Подстановочные представления конечных простых групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

'9 0 з 9* ^ ■

Российская академия наук УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

Ч У к л н О В

Николам Александрович

ПОДСТАНОВОЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ПРОСТЫХ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Авторе фе р ат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург — 1992

Работа выполнена и Новосибирском государственном университете имени Ленинского комсомола.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор В. Д. Мазуров.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А. А. Махнев; кандидат физико-математических наук, доцент В. А. Устимснко.

Ведущее учреждение — Красноярский государственный университет.

Защита диссертации состоится 24 марта 1992 года и 15 часов на заседании специализированного совета К 002.07.02 и Институте математики н механики УрО РАН по адресу: 620066, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики н механики УрО РАН,

Автореферат разослан -О февраля 1992 г.

Ученый секретарь специализированнрго совета доктор физико-математических наук

А. С, Кондратьев

? (в. Р. 2. г-:зян

I Отдел ;Д>1СС6рТеЦМ'Я

Объявленная в 1981 году классификация-конечных простых групп, шзвсша противоречивые чувства и оценки. С одной стороны, многолетние усилия нескольких сотен математиков всего гшра, завершившиеся доказательством ооъемом более пяти тысяч журначьннх страниц и разбросанным по нескольким сотням работ, не монет не вгззатъ чувства восхищении. С другой стороны, у.о-тя полного доказательства еще никто не написал, с этил замечательным достижением научно!! мысли связано ощущение некоторой потери. Однако, несмотря на некоторые нрачныо предсказания теория коночных проспи групп продолжает свое развитие, хо'^я и произошло некоторой сглещечие интересов в дальнейших исследованиях.

Во-ггергнх, на первый план вндвинулаоъ заде'а более де-• гального изучения известных кокэ-шнх простых групп: описание ;тх максимальных подгрупп, катричнлх и подстаяово¡нчх представлений и так датее.

Во-вторых, в ведг ¿еспрсцодоНтности объема классчфпка-щюнного коказаюльстча, еще одним актуальным наараниеииэм з теории ксме'чшх простых гру-т становится точек нуте;' лэре-с.лотра клаосишкациг.

О''оп!:дно, гго г/1Ч1 основные направления гесно п:за"^ос:-я-запи ганцу собой, поскольку ¿гатяытся в некотором сшсю рэ-зизивй ^яассп^г.кз'чт.-

Что касается первого пункта, то основной работой в этом направлении, безусловно, следует признать следующую: "Атлас конечных простых групп" . Атлас соцеретт наиболее сатане характеристики-известных конечных проспи групп. Эта работа иачеко не полная, и еще не одно поколение ."атематккоп знелет в нее срою лепту.

Относительно второго пункта мо:шо сказать, что один из нуте!*, пересмотра глассиТпкашге преклонен З.Д.Мазуроьнм и А.Н.'Тоыкшм в работе Г 5] . Эго изучение миш:гадышх подстановочна: представлений конечных простых ^рупн, л.'0 есть под-итпношчннх пре.цстаач-знчй по подгруппам гг.шпгалъного индекса и овязатшх с ниш! 1"ра,'.ос.

Конечипе простые группы, особенно группы больших порядков, пзу'агат, как правило, исходя из какой-нибудь их гонкгет-ной реализации: катри-глого юш подстановоаюго иродстааленкй, и виде группы автоморфизмов некоторого комбинаторного объекта /графа, схемы, геог.-етрии л так далее/.

Хорошо известно, что для абстрактной группы (л к ее подгруппы И естеотвекншл образом оп,оделяется действие на шояеетве счеяогэс классов (и по Н . Чачу !епнуи таким образен группу подстановок чазнва.-я п сдстаелочном & но Н . Ута группа ггрм.:чтивна ь точное!л фогда, ко-да Н •• ¡"».кзг-малььая подгруппа & . Сллоелио прм.'И'тзннх групп „чу..- «-тел одной из ценгральькх проблем в тйочии гру,ш исдоталвок. .!">-этог.у наряду с изученчш » гч:чих-!<>ю х по.'.стаиово' шх ¡т^едс.'рв-леннй ьатоьм является и кзучэлие осгачышх.тгри. пред-

ставлений груши.

Первая глы а диссертации т.'осв^цзча вспогог-.т-'-я.-н.-да результатам и .апучеякд) всех прпт/таьяох ще^ст-чс :€>якй к-од и»>&

1

-з-

простой группы (2) . Конкретный выбор группы объясняется тем, что з работе [з] изучены примитивные представления; не-абелевых простых групп порядка меньше миллиона, а указанная втше группа одна из первых в списке прстнх групп, порядки ко-торпс превосходят миллион.

Основной подход состоит в следующем. Ранг подстановочного представления группы & на множестве смежных классов по подгруппе И совпадает с числом различных двойных смежных классов по Н в раз чсгае::ич группы б [ч] . Если & = = Ц* 1^X1 И - разложение группы 6 на двойные смежные классы по подгруппе /У , то подстановочное представление у> группы С на смежных классах (* / Н есть прямая сумма-подстановочных представлений , £*<>,... , к , подгруппы И ка смежных классах (я по Н , лежащих в одном двойном смекнем классе Л/аг; И , соответственно. Смежные классы из образуют орбиту ^ д.г„1 подгруппы // /подорбиту для £ /, 1*0,... к • Число сменных классов 6» пс // , лежащих в орбите называется псдстэпеяыс группы 6 . Предс-

тавление эквивалентна подстановочному представлешзо подгруппы // на смемах классах по подгруппе ^сНОх^Нхс • Следовательно,/=///.•<?£ | и ■ стобитазатор тпки из в подгруппе И И'1СМ0рф0-.1 .

Таким образом, изучение подст^лово них представлений сводится к определен-то пегзсечснЕЯ Ц(1х?Нх1 А"1' называемые сга'илызаторы дз>х то^ег. ь "р/пиз ¿т / я ияд?«сон

¿у группы яс^огвп.'-нг ~ олрз\$ло\г,' '

стабмлизото-т ДтУУЛ счок чс.г.'т^поло'ттг.'У. п.-одех-олзл»¿11; 1'Г' т■ ее п-'у^^т.иГм /яеогс чу всо^х/.

-и-

по подгруппам , . 2 ;

оказались дистанционно транзитивными, что полностью ооглаоу-этся с результатами работы .

С каждым подстановочным представлением группы £ на смежных классах по подгруппе // можно связать транзитивный граф /отметим, что здесь и в дальнейшем, под графом мы будем понимать граф без петель и крайних ребер/. Определяется такой граТ) следующим образом.

Пусть 61 - транзитивная группа подстановок на множестве ^ , /-Л/3 п , 4йЛ , Нл Сц - стабилизатор точки Л в группе & . Тогда множестве

Л разбивается в точности на Ч орбит / 1 - ранг представления/, относительно действия стабилизатора точки ^ :

-ГС. = ¿о Ы)-* ■ •. + ; ¿о причем

4и)*- ¿1 (Л) и ну-.» {(>,*) I уеЛ,^¿д-;]

Если 4 - некоторая нетривиальная орбита, тогда можно определить граф 2") с множеством вершин

Л и множеством рэбер А следующим образом: вершина Л соединена ребром с вершиной £ , если ££ ¿(4) . Еслл орбита & ' -симметрична, то есть, из того, что й(А) , следует, что .то граф Г Л) превращается в н о ориентир о-ванный граф.

Кавдэму такому графу соответствует' матрица смежности, отроки и столбцы которо.1 индексированы э челемтачот дэ -12. , гркчем на пересечении строки о( . и столбца стоит I или О в зависед.госщ от того, принадлежат ли Л орбите гли

нет.

Если группу С, ^ассыйтр.-гаать ке.к группу линейных преобразований ¡шплансного пространства ]/ , бш'.оп которого

являются элементы из Sl , то множество всех кошглекгннх мат-рщ размера л * п , поэлементно ког.мутттрующл;: с Gt , образует алгебру , которая называется централизаторной алгеброй группы Gi . Более того, матрицу сьежности, определенные относительно каждой из орбит > £, A±t ... } А^

образуют базис этой алгебры. Алгебра Л полупроста и позто-i.y ксжет быть разложена з прямую cym~f простых подалгебр. Б работе [ 2] указано, «то кратности простых яодалгебр в разложения алгебры еА разнч степеням неприводимых компонент подстановочного характера группы G .

Наконец, с алгеброй c/i связаны матрицы пересечений, которые впервые виол Д.лголан [ 14J . Они определяются базисом AotAit .. ■ j следующим образом:

где - подходящие целые неотрицательные числа,

целочисленные матрицы размера Ixt . 1'х за^юсть состоит в тем, что они полностью о]тредел;гпт кратности простых подалгебр в разложении алгебры Л и, следовательно, степени нгпрдподи-мнх компонент подстановочного дарейстера группы Gt

Иглшю эту связь использовал С.Нортон яр:: доказате.т:тг,е еляастввпиоста группы Флшера-Гриссс. Fi [2J .

Автором утазань; элементарные свойства матриц перрсо'лш'Л, а также установлено, что янчиологаю патриц п^ростюни" озодлт-сл к .опр^делонитз кндексоз стабилизаторов трех точек 2 еоотве.'-ствулциу ст^ялиааторпвс двух v© iqk чопотаново' ного npcAoi'äiv'"-ГП* ¡Т группы G\

Сi'f!(»o:iTo.,,:/io ¡'.-'туити liopscse 'CHK't ьо'-::о он, сд^гэть едоду." —

!:{уп "нагряну для г^я-л Г :

г. 1;~ртч1-1 Г на х oj^-Ri Ai .

i-0, ...,*-< - -•г'10 •••Г'." : :.:v. p:r< r* ^

2. Из кахг.оИ вершин и орбиты ¿1 выходит лу«,' ребер к вершинаи орбиты , где О * С^' £ 1-1.

Очевидно, что такие объекты очень удобны при изучении конечных простых групп, поскольку группа & действует тран-зитивно на вершинам я ребр&х графа и является подгруппой в группе автоморфизмов: С 5 Г.

Минималышм транзитивным графом конечной простой группы & назовем граф Г , удовлетворяющий следующим трем условиям:

1. & транзитивно действует на вершинах графя Г .

2. (» содержится в Ац1 Г в качестве единственного неразрешимого композиционного фактора.

3. При условиях I и 2 граф) Г имеет наименьшее число вершин.

Вторая глава диссертации посвяшена построению минимальных транзитивных графов конечных простых групп ранга 3. Вычислены матрицы пересечений и построены такие графы дл* груш лиевско-го типа 0^(5") • Ин(2) , $((2) . а также для спорадических групп Ji , Нй , Мс . Яи . $и2 , , Гс^ . Эти графы были известны ранее, поскольку указанные выше спорадические гр^ппн оыли построены исходя из годстачо-вочного представления ранга Я и соотвитствувктаго графа, как показано в работах [ 10-13, 15, 16, 18.7 . ■

Из 26 спорадических груш шнямалонке грздеклввцэ грг4м неизвестны для следующих, грулг. , ^ , £ , ¿Ц , J¡ ,

Д , . Со, .

В третьей главе автором построен .дшима'цш.е гряиалтйг.-ннв гргфи для спорадических групп Конвья Со. м (

Б работе [ 1"] изучено '.дательное псдстаноьочн-к» п^ед-

стазление грушш по подгруппе Uefá)-2. Оно имеет ранг

равный 3, и соответствующий эгому представлинтлэ граф тлеет следующую диаграмму:

а>

В этой же работе показано, что группа автоморфизмов этого гра*гсизоморфна труппе Cot . Таким образом, это мидгмалькый транзитивный граф группы Cot .

Как указывает Д.Горенстейл [2] , аналогичный подход воз-мотан, наверно, и в случае группы С Од . /втором эоущестызн . этот подход. Одним из основных результатов третьей главы является следующая

TF0FEMA I. Пусть - подстановочное представление

группы Coj на смежных классах по подгруппе Hf? , причем Ifoj : * IH78, тогда

1. J> имеет ранг равный пятя;

2. Дганн нетривиальна орбит Додстегени для группы Co¿ / равны 352, ТЮ0, 4125. £600;

3. Стабилизаторы двух точек представления J> соо~"етст-■?-.нчо изоморфны Üj(S)f , j

4. Подстановочный характер £ представления J> имеет , ¡яедувдее разложение на неприводимые компоненты:

% = T.s + 2?а -г 275л + 2024а + 8855а.

В ходе доказательства тесрамн с^ила вычислена матрица перс 'feimii зтого подстановочного представления, которая полно-ст х определяет степени ьеприводшч: характеров и дает для

378 567

Диаграмма I.

транзитиыют"о графа следующую диаграмму:

соответствующего представлению J3

352

175

iiA^II

«165165

!40

64

224® 64

Диеграига 2.

О

Следующим основным результатом третьей главы является ТЕОРЕМА 2. Граф Q яв^швтся минимальным транзитивнш графом группы Coj . Болаэтого,

Лчлеэ, для подстановочного представления группы Coi на сме\а;их классах по подгруппе Ca¿ аьтором построен транзитивный граф , име кидай следующую диаграмму:

Г7\ 46QU Ч1У

2025

23(30

Д'-ш'ра^ла 3.

Дсксзона. олзрую^а^ теоре:.:а:

TEGPEMA 3. Граф является минимальным транзитивным графом группы Coj . Более того,- AuL ^"'^Сох.

Все результаты получены автором самостоятельно. Для доказательства основных результатов использовались методы теории конечных групп, теории представлений, алгебраической комбинаторики. Все результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут быть использованы при дальнейшем изучении конечных простых групп.

Диссертация изложена на 70 страницах, состой' из введения ij- трех глав. Библиография содержит 24 наименования. Ьсе обозначения соответствуют Атласу конечных групп [ 9] .

Результаты диссертации догладывались на XI Всесоюзном симпозиуме по. теории групп /Свердловск, 1989/, на семинарах "Алгебра в логика", "Теория групп" р Новосибирском государственном университете /1988-1990/, на семинаре по теории групп при Институте математики и мехагаки УрО АН СССР /1991/, на Международной конференции по алгебре /'Барнаул, 1991/, на алгебраическом семинаре три Челябинском государственном университете /19°I/. Они опубликованы ь работах [ 20-24j .

Автор внрьлгет глубокую признательность своему научному руководителю профессору З.Д.Мазурову за,постоянное внимании и всестороннюю поддержку.

ЛИТЕРАТУРА

I. ПалнамЭ., Кто Т. Алгебраическая комбинаторика,- М.: •Лпр, 19Б7. - 371с.

?,. Горьнстейч Д. Конечные простые группы. - М.: Мир, 19°5. - 352с.

- ю-

t

3. Иванов A.A., Клин 1.1.X., фарэджев И.А. Примитивные представления неаоелевых простых групп порядка меньше 10^, часть I./

Москва, 1982. -40с.-^Препринт/ A4 СССР БНШСИj .

4. Иванов A.A., Фарадаез И.А. Синтез дистанционно транзитивных представлений конечной простой группы по ее таблице характер»' . - Москва, Т988. -35с.- (Препринт/ АН ССОР ВНИИСИ).

5. Мазуров Б.Д., 'Т?оютн А.Н. О конечных простых неабэлевгос группах// Мат. заметки. - 1933. - 34, Ж>. - С.821-824.

6. Мазуров Р.Д., Мазурова Н.П. Минимальное подстановочное представление группы Томпсона// Вопросы алгебры. - <\1инск, 1989. - >4. -C.II5-I23.

7. Холл '1. Теория групп. - M. : Ш, 1962. - 468с.

С. BonJ.j CoktnA.H; Сьу/xts И. «i*,upli ttkLeJ io HeêJ's Г}ючр // J. Afytíta. - "Ь. - с. ь-ге.

9. Conwaj J.H., Cuiili R.T., bailan S.Pol Set R.A., Wciiol' R-A. Alias ol jitilie gxoups.- Oxford: Cêateadm Р*еыг /9SS-. - гегс.

10. Сои wo^ J-H., WoêiS D.B. Co.níitichoa af ¿te

êùS в/ oxJex й£Г92б M ООО//J.Afytio.- W3.~ ¿7,

V Ъ. - с. Si%-S48.

a. faciei в./. Finite groups geietoíccl ¿y J-íiqns-pt»lUo*i //inweni.Hotft.-ÍOÍi^- C«l-W.......

Tüt. UQHM., Wah* D.&. jfa ilropk ^»op* Of> Oidei eqf,SOO//J. ÁC¡¡e¿4Q{%%.- 9,и/4.-СЛ/У-*50.

13. HijbQ* DG. r¿»iit pe\Mut*lioA ptupi of xonk М/ Noll. Z. - /Sfí.-Щ tí* . ■ c, HS- «S.

14. M¿^иа». O.G. JntciUcllOK mail'««) /«« /¿ni¿€ регнцЬс Uok jw/)í //J.Afyha.-/9Í4. - С, W. - с.

_ Ll-

15. Hy^on- D.G.y Cím« CA.C. Astfph дчо-'p of otJt* Ak 3Si O00 1/ tAolR. Z. - <9(,b.~ /05", ^2.- C. //0-//J.

16. HcLoug&Pln J. /} clmptc tjrcup of o*Jn malote// A £¡f»postUM Вюнег.-Уеиг /эйЭ. - С. /09-///.

17. £«¿¿8 FL. A ctciicieii zallan ofiAe . ЗСоин-о^ U»plt cjxoup//J.A¿¡)e(\a.-- 3/, W.- ¿ S/-//C.

18. Stizuh M. 4 síry>£e <jte«y> o^otJet ЩМГбоа// A Syrnp»*Llim Btauez.-'Mif /Э59,- C//1-//9.

19. Wlelandl H. FldíU pcirmtlal'tgx tjioups.- <Vzw - AcoJenic Р««м, /06^.

PaóoTii автора no теиз диссертации:

СО. Чуканов К.А. Примитивные представления группы -Q (2) // (I Зсес. ci-.тпозиум по творит групп: Тез. сообщ. - ¿зердловск, [9С9. - С.129.

21, Чукаков II. А. Матрицы пересечений и минимальные траи-гигивниа гра> конечных простых гругп ганга 3/ Сиб. г.:&т. журн. 'овоз; Зирск, 1990. - lie. - Рукопись деп. з Б;1ШШ1 5.11.90, ":564Г-В90.

22. Чукглов II.А.'Примитивные представления коночной прос-•■j'¿ группы ./ (J3<i. мат. яурн. Новосибирск, 1S9J. - Юс. -Ук.-лгоь д-зч. j 3:V:ITII 13.01,31, Ш2-29Т.

;-3. Чу f=jice Т'.А. 1,а1;;,::!ачы1чй транзитивный граг*< спордци-'f-exo': i-pyiriii Со$ / Cctí. чат. жури. Нозоо.бпрск, 1991. - 12с. -^ копись деч. в &:?Г.ТЛ 15.ОТ.91. т^-Ш. '

24. Чуканэз П.А. .лнс.-ачьннэ тр^.ззтнвшю ip&$4 спорадп-:t-.Cít:~: групп Со( и Св3 // ¡¿етдунар. í ireáp. конф.: Тез. cooífcw • Рроиаул, 1991. - 0.124.