Задачи Мокану и гронуолла в классах однолистных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГБ ОД 2 П Мй^ Щ97

УДК 517.54

На правах рукописи

КАМЫШОВА Галина Николаевна

ЗАДАЧИ МОКАНУ И ГРОНУОЛЛА В КЛАССАХ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.01- математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 1997

Работа выполнена на кафедре математического анализа Саратовского государственного университета им. Н.Г.Чернышевского.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент ВАСИЛЬЕВ Александр Юрьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор НАСЫРОВ Семён Рафаилович

кандидат физико-математических наук, доцент ЗАХАРОВ Андрей Михайлович

Ведущая организация:

Томский государственный университет

Защита состоится ".4.0" .к^^ХУг^... 1997 года в часов на

заседании Диссертационного Совета К 063.74.04 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Саратовском государственном университете по адресу: 410071, Саратов, ул.Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Саратовского государственного университета

Автореферат разослан "X.." 1997 года

Ученый секретарь Диссертационного Совета,

кандидат физико-математических наук, доце^^^^^г// П.Ф.Недорезов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена решению экстремальных задач конформного отображения в основных классах однолистных функций.

Актуальность темы. Исторические сведения.

Обозначим через 5 - класс всех голоморфных однолистных в единичном круге Е = {г : \г\ < 1} функций /(г) = г + а2г2 -{- ... ; через 5д -класс функций / Е 5 , удовлетворяющих условию /(г) = /{г).

Геометрическая теория функций является интенсивно разрабатываемой областью математики . Начало ее развитию положили работы П.Кебе 1907 и 1909 гг. о получении абсолютных констант оценки роста однолистного аналитического отображения. В 1916 г. Л.Бибербах высказал гипотезу, что в классе 5 справедливо неравенство

\а„ \ <п , п > 2

и что равенство имеет место только для функций Кебе /(г) — у?■

Доказательство гипотезы Бибербаха было получено Л. де Бранжем в 1984 г. Оставаясь недоказанной в течении почти 70 - летнего периода, гипотеза Бибербаха оказала большое влияние на развитие геометрической теории функций. Так значительная часть исследований по геометрической теории функций посвящена решению экстремальных задач по оценке функционалов или по нахождению множеств значений систем функционалов в классах 5" и ¿>д, а гак же в других основных классах однолистных функций. Для решения таких задач было разработано большое количество методов : метод контурного интегрирования, метод интегральных представлений, метод площадей, методы внутренних и граничных вариаций, метод параметрических представлений, метод экстремальных метрик, симметризации и другие. Эти методы получили развитие в работах отечественных математиков ( А.М.Лавреятьев, Г.М.Голузин, И.Е.Базилевич, П.П.Куфарев, Н.А.Лебедев, И.М.Милин, И.А.Александров, Л.А.Аксентьев, Ю.Е.Аленицын, В.Я.Гутлянский, Д.В.Прохоров,С.Р.Насыров, В.В.Горяйнов, Г.В.Кузьмина, П.М.Тамразов,

Туреве1 Ьу Лд^-ТеХ

А.Ю.Васильев, И.П.Митюк, В.Н.Дубинин ) и зарубежных авторов ( Т.Гронуолл, Х.Грунскиы, М.Шиффер, Дж.Дженкинс, Ч.Левнер, Хр.Померенке и др. ).

К числу трудных задач геометрической теории функций принадлежат задачи об оценке функционалов и описании множеств значений систем функционалов, зависящих от значения функции и ее производных в более чем одной точке единичного крута. Такого рода задачи являются частными случаями задачи разрешимости интерполяционной проблемы для однолистных функций. Их исследования были начаты в 1916 г. Т.Гронуоллом. В дальнейшем исследования таких экстремальных задач были продолжены и получили значительное развитие в работах Г.М.Го-лузина, Н.А.Лебедева, И.М.Милина, И.А.Александрова, Д.В.Прохорова, А.Ю.Васильева, Дж.Дженкинса, Я.Кшижа и многих других отечественных и зарубежных математиков. Однако в этом направлении остается еще много не решенных проблем. В связи с этим является актуальным решение экстремальных задач ио оценке функционалов или по нахождению множеств значений систем функционалов в основных классах однолистных функций.

Цель работы.

/4*1) I

1. решение задачи П.Мокалу об оценке функционала /(/) и решение более общей изопериметрической задачи, связанной этим функционалом в основных классах однолистных функций.

2. применяя методы оптимального управления совместно с методом внутренних вариаций Г.М.Голузина дать списание границы множества значений системы функционалов ./(/) = {/(г), /'{г),а г], которая обобщает а также сводит воедино две задачи Гронуолла.

Методика исследований. В качестве методов исследований ¡'ьилу-пают : метод экстремальных метрик в форме метода модулей се.ме:-:ств кривых, метод параметрических представлений Левнера. метод внутренних вариаций Г.М.Голузина, метод оптимального управления , а именно принцип максимума Л.С.Понтрягина .

Научная новизна. Все представленные в диссертации результаты являются новыми. Работа носит теоретический характер. Основными в ней являются следующие результаты :

— получено решение обшей экстремальной задачи об оценке функционала Мокаяу /(/) = у^у в зависимости от /(21),/(22) при вещественных ¿1, ¿2 в классе Бц с использованием техники модулей семейств кривых. Некоторые конкретные модули были подсчитаны впервые.

— решена задача о максимуме функционала Мокану !(/) = при вещественных г\, 22 в классе 5.

— дано решение обобщенной задачи Гронуолла о границе множества значений системы функционалов ,/(/) = {/(г), /'(г), а <} в классе 5к. Удачное сочетание вариационно - параметрического метода и методов оптимального управления позволяет упростить нахождение г раницы множества значений ./(/).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по геометрической теории функций в Саратовском государственном университете (руководитель- проф. Д.В.Прохоров), XXX международной студенческой конференции (г.Новосибирск, 1992 г.) -доклад отмечен дипломом второй степени, 7 - й и 8 - й Саратовских зимних школах по теории функций и приближений (г.Саратов, 1994 , 1996 гг.), конференции по теории функций (г.Казань , 1995 г.), на объединенном семинаре кафедр теории функций и приближений, дифференциальных уравнений и прикладной математики, математической физики и вычислительной математики и математического анализа ( руководитель - доктор физико - математических наук, профессор А.П.Хромов, г.Саратов, 1997 г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 10 параграфов, и списка литературы из 70 наименований. Объем диссертащш составляет 109 страниц. Имеется 5 рисунков.

Публикации. Основные результаты диссертащш опубликованы в статьях [1 — 3]. Результаты из совместных статей, использованные автором в диссертации, получены им самостоятельно.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Перейдем к детальной характеристике диссетационной работы. Отметим, что нумерация всех утверждений в автореферате соответствует принятой в тексте диссертации. При этом некоторые результаты сфор-муяированны в упрощенной форме.

Как уже отмечалось, задачи об оценке функционалов и описании множеств значений систем функционалов, зависящих от значения функции и ее производных в более чем одной точке единичного круга принадлежат к числу трудных задач конформного отображения. Исследования такого рода задач были начаты в 1916 г. Т.Гронуоллом. Он поставил задачи об оценке роста функции и ее производной в зависимости от второго коэффициента в классе Первые шаги в решении этих задач были сделаны Т.Гронуоллом, Р.Неванлинной , Г.М.Голузиным , Н.А.Лебеяевым, И.М.Мшшным . Полное решение задачи о множестве значений системы {|/(г)[, |аг|} в классе 5 было дано Дж.Дженкинсом . Причем он показал, что все экстремальные функции имеют вещественные коэффициенты. Таким образом, одновременно решалась задача об оценке /(г), 0 < г < 1 при фиксированном а-г > 0 в классе Бц. Позднее Г.В.Улиной , а затем другими методами В.Н.Астаховым была решена задача Гронуолла в классе 5д для всех —2 < а2 < 2. Задача о множестве значений системы {/'(г)>°2} в классе Бц была решена В.Н.Астаховым, В.Я.Гутлянским . Позднее возник интерес к решению этих задач в других классах функций, а так же к рассмотрению более общих систем функционалов такого типа.Так в классе ~ {/ € Бц, |/(г)| < М} с помощью принципа максимума Л.С.Понтрягина Д.В.Прохоровым были решены обе задачи Гронуолла. Более общая система {/(г), а2,аз},г £ Е в классе БЦ была исследована А.Ю.Васильевым . В данной работе рассмотрена экстремальная задача о множестве значений системы функционалов J(f) — {/(г),/'(г), а г}, в классе Бл, которая обобщает а также сводит воедино две задачи Гронуолла.

К числу работ об оценке функционалов и описании множеств значений систем функционалов, зависящих от значения функции и ее производных

в более чем одной ненулевой точке едишгшого крута, принадлежат следующие :

Г.М.Голузин нашел точные оценки искажения хорд при однолистном отображении и установил единственность экстремальных функций.

Дж.Дженкинс доказал, что максимум |/(г2)| в классе 5 при заданном значении |/(—п)| дается функцией /(г) £ 5/; и, как следствие, нашел точную верхнюю границу суммы

|/(-пе'в)| + |/(г2е^)|, О<0<2я, 0<Г1,Г2<1, / € 5.

Ян Кшиж и Н.И.Синелышкова не зависимо друг от друга нашли с помощью вариационного метода область значений комллекснозпачпого функционала }(г-[)//(г-г), г\, £ Е, / Е 5. А.Ю.Васильев, С.И.Федоров нашли множество значений системы функционалов {|/()"1 )|, |/(»"2)|}, 0 < гх < гг < 1 в классе 5я и показали, что дуга границы этого множества, соответствующая задаче на тах\/(г2)\ при фиксированном значении |/(г!)| в классах 5 и 5я одна и та же.

В 1968 г. румынским математиком П.Мокану была, поставлена задача об оценке функционала /(/) = ¡4/^41. В 1975 г. П.Мокану, М.Рид, Е.Злоткевич оценили !(/) сверху для / - типично-вещественных к вещественных ^1,22, 0 < г\, гг < 1 . Они показали, что экстремальной в этом случае является функция д{г) = , —1 < £ < 1. Позднее эти

результаты были обобщены Д.Рипеану для комплексных 2], г2 из специальных областей в Е.

Первая глава посвящена решению более общей изопериметрической задачи об оценке функционала Мокану /(/), , гг~ вещественные в зависимости от }{г\), /(гг) в классе Б п.. При этом в качестве метода исследований выступает метод экстремальных метрик в форме метода модулей семейств кривых в случае наличия колосообразны?:, круговых и кольцевых областей в структуре траекторий экстремального квадратичного дифференциала, ассоциированного с данной экстремально!! задачей.

В §1 рассматривается задача об экстремальном разбиении плоскости при наличии полосообразной области в структуре траекторий экстремального квадратичного дифференциала. Существование и единственность экстремальных, относительно рассматриваемой задачи, конфигураций была доказана ранее Г.В.Кузьминой, Е.Г.Емельяновым. Однако применение этих результатов к решению конкретных задач было затруднено вследствии того, что не были найдены аналитические выражения характерных конформных инвариантов, а именно приведенных модулей полосообразных областей. Один из таких модулей был посчитан автором. Так же в §1 рассматриваются две задачи об экстремальном разбиении плоскости при наличии двух полосообразных области в структуре траекторий экстремального квадратичного дифференциала ( теорема 1.2, теорема 1.3). Эти теоремы были доказаны А.Ю.Васильевым и в дальнейшем будут использованы для нахождения одной из оценок функционала Мокану !(/)■

Оценки функционала Мокану сущетвекно зависят от взаиморасположения точек — г2. Поэтому различные случаи взаиморасположения ?'х, г2 рассматриваются отдельно.

В §2 приведены оценки функционала Мокану /(/) в зависимости от /(гх),/(гг) в классе 5ц при 0 < < 7'х < 1. Получен ряд теорем об оценке /(/) сверху и снизу, все оценки точные, приведены экстремальные функции. В частности, справедливо следуюшее утверждение:

Теорема 2.1. Пусть / £ Бц. Если 0 < г2 < Т\ < 1, то

\£Ы\> \1кА(1(п1_п\ (1 - г?)га

1/(г2)! - ¡/(г2)7Ы г,(г, -г2)(1-Не-

равенство достигается для функции д(г) = г/(1 — иг + г2) при надлежащем выборе и:

9(П) = /(гх) д{г2) /(г2)'

Для нахождения оценки рассматриваются две задачи об экстремальном разбиении плоскости в случае наличия полосообразной области в

стректуре траекторий экстремального квадратичного дифференциала и использованы результаты теоремы 1.1 .

3 §3 приведены оценки сверху и снизу функционала Мокану /(/) в зависимости от /(»ч),/(г2) в классе Б а при 0 < г\ < г2 < 1. При этом в качестве метода исследований также выступает метод экстремальных метрик в форме метода модулей семейств кривых в случае наличия по-лосообразных областей в структуре траекторий экстремального квадратичного дифференциала, а также привлекает приведенные модули одно-связной области относительно внутренней точки. Оценка снизу (теорема 3.1) получена в терминах эллиптических функций и имеет более сложный виц. чем теорема 2.1. Оценка сверху дастся в теореме 3.2 . Экстремальной является такая же функция как в теореме 2.1 .

В §4 приведены оценки сверху и снизу функционала Мокану /(/) в зависимости от /(п), /(—г2) в классе Бц при —1 < —< 0 < гг < 1. При этом в качестве метода исследований также выступает метод экстремальных метрик в форме метода модулей семейств кривых в случае наличия круговых, кольцевых и полосообразных областей в структуре траекторий экстремального квадратичного дифференциала. Оценка сверху (теорема 4.4) получена в терминах эллиптических функций и имеет сложный вид. Приведем более простую оценку снизу

Теорема 4.1. Пусть / е Бц. Если -1 < -г2 < 0 < гг < 1, то

ГЫ ^ /ы , Лп) 1}| (1 - г?)г2 ___

1/(-Г2) - Я-Г2ГЯ-Г2) 'I Г! (Г! +Г2)(1 +Г!Г2)' Равенство достигается для функции <](х) — г/(1 — их + г2) при надлежащем выборе и:

яЫ _ ГЫ

9{-Г2) /(-г2)'

Вторая глава настоящей работы посвящена решению задачи Мокану о тпах1(/),где /(/) = у^у , в классе 5, а также решению экстремальной задачи типа Гронуолла о множестве значений системы функционалов J(f) = {/(г),/'(г),02}, в классе Б к. В качестве метода исследований выступает вариационный и параметрический методы совместно с методом оптимального управления.

В §5 данной главы с помощью вариационного метода Г.М.Голузина устанавливаются дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют экстремальные функции в задаче о тах1(/) в классе 5 для комплексных г1, г2. При = г г, г2 = г2 - вещественных конкретизируется вид квадратичных дифференциалов , стоящих в этих дифференциальны.-, урав-

нениях.

Теорема 5.2. Функцпи экстремальные в задаче о шах /(/),/ € 5" при «1 = Г], ¿2 = Г2,0 < гх,г2 < 1 удовлетворяют одному из дифференциальных уравнений :

и»( 2иц - и>2) - ш? 2__(7(г — е'у)2(г — е"''^)2_ 2

w(wi — w)2(w2 — w)

w(2wi — W2) — w'i

w(wi — W)2(W2 — U>)

w(2wi — w2) — w}

z{rl -zf{ 1 - гг{)2{г2 - z){ 1 - ZT2)

l)2(z-r0)(z-±)

- zr{]2{r2 - z)(l - zr2)'

C(-r > l)2(* + ro )(* + £)

а»2 = -——--dz

dw2 = --г°ч„„ ' 4 -rdz

w(wi — w)2(w2 — w) г(г] — z)2(l — zr\)2{r2 — z){ 1 — ггг)

го 6(0,1]

В §6 задача о maxl(f) формализуется как задача оптимального управления. А именно : Известно , что любая функция из всюду плотного в S семества представима в виде

f(z) = lim w(z,t) (1)

t—>оо

где w(z,t) удовлетворяет дифференциальному уравнению Лсвнера :

dw 1 /0ч

1t=W( 1 -k(t)e-<J> (2)

с начальным условием w(z, 0) — z . Здесь k(t) - произвольная всшсствен-ная кусочно-непрерывная на (0, do) функция. Уравнение Левнера. позволяет сводить экстремальные задачи в классе S к задачам оптимального управления для систем, порожденных уравнением (1). При это:.: решение задачи о maxl(f) /GS сводится к нахождению проекции множества, достижимости для управляемой системы индуцированной ^'¡^¡¡ч аием Левнера . При построении множеств достижимости чсполь:,и.ь л принцип максимума Л.С.Понтрягина.

§7 посвящен решению задачи о rnaxl(j) в классе S при 0 < тл, r:. < 1. Справедлива теорема :

Теорема 7.1. Пусть / 6 5" , тогда если 0 < тг < г2 < 1 , то

I Г (г г)

I /Ы

Экстремальная функция отображает единичный круг на. плоскость с разрезом имеющим одну концевую конечную точку .

Здесь £5(00) есть решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений, индуцированной уравнением Левнера (2) с соответствующей непрерывной функцией £(<) = £*(£). Отметим, что можно аналогично рассмотреть задачу на минимум.

§8 посвящен решению задачи о тах1(/) в классе 5 при —1 < —Г2 < 0 < п < 1. В этом случае экстремальная функция отображает единичный круг на плоскость с разрезом имеющим две концевые конечные точки .

§9 и §10 данной главы посвящены применению вариационного метода и метода оптимального управления к решению экстремальной задачи типа Гронуолла, о нахождении границы множества значений системы функционалов ,/(/) — {/(г), /'(г), а2}, в классе Бц. Метод нахождения множества значений системы J(f) = {/(г), /'(г), а2] во многом похож на метод , избранный для нахождения оценки функционала Мокану /(/). Однако в отличии от предыдущей задачи, смысловая нагруи^л применения вариационного метода в классе 5д меняется. А ттскни, если в предыдущем случае он был использован в основном для получении проекции множества значений системы функционалов на гиперп ¡тослость, то в этом случае он упрощает попек единственной ветви многозначного оптимального управления. В §9 с помощью вариационного метода в классе Бц устанавливаются дифференциальные уравнения длс граничных функций множества значений системы ./(/) = {/(г): /'('")> } ■ В §10 дано параметрическое описание границы множества значений системы •1(1) ~ {/(г), /'(г), <72 }■ Сформулируем этот результат в несколько упрощенной форме.

Теорема 10.1. Поверхность О. состоящая из точек

(/(г), f'(r),mдXf£Sn 0,2) может быть представлена параметрически с ло-

то экстремальной является функция д(г) — |м| < 2.

2)Еспи (£,?]) расположена на отрезке соединяющей точки Ух, Уз,где

■то экстремальной является функция Кебе /(г) = ^.

3)Есля (£, г;) расположена на отрезке соединяющем точки У?, У а .где

то экстремальной является функция Кебе /(г) = -

4)Если расположена на отрезках соединяющих точки и У2, Уз то экстремальная функция отображает единичный и^ут Л. на плоскость с симметричными относительно всщест венной оса ра зр ."замя , имеющими три концевые конечные точки .

5)Если (£, ?;) расположена внутри прямоугольника У\, У2,1, У4 то экстремальная функция отображает единичный круг II яа плоскость с симметричными относительно вещественной оси разрезами , имущими две невещественные концевые конечные точки .

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю кандидату физико - математических наук, доценту Александру Юрьевичу Васильеву, в так же всем участникам семинара по геомегрической теории функций в Саратовском государственном университете (руководитель-проф. Д.В.Прохоров) за постоянное внимание в ходе выполнения работы.

мощью (£,т;), причем 1 )Если

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Васильев А.Ю., Камышова Г.Н. Модули полосообразных областей в экстремальной задаче конформного отображения// Сиб. математ.журн.-1996.- Т.37.- N 1,- С.60-69.

2. Камышова Г.Н. Вар ианионный метод и оптимальное управление в решении задачи П.Мокану //Теория функций и ее приложения . - г. Казань. - 1995. - С.34.

3. Камышова Г.Н. Решение задачи П.Мокану для точек, находящихся на диаметре //Современные проблемы теории функций и их прнложения.-г. Саратов.: Изд-во Сарат.ун-та. - 1996. - С.57 - 58.