Методы оптимизации в экстремальных задачах для однолистных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Институт математики Свирепого отделения Академии наук СССР

На правах рукописи

Прохоров Дмитрий Валентинович

ОТ 517.54

методы ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКСЯТЕДАЛЬШХ ЗАДАЧАХ 'для ОДНОЛИСТНЫХ ФУКЫМЙ

01.01,01 - математически анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1990

Района,выполнена на кафедре теории функций и приближений Саратовского государственного университета шл.Н.Г.Чернышевского

0$ циаяыше оппоненты: доктор физико-математических наук*

профессор И.А.Александров, доктор физико-математических наук, с.н.с. В.И.Елагодатских, доктор физико-математических наук профессор В.Я.Гутлянский. Ведущая организация - Институт математики АН УССР.

Защита состоится " " _ 1990 г. в_час.

на заседании специализированного совета Д 002.23.02 при Институте математики Сибирского отделения АН СССР по адресу: 630090 ..овосибирск, 90, Университетский пр., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан "_"_ 1990 г.

Учёный секретарь специализированного

совета доктор физ.-мат. наук Вке^ В.С.Бшюносов

,£?ЗТСЕйЕ1 (

ютгк*

. Я. Лсаии

Гтде/!

:ертаций,

•Актуальность те?лн. Г.^вный прэдмат исследований а теории

Общая характеристика работ !

однолистных функций - решение экстремздыик задач по оценив функционалов или более общих задач по нахождению областей &пачень1 систем функционалов. В рабог х Г.М.Голузина, И.Е.Базилозича, И.Л. Лебедева, И.М.Мялииа, И.А.Александрова, В.Я.Гутлянскс о, П.М.То-мразова, Г.В.Кузьминой, ДЬс.Дяонкинса и других математиков в качество методов решения экстремальна?' задач общего и частного характера использовались вариационный; п-.рзматрический, мзтод площадей, метод экстремальных иатрак, ск,?дс<ррпггдцкя. Пара«зтр:гчос~ кий метод позволяет рассматривать такие задачи как терствпльгшо задачи оптимального управления. Первые работк о приконзнием необходимых условий оптимальности были опубликоваша И.Л.Александровым с уошками, а также? С. Фрпдлмщом, М.Шаффороц, Ю.Лонгом.

Центральноэ место ерзди экстремалью« задач б теории однолистных функций занимает проблема коэффициентов. И) постаносха заключается в нахождения множества значений онетемн коэффндг.з;;-тов однолистных функций. Полное описание известно лвиь для сис-тош двух свободных начальных коо$$я«аентоп, Что касается систем более высоких размерностей, то известии только качэствешша результаты К,П.Бабенко, А.Шеф|ера а Д.Сяенсора об анадптачзо:^*:, гдадкоеттк н топологических свойствах граничной повэрхцосяи, о свойствах •« о единственности■граничных функций. ■ -

Задачи нахождения множеств значений систем функционалов весьма общего вида, включ&л.'иаго систему коэффициентов, в рамках параметрического метода сводятся к задачам иь^оздоиия мкожоотва достижимости, ита интегральной вороьли, управляемой динамической система, порожденной уравнением Лавиэра. Совремзкнр^ теория управления располагает средствами описания множеств достижимости управляемых систем или дифференциальных включений (см. обзорную статью В.И.Епагодатских и А.Ф.Филиппова, Тр. Мат. инот. АН ССО^, 1905, т.169, с.194-252).

Наряду с необходимыми условиями находят применение а доста-точнио условия оптимальности, связанные с рассмотренном пучка траекторий вместо отдельно взятой траектории. Важным оказывается результат В.Г.Гсгтмпского о возможности снять стеск:;хь юи,~не виполняшееся во шо* -лх случ^х, но предполагаемое условие ноя-реривной дифференшруемости функции Беллмана.

Кроме перечисленных, в теории однолистных функций использ,, -ются '«I другие методы оптимизации. Известен метод, успех применения которого основан на /дачном построении семейства мажорантных областей к юс оптимизации, в результате чего экстремум функцио-дала достигается в одной или нескольких граничных точках, доставляемых граничными функциям данного класса. В классах однолистных функций, имеющих интегральное представление или подвергнутых интегральному преобразованию, разрабатываются специальные методы реш лия экстремальных задач.

Помимо методологических проблем, представляет интерес и решение конкретных трудных экстремальных задач. Отметим, в частности, задачу К.Е.Базилевича об оценке отношения гармонических мер двух берегов разреза на плоскости, который в каздой своей точке образует с радиальным направлением угол, не превосходящий . Укажам ещё задачу Гронуолла и задачу оценки начальных коэффициентов в некоторых классах однолистных функций, задачу о линиях уровня функций, сохраняющих глобальное-геометрическое свойство выпуклости в направлении мнимой оси, помещенную в списке нерешенных проблем комплексного анализа под редакцией У.Хеймана.

Исследоаажзю этих актуальных проблем посвящена насте, лцая диссертационная работа.

Цель работы состоит в разработке методов оптимизации и решении „ их помощью общих и частных экстремальных зад^л в классах одтлисг.их функций.

Сформулируем следующие задачи, поставленные в диссертации.

1. Применение методов оптимального управления, необходимых 5! достаточных условий к созданию конструктивных алгоритмов описания множеств значений общей системы функционалов в классах ограниченных однолистных ,функций, решающих, в част-шьа'и, общую проблему коэффициентов. Приложение их к исследованию характеристики граничной поверхности и к частным за-

■ дачам. ' '

2. Решение задачи И.Е.Базилевича.

3. Эффективное применение мг ода мажорантных областей в обобщенной задаче Гронуолла для функций Мокану и в задаче-об о.ие(,..е вто. го коэффициента в классе ограниченны однолистных функций, нз обррч'.ак"дкхоч куль.

4. Разработка методов построения интегральных представлений •

исследование свойств инвариантности или погружения интегральных преобразований классов однолистных функций. Решение зада ш о линиях уровня функций, выпуклых в направлении мнимой оси.

Методика исследования представляет собой ci .тез методов теории функций комплексного переменного, параметрического и ва~ р"<ащонного принципов и теории оптимального управления, принципа максимума Понтрягина и идея динамического программирования Беллмана, теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Используется много сведений о предстарении, неравенствах, свойствах однолист1шх функций.

Научная новизна и • еоретическая ценность диссертации обусловлена значительным прогрессом в задачах описания множеств значений систем функционалов в классах однолистных функций, ■ляакомеркым применением необходимых и достаточных условий оптимальности в создании алгоритмов описания, решениям проблемы коэффициентов в ее общем виде с распространением результатов на классы- ограниченных функций и функций с вещественными коэффициентами, решением ряда других трудннх аадач, поставленных известишь! специалистами, вкладом в развитие специальных методов оптимизации з теории однолистных функций. Все предлагаемые выводы являются новыми. Диссертация имеет теоретический характер. Результаты могут оказаться полезными з дальнейшем развитии теории однолистных функций, расширении арсенала средств ее исследования, могут вязать интерес у специалистов по теория оптимально -го управление и даффэре"*даальнш: уравнений. Она могут иыть ко-пользована з укбг.ом процессе для студентов, чпециализируэтвшх-ся по математическому анализу, теории фуйкцяа и яеорич управления, в специальных курсах и спецс&мннарах, в курсовых и дипломных работах.

Апробация. Результаты работы докладывались на Саратовских -зимних школах по теории функций и приближений (IS82, 1984, 1986, 1988 ), Донецких коллоквиумах по теории квазиконформных отобр. -нений, её обобщений и приложений (ID80, 1982, 1937), международной конференции по комплексному анализу и приложениям в Варне (1985), всесоюзной конференции по алгебре и анализу и на семинаре памяти П.П.Куфарева в Томске (1988, I98S), Кубанской школе по геометрической теории функций (1989), республик£.:-:сгтм со-

вещаниг-семинаре по комплексному анализу и прикладным задачам управления в Симферополе (IS89), первой Всероссийской конференции но основаниям мате! чтики и теории функций в Саратове в 1989 г., всесоюзной конференции-по геометрии и анализу в Новосибирске в I9d9 г., на научных семинарах а Математическом институте АН СССР, институте, математики СО АН СССР, институте прикладной математики и механики АН УССР, институте математики АН УССР, в Московском, Люблинском, Краковском, Лодзинском, Томском и Капа-нсом университетах.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 статей, список которых приведен в конце автореферата. Из двух работ [3], [73, выполненных в соавторстве, в диссертацию включены -результаты, которые получены лично диссертантом.

Структура и объем диссертации. Диссертация объемом в 291 страницу машинописного текста состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 123 наименования. Разделение на главы неравномерного объема предполагает законченное изложение отдельных методов оптимизации и связанных с ними результатов или систематическое применение одного из разработанных методов.

СОДЕШШШ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАЕОШ

Jchobhum объектом изучения в теории однолисгш. функций являет'''. класс S аналитических в единичном круто функций f , нормированных разложением

fu) - 2 + Т . (I)

и = г

Важным подклассом класса S , имеющим более простую структуру, оказк ается класс S r функций ¥ с S для которых -вое коэффициенты разложения (I) вещественные. Условие ограниченности функции выделяет весьма нетривиальный подальше клаьса 5 , зачастую более трудный для исследования. Класс фуинций f t S , удовлетворяющих в единичном круге условию I ? )Ч<-М , обозначаем через S м • Обозначим также S Rn = 5 R П S'!M

Р осмотрим систему функционалов

где 2 - фиксир«. занная точка единичного круга. При 2-0 первые два функционала системы Э вырождаются в постоянные, и с точностью до умножения на соответствующие факториата она становится системой коэффициентов

Обозначим через Б^Чз) и КЬ^С^} множество значений системы соответственно в классах Бм и 5, а через V™ и (? У™- систеш 7 и. в тех же классах.

К настоящему времени известны „олные описания множеств 1>к(г) при п. < 1 , К Ь^Ч?) при п, - О , Л?<? при ¿Ь, п. _

Описание множества С/*1; ?) дано В.И.Поповым и усовершенствовано В.Я.Гутлянским, на конечные значения М результаты перенесены

B.В.Горяйновым и В.Я.Гутлянским. Множество ЯЬ^Ч*) описано

C.И.Федоровым. Множество значений коэффициентов приведено А.Шеф^ром и Д.Спенсером, на конечные значения М результат перенесен З.Хажинским и В.Яновским. Множество ^ получено Д.Фелпсом, частичные результаты по перенесению результата на конечные значения М получены О.Тамми. Граничные функции множества Ь ^ ("г) при ^ > 4 , как известно из вариационных принципов, отображают единичный круг на плоскость с кусочно аналитическими разрезами, имеющими но более гь + i концевнх точек. То не относится к граничным функциям множества V™ с понижением количества разрезов на 2. Аналогичные вывода справедливы для класса 5 й. •

Первая глава диссертации посвящена выводу необходимых и достаточных устовай на граничные функции в туманах оптимального управления в задаче описания множества значений систем функционалов. Дается полное формально конструктивное описание граничных поверхностей множеств Ъ^Сз) и К для прок-вольных

м с- (¡,оо] и г , ег(<4 . Приводятся аналитические к гладкостные характеристики граничных поверхностей.

В § I поставленная задача формализуется как задача о мно жестве достижимости управляемой динамической системы, порожденной уравнением Лёвнера. Вводится понятие оптимального управления и оптимальной траектории, сопряженного вектора множителей Лагранжа и функции Гамильтона оптимизационной задачи. Записывается вещественная и комплексная форма гашльтоновсй систсчи и ■

выводится уравнение для управления с обратной связью. Рассматривается "овыпукленная" управляемая динамическая оистека.

Материал § 2 относится к теории параметрического метода и не связан непосредственно с теорией управления» 1ем не менее его роль в доказательстве достаточности условий оптимальности и единственности оптимачьного управления велика* Доказывается лемма I об аналитической зависимости медду натуральным параметром аналитического разреза и величиной конфбрмного радиуса облачи с разрезом с переменной концевой точкой* Равное утвераде-ние содержится в следующей теореме.

ТЕОРЕМА I. Если функция | е 5 отобраяает единичный_круг на плоскость с разрезом по кусочно аналитическим кривым с т, кондовыми конечными вершинами, то найдутся непрерывные на полуоси Со,со) вещественные функции и „ _..._ и^ и положительное числа У. л > , суша которых равна единице, такие, что решение \л/ - задачи Коши для обобщенной дифференциаль-

ного уравнения Лёвнера

¿и,-

о1 \л/ V е " + - = - V/ / > ; —1- , I

связано с соотношением - И^

Тагле представление единственно. Аналогичная тебрема I доказывается для функций класса 5 к с заменой ядра Шварца в обобщенном уравнении Лёвнера на ядро Пуассон б ограничением на управляющие непрерывные функции.■

Согласно §§ I и 2 и необходимым условиям оптимальности граничные точки множества Ь С"* ) отыскиваются как значения в момент Ь = СиИ вещественного (2^ + 2) -мерного фазового вектора -5с , удовлетворяющего управляемой динамической системе

Ц , »со,«» (2)

Jrl

пороаданной обобщенным уравнением Лёвнера, где ^ ^ , а непрерывные управления и^,..., и ^ с.обратной связью удовлетворяют принципу максиму т Цонтрягшш. Для ('¿к ^2)-мерного вектора множителей Л^гранжа запишем отряженную гэиильтонову

систему

,-7 (з,

<а р-, Л Ъх / •

Непрерывные управления с обратной связью и^- = и^.ос, ч>), в системе (2) - (3) находятся из уравнения Н ч>(и) - о

с функцией Гамильтона

Н (1, и) я ? .

Обозначим через (ЧЧМ,*)) решение задачи Кош для системы (2) - (3), где Л = (>!,--» >*,)• Случай г* ■= 4, соответствует неособому оптимальному режиму, а случай т Л - скользящему оптимальному режиму.

Рассмотрим множества точек, в которых функция Гамильтона в началышй момент Ь - о имеет т. -кратный максимум

являющиеся конусами в сопряженном пространстве.

В § 3 доказывается, что уравнение Ни(л,ж,Ч>/и):=0 эквивалентно тригонометрическому уравнению порядка не выше с коэффициентами, полиномиально зависящими и е4 и фазовых координат и линейно зависящими от сопряженных координат. 3 массе 5 к тригонометрическое уравнение заменяется на алгебраическое порядка не выше 2п, +2 . Отсюда следует, что множества Туя ^ при т. + з выровдаются в точку. 3 этом х. параграфе доказывается следующая лемма.

ЛЕММА 3. Для каждого ^ , 1 ^ ^ <■ множество Тгч^ \ гпТТГГТ открытшл вещественным гладким многооб-

п""""' ударности 2. п. + 5 - м .

Лемма остается справедливой для множества в сопряженном пространство'и в том случае, когда,вместо точек Ъ-0 , ■х. =• рассмотреть функцию Гамильтона при произвольных допустимых зна-чегаях (4.,'ос). Аналогичная'лемма! доказывается для множества в сопряженном пространстве, в-точках которого функция Гамильтона класса б в начальный момент имеет т. -кратный максимум на отрезке,[-2,2] , где содержатся все управления. Как слэд гвие

леммы 3 выводится, что окрестность точки ^ € Ort m разбивается на »w. непересекающихся частей, где разные ветви управления с обратной связью максимизируют функцию Гамильтона.

Б § 4 доказывается локальная гладкость и максимальная, равная 2.W-M , размерность поверхности

в ^азовом пространстве, где через обозначено решение

при гт. -1 , Строится гладкая, за исключением множества малой размерности, функция действия I = сое»-,) двойственной задачи быстродействия. Она служит для применения достаточных условий оптимальности, из которых следует, что все такие управления локально оптимальны. Затем по теореме I эти результаты продолжаются на полуось СО,««) . Сформулируем заключительную лемму параграфа.

ЛША 7. Для всякого } е тп 1 \ m 2 точка принад-

лежит граница множества достижимости упраа-шемой системы (2) с m = i.

В § 5 при предположении об устойчивости скользящего режима утверждения предадут. .4) параграфа, относящиеся к неособому режиму, • переносятся на условия скользящего режима. Доказывается лока ная гладкость и максимальная, равная 2 к.+ 4, _ гзмерность поверхности

j-1 d J

в фазовом пространстве. Так же строится х'ладкая, за исключением множества малой размерности, функция действия двойственной задачи быстродействия. Достаточные условия обеспечивают локальную оптимальность всех непрерывных ветвей управления с обратной связью. Затем по теореме I эти результаты продолжаются на полуось [ о, оо). доказана следу -дилемма.'

JIiJ.1I/ui 10. При выполнении глобального предположения об ус-i ^Йчиеооти ск :Ьзящего режима для всякого } € fix « Тп. ^ t \ < < к. , ючка 7 'х) принагдежит границе множества

достижимости управляемой системы (2).

Локальная ил„ глобальная устойчивость скольсчщого режима подразумевает локальное или глобальное сохранение условия -кратности максимума функции Гамильтона здоль траектории. Понятие устойчивости допускает и уменьшение ч' зла точек максимума из-за слияния в отдельннх критических точках различных максимизирующих ветвей управления с обратной связью. Увеличение числа точек максимума по теореме 2 невозможно. В случае разрнв-ного уменьшения числа точек максимума набор управлений u t, и>« о положительными коэффициентами > iперестает удовлетворять необходимым условиям принцип" максимума Понтрягина и поэтому должен быть исключен из рассмотрения. Следовательно, в таком случае либо из (1 ".-»О-мерной поверхности, введенной в предыдущем параграфе, исключаются некоторые внутренние точки, либо эта поверхность после исключения всех неоптималышх траекторий теряет размерность. Так как согласно теорема I такие поверхности с разными номерами ^ попарно ив имеют общих внутренних точек, то при анализа нарушения устойчивости скользящего режима следует рассматривать только вторую возможность иск-лочения при некотором т. одной из (2.+ i) -мерных поверхностей.

• В § 6 доказана лемма II об устойчивости скользящего режима. Показано, что склеивание введенных в § 5 (.2^+1)-марннх • поверхностей с разными номерами ^ происходит вдоль га ('¿t\}-мерного края только в случае соседках номеров. Поэтому докш-чение хотя бк ^дной из поверхностей обнаруживает, что совокупность остальных не покрывает всей'окрестности некоторой граничной точки инокэства доотаяяшетя. - Таким обра та, глобели'сз"" предположение лекмн 10 выполняется, я её справедливость становится безусловной.

Подготовите, лше и вспомогательнаэ заключения первых шзст.ц параграфов завершается в § 7 формулировкой основных результатов главк о параметрическом описании граничных поверхностей

ШРШХ 2. Граница 3 Ь Г С? > . i < м е со f го о, 0< uuj , множества значений система функционалов в классе 5г'' является объединением множеств -Л-t + t , попарно не имеющих общих внутренних точек. Каждому из множеств Sl^ , ™ - i,...- «-+1 , соответствует множество ТПХу^ так. что

справедливо параметрическое представление

«¿ = 1

Управления с обратной связью, входящие в правую часть гч-мильтоновой системы (2)-(3), задаются согласно легою II как непрерывные ветви решения породдащего их уравнения с различными при ^ е тух ^ начальными условиями

Таким образом, шггораш построения граничной поверхности по теореме 2 содержит следующие конструктивные элементы: отыскание точек максимума функции Н (о, -хс> ^ и. ) на С о, 21) для произвольной точка ^ сопряженного пространства, выделение непрерывных ветвей решения уравнения, порождающего управления с обратной связь», с заданными начальными условиями, максимизирующими функцию Гамильтона в начальный момент, и решение задача Ковш дня семейства гашльтоновых систем (2) - (3) с произвольным начальный значением соарякеаного вектора. п

¿«алогичная теорека доказывается для класса со своей управляв .ой системой и с ограничением на управление.

Ан&дйтцческие а гдадкостные свойства граничных поверхностей неиосхадствешо слодувт аз доказанной теоремы и свойств аналитической иди гладкой зависимости решения системы дифференциальных уравнений от иарацатра X и от начальных данных.

Следствие I. За искшочэнаем кусочно гладкого многообразия размерности доныаэ, чем 2 п. + \ , часть XI1 граничной поверхности 'ЭВ.СЧ'*) является аналитической поверхностью.

Следствие 2; Граничная поверхность 'д Ъ ^ {-г ) / 1<Г\£°а> является гладкой.

К.И.Бабенко (тр. Ма?. и ;т. АН СССР, 1972, т.101) доказал оуществование аналитической гиперповерхности на границе тела коэффициентов кнассэ Б » Там ад указано, что функции, максимизирующие некоторый линейный функционал в классе в , доста-глдгат точки замш -пая аналитической гиперповерхности. Следса

вие I в своем частном случае М = 00 несет больгэ информации, так как опорные точки класса S могут находиться только среди функций, соответствующих части граничной поверхности .

К.И.Бабенко прянадде^т также утверждение, что за исклю чением множества малой разпрности, в каждой точке граница тола коэффициентов в классе S существует вектор нормали, удовлетворяющий условии Липшица. Следствие 2 в своем честном случае М •= со несет больше информации. Помимо существования вектора нормали, в доказательстве следе: ия устанавливается, что нормаль совпадает с сопряженным вектором Ч* . Условие Липшица для вектора S5 - это минимальное следствие дифференциальных соотношений (2) - (3).

Нарушение аналитичности поверхности XL m при ^ > i в её внутренних точках может произойти по двум причинам: возможное нарушений аналитичности множества W.M и прохождение траектории {х Ct, 1,1), 44t д») через критические точки управления с збратной связью, в которых, з частности, происходит слияние эго различных ветвей. ^

Оба следствия I и 2 теряют силу при переходе к классу S^ , - точки зрения конструкции алгоритмов единственный отличительна фактор, влияющий на нарушение свойств аналитичности ч глз-;к.остк при переходе к граничной поверхности 'S R D ^ i г ) . лак-зочаотся в том, что уравнение Лёвнепа и порождал1"" - ш тарав-

_ м

яемая система в классе икает оr^-i"' э на управляющие ункцаи. Более точные геометри1" -- „¡-актеристита содоркат-я в следующем слодст»«".

^""ГШ';- ■ ■ _ -'^иачная поверхность 'öRDfv(3)) 4 < М i угловые гранита е точки. Имеется так© особо" одно-эрчое многообразие, соединяющее.угловые точки, на котором эктор норлала к граничной поверхности терпит разрыв.

Угловые граничные точки соответствую? двум функциям Ьлбо ш их аналогам при конечных значениях М . Одномерному много-5раз1ш соответствуют функции, отображающие единичный круг на iyr радиуса М с разрезами по отрезкам на вещественной оси.

Основные результаты первой главы применяются во второй :аза для решения общей проблемы коэффициентов и для решения

частных экстремальных задач в классах однолистных функций.

В § 8 дается параметрическое описание граничной поверхности Эмножества значений системы коэффициентов, что решает общую проблему коэффициентов в классах Б и 5м . Ввиду вырожденности при 2=0 первых двух функционалов системы Эко этот результат не является непосредственным следствием или конкретизацией теоремы 2. С сохранением оптимального по^-хпча приходится понижать размерность многообразий, порядков уравнений. В то же время упрощение системы с её переходом к ц. позволяет всем выражениям, записанным в теореме 2 в общем виде, придать явную или рекуррентную форму. Сохраняют силу аналитические и гладкостные свойства границы.

Запишем алгоритм построения в комплексной форме. Положим

О о ... О а, о

а

'г--*

о

а,

о о

оЛ*.) =

а.

сь

Здесь комплексные элементы матрицы А и вектора <х 'зависят от л , {. Рассмотрим такие вектор ^ множителей Лагран-

;;са. размерности ^ с комплексными асоординаташ. Как и в теореме 2, пусть > 1 - произвольный набор неотрицательных чисел, сумма которых равна единице. Рассмотрим гамидьтоиову систему

' .А а.

сС а

3

а(о) =аг

сЬЬ

"

Л-1

¡-л 5=з

(4)

(5)

где J £ гл. ^ кх. , а уаравле1шя с обратной связью

даются непт^рывными ветвями решения уравнения

И и, О.,* и

■ I ! ' /

)

О

(6)

с начальными условиями

и (0;ас еос^о.я:Н(0(аь ? и) ПСо,2г) (7)

и ' кл ' 1

и & функцией Гамильтона

►г-1 \ , • Т 1

= -22. ^ е (А о.) V

Дифференциальное уравнение (4) .для вектора <х> следует рДйоцатривать как систему -1 координатных дифференциальных

...относительно ксмплекиноз.чачншс <т«шкций аги), 0:1ще^лй.вачальными значениями. Поскольку значение ко^рдина-не<?уществе.".о, то дифференциальное уравнение (5) для следует рассматривать как систему ^ -1 координат-Ц^©з#эренц11альных уравнений относительно кошлекснозлачных (Л) ,..., Причем последнее координатное уравне-

н:: ¡вырождено: ^ (о - О . Поэтому (с) - со-и-и. Аналогично предыдущей главе рас ютршл множества

(£оо>чхэс И(0,ас^и) П Г-!,гЗГ}) "и м

ТЕОРМЛА 3. Граница множества значений елотеш ко-

эффициентов в классе 5 п , а г 2. , 4 /ч < оо , является объединением множеств XI! , _П. , попарно не имеющих обща- внутренних точек. Кавдому из множеств _£1т _ ^ = ^ ...., -1, соответствует множество уп. ^ так, что справедливо параметрическое представление

= М г 1011 = 4, А --- (х,, X.,),

где есть проекция на фазовое пространства решения

ьадачи Коши для семейства гамильтоновых систем (4) - (5) о непрерывными ветвями - о^ ( ) н её право'- ч^сти, удо-

влетворяющии уря-^нению (6) и начальны.. уювияы 1.7).

Сохраняют свою силу следствия I и 2 первой главы примени ■

тельно к граничной поверхности ЪУп. .

Среди граничных функций проблемы коэффициентов особая,! роль принадлежит тем, которые отображают единичный круГ'-наа плоскость с одним аналитическим разрезом. Доставляемые, имяи точки образуют аналитическую гиперповерхность -О.1 теоремнчзз при И = оо . Только среди них могут находиться опорные и«., тем более, крайние точки класса в . Известны некоторые с&Ш-ства аналитических разрезов для опорных точек класса 5 . В;; частности, так называемое 5"/4 свойство: в каждой своей точке разрез составляет с радиальным направлением угол, не превосходящий 5Г/ 4 . в связи с этим привлекла внимание задача,, поставленная в 1982 году И.Е.Базилевячем. Она состоит в нахождении оценки дач отношения гармонических мер двух берегов Ьиа-лятического разреза, обра •тощего в каздой своей точке с ради-алышм направлением угол, не превосходящий о< , Ого< <ЗГ/2 . Та же задача Р.6.32 помешена в сборнике нерешенных проблем комплексного анализа (А>\.сиЭ.м., к.Р., б^оль^с^. Ь.Д.

лл. ¿лукхик ъ-слк. ъос..^ V 9,р г , р. ),

продолжающем начатый У.Хейманом список. По гипотеза И. Е. Вавилова чэ экстремальными функциязли задачи являются <х-сшрале-образг'е д>ут«кцик.

Т^ОРЗМ Пусть функция $€.5 отображает единичный крут на плоскость .г'апиэдчзским разрезом, уходящим в бесконечность,, который в "воей точке образует с радиальным нал ранением угол, не правой.-.;,и* о( , 0£о<«гЗГ/2 . Обозначим через Ц) , г'г дуги единично! :;;ости, соответствующие двум берегам разреза при отображении ; Пусть !(к -лебегова мера дуги I'к , к - 1,1 . Тогда справед.^ - г:?рав°к-ство

5-гы „ ^АЛГ- зг+аос - <--- - . (8)

Теорема 4 доказывает гипотезу И.&Базялевяча. Она обобщена в § 9 на случай отображения на плоскость- с конечным числом разрезов, обладающих теми же свойствами. Неравенство (8) сохранится, если под 5Гг понимать объединение дуг единичной окружности, которые соответствуют всем "левым" берегам разрезов, а под - её дополнение.

Ш.§ 10 общие методы первой главы и теоремы 3 применены к [рвйдйшо частной задачи об описании трехмерного вещественного ¡лгйожества . Для М-<я она была решена Д.Фелпсом (РШр%

ПГ^ол^.ОТкаЛА. 5ос. . 1969 р. &5 )

!'Хеавдом экстремальных метрик. О.Т^'.ш в двух монографиях ЧС^ати^Д. О. ЬмА. ОхоЪи -УКоЛА., 6<<б , зп, 43ба )

^оппоал;часть границы названную им "алгебраической".

Зля? остальной части двумерной граничной поверхности он получил .мдаорНятные оценки. На некоторых участках им высказана гипоте-з^о,Точной границе, нашедшая частичное подтвервдение в работе ( ЭокСпдп. О. Олип, 5x1.. 'Ргл^л. . 19^2.

). Методы последних работ основаны на ц..гег-Шювании неравенств, поровденных дифференциальным уравнением ■Бавнера.

Ввиду громоздкости не ..риводим полной формулировки теоре-в которой решается задача. Двумерная граничная поверхность в ней представляется как объединение двух многообразий -0.1 а -О. ^ , не имеющих общих внутр '.них точек. Поверхность _0. л реализуется в неособом реяиме и ее точки определяются как решение семейства задач Кош для систе а двух относительно простых обыкновенных дифференциальных уравнений. Пог^рхность XI. 2 реализуется в скользящем режиме и выписывается явно.

Для сравнения теоремы 5 с результатами О.Таша разобьем поверхность XI. г на две части XI \ я П\ , соответствующие двум различным формулам описания. Б свою очередь, поверхность разбивается на две части XI и -0.1,г . В первой из кик разные ветви управленнл с обратной связью не сливаются, а во второй - в некоторой точке происходит слияние двух различных ветвей управления. Поверхности XI. [ и XX были описаны О.Ташн в иных терминах. Относительно точного описания поверхности »XI высказана гипотеза, частично подтвервдонная 0. Йокиненоы. Таким образом, в теореме 5 доказана справедливость

__ л 2

гипотезы О.Т&ши для всей поверхности XX а' , а также содер-ж'-'ея иовий результат с описанием поверхности Х)_ 1 .

Проведано исследование свойств граничной поверхкоми.

ТВОРША Р. Граница "й К Ч^м , 1 < И °° , явля .¡я двумерной поверхностью, вдкой всвду, за исключением двух угловых точегс и соединяющей их кривой.

Ь §11 .производится сравнение теоремы 5 с работой Д.Ф^лп-са, в которой указаны квадратичные дифференциалы для граничных функций. Доказано, как они могут быть использованы для построения оптимальных управлений и траекторий теоремы 5 и придания другол формы параметрического задания поверхности XI1 . С помощью квадратичных дифференциалов Д.Фелпса строится.однолистная цепь подчинения, или производящая функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнена» Лёвнера в частных производных. Отсюда находится оптимальное на полуоси Со(оо) управление, сужение которого на любом отрезке также оптимально. Композоция присоединенной и ЬроизводящеЧ функций с разными параметрами цени создает граничную функцшэ теореш 5 в неособом режиме, выраженную в других терминах к технически допускающую представление чгреь нормальные эл. ¡пткчеыае интегралы Лекандра. Ис~ лояиЗОвакЕе квадратичных дифференциалов для придания I. лой формы представления поверхности XI. г нчцелеобразно, так как её явный вид ь теореме 5 не допускает существенного упрощения.

В § 12 общие методы ..пх-хслоя для описании гран1: •.'ол кривой О Л ]}"(?} в об;.;е\'. V ^.а^О, Он-'5 состоит из двух кривых -П. 4 к XI., , I -.г ■ "'■г.'Х'пахся в неоосбои и в скользящем ; томе. При М »о" с- •-- решена С.И.Фёдоровым (Записка пауч" семин. ЖГ'Г /,139, с. 156-16?) методом

'экстремальных. метрик. Достро". и;. квадратичные дафференци-аш тз^че могут быть испсльзоя-кы ляд вахоздения граничных фу-нхцил _ неособом режиме к придания другой формы параметрического задалкя кризойХ11. Крива-'XI г выражается элементарно. В частном случао Зт г г 0 все фу::?<циснали системы Зц в массе Б принимают вещественные значения, размерность множества значений меньшается вдвое и задача значительно упрощзятоя-

Выведенные в перво" главе достаточные условия оптимально сть а задаче о множество значений системы функционалов 3 к. аналогично переносятся на системы функционалов более общего вида, которое зависят от значения функции и её производные .-:з в одной, а в нескольких то- :ах единичного круга. Широка известность приобрели две задачи Грокуолла об оценке !?(гЧ и. (рVхз! в зависимости от |"(0) в классе Э . Частичные решения первой задачи в работах Р.Неванлинны, Г.М.Голузина, Н.А.Лебедева и И.М.Милана были завершены Дж.Дженкинсом. давшим полное описа-

нив в классе S множества значений системы I? (о)|}. В

классе S r первая задача Гронуолла для вещественных 2 была решена Г.В.Улиной, позднее другим методом В.Н.Астаховы;.".. Вторая, задача Гронуолла в этих условиях была решена В.Н.Астаховым и В.Я,Гутлянским. Задача Гронуолла решалась и в других классах однолистных функций.

Вв§.13 приводится решение первой задачи Гронуолла в классу при веществешшх H . Решается и вторая задача Грону-э.тих классах. При этом поиск точек граничной кривой \11 сёШиШлприроды, реализующейся в неособом режиме, сводится к ÇfëiiSlîfô; задачи Коши-для однопа^.аметрического семейства систем д^й® зрнциальных уравнений с условием трак-версальности на конце.

Во. всех частных задачах второй главы скользящий режим 裏з0шшвляёт дополнительн. j соотношения для выделения интег-р^эдшсистем дифференциальных уравнений. Граничные поверхнос-тушлипдаривые, реализующиеся в скользящем режиме, выписывают-Наибольшие трудности заключг-ттся в исследовании нео-сайэйжчрежима.

Ме£од мажорантных областей имеет меньшую по сравнению с о;«ивалышм управлением степень общности. Но в отдельных случаям удачного построения'и эффективной оптимизации, сохраняющей истинные граничные точки, он приводит к успешному решению трудных задач. Представляется важным выделение подобных возможностей применения этого метода.

В третьей главе метод мажорантных областей рассыатривае-ся на примере двух экстремальных задач.

В § 14 решается обобщенная задача Гронуолла для класса Ио( , Ы.у,0 , «-выпуклых функций, которые называются также функциями Мокану. Класс M ы образуется в результате интегрирования в квадратурах частного вида дифференциального уравнения Лёвнера-Куфарева. Он определяется как класс аналитических в единичном круге функций f с разложением (I), для которых г щественная часть функции

и»

положительна.

Обобщение задачи Грон^олла заключается в том, что оценка ищется в зависимости не от одного, а от нескольким на-коэффициентов ,.... <х ^41 разложения (I) функции | V пользуясь оператором, который проектирует класс Каратео-Д^рй э, свое подмножество функций, имеющих фиксированный первый »}й^эдиект, индуктивно строим последовательность р1) ра,...

этого класса и соотвгтственно последовательность -ii.fi .л, дунщий класса Монану. Индукция предполагает последовате-дь^ор. фиксирование коэффициентов X1, 5Сг>... разложения (9), чдо. эквивалентно последовательному фиксированию коэффициентов разложения (I).

Мажорантные области строятся для множества значений правой части дифференциального /равнения Лёвнера-Куфарева, гени-сирудей класс Мо<. От унвнения Левнера-Куфарева переходим к дифференциальным неравенствам. Их интегрирование со- таняет две истинные точки на границе семейства майорантных областей, д роторах реализуется экстрему .модуля функции.

.Считая ^ ^^ положим

..

Т'* .„о - { ... Х»-г У г.

.. 1 к

Г тёоре.йэ 1С, доказанной в § 14, если выполняются неравенства

с-¿Г"1 т-С^......гГ^- > ЪО , - (10)

то для функции ?е.Ме! о фиксированными коэффициентами ^

о, „ ^! справедливо неравенство

\Н1)\ £ . <П>

Если знаки неравенств (10) поменять на противоположные, то и адаки неравенства в (II) г; меняются на противоположные.

В случае для различных вращений.функции | класса Пс

всегда можно добиться я выполнения неравенства (10), и выполне-

ния ему противойозйййй&чч Следовательно, всегда можно получить уценку сверху'и 'оценку снизу для if(?)|.

В случае 'à 'эй '¿чет вращения ьсегда можно дооиться выполнения неравенства '(Ш) или ему противоположного. Следовательно, всегда можно получить ли£ оценку сверху, лиоо оценку снизу для l?Cz)l .

В этой у главе рассматривается другая экстремальная задача, поставленная Дж.Хаммелем с соавторами ( Н-итм! J.A..

L. j./irvûi^-w "s^tk., 19^. V. ы. Р. 16 9 - i 9 о ), которая заключается в наховдегык точной оценки дуг* коэффициента а^в классе 65 одно "четных ограниченных .функций

f (-г ) - ас + ai2 + аг72 + ... ( I7K4,

не принимающих в единичном .руге нулевого значения. Авторы по-чтановки задачи рекомендовали применить для ее решения вариационный метод Дюрена-Шиффера.

Между классом S s и классами од-'олистных функций Тельфера и Б1бербаха-Эйленберга нетрудно установить взаимосвязи. Б § 15 с помощью неравенств Лебедева-Мамай т классе Гельфзра и неравенства Хаммела-Шиффера в классе Бибербаха-ейле"берг-э, других известных неравенств строится двупараметрическое семейство майорантных областей» зависящее от коэффициентов cl0 и а}1 содержащее множество значений коэффициента clz в классе В s ■ На границах семейства мажорантных областей находится одна истинная точка, которая доставляется функцией, отображающей.единичный круг на круг с прямолинейным разрезом, выходящим из начала координат.

В процессе оптимизации по параметрам <х0 и дзупарамет-ричесхое семейство мажорантных областей выроздается в область, для которой истинная граничная точка наиболее.удалена от начг-ла координат. Именно в ней реализуется точная верхняя оценка коэффициента а, 2* в классе 65 .

Такой метод оптимизации проведен в теореме II, полную фор -мулировку которой не приводим ввиду ее громоздкого выражения.

Заметное место в теории однолистны- функций з^ лмает изучение классов фут дй, имеющих ш,-я'ральнс представле; е. Та-

юш, в частности, является класс с< —выпуклых функций Мо"ану, для которого в § 14 решалась обобщенная т здача Гронуоллсх. Известно интегральное представление класса Ц ^ , X >, О , функций почти выпуклых порядка У . Его можно определить эквивалентным образом как класс аналитических в единичном круге функций f таких, что для любых значений Г1 е1} 9г. 0<г<^1 < ©2 , выполняется неравенство

^г*"*)** >-**.. (12)

и 1 ' '

в-1

Самый щирокий из известных классов однолистных функций, имь>-щкх интегральное представ' ")ние , - это класс Базилевича.

Ещ'з одной большой темой исследований в теории од- -элистных функций стало изучение влияния интегральных преобразований на сохраните или изменение аналитических и геометрических свойств классов функций. Внимание привлечено, в частности, к интегральному преобразованию

■г о

вьяснгчи:о' ого свойств однолистности, звездообразности, выпуклости, почти выпуклости в известных классах-однолистных функций. Методы решения экстремальных задач, связанных с интегральными операторами, имеют в большей степени специальный характер.

Четве^.ая глава посвящена построению интегральных представлений и исследование интегральных преобразован^; классов однолистных функций, применению классических методов и разработке специальных методов решения экстремальных задач в таких классах.

Б § 16 выводится интегральное представление класса С СМ функций, выпуклых в направлении мнимой оси. Рассмотрены различило обобщения для аналитических и мерсморфных в круге функций, выпуклых в нескольких направлениях. С помощью этого ин-

тегрального представления классическими методами анализа ¿решается экстремальная'з^р^а' Р.6.53 упомянутого выше сборника .нерешенных проблем комплексного анализа о линиях уровня Функций, выпуклых в направлений мщшой оси.

ТЭЭРША 13. licjiiiфункция $ выпукла в направлении данной оси, то для всякого V2-J j область

I>r = lw: -W-Hxd , m<ry

выпукла в направдеййамнимой оси. Значение - i максимально в том смысле, что ;'для'всякого г е - it i) найдется выпуклая в направлении мнимой оси функция j такая, что ее область £>, не явл ется выпуклой в направлении мнимой си.

О существовании найденного в теореме 13 пограничного числа в классе CD А оыло известно из работы А.Гудаэна и Е.Са$фа и работы А.Хенгартнера и ГШобера. Проблема Р. 6.53 состояла в нахождении его точного значения, в формулировке проблемы высказано предположение о том, что экстремальное значение равно y/T-i.

В § I? для произвольных веществьаных с* исследуется вопросы инвариантности интегрального преобразования Эсх относительно свойства почти выпуклости заданною порядка и о погружении образа 3 ы С L *) класса L у при преобразов. :ии 2 в класс У4 = ]f4 (<*, Необходимые и достаточные условия

(12) почти выпуклости порядка У линейно инвариантны, Поэтому линейно инвариантное расширение класса ¡с) на изменяй?

его порядка почти выпуклости И t (о<, i) . В теореме 14 применяется принадлежащий автору метод линейно инвариантного расширения интегральных преобразований над линейно инвариантными семействами, не изменяющий порядка почти выпуклости. Найдено не--улучшаемое значение (ot, t). Геометрическая задача сводится к аналитической задаче оценки функционалов, решаемой традиционными средствами. Аналогичная теорема доказывается о порядке почти выпуклости интегрального преобразования Л с. над другими классами однолистных функций, имеющих интегральное представлю ьле.

В § 18 приводится обзор других экстремальных ^адач для интегральных представлений и инт тральных преобразований в

классах однолистных функций, решенных автором, и применяЕ-ихся в них методов"оптимизации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Прохоров Д.З. О геометрической характеристике функций из подклассез Еазилевича // Известия вузов. Математика. 1975. £ 2. с.130-132.

2. Прохоров Д.В. Об одном обобщении формулы Кристоффеля-Швар-ца // ¡¿атем. заметки. 1975. т. 17. $ 5. с.749-756.

3. Прохоров Д.З., Рахманов Б.Н. Об интегральном представлении одного класса однолистных функций // Матем. заметки. 197Ь. т.15. Л I. с.41-48.

4. Прохоров Д.З. Интегралы от однолистных функций // . л там. заметки, 1978. т.24. Л 5. с.671-678.

5. Прохоров Д.В. Линейно инвариантные расширения семейств аналитических функций // Известия вузов. Математика. 1979. № 9. р.41-47.

6. "то: -ров Д.В. Интегральные преобразования в некоторых классах одноли'^кых функций // Известия вузов. №атвматикл./1»о0. И 12. с.45-49.

7. Рг '.когсгг С. V. ( ^. СоелЛл.п^Ьгб

£оу £. ои-и-сОиЛ- »тллллго^'и-С'^ссл^ ¡1 Охал!.

Рсйпг. Зки., 1вЬ1. $<1. ггьоли.. V. 23. а/5-6. рггъ-гъо

8. Прохоров Д.В. Комбинированные признаки однолистности ана-литическ : в круге функций // Известия вузов. Математика. 1983. а 8. 0,76-77.

9. Прохоров Д.Б. Метод оптимального управления в экстремальной задаче на классе однолистных функций // Догл. АН СССР. 1584. т.275. № 4. с.798-801.

10. Прохоров Д.В. Соотношение мер граничных множеств при отображении круга на плоскость с разрезами // Известия вузов. Математика. ХЭ85. № 4. с.53-55.

II. Прохоров Д.В. Принцип максимума в решении экстремальной эздачя на классе однолистных функций // Сибирский матем. 'журн. ISB6. т.27. 3 I. c.T%-IS0.

12» Прохоров Д.В. Об областях значений систем функционалов и Ш$агрировании однолист1Шх ф„ нщий // Известия вузов. Ма-ЭД^тика. 1966. № 10. с.33-39.

J-U* D.v. 2kopí/rí.rvu¡-ti-¿c prrcí(e.mA>

vy^,. the. tA-eor^. of "лилтй^ /и/4c,t¿ov4 f/ Ко/даексный анализ и приложения ' 85. 1986. София, с.524-

1)Ц>Цро»ороБ Д.В. Ъшии уровня функций, выпуклых в направлении tpcH // Матем. заметки. 1988. т.44, № 4. с.523-527.

Хй^Зрохоров Д.В. Построение множеств достижимости для управляемых систем, порожденных уравнением Лёвнера // Республ, совещ.-сешнар по компл. анализу и прикл. задачам уиравл. 1989. Киев: Инст. математики All ~%Р. с.37.

ÍE6. Прохоров Д.В. Множества значений системы функционалов i?1""' ( г)} для ограниченных .днолистных функций // Всесоюзная конф. по геометрии и анализу. Не -сибирск. 14-16 ноября 1939 г. Тезисы докладов. 1989. Новосибирск, с.66.

17. Прохоров Д.В. Ограничение на управление в задаче о множестве достижимости уравнения Лёвнера // Первая Всероссийская школа по основ, матем. и теории функций. Тезисы докладов. 1939. Саратов, с.112.

1.„дписано к печати 7.08.90

Формах бумаги 60x34 1/16 1,5 п.л., 1,24 уч.-изд, л. осг.э:з 211 Тираж 100 экз.

Отпечатано на ротапринте Института математики СО АН СССР 630090 . Новосибирск, 90