = гЕ.С&АО - циклическая группа, Сц/хЗеФСС&/с.У<0 для всех и е С&/0'п' , тее См/с ССО/с^/Ф^^/с-^)) ;

3) СМ/0/С„/сСС&/0|тс /ФСС&/с^) - циклическая группа порядка оС , делящего (1&-МI-"О ;

4) если (.О/сУ*1 неабелева, то она экстраспециальная;

5) если ОЭ/сГ)'5"' абелева и Р неединичная минимальная -допустимая подгруппа группы О* порядка р"1" , то | (в/сТ*/С о/сУ1 Ср) 1 -«V ''

6) если Ке/О^ , то Р X ССг/С?1 -группа

Шмидта и л::бо т. ат* = , либо пт , причем

К , сел;: (Э^ имеет неедитипгуа цкхгачеездп

С&/0 -допустимую подгруппу.

В 5 5 рассмотрев группы с двумя несспргггШ'Кли нормаль-щт максилпльиг.'.!! подгруппами. Основным результата! этого парагр~.!а является следящая

Теорема 5.3. Пусть £ - гота.тькая подфармация .¡Ьрмзи'п '31 С% . '' пусть конечная разрешая не £ -группа <3г имеет несспрягеннце нормальные подгруппы М-, и М, простых индексов с^ и , иринздгезсаЕдее фор-

мации , ФС&) — Л - Тогда внполняееся одно пз следу-

к2.ч1х услое;:"::

— группа по—

рлд-:э <\г. > - циклическая группа порядка»

делящего <^-4 , к ^¿ЕЧ (сц') ;

2) М1 -эРСО^ «Мг.'эрС^ и ддд лшбоа т-эко-цектральной минимальной нормальной содгууиш; Р ■ груш® о , \р\ -р™" , ич,г. прячем

справедливо одно из следующих утверждений:

2.1) pm3t (IM-i/cO » р^гиОМг/сО и мг - наименьшее натуральное число, удовлетворяющее отим сравнения:.!;

2.2) p^s-t (1М1 /С-0 > ГДе т - намленьшее натуральное число, удовлетворяющее этому сравнении, Р= Р** F>Äx... ■ •• х для ■x.eG\Mi , где ккб^ , -минимальная ' -допустимая подгруппа группы Р , причем, если к <. c^-t , то группа &/С абелева и

ICs/cVI®^«. г

2.3) P = Ri у Р^ для •XfeG\M1 , l^feGNMj. , гдо -к-кй^ , us^c^i

- мишглэльная М -допустимая подгруппа группы Р , 1=1,2. , причем, если , то либо IR^jsl >

G-/C неабелева и , либо I РЛ1 ф '(_ с^") ,

1р1.1ф-1 . G-/C абелева и ICgVOc^-J - q^U-t.e,

либо 1Рг1ф-1 Cq^J) »iRilel C^Vi") > G-/c абелева, ICGA^l =■<*■«■ и C^lm. .

Группы с двумя максимальными подгруппами, из которых одна нормальна, а другая не нормальна в G- , рассмотрены в § б..Сформулируем основную теорему отого параграфа.

Теорема 6.5. Пусть i - локальная по.пформация формации HOL , конечная разрешимая не i -группа G-с имеет несопрянепные максимальные подгруппы

Мд<з G- и , принадлежащие ¿г . Тогда ГуЦ =

F(&) >- U с абелевой подгруппой Н и для любой

J -эксцентральноп минимальной нормальной подгруппы Р либо М1 = CgCp) > р >> (.G-ZM-i) - примитивная группа Шмидта, либо С^С&СР^с М^ , М1 /с абелева, группа P= Рл* R^x... х В,"**"4 , где KöiG-.M^ , •зее G\ Мл , f-jj - минимальная М1 -допустимая Подгруппа группы P , при к< |G--M11 подгруппы R, и Р* М1 -изоморфны ДЛЯ любого "ЭС б &\М1 и выполняется одно из условий :

1)& = &Чмг , Р=&* ;

2)FCGi><=-Mz , С с. М-1 , CcMt , группа &/с ненильпотентна, Мг/С «CG/c^p X Сь/О , где Ь/С абелева, 1С&/Ор1 6 р и выполняются следующие утверждения:

2.1) если lPl = pwv , то 0*i.,|Gi)'M ;

2.2) группа G/ceQ/c Mi/с и либо Ф/СвСб»/сЛ либо О/с = С&/с.У"- ;

2.3) если Q./C «О/сУ*1 , то подгруппа Mt/c -картеровская абелева, М*/с =<-tC> <.г.С> , где

= 2.С&/0 и б1 = 1СМг/с)/гС&/01 делит ClG:Mzl-0 »

CG/c)/ аО^/с) - группа Фробенцуса с ядром

/ а О/О « te/cT* Кв/еТУсо^С©!

где F^ - миндальная (G-lcf" -допустимая подгруппа группы Р ;

2.4) если KG/сУЧ - а и , то P2.\(g/cTL -

группа Шмидта и либо т~т-о1к , либо m •«."»- «.d. к. , причем к-»и , если группа Р имеет неединичную циклическую ii(G-/c) -допустимую подгруппу.

Пусть и. - некоторое натуральное число, IX.и, - формация конечных разрешимых групп G- . , удовлетворяющих следующим условиям:

I) арифметический ранг С&) группы G- делит число n, l^(Sar) - наименьшее общее кратное показателей степеней порядков всех главных факторов группы G- )»

Хупперт ввел в рассмотрение это множество в своей монографии "'хонечш'.е группы". Он доказал, что ULvt ~ локальная формация с локальным экраном таким, что

_ J <р , если р делит п. , * Г (Х Срп-0 » если р не делит п. .

;.!ы называем эту формацию формацией Хупперта. Формация

Хупперта является подформацией формации -TH3L и естественным обобщением формации всех сверхразрешимых групп. Для этой формации применимы результаты, полученные в диссертации. Более глубокие уточнения основных теорем достигаются в случае, когда рассматриваемые в теоремах максимальные подгруппы нормальны в группе. Поэтому в диссертации приведены, результаты для формации Хупперта в § 2 и § 5. ■

Используя тпорому 2.6, можно , например, получить Следе? ." i'. е 2.10. Пусть *ъ - некс-орое нату-

ра.тьное одело, конечная разрешимая не Т?СЛ-группа G-шеет нормальную ц.-подгрупцу М простого индекса

, не делящего п. , Л . Тогда M=F(g}>« Н .

подгруппа Н абелева и для любой минимальной нормальной подгруппы Р группы G- справедливо одно из следующих утверждений:

1) |р\= р~ , m\Yl ;

2) Р> (W^O - пршитивная группа Шидта;

3) если Р, и не язляатся М -изоморфными подгруппами для некоторого -зсе&\М , то группа Р = = R, * R,** ... * Я}** 1 , где Рл - миткальная М -допустимая подгруппа группы Р , IRJ&p"* и v \ *ъ ;

4) если R, и EJ* М -изоморфны для всех *зсе&\М и группа G/C&CP") абелева, ТО Г.'к'.О О V^ —

= ЦхР11С*...* R'sc'v"i , либо G/c&C^~<*>CgCpVc&Cp")x *M/CgCp^ , Pj. \Ci=r'(wO - примитивная группа имидта, где

- минимальная <.-зс> -допустимая подгруппа группы Р , и тогда и только тогда, когда >1к

Получены такг.е следствия основных теорем для формации всех сверхразрезот.шх групп. В частности, следствия Z.1C.I и 4.7.1 являются результатами работы Л.С.Казарина и ¡J.A.Xcp-зюкова (1980 г.).

Оснхчше результаты диссертации опубликовали ъ работах:

1. Ь/гяанов A.B. Конечные разре;::;:м;.'& группа с заданной максимальной подгруппой// II-й Всесоиз.скмпоз. по теории групп: Тез. докл. Свердловск, 1969. С.22-23.

2. Бузланов A.B. Конеч1ше разрешимые группи с заданными максимальными подгруппами// Мевд. алгебраич. конф. по алгебре: Тез.докл. Новосибирск, 1989. С.25.

3. Бузланов A.B. Конечные разрешимые группы с заданно;'! максимальной подгруппой// Вопр.ал1ебры. :.1ш!ск: пзд-во "Университетское", 1990. Вып.5. C.G9-75.

4. Бузланов A.B. Конечные разрешимо группы с заданными максимальными подгруппами// Вопр.алгебры. Минс-t: изд-во "Университетское", 1992. Вып.б. С.35-45.

- IG -