О подгруппах и автоморфизмах свободных бернсайдовых групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Математический институт им. В.А.Стеклова Российская Академия Наук

АТАБЕКЯН Варужан Сергеевич

О подгруппах и автоморфизмах свободных бернсайдовых групп

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2011

2 !■: 2011

4841078

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Ереванского государственного университета.

Научный консультант академик РАН С.И.Адян

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.С.Губа, доктор физико-математических наук И.Г.Лысенок, члеп-корр. РАН, доктор физ.-мат. паук А.Л.Семенов.

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

Защита состоится 21 апреля 2011 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.022.03 при Математическом институте имени В.А.Стеклова по адресу: 119991, г. Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИАН.

Автореферат разослан «С/.» марта 2011 года.

Ученый секретарь совета Д 002.022.03 доктор физико-математических наук

Общая характеристика работы

Целью работы является исследование структуры подгрупп свободных периодических групп достаточно большого нечетного периода и периодических произведений групп. Изучаются также автоморфизмы свободных периодических групп.

ктуальность темы исследования. В диссертации исследуются свободные периодические группы нечетного периода, которые также на-ываются свободными берпсайдовыми группами.

Свободная бернсайдова группа В(т,п) периода п и ранга т имеет ледугощее задание

В(т,п) = {а1,а2,...,ат |Х" = 1),

где X пробегает множество всех слов в алфавите {ая^1,..., я"1}.

Группа В(т,п) есть факторгруппа свободной группы Рт ранга т по нормальной подгруппе Р!^, порожденной всевозможными п-ми сте-тенями элементов из Рт. Любая периодическая группа периода пет орождающими является факторгруппой группы В(т,п). В известной 1роблеме Бернсайда о периодических группах ставился вопрос: будет ли -онечной всякая конечно порожденная группа, удовлетворяющая дан-ому тождественному соотношению вида хп = 1 (см. [1])?

Проблема Бернсайда привлекала внимание выдающихся алгебраи-■тов многих стран в силу естественности и максимальной простоты свой постановки. Положительный ответ на вопрос Бернсайда до сих пор толучен только для значений п < 4 и п — 6. Сам Бернсайд в статье [1] доказал конечность групп В(т, п) для любого числа порождающих т п < 3, а также конечность В{2,4). В работе [2] И. Н. Санов доказал онечность при п = 4 для любых т. В 1958 году Маршалл Холл в работе 3] доказал конечность для п = 6 и любых т.

В 1968 году П. С. Новиков и С. И. Адян в совместной работе [4] впервые опубликовали отрицательное решение проблемы Бернсайда. В этих статьях было доказано, что для любого нечетного периода п > 4381 и любого числа порождающих т > 1 свободная периодическая группа В(т,п) бесконечна.

В 1975 году вышла монография С. И. Адяна [5], в которой такой же результат был доказан для любых нечетных периодов п > 665 и любого числа порождающих т > 1.

Так как свободная бернсайдова группа В(т, п) является факторгруппой групп В(т,пк) при любых к > 1, то из этого результата непосредственно вытекает бесконечность бернсайдовых групп В(гп,п) для т > 1 и любых периодов, которые имеют нечетный делитель > 665.

Число п = 665 до сих пор остается наименьшим значением периода, для которого доказана бесконечность групп В(т,п). В частности, открыт вопрос о бесконечности группы 5(2,5).

Для решения проблемы Бернсайда в работе [4] была построена теория преобразований периодических слов, в которой дана классификация периодических и приведенных слов в группе В(т, п) для каждого нечетного п > 4381. В монографии [5] эта теория была усовершенствована и распространена на все нечетные периоды п > 665.

Характерной особенностью созданной теории является то, что в ней большое число взаимосвязанных утверждений доказывается совместной индукцией по натуральному параметру а, называемому рангом. В результате индуктивного доказательства получается задание группы В(т,п) с помощью некоторой бесконечной системы определяющих соотношений, классифицированных по рангам. Изложенный в работа [4], [5] подход заключается в том, что, начиная со свободной группы Fm = В(т,п, 0), последовательно добавляются определяющие соотношения вида Ап = 1: сначала для всех элементарных периодов ранга 1,

затем для всех элементарных периодов ранга 2 и т.д. При этом элементарные периоды ранга а, так же, как и все сопутствующие им понятия для ранга а, определяются на базе отношения равенства слов в уже построенной группе В(т, п, а — 1).

Развитая в фундаментальных работах [4], [5] теория открыла путь к решению и других важных проблем теории групп, которые долгое время оставались открытыми. Подробный обзор результатов, полученных в этом направлении, содержится в недавно опубликованной обзорной статье [6].

Результаты о свободных бернсайдовых группах, полученные на базе этой теории, показывают, что группы B(m,n) обладают многими свойствами, аналогичными свойствам абсолютно свободных групп. Как установлено С. И. Адяном в [5], при m > 1 и любом нечетном п > 665 верны следующие утверждения:

• Центр группы В(т, п) тривиален.

• Всякая коммутативная или конечная подгруппа группы В(т, п) является циклической.

• Для любого конечного т > 1 группа В (т. п) имеет показательный рост.

• При т > 65 и п > 665 (а также при любом т > 1 и нечетном п = ks, где к > 665 и s > 1) группа В(т, п) не удовлетворяет условиям минимальности и максимальности для нормальных подгрупп.

• Группа 5(2, п) содержит изоморфные копии свободных периодических групп В(т, п) любого конечного ранга т> 1.

работе [7] В. JT. Ширванян доказал вложимость свободной группы

В(оо,п) бесконечного ранга в группу В(3,п), а значит, в силу теоремы С. И. Адяна, и в группу В(2, п).

Некоторые усиления этих результатов изложены в главах 1,2 и 4 диссертации.

В работе С. И. Адяна [8] было доказано, что при т > 1 и нечетных п > 665 группа В(т, п) является неаменабельной и случайные блуждания на этих группах невозвратны (решение проблемы Г. Кестена). Заметим, что группы В(т, п) - первые примеры неаменабельных групп, удовлетворяющие нетривиальному тождеству (а именно, тождеству хп = 1).

В главе 2 диссертации доказывается, что все конечно порожденные бесконечные подгруппы группы В{т, п) при п > 1003 обладают свойством равномерной неаменабельнсти, которое является естественным усилением понятия неаменабельности и было введено в 2005 году в работе [9].

Наряду с исследованием свойств бернсайдовых групп В(т,п), в монографии [5] построенная теория была применена для решения других известных проблем теории групп. В частности, в ней изложено отрицательное решение проблемы конечного базиса для групп и положительное решение известной проблемы Конторовича о существовании конечно порожденных некоммутативных аналогов аддитивной группы рациональных чисел.

В работе [10] (см. также [11]) С. И. Адян установил, что созданная теория может быть использована для построения новой операции умножения групп, обладающей основными свойствами классических операций свободного и прямого произведений групп. Такая операция строится для каждого нечетного п > 665 и называется п-периодическим произведением. Этой работой открылись новые возможности в теории периодических групп. В ней показано, что теория Новикова-Адяна может быть использована для построения и изучения факторизаций свободных про-

изведений по специально выбранным соотношениям видаХп = 1. Именно построение теории на базе свободных произведений позволяет ввести понятие п-периодического произведения групп. Исследованию некоторых свойств периодических произведений и их приложениям посвящена третья глава диссертации.

Существенный прогресс в исследованиях бесконечных периодических групп был достигнут в работах А. Ю. Ольшанского [12] - [15].

• В работах [12], [13] построены первые примеры бесконечных неа-белевых групп, любая собственная подгруппа которых - циклическая группа (решение ряда известных проблем: проблемы О. Ю. Шмидта о существовании квазиконечных групп, отличных от квазициклических групп Српроблемы Р. Бэра о существовании нётеровой группы, не являющейся почти полициклической, проблемы С. Н. Черникова о существовании артиновой группы, не являющейся почти абелевой).

• В работе [14] было изложено более короткое доказательство теоремы Новикова-Адяна для нечетных п > Ю10 с привлечением диаграмм ван Кампена - геометрической интерпретации выводимости соотношений в группе из определяющих ее соотношений.

• В работе [15] для любого простого числа п > 1078 построена бесконечная 2-порожденная группа, все собственные подгруппы которой - циклические группы порядка п (решение проблемы А. Тарского).

В работе [16] последный результат был распространен на любые нечетные периоды п > 1078. В 1991 году С. И. Адян и И. Г. Лысенок силили результаты указанных работ [15] и [16]. В их совместной работе [17] для любого нечетного числа п ^ 1003 была построена бесконечная

2-порожденная группа, каждая собственная подгруппа которой содержится в некоторой циклической подгруппе порядка п. Результаты этой работы используются в главе 4 для доказательства некоторых аппрок-симационных свойств свободных бернсайдовых групп и для построения бесконечных убывающих и возрастающих цепочек нормальных подгрупп при любых т > 1 и п ^ 1003.

В 1989 году вышла в свет монография [18] А. Ю. Ольшанского, в которую вошли как результаты работ [12] - [15], так и решения ряда других важных старых задач теории групп, полученные на пути дальнейшего развития и приложения теории периодических групп.

Очень важным событием в исследовании бесконечных периодических групп явилась публикация работ С. В. Иванова и И. Г. Лысенка, в которых доказана бесконечность свободных бернсайдовых групп для всех периодов, начиная с некоторого. В работе С. В. Иванова [19] это доказано для всех п = 512& > 248, а в работе И. Г. Лысенка [20] - для всех п = 16к > 8000.

Методы исследования. В диссертации применяется теория Новикова-Адяна, созданная для исследования периодических групп, а также другие известные методы комбинаторной теории групп; в частности, используются различные модификации конструкций монстров Тарского.

Основные результаты.

• Любая нециклическая подгруппа группы В(т,п) при нечетных п > 1003 содержит подгруппу, изоморфную группе бесконечного ранга В(оо,п).

• Все конечно порожденные подгруппы группы В(т,п) при нечетных п > 1003 имеют равномерно экспоненциальный рост и равномерно неаменабельны.

• Все собственные свободные п-периодические подгруппы группы В(т, п) при нечетных п > 1003 не являются нормальными подгруппами как в самой группе, так и в любой строго промежуточной группе.

• Если группа В(т, п) при нечетном п > 1003 является нормальной подгруппой некоторой п-периодической группы (2, то С есть прямое произведение подгруппы В(т,п) и ее централизатора в С.

• При нечетных п > 1003 все нормальные автоморфизмы группы В(т,п) являются внутренними. Подгруппа внутренних автоморфизмов 1пп(В(т,п)) является максимальной среди тех подгрупп группы Аи1(В(т,п)), в которых порядки элементов не превосходят п.

• Получено необходимое и достаточное условие для того, чтобы в

п

п-периодическом произведении двух групп Сх*^ множитель являлся ЯФ-подгруппой, т.е чтобы любая конгруэнция на ней была продолжаема до конгруэнции на всей группе.

• Доказано, что для каждого нечетного п > 1003 и т > 2 группа В(т, п) не удовлетворяет условиям минимальности и максимальности для нормальных подгрупп.

• При нечетных п > 1003 и т > к > 2 группа В(т,п) вполне аппроксимируется группой В(к,п). Показано также, что группа В(т, п) вполне аппроксимируется простыми группами, все собственные подгруппы которых циклические.

Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в научных статьях автора, список которых приведен в конце автореферата.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в исследованиях по свободным бернсайдовым группам и их подгруппам, группам автоморфизмов периодических групп, п-периодическим произведениям групп.

Полученные результаты докладывались на научно-исследовательских семинарах в Московском государственном университете, в Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН и на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры и геометрии Ереванского государственного университета.

Они были представлены на следующих международных конференциях: Международная конференция по алгебре и логике, посвященная 75-летию со дня рождения С.И.Адяна, Москва, МИАН, 5-10.02, (2006); Международная конференция «Combinatorial and Geometric Group Theory». Vanderbilt University, Nashville, TN, USA, May 5-10, (2006); The First Int. Algebra and Geometry Conference. 16-20 May, 2007, Yerevan; Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша, Москва, МГУ, 27.05-3.06, (2008); Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. И. Мальцева, Новосибирск, 24-28.08, (2009).

Содержание работы

Диссертация состоит из введения и шести глав, списка обозначений и сокращений. Список литературы содержит 97 наименований.

Во введении дается обзор результатов, касающихся темы диссертации, рассмотрена история задач, сформулированы основные результаты.

В первой главе исследуется вопрос о возможности вложения свободной периодической группы В(оо, п) бесконечного ранга в подгруппы свободной группы В(2,п) ранга 2 нечетного периода п > 1003 . В разделе 1.1 приводятся необходимые определения. Рассматривается следующее

Т

отображение ^ свободной группы 1?2 ранга 2, заданное на свободных порождающих Ь и с формулами

т(6) = с69с, т(с) = ЬсЧ.

В разделах 1.2 - 1.4 исследуются свойства этого отображения. Совместной индукцией по натуральному параметру а доказывается ряд вспомогательных лемм. При отображении т удается точно описать образы опорных ядер, порождающих вхождений, минимальных и элементарных периодов, целых и элементарных слов и других основных понятий из главы I монографии [5] при всех нечетных п > 665.

На основании доказанных в предыдущих разделах лемм в разделе 1.5 выводится следующее

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1. Пусть свободная группа р2 ранга 2 задана порождающими Ь и с, п ^ 665 - произвольное нечетное число и отображение ^ ~^ - мономорфизм, заданный на порождающих формулами т(Ъ) = сЬ9с и т(с) = Ьс9Ь.

Слово А группы ^ является элементарным периодом некоторого ранга а > 1 тогда и только тогда, когда т(А) является элементарным периодом ранга а + 1.

Более того, для любого а ^ 0 имеют место следующие эквивалентности:

г(Х) е

2. х еХа & т(Х) е Х+ъ

3.Хе^а & т(Х) е

4. X е т(Х) е

5. X т(Х) e sfa+1,

6. X e "Ma <£> r(X) e

7. Pod(E, D) & Pod{r{E),r(D)).

Следствие 1.2. Пусть n ^ 665 - произвольное нечетное число и 5(2, п) 5(2, п) - эндоморфизм группы 5(2, п); индуцированный мо-

7-

номорфизмом F'i —> Fi свободной группы F2, заданный на свободных порождающих bue группы F2 формулами т(Ь) = сЪ^с и т~(с) = Ъ(?Ъ. Тогда тп является мономорфизмом группы 5(2, п).

СЛЕДСТВИЕ 1.3. Для любого m > 1, а > 0 и нечетного п > 665 группа В(т,п,а) содержит подгруппу, изоморфную абсолютно свободной группе ранга 2.

В разделе 1.6 доказывается следующий основной результат.

теорема 1.1. При нечетных п ^ 1003 каждая нециклическая подгруппа группы 5(2, п) содержит подгруппу, изоморфную группе бесконечного ранга 5(оо,п).

Для указанных п теорема 1.1. дает положительный ответ на вопрос А.Ю.Ольшанского 8.53. б) из коуровской тетради [21]. При нечетных п > 1003 из него вытекают также теоремы С.И.Адяна о цикличности абелевых и конечных подгрупп группы 5(т, п), теорема о тривиальности центра группы 5(m, п). Она усиливает также теорему о вложимости группы 5(3, п) в группу 5(2, n), а также теорему В.Л.Ширваняна о вложимости группы 5(оо,п) в 5(3, п).

СЛЕДСТВИЕ 1.5. При m > 1 и нечетных п ^ 1003 каждая нециклическая подгруппа H группы В(т, п) содержит бесконечно убывающую цепочку вложенных подгрупп H Э Щ D Н2 D ... D Щ D ..., где каждая подгруппа Щ изоморфна H.

определение 1. Элементы и и v группы В(т,п) назовем независимыми, если они свободно порождают подгруппу, изоморфную группе 5(2, п).

В первой теореме главы 2 утверждается, что существует такое числе L, что в каждом 5-шаре радиуса L содержатся два независимых элемента группы В(т, п), где S - произвольное множество, порождающее нециклическую подгруппу группы В(т, п).

теорема 2.1. Для любого m ^ 2 и нечетного п ^ 1003 существует такое число L < (57п)3, что для произвольного множества S, порождающего нециклическую подгруппу (S) группы В(оо, п), можно найти таких два независимых элемента и, v Е (S), длины которых относительно порождающего множества S удовлетворяют неравенствам |u|s < L и |и|5 < L.

Теорема 2.1 позволяет исследовать вопрос о равномерной неаменабельности подгрупп группы В(т,п),

Пусть А - конечное подмножество группы G, a S - конечное порождающее множество группы G. Границей подмножества А относительно конечного порождающего множества S С G называется множество

ds(A) ^ {а £ А1 ах ^ Л для некоторого а; € S±1}.

определение 2. Константой Фёлнера группы G относительно порождающего множества S называется число

где инфимум берется по всем конечным непустым подмножествам

AcG.

Известно (см. [22]), что группа аменабельна тогда и только тогда, когда F0¿s(G) = 0 для некоторого (а следовательно, для каждого) конечного порождающего множества S.

Группы В(т,п) - первые примеры неаменабельных групп, удовлетворяющие нетривиальному тождеству, а именно, тождеству хп = 1 (см. [8])-

Определение 3. Числю F0l{G) ^ inf F0ls{G), где инфимум берет,ся

S

по всевозможным конечным порождающим множествам S группы G, называется константой Фелнера группы G. Конечно порожденная группа называется равномерно неаменабелъной, если F0l(G) > 0.

ТЕОРЕМА 2.2. Для каждого нечетного числа п ^ 1003 любая конечно порожденная нециклическая подгруппа свободной бернсайдовой группы В(т, п) - равномерно неаменабельная группа.

В частности справедливо

СЛЕДСТВИЕ 2.1. Для любого конечного т > 1 и нечетного п ^ 1003 свободная бернсайдова группа В(т,п) - равномерно неаменабельная группа.

Доказательство свойства равномерной неаменабельности подгрупп группы В(т,п) опирается на теорему 2.1.

Утверждение следствия 2.1 при нечетных п > Ю80 было доказано также Д.Осиным в работе [23].

СЛЕДСТВИЕ 2.2. Для любого т > 1 и нечетного п ^ 1003 любая конечно порожденная нециклическая подгруппа свободной бернсайдовой группы В{т, п) имеет равномерный экспоненциальный рост.

Последний результат при нечетных n ^ 1003 дает положительный ответ на вопрос П. де ля Арпа [24]: имеют ли бесконечные свободные бернсайдовы группы В(т, п) равномерный экспоненциальный рост?

Справедлива также

ТЕОРЕМА 2.3. Для любого нечетного п > 1039 существуют слова u(x,y),v(x,y) над групповым алфавитом {х,у} такие, что если а,Ь -любые два элемента, порождающие нециклическую подгруппу группы В(т,п), то для некоторого р элементы и(ар,Ь) и v(ap,b) независимы, (причем р = 2к и 0 < к <9).

Подобная гипотеза была сформулирована С.В.Ивановым в совместной с А.Ю.Ольшанским обзорной статье [25].

Слова и(х, у) и и(х, у), о существовании которых утверждается в формулировке теоремы 2.3, указаны в явном виде.

СЛЕДСТВИЕ 2.6. Существует такой мономорфизм ф : В(2, п) ->-В(2,п), что для любого эндоморфизма <р : 5(2, п) —> В(2,п) с нециклическим образом найдется автоморфизм т : В(2, п) -> В(2, п) такой, что ср о т о ф - мономорфизм.

В главе 3 исследуются свойства п-периодических произведений групп и свободных бернсайдовых групп, связанные с так называемыми наследственно факторизуемыми подгруппами (ЯФ-подгруппами).

определение 4. Подгруппа Н группы с называется НФ-подгруппой, если для любой нормальной подгруппы Ын группы Н существует нормальная подгруппа N0 группы (3 такая, что Н п N0 = N11-

Понятие ЯФ-подгруппы было введено В.Нейманом в работе [26], где указанные подгруппы названы Е-подгруппами. В англоязычной литературе для ЯФ-подгруппы помимо ¿'-подгруппы используются также названия С ЕР-подгруппа и Ц-подгруппа (см. [27], [28]).

Из определений прямого и свободного произведения непосредственно следует, что произвольная группа является ЯФ-подгруппой как прямого произведения х С?2, так и свободного произведения * групп И (?2-

В разделе 3.2 главы 3 получены необходимые и достаточные условия

для того, чтобы множитель Gi п-периодического произведения пС{

ш

произвольного семейства групп {(^¿е/, введенного С.И.Адяном, являлся ЯФ-подгруппой.

ТЕОРЕМА 3.1. Множитель (?1 п-периодического произведения

71

*(?2 групп Са и где |(?2| > 2, является НФ-подгруппой тогда и только тогда, когда любая нетривиальная нормальная подгруппа

группы {?! содержит подгруппу (3", порожденную всеми п-ми степенями элементов группы (? х.

теорема 3.2. Пусть в группе с?х содержится не более одной инволюции. Тогда множитель С\ п-периодического произведения (Зх * £?2, где |(?2| Ф 1, является НФ-подгруппой тогда и только тогда, когда любая нетривиальная нормальная подгруппа А^ группы £?х содержит подгруппу Сх-

СЛЕДСТВИЕ 3.3. Любая группа £7х нечетного периода п > 665 является НФ-подгруппой п-периодического произведения (?х * для произвольной группы С?2-

Следующая теорема об ЯФ-подгруппах свободной бернсайдовой группы Я(т, п) является усилением теоремы 1.1.

ТЕОРЕМА 3.4. Для любого нечетного п > 1003 свободная бернсайдова группа В(т, п) ранга 2 содержит НФ-подгруппу, изоморфную свободной бернсайдовой группе В{оо, п) счетного ранга.

Теорема 3.4 усиливает также теорему 1.2 совместной работы

A.Ю.Ольшанского и М.В.Сапира [27], а также результаты работ Д.Сонкина [29] и С.В.Иванова [28].

СЛЕДСТВИЕ 3.6. Для каждого нечетного п > 1003 любая счетная группа периода п вкладывается в некоторую 2-порожденную группу периода п.

Следствие 3.6 усиливает соответствующий результат работы

B.Образцова [30].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Счетная группа С? называется Б(3-универсальной для класса групп , если всякая счетная группа из класса Ж изоморфно вложима в некоторую факторгруппу группы (7.

Из теоремы 3.4 следует также

СЛЕДСТВИЕ 3.7. Для каждого нечетного п > 1003 любая нециклическая подгруппа свободной бернсайдовой группы В(т,п) является

БС^-универсальной в многообразии всех групп периода п.

В совместной работе [17] С. И. Адяна и И. Г. Лысенока при любом нечетном п ^ 1003 строится бесконечная 2-порожденная группа, каждая собственная подгруппа которой содержится в некоторой циклической подгруппе порядка п. Построенные в работе [17] группы будем называть группами Адяна-Лысенока. В главе 4 эти группы и их различные модификации применяются для исследования периодических групп фиксированного периода.

В разделах 4.3 - 4.5 доказываются следующие тероремы.

теорема 4.2. При любом нечетном п ^ 1003 в многообразии всех групп периода п существует континуум неизоморфных групп Адяна-Лисенка.

ТЕОРЕМА 4.3. Для любого т > 1 и нечетного п ^ 1003 свободная берисайдова группа В(т,п) не удовлетворяет условиям минимальности и максимальности для нормальных подгрупп.

Теорема 4.3 для нечетных п > 1003 отвечает на вопрос 3.10 из главы VI монографии [5]. При т > 1 и нечетных п = к- з, где к ^ 665 и 5 > 1, а также при т > 65 и нечетных п ^ 665 бесконечно убывающие и возрастающие цепи нормальных подгрупп в В(т, п) впервые были указаны С. И. Адяном в [5] (см. [5, гл. VI, теорема 3.9]) и в [31].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Скажем, что группа А вполне аппроксимируется группамими из класса %, если для каждого конечного набора неединичных элементов группы А существует эпиморфизм из А на некоторую группу из класса при котором образы данного конечного набора -неединичны.

ТЕОРЕМА 4.4. При всяком т > 1 и нечетном п ^ 1003 свободная периодическая группа В(т, п) вполне аппроксимируется группами Адяна-Лисенка.

ТЕОРЕМА 4.5. При всяком нечетном п ^ 1003 и для любых т ^ к ^ 2 свободная периодическая группа В(т,п) вполне аппроксимируется свободной периодической группой В(к,п).

Представление 7Г : С —В(Н) группы над гильбертовым пространством Н называется унитаризуемым, если существует такой обратимый оператор Т, что оператор 17д ^ Ттг(д)Т~1 для любого элемента д € С является унитарным, т.е. {11дх, 11ду) = (х, у) для любых двух векторов х,у £ Н. Группа й называется унитаризуемой группой, если все её равномерно ограниченные представления -к над гильбертовым пространством Н являются унитаризуемыми.

Н.Монод и Н.Озава, в совместной работе [32] исследуя поставленный Ж.Диксмье вопрос: «Следует ли из унитаризуемости группы её аменабельность?», доказали (см. [32, теорема 2]), что свободные бернсайдовы группы В(т,п) не унитаризуемы для всех нечетных чисел п = щщ, где щ > 665 и п2)ш > 1. В нем существенно используется теорема С. И. Адяна о не аменабельности групп В(т,п) (см. [8, теорема 5]).

На основе этого результата нами доказаны следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 4.6. Для каждого нечетного числа п = П1П2, где щ > 665 и П2 > 1, любая бесконечная подгруппа свободной бернсайдовой группы В(т,п) - не унитаризуемая группа.

ТЕОРЕМА 4.7. Пусть п = П\П2 ~ произвольное нечетное число, где п\ > 665 и п^ > 1. Существует континуум не изоморфных 3-порожденных групп, удовлетворяющих тождественному соотношению хп = 1, каждая из которых не унитаризуема.

В коуровской тетради [21] С. И. Адян поставил вопрос (см. вопрос 7.1 [21]): «Известно, что свободные периодические группы В(т,п) простого периода п > 665 обладают многими свойствами, аналогичными свойствам абсолютно свободных групп. Верно ли, что все собственные нор-

мальные подгруппы группы В(т, п) не являются свободными периодическими группами?»

Основным результатом главы 5 является следующая теорема.

ТЕОРЕМА 5.1. Пусть п > 1003 - нечетное число и N - подгруппа свободной бернсайдовой группы В(т,п) произвольного (конечного или бесконечного) ранга т. Предполоэюим, что подгруппа N изоморфна свободной периодической группе В(г,п) при некотором г > 1. Тогда N совпадает со своим нормализатором в группе В(т,п).

Утверждение теоремы 5.1 для нечетных п > Ю80 было доказано А.Ю.Ольшанским в работе [33].

СЛЕДСТВИЕ 5.1. Пусть п > 1003 - нечетное число и N - нормальная подгруппа свободной бернсайдовой группы В(т, п) произвольного ранга т. Тогда если при некотором г > 1 подгруппа N изоморфна свободной бернсайдовой группе В(г, п), то подгруппа N совпадает со всей группой В(т, п).

Из этого следует положительный ответ на указанный вопрос 7.1 [21] для всех простых п > 997.

В доказательстве теоремы 5.1 существенно используется доказанное в разделе 5.3 следующее

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.1. Пусть В(|И| , п) - свободная бернсайдова группа нечетного периода п > 1003 с базисом II = {01, а2, ...}. Предположим, что слово V = г)(а 1, ...,ат) не сопряжено в группе 5(11(1, п) какой либо степени порождающей а\. Тогда существует неабелева простая факторгруппа £(|И| ,п)/Ь такая, что

1. канонический образ порождающей 01 в группе 5(|11| ,п)/Ь имеет порядок п,

2. ф^Ь) ф у(а\, а2, ...,ат)Ь для любого автоморфизма

ф: В(|Ц|,п)/£-> В(\и\,п)/Ь.

Из теоремы С. И. Адяна о том, что центр группы В(т, п) для всех нечётных п > 665 и т > 1 тривиален, следует, что группа В(т,п) изоморфна группе своих внутренних автоморфизмов. В терминах так называемых «точных последовательностей» это означает, что последовательность гомоморфизмов

О В(т,п) <-> Aut(B(m,n)) Aut(B(m, n))/Jnn(ß(m> n)) 0

является точной, где Inn(B(m,n)) есть группа внутренних автоморфизмов группы В(т,п).

В главе 6 исседуются автоморфизмы свободных бернсайдовых групп В(т,п).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Пусть G - произвольная группа, ip е Aut{G) - автоморфизм группы G и Н - подгруппа группы G. Автоморфизм ip называется нормальным автоморфизмом группы G, если ip{H) = Н для любой нормальной подгруппы Н группы G.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Автоморфизм группы G назовем М-

нормальным, если для любой максимальной нормальной подгруппы N группы G выполнено равенство <p(N) = N.

Первым основным результатом главы 6 является следующая

ТЕОРЕМА 6.1. При любом нечётном п > 1003 каждый М-нормалъный автоморфизм свободной бернсайдовой группы В(т, п) ранга т > 1 является внутренним автоморфизмом.

СЛЕДСТВИЕ 6.1. При любом нечётном п > 1003 каждый нормальный автоморфизм свободной бернсайдовой группы В(т, п) ранга т > 1 является внутренним автоморфизмом.

Следствие 6.1. выявляет еще одну аналогию между свойствами свободных бернсайдовых и абсолютно свободных групп.

Известно, что всякая совершенная группа выделяется прямым множителем в любой группе, в которой она содержится в качестве нормальной подгруппы. В разделе 6.б доказывается теорема, которая выявляет некоторую аналогию между совершенными группами и группами В(т, п).

ТЕОРЕМА 6.2. Пусть п > 1003 не'четное число и (7 произвольная периодическая группа, поядок каждого элемента которой не превосходит число п. Тогда, если группа й содержит нормальную подгруппу А, изоморфную свободной бернсайдовой группе В(т,п) некоторого ранга т> 1, то С есть прямое произведение подгруппы В(т, п) и ее централизатора в С.

Теоремы 6.1, 6.2 были доказаны также Е.Черепановым в работе [34], но только для нечетных п > Ю80.

СЛЕДСТВИЕ 6.4. Пусть п > 1003 - нечетное число и С - произвольная периодическая группа, порядок каждого элемента которой не превосходит число п. Тогда, если группа й содержит нормальную подгруппу И, изоморфную свободной бернсайдовой группе В(т,п) для некоторого ранга т > 1, то порядок каждого элемента группы (3 является делителем числа п.

Следующая теорема показывает, что группа внутренных автоморфизмов свободной бернсайдовой группы обладает некоторым свойством максимальности.

ТЕОРЕМА 6.3. Пусть порядок каждого элемента подгруппы Н группы АЫ(В(т, п)) не превосходит число п, где п > 1003 нечетное число. Тогда если Н 1пп(В(т,п), то Н — 1пп(В(т,п)).

Автор выражает глубокую признательность академику С.И.Адяну за внимание и за многочисленные полезные обсуждения.

Список литературы

1. W.Burnside, "On an unsettled question in the theory of discontinuous groups", Quart. J. Pure Appl. Math., 33 (1902), 230-238.

2. И. H. Санов, "Решение проблемы Бернсайда для показателя 4", Ученые записки ЛГУ. Сер. матпем., 10 (1940), 166-170.

3. М. Hall, "Solution of the Burnside problem for exponent six", Illinois J. Math., 2 (1958), 764-786.

4. П. С. Новиков, С. И. Адян, "О бесконечных периодических группах. I, II, III", Изв. АН СССР. Сер. машем., 32 (1968), 212-244, 251-524, 709-731.

5. С. И. Адян, Проблема Бернсайда и тождества в группах, Наука, М., 1975..

6. С.И.Адян, "Проблема Бернсайда и связанные с ней вопросы", УМН, 2010, № 5, 5-60.

7. В. Л. Ширванян, "Вложение группы В(оо,п) в группу В(2,п)", Изв. АН СССР. Сер. матем., 40:1 (1976), 190-208.

8. С. И. Адян, "Случайные блуждания на свободных периодических группах", Изв. АН СССР. Сер. матем., 46:6 (1982), 1139-1149.

9. G. N. Arzhantseva, J. Burillo, М. Lustig, L. Reeves, H. Short, E. Ventura, "Uniform non-amenability", Adv. Math., 197:2 (2005), 499522.

10. С. И. Адян, "Периодическое произведение групп", Теория чисел, математический анализ и их приложения, Тр. МИАН, 142, Наука, М., 1976, 3-21.

11. С. И. Адян, "Еще раз о периодических произведениях групп и проблеме А.И.Мальцева", Магпем. заметки, 88:6 (2010), 3 - 10.

12. А. Ю. Ольшанский, "Бесконечная простая нцтерова группа без кручения", Изв. АН СССР. Сер. матем., 43:6 (1979), 1328-1393.

13. А. Ю. Ольшанский, "Бесконечная группа с подгруппами простых порядков", Изв. АН СССР. Сер. матем., 44:2 (1980), 309-321.

14. А. Ю. Ольшанский, "О теореме Новикова-Адяна", Матем. сб., 118(160):2(6) (1982), 203-235.

15. А. Ю. Ольшанский, "Группы ограниченного периода с подгруппами простого порядка", Алгебра и логика, 21:5 (1982), 553-618.

16. В. С. Атабекян, С. В. Иванов, Два замечания о группах ограниченного периода, Деп. в ВИНИТИ 2243-В87.

17. С. И. Адян, И. Г. Лысёнок, "О группах, все собственные подгруппы которых конечные циклические", Изв. АН СССР. Сер. матем., 55:5 (1991), 933-990.

18. А. Ю. Ольшанский, Геометрия определяющих соотношений в группах, Наука, М., 1989.

19. S. V. Ivanov, "The free Burnside groups of sufficiently large exponents", Int. J. of Algebra and Computation, 4 (1994), 1-307.

20. И. Г. Лысёнок, "Бесконечные бернсайдовы группы четного периода", Изв. РАН. Сер. матем., 60:3 (1996), 3-224.

21. В. Д. Мазуров, Ю. И. Мерзляков, В. А. Чиркин (ред.), Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групщ изд-е 7, Изд-во Инта матем. СО АН СССР, Новосибирск, 1980.

22. E. F0lner, "On groups with full Banach mean value", Math, cand, 3 (1955), 243-254.

23. D .V. Osin, "Uniform non-amenability of free Burnside groups", Arch. Math., 88:5 (2007), 403-412.

24. P. de la Harpe, "Uniform growth in groups of exponential growth", Geom. Dedicata, 95 (2002), 1-17.

25. S. V. Ivanov, A. Yu. Ol'shanskii, "Some applications of graded diagrams in combinatorial group theory", Groups—St. Andrews 1989, Vol. 2, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 160, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1991, 258-308.

26. В. H. Neumann, "An essay on free products of groups with amalgamations", Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A., 246 (1954), 503-554.

27. A. Yu. Olshanskii, M. V. Sapir, "Non-amenable finitely presented torsion-by-cyclic groups", Publ. Math. Inst. Hautes E'tudes Sci., 96 (2003), 43-169.

28. S. V. Ivanov, "On subgroups of free Burnside groups of large odd exponent. Special issue in honor of Reinhold Baer (1902-1979).", Illinois J. Math., 47:1-2 (2003), 299-304.

29. D. Sonkin, "CEP-subgroups of free Burnside groups of large odd exponents", Comm. Algebra, 31:10 (2003), 4687-4695.

30. В. H. Образцов, "Теорема о вложениях групп и ее следствия", Ма-тем. сб., 180:4 (1989), 529-541.

31. С. И. Адян, "Нормальные подгруппы свободных периодических групп", Изв. АН СССР. Сер. магпем., 45:5 (1981), 931-947.

32. N. Monod, N. Ozawa, "The Dixmier problem, lamplighters and Burn-side groups", Journal of Functional Analysis, 258:1 (2010), 255-259.

33. A. Yu. Ol'shanskii, "Self-normalization of free subgroups in the free Burnside groups", Groups, rings, Lie and Hopf algebras (St. John's, NF, 2001), Math. Appl., 555, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2003, 179-187.

34. E. A. Cherepanov, "Normal automorphisms of free Burnside groups of large odd exponents", Internat. J. Algebra Comput, 16:5 (2006), 839-847.

Публикации автора по теме диссертации

1. В. С. Атабекян, "О простых и свободных периодических группах", Вестн. МГУ. Сер. Математика, механика, 1987, №6, 76-78.

2. В. С. Атабекян, "О периодических группах нечетного периода п > 1003", Матем. заметки, 82:4 (2007), 495-500.

3. В. С. Атабекян, "Группы Адяна-Лысенка и (U) свойство", Известия НАН Армении. Математика: 43:5 (2007), 14-25.

(Англ. перевод: "Adian-Lisenok groups and (U) condition", Journal of Contemporary Mathematical Analysis, 43:5 (2008), 265-273).

4. V.S.Atabekyan, "Normal Subgroups in Free Burnside Groups of Odd Period", Armenian Journal of Mathematics, 1:2 (2008), 25-29.

5. В. С. Атабекян, "Нормализаторы свободных подгрупп свободных бернсайдовых групп нечетного периода п > 1003", Фундамент, и прикл. матем., 15:1 (2009), 3-21.

6. В. С. Атабекян, "О подгруппах свободных бернсайдовых групп нечетного периода п > 1003", Известия РАН, сер. матем., 73:5 (2009), 3-36.

7. В. С. Атабекян, "Равномерная неаменабельность подгрупп свободных бернсайдовых групп нечетного периода", Матем. заметки, 85:4 (2009), 516-523.

8. В. С. Атабекян, "О мономорфизмах свободных бернсайдовых групп", Матем. заметки, 86:4 (2009), 483-490.

9. В. С. Атабекян, "Не (/^-допустимые нормальные подгруппы свободных бернсайдовых групп", Известия НАН Армении. Математика., 45:2 (2010), 21-36.

(Англ. перевод: "Non-yj-admissible normal subgroups of free Burnside groups", Journal of Contemporary Mathematical Analysis, 45:2 (2010), 112-122).

10. В. С. Атабекян, "Неунитаризуемые периодические группы", Матем. заметки, 87:6 (2010), 940-943.

11. В. С. Атабекян, "О нормальных подгруппах в периодических про изведениях С.И.Адяна", Труды МИ АН, 274 (2011).

Введение.

1 Вложимость группы В(оо, п) в подгруппы группы В(2, п) при нечетных п >

1.1 Нерегулярность бернсайдовых многообразий 23 ,г

1.2 Отображение г и его свойства.

1.3 Свойства т-слов.

1.4 Переход от ранга а к рангу о-Ь 1.

1.5 Предложение 1.1.

1.6 Вложимость группы В(ос, п) в любую нециклическую подгруппу группы В{2, /?) при нечетных п >

2 Равномерная неаменабельность подгрупп свободных бернсайдовых групп нечетного периода п >

2.1 Свободные порождающие в шарах фиксированного радиуса.

2.2 Равномерная неаменабельность нециклических подгрупп группы В(т, п)

2.3 Независимые пары элементов группы В(т, п).

3 Наследственно факторизуемы подгруппы свободных бернсайдовых групп и /7-периодических произведений С.И.Адяна

3.1 Определение наследственно факторизуе.мых подгрупп и их простейшие свойства.

3.2 ЯФ-мпожители периодическою произведения.

3.3 ЯФ-вложение 1руппы В(оо.п) в группу В(2,п).

3.4 ЯФ-нодгрушш группы В(2, /?).

4 Свойства групп Адяна-Лысенка и их применение в исследовании свободных бернсайдовых групп 86 4.1 О простых периодических группах

4.2 Некоторые леммы о группах Адяна-Лысенка

4.3 Свойство ((/).

4.4 Условия min и max для нормальных iio;;ri)yiui групп В(т,п) при нечетных п > 1003.

4.5 Теоремы об аппроксимации свободных бернсайдовых групп.

4.6 Не унитаризуемые подгруппы и факторгруппы групп В(т. п)

5 Нормализаторы свободных подгрупп свободных бернсайдовых групп нечетного периода п >

5.1 Гипотеза С. И. Адяпа.

5.2 Построение неабелевой просчой группы.

5.3 Исследование коммутаторов специального вида.

5.4 «Почти» квазипериодические слова.

5.5 Доказательство основного предложения

5.6 Подтверждение гипотезы С.И.Адяна при нечетных п >

6 Нормальные автоморфизмы свободных бернсайдовых групп

6.1 О нормальных автоморфизмах.

6.2 Два класса простых групп.

6.3 Базисные пары группы В(т, п) и их образы при М-нормальных автоморфизмах

6.4 Совпадение подгрупп М-нормальных и внутренних автоморфизмов группы В(т.п).

6.5 Максимальность подгруппы Inn (В(т., п)) среди всех подгрупп периода п группы Atit(B(m. п)).

6.6 О нормальных вложениях группы В(т. /?).

В диссертации исследуются свободные периодические группы нечетного периода, которые также называются свободными бернсайдовыми группами.

Свободная бернсайдова группа В(т,п) периода п и ранга т имеет следующее задание:

В(т,п) = (ai,a2,.,am | Хп = 1), где X пробегает множество всех слов в алфавите {а^1, а^1,., а^1}.

Группа В(тп,п) есть факторгруппа свободной группы Frn ранга т по нормальной подгруппе порожденной всевозможными n-ми степенями элементов из Fm. Любая периодическая группа периода пет порождающими является факторгруппой группы В(т, п). В известной проблеме Бернсайда о периодических группах ставился вопрос: будет ли конечной всякая конечно порожденная группа, удовлетворяющая данному тождественному соотношению вида хп = 1 (см. [1])?

Проблема Бернсайда привлекала внимание выдающихся алгебраистов многих стран в силу естественности и максимальной простоты своей постановки.

Положительный ответ на вопрос Бернсайда до сих пор получен только для значений п < 4 и п = 6. Сам Бернсайд в статье [1] доказал конечность групп В(т,п) для любого числа порождающих т и п < 3, а также конечность 5(2,4). В работе [2] И. Н. Санов доказал конечность при п = 4 для любых т. Наконец, в 1958 году Маршалл Холл в работе [3] доказал конечность для п = 6 и любых т.

В 1968 году П. С. Новиков и С. И. Адян в совместной работе [4] впервые опубликовали отрицательное решение проблемы Бернсайда. В этих статьях было доказано, что для любого нечетного периода п > 4381 и любого числа порождающих т > 1 свободная периодическая группа В(т, п) бесконечна.

В 1975 году вышла монография С. И. Адяна [5], в которой такой же результат был доказан для любых нечетных периодов п > 665 и любого числа порождающих т > 1. Так как свободная бернсайдова группа В(т,п) является факторгруппой групп В{т,пк) при любых к > 1, то из этого результата непосредственно вытекает бесконечность бернсайдовых групп В(т, п) для т > 1 и любых периодов, которые имеют нечетный делитель > 665.

Число п = 665 до сих пор остается наименьшим значением периода, для которого доказана бесконечность групп В(т,п). В частности, открыт вопрос о бесконечности группы В{2,5).

Для решения проблемы Бернсайда в работе [4] была построена теория преобразований периодических слов, в которой дана классификация периодических и приведенных слов в группе В{т, п) для каждого нечетного п > 4381. В монографии [5] эта теория была усовершенствована и распространена на все нечетные периоды п > 665.

Характерной особенностью созданной теории является то, что в ней большое число взаимосвязанных утверждений доказывается совместной индукцией по натуральному параметру а, называемому рангом. В результате индуктивного доказательства получается задание группы В(т, п) с помощью некоторой бесконечной системы определяющих соотношений, классифицированных по рангам. Изложенный в работах [4], [5] подход заключается в том, что, начиная со свободной группы Ртп = В(т, п, 0), последовательно добавляются определяющие соотношения вида Ап = 1: сначала для всех элементарных периодов ранга 1, затем для всех элементарных периодов ранга 2 и т.д. При этом элементарные периоды ранга а, так же, как и все сопутствующие им понятия для ранга а, определяются на базе отношения равенства слов в уже построенной группе В(т, п,а — 1).

Развитая в фундаментальных работах [4], [о] теория открыла путь к решению и других важных проблем теории групп, которые долгое время оставались открытыми. Подробный обзор результатов, полученных в этом направлении, содержится в недавно опубликованной обзорной статье [11].

Результаты о свободных бернсайдовых группах, полученные на базе этой теории, показывают, что группы В(т, п) обладают многими свойствами, аналогичными свойствам абсолютно свободных групп. Как установлено С. И. Адяном, при т > 1 и любом нечетном п > 665 справедливы следующие утверждения, некоторые из которых для нечетных п > 4381 были доказаны ранее в работах [12] - [14].

• В группе В(т, п) разрешимы проблемы равенства и сопряженности (см. [5, гл.VI, теорема 2.10] и [5, гл.VI, теорема 3.5]).

• Всякая коммутативная или конечная подгруппа группы В(т, п) является циклической группой (см. [о, гл.VI, теорема 3.3] и [5, гл^П, теорема 1.8]).

• Центр группы В(т, п) тривиален (см. [5, гл.VI, теорема 3.4]).

• Для любого конечного ранга т > 1 группа В(т, п) имеет показательный рост (см. [о, гл^1, теорема 2.15]).

• При т> 65 (а также при любом т > 1 и нечетном п = кв, где к > 665 и в > 1) группа В(т, п) не удовлетворяет условиям минимальности и максимальности для нормальных подгрупп (см. [о, гл.VI, теорема 3.7] и [15)).

• Группа В (2, п) содержит изоморфные копии свободных периодических групп В(т, га) любого конечного ранга т > 1 (см. [5, гл.VI, теорема 3.7]).

Этим не исчерпывается аналогия между свойствами абсолютно свободных групп и свойствами свободных периодических групп достаточно большого нечетного периода. Однако, полной аналогии здесь нет. Например, в отличие от случая абсолютно свободных групп, не всякая подгруппа свободной бернсайдовой группы В(т, п) при га > 3 и т > 1 является свободной бернсайдовой группой.

Согласно теореме 5 работы С. И. Адяна [16], для любого конечного ранга т > 1 и нечетного га > 665 группа В(т, п) не является аменабельной и случайные блуждания на группах В(т,п) невозвратны (решение проблемы Г. Кестена). Заметим, что группы В(т,п) - первые примеры неаменабельных групп, удовлетворяющие нетривиальному тождеству (а именно, тождеству хп = 1). Кроме того, из теоремы 1 работы [16] вытекает, что для т > 1 и нечетных п > 665 группа В(т, га) может быть представлена как предел бесконечной серии гиперболических групп, т.е. групп, задаваемых конечным числом определяющих соотношений с условием Дена. Ранее было доказано, что сама группа В(т, га) не может быть задана конечной системой определяющих соотношений (см. [5, гл.VI, теорема 2.13]).

Наряду с исследованием свойств бернсайдовых групп В{т,п), в монографии [5] построенная теория применяется для решения других известных проблем теории групп, казалось бы не связанных с проблемой Бернсайда. В частности, в ней изложено решение проблемы конечного базиса для групп, а также положительное решение известной проблемы Конторовича о существовании конечно порожденных некоммутативных аналогов аддитивной группы рациональных чисел. Эти-уникальные примеры впервые были опубликованы в работах [17] и [18] соответственно.

Как доказано С. И. Адяном, при нечетных га ^ 665 группа В(3, га) изоморфно вкладывается в группу В(2, га). Более точно, в работе [о] (см также [14]) доказано, что если элементы а и Ь являются свободными порождающими группы В(2,п), то элементы а, ЬаЬ-1, Ь3аЬ~3 свободно порождают подгруппу, изоморфную группе В(3,п). Этим, в частности, были указаны первые примеры многообразий групп, отличных от многообразия всех групп, в которых (т + 1)-порожденпая свободная группа этого многообразия вкладывается в т-порожденную свободную группу того же многообразия. Позднее, в [20] была доказана вложимость свободной группы В(оо, п) бесконечного ранга в группу В(3, га), а значит, в силу теоремы С. И. Адяна, и в группу В{2, п).

В работе [21] С. И. Адяном было установлено, что с использованием некоторой модификации созданной теории, для каждого нечетного п > 665 может быть построена новая операция умножения групп, названная периодическим произведением данного периода п или п-периодическим произведением. Эти операции умножения обладают многими свойствами классических операций свободного и прямого произведений групп, в том числе и свойством наследственности по подгруппам. Последнее свойство означает, что если в п-периодическом произведении Д семейства групп т в каждой компоненте (7г выбрать по подгруппе, то эти подгруппы порождают в пСг периодическое произведение самих подгрупп. Тем самым, построенные ¿6/ операции периодического произведения групп решают проблему А.И.Мальцева о существовании ассоциативной, точной и наследственной по подгруппам операции (см. также [22] - [24]). Доказано также (см. [25]), что периодическое произведение нечетного периода п > 665 данного семейства групп является простой группой в том и только том случае, когда каждая компонента этого произведения становится единичной группой при добавлении тождества хп — 1. Этот критерий простоты позволяет строить серии конечно порожденных бесконечных простых групп в многообразиях периодических групп нечетного составного периода пк, где к > 1 и п > 665.

Работой [21] С. И. Адяна открылись новые возможности в теории периодических групп. В ней показано, что теория Новикова-Адяна может быть распространена на изучение факторизации свободных произведений но специально выбранным соотношениям вида Хп = 1. Именно построение теории на базе свободных произведений позволяет ввести понятие п-периодического произведения групп.

Существенный прогресс в исследованиях бесконечных периодических групп был достигнут в работах А. Ю. Ольшанского [26] - [29].

• В работах [26], [27] построены первые примеры бесконечных неабелевых групп, любая собственная подгруппа которых - циклическая группа (решение ряда известных проблем: проблемы О. Ю. Шмидта о существовании квазиконечных групп, отличных от квазициклических групп Сро°, проблемы Р. Бэра о существовании нётеровой группы, не являющейся почти полициклической, проблемы С. Н. Черникова о существовании артиновой группы, не являющейся почти абелевой).

• В работе [28] было изложено более короткое доказательство теоремы Новикова-Адяна для нечетных п > Ю10 с привлечением диаграмм ван Кампена - геометрической интерпретации выводимости соотношений в группе из определяющих ее соотношений.

• В работе [29] для любого простого числа п > 1078 построена бесконечная 2-порожденная группа, все собственные подгруппы которой - циклические группы порядка п (решение проблемы А. Тарского).

В работе [30] последний результат был распространен на любые нечетные периоды п > 1078. В 1991 году С. И. Адян и И. Г. Лысенок усилили результаты указанных работ [29] и [30]. В их совместной работе [31] для любого нечетного числа п ^ 1003 была построена бесконечная 2-порожденная группа, каждая собственная подгруппа которой содержится в некоторой циклической подгруппе порядка п.

В статье [32] А. Ю. Ольшанский доказал, что существует континуум неизоморфных 2-порожденных групп со свойством, что каждая собственная подгруппа есть циклическая группа простого порядка. Г.Дерябина в работе [33] показала, что для любого простого р > 3 существует континуум неизоморфных 2-порожденных простых групп, каждая собственная подгруппа которых есть циклическая р-группа.

Отметим, что в работах Р. Григорчука [34], [35] впервые было доказано существование континуума конечно порожденных периодических финитно аппроксимируемых групп. Еще в 1964 году в работе [36] Е. С. Голод построил первые примеры бесконечных, конечно порожденных финитно аппроксимируемых периодических групп.

Используя работы А. Ю. Ольшанского [28], [29] диссертант в работе [37] получил следующие результаты: для каждого нечетного п > 1078 множество 2-порожденных «монстров» Тарского континуально; для каждого нечетного п > 1078 и для любого т > 1 группа В(т, п) не удовлетворяет условиям минимальности и максимальности для нормальных подгрупп; для любых т ^ к ^ 2 и тех же значений п группа В(т, п) (вполне) аппроксимируется как группой В(к,п), так и «монстрами» Тарского периода п. В работе [37] было доказано также, что для любого нечетного числа п > 1078 каждая нециклическая подгруппа группы В(т, п) содержит подгруппу, изоморфную группе В(оо,п) бесконечного ранга.

Используя работу А. Ю. Ольшанского [38], где построено первое неабелево многообразие групп, в котором все конечные группы абелевы, в [39] доказано, что существует 2-порожденная простая периодическая группа с неограниченными в совокупности порядками элементов, в которой выполняется нетривиальное тождество (положительный ответ на вопрос А. Л. Шмелькина).

Хорошо известно, что любая счетная группа вкладывается в группу с двумя образующими (см. [40]). В. Н. Образцов в работе [41] доказал, что любая счетная периодическая группа периода п > 1078 вложима в некоторую 2-иорожденную периодическую группу периода п.

В 1989 году вышла в свет монография А. Ю. Ольшанского [42], в которую вошли как результаты работ [2G] - [29], так и решения ряда важных старых задач теории групп, полученные на пути дальнейшего развития и приложения теории периодических групп.

В следующей работе А. Ю. Ольшанского [43] доказано, что для всякой нециклической гиперболической группы G без кручения существует целое 77,(С) такое, что факторгруппа G/Gn бесконечна для любого нечетного п ^ n(G), причем G1 = {1}, где G1 - подгруппа, порожденная г-ми степенями всех элементов группы G (доказательство гипотезы М. Громова). В этой принципиально важной работе реализовано описание нормальной подгруппы Gn группы G посредством распределения определяющих соотношений по рангам в случае, когда базовая группа G является гиперболической группой без кручения.

Очень важным событием в исследовании бесконечных периодических групп явилась публикация работ С. В. Иванова и И. Г. Лысенка, в которых доказана бесконечность свободных бернсайдовых групп для всех периодов, начиная с некоторого. В работе С. В. Иванова [41] это доказано для всех п = 512k > 248, а в работе И. Г. Лысенка [10] - для всех п = 16/с > 8000.

Как показал анализ конечных подгрупп группы В(т,п), проведенный в работах [44], [10], в случае указанных четных тг любая конечная подгруппа группы В(т,п) вкладывается в конечное прямое произведение Dni х Dn2 х • • • х Dn2, где Dk - ди-эдральная группа порядка 2к, п = щщ и щ максимальный нечетный делитель числа п. Более того, в работе С. В. Иванова и А. Ю. Ольшанского [45], посвященной детальному исследованию конечных и локально-конечных подгрупп групп В(т,п), доказывается, что верно и обратное утверждение. Помимо других важных фактов, в [45], в частности, доказывается также, что централизатор Сн(В(т,п)) подгруппы H группы В (т, п) бесконечен тогда и только тогда, когда H - локально конечная 2-группа, и что централизатор любой конечной 2-подгруппы группы В(т, п) содержит подгруппу, изоморфную свободной бернсайдовой группе В(оо, п) бесконечного ранга. Конечным подгруппам группы В(т, п) посвящена также работа [46[.

В следующей совместной работе [47] С.В.Иванов и А.Ю.Ольшанский, развивая идеи и методы работ [43], [44] доказали следующую общую теорему: для каждой не элементарной гиперболической группы G существует положительное четное число п = n(G), для которой факторгруппа G/Gn бесконечна.

Новый способ вложения свободной бернсайдовой группы В(оо, п) бесконечного ранга в свободную группу конечного ранга для нечетных п > Ю10 указан в совместной работе А. Ю. Ольшанского и М. Саиира [48], где построен первый пример конечно определенной неаменабельной группы, которая не содержит свободных подгрупп ранга 2 (позже С. В. Иванов в работе [49] построил другой пример конечно определенной неаменабельной группы без свободных подгрупп). В теореме 1.2 работы [48] утверждается, что для любого нечетного п > Ю10 существует натуральное число в = ¿-(та) такое, что свободная бернсайдова группа В (со, п) бесконечного ранга СЕР-вкладывается в группу Б(в,п) ранга в. Д. Сонкин в [50] показал, что в предыдущем утверждении можно взять в = 2.

В работе А. Ю. Ольшанского [51] доказано, что для любого нечетного числа п > 1078 нормализатор любой свободной в многообразии всех п-периодических групп подгруппы Н группы В(т, п) совпадает с Н (положительный ответ для п > 1078 на вопрос С. И. Адяна).

В работе Е. А. Черепанова [52] для всех нечетных п > 1078 доказано, что все нормальные автоморфизмы группы В(т,п) являются внутренними (автоморфизм <р группы б называется нормальным, если <р(1\Г) = N для любой нормальной подгруппы N группы й). В статье Д. Осина [53] доказано, что при нечетных п > 1078 группы В(т, п) равномерно неаменабельны.

В диссертации изучаются подгруппы свободной бернсайдовой группы В(т,п) нечетного периода, исследуются п-периодические произведения групп, а также группы автоморфизмов АЫ(В(т,п)). В ней применяется теория Новикова-Адяна, созданная для исследования периодических групп, а также другие известные методы комбинаторной теории групп. Диссертация состоит из шести глав, разбитых на 31 параграф, и изложена на 155 страницах. Список литературы содержит 97 наименований. Основные результаты диссертации опубликованы в научных статьях автора [87]-[97]. В конце работы расположен список обозначений и сокращений.

В главе 1 диссертации доказано, что для любого нечетного числа п > 1003 каждая нециклическая подгруппа группы В(т, п) содержит подгруппу, изоморфную группе В (со, п) бесконечного ранга. Этим дается положительный ответ на вопрос 8.53 б) А. Ю. Ольшанского из коуровской тетради [54]. В разделах 1.5, 1.6 главы 1 доказана также вложимость абсолютно свободных групп в группы В(т,п, а), пределом которых является группа В(т,п). При нечетных п > 665 указан мономорфизм тп : В(т, п) —> В(т, п) такой, что слово А является элементарным периодом ранга а тогда и только тогда, когда его образ т„(Л) является элементарным периодом ранга о; + 1.

В разделе 2.1 (глава 2) доказывается, что в каждом 5-шаре радиуса (57п)3 содержатся два элемента, которые являются базисом свободной периодической подгруппы ранга 2 группы В(т, п), где 5 - произвольное множество элементов, порождающих нециклическую подгруппу группы В(т,п).

В разделе 2.2 доказано, что для всех нечетных п > 1003 все конечно порожденные нециклические подгруппы группы В(т,п) имеют равномерный экспоненциальный рост и являются равномерно неаменабельными. Из этого результата при нечетных п > 1003 следует положительный ответ на вопрос П. де ля Арпа [55]: имеют ли бесконечные свободные бернсайдовы группы В{т,п) равномерный экспоненциальный рост,?

В разделе 2.3 доказывается, что для каждого нечетного п > 1039 в групповом алфавите {х, у} можно указать два слова и(х, у), и(х, у) такие, что если а, Ъ — любые два некоммутирующих элемента свободной бернсайдовой группы В(т,п), то для некоторого к элементы и(ак,Ь), у(ак,Ь) свободно порождают свободную бернсайдову подгруппу группы В(т, п). Подобная гипотеза была сформулирована С.В.Ивановым в совместной с А.Ю.Ольшанским обзорной статье [56].

В разделе 3.2 главы 3 получено необходимое и достаточное условие для того, чтобы в п-периодическом произведении двух групп С\ * (?2 множитель являлся наследственно факторизуемой подгруппой (С-БР-подгруппой), т.е чтобы любая конгруэнция на ней была продолжаема до конгруэнции на всей группе Сг * бг. В разделах 3.3, 3.4 доказывается также, что для каждого нечетного п > 1003 любая нециклическая подгруппа свободной бернсайдовой группы* В(т, п) содержит наследственно факторизуемую подгруппу, изоморфную группе В (со, п) бесконечного ранга. Этим усиливаются недавние результаты А. Ю. Олыпанского-М. Сапира [48], Д. Сонкина [50], С. Иванова [57] о наследтсвенно факторизуемых подгруппах свободных бернсай-довых групп. Из этого, в частности, следует, что при нечетных п > 1003 любая нециклическая подгруппа группы В(т, п) Зф-универсальна в классе всех групп периода п, и что каждая счетная группа периода ,п вкладывается в некоторую 2-порожденную группу периода п, чем усиливается полученный ранее результат В.Образцова [41].

В главе 4 доказано, что для каждого нечетного п > 1003 и для любого т ^ 2 группа В(т,п) не удовлетворяет условиям минимальности и максимальности для нормальных подгрупп. Для нечетных п > 665 этот вопрос отмечен в монографии С.И.Адяна (см. [5, гл. VI, §3, п.10]). Показано также, что для тех же значений п и т группа В(т,п) аппроксимируется простыми группами, все собственные подгруппы которых циклические. Кроме того, для любых т ^ к ^ 2 группа В(т,п) аппроксимируется свободной группой В(к,п). Доказана континуальность множества 2-порожденных простых п-периодических групп при всех нечетных п > 1003. Помимо этого, получены новые результаты о группах Адяна-Лысенка, которые среди алгебраистов известны и под названием «монстры» Тарского.

В главе 5 доказано, что все собственные свободные п-периодические подгруппы группы В(т, п) при нечетных п > 1003 не являются нормальными подгруппами как в самой группе, так и в любой строго промежуточной группе (усиление результата А.Ю.Ольшанского [51]). Из этого результата для всех простых п > 997 следует положительный ответ на вопрос, поставленный С. И. Адяном в коуровской тетради: верно ли, что все собственные нормальные подгруппы группы В(т, тг) простого периода п > 665 не являются свободными периодическими группами?

В главе 6 доказано, что при всех нечетных п > 1003 все нормальные автоморфизмы группы В(т, п) являются внутренними. В этой же главе показано, что если группа В(т, п) при нечетном п > 1003 является нормальной подгруппой некоторой п-периодической группы С, то С? есть прямое произведение подгруппы В(т,п) и ее централизатора в О. Аналогичный результат получен также Б.А.Черепановым в работе [52], но для нечетных п > Ю80. Доказано, что при нечетных п > 1003 подгруппа внутренних автоморфизмов 1пп(В(т, п)) является максимальной среди тех подгрупп группы Аи1(В(т, п)), в которых порядки элементов не превосходят п.

Полученные результаты в последние годы докладывались на научно-исследовательских семинарах в Московском государственном университете, в Математическом институте им. В.А.Стеклова Российской академии наук, на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры и геометрии Ереванского государственного университета, были представлены на различных международных конференциях по алгебре и теории групп.

Автор выражает глубокую признательность академику С.И.Адяну за внимание и за многочисленные полезные обсуждения.

1. W.Burnside, "On an unsettled question in the theory of discontinuous groups", Quart. J. Pure Appl. Math., 33 (1902), 230-238.

2. И. H. Санов, "Решение проблемы Бернсайда для показателя 4", Ученые записки ЛГУ. Сер. матпем., 10 (1940), 166-170.

3. М. Hall, "Solution of the Burnside problem for exponent six", Illinois J. Math., 2 (1958), 764-786.

4. П. С. Новиков, С. И. Адян, "О бесконечных периодических группах. I, II, III", Изв. АН СССР. Сер. матпем., 32 (1968), 212-244, 251-524, 709-731.

5. С. И. Адян, Проблема Бернсайда и тождества в группах, Наука, М., 1975.

6. В. Л. Ширванян, " Независимые системы определяющих соотношений свободной периодической группы нечетного показателя", Матем. сб., 100(142):1(5) (1976), 132-136.

7. С. И. Адян, "Исследования по проблеме Бернсайда и связанным с ней вопросам", Алгебра, математическая логика, теория чисел, топология, Сборник обзорных статей. 1. К 50-летию Института, Тр. МИАН СССР, 168, 1984, 171-196.

8. С. И. Адян, "Аксиоматический метод построения групп с заданными свойствами", УМН, 32:1(193) (1977), 3-15.

9. С. И. Адян, "Проблема Бернсайда о периодических группах и смежные вопросы", Совр. иробл. матем., 1, МИАН, М., 2003, 5-28.

10. И. Г. Лысёнок, "Бесконечные бернсайдовы группы четного периода", Изв. РАН. Сер. матем., 60:3 (1996), 3-224.

11. С.И.Адян, "Проблема Бернсайда и связанные с ней вопросы", УМН, 2010, №5.

12. П. С. Новиков, С. И. Адян, "Определяющие соотношения и проблема тождества для свободных периодических групп нечетного порядка", Изв. АН СССР. Сер. матем., 32:4 (1968), 971-979.

13. П.С.Новиков, С. И. Адян, "О коммутативных подгруппах и проблеме сопряженности в свободных периодических группах нечетного порядка", Изв. АН СССР. Сер. матем., 32:5 (1968), 1176-1190.

14. С. И. Адян, "О подгруппах свободных периодических групп нечетного показателя", Сб. статей, посвещенный 80-летию со дня рождения академика И. М. Виноградова, Тр.МЙАН, 112, 1971, 64-72.

15. С. И. Адян, "Нормальные подгруппы свободных периодических групп", Изв. АН СССР-Сер. матем., 45:5 (1981), 931-947.

16. С. И. Адян, "Случайные блуждания на свободных периодических группах", Изв. АН СССР. Сер. матем., 46:6 (1982), 1139-1149.

17. С. И. Адян, "Бесконечные неприводимые системы групповых тождеств", Изв. АН СССР. Сер. матем., 34:4 (1970), 715-734.

18. С. И. Адян, "О некоторых группах без кручения", Изв. АН СССР. Сер. матем,., 35:3 (1971), 459-468.

19. X. Нейман, Многообразия групп, Мир, М., 1969.

20. В. Л. Ширванян, "Вложение группы Б(оо, п) в группу В(2,п)", Изв. АН СССР. Сер. матем., 40:1 (1976), 190-208.

21. С. И. Адян, "Периодическое произведение групп", Теория чисел, математический анализ и их приложения, Тр. МИАН, 142, Наука, М., 1976, 3-21.

22. С. И. Адян, "Еще раз о периодических произведениях групп и проблеме А.И.Мальцева", 88:6 (2010), 803-810.

23. А. Ю. Ольшанский, "Проблема А. И. Мальцева об операциях над группами", Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 14 (1989), 225-249.

24. S. V. Ivanov, "On periodic products of groups", Internat. J. Algebra Comput., 5:1 (1995), 7-17.

25. С. И. Адян, "О простоте периодических произведений групп", Докл. АН СССР, 241:41978), 745-748.

26. А. Ю. Ольшанский, "Бесконечная простая нцтерова группа без кручения", Изв. АН СССР. Сер. матем., 43:6 (1979), 1328-1393.

27. А. Ю. Ольшанский, "Бесконечная группа с подгруппами простых порядков", Изв. АН СССР. Сер. матем., 44:2 (1980), 309-321.

28. А. Ю. Ольшанский, "О теореме Новикова-Адяна", Матели сб., 118(160):2(6) (1982), 203-235.

29. А. Ю. Ольшанский, "Группы ограниченного периода с подгруппами простого порядка", Алгебра и логика, 21:5 (1982), 553-618.

30. В. С. Атабекян, С. В. Иванов, Два замечания о группах ограниченного периода, Деп. в ВИНИТИ 2243-В87.

31. С. И. Адян, И. Г. Лысёнок, "О группах, все собственные подгруппы коюрых конечные циклические", Изв. АН СССР. Сер. матем., 55:5 (1991), 933-990.32J Ольшанский А. Ю."0 группах с циклическими подгруппами", Докл. Болг. АН, 32:91979), 1165-1166.

32. Г. С. Дерябина, "О бесконечных р-группах с циклическими подгруппами", Матем. сб., 124(166):4(8) (1984), 495-504.

33. Р. И. Григорчук, "К проблеме Бернсайда о периодических группах", Фупкц. анализ и его прил., 14:1 (1980), 53-54.

34. Р. И. Григорчук, "Степени роста конечно-порожденных групп и теория инвариантных . средних", Изв. АН СССР. Сер. матем., 48:5 (1984), 939-985.

35. Е. С. Голод, "О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых р-группах". Изв. АН СССР. Сер. матем., 28:2 (1964), 273-276.

36. В. С. Атабекян, Об аппроксимации и подгруппах свободных периодических групп, Деп. в ВИНИТИ, 5380-В86.

37. А. Ю. Ольшанский, "Многообразия, в которых все конечные группы абелевы", Матем. сб., 126(168):1 (1985), 59-82.

38. В. С. Атабекян, О простых бесконечных группах с тождеством, Деп. в ВИНИТИ, 5381-В86.

39. G. Higman, В. Н. Neumann, Н. Neumann, "Embedding theorems for groups", J. London Math. Soc., 24 (1949), 247-254.

40. В. H. Образцов, "Теорема о вложениях групп и ее следствия", Матем. сб., 180:4 (1989), 529-541.

41. А. Ю. Ольшанский, Геометрия определяющих соотношений в группах, Наука, М., 1989.

42. А. Ю. Ольшанский, "Периодические фактор-группы гиперболических групп", Матем. сб., 182:4 (1991), 543-567.

43. S. V. Ivanov, "The free Burnside groups of sufficiently large exponents", Int. J. of Algebra and Computation, 4 (1994), 1-307.

44. S. V. Ivanov, A. Yu. Olshanskii, "On finite and locally finite subgroups of free Burnside groups of large even exponents", J. Algebra, 195:1 (1997), 241-284.

45. И. Г. Лысёнок, "Бернсайдовы структуры конечных подгрупп", Изв. РАН. Сер. матем., 71:5 (2007), 81-110.

46. S. V. Ivanov, A. Yu. Olshanskii, "Hyperbolic groups and their quotients of bounded exponents", Trans. Amer. Math. Soc., 348:6 (1996), 2091-2138.

47. A. Yu. Olshanskii, M. V. Sapir, "Non-amenable finitely presented torsion-by-cyclic groups", Publ. Math. Inst. Hautes E'tudes Sci., 96 (2003), 43-169.

48. S. V. Ivanov, "Embedding free Burnside groups in finitely presented groups", Geometriae Dedicata, 111:1 (2005), 87-105.

49. D. Sonkin, "CEP-subgroups of free Burnside groups of large odd exponents", Comm. Algebra, 31:10 (2003), 4687-4695.

50. A. Yu. Ol'shanskii, "Self-normalization of free subgroups in the free Burnside groups", Groups, rings, Lie and Hop} algebras (St. John's, NF, 2001), Math. Appl., 555, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2003, 179-187.

51. E. A. Cherepanov, "Normal automorphisms of free Burnside groups of large odd exponents", Internat. J. Algebra Comput, 16:5 (2006), 839-847.

52. D .V. Osin, "Uniform non-amenability of free Burnside groups", Arch. Math., 88:5 (2007), 403-412.

53. В. Д. Мазуров, Ю. И. Мерзляков, В. А. Чиркин (ред.), Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп, изд-е 7, Изд-во Ин-та матем. СО АН СССР, Новосибирск, 1980.

54. P. de la Harpe, "Uniform growth in groups of exponential growth", Geom. Dedicata, 95 (2002), 1-17.

55. M. F. Newman, "Problems", Lect. Notes Math., 806 (1980), 249-254.

56. Ан. А. Мучник, Ю. JI. Притыкин, А. Л. Семенов, "Последовательности, близкие к периодическим", УМН, 64:5(389) (2009), 21-96.

57. М. Koubi, "Croiassance uniforme dans les groupes hyperboliques", Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 48:5 (1998), 1441-1453.

58. G. N. Arzhantseva, J. Burillo, M." Lustig, L. Reeves, H. Short, E. Ventura, "Uniform non-amenability", Adv. Math., 197:2 (2005), 499-522.

59. E. F0lner, "On groups with full Banach mean value", Math, cand, 3 (1955), 243-254.

60. D. V. Osin, "Weakly amenable groups", Computational and statistical group theory Las Vegas, 2001, 105-113.

61. В. H. Neumann, "An essay on free products of groups with amalgamations", Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A., 246 (1954), 503-554.

62. А. Ю. Ольшанский, "SQ-универсальность гиперболических групп", Матем. сб., 186:8 (1995), 119-132.

63. J. von Neumann, "Zur algemeinen theorie des masses", Fundam. Math., 13 (1929), 73-116.

64. И. Г. Лысенок, "О некоторых алгоритмических свойствах гиперболических групп", Изв. АН СССР. Сер. матем., 53:4 (1989 pages 814-832).

65. S. V. Ivanov, "On subgroups of free Burnside groups of large odd exponent. Special issue in honor of Reinhold Baer (1902-1979).", Illinois J. Math., 47:1-2 (2003), 299-304.

66. D. Osin, D. Sonkin, "Uniformly Kazhdan Groups", 2006.

67. А. И. Кострикин, Вокруг Бернсайда, Наука, М., 1986.

68. Е. И. Зельманов, "Решение ослабленной проблемы Бернсайда для групп нечетного показателя", Изв. АН СССР. Сер. машем., 54:1 (1990), 42-59.

69. P. Hall, G. Higman, "On the p-length of p-soluble groups and reductions theorems for Buruside's problem", Proc. London Math. Soc., 6:3 (1956), 1^12.

70. С. В. Иванов, "О подгруппах свободных бернсайдовых групп нечетного составного периода", Вестн. МГУ, Сер. матем., механика, 1989, №2, 7-11.

71. A. Lubotzky, "Normal automorphisms of free groups", J. Algebra, 63:2 (1980), 494-498.

72. В. А. Романьков, "Нормальные автоморфизмы дискретных групп", Сибирск. Мат. Ж., 24:4 (1983), 138-149.

73. Н. С. Романовский, "Нормальные автоморфизмы свободных разрешимых про-р-групп", Алгебра и логика, 36:4 (1997), 441-453.

74. G. Endimioni, "Pointwise inner automorphisms in a free nilpotent group", Q. J. Math., 53:4 (2002), 397-402.

75. O. Bogopolski, E. Kudryavtseva, H. Zieschang, "Simple curves on surfaces and an analog of a theorem of Magnus for surface groups", Math. Z., 247:3 (2004), 595-609.

76. M. В. Нещадим, "Свободное произведение групп не имеет внешних нормальних автоморфизмов", Алгебра и логика, 35:5 (1996), 562-566.

77. Mahlon M. Day, "Means for the bounded functions and ergodicity of the bounded representations of semi-groups", Trans. Amer. Math. Soc., 69 (1950), 276-291.

78. L. Ehrenpreis, F. I. Mautner, "Uniformly bounded representations of groups", Proc. Nat. Acad. Sc. U.S.A., 41 (1955), 231-233.

79. G. Pisier, "Are unitarizable groups amenable?", Infinite groups: geometric, combinatorial and dynamical aspects, 248, Progr. Math., Birkhauser, Basel, 2005, 323-362.

80. N. Monod, N. Ozawa, "The Dixmier problem, lamplighters and Burnside groups", Journal of Functional Analysis, 258:1 (2010), 255-259.

81. D. Osin, "1,2-Betti numbers and non-unitarizable groups without free subgroups", International Mathematics Research Notices, 2009 (2009), 4220-4231.

82. В. С. Атабекян, "О простых и свободных периодических группах", Вестн. МГУ. Сер. Математика, механика, 1987, № 6, 76-78.

83. V.S.Atabekyan, "Normal Subgroups in Free Burnside Groups of Odd Period", Armenian Journal of Mathematics, 1:2 (2008), 25-29.

84. В. С. Атабекян, "Нормализаторы свободных подгрупп свободных бернсайдовых групп нечетного периода п > 1003", Фундамент, и прикл. матем., 15:1 (2009), 3-21.

85. В. С. Атабекян, "О подгруппах свободных бернсайдовых групп нечетного периода п > 1003", Изв. РАН. Сер. матем., 73:5 (2009), 3-36.

86. В. С. Атабекян, "О нормальных подгруппах в периодических произведениях С.И.Адяна", Труды МИЛН, 273 (2011).

87. В. С. Атабекян, "Равномерная неаменабельность подгрупп свободных бернсайдовых групп нечетного периода", Матем. заметки, 85:4 (2009), 516-523.

88. В. С. Атабекян, "О мономорфизмах свободных бернсайдовых групп", Матем. заметки, 86:4 (2009), 483-490.

89. В. С. Атабекян, "Группы Адяна-Лысенка и (II) свойство", Известия НАН Армении. Математика, 43:5 (2007), 14-25.

90. В. С. Атабекян, "Не ^-допустимые нормальные подгруппы свободных бернсайдовых групп", Известия НАН Армении. Математика., 45:2 (2010), 21-36.

91. В. С. Атабекян, "О периодических группах нечетного периода п > 1003", Матем. заметки, 82:4 (2007), 495-500.