Генетика линейных групп и условия линейной представимости бесконечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Ведение

ГЛАВА 1. Генетика универсальных групп Шевалле стр 3 стр

§1. Генетика симплектических групп над коммутативными полуло

§3. Определяющие соотношения универсальных групп Шевалле над

ГЛАВА 2. Условия матричной представимости бесконечных групп

§4. Матричная представимость нильпотентных произведений групп

§5.0 группах, допускающих изоморфное представление матрицами над полями различной характеристики .стр кальными кольцами

§2. Предварительные сведения о группах Шевалле стр 18 стр коммутативными кольцами

В современной теории групп заметное место занимают группы преобразований—линейные группы и группы автоморфизмов различных алгебраических систем.

Диссертация посвящена изучению линейных групп.

Одним из важных направлений теории линейных групп является нахождение их порождающих множеств М и соответствующих им определяющих соотношений R. Пару (M\\R) иногда называют генетикой группы (см. [12])

Классическим объектом изучения в этом направлении являются универсальные группы Шевалле (г(Ф, R), здесь Ф — тип группы, R — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Произвольная группа Шевалле является гомоморфным образом универсальной группы Шевалле (?(Ф, R) соответствующего типа Ф с ядром из ее диагональной подгруппы Я(Ф, R), по этому определяющие соотношения универсальных групп Шевалле С(Ф, R) играют важную роль в изучении произвольных групп Шевалле.

В изучении этого вопроса существенным оказывается, что конгруэнц-подгруппа £(Ф, R, J), по модулю квазирегулярного идеала J <] R, фак-торизуется ее пересечениями с диагональной подгруппой Н{Ф, R), верхней и+(Ф, R) и нижней и~(Ф, R) унипотентными подгруппами. Факторизации конгруэнц-подгрупп Е(Ф, R, J) при различных ограничениях на пару (Ф, R) установили Е. Abe [35] и M.R.Stein [44], в общем случае факторизацию конгруэнц-подгрупп доказал В.М.Левчук ([15], теорема 2), на скрученные группы факторизационная теорема перенесена С.А.Зюбиным [10].

Другим направлением в изучении линейных групп является нахождение необходимых и достаточных условий представимости матрицами абстрактных бесконечных групп. На фундаментальное значение этих исследований обратил внимание в своей работе А.И. Мальцев [16]. Этим вопросам посвящены работы таких авторов, как М.И. Кар-гаполов [11], В.М.Копытов [13], Е.М.Левич [14], Ю.И.Мерзляков [19] [20], [21] В.Н.Ремесленников [26], Н.С. Романовский [27], В.С.Чарин [32], W. Magnus [48], R Swan [46] и др. Наряду с этими исследованиями особый интерес приобретают вопросы, связанные с нахождением условий, при которых те или иные теоретико-групповые операции не выводят из класса линейных групп. Так В.Л.Нисневич [23] показал, что свободное произведение линейных групп будет линейной группой,Ю.Г.Вапнэ [6] описал условия, когда сплетения линейных групп будут представимы матрицами над полем, а в работе [7] частично исследовал вопрос о матричной представимости нильпотентных произведений линейных групп.

Еще одним важным направлением является изучение строения линейных групп. Этой теме посвящена обширная литература (см. А.И. Мальцев [17], Ю.И.Мерзляков [21], Д.А.Супруненко [30], B.A.F.Wehrfritz [48] и др.) Классическим результатом является альтернатива Титса [47], утверждающая, что произвольная линейная группа G либо содержит свободную группу Fi, либо является расширением разрешимой группы при помощи линейной периодической.

В настоящей диссертации получены следующие результаты.

1) Показано, что определяющими соотношениями универсальных групп Шевале в исследуемом случае являются стандартные соотношения Стейнберга и соотношения вида u/p) ha(p) xa(t/p), где р = 1 + Ш, ш £ гас1 Я.

2) Дан критерий матричной представимости нилыютентных произведений конечно порожденных линейных групп. В общем случае, вопрос о матричной представимости нильпотентного произведения линейных групп сведен к вопросу матричной представимости нильпо-тентной группы, специально построенной по данному нильпотентному произведению.

3) Показано, что если группа С представима матрицами над полями различных характеристик и не содержит двупорожденной свободной группы то она почти абелева. В случаях, когда группа (? разрешимая или периодическая, приведены оценки индекса искомой абелевой подгруппы.

В исследовании применяются как стандартные методы теории групп, так и методы теории линейных групп и групп Шевалле. В частности, при исследовании матричной представимости бесконечных групп применяется метод расщепляемых координат, разработанный Ю.И.Мерзля-ковым (см. [19], [21]).

Основные результаты диссертации являются новыми. Диссертация носит теоретический характер.

Результаты диссертации докладывались на 25-ой ВНСК (Новосибирск, 1987 г.), на конференции по итогам научно-исследовательской работы за 2001-2002 учебный год (СибУПК, Новосибирск, 2002 г.), на Мальцевских чтениях (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2002 г.), на конференции ЭРЛАГОЛ-2003, на семинаре "Эварист Галуа" и опубликованы в работах [1, 2, 3, 4, 5].

Работа состоит из введения, двух глав, разбитых на пять параграфов и списка литературы, содержащего 48 наименований. Объем диссертации занимает 65 страниц. Нумерация утверждений включает последо

1. Брюханов О.В. Генетика симплектических групп над коммутативными локальными кольцами// Международная конференция по алгебре, посвященная памяти А.И.Мальцева (1909-1967) (Новосибирск, 21-23 августа 1989 г.)/ тезисы докл. по теории групп.

2. Брюханов О.В. Генетика симплектических групп над коммутативными полулокальными кольцами. // Анализ и дискретная математика, Межвузовский сб. Науч. тр., 1995, с.20-36

3. Брюханов О.В. Генетика универсальных групп Шевалле над некоторыми коммутативными кольцами.//Матем. Заметки, 1995, т.57, N 6, с. 814-826.

4. Брюханов О.В. О матричной представимости нильпотентных произведений групп// Международная конференция "Алгебра и её приложения". Красноярск, 5-9 августа 2002 г. Тезисы докл. с.23.

5. Брюханов О.В. Матричная представимость и строение групп.// "Алгебра и теория моделей 4", НГТУ, Новосибирск, 2003.

6. Вапнэ Ю.Г. О матричной представимости сплетений групп// Ма-тем.заметки,1970, т. 7, с.181-189.

7. Вапнэ Ю.Г. О матричной представимости нильпотентных произведений групп// Матем.заметки, т. 14, N 3, с.383-394,

8. Войтенко Т.Ю., Зюбин С.А., Левчук В.М. Определяющие соотношения обощенных конгруэнц-подгрупп// Вестник КГТУ: мат.методы и моделирование,— Красноярск: КГТУ, 2000, вып. 19, с. 14—18.

9. Головин О.Н. Нилыютентные произведения групп// Матем.сб. 1950, т. 27, N 3, с. 427-454.

10. Зюбин С.А. Факторизация некоторых подгрупп Стейнберга// Межвузовская научная конференция по теории групп (апр. 1998 г.). Тез.докл. Красноярск: КрасГАСА, 1998, с. 18.

11. Каргаполов М.И. О конечно порождённых линейных группах// Алгебра и логика, 1967, т.6, N 5, с. 17-20.

12. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. 3-е изд. М.: Наука, 1982.

13. Копытов В.М. О матричных группах//Алгебра и логика, 1968, т.7, N 3, с. 51-60.

14. Левич Е.М. О представлении двуступенно разрешимых групп матрицами над полем характеристики ноль// Матем.сб. 1970, т.81, с. 352-357.

15. Левчук В.М. Коммутаторное строение некоторых подгрупп Шевал-ле// Укр. мат. журн. 1992, т.44, N 6, с.786-795.

16. Мальцев А.И. Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами.// Матем.сб. 1940, т.8, N 3, с. 405-422.

17. Мальцев А.И. Избранные труды, т. 1: Классическая алгебра.-М.:Наука, 1976.

18. Мерзляков Ю.И. Вербальные и маргинальные подгруппы линейных групп// Докл.АН СССР. 1967, т. 177, N 5, с.1008-1011.

19. Мерзляков Ю.И. О матричном представлении автоморфизмов, расширений и разрешимых групп// Алгебра и логика. 1968, т.7, N 3, с. 63-104.

20. Мерзляков Ю.И. Целочисленное представление голоморфов полициклических групп // Алгебра и логика. 1970j т. 10, N 5, с. 539-558.

21. Мерзляков Ю.И. Рациональные группы.— М.: Наука, 1980.

22. Мерзляков Ю.И. Порождающие элементы и определяющие соотношения классических групп// Коксетер Г.С.М., Мозер У.О.Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. М.: 1980. с.230-237.

23. Нисневич B.JI. О группах изоморфно представимых матрицами над коммутативным полемД^атем.сб. 1940, т.8, N 3, с. 405-422.

24. Носков Г.А. Порождающие элементы и определяющие соотношения симплектических групп над некоторыми кольцами// Ма-тем.заметки. 1974, т. 16, N 2, с.237-246.

25. О'Мира О.Т. Лекции о симплектических группах. М.: Мир, 1979.

26. Ремесленников В.Н. Представление конечно порожденных метабе-левых групп матрицами// Алгебра и логика. 1969, т.8, с. 72-75.

27. Романовский Н.С. Базы тождеств некоторых матричных групп// Алгебра и логика, 1971, т. 10, N 4, с.401-406.

28. Смирнов Д.М. Об обобщенно разрешимых группах и их групповых кольцах// Докл.АН СССР, 1964, т. 155, N 3, с.535-537.

29. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М.: Мир, 1975.

30. Супруненко Д.А. Группы матриц.- М.гНаука, 1972.

31. Холл Ф. Условия конечности для разрешимых групп// Разрешимые группы и простые бесконечные группы. М.:Мир, 1981, с. 148-170.

32. Чарин B.C. К теории локально нильпотентных групп// Мат. сб. 1951. Т. 29(71), N 2, 433-454.

33. Шмелькин A.JI. Нильпотентные произведения и нильпотентные группы без кручения//Сиб.матем. ж., 1962, т.З, N 4, 625-640.

34. Шунков В.П. О проблеме минимальности для локально конечных групп//Алгебра и логика, 1970, т.9, N 5, с.579-615.

35. Abe Е. Chevalley groups over local rings//Tohoku Math.J.1969.V.21. N 3, p. 474-494.

36. Abe E., Suzuki K. On normal subgroups of Chevalley groupd over commutativ rings//Tohoku Math.J.1976.V.26. N 2, p. 185-198.

37. Abe E. Whitehead groups of Chevalley groups over Laurent polinomial rings, preprint 1988

38. Abe E., Morita J. Some Tits systems with affine Weyl groups in Chevalley groups over Dedekind domains// J.Algebra. 1988. V.115, N 2, P.450-465.

39. Abe E. Chevalley groups over commutative rings// Radical Theory, Proc. 1988 Sendai conference, Ushida Rokakoku Publ. Co.Tokyo, 1989. P. 1-23

40. Behr H. Eine endlich Präsentation der symplektischen Gruppe Sp2n(^)// Math. Z. 1975, V. 141, N 1, s.47-56.

41. Dennis R.K., Stein M.R. K2 of radical ideals and semi-local rings revisited// Algebraic /^-Theory II. Lecture Notes in Math. V. 342. Springer-Verlag, Berlin/New York, 1972. P.281-303.

42. Rehmann U. Präsentation von Chevalley Grüppen über kt. Preprint 1975.

43. Silvester J.R. On GLn of a semi-local rings// Algebraic i^-Theory I. Lecture Notes in Math. V. 966. Springer-Verlag, Berlin/New York, 1982. P.244-266.

44. Stein M.R. Generators, relations and covering of Chevalley groups over commutative rings// Amer. J. Math. 1971. V.93. N 4. P.965-1004

45. Stein M.R. Surjective stability in dimensions 0 for K2 related functional// Trans. Amer. Soc. 1973. V.178. N 4. 165-191.

46. Swan R. Representation of polycyclic groups// Proc. Amer. Math. Soc., 1967, V. 18. N 3. P.573-574

47. Tits J. Free subgroups in linear groups.^J.Algebra, 1972, 20, N 2, p. 250-270

48. Wehrfritz B.A.F. Infinite linear groups. — Berlin, 1973.