Разрешимые и локально нильпотентные линейные группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

9ЛУ

Академия паук Белорусской СС? ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

у

На правах рукоплсл

конюх Владимир Сергеевич

РАЗРЕШИ,ЫЕ И ЛОКАЛЬНО НШГЬПОТЕНТННЕ ЛШгЕИШЕ ГРУППЫ (01.01.06 - кзтештическая логика, алгебра и тоорпя чисел)

Апторефе р а !

диссертации ка соискание ученой степени доктора фпзико-штешглпеснпх шук

Шнек - 1991

Работа выполнена в Институте математики АН БССР

Официальные оппоненты - доктор физ.-ыат.наук, профессор

БОРЕВИЧ Зенон Иванович

- доктор физ.-мат.наук, профессор РЕШСЛЕННИКОВ Владимир Никанорович

- доктор физ.-мат.наук, профессор РОМАНОВСКИЙ Николай Семгнсзич

Ведущая организация - Московский государственный

университет иы.Ы.В.Ломоносова

Защита состоится 93 " .^'^С/у_ 19^ г. в " ■// "

часов на заседании специализированного совета Д 006.19.01 в Институте математики АН БССР по адресу: 220072, г.Шнек, ул.Рурганова, II, Институт математики АН БССР.

С диссертацией »южно ознакомиться в библиотеке Института штештики АН БССР.

Автореферат разослан " ¿"¿¿хх [>>■£ 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физ.-ыат.наук

А.С.Рапинчук

ОБЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Теория линейных групп - одно из основных направлений современной алгебры. Разрешите и локально нильпо-тентные линейные группы составляют важный раздел этой теории.

Начало изучения разрешишх линейных групп непосредственно связано с проблемой разрешишети уравнений в радикалах и восходит к Э.1Ълуа и К.Нордану.

В конце 40-х годов нашего столетия было обнаружено, что разрешите линейные группы являются важным инструментом в исследовании абстрактных разрешишх и локально нильпотентшх линейmix групп (см. по этому поводу работу Л.И. Мальцева £5] ). Такие группы играют татае важную роль в теории Пикара-Вессио - акатоге теории Г^луа для дифференциальных уравнений. С этим' обстоятельствами связан новый этап в развитии теории разрекишх линеГ::шх груш.

В 1938г. Г.Цассенхауз установил, что длина ряда койму^антов разрешили подгруппы группы QL /ь ( Jj) огра!шчена числом, зависяадм только от П, Е.Калчин[{4] и А.И.Ыалыюв [.5J доказал, что разрешимая группа матриц степени 11 ид алгебраически замкнутым полем содержит триангулируецув норлальнуэт подгруппу индекса Г <

Впер вне систематическое исследование разреши»: п локально нильпотеитных линейных групп над произвольный поле« било предпринято в начале 50-х годов Д.А.Супруненко. Задача описания всех разрешишх и локально нильпотентных подгрупп полкой линейной группы представляется мало реальной. С другой стороны кз упошну-того выше результата Цассенхауза следует» что любая разрешит подгруппа^группы GLft_(P) содержится в некоторой ляксимзльной разрешимо!'! подгруппе. Понятно, что строение последней в значительной из ре определяет строение группы G. В связи с этим изучались в основном максимальные раз ре шише подгруппы а /ь По аналогичным причинам преимущественно исследовались ».акекмальныо локально нильпотентные линейные группы. В результате к середине аестидесятых годов Д.А.Супрушнко и его ученикаш в основном было завершено построение теории разрешишх и локально нилыютентных линейных групп в ситуации алгебраически замкнутого поля, конечного поля и поля действительных чисел. В частности было установлено,

что .множество ьаксиьэлышх разрешима подгрупп группы С'Р)

над алгебраически замкнутым полем разбивается на конечное число Г cju.cn) классов сопряженных подгрупп, а(все непри-водаше максимальные локально шльпотентные подгруппы группы 61 ^(¡Р) сокрянаш.

Были получены также глубокие результаты о строении разрети-шх и локально нгльпотегеглых линейных групп над произвольным полем'" (Д.Л.Супрукенко, Р.Т.Больвачев, А.Е.Залесский, Р.И.Тышке-шч и др.). Том ко менее в случае произвольного поля {Р оставались открытыми следующие принципиальные вопросы: , . Классифицировать, с точностью до сопряженности:

а) Максимальные локально шиыютентные подгруппы группы

о;р -подгруппы Силова проективной линейкой группы •

з) Кэпрниодш^е двухступенно нильпотентные линейные группы. П) Свести о пи саже ьакслщльных разрезиьях подгрупп группы ^[.^(.Р) к построению только конечного числа Г с такие подгрупп.

Как с'.'шчалостч илио, в случае алгебраически замкнутого поля, конечного поля в педя действительных чисел зти задачи полностью решзны [II ] . В частности еще в середине 50-х годов Д.А.Супрунен-ко установил, что 1, полней линейной группе над алгебраически замкнутым полей существует только одна, с точностью'до сопряженности, неприводимая шкеп/.пльная локально нкльпотенгная подгруппа , а ынс&естБО шкедьалышх разрезшшх подгрупп группы разбивается на конечное число г су.мп) классов сопряжениях подгрупп. Однако ситуация принципиально ыеня-сгся при переходе к произвольному полю. Например, в Ой^Ср) существуй: бесконечные серки попарно не сопряженных шкеишлышх раз росших подгрупп, которым кет аналога над алгебраически замкнутым полем [243 . В.П.Платонов в работе [10] приводит пригар, показывающей, что множество ьакстальных нкльиотентных подгрупп группы (гС^СС?) разбивается на бесконечное число классов нзеопряяешшх подгрупп. Таи ке построена бесконечная серия попарно несопряженных не приводишх силовских 2-подгрупп группы

(хотя в С С?) такие подгруппы

—.-—-

Результаты этих исследований подытожены вчкниге Д.А.Супрукен-ко [II] .

сопряжены).

Цель настоящей работы - дать полипе ответы на поставленные вше вопросы в случае произвольного поля.

Отьвтим, что глубокие результаты о pa3p21.raf.Kx и легально нгльпотентных алгебраически линейных -группах получены В.П.Платоновым £8-10] .

В 1972г. Я.Тите [16] установил, что конечкоьорсэдеппая линейная группа либо почти разрешима, либо содиркнг свободную подгруппу ранга 2. Этот результат, а таккс завершение классификации конечных простых групп, еще раз подчеркивают актуальность тематики, связанной с изучением разрешимых и локально нилыютент-ных линейных групп.

Методика исследования. Использовались результаты и шеоды теории групп, теории полей, теории алгебр.

Научная новизна. Получена полная, с точностью до сопряженности, классификация неприводимых максимальных локально нильпотент-ных и двухстуиенно шшьпотенткых лике ¡'пасс групп, ,0 - подгрупп

Силовз проективной линейной группы над произвольным полем. Язу-

пг ,- Юх

чение шкси.\алышх разрешил« подгрупп группы с ¿ )

сведено к изучению лишь конечного числа ^^¿(>1) таких подгрупп. Все полученные а диссертации результаты ямягяся ногаки

Теоретическая и практкчестая ценность. Работа носи? теоретический характер. Еэ результаты могут найти пришнсние з различных разделах теории групп, теории представлений, а та:ке .•.■огу'г быть использованы при подготовь специальных курсов по -'сорга линейных групп.

Апробация работы. Результаты диссертации доготадкьалдсь .на 13,14,16-19 Всесоюзных алгебраических покфзронцзл:-:, 9 и Ю Всесоюзных симпозиумах по теории групп, на сегднпр-э та.ЛЛ'.Купога при МГУ, на объединенном сешшаре ЛО.'"! и ЛГУ, на сокпгарс по алгебре при институте математики АН ЕССР.

Публикации. Основные результата диссертации опубликованы в работах [17-УОД .

Структура и обтдм роботы. Дяессргают состой? из сведения, двух глав и приложения. Объем диссертации - 291 гагзпгаппсяая страница. Список литературы содержит 95 НП"ШН0В2.'ПЙ.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе диссертации рассматриваются неприводаше локально ипльпотентные линейные группы над произвольным полем. На первом этапе задача сводится к примитивному случаю (§3). Примитивные локально нильпотентные группы изучаются с помощью инвариантного ряда О з У^ К ^ , где К - комод тант,

О- />г — централизатор . К в В конечном итоге задача редуцируется к классификации неприводишх двухступенно нилыго-тептных линейных групп (§ 4). В § 2 получено полное решение последней задачи. В § 5-6 результаты и методы предыдущих параграфов применяются для описания р -подгрупп Силова проективной и полной линейной групп. В § 6 показано также, что из результатов § 1-5 вытекают все ранее известные классификационные результаты о неприводимых локально нильпотентных линейных группах.

Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации.

В § I приведен ряд, часто встречающихся в дальнейшем, известных результатов. Доказаны также некоторые вспомогательные лбмш (как правило относящиеся к теории полей).

Во втором параграфе рассматриваются неприводаше двухступенно шшьпотентше линейные группы. Ключевую роль здесь играет

Теорема 2.1. Пусть абсолютно неприводиюя

двухступенно нильпотентная подгруппа > <-Х -экспо-

нента факторгруппы

У/ Р' . Тогда

1) Группа У сопряжена в СЗЪ с группой У, * Уг ? где У^- абсодхтно неприводимая примитивная двухступенно нильпотентная подгруппа (^Р) ? а У2 — мономиальная подгруппа а(Р)у

2) Группа У тогда и только тогда примитивна, когда из условий V с У .и 1 следует, что 1 .

Требование абсолютной неприводимости в утверждении 2) теоремы 2.1 существенно. Простейший контрлришр доставляет точное неприводиглэе представление кватернионной группы над полем

Теорема 2.1. сводит задачу описания абсолютно неприводимых двухступенно нильпотентных линейных групп к аналогичной задаче для примитивных и шнемиальных групп.

В дальнейшем элементы группы ¿Р Е^ отождествляются с соответствующим! элементами поля ^Р.

- 6 -

Строение мэноииалышх двухступенно шиьпотенишх линейных групп над произвольным полем во многом аналогично строению тагах групп над алгебраически замкнутым шлем. Оно определяется теоремой 2.2.

Описание примитивных двухступенно нильпотентных линейных групп базируется на критерии примитивности (утвер^детш 2) тео-рег« 2.1). Пусть ожество всех абсолютно неприво-

димых примитивных дзухступенно нильпотентных подгрупп .(¿Р)) содержащих группу ^ . Установлено естественное отобра-

но ние множества М^СЗ^) в множество подгрупп факторгрупп > где V делитель П. Получено полное описание подгрупп вида <р(У) 7 Ус М^С^Р) . Оказалось, что такие подгруппы однозначно определяются разложением числа 7Ъ вида ^с*/ / К' и каб°Р°м элементов ,

у.}. .. . О/,, У& " поля ^ удовлетворяющих условиямО^и ^ Если 'П. — л - простое число, то это следующие условия: ос) из равенства Г ЯР9?'У,А'.. - У , Я -Я , -р,

следует, что -Д" , ^ = 1 у- ^ > Р) Н°РШ

над некоторого элемента С^ £ И (9^ )_. В соответ-

ствии с этим группа_ (р<У) обозначается У^ , .у#)-

- [/'. По группе V простым способом строится подгруппа

К,...У Угруппы . Одним из основ-

ных результатов § 2 является

Теорема 2.4. (I) Уу у (0/г____уь) — абсолютно неприво-

дитя примитивная двухступенно нильпотентная подгруппа 61. (А).

(II ) Пусть (Рл абсолютно из приводимая приштивная

двухступенно нильпотентная подгруппа (Р) . Тогда су-

ществует разложение числа П, вида п = /

ЭЛЗМЗНТЫ ■■ > удовлетворяющие условиям ос) и д)

и элемент такие, что —

= у*).

Д.А.Супруненко [II] установил, что множество шксишлышх ноприводимых двухступенно нильпотентных подгрупп группы (Л) над алгебраически замкнутым полем А разбивается на конечное число классов сопряженных подгрупп. В связи

с этим результатом приведем следующую теорем п

Теорема 2.3. Пусть для любого С^вПСТ-) в ф есть эле нт порядка . Тогда следующие условия эквивалентны :

(X) множество всех неприводимых даухсту пенно нильпотентных подгрупп Gin. (Р) с центром ^"разбивается на конечное число классов сопряженных подгрупп.

( ii ) дая любого индекс ¡Р*:(Р")' конечен.

Отметин, что если для какого-то ty&flOi) в нет элемента порядка , то множество пусто.

Теореш 2.1-2.4 дают полную, с точностью до сопряженности, классификацию неприводимых двухступенно нильпотентных линейных ¿•рупп над произвольным полем (ответ на вопрос I в)).

Как установил Д.А.Супруненко ['12.1 при изучении максимальных неприводишх локально нильпотентных подгрупп GLn(fi) достаточно ограничиться абсолютно, не приводимы случаем, при этом можно считать, что fb-pt , р - простое число.

В § 3 рассматриваются импримитивные локально нильпотентные линейные группы. По заданной паре (g, G) > где абсолютно неприводимая максимальная локально нильпотентная подгруппа

GL(fP) J £ с 6 г простым способом строится локально нильпотентная подгруппа группы CLpiC^i).

Основным результатом § 3 является

Теореш 3Л (I) любая абсолютно неприводимая импримитивная максимальная локально нильпотентная подгруппа ,G-Lpi(!P) сопряжена с группой вида Г (3, G)

Ш) Группы rt- f($X7G) и Ц Q) тогда и

только тогда сопряжены, когда g, - > r^r^p у

(iii. ) Группа /7^, Q) почти всегда максимальна среди локально нильпотентных подгрупп группы Gipi (^Р) . Исключение составляет лишь случай когда

1) /О - ¿3, & ' > & примитивная группа причем fSp (9) / - ci .

2) -¿ >1, у а группа G сопряжена с группой & i №

Теореш 3.1 полностью сводит задачу описания абсолютно неприводимое имприштивных максимальных локально нильпотентных линейных групп к аналогичной задаче для групп меньшей размэрности и следовательно, в конечном итоге, к описанию примитивных локально нильпотентных линейных групп.

Из теоремы 3.1, в частности следует, что и случае произвольного поля импримитивная максимальная локально нильпотентная.линейная группа "априори" может индуцлревать им or степах импримитив-

ностк любую транзитивную нилытотентную подгруппу симметрической группы • з случав же алгебраически замкнутого поля на систе-.ш импримитивности индуцируется только максимальная транзитивная нильпотентная подгруппа . Таюш образом в общем случае редукция к примитивным группам, аналогичная редукции над алгебраически замкнутым полем в принципе невозможна.

Четвертый параграф является основным в главе I. Здесь рассматриваются примитивные локально юшьпотентше линейные группы над произволыаш полем. Изучение таких групп проводится с помощью инвариантного ряда £ ¥^ К Ез где (? - абсолютно неприводимая примитивная локально нильпотентная подгруппа К - коммутант & 7 V- централизатор К б 6.

щгсть п. -р6, & => 2: - V к, л ■= г с V).

Основным результатом § 4 является

Те орет 4.1. (I) /С-абелева />~группаг поле 2И =

(2) ■ м

(3) Коммутант группы V содержится в !Р ; У - абсолютно непшводимэя примитивная двухступенно нильпотентная подгруппа группы' (21 г ( £) , г ■= £ :

(I) Пусть б/'Р — р- подгруппа Олова факторгруппы 21"/ Р* - Тогда группа вх ~ 6Ь почта всегда ткси-шльна среди локально нильлотентннх подгрупп

ей <Р> .

Исключение составляет лишь случай, когда р - ¡2 , 1Р не содержит элемента порядка 4 , С - двухступенно нильпотентная группа, поичем периодическая часть группы 6- не содегажгся в

Следствие I. (Залесский А.Е. £2] ). Коммутант примитивной локально нильпотентной линейной группы - абелева группа.

Следствие 2. При нечетном 71 любая пршгеивная локально нильпотентная подгруппа С группы ЕР) нилыютент-

на. Если £ абсолютно неприводима, то 7. (6) — ттЕ.

Из теорем 4.1 и 2.1 следует также, что понятие примитивности для локально нильпотентных линейных групп тесно связано с периодичностью. Л именно, чем "меньше" периодическая часть такой группы, тем "ближе" она к примитивной группе (лемла 4.1).

В [Ш установлено, что в случае, когда , /К/72. •

Ь'сли Е Ф 0Л , д ?с ~ а., то это утверждение не верно. Однако

при нечетном п оно справедливо (лемма 4.2). Отсюда и из теоремы 4.1 в частности следует, что если 71 -S.k+1 , а в (р* есть элемент порядка ть } то любая примитивная локально нильпотектная подгруппа группы GL п. (Р) двухступен-но нильпотентна. В этом случае справедлива

Теорема 4.3. Пусть 7l> 1 нечетное число, fi- поле, содержащее первообразный корень из I степени 71. ¡Множество абсолютно неприводимых максимальных локально нильпотеитных подгрупп

GLn(íP) тогда и только тогда разбивается на конечное число классов сопряженных, когда для любого простого делителя с^, числа 71 индекс J ■ конечен.

Как известно в случав когда !Р алгебраически замкнуто, конечно, или не является полем действительных чисел в GLr„(Р) имзется единственная с точностью до сопряженности абсолютно не-призодишя максимальная локально нильпотентная подгруппа (ДоА»Супруненко, Р.Ф.Апатенок). Д.А.Супруненко поставил вопрос: для каких пар 71 это утверждение имеет место. В случае

нечетного П- ответ на этот вопрос дает

Предложение 4.1. Пусть п>1 нечетное число. В группе GL,^СР) тогда и только тогда имзется единственная, с точностью до сопряженности, абсолютно непризэдакая локально нальпотентная подгруппас когда любого р&Пс>г) в есть элэмзнт порядка р и ¿P'' - (P^Sp (TJ*).

В случае четкого TL ответ на вопрос Д.А.Супруненко дан в работе автора [29] .

Теореш 4.1, 4.2 сводят задачу классификации примитивных локально кильпотентных линейных груш к классификации пркштивных двухс-тупенно нилыюгентных rpyiin. Согласно теоремз 4.3 б случае когда TL'-ak^l , а в i0* есть элемент порядка 7с ре-дукщя является полкой. Теореш 4.4-4.6 уточняют эту редукцию в общем случае. ос

Как известно груша 1клуа G(P(á')/!Р), либо

циклична, либо имеет два образующие. В первом случае полная редукция к двухступенно нильпотентным группам определяется теоре-каьи 4.4, 4.5, во втором - теоремой 4.6. Из этих теорем в частности следует, что число классов сопряженных примитивных локально нилыютентных подгрупп GLn (>Р) определяется двумя параметрами. Первый - число классов сопряженных примитивных двухступенно нильпотентных подгрупп. Второй - индекс 21*".' N(1L*)

где 21 — ) " X , ) — группа всех элегяэктов

из Л норг.я которых над 5° равна I.

Теореш 2.1-2.4, 3.1, 4.4-4,6 дают полкзпо, с точностью до сопряженности, классификацию абсолютно непрлиодишх .».сзкоиг-яльных локально нильпотекткнх подгрупп GLn (¿Р) над произвольным полем !Р (ответ на вопрос 1а)). Яз этих теорем такхе ягедуз* полная, с точность» до сопряженности, югассификаЕзя абсояюгио неприводимое р ~ подгрупп Силова проективной линейкой гпупаы.

В § 5 идеи и мзтода развитые в предыдущих парагрэгрзх применяются для списания произвольных ^»-подгрупп Силовз группы

■PGLn (iP). На первом этапе задача редуцируется к примитивному случаю (теоремы 5.1, 5.2). 'Теорема 5.4 дает описание примитивных силовских подгрупп ¿PQL^ ( Р) . Уз. теорем 5.1-5.4 следует ^

Теорема 5.5* Пусть в !Р" есть элемент порядка тъ ~р\ р l . Множество непринодашх '^-подгрупп Сдлова груяш тогда и только тогда разбивается на конечное

число классов сопряженных подгрупп, когда конечен индекс <р». (pvp

В § 6 идеи к :»ззтоды развитые з § 4 пришкятатся для изучения линейных р~ групп. Силовские р - подгруппы группы над алгебраически замкнутым полем описаны Д.А.Супруненко [XI] . Изучению таите групп над произвольным полем посвящена работа Р.Т.Вольвачева [I] . Однако, как показали Лидхэм-Грик и Плекснер [15] , описание силовсккх ^-подгрупп bLn (S*) полученное в работе [I] неполно. Они установила, что для некоторых полей в QL^ cf>)

мэгут существовать примитивные силовскиз р - подгруппы при TL >£. В [15] дано описание таких подгрупп с точностью до изоморфизш.

Основной результат § 6 - полная, с точностью до сопряженности, классификация силовских ^-подгрупп 6Lr^(JJ) над произвольным полем ¡Р (теоремы 6.1-6.3). Из теорем 6.1-6.3 в частности следует, что множество неприведших силовских подгрупп группы GLn (Р) разбивается не более чем на 2 класса сопряженных подгрупп.

Во зторой главе диссертации результаты первой главы притеняются для изучения разрешимых линейных групп над произвольным полем.

В теории разрешимое линейных груш основным является случай примитивных групп. В частности классификация максимальных раз-решишх линейных групп полностью сводится к аналогичной задаче для примитивных групп (Д.А.Супруненко [II] ).

Пусть Q - примитивная максимальная разрешимая подгруппа GLfjP) ; V, A, F — группы ряда Супруне нко для G ,

К - < F?-t> ж - /\ '¡P Группу А в дальнейшем будем назы-

'л ^

вать подгруппой Супруненко группы Ь . При изучении группы Ь

достаточно ограничиться случаем, когда G абсолютно неприводима,

?bffLJ - О' , с — простое число |jl] , Уп] . Пусть

S= yííatcJ ^i 1} , Af ~ SK". ' Если Af~A,

то ш будем говорить, что группа А почти ыоношальна; если же

Ар - К ' , то группу А будем называть примитивной (хотя

условие А^ ~ К несколько сильнее примитивности).

Изучение раз решишх линейных групп проводится по следующей схема. Из мнояеетва всех абсолютно непршодишх

примитивных максимальных разрешимых линейных групп над полем !Р выделяются два подмножества (Р). и . с'/^

состоит из групп с почти юкомиальной подгруппой Супруненко, из групп с примитивной подгруппой Супруненко (если ^-алгебраически замкнутое поле, алгебраическое расширение конечного поля, или же поле действительных чисел, то множества и /2 (!Р) совпадают (лемма 8.1)).

Установлено, что любая группа из &<!Р) определяется однозначно, с точностью до сопряженности двумя группам! из множеств f¿¿ и (соответственно ('} Ю).

Строение групп из

аналогично строению примитивных раз решишх линейных групп над алгебраически замкнутым полем. 3 частности множество таких груш с заданным максимальным абе-левыы нормальным делителем разбивается на конечное число ■Р <JU.(7i) классов сопряженных групп (§ 8).

Если специфика основного поля не оказывает существенного влияния на строение группы из множества (fl) > то она

в полной юре проявляется в строении групп из множества f¿¿> (fi). Такие группы существуют только в случае когда 71 , <£ fi-бесконечное поле. Им нет аналога над алгебраически замкнутым полем. В § 9 получена полная, с точностью до сопряженности, классификация групп из (fy . Установлено, что такие группы

определяются однозначно, с точностью до сопряженности подгруппами факторгрупп К*/(К специального вида ( -• расшире-

ние Галуа поля (Р степени т > ?п/п а. - простой делитель числа п ?/г ). В свою очередь каждая такая подгруппа однозначно определяется корнями некоторого полинома из О^Е.х 1 (теореш 10,7, 10.8).

Таким образом, хотя множество кеприводижх максимальных разрешимых подгрупп группы бС^^Р) гложет содержать бесконечные серки попарно несопрязкенкых подгрупп, удается выделить эту бесконечность в "рафинированном" виде (множество Р,, 'Р)^ и дать полную классификацию таких подгрупп. Тем саг,им задача классификации максишльных разрепшшх подгрупп группы (ЗИ^с'Р) сводится к описанию лишь конечного числа г <(Те) таких подгрупп (ответ на вопрос II). Перейдем к более подробному изложению результатов главы 2. § 7 носит предварительный характер. Здесь приведен ряд известных результатов. Доказаны некоторые вспомогательные утверждения, В § 8 изучаются группы из множества /¿.¿(Р) Предложения 8.2, 8.3 полностью редуцируют задачу описания таких групп к описанию неприводимых максимальных разрешимых подгрупп гигтерсимплектиче ской и ортогональной групп (при четном 7Ь ) меньших степеней над простыми конечныш полями. Последняя задача рассматривалась А.Е.Залесским и В.С.Кокюхом [3]. § 9 - основной в главе 2. Здесь изучаются группы из множества Пусть К- расширение Галуа шля

с разрешимой группой Галуа ; К :!Р~ тп р тг ~ те^ } * О ?

/?</ (^ > -- множество всех групп из <Р^) степе-

ни 71, максимальный абелев нормальный делитель которых равен К.

Задача классификации групп из полностью сводится

к классификации групп из множеств (К) [4] , [.II].

Если Ъ -О то, п. -т. и согласно лемме 9.2 множество

X) состоит из одной группы. Она является рас-

ширением группы А ^ с помощью группы Галуа 6- (К/Р) . Пусть > С . Установлено естественное отображение^ у множества РР ( А'; в множество подгрупп порядка "факторгруппы К*/ ' . Получено полное описание групп вида у<

С' с- /€</<"/О Такие группы инвариантны относительно

груши Лалуа 64'А/Ру . Если задать на б) структуру

екглплектпч' :т;ого модуля, то группа ГЬлуа 0- (К/¿Р) индуцирует ¡г: .}'((-■> мэтричсски вполне приводимую подгруппу гипер- 13 -

сишлвктической труппи И5р( д.) „ От сада в частности следует, что ,У( о > однозначно определяется корняш некоторого многочлена из !р1 .Т.з .

Теорзьк 9.2. I) Если группы и из

сопряжены з 01. п. х-Р') , то - ,У(&л) . 2)^ Пусть

$■')'(&) . Тогда множество

разбивается г*. конечное число Г классов сопряженных подгрупп. Ясли £ >¿1 , I не ^ =« , а в Л* есть элемент четвертого посадка,то Г^ ($■): 6'р(-2г, с>). В остальных случаях .<*•<■ (а) : ¿р (¿¡Ь, .

По заданной подгруппе у с 6-,* факторгруппы К*/ (К *) простым способом строится примитивная двухступзкно нмльпотентная подгруппа А группы 'РС^РР*) . Пусть -■ нормали-

затор группы А в С-СГи('Р) - Одшш из основных результатов § 9 является

Теоре;,а 9.1. I) (т ~ А'(А) - абсолютно неприводимая примитивная макскг-альная разрешимая подгруппа ( >

2) Любая абсолютно неприводишя примитивная каксктлъная разрешимая подгруппа ¿?£/г_с'Р) с прл-ьятнаной подгруппой Супруненко сопряжена с группой вида /'/(А).

Теорем; 9.1 и 9.2 дают полное, с точностью до сопряженности, описание примитивных максимальных разрешшх линейных групп с примитивной подгруппой Супруненко. ^

В § 10 (лзк-а 10.8} установлено, что в случае когда ?

¿р - просто?. чиоте, е {Р) нет примитивных разреши-

шь подгрупп с примзгизкой подгруппой Супруненко. Отсюда, из теорема Юл и крадлокеиий 8.1, 8.2 следует г что специфика основного поля не оказывает существенного влияния на строе шкз ноприво-дкшх разрешимых подгрупп ОЬ ^ СР) . В частности, справа длина

Теорсьо 10.3. .'.'лскество неприводимых максимальных разрешимых подгрупп (р СР) с заданным максимальным абелевым

корьальным делителем разбивается на конечное число Г <(ть) классов сопряженных подгрупп.

Как показывает пример из § 9 лемма Ю.8 и следовательно, теорема Ю.З не верны если 7Ь Р с^.

В.П.Платонов 9 установил, что множество максимальных разрешимых подгрупп алгебраической группы, определенной над алгебраически замкнутым полем разбивается на конечное число классов

- 14 -

сопряженных подгрупп. В § Ю доказана следующая теорема

Теорема Г0.4. Множество максимальных разрешимых подгрупп группы с ^У> ± ? тогда и только тогда раз-

бивается на конечное число п классов сопряженных подгрупп, когда конечно число у неэквивалентных расширений поля !Р степе™ не превосходящей 7Ь, при этом г </<-1 , у) ■

Арифметическим оценкам для разреиишх линейных групп посвящены работы многих авторов (Д.Диксон, М.Ньшан, Т.Хокс, БДупперт и др. Нем. по это.цу поводу обзоры [6,7] ). Однако для нильпотент-ных линейных групп лриемчешх оценок не было. В Приложении (§ II) показано, что результаты главы I позволяют получать неулучшаеше оценки для нильпотентных линейных групп.

Пусть к-тле, П. > I - натуральное число. При с^. > Д через будем обозначать толе разложения многочлена ¿с'^-1

над к . Если же =с?. > то /6 . - поле разложения многочлена

Л - £ над ё . Пусть далее — порядок силов-

ской подгруппы группы /6*. МаКСИШЛЬНОО из чисел Ь;

(уе- Пуп) , обозначим через , а минимальное—

■ Из теорем 3.1 и 4.1 непосредственно следует, что все неприводише ло1сально нильпотентные подгруппы группы (Ь) тогда и только тогда кзльпотентнк, когда ¿Г1(к) < оо (см. также £13] ). В этой лггуации естественно возгашает вопрос об оценке индекса центра неприводимой ниль-лотентной подгруппы/группы п. Ответ на этот вопрос

дает 0 п

Теореш ПЛ. Г(Г) $В>(71)(СЛС&>) (Ь > где р(п.) - порядок максимальной транзитивной нильпотептной подгруппы симметрической группы Зп. ■ Эта оценка достижима при = к.

В зависимости от специфики'числа П. п поля к. эту оценку можно улучшать. В частности, если £ = поле рациональных чисел, то Г ' 2 (Г) ^¡5(70 . Оценка достижима при

■?г.~ ¿1 } г ^ 1.

С чувством бесконечной благодарности я вспоминаю своего дорогого учителя Дмитрия Алексеевича Супруненко. Во время работы над диссертацией я постоянно ощущал помощь и поддержку с его стороны.

Цитированная литература

1. Вольвзчев Р.Т. р -подгруппы Силова полкой линейкой группы // Изв. АН СССР. Се р. мат. - 1963. - Т.27, Ге 5. - С.Ю31-Ю54.

2. Залесский А.Е. Сверхразрешише и нильпотентные подгруппы простых аягебр // Докл. АН БССР. - 1963. - Т.7, № 12. -С.800-802.

3. Залеоский А.Е., Конюх B.C. Л - подгруппы Силова классических групп // Кет.сб. - IS76. - Т.101(134), й 2(10). - С.231-251.

4. Конюх B.C. Разрешимое линейные группы над произвольным полем // ВесШ АК БССР. Сер.ф1з.-мат.навук. - 1970. - В I. -

С.22-26.

5. Уалъиев А.И. О некоторых классах бесконечных раз ре rat,их групп // Ьат.сб. - 195I. - Т.28, Я 3. - С.567-568.

6. ЬЗзрзляков Ю.И. Линейные группы // Итоги науки и. техники. -Сер. Алгебра и топология. Геометрия / ВИНИТИ. - 1970. -

С.75-110.

7. Мерзляков Ю.И. Линейные группы // Итоги науки и техники. -Сер. Алгебра. Топология. Дюметркя / ВИНИТИ. - 1978. - T.I6. -С.35-33.

8. Платонов В.П. Разрешимые алгебраические группы // Докл. АН СССР. - Ю63. - Т. 151, » I. - U.48-51.

S. Платонов З.П. Доказательство гипотезы конечности для разрешимых подгрупп алгебраических групп // Сиб.мат.курн. - 1969. -Т.10, № 5. - C.IC84-I090.

10. Платонов В.П. Теория алгебраических линейных групп и перио-дкчгсгае группы // Изв. АН СССР. Сер.ют. - 1966. - Т.30,

& 3. - С.573-580.

11. Супруненко Д.А. Группы матриц. - М.: Наука, 1972. - 351с.

12. Супруненко Д.А. Локально нильпотентшс матричные группы над Произвольным полом // J&T.C6. - 1965. - Т.68, & 4. - С.614-622.

13. 2izon с,.'й. impotence Zoc-cti Nil pete псе of Linvna %ясар$ // Linea/i atyebna Ъ- Qppt.- 076,- v. /J, V%//c2,-p-

14« Kolchin Б.Н. On certain concepts in the theory algebraic matrix groups // Ann. of ¿!atb.-1S48.- Vol.49, H4.- Г.774-709. 15. Leedham-C-reen. C.H,, Plesken if. tJono remarks on Zyloiv subgroups of general linear groups// Math.Z.-1986.-Vol.1 91 P.529-535.

1б. Tits J. Free subgroups in linear croups // J. Algebra.-1972.-. Vol.20, II 2.- F.250-270.

Работы автора no темз дасозртации

17. Koincx B.C. О разрешимых линейных группах I// Зесц1 АН БССР. Сер.ф1з.-шт.навук. - 1975. - № 5. - С. 17-24.

18. Конюх B.C. К теории разрешишх линейных групп // Веси! АН БССР. Сер.фХз.-шт.навук. - 1975. - № 5. - С. 102-104.

19. Конюх B.C. О разрешимых линейных группах II /У Веси! АН БССР. Сер.ф1з.-шт.навук. - 1976. - JS 5. - С.5-13.

20. Конюх B.C. I/Етабелевы подгруппы полной линейкой группы // До1'л. АН БССР. - 1978. - Т. 12, Я 5. - С.389-392.

21. Локально нильпотентные линейные группы // Докл. АН БССР. -1984. - Т.28, Я 3. - С.197-199.

22. Неприводимые локально нильпотентные линейные группы. - Ш., 1984. - 34с. - (Препринт / АН БССР. Ин-т ¡¿атеттики:

Jfr I0CI85)).

23. Конюх B.C. О гипотезе конечности для разрешимых линейных групп // Весц1 АН БССР. Сер.ф1з.-шт.навук. - 1983. - # 4. -С.3-8.

24. Конюх B.C. Разрешите линейные группы над произвольным полем. - Ш., 1986. - 35с. - (Препринт / АН БССР. Ин-т математики:

В 12(248)).

25. Конюх B.C. р- подгруппы Сплова проективной линейной группы // Весц1 АН БССР. Сер.ф1з.-ыат.швук. - 1985. - Я 6. -

С.23-29.

26. Конюх B.C. О линейных р~группах // Весц1 АН БССР. Сер.ф1з,-ыат.навук. - 1987. - li I. - С.3-8.

27. Конюх B.C. О разрешимых подгруппах группы 6-L^'cP) // Becul АН БССР. Сер.ф1з.-шт.навук. - 1985. - й 6. - С.23-29.

28. Конюх B.C. Об индексе центра неприводимой нильпотентной линейной группы над полем рациональных чисел. - Ын., 1989. -19с. - (Препринт / АН БССР. Ин-т матештики: В 30(380)).

29. Конюх B.C. К теории локально нильпотентных линейных групп // Весц1 АН БССР. Сер.ф1з.-шт.навук. - 1989. - № 4. - C.8-II. •

30. Конюх B.C. Локально нкльпотентные линейные группы четной степени // Весц1 АН БССР. Сер.фЪз.-мат.кавук. - 1990. - В 3. -

С.10-13.