Теория пересечений в пространствах мероморфных функций на комплексных кривых тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 512.272+515.173.2

I 1

Ландо Сергей Константинович

Теория пересечений в пространствах мероморфных

функций на комплексных кривых

Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва —

2005

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте Системных исследований Российской Академии наук

Официальные оппоненты: академик РАН, д.ф.-м.н. В. А. Васильев д.ф.-м.н. А. С. Мищенко д.ф.-м.н. С. М. Натанзон

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение

Математического института РАН им. В. А. Стеклова

Защита состоится 7 октября 2005 г. в 14:00 на заседании Диссертационного совета Д002.022.03 при Математическом институте РАН им. В. А. Стеклова по адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, д. 8

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института РАН им. В. А. Стеклова

Автореферат разослан 2005 года.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д002.022.03 доктор физико-математических наук

Н. П. Долбилин

л /У ? с? с

1. Общая характеристика работы 1.1. Актуальность темы

Задача Гурвица. Отправной топкой описываемых нами исследований послужила задача классификации разветвленных накрытий двумерной сферы. Пусть С, У — две связные ориентированные двумерные компактные поверхности. Непрерывное отображение / : С —► У, сохраняющее ориентацию, называется разветвленным накрытием, если

• в образе имеется конечное подмножество точек {¿х,..., £с}, такое, что над дополнением к этому множеству отображение / является накрытием;

• в некоторой окрестности каждой из точек и можно ввести комплексную координату и в некоторой окрестности каждого из ее прообразов можно ввести комплексную координату х таким образом, что отображение принимает координатный вид /(х) = хк при некотором натуральном к.

Ниже мы будем говорить в первую очередь о разветвленных накрытиях сферы и считать, что поверхность У гомеоморфна Б2.

Если отображение / : С —► ¿Т2 является разветвленным накрытием, то в окрестности любой точки поверхности С можно ввести комплексную координату х таким образом, что в подходящей комплексной координате в окрестности образа этой точки отображение записывается в виде /(х) = хк. Число к для каждой точки из С определено однозначно. Мы будем называть его порядком, или кратностью, точки относительно отображения /. Порядок точки равен числу близких к ней прообразов точки, близкой к ее образу. Порядок равен 1 в том и только в том случае, если ограничение отображения / на некоторую окрестность точки является гомеоморфизмом. Точка, порядок которой больше 1, называется критической точкой отображения /. Образ критической точки мы будем называть критическим значением, или точкой ветвления, отображения /. Как число критических точек, так и число критических значений разветвленного накрытия конечно. Над дополнением к множеству точек ветвления отображение / твденным

накрытием.

» «ШИОНА«. • . А « I

библиотека

Сумма порядков прообразов любой точки при разветвленном накрытии одинакова. Это общее значение называется степенью разветвленного накрытия. У некритического значения разветвленного накрытия степени п имеется п геометрически различных прообразов; число геометрически различных прообразов точки ветвления меньше, чем п. Набор порядков прообразов любой точки определяет разбиение числа п. Род накрывающей кривой, степень накрытия и порядки критических точек связаны между собой формулой Римана-Гурвица, которая является следствием формулы Эйлера для рода.

Два разветвленных накрытия /х : С\ —► 82, /2 : С2 —► 52 называются изоморфными, если существует гомеоморфизм К : С\ —► С% поверхности С\ на поверхность С2, такой, что /1 = /2 о Л, т.е. такой, что диаграмма

коммутативна.

Из определения непосредственно вытекает, что поверхности определения С\,С2 двух изоморфных разветвленных накрытий обязательно гомеоморфны, а степени накрытий совпадают.

Точки ветвления разветвленного накрытия играют очень существенную роль в классификации накрытий: у изоморфных накрытий множества критических значений совпадают. Более того, у изоморфных накрытий совпадают разбиения их степени над соответственными точками образа. Разумеется, интерес представляет только конечное число разбиений степени над точками ветвления. Мы будем называть этот конечный набор разбиений типом ветвления. Следующая задача была поставлена А. Гурвицем в 1891 г.

Сколько существует классов изоморфизма разветвленных накрытий с предписанными типами ветвления над предписанными точками ветвления?

Число классов изоморфизма разветвленных накрытий с данными типами ветвления называется числом Гурвица, отвечающим этим типам ветвления.

Приведенная формулировка задачи требует уточнения. На самом деле, нас будет интересовать не число классов изоморфизма накрытий, а

С\-Н--- С2

52

число таких классов, взятых с весом, обратно пропорциональным порядку группы автоморфизмов накрытия. (Определение изоморфизма накрытий превращается в определение автоморфизма в случае, если функции /ь/г совпадают. Например, у двукратного накрытия всегда есть автоморфизм порядка два: он меняет местами листы накрытия.) Однако, как правило, у накрытий нет нетривиальных автоморфизмов, так что модифицированная формулировка, по существу, совпадает с исходной.

За столетие, прошедшее с момента появления работ Гурвица, математики не раз обращались к поставленной им задаче, хотя до недавнего времени проявленное ими внимание нельзя было считать особенно пристальным. Однако последнее десятилетие привело к взрывному росту интереса к разветвленным накрытиям. У этого интереса было три независимых источника: двумерная квантовая хромодинамика и связанные с ней струнные теории, изучение подгрупп симметрической группы и исследование топологии дополнений к дискриминантам в различных функциональных пространствах. Интересно, что во всех трех случаях исследователи не знали о предшествующих работах Гурвица и переоткрывали его численные результаты.

Цель работы. Цель диссертации состоит в разработке геометрического подхода к решению задачи Гурвица. Этот подход является далеко идущим обобщением геометрического подхода В. И. Арнольда, примененного им в частном случае тригонометрических многочленов. Одна из центральных целей диссертации — установление связи между перечислением разветвленных накрытий сферы и имеющей важные естественно-научные приложения теорией пересечений на пространствах модулей комплексных кривых.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Как показано в первой главе диссертации, задачу Гурвица можно переформулировать в терминах подгрупп симметрической группы и в терминах графов, вложенных в накрывающую поверхность. Соответственно, она допускает как теоретико-групповые, так и чисто комбинаторные подходы к своему решению. Именно теоретико-групповыми методами действовал Гурвиц. Диссертация посвящена третьему пути, корни которого лежат в теории особенностей и алгебраической геометрии. Этот путь основывается на наблюдении В. И. Арнольда, согласно

которому подсчет классов изоморфизма разветвленных накрытий можно заменить подсчетом степени отображения Ляшко-Лойенги. Это отображение сопоставляет мероморфной функции на комплексной кривой набор ее критических значений. Как правило, оно является накрытием и понятие степени для него корректно определено.

В настоящее время именно этот путь выглядит наиболее плодотворным. Он связан с изучением геометрии пространств модулей мероморф-ных функций, в первую очередь, с теорией пересечений на таких пространствах. Полученные на этом пути результаты лежат на стыке топологии, математической физики, алгебраической геометрии, теории римановых поверхностей, комбинаторики и теории особенностей. Полученные результаты будут интересны специалистам в этих областях.

Методы исследования. Основу используемых в диссертации методов составляют методы алгебраической геометрии, точнее, теории пространств модулей комплексных кривых и их отображений. Кроме того активно используются методы локальной и глобальной теории особенностей, а также комбинаторики.

Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты и разработанные в ней методы уже привели к значительному прогрессу в вычислительных вопросах математической физики, связанных с построением моделей теории поля. На ее основе получено множество явных формул и эффективных алгоритмов для вычисления чисел Гур-вица и инвариантов Громова-Виттена более общего вида. Принципиальный характер носит геометрическая конструкция пространства Гурви-ца в виде конуса над пространством модулей кривых, которая коренным образом изменила подходы к изучению пространств обоих видов.

1.2. Исторический обзор

Результаты Гурвица. Задача Гурвица о перечислении классов изоморфизма накрытий сферы с заданными типами ветвления сформулирована им в 1891 году. Этой же задаче посвящена его работа 1902 года. В ней Гурвиц привел формулу для числа /го;*! классов изоморфизмов накрытий сферы сферой с одной вырожденной точкой ветвления, с данными порядками ветвления к\,...,кп над вырожденной точкой.

Формула Гурвица гласит

(Ail + ••• + *;„+ п-2)! Afcf' ,

" #Aut(fci,..-,fcn) П+ - + W (1)

Здесь #Aut(fci,..., kn) — число автоморфизмов набора к\,..., кп. Статья Гурвица не содержит доказательства формулы в силу, как там указано, его громоздкости. Предположительно Гурвиц доказывал свою формулу методами близкими к методам Гульдена и Джексона, см. ниже.

Затем к этой же задаче обращался Г. Вейль, однако в целом она была забыта до работ Медных. Возрождение интереса к задаче Гурвица связано с задачей вычисления коэффициентов связи в симметрической группе, с работами по струнной теории и двумерной квантовой хромо-динамике (Gross, Taylor (1994)), и с изучением дополнения к дискриминанту в пространствах версальных деформаций простых особенностей (Looijenga, Ляшко, Арнольд). Численные результаты Гурвица были при этом переоткрыты. Подход, основанный на теории особенностей, оказался новым и чрезвычайно плодотворным, и исследования автора были посвящены развитию именно этого подхода.

Работы Ляшко, Лойенги, Арнольда. Задача, которой независимо занимались Ляшко и Лойенга (1974), не тождественна задаче Гурвица. Эта задача состоит в изучении топологии дополнения к дискриминанту в пространстве версальных деформаций простых особенностей. В пространствах версальных деформаций можно рассматривать различные дискриминанты, и нас интересует тот из них, который состоит из функций с кратными критическими значениями. На связь этой задачи для особенностей серии А с задачей Гурвица для общих многочленов первым обратил внимание Арнольд; он же распространил (1996) технику отображения Ляппсо-Лойенги на общие тригонометрические многочлены (т.е. рациональные отображения с двумя полюсами произвольных порядков). Автор настоящей диссертации обнаружил связь задачи классификации общих тригонометрических многочленов с одним полюсом первого порядка с геометрией дополнения к дискриминанту в пространстве версальной деформации простых особенностей серии D. Описание этой связи приведено в четвертой главе диссертации.

Фактически, в работе Арнольда содержится — в частном случае двух полюсов — и идея продолжения отображения Ляшко-Лойенги на

мероморфные функции на вырожденных кривых. Сочетание этой идеи с идеей представления пространств мероморфных функций в виде конусов над пространствами модулей кривых лежит в основе результатов четвертой главы диссертации.

Работы Медных. А. Медных предложил формальное решение наиболее общей задачи Гурвица для фиксированного ветвления произвольного типа. Мы приведем его ответ для случая, когда род накрываемой поверхности равен нулю, т.е. для рассматриваемого нами случая мероморфных функций. Рассмотрим разветвленное накрытие степени К сферы римановой поверхностью рода д с с точками ветвления в образе, типы ветвления в которых заданы: X = {X},.,. ,ХС}, где

Обозначим через Т%-х число наборов перестановок типов Х\,..., Хс в группе вк, порождающих транзитивную подгруппу этой группы.

Теорема 1.1. Число классов изоморфизма мероморфных функций с типом ветвления X равно

где t = НОД(ти), V = Н0Д(зти), (М) = ЯОДМ), 4 =

а переменные суммирования ^ { пробегают все наборы этих индексов, удовлетворяющие условию

причем , отличны от нуля только для 1 < к < зт1В/£ и Функции ¡1 и Ф являются соответственно функцией Мебиуса и функцией фон Штернека.

Доказательство теоремы Медных основано на классической формуле Бернсайда. Как уже отмечалась, приведенная здесь формула не отражает геометрии задачи и ее удается довести до явного числового ответа лишь в незначительном числе простых случаев.

= 1т<1 ... Ктк, г = 1,..., с.

х

1<к<ати/1

Подход Гульдена и Джексона. Канадские специалисты по комбинаторике Я. Гульден и Д. Джексон получили целый ряд значительных результатов по перечислению разветвленных накрытий сферы. Подход Гульдена и Джексона к задаче Гурвица базируется на анализе рекуррентных соотношений для чисел Гурвица и на применении комбинаторной техники обращения Лагранжа. Указанные комбинаторные соотношения компактнее всего записываются в виде уравнений в частных производных на производящие функции для чисел Гурвица. Приведем одно из таких уравнений.

Рассмотрим производящую функцию

_. . ^ ^ #АуЛ(Х)и и» Ф(и,г;р1,р2,...)= А, -ю-Кх-л^Рх-

К,п> 1 XI-К '

9>0 1(Х)=п

Здесь X пробегает все разбиения числа К, 1(Х) = п есть число частей в разбиении X, ц = К + тг + 2д - 2, и для X — 1т1 ... Ктк имеем

„ „ТЩ „тК

РХ=Р\ --Рк ■

Лемма 1.2. Функция Ф удовлетворяет следующему уравнению в частных производных второго порядка:

дФ 1 V- Л- .. дФдФ дФ \

Это утверждение дает рекурсивный алгоритм для вычисления чисел Гурвица. Его доказательство основано на изучении следующих вариантов взаимоотношения между произвольной перестановкой тг б Эк и транспозицией <т £ Бк-

• и может переставлять два элемента из одного цикла перестановки тг, и в этом случае число циклов в па на единицу больше, чем в тг;

• а может переставлять элементы двух различных циклов в тг, и в этом случае число циклов в тг<т на единицу меньше, чем в тг.

Анализ этих вариантов для случая перестановки тг, отвечающей вырожденному критическому значению, и транспозиции сгс-\, отвечающей последнему невырожденному критическому значению, и дает нужные

рекуррентные соотношения. В некоторых случаях (например, для случая накрывающей поверхности рода 0) уравнение в частных производных удается заменить функциональным уравнением и воспользоваться теоремой обращения Лагранжа.

1.3. Структура работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, включающего 90 работ. В первой главе мы описываем связь задачи Гурвица с геометрией пространств модулей мероморфных функций на комплексных кривых, определяем основные понятия и приводим формулировки главных теорем. Во второй главе обсуждается отображение Ляшко-Лойенги и его свойства, выведенные в работах [2-6]. Третья глава, излагающая результаты работ [4,5], вторая из которых написана в соавторстве с Д. Звонкиным, посвящена классификации, с точностью до изоморфизма, многочленов с произвольным ветвлением над конечными точками. На языке перестановок это означает, что мы перечисляем наборы перестановок (я-!,..., 7гс), где перестановка жх циклическая и произведение 7Г1... 7гс является тождественной перестановкой. В этой главе описана стратификация пространства многочленов в соответствии с типами ветвления, приведено доказательство теоремы Ляшко-Лойенги для случая общих многочленов и ее обобщение на случал произвольных стратов.

В четвертой главе изучается геометрия пространств мероморфных функций на кривых рода д с единственным вырожденным критическим значением. Изложение следует работам [1,2,4], первые две из которых написаны в соавторстве с Т. Экедалом, М. Шапиро и А. Вайнштей-ном. В ней построены пополнения таких пространств, имеющие вид тотальных пространств конусов над компактифицированными пространствами модулей комплексных кривых с отмеченными точками. Затем показывается, что отображение Ляшко-Лойенги на пространстве мероморфных функций продолжается на пополненное пространство, причем продолженное отображение является морфизмом конусов. Это утверждение используется для выражения степени отображения ЛЛ в терминах теории пересечения на пространстве модулей кривых с отмеченными точками. Полученная формула обобщает перечислительный результат Гурвица для накрытий сферы сферой на накрывающие кривые старших родов.

Пятая глава посвящена исследованию теории пересечений на пространствах Гурвица с точки зрения глобальной теории особенностей. Она основана на совместной работе с Д. Звонкиным и более поздней работе [3] с М. Э. Казаряном, в которой результаты первой работы передоказываются новыми методами. Основным пространством в этой главе служит один из частных случаев построенных в предыдущей главе компактифицированных пространств мероморфных функций, а именно, пространство функций, не имеющих ветвления над бесконечностью. Любое пространство Гурвица вкладывается в пространство такого вида и образует в нем страт естественной стратификации функционального пространства по типам особенностей. Классы когомологий таких стратов порождают некоторое подкольцо кольца когомологий компактифицированного пространства Гурвица, причем знание структуры этого подкольца позволило бы вычислить и числа Гурвица. Для исследования этой структуры мы применяем методы глобальной теории особенностей (теории Тома-Казаряна). Мы выводим важные соотношения на классы стратов в кольце когомологий и вычислительные следствия из этих соотношений.

1.4. Апробация работы

В период с 1998 по 2004 год результаты диссертации докладывались и обсуждались

• на семинаре по теории особенностей под руководством академика РАН В. И. Арнольда на механико-математическом факультете МГУ;

• на семинаре по комплексному анализу под руководством академика РАН А. Г. Витушкина на механико-математическом факультете МГУ;

• на семинаре по топологии дискриминантов под руководством академика РАН В. А. Васильева в Независимом Московском университете;

• на семинаре отдела алгебры Математического института РАН им. В. А. Стеклова под руководством чл.-корр. РАН А. Н. Паршина;

• на заседании Московского математического общества;

• на семинаре по маломерной топологии Петербургского отделения Математического института РАН им. В. А. Стеклова под руководством профессора С. В. Дужина;

• на семинарах Института математики общества Макса Планка в Бонне (Германия);

• на семинаре под руководством профессора Уолша (Оксфорд, Великобритания) ;

• на коллоквиуме математического факультета университета г. Тулузы (Франция);

• на семинаре института математики г. Ренна (Франция);

• на международной конференции "Фундаментальная математика сегодня" (Москва, 2001);

• на международной конференции, посвященной 100-летию И.Г.Петровского (Москва, 2004);

• на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004);

• на семинаре института математики г. Стокгольма (Швеция);

• на семинаре математического факультета университета г. Цюриха (Швейцария).

1.5. Благодарности

Мне трудно переоценить вклад в эту работу моих соавторов по статьям, посвященным разветвленным накрытиям сферы: Д. Звонкина, В. В. Горюнова, М. Э. Казаряна, Т. Экедала, М. 3. Шапиро, А. Вайн-штейна. Большое влияние на работу оказали идеи, заложенные в работах В. И. Арнольда. Чрезвычайно полезными были беседы с Д. Загиром, А. К. Звонкиным, С. А. Кулешовым, С. М. Натанзоном, А. Г. Хованским, Г. Б. Шабатом и многими другими. В процессе работы над этой тематикой я пользовался гостеприимством университетов городов Ливерпуля, Стокгольма и Ренна, а также института математики общества

Макса Планка в Бонне, и я им очень благодарен. Мои исследования были поддержаны грантами РФФИ 01-01-00660, т\Ю-11ГВ11 047.008.005, ШТА8-00-259.

2. Содержание работы

Разветвленные накрытия двумерной сферы находятся в тесной связи с мероморфными функциями на комплексных кривых.

Мероморфная функция на гладкой комплексной кривой С — это голоморфное отображение / : С —► СР1 из этой кривой в комплексную проективную прямую. С топологической точки зрения каждая непостоянная мероморфная функция задает разветвленное накрытие двумерной сферы. Соответственно, для нее определены понятия степени, критической точки, точки ветвления. Критические точки мероморфной функции — это нули ее дифференциала

В обратную сторону связь осуществляется посредством следующего утверждения.

Теорема 2.1 (Риман). Пусть / : С —» £2 разветвленное накрытие двумерной сферы. Если на этой сфере выбрана какая-нибудь комплексная структура, то на С существует комплексная структура, относительно которой / является мероморфной функцией, и эта комплексная структура единственна.

Комплексная структура, существование которой гарантируется теоремой Римана, есть не что иное как комплексная структура, поднятая на накрывающую поверхность с накрываемой сферы.

Таким образом, при фиксированной комплексной структуре на 52, фиксированных точках ветвления и типах ветвления в них, классы изоморфизма разветвленных накрытий сферы с данными типами ветвления находятся во взаимно-однозначном соответствии с мероморфными функциями с указанными типами ветвления. Это означает, что задачу подсчета числа классов изоморфизма можно заменить задачей подсчета числа мероморфных функций с указанными типами ветвления. Эта последняя задача, в свою очередь, оказывается тесно связанной с геометрией пространств мероморфных функций.

Идея о связи задачи классификации разветвленных накрытий с геометрией пространства мероморфных функций восходит к В. И. Ар-

нольду. Арнольд связывает задачу классификации общих многочленов с более ранними результатами Ляшко и Лойенги о топологии дополнения к дискриминанту в пространстве многочленов.

У общего многочлена все отличные от бесконечности точки ветвления простые. Бесконечность является единственной непростой точкой ветвления, и у нее есть единственный прообраз. Дискриминант — это множество многочленов, у которых есть непростые конечные точки ветвления, т.е. множество необщих многочленов. Дискриминант является (вообще говоря, особым) подмногообразием коразмерности 1 в пространстве всех многочленов.

Замечание 2.2. Термин дискриминант будет далее означать как подмногообразие функций с теми или иными вырождениями, так и образующую идеала в кольце функций на пространстве функций, нулями которой это многообразие является. Подобное словоупотребление, к сожалению, стало стандартным. Мы будем всякий раз оговаривать, о чем именно идет речь, и надеемся, что такая двузначность не породит недоразумений.

Результаты анализа пространства многочленов Арнольд обобщает на случай общих тригонометрических многочленов на рациональной кривой, т.е. рациональных функций с одной вырожденной точкой ветвления, причем у этой точки в точности два прообраза, а все остальные точки ветвления невырождены. Как и в случае многочленов, существует естественное вложение подходящего накрытия пространства общих тригонометрических многочленов в комплексное векторное пространство. Последующий перенос результатов Ляшко и Лойенги на эту ситуацию позволяет найти решение задачи Гурвица для данного частного случая.

Несмотря на то, что полученные Арнольдом численные результаты по большей части являются частными случаями формулы Гурвица, предложенный им подход открывает принципиально новые возможности в задаче классификации мероморфных функций. Дальнейшее обобщение результатов Арнольда может идти по двум направлениям:

• изучение геометрии дополнения к дискриминанту в пространстве общих мероморфных функций на кривых произвольного рода с одной вырожденной точкой ветвления с произвольным типом ветвления над ней;

• исследование геометрии стпратпов дискриминанта и классификация многочленов, тригонометрических многочленов и произвольных мероморфных функций с произвольным ветвлением над конечными точками.

В идеале эти два направления должны были бы слиться, что привело бы к решению задачи Гурвица в полном объеме. Однако подобное решение еще не получено. В диссертации описан прогресс, достигнутый автором в обоих этих направлениях:

• исследована стратификация пространства многочленов подмногообразиями многочленов с предписанными особенностями;

• установлена связь между задачей Гурвица о перечислении классов изоморфизма разветвленных накрытий сферы и геометрией пространств модулей кривых;

• построено гладкое (в смысле орбиобразий) пополнение пространства мероморфных функций на комплексных кривых с предписанными порядками полюсов в виде тотального пространства некоторого конуса над пространством модулей кривых;

• установлен изоморфизм между построенным пополнением и пространством модулей стабильных мероморфных функций;

• разработаны методы исследования подкольца в кольце когомоло-гий компактифицированного пространства мероморфных функций, порожденного классами, двойственными подмногообразиям функций с предписанными особенностями;

• выведены первые нетривиальные соотношения между классами в этом кольце когомологий.

На основе этих результатов автором диссертации вместе с соавторами по опубликованным работам

• получены формулы для степеней ограничения отображения Ляшко-Лойенги на страты дискриминанта в пространстве многочленов;

• выведена формула обобщающая классическую формулу Гурвица, справедливую в роде 0, и выражающая число разветвленных накрытий сферы поверхностью произвольного рода с предписанным ветвлением над одной точкой через индексы пересечения некоторых классов в пространстве модулей кривых;

• получены новые явные перечислительные результаты в задаче Гурвица, в том числе для накрывающих кривых высоких родов.

Часть этих результатов вошла в монографию [6], написанную автором совместно с А. Звонкиным.

Замечание 2.3. К рассматриваемой классификационной задаче близка по формулировке задача классификации относительно следующего отношения эквивалентности: две мероморфные функции }\:С\—* СР1, /2 : С2 —» СР1 называются топологически эквивалентными, если существуют два гомеоморфизма /г : —* С2 и Л' : СР1 —> СР1, такие, что /2 о Л = Л' о /1, т.е. такие, что диаграмма

Сх л с2

Л1 1/2

СР1 Л' СР1

коммутативна. Другими словами, на множестве классов изоморфизма добавляется действие группы кос — фундаментальной группы дополнения к множеству критических значений в сфере Я2. Орбиты действия группы кос находятся во взаимно-однозначном соответствии с компонентами связности соответствующего пространства отображений.

Этой задаче также посвящено много работ (например, А. Звон-кина, Натанзона, Вайнриба), однако полученные в этом направлении результаты носят лишь частичный характер. Например, установлены некоторые простые достаточные условия для того, чтобы число классов равнялось 1 и классифицированы все многочлены до степени 11. По-видимому, эта задача намного сложнее предыдущей. Так, в случае мероморфных функций с тремя критическими значениями она тесно связана со структурой полной группы Галуа, что, вероятно, означает отсутствие у нее геометрически прозрачного решения.

2.1. Определения и формулировка основных результатов

Определения. Все рассматриваемые нами объекты (кривые, отображения и проч.) определены над полем комплексных чисел. Пусть СР1 — комплексная прямая с фиксированной точкой оо € СР1 на ней и фиксированной голоморфной координатой £ в дополнении к бесконечности.

Пусть С — гладкая компактная комплексная кривая. У кривой имеется род, который будет обозначаться через д. Кривая рода 0 будет называться также рациональной кривой, или сферой, а кривые рода 1 — эллиптическими кривыми. Прообразы точки оо относительно мероморфной функции / : С —► СР1 мы будем называть полюсами этой функции.

Критическую точку порядка 2 мы будем называть простой, а критическое значение, в прообразе которого лежит лишь одна критическая точка, причем она простая, будем также называть простым. Простые критические точки и критические значения мы будем также называть морсовскими. Обычно мы будем предполагать, что тип ветвления над бесконечностью фиксирован.

Многочленом на кривой С называется функция, у которой прообраз одной из точек состоит из единственной точки (в частности, кратность этого прообраза равна степени функции). Мы будем рассматривать многочлены лишь на рациональных кривых и предполагать, что точкой с единственным прообразом является бесконечность. Стратификация пространства многочленов на рациональной кривой и классы изоморфизма многочленов. Пусть / : СР1 —» СР1 — многочлен степени /х + 1. Считая прообраз точки оо бесконечностью на кривой-прообразе, мы можем выбрать на дополнении к этой точке в прообразе координату х таким образом, что многочлен / запишется в виде

/(*) = х11+1 + Р2Х»-1 + ■ ■ ■ + Р/1+1, й € С. (2)

При таком выборе координаты коэффициент при старшей степени переменной равен 1, а коэффициент при следующей степени обращается в нуль. Такой выбор координаты не единственный: замена х ь-> где С € С — корень степени //+1 из единицы, приводит к многочлену такого же вида.

Рассмотрим пространство V многочленов вида (2). Это пространство представляет собой /¿-мерное комплексное векторное пространство С наборов коэффициентов (р2, ■ ■ ■ 1).

Замечание 2.4. Структура векторного пространства, возникающая на пространстве V в результате его отождествления с пространством коэффициентов многочленов, естественна в следующем смысле. На пространстве V есть аффинная структура: через любую пару многочленов /г, /г можно провести прямую А/1 + (1 - Л)/2, А € С. Кроме того в нем имеется начало координат это единственный многочлен, инвариантный относительно замен 1н(1, = 1. Мы также интенсивно пользуемся естественными операциями прибавления константы к многочлену (задающей действие группы С комплексных чисел по сложению на V) и умножения многочлена на ненулевое комплексное число (задающей действие группы С* ненулевых комплексных чисел по умножению на V), т.е. действием группы аффинных преобразований образа.

Пространство V следующим образом стратифицировано в соответствии с типом ветвления многочлена.

Пусть уравнение /(х) = ¿о, ¿о £ С, имеет то корней кратности 1, т1 корней кратности 2, ..., тп^ корней кратности ц + 1. Другими словами, числа то,..., т^ задают разбиение числа ц +1: то + 2т 1 + Зтг + • • • + [ц + 1 )т.ц — /л+ 1; у этого разбиения то частей величины 1, 7711 часть величины 2, ..., тм частей величины /1 + 1. Такое разбиение мы будем записывать также в мультипликативной форме 1т° ... {ц + и обозначать через Простому критическому значению отвечает

разбиение Iм'

Пусть ¿1,..., <с — все критические значения многочлена р. Набор разбиений X = {Х^х),..., Х(£с)} будем называть паспортом многочлена р. Паспорт общего многочлена состоит из ц экземпляров разбиения 1/4-121.

Каждому набору разбиений X = {Х(^),... ,Х(£С)} мы сопоставим страт Ех С V в пространстве многочленов. Такой страт состоит в точности из всех многочленов с паспортом X. Группа С комплексных чисел по сложению действует на пространстве V прибавлением константы к многочлену. Каждый страт инвариантен относительно этого действия, и поэтому является цилиндром с одномерной образующей. Изоморфные многочлены имеют одинаковые типы ветвления, поэтому они принадлежат одному страту в пространстве многочленов.

Назовем вырожденностью разбиения X = 1т° ... (/х + величину А(Х) = 1 ■ т,1 + 2 • т,2 Н-----ц- т^.

Следующее утверждение впервые высказано Томом, однако в его доказательстве имеется ошибка, которая была затем исправлена Хованским и Здравковской.

Теорема 2.5. Пусть X = {.Хх,..., Хс} — множество разбиений числа ц+1. Страт £х непуст в том и только в том случае, если суммарная вырожденность всех разбиений Х( равна (л,

А(Х1) + --- + А(ХС) = ». (3)

В этом случае он является гладким комплексным подмногообразием в V комплексной коразмерности ц — с = (.А(.Х'х) — 1) -I-----1- (А(ХС) — 1).

Равенство (3) представляет собой частный случай формулы Рима-на-Гурвица, поэтому содержательным является лишь утверждение о непустоте страта при выполнении этого равенства.

Общие многочлены образуют открытый страт С

V. Это единственный открытый страт в V. Задача классификации общих многочленов решается теоремой Ляшко-Лойенги.

Теорема 2.6. Пусть ¿х,... — произвольный набор попарно различных точек комплексной плоскости. Тогда число классов изоморфизма многочленов с простыми точками ветвления £х,•• •, ^ равно (/х+1)'1-2.

Страт Ех называется примитивным, если лишь одно из разбиений Х{ необщее. Согласно теореме 2.5, такой страт однозначно определяется своим единственным необщим разбиением Х\: множество X состоит из разбиения Хх и ц — -А(Хх) экземпляров разбиения 1Й_121. Так, примитивными являются оба страта коразмерности один: страт Максвелла, отвечающий разбиению 1^-322, т.е. случаю двух простых критических точек с одинаковым критическим значением, и каустика, отвечающая разбиению 1'1_231, т.е. случаю двух слившихся критических точек. Примитивный страт, отвечающий необщему разбиению X, будем обозначать через (в индексе указано разбиение, а не паспорт).

Задача классификации многочленов, принадлежащих одному примитивному страту, решается простым обобщением результатов Ляшко и Лойенги. А именно, справедливо следующее утверждение, доказательство которого принадлежит автору настоящей диссертации.

Теорема 2.7 (см. [5]). Пусть ,. - -, ¿с — фиксированные точки ветвления с заданными типами ветвления Х\, 1А1_121,..., 1'1-121 над ними, причем ц — А{Х\) = с — 1. Тогда число классов изоморфизма многочленов с такими данными ветвления равно

0. + 1Г» (с-1)|

#Aut(A',);

где через #Aut(Xi) обозначено число автоморфизмов разбиения Х\ = jmo^i... + i)»"/', т.е. число тп0\... тп^..

Перенос этого результата на общий случай требует анализа взаимного расположения примитивных стратов, и здесь центральную роль играет следующее важное утверждение, принадлежащее автору настоящей диссертации.

Теорема 2.8 (см. [5]). При конечнократпном разветвленном накрытии пространства многочленов пространством их корней можно таким образом выбрать прообразы примитивных стратов, что их пересечение становится трансверсальным в общей точке, а отображение Ляшко-Лойенги в общей точке невырожденно.

Эта теорема в последующем легла в основу доказательства соотношений в кольце когомологий пространств рациональных функций.

Опишем теперь поведение отображения Ляшко-Лойенги на произвольных стратах. Сопоставим каждому паспорту X = {Хх,..., Хс} разбиение Т(Х) числа р в соответствии с кратностями критических значений многочленов этого страта: р = А{Х\) Ч----4- А(ХС). Символами

#А^(Х), #А^(Т(Х)), #Аи^Т(Хг)) обозначены числа эле-

ментов в группе автоморфизмов соответственно паспорта X, разбиения Т(Х), разбиения Хг и разбиения Т(Хг), отвечающего примитивному страту Ех,- В частности, для вырожденного разбиения Хг имеем Т(Хг) = А(Х{)1, для невырожденного разбиения Т(Хг) = в

первом случае #кхА{Х{) = (р — Л(Х,))! (автоморфизмы — это перестановки простых критических значений), а во втором #АиЬ(Х{) — р\. Доказательство следующей теоремы опирается на теоремы 2.7 и 2.8 и принадлежит автору настоящей диссертации совместно с Д. Звонки-ным.

Теорема 2.9 ([5]). Пусть t\,...,tc — фиксированные точки ветвления с заданными типами ветвления X = {Х\,Х2, ■ ■ ■ ,ХС} мад ними, удовлетворяющими условию (3). Тогда число классов изоморфизма многочленов с такими данными ветвления равно

Лх = (п + 1) #Aut(X) И #Aut(Xt) *

Пространства мероморфных функции на кривых произвольного рода и классы изоморфизма общих мероморфных функций.

Осуществленная Арнольдом в 1996 г. классификация общих тригонометрических многочленов, т.е. мероморфных функций на рациональной кривой с двумя полюсами, основывается на вложении пространства тригонометрических многочленов (точнее говоря, подходящего накрытия этого пространства) в векторное пространство. Этот подход допускает непосредственное обобщение на случай трех полюсов на рациональной кривой, однако в случае большего числа полюсов и кривых большего рода работать отказывается. Препятствие к переносу результатов Арнольда на более общий случай носит чисто геометрический характер: конфигурация из более чем трех точек на сфере и из произвольного числа точек на кривых большего рода имеет непрерывные модули.

Предложенный автором подход к преодолению этого препятствия базируется на следующем наблюдении: пространство мероморфных функций с п полюсами на кривых рода g расслоено над пространством модулей кривых рода gen отмеченными точками. Расслаивающее отображение сопоставляет каждой мероморфной функции кривую, на которой она определена, с отмеченными на ней полюсами этой мероморфной функции. В результате мы связываем задачу классификации с геометрией пространства модулей кривых, точнее с теорией пересечений на нем. Для придания смысла теории пересечений пространство модулей следует компактифицировать и соответствующим образом пополнить пространство мероморфных функций. Использование компак-тификации Делиня-Мамфорда позволило получить классификацию мероморфных функций с одним вырожденным критическим значением на кривых произвольного рода [1,2]. При изучении пространства рациональных функций автором была построена новая компактификация пространства модулей рациональных кривых с отмеченными точками. В отличие от компактификапии стабильными кривыми она негладкая,

однако она имеет то преимущество, что задается явно выписываемыми уравнениями в произведении проективных пространств [4].

Итак, мы фиксируем тип ветвления мероморфной функции на кривых рода g над точкой ос, т.е. порядки к\,... ,кп всех полюсов, и предполагаем, что все остальные точки ветвления простые. В дальнейшем под словосочетанием «критические значения» мы будем понимать лишь конечные точки ветвления функции. Множество таких ме-роморфных функций образует пространство комплексной размерности кп 4- п + 2д — 2, и, по формуле Римана-Гурвица, это число ц в точности равно числу конечных критических значений у любой такой функции. Выбор нумерации полюсов определяет накрытие кратности п! над пространством мероморфных функций. На тотальном пространстве этого накрытия действует аддитивная группа комплексных чисел С прибавлением к мероморфной функции константы. Выбором константы мы можем добиться того, чтобы сумма конечных критических значений функции равнялась нулю, поэтому пространство орбит этого действия естественно отождествляется с пространством мероморфных функций с нулевой суммой критических значений. Это последнее пространство мы обозначаем через Ti.g-tki,...,kn и называем пространством Гурвица. Пространство Гурвица связно. В частном случае, когда все точки ветвления, включая бесконечность, простые, это утверждение было доказано Люротом и Клебшем. На общую ситуацию его распространил Натанзон; комбинаторное доказательство можно найти у Хованского и Здравковской.

Отметим, что, согласно Дубровину, пространства Гурвица образуют серию примеров так называемых фробениусовых многообразий.

Пространство Гурвица расслоено над пространством модулей комплексных кривых с п отмеченными точками: расслаивающее отображение сопоставляет мероморфной функции кривую, на которой она определена, с п отмеченными на этой кривой полюсами. В дальнейшем мы будем считать, что отмеченные точки занумерованы; пространство модулей гладких кривых рода д с п занумерованными отмеченными точками обозначается через Л4д,п- Компактификация Делиня-Мамфорда Мдщ пространства модулей Мд;п является гладким орбиобразием. В четвертой главе мы доказываем следующее принадлежащее автору настоящей диссертации утверждение.

Теорема 2.10 (см. [2]). Существует естественное вложение пространства Гурвица 'Нд<к1,...,кп 6 качестве открытого всюду плотного подмножества некоторого конуса над пространством Мд-п.

Конструкция упоминаемого в теореме конуса весьма тесно связана с некоторыми векторными расслоениями над Мд>Т1. Нас будут интересовать в первую очередь линейные расслоения £\,... ,£п: слоем расслоения С{ в точке (С;х],...,хп) € М является кокасательная прямая к кривой С в точке Х{, а также тензорные произведения этих расслоений. Во-вторых, над этим многообразием есть расслоение Ходжа Ад;п, слоем которого в точке (С;х 1,...,хп) является пространство голоморфных дифференциалов на кривой С. Связь мероморфных функций с этими расслоениями основана на следующих наблюдениях.

Пусть Х{ — полюс первого порядка функции /. Главная часть рг функции / в точке хг определяет касательный вектор в этой точке: такому ростку сопоставляется линейное отображение

где 1-форма ш представляет кокасательный вектор. Аналогично, главная часть функции в полюсе порядка определяет &г-ую тензорную степень касательного вектора, т.е. элемент слоя расслоения (Верхним индексом V мы обозначаем двойственные векторные пространства и векторные расслоения.) С другой стороны, набор главных частей Р1,..., рп в отмеченных точках хх,..., хп на кривой С является набором главных частей некоторой мероморфной функции в том и только в том случае, если выполняется условие

Пеэ^рхш +----1- КезХпрпо; = О

для любой голоморфной 1-формы ш на С.

Другими словами, пространство Нд$и...,кп отображается в тотальное пространство расслоения главных частей порядков к\,...,кп в отмеченных точках над Л^3)П, и образ этого расслоения лежит в ядре отображения конусов, заданного как «сумма вычетов в отмеченных точках». Кроме того, построенное отображение является вложением, т.е. оно взаимно-однозначно на свой образ. Мы определяем пополнение Ид,к1,...,кп пространства Гурвица как замыкание образа этого вложения и доказываем следующее утверждение, принадлежащее автору настоящей диссертации.

Теорема 2.11 ([4]). Пополненное пространство 7íg-jtb...,fcn изоморфно как комплексное орбиобразие неприводимой компоненте, содержащей все отображения гладких кривых, в пространстве стабильных отображений комплексных кривых рода gen отмеченными точками в проективную прямую, таких, что все отмеченные точки переходят в общую точку оо, причем порядок отображения в i-ой отмеченной точке равен ki.

Здесь понятие «стабильное отображение» понимается в смысле Кон-цевича: отображение комплексной кривой стабильно, если его группа автоморфизмов конечна.

Теория конусов и их классов Сегре была построена Фултоном. Векторные расслоения являются частным случаем конусов, и полный класс Сегре векторного расслоения является обращением его полного класса Черна. Мы показываем, что число классов изоморфизма общих меро-морфных функций пропорционально (с известным коэффициентом пропорциональности) значению старшего класса Сегре конуса "Hg-ku...jkn над Mg¡n. Развивая методы Фултона, мы выражаем это значение через полные классы Черна расслоений >C¿ и A«¡n • Следующее утверждение было высказано в качестве гипотезы автором настоящей диссертации, а затем доказано им совместно с М. Шапиро.

Теорема 2.12 (см. [1,2]). Значение St0p(71g;ki,...,kn) старшего класса Сегре конуса 'Hg-,ki,...,kn фундаментальном классе базы равно

Здесь ci(£¿) - первый класс Черна расслоения Li, а с(Лд.п) = 1 — ci (Л9;п)+С2(Л9;п) —... - полный класс Черна расслоения, двойственного расслоению Ходжа. Отсюда вытекает

Теорема 2.13 ([1,2]). Число классов изоморфизма общих разветвленных накрытий римановой сферы кривыми рода gen полюсами порядков ki,. ■., kn с заданными точками ветвления равно

hg;ki,...,kn ~

(К + n + 2g — 2)! " v

#Aut(fci,...,fcn) п,

n^ Г с( Av.„)

Jm9.,n n?=i(i -XcHA))'

(4)

где К = к,1 + • • • + кп> а через #Ап1(к1,..., кп) обозначено число автоморфизмов набора (&!,...,&„).

Напомним, что классы изоморфизма считаются с весом, обратным числу элементов в их группе автоморфизмов. Числа /г^ мы будем называть числами Гурвица.

В частном случай отсутствия ветвления на бесконечности (к\ = ... = &„ = 1) теорема 2.13 была независимо обнаружена и доказана Р. Пандарипанде.

В работе Гульдена, Джексона и Вакила была высказана гипотеза, согласно которой в числа Гурвица /г^в качестве сомножителя входит сумма конечного числа однородных многочленов от к{. Следующее принадлежащее автору настоящей диссертации утверждение доказывает усиленный вариант этой гипотезы и позволяет прояснить структуру формулы (4).

Лемма 2.14 (см. [2]). Интеграл в формуле (4) является суммой однородных многочленов от ,..., кп степеней п + Зд — 3, ... ,п + 2д — 3 с рациональными коэффициентами.

Формула (4) задает принципиально новую вычислительную среду для подсчета чисел Гурвица. Основой этой вычислительной среды служит бурно развивающаяся в последние годы теория пересечений на пространстве модулей кривых. Одной из жемчужин этой теории является гипотеза Виттена. Эта гипотеза дает простые рекуррентные формулы для многочленов старшей степени, т.е. степени п+Зд—3, по ^ в интеграле и позволяет вычислить их, по крайней мере в принципе, сколь угодно далеко. Для случая рода д = 0 справедливость гипотезы была проверена самим Виттеном, и из нее непосредственно вытекает следующая явная формула для чисел Гурвица в роде нуль, совпадающая, естественно, с формулой Гурвица.

Теорема 2.15. Справедливо равенство

(К + п — 2)! А Ло*'~А'" #Аи•

В случае старших родов интеграл (4) содержит слагаемые, вычисление которых требует более развитой техники, и в настоящее время явное выписывание его значений возможно лишь в некоторых частных случаях. В то же время при д = 1 эти частные случаи позволяют пол-

ностыо выписать ответ, который в качестве гипотезы был высказан в статье Гульдена, Джексона и Вайнштейна и доказан автором настоящей диссертации совместно с А. Вайнштейном.

Теорема 2.16 (см. [2]). Справедливо равенство

........ - •

где ег = ег(к\,..., кп) — г-ая элементарная симметрическая функция от А:п.

Замечание 2.17. Концевич доказал гипотезу Виттена с помощью изящного и чрезвычайно глубокого по идеям рассуждения, не все звенья которого были, однако, строго обоснованы. Недостающее обоснование приведено в недавней диссертации Д. Звонкина. В (еще не опубликованной) работе Окунькова и Пандерипанде было получено доказательство гипотезы Виттена, основанное на использовании формулы (4) в обратном направлении: независимый способ подсчета чисел Гурвица приводит к вычислению значений интеграла в правой части. Если зафиксировать некоторое разбиение X числа К и рассмотреть разбиение .ЛГХ числа ИК, то при N —> оо старший член асимптотики интеграла в правой части определяется старшей однородной по кг компонентой. Эта компонента включает в себя интегралы, не содержащие классов с^ (Лэ;п) при з > 0, т.е. в точности индексы пересечения, описываемые гипотезой Виттена. Для вычисления же чисел Гурвица в левой части в работе Окунькова и Пандерипанде используется техника асимптотического анализа чисел вложенных графов.

Принципиальным вопросом, ждущим своего решения, однако, остается проблема доказательства гипотезы Виттена чисто алгебро-геоме-трическими средствами.

Стратификация пространства Гурвица функций, неветвящих-ся над бесконечностью. Обозначим через 719уП пространство меро-морфных функций степени п на кривых рода д, обладающих следующими свойствами:

• все полюса функций простые, т.е. мероморфная функция имеет п полюсов порядка один; кроме того мы предполагаем, что все полюса каждой функции занумерованы;

• сумма критических значений функции равна нулю.

В силу описанных выше результатов это пространство является гладким комплексным орбиобразием (или даже гладким комплексным многообразием, если g = О или п достаточно велико). Оно расслоено над пространством модулей Mg¡n комплексных кривых рода gen отмеченными точками: всякой мероморфной функции можно сопоставить кривую ее определения с п отмеченными полюсами.

Как указано выше, у пространства Нд,п есть пополнение, обозначаемое через 7íffiсостоящее из стабильных мероморфных функций. Его граница Hg¡n \ Н9>п состоит из стабильных функций, кривая определения которых особа (но которые являются предельными для семейств функций на гладких кривых), причем единственные допустимые особенности это узлы (точки простого двойного самопересечения). Проекция Нд<п Мд,п продолжается до проекции Нд<п Mg¡n пополненного пространства в пространство модулей стабильных кривых с отмеченными точками. Слои этой проекции — векторные пространства, поскольку линейная комбинация мероморфных функций с полюсами не выше первого порядка в отмеченных точках является функцией того же вида. Отметим, однако, что вообще говоря эта проекция не является векторным расслоением, поскольку размерность слоя может меняться от одной точки базы к другой. Послойная проек-тивизация РНд,п пополненного пространства Гурвица является компактным комплексным орбиобразием. Оно и будет служить далее нашим основным пространством модулей, а все остальные нужные пространства будут конструироваться на его основе. Допуская некоторую вольность речи, мы говорим ниже о многообразиях и подмногообразиях, имея в виду, что наши пространства являются на самом деле орбиобразиями и подорбиобразиями (т.е. устроены локально как факторпространства комплексного шара по модулю действия конечной группы).

На пространстве -P7íg,n, поскольку оно является проективизацией, естественным образом выделен класс вторых когомологий, а именно первый класс Черна тавтологического пучка, который мы обозначаем через ф = фд,п = С1(0(1)) € Н2(РНд,п).

С другой стороны, в этом пространстве есть подмногообразия, состоящие из функций с вырожденными ветвлениями. Согласно формуле Римана-Гурвица общая мероморфная функция степени п на кри-

вой рода д имеет 2п + 2д — 2 точки невырожденного ветвления (как в образе, так и в прообразе). Как и в случае многочленов, функции с меньшим количеством точек ветвления в сфере-образе образуют дискриминант в пространстве функций. Каждой точке ветвления в образе можно сопоставить разбиение числа п, представляющее собой (неупорядоченный) набор кратностей прообразов данной точки. Нам будет удобнее, однако, пользоваться приведенными разбиениями, т.е. наборами уменьшенных на 1 кратностей прообразов точек ветвления. Замыкание в РНдгП множества функций, имеющих ветвления предписанного типа, будет обозначаться через <таь...)ас, х'де индекс состоит из приведенных разбиений над точками вырожденного ветвления. Эти подмногообразия называются стратами дискриминанта. Так сг21 с РНд,п обозначает каустику, т.е. страт, состоящий из функций, у которых две точки ветвления в прообразе склеились вместе, а а]2 — это страт Максвелла, открытая часть которого состоит из функций, принимающих одинаковые значения в двух различных критических точках. Каустика и страт Максвелла — единственные страты (комплексной) коразмерности 1. Аналогично, страт <721д2, имеющий коразмерность 2, представляет собой замыкание множества функций с двумя вырожденными критическими значениями, над одним из которых имеется точка ветвления кратности 3, а над другим — две простые точки ветвления, и т.д. Число невырожденных критических точек (соответствующих приведенному разбиению I1) для общей функции данного страта легко вычисляется по формуле Римана-Гурвица. Для упрощения обозначений мы не включаем эти невырожденные приведенные разбиения, а также значения д и п, в обозначения стратов.

Каждый страт представляет собой комплексное подмногообразие чистой размерности в РНд,п, а значит определяет по двойственности Пуанкаре однородный элемент кольца когомологий Н*(Р"Нд^п). (Всюду ниже нас интересуют когомологии с рациональными коэффициентами, и мы опускаем это основное кольцо в обозначениях когомологий.) Степень этого элемента попросту совпадает с (вещественной) коразмерностью страта. Его произведение с дополнительной степенью класса ф есть просто рациональное число, которое, как мы уже видели, тесно связано с интересующим нас числом накрытий. Сформулируем наше общее наблюдение применительно к рассматриваемому случаю (результат автора настоящей диссертации).

Теорема 2.18. Имеет место равенство

h - lAut(<*b<*2,-••)!/_ ,Л\

nai,a2,— — . \Vai,a2,.:iY />

71:

где через |Aut(ai,a2,... )| обозначен порядок группы автоморфизмов множества приведенных разбиений, т.е. произведение факториалов чисел совпадающих разбиений, а угловые скобки обозначают, умножение в когомологиях пространства РН9,п.

Вообще говоря, кольца когомологий пространств модулей стабильных кривых и тесно связанных с ними пространств Гурвица очень сложны даже в случае рациональных кривых и функций (д = 0). Наш опыт подсказывает, однако, что все естественные геометрические классы, связанные с исчислением особенностей (а также мультиособенностей и мультимультиособенностей — это в точности классы, играющие центральную роль в задаче Гурвица), выражаются в терминах относительно простого набора «основных» (в некотором смысле тавтологических) классов. Наша цель — выделить эти основные классы, описать соотношения между ними, и найти выражения для стратов в терминах этих классов.

Начнем с результатов о числах Гурвица. Они получены автором настоящей диссертации совместно с М. Э. Казаряном.

Теорема 2.19 ([3]). Для рациональных (т.е. относящихся к случаю д = 0) чисел Гурвица имеют место следующие формулы:

h2i>2l = \ (27п2 - 137п + 180) п"-6

Л21 12 = 3 (Зп2 - 15п + 20) ~ 6Ч)! п"~6 1 11 v ' {п - 4)!

hX2X2 = 2 (2 п3 - 16 п2 + 43 п - 40) ^ П п"~6.

(п — 4)!

Эти формулы относятся к случаю мультимультиособенностей, т.е. ситуации, в которой ветвление невырождено над несколькими точками в сфере-образе. Для мультиособенностей, где ветвление вырождено лишь над одной точкой, рациональные числа Гурвица даются формулой Гурвица (1).

Доказательство этих результатов основано на некоторых соотношениях в когомологиях пространств Гурвица на классы, представленные стратами дискриминанта, и класс ф. Мы также активно используем класс 5 £ H2(PHgin), представленный функциями на особых кривых. Класс 6 очень близок к поднятию граничного класса в Мд!„ относительно проекции Нд>п —> Мд>п (они различаются на дивизор функций, имеющих один полюс на некоторой рациональной неприводимой компоненте, прикрепленной к другим компонентам в единственной точке). Значение последнего в геометрии пространств модулей стабильных кривых хорошо известно. Например, индекс максимального самопересечения этого класса представляет собой объем Вейля-Петерссона пространства модулей. Пространства Гурвица принципиально отличаются от пространств модулей кривых наличием еще одного естественного класса вторых когомологий, а именно, класса ф.

Отметим, что все приводимые в пятой главе результаты справедливы не только в кольце когомологий, но и в кольце Чжоу пространства РНд,п. Единственная причина, по которой мы говорим именно о когомологиях, состоит в том, что когомологические вычисления достаточны для предполагаемых вычислительных приложений.

Первые соотношения на классы стратов в кольцах когомологий пространств Гурвица были получены автором настоящей диссертации. Они выражают каустику и страт Максвелла в пространствах рациональных функций (д = 0) через граничный страт и класс ф:

<т21 = 6(n - 1)ф - 36 , <

£712 = 2(n-l)(n-6)V> + 4<5. W

В пятой главе мы приводим два вывода этих формул. Первый следует работе Ландо и Д. Звонкина Counting ramified coverings and intersection theory on spaces of rational functions I, math.AG/0303218, 25 pp. (2003) и основан на подсчете индексов пересечений стратов коразмерности 1 с базисным набором классов дополнительной размерности (кривыми). Второй способ, разработанный автором в работе Ландо и Каза-ряна [3], представляется значительно более перспективным. Он основан на глобальной теории особенностей и носит универсальный характер: он применим и к классам более высоких коразмерностей. Эти классы также подчиняются многочисленным соотношениям, которые более подробно описаны в основном тексте пятой главы, поскольку их описание требует дополнительных определений.

Основные результаты диссертации

Автором получены, опубликованы в открытой печати и изложены в диссертации следующие основные результаты:

• исследована стратификация пространства многочленов подмногообразиями многочленов с предписанными особенностями;

• доказана теорема о трансверсальности пересечения подходящих поднятий примитивных стратов в пространстве многочленов в пространство их корней и невырожденность поднятого отображения Ляшко-Лойенги;

• установлена связь между задачей Гурвица о перечислении классов изоморфизма разветвленных накрытий сферы и геометрией пространств модулей кривых;

• построено гладкое (в смысле орбиобразий) пополнение пространства мероморфных функций на комплексных кривых с предписанными порядками полюсов в виде тотального пространства некоторого конуса над пространством модулей кривых;

• установлен изоморфизм между построенным пополнением и пространством модулей стабильных мероморфных функций;

• разработаны методы исследования подкольца в кольце когомоло-гий компактифицированного пространства мероморфных функций, порожденного классами, двойственными подмногообразиям функций с предписанными особенностями;

• выведены первые нетривиальные соотношения между классами в этом кольце когомологий.

На основе этих результатов автором диссертации вместе с соавторами по опубликованным работам

• получены формулы для степеней ограничения отображения Ляшко-Лойенги на страты дискриминанта в пространстве многочленов;

• выведена формула обобщающая классическую формулу Гурвица, справедливую в роде 0, и выражающая число разветвленных накрытий сферы поверхностью произвольного рода с предписанным ветвлением над одной точкой через индексы пересечения некоторых классов в пространстве модулей кривых;

• получены новые явные перечислительные результаты в задаче Гурвица, в том числе для накрывающих кривых высоких родов.

Эти результаты также вошли в диссертацию.

Публикации автора по теме диссертации

1. Т. Ekedahl, S. К. Lando, М. Shapiro, A. Vainshtein, On Hurwitz numbers and Hodge integrals, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 328, 1175— 1180 (1999)

2. T. Ekedahl, S. K. Lando, M. Shapiro, A. Vainshtein, Hurwitz numbers and intersections on moduli spaces of curves, Invent, math. 146, 297327 (2001)

3. M. Э. Казарян, С. К. Ландо, К теории пересечений на пространствах Гурвица, Изв. РАН, сер. матем., по. 5, 82-113 (2004)

4. С. К. Ландо, Разветвленные накрытия двумерной сферы и теория пересечений в пространствах мероморфных функций на алгебраических кривых, УМН, 57, вып. 3, 463-533 (2002)

5. С. К. Ландо, Д. Звонкин, О кратностях отображения Ляшко-Лойенги на стратах дискриминанта, Функц. анал. прил., No. 3,178-188 (1999)

6. S. К. Lando, A. Zvonkin, Graphs on Surfaces and Their Applications, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 141, Low-Dimensional Topology II, xv+455 pp., Springer, Berlin (2004)

VI 5 4 66

РНБ Русский фонд

2006-4 13293

0.1 Разветвленные накрытия сферы

0.2 Исторический обпор

0.2.1 Задача Гурвица

0.2.2 Работы Ляшко, Лойенги, Арнольда

0.2.3 Работы Медных

0.2.4 Подход Гульдена и Джексона

0.3 Структура работы И

0.4 Благодарности •

1 Общие сведения о классификации разветвленных н а к р ы т и и и ф о р м у л и р о в к а основных т е о р е м

1.1 Классификация MepoMop(J)Hbix функций

1.2 Опроделе;ния и формулировка основных результатов

1.2.1 Онределения

1.2.2 Страти{}>икация нрост{)анства многочленов на рациональной кривой и классы изоморфизма многочленов

1.2.3 Г[рост1)анства мероморфных функций на кривыхпроизвольного рода и классы из().мор(}жзма общихмеромор<[)ных (1>ункций

1.2.4 Страти(1зикация пространства Гурвица функций,неветвящихся над бесконечностью

1.3 Другие интерпретации задачи класси(^)икации

1.3.1 Рапложение перестановок в произведение перестановок из данных классов сопряженности

1.3.2 Графы на поверхностях и кактусы, ассоциированные с мер()мор(})ными ({пункциями

1.4 Применения чисат Гурвица в физике

1.4.1 Инварианты Громова-Виттсна

1.4.2 Теория струн

2 Отображение Ляшко-Лойенги и его связь с классификацией

2.1 Определение и алгебраическая нриродаотображения Яяшко-Лойенги

2.2 Связь между классификацией и стененью отображения ЛЛ

2.3 О вычислении степени отображения ЛЛ

2.4 Трансверсальные и относительныетрансверсальные кратности

3 Пространства многочленов на рациональной кривой

3.1 Класси(}1икация много'ыенов общего положения

3.2 Примитивные страты

3.3 Вспомогательные отображения и вычисление куштностей

3.4 Трансве.рсальность пересечения примитивных стратов впрост1)анстве критических точек

4 Пространства Гурвица

4.1 Переход к общему ciy4aio. Примеры

4.1.1 Слузгай Арнольда: рациональные с{)ункции с двумяполюсами

4.1.2 Рациональные (1)ункции с тремя полюсами

4.1.3 Простые квалиоднородные особенности серии D

4.2 Пр)остранство модулей комплексных структур на кривыхрода y e n отмеченными точками и комнакти<}зикацияДелин>1-Мам(1я)рда

4.3 Расслоения над пространствами модулей и их классы ^1ерна

4.4 Вычисления

4.4.1 Случай рода О

4.4.2 Случай рода

4.5 Пространство Гурвица как конус над прострапством модулей кривых

4.5.1 Конусы и проективные конусы

4.5.2 Пространство обобн1;енных главных частей в точке

4.5.3 Конусы обобщенных главных частей

4.5.4 Расслоение Ходжа

4.5.5 Bv^ oжeниe пространства Гурвица в конус главныхчастей

4.6 Продолжение отображения Ляшко-Лойенгина пополнеипое пространство Гурвица

4.6.1 Вырождение нолюсов и стабильные отображения

4.6.2 Продолжение отображения ЛЛ

4.7 Старшие классы Сегре •

4.7.1 Классы Сегре расслоений и конусов

4.7.2 Классы Сегре конусов главных частей

4.7.;} Кратность отображения ЛЛ и классы Сегре 98Применение глобальной т е о р и и особенностей в т е о р и инересечения на н р о с т р а н с т в а х Гурвица

5.1 Страты коргшмерности в нространстверационсшьных функций

5.1.1 Когомологии пространства Гурвица рациональныхфункций

5.1.2 Вывод соотношений

5.2 Обш:ее нонятие степегш и сведенияил глобальной теории особенностей

5.2.1 Степень

5.2.2 Особенности, относительные классы Черна и универсальные многочлены

5.3 Особенности расслоенных отображенийс одномерными слоями

5.3.1 Локальные особенности

5.3.2 Характеристические классы особенностей

5.3.3 Остаточные многочлены для мультиособенностей

5.3.4 Остаточные многочленыдля мультимультиособенностей

5.4 Относительные классы '^ Гернауниверсального отображения

5.4.1 Теорема Гротендика-Римана-Роха

5.4.2 Относительные классы ^1ернауниверс:ального рас(июения

5.4.3 Гомоморс^лшмы нрямого обрала

5.4.4 Соотношения на классы когомологии в В

5.5 Применение универсгигьных многочленов кизу'юнию страти(})икании пространств Гурвица

5.5.1 Универсгшьные выражения для стратов

5.5.2 Степени с тратов рода О

5.5.3 О неизолированных особенностях

0.1 Разветвленные накрытия сферы Отправной то'п<ой описываемых нами исследований послужила задачаклассификации разветвленных накрытий двумерной сферы. Пусть С, Y— две связные ориентированные двумерные компактные поверхности.Непрерывное; отображение f : С —* Y^ соху а^няющее ориентацию, называется разветпвле.нным накрытием, если• в образе имеется конечное нодмножество точек {ti,..., tc}, такое,что над дополнением к этому множеству отображение / являетсянакрытием;• в некоторой окрестности каждой из точек ti можно ввести комплексную координату и в некоторой окрестности каждого из еепрообразов можно ввести комплексную координату х таким образом, что отображение принимает координатный вид f{x) = х''при некотором натуральном к.Ниже мы будем говорить в первую очередь о ргишетвленных накрытиях С([)еры и считать, что поверхность Y гомеомор([)на S^.Если отображение f : С —* S^ является рггзветвленным накрытием,то в окрестности любой точки поверхности С можно ввести комплексную координату .X таким образом, что в подходящей комплексной координате в окрестности образа этой точки отобрансение записываетсяв виде /(х) = х'^. Чисто к для каждой точки из С определено однозначно. Мы будем называть его порядком, или кратностью, точкиотносительно отображения /. Порядок точки равен числу близких кней npoo6p;i3OB точки, близкой к ее образу. Порядок равен 1 в том итолько в том случае, если ограничение отображения / на некоторуюокрестность точки является гомеомор(1^измом. Точка, порядок которой больше 1, называется критической точгсой отображения /. Образкрити^1еской точки мы будем называть крг1тическим значением, илит.очкой ветвления, отображения /. Как число критических точек, таки число К1)ит11'1еских значений разветвленного накрытия конечно. Наддополнением к множеству точек ветвления отображение / является неразветвленным накрытием.Сумма порядков прообразов любой точки при ралветвленном накрытии одинакова. Это общее значение называется степвушю разветвленного накрытия. У некритического значения разветвленного накрыG Введениетин степени п имеется 7i геометрически ралли'1ных прообргхлов; числогеометрически различных прообразов точки ветвления меньше, чем п.Набор порядков прообразов любой точки определяет разбиение числап. Род накрывающей кривой, степень накрытия и порядки критических точек связаны менсду собой фор)мулой Римана-Гур)вина, котораяявляется следствием с{)()рмулы Эйлера для рода.Из опредачения непосредственно вытекает, что поверхности определения Ci, C-i двух изомор<})ных разветвленных накрытий обязательногомеомор(1^ны, а степени нак1)ытий совпадают.Точки ветвления разветвленного накрытия играют очень существенную роль в классификапии накрытий: у изоморс})ных накх)ытий множества крити^1еских значений совпадают. Более того, у изомор<1л1ыхнакрытий совнадают разбиения их степени над соответственными точками образа. Разумеется, интерес представляет только конечное чисторазбиений степени над точками ветвления. Мы будем называть этотконечный набор разбиений типом вствлепил. Следующая задача быланоставлена Л. Гурвицем в [;i9]:Сколько существует классов изоморфизма разиетвленных накрытий с предписанными гттами ветвления над предписанными точкамиветвления'^Число классов изомор(1)изма разветвленных накрытий с дагн1ыми типами ветвления называется числом Гурвица, отвечающим этим тинамветвления.Приведенная 4)ормулировка задачи требует уточнения. На самомделе, нас будет интересовать не число классов изоморфизма накрытий,а число таких классов, взятых с весом, обратно пропорционгхльным порядку группы автоморфизмов накрытия. (Определение изоморфизманакрытий превр.'гщается в онределение автоморфизма в случае, еслифункпии /ь/2 совпадают. Например, у двукратного накрытия всегдаесть автомор<})изм порядка два: он меняет местами листы накрытия.)O.I Разветвленные накрытия 7Однако, как правило, у накрытий нет нетривиальных автоморфипмов,так что модифицированная ({формулировка, но сун1;еству, совпадает сисходной.За столетие, прошедшее с момента ноявления работ Гурвица, математики не рал обраш,ались к поставленной им задаче, хотя до недавнеговремени проявленное ими внимание нельзя было считать особенно нристальным. Однако последнее десятилетие привело к взрывному ростуинтереса к разветвленным накрытиям. У этого интереса было три независимых источника: двумерная квантовая хромодинамика и связанные с ней струнные теории, изучение подгрупп симметрической группыи исследование топологии донолнений к дискриминантам в различных([функциональных пространствах. Интересно, что во всех трех случаяхисследователи не знали о предшествующих работах Гурвица н переоти его численные результаты.Как будет показано в первой главе, задачу Гурвица можно нереформулих)овать в терминах нодгрупп симметрической группы и в тер.минахграфов, вложенных в накрываюшую поверхность. Соответственно, онадонускает как теоретико-групповые, так и чисто комбинаторные подходы к своему решению. Именно теоретико-групповыми методами действовал Гурвиц. Диссертацш! посвящена третьему пути, корни которого лежат в теории особенностей и алгебраической геометрирг. Этотпуть основывается на наблюдении В. И. Арнольда, corviaciio которомуподсчет классов изомор(1>изма р;1зветвленных накрытий можно заменить подсчетом степени отобрал'сения .Ляшко-Лойенги. Это отображение сопоставляет мероморфной функции на комплексной кривой наборее критических значений. Как правило, оно является накрытием и понятие степени для него корректно онределено.В настояш;ее время именно этот нуть выглядит наиболее нлодотворным. Он связан с изучением геометрии нространств модулей мероморфных функций, в первую очередь, с теорией пересечений на такихнростх)анствах. Полученные на этом пути результаты лежат на стыкетонологии, математической ({шзики, алгебраической геометрии, теорииримаповых поверхностей, комбинаторики и теории особенностей. Полученные результаты будут интересны снецигиистам в отих областях.Затем к этой же задаче обращался Г. Вейль [83], однако в целом онабыла забыта до работ Медных [63, 64, Cfj]. Возрождение интереса кзадаче Гурвица связано с задачей вычисления коэффициентов связи всимметрической грунне (см., нанример [41]), с работами но струннойтеории и двумерной квантов1)й хромодинамике ([36]), и с изучением доцолнения к дискриминанту в цространствах версальных дсг{)ормацийцростых особенностей ([58, 60, 3]). Численные результаты Гурвицабыли нри этом цереоткрыты (см. [10, 27, 2] и восстановление доказательства Гурвица в [77]). Подход, основанный на теории особенностей,окалгшся новым и чрезвычайно плодотворным, и в настоя1цей работемы описываем развитие именно этого подхода.0.2.2 Работы Ляшко, Лойенги, АрнольдаЗадача, которой независимо заним.члись Лягако и Лойенга [60, 58], нетождественна задаче ГУрвица. Эта задача состоит в изучении тоно.тогии дополнения к дискриминанту в нространстве версальных деформаций нростых особенностей. Ыы отсылаем читателя за всеми необходин^>IMИ определениями к [4]. В нространствах версальных де(}:)ормацийможно рассматривать различные дискриминанты, и нас интересует тотиз них, который состоит из функций с кратными критическими значениями. На связь этой задачи для особенности серии А с задачей Гурвица для общих многочленов нервым обратил внимание Арнольд [2]; он0.2 Исторический обпор 9же раснространил технику отобралсения Лящко-Лойенги на общие тригонометрические многочлены (т.е. рациональные отображения с двумянолюсами произвольных порядков). В главе; 4 настоящей работы нриведено также описание связи зада^ 1и класси(}шкации общих тригонометрических многочленов с одним полюсом первого порядка с геометриейдополнения к диск1)иминанту в пространстве версальной деформациипростых особенностей серии D.Фактичес;ки, в работе Арнольда содержится — в частном случаедвух полюсов — и идея продолжения отображения Ляшко-Лойенги намероморфные функции на вырожденных кривых. Эта линия была вдальнейшем продолжена в [25]. Сочетание этой идеи с идеей представления пх)остранс;тв меромор(11ных (})ункций в виде конусов над пространствами модулей кривых лежит в основе результатов главы 4 настояш,ей работы.Обозначим ч(;реп Тд-.х число наборов перестановок тинов A'l,..., А'^в группе S/v, норонсдающих транзитивную подгрунну птой грунны.Функции ц и Ф являются соответственно функцией Мебиуса и функцией фон Штернекп.Докадательство теоремы Медных основано на классической формуле Бернсайда. Как уже отмечалась, приведенная здесь 4)ормула неотражает геометрии зада'Ш и ее удается довести до явного числовогоответа лишь п незначительном числе нростых случаев, (один из которых рассмотрен в [57]).0.2.4 Подход Гульдена и ДжексонаКанадские специалисты но комбинаторике Я. Гульден и Д. Джексонполу'шли целый ряд значительных результатов но неречислению разветвленных накрытий сферы [27, 28, 29, 30, 31, 41, 42], Подход Гульдена и Джексона к задаче Гурвица базируется на анализе рекуррентныхсоотношений для чис(У1 Гу1)вица и на нрименснии комбинаторной техники обраш,енш[ Лагранжа. Указанные комбинаторные соотношениякомпактнее всего записываются в виде уравнений в частных производных на нроизводяшие ([зункции для чисел Гурвица. Приведем одно изтаких уравнений.Анализ этих вариантов для случая перестановки тг, отвергающей вырожденному критическому значению, и транспозиции CTC-I, отвечак)ш;ейпоследнему невырожденному критическому значению, и дает нужныерекуррентные соотношения. В некоторых случ^шх (например, для случ;1я накрывающей поверхности рода 0) уравнение в частных производных удается заменить ([)ункциональным уравнением и воспользоватьсятеоремой обращения Лагранжа. Именно так выглядит в [27] доказательство ({эормулы Гурвица (1).0.3 Структура работыв первой главе мы онисываем свтгзь задачи Гу1)вица с геометрией пространств модулей MepoMoptJiHbix (1)ункций па комплексных кривых, определяем основные понятия и приводим ([формулировки г-1авных теорем.Во второй главе обсуждается отображение Ляшко-.Яойенги и его свойства. TpeTbJt глава, излагающая результаты [55, 53], nocBitmeHa класси4)икации, с точностью до изомор(}^изма, многочленов с произвольнымветвлением над конечными точками. Па языке перестановок это означает, что мы перечисляем наборы перестановок (TTI,-•-JTTC), где перестановка 7Г1 циклическая и произведение TTI . . . тгс является тождественной перестановкой. В этой главе описана стратификация пространствамногочленов в соответствии с типами ветвления, приведено доказательство теоремы Ляншо-Лойенги для случаи общих многочленов и ее обобщение на случай произвольных стратов.В четвертой главе изучается геометрия пространств меромор({5ных(}1ункций на к^)ивых рода (j с единственным вых)ожденным К1)итическимзначением. Изложение следуе;т [15, 1G, 53]. В ней построены нонолнения таких пространств, имеющие вид тотгиьных пространств конусовнад комнакти(1)ицированными нространствами модулей комплексных12 Введениекривых с отмеченными топками. Затем показывается, что отображение Ляшко-Лойенги на пространстве мероморфных функций нродолжаетсл на пополненное пространство, причем продолженное отображение является Mop(J5H3MOM конусов. Это утверждение используется длявыражения степени отображения ЛЛ в терминах теории пересеченияна пространстве модулей кривых с отмеченными точками. Полученнаяформула обобща(!т перечислительный результат Гурвица для накрытийсферы сферой на накрывающие кривые старших родов.Пят.'ш глава посвящена исследованию теории нересечений на пространствах Гурвина с точки зрения глобальной теории особенностей.Она основана на работах [56], [48]. Основным пространством в этойглаве служит один из частных случаев построенных в нредыдущеи главекомпактифицированных пространств мероморфных ({зункций, а именно,пространство функций, не имеющих ветвления над бесконечностью.Любое нространство Гурвица вкладывается в нространство такого видаи образует в нем страт естественной страти(}жкации г|)ункциональног()пространства но типам особенностей. Классы когомологий таких стратов порождают некоторое подкольцо кольца когомологий компактифицированного пространства Гурвица, причем знание структуры птогоподкольца позволило бы выгаслить и '1исла Гурвица. Для исследованияэтой структуры мы применяем методы глобальной теории особенностей (теории Тома-Казаряна). Мы выводим важные соотношения наклассы стратов в кольце когомологий и вычислительные следствия изптих соотнощсний.0.4 БлагодарностиМне трудно нереоценить вклад в эту работу моих соавторов по статьям, посвященным развс!твленным накрытиям ccjiepbi: Д. Звонкина,В. В. Горюнова, М. Э. Кггзаряна, Т. Экед;1ла, М. 3. Шапиро, Л. Вайнштейна. Больщое влияние на работу оказали идеи, з;итоженные в рабоT.'ix Б. И. Арнольда. ^Трезвычайно полезными были беседы с Д. Загиром,Л. К. Звонкиным, А. Кулещовым, JVI. Натанзоном, А. Г. Хованскими многими другими. В процессе работы над этой тематикой я пользов<1лся гостеприимством университетов городов Ливерпуля, Стокгольмаи Ренна, а также института математики общества Макса Планка вБонне, и я им очень благодарен. Мои исследования были ноддержаныгрантами РФФИ 01-()l-0flG6(), NWO-RFBR. 047.008.005, INTAS-00-259.

1. Е. Arbarello, М. Cornalba, P. A. Griffiths, and J. Harris, Geometry of Algebraic Curves, Springer (1984)

2. В. И. Арнольд, Топологическая классификация тригонометрических многочленов и комбинаторика графов с равным числом вершин и ребер, Функц. анал. прил., 30, No. 1, 1-17 (1996)

3. В. И. Арнольд, Критические точки функций и классификация каустик, УМН, 29, No. 3, 243-244 (1974)

4. В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде, Особенности дифференцируемых отображений, т. 1, М., Наука (1982)

5. I. Berstein, A. L. Edmonds, On the classification of generic branched coverings of surfaces, Illinois J. Math., 28, No. 1, 64-82 (1984)

6. D. Bouya, A. K. Zvonkin, Topological classification of complex polynomials: New experimental results,http://dept-infо.labri.u-bordeaux.fr/~zvonkin

7. A. Clebsch, Zur Theorie der Riemann'schen Fliichen, Math. Arm., 6, 216-230 (1873)

8. M. Crescimanno, W. Taylor, Large N phases of chiral QCD2, Nuclear Phys. B, 437, no. 1, 3-24 (1995)

9. P. Deligne, D. Mumford, The irreducibility of the space of curves of given genus. Inst. Hautes Etudes Sci. Puhl. Matli., No. 36, (1969) 75109.

10. I. Dolgaehev, D. Ortland, Point sets in projective spaces and theta functions, Asterisque,no. 165, Soc. Math. France, Paris (1988)

11. B. A. Dubrovin, Geometry of 2D Topological Field Theories, in: Lecture Notes in Math., 1620, Springer, Berlin, 120-348 (1996)

12. A. L. Edmmonds, L. S. Kulkarni, R. E. Strong, Realizability of branched covers of surfaces, Trans. Arner. Math. Soc., 282, 773-790 (1984)

13. T. Ekedahl, S. K. Lando, M. Shapiro, A. Vainshtein, On Hurwitz numbers and Hodge integrals, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 328, 1175-1180 (1999)

14. T. Ekedahl, S. K. Lando, M. Shapiro, A. Vainshtein, Hurwitz numbers and intersections on moduli spaces of curves, Invent, math. 146, 297327 (2001)

15. M. El Marraki, N. Hanusse, J. Zipperer, A. Zvonkin, Cacti, braids and complex polynomials Seminaire Lotharingien de Cornbinatoire, vol 37 (1997) http://cartan.u-strasbg.fr/~slc

16. C. Faber, R. Pandharipande, Hodge integrlas and Grornov-Witten theory, Invent. Math., 139, 173-199 (2000), rnath.AG/9810173

17. C. Faber, R. Pandharipande, Hodge integrals, partition matrices, and the Xg-conjecture, Ann. of Math. (2), 157, no. 1, 97-124 (2003)

18. C. Fantechi, R. Pandharipande, Stable maps and branch divisors, Com-positio Math., 130, no. 3, 345-364 (2002), math.AG/9905104

19. M. Fried, R. Biggers, Moduli spaces of covers and the Hurwitz rnon-odromy group, J. Reine Angew. Math., 335, 87-121 (1982)

20. W. Fulton, Intersection Theory, 2nd edition, Springer (1998) Русский перевод первого издания: В. Фултон, Теория пересечений, М., Мир (1997)]

21. М. Ginsti, Classification des singularites isolees simples d'intersections completes, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 40, Part 1, 457-494 (1983)

22. В. В. Горюнов, Особенности проектирований полных пересечений, в: Современные проблемы математики, 22, Итоги науки и техники, ВИНИТИ, М., 167—206 (1983)

23. V. Goryunov, Functions on space curves, J. London Math. Soc. (2), 61, 807-822 (2000)

24. V. Goryunov, S. K. Lando, On enumeration of mesomorphic functions on the line, in: The Arnoldfest, Fields Inst. Cornrnun., vol. 24, AMS, Providence, RI, 209-222 (1999)

25. I. P. Gonlden, D. M. Jackson, Transitive factorisation into transpositions, and holomorphic mappings on the sphere, Proc. AMS, vol. 125, No. 1, 51-60 (1997)

26. I. P. Goulden, D. M. Jackson, The combinatorial relationship between trees, cacti and certain connection coefficients for the symmetric group, Europ. J. Combinatorics, vol. 13 357-365 (1992)

27. I. P. Gonlden, D. M. Jackson, A proof of a conjecture for the number of ramified coverings of the sphere by the torus, J. Combin. Theory Ser. A, 88 246-258 (1999)

28. I. P. Gonlden, D. M. Jackson, A. Vainshtein, The number of ramified coverings of the sphere by the torus and surfaces of higher genera, Annals of Combin., 4, 27-46 (2000)

29. I. P. Goulden, D. M. Jackson, R. Vakil, The Gromov-lVitten potential of a point, Hurwitz numbers, and Hodge integrals, Proc. London Matli. Soc. (3), 83, 563-581 (2001)

30. A. Goupil, G. Schaelfer, Factoring n-cycles and counting maps of given genus, Enrop. J. Conibinat., 19, No. 7, 819-834 (1998)

31. T. Graber, R. Pandharipande, Localization of virtual classes, Invent. Math., 135, 487-518 (1999)

32. T. Graber, R. Vakil, Hodge integrals and Hurwitz numbers via virtual localization, Cornpositio Math., 135, no. 1, 25-36 (2003), math. AG /0003028

33. Ф. Гриффите, Дж. Харршс, Принципы алгебраической геометрии, М., Мир (1982)

34. D. Gross, W. Taylor, Тгио-dimensional QCD is a string theory, Nuclear Phys В., 400, 181-210 (1993)

35. Дж. Харрие, Я. Моррисон, Модули кривых, М., Мир, Научный мир (2004)

36. J. Harris, D. Mumford, On the Codaira dimension of the moduli space of curves, Invent. Math., 67, 23-88 (1982)

37. A. Hurwitz, Uber Riemann'sche Fliichen mit gegebenen Verzwei-gungspunkten, Math. Ann., 39, 1-61 (1891)

38. A. Hurwitz, Uber die Anzahl der Riemann'schen Flcichen mit gegebenen Verzweigungspunkten, Math. Ann., 55, 53-66 (1902)

39. D. M. Jackson, Some combinatorial problems associated with products of conjugacy classes of the symmetric group, J. Combinatorial Theory, 49, 363-369 (1988)

40. D. M. Jackson, Counting cycles in permutations by group characters, with an application to a topological problem, Trans. Axner. Math. Soc., 299, 785-801 (1987)

41. S. Keel, Intersection theory of moduli space of stable n-pointed curves of genus zero, Transaction of the American Mathematical Society, vol. 330 (1992), no 2, 545-574.

42. M. Э. Каларян, Мулыпиособеппостпи, кобордизмы и перечислитель-пая геометрия, УМЫ, 58, вып. 4, 665-724 (2003)

43. М. Е. Kazaryan, Morin maps and their characteristic classes, preprint (2002)

44. M. E. Kazaryan, Classifying spaces of singularities and Thom polynomials, in: New developments in singularity theory, NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chern., 21, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 117-134 (2001)

45. M. Э. Каларян, Относительная теория Морса одномерных слоений и циклические гомологии, Функ. Анал. и Прилож., 31 вып. 1, 20-31 (1997)

46. М. Э. Каларян, С. К. Ландо, К теории пересечений на пространствах Гурвица, Изв. РАН, сер. матем., по. 5, 82-113 (2004)

47. A. G. Khovansky, S. Zdravkovska, Branched covers of S2 and braid groups, J. of Knot Theory and its Ramifications, 5, No. 1, 55-75 (199G)

48. M. Kontsevich, Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix Airy function, Comm. Math. Plxys., 147, 1-23 (1992)

49. M. Kontsevich, Enumeration of rational curves via torus action, in '"The Moduli Space of Curves", R. Dijkgraaf a.o. eds., Birkhauser, 335308 (1995)

50. M. Kontsevich, Yu. I. Manin, Grornov-Witten classes, quantum coho-mology, and enumerative geometry, Comm. Math. Phys, 164 525-562 (1994)

51. С. К. Ландо, Разветвленные накрытия двумерной сферы и теория пересечений в пространствах мероморфных функций на алгебраических кривых, УМН, 57, вып. 3, 463-533 (2002)

52. S. К. Larulo, А. К. Zvonkin, Graphs on Surfaces and Their Applications, with an Appendix by D. Zagier, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 141, xv+455, Springer, Berlin (2004)

53. С. К. Ландо, Д. Звонким, О кратностях отображения Ляшко-Лойенги на стратах дискриминанта, Функц. анал. прил., No. 3, 178-188 (1999)

54. S. К. Lando, D. Zvonkine, Counting ramified coverings and intersection theory on spaces of rational functions I, math.AG/0303218, 26 pp. (2003)'

55. A.-M. Li, G. Zhao, Q. Zheng, The number of ramified coverings of a Riemann surface by Riemann surface, Comm. Math. Phys., 213, 685696 (2000)

56. E. Looijenga, The complement of the bifurcation variety of a simple singularity, Inv. Math., vol. 23, 105-116 (1974)

57. J. Liiroth, Note uber Verziueigungsschnitte und Querschnitte in einer Riemann'sche Fldche, Math. Ann., 4, 181-184 (1871)

58. Yu. Manin, P. Zograf, Invertible cohomological field theories and Weil-Petersson volumes, Arm. Inst. Fourier (Grenoble), 50, no. 2, 519-5352000)

59. А. Д. Медных, Определение числа неособых накрытий компактной римановой поверхности, ДАН, 239, No. 2, 269-271 (1978)

60. Л. Д. Медных, Неэквивалентные накрытия римановых поверхностей с заданным типом ветвления, Сиб. матем. журн., 25, 120-142 (1984)

61. A. D. Mednykh, Branched coverings of Riernann surfaces whose branch orders coincide with the multiplicity, Comm. in Algebra, 18, 15171533 (1990)

62. А. Мигдал, ЖЭТФ, 69, 810 (1975)

63. D. Mumford, Towards an enumerative geometry on the moduli spaces of curves, in: Progress in Math., 36, Birkliiiaser, Boston MA, 271328 (1983)

64. Y. Mycielski, Polynomials with preassigned values at their branching points, Arner. Math. Monthly, Vol. 77, 853-855 (1970)

65. S. M. Natanzon, Topology of 2-dimensional Coverings and Meromorphic Functions on Real and Complex Algebraic Curves, Selecta Mathematica formerly Sovietica, Vol. 12, No 3, 251-291 (1993)

66. S. M. Natanzon, Spaces of meromorphic functions on Riernann surfaces, Amer. Math. Soc. Transl. (2), Vol. 180, 175-180 (1997)

67. S. M. Natanzon, V. Turaev, A cornpactification of the Hurwitz space, Topology, 889-914 (1999)

68. A. Okounkov, Toda equations for Hurwitz numbers, Math. Res. Lett., 7, no. 4, 447-453 (2000)

69. A. Okonnkov, R. Pandharipande, Gromov-Witten theory, Hurwitz numbers, and Matrix models, /, math.AG/0101147

70. А. Н. Протопопов, Гомеоморфизмы разветвленных накрытий двумерной сферы, ДАН, 290, No. 4, 792-795 (1986)

71. G. В. Shab.it, А. К. Zvonkin, Plane tires and algebraic numbers, AMS, Contemporary Mathematics, 178, 233-275 (1994)

72. B. Shapiro, M. Shapiro, A. Vainshtein, Ramified coverings of S2 with one degenerate branching point and enumeration of edge-oriented graphs, AMS Transl. 180, 219 -227 (1997)

73. V. Strelil, Minimal transitive products of transpositions the reconstruction of a proof by A. Hurwitz, Sem. Lothar. Combinat. 36, Art. S37c, pp. 12 (1996)

74. R. Thorn, L 'equivalence d'une fonction differentiable et d'un polynome, Topology, 3, 297-307 (1965)

75. R. Vakil, Genus 0 and 1 Hurwitz numbers: recursions, formulas, and graphic-theoretic interpretations, Trans. Amer. Nath. Soc., 353, 40254038 (2001)

76. Э. Б. Винберг, Линейные представления групп, М., Наука (1985)

77. В. Wajnrib, Orbits of Hurwitz action for coverings of the sphere with two special fibers, Indag. Mathem., N.S., 7 (4), 549-558 (1996)

78. H. Weyl, Uber das Hurruitzsche Problem der Bestimrnung der Anzahl Riemannischer Fldchen von gegeneber Verzweigungsart, Commentarii Mathematici Helvetici, 3, 103-113 (1931)

79. E. Witten, Two dimensional gravity and intersection theory on rnodidi space, Surveys in Diff. Gcom. 1, 243-310 (1991)

80. С. Здравковска, Топологическая классифтшция полиномиальных отображений, УМН, 25, No. 4 179-180 (1970)

81. D. Zvonkine, Multiplicities of the Lyashko-Looijenga map on its strata, C. R. Acad. Sci, t. 324, serie I, p. 1349-1353 (1997)

82. D. Zvonkine, Transversal multiplicities of the Lyashko-Looijenga map, C. R. Acad. Sci, t. 325, serie I, 589-594 (1997)

83. D. Zvonkine, Counting ramified coverings and intersection theory on Hurwitz spaces II (Local structures of Hurwitz spaces and combinatorial results), preprint, math.AG/0304251 39 pp. (2003)

84. D. Zvonkine, An algebra of power series arising in the intersection theory on moduli spaces of curves and in the enumeration of ramified coverings of the sphere, rnatliAG/04 (2004)

85. D. Zvonkine, Enumeration ties revetements ramifies des surfaces de Rie-rnann, These, Universite Paris-Sud Orsay (2003)