Применение методов теории групп для изучения интегралов энергии гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НШ СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Институт математики

На правах рукописи

ТЫЩЕНКО АвдреЙ Владимирович

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ГРУПП да ИЗУЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ЭНЕРГИИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01 „01,02 - ди$$^еициальнш уравнения 0 яатейптпзстсзп физика

А вт о р е ф ер а т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1988

¡Работа выполнена в Институте математики Сибирского отделения Академии наук СССР

ШузаьШ рухояодшгель - член-корреспондент АН СССР,

доктор физико-математических наук С.-с. Годунов ' .

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Кажихов А.В,,

доктор физико-математических наук Кузьмин ЕЛ*-» - кандидат фазтео-Ш1Гйматических наук

Марчук Н.Г.

Еапущая организация - Башкирский госущрэдшданы*1 университет

\ил. 40-летия Октября

■ ' ■ . 4 ■ .

Защита состоится "_" _1988 г, в_часов

.на заседании специализированного совета К 002,.23.oQ2 ,в .Институте математики СО АН СССР по адресу ■63Q0S0., (Нсшааийирск, SO Университетский пр., 4.

- С диссертацией можно ознакомиться ;в (библиотеке Инсшиггута математики СО АН СССР.

Автореферат разослан ■".. " j ¡г*

Ученый секретарь специализирован, ого совета К 002.23.02

канд.физ.-мат.наук

В.В.Иванов

| ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

ч.ОЛ ■■¡y.rr.'l

Актуальность теми« Интегралы энергия является кяасси-ческим орудием при изучении различных падач для гиперболича-ских уравнений. Этот метод был развит в работах К.Фрндрихса, Л.Гординга, Л.Хёрмандера и др.

В частности, интегралы энергии применялись В.М.Гордиен-ко, Н.Г.Марчуком, А.Н. Малышевым и др. при изучений корректности смешанной задачи для уравнений второго порядка с комплексным граничным условием первого порядка, A.M. Вдохшшм в задаче об устойчивости ударной волны и др.

В перечисленных работах существенно использовалось то обстоятельство» что для гиперболического уравнения второго порядка можно построить не единственный интзграя энергии.

Задача о построении интегралов эйейгйй дяя "I «гиперболического по Петровскому".уравнения тесйтг образок обязана с задачей сищетризации отого уравнения» то есть вопросу о возможности- сведения £ -гиперболического по-Петровскому уравнения к симметрической | «гиперболической По Фрадрихсу системе.

Общая проблема симметризации t -гиперболических уравнений была поставлена С.ЕС.Годуновыгя на 1У совместной сессий семинара имени И.Г.Петровского и Московского математического общества« В настоящее время доказана возможность симметризации для некоторых частних случаев (Фридрихе К,, Годунов С,К. к Костин В„И„, Михайлова $Л)»1» Ивановым » . на йден пример { -гиперболических операторов, не допускающих { -гиперболическую симметризацию.

Поэтому полное описание возможных для данного уравнения

интегралов энергии, изучение свойств симметризации актуально и представляет интерес для.-специалистов.

Цель работы.

1) Полное описание всех возможных интегралов энергии (без исследования положительной определенности сохранявшейся формы) для ¿ -гиперболического уравнения. ■

2) Исследование свойств 'симметризаций волнового уравнения с проиовольным числом пространственных переменных.

Общая методика работы. Для решения поставленных задач в первой главе использовалась теория представлений полной линейной группы, разложение пространства тензоров на неприводимые относительно представлений полной линейной группы.

Во второй гласе применялись матричные представления алгебр Клиффорда.

Научная новизна и, Реорсуичоскав значимость.

Вес результаты диссертации являются ноаими. Работа носит теоретический характер.

В первой глава автором дано полное описание интегралов энергии .для 'I -ггиперболического уравнения порядка с

М пространственными перекешшмй» Подсчитано число линейно независимых среди них ¡>

- { <-*.»У (—ьТ*У т *

Во второй главе указаны достаточные условия того, что скорость распространения воэмужений у симметризации и исходного волнового уравнения совпадают. НаДдек пример, показывающий, что эти условия не'являются необходимыми,

Апробупг.тп работы и. пуб,пккгов:л. Полученные результаты докладывались автором на. семимарс по дифференциальным уравнениям в НГУ, на семинаре "Асссидаатквнь.-е кольца и кольца Ли" в

ИМ СО АН СССР (1985 г.), на школе молодых ученых (Свердловск, 19ьб г.), а так же на различных семинарах ИМ СО АН СССР (1йзб-19в7 гг.). Работа автора [I] была представлена на конкурсе молодых ученых ИМ СО АН СССР (2-ое место, 1986) <,

По теме диссертации опубликовано 2 работы (без соавторов) о

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка литературы и изложена на 77 страницах машинописного текста» Список литературы содержит 19 наименований работ отечественных и зарубежных авторов«

СОДЕРЖАНИЕ даССЕРТАЩИ

Во введении после краткого исторического обзора приведены постановки задач, решению которых посвящена диссертация, изложена структура работы.

Первая глава состоит из четырех параграфов, в которых проведено подробное исследование пространства симметрических систем первого порядка, отвечающих уравнений

<« .

порядка М*/. без младших членов с постоянными коэффициентами*

В § I гл» X обеуадается алгебраическая постановка задачи» восходящая к работе С.К.Годунова и В.И.Костина (Сиб.мат. яурн. - 1980. - Т.21, £>6. - С. 3-20). В этой работе был предложен способ сведения уравнения (I) к системе первого порядка

где вектор 1/(1 состоит из всех производных

степени № , - эрштоЕие матрицы«

Хорошо известно^ ччо если- Л>/ , то такое сведение не единственно«, Если удается подобрать систему (2) гак8 что матрица 4» положительно определена,, то интеграл энергии для системы (2) определяет и интеграл энергии для уравнения С 1> в

Неоднозначность построения тождества (2) определяется существованием (при ■ № ъ I ) эрмитовых матриц А таких, что

Л.

!>-Г ■Ум

А1

и

2_

ЭЛ

г О

(3)

при любой достаточно гладкой функции Ш4,£). .

Если доказано,, что для уравнения СХ) существует .интеграл энергиие то наличие тождеств (3) обеспечивает существование целого семейства интегралов энергии. Тождества (3) при произвольном № и П являются основным объектом исследований первой главы диссертации»

Пусть № и - пространство полиномов от веществен-

ных переменных

Я , £ , у ё

1Г+1

с базисом

ой- п ЬиЬ

где О* Ш)* ±

О & '

Можно установить взаимнооднозначное соответствие между ■гозздестваш (3) а полиномами ч} такиыи о

что

Подпространство- полиномов

обозначено

в диссертации символом 07 & «

Алгебраическая постановка зедачи такова? найти базис и размерность пространства

и о Отметим^ что з случае

эта задача бвна решена ранее в работе С.К.Годунова %

В„ИоК0стинао •

Основным результатом глады I является

, ТЕОРЕМА 4015 Множество О. *Лявляется

гггт

вещественным базисов пространства полиномов и/ » Сто есть вещественна.'; линейная оболочка полиномов этого шонества совпадаем с 57" й эти полиномы линейно независимы.

Мнокхгва Д,*г«*-АД<> М выписаны яг-ио ш имев? вид

А

П г п ■ п

1-1 I ^ц^а ^(МЩ Ын

*

j(i)<té и, îth<j(h >im ^ j

Подсчитана размерность пространства lit,t (теорема 4.2), a именно

h (*,»)*] & A « K<W ( nui }+ сЛт.,щ-

л" *

Доказательство этих утверкдений разбито на три части, каждая из которых составляет содержание § 2, § 3 и § 4, Б § 2 построено множество полиномов Ь ^ ¡И™ и доказана (теорема 2,1} их линейная независимость. Необходимость построения этого множества объясняется следующим

м ОД

обстоятельством: в § 4 построено множество На полиномов из !Г , про которое известно, что его линейная оболочка образует ¡ИС « Тот факт, что по построению 1 А « ) - определяет линейную независимость по-

линомов множества А « , то есть то, что эти полиномы являются базисом .

Оказывается, что множество А*« построено так» что из него можно вьщелить подмножество полиномов - вещественный базис пространства 01" « «

Построение множества потребовало привлечения

известной в алгебре теории разложения пространства тензоров на. подпространства, неприводимые относительно представлений полной линейной группы. Известная теория использовалась -автором в нетрадиционной форме, затруднявшей прямую ссылку, чем и обосновывается появление в диссертации § 3 со сводкой .

известных результатов. В этот же параграфе обсуядается связь пространства 1Л и с пространством тензоров ранга

Во второй главе исследуется пространство симметрических систем первого порядка соответствующих волновому уравнению, Описание всех таких систем в случае произвольного числа пространственных переменных было известно ранее: цикл работ В»М.Гордиенко, посвященный этой проблеме» Кроме того, это описание является следствием результатов первой главы диссертации. Привлечение специ&пьной матричной алгебры, используемой при построении спинорных представлений И -»мерной группы 'вращений (матричных представлений алгебр Клиффорда) , позволило в компактном виде описать все симметризации' . волнового уравнения и указать достаточные условия, при которых скорость распространения возмущений у исходного волнового уравнения и его симметризации совпадают.

В § 5 приводятся известные факты о используемой в работе матричной реализации алгебр Клиффорда. Приведен конк-

ет л м , ам

*----------- „г----------------1 / с-г , ••• >

(т » I ) размера 2>Л х'2т , удовлетворяющих рядом интересных свойств, в частности ■

е^ е* + е^ <¿1 - х^и е0 ,

где с б - единичная матрица.

Если № , ё , то всегда ¿юадо выбрать

!лл так, чтобы 1дл + I > М и тогда выполнен тсздесгво

Отметим, что это тождество аирско известно в квантовой

■■;■. э •

•.иеханике, где оно используется для "факторизации" оператора Югейна-Гордона. Первая матрица в этом произведении обозначена символом £2

Наличие тождества (4), а так яе ряда полезных свойств матриц » указанных в § 5, позволяет доказать, что

любая система уравнений первого порядка с эрмитовыми матрицами, соответствующая волновому уравнению, записывается в виде

ик •аи

Ум

Яе

где

кщ +1с-.

1

■ -гЦсщ^ш 7«/,

6

»

определенная матрица размера

щ

- вполне

'Л,

В § ? доказана теореме 7Д» из которой следует, <ото ско,рость распространения возмущений у исходного волкт.ого уравнения и его симметризации совпадает, если И >0 г что обеспечивается сохранением в этом случае конура Гашшь-тона-Якоби. В обвем случае это условие не является необходи-

что показывает пример, приведенный в конце параграфа,. Отметка, что при й® 3 необходимые и достатс-дше условия :ыпи получены В.Ы.Гордиенко.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

3 диссертации получены следующие результаты.

I. Полностью описаны псе симметрические системы уравнений первого порядка, соответствующие уравнению

степени А без младких членов с постоянными коэффициентами <> В случае я если возможна симметризация с положи-

—\

тельно определенной матрицей при это дает описа-

ние всех линейно независимых интегралов энергии этого уравнения»

П. Представлено новое описание сидаитризаций волнового уравнения„ основанное на использовании матричных представлений алгебр Клиффорда, Найдены достаточные условия совпадения скоростей распространения возмущений у симметризации и исходного волнового уравнения.

В заключение автор приносит глубокую благодарность научному руководители члену-корреспонденту АН СССР, профессору С. К-.Годунову за постановку задачи и постоянное внимание к работе. Автору приятно такие поблагодарить И„ВЛьвова. эа консультации по вопросам теории представлений групп,, а ' также В«М. Гордиенко за полезные обсуждения результатов второй главы. I

' о

т т

4.«

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

X* Тдаенко A.B. О базисе решений однородного тождества Хёрыандера // Сиб.мат.яурн. - IS85. - Т.26, № I, -С.150-158. . .

2„ Тьщекко A.B. Симметризация произвольного волнового уравнения» - Новосибирск, 1987. - 16 с* - (Препринт / АН СССР* Сиб.отд-ние, Ин-т математики? № 28).