Оценки линейных функционалов для ограниченных однолистных функций, близких к тождественной тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

На правах рукописи

Григорьева Елена Валерьевна

ОЦЕНКИ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ, БЛИЗКИХ К ТОЖДЕСТВЕННОЙ

01.01.01 -математический анализ

г Автореферат

диссертации на соискание ученой степени 1 кандидата физико-математических наук

Саратов-2003

Работа выполнена на кафедре математического анализа Саратовского государственного университета им. Н.Г.Чернышевского.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Прохоров Дмитрий Валентинович.

доктор физико-математических наук, профессор Старков Виктор Васильевич.

кандидат физико-математических наук, доцент Камышова Галина Николаевна.

Ведущая организация:

Томский государственный университет.

Защита состоится О. сР 2003 г. ъ/^мин. на заседании

диссертационного совета К 212.243.02 при Саратовском государственном университете им. Г.Н.Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, IX корпус СГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского < государственного университета.

Автореферат разослан 2003 г.

Ученый секретерь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент В.В. Корнев

'¿оо5-А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Геометрическая теория функций комплексного переменного изучает свойства конформных отображений, главным образом, геометрическими средствами. В начале XX века стали создаваться разнообразные методы решения экстремальных задач в классах однолистных функций, аналитических в канонических областях, например, в единичном круге D = {z : |z| < 1}.

Основным объектом исследования в теории однолистных функций стал класс S всех аналитических и однолистных в D функций /, нормированных разложением

(1) /(г) = z + a2z2 + • • • + anzn + ..., z € D,

а основным содержанием - решение экстремальных задач об оценках функционалов в классе S и его подклассах.

Нетривиальный подкласс S(M), М > 1, класса 5 состоит из ограниченных функций /, удовлетворяющих в D условию |/(z)| < М.

Наиболее известные экстремальные задачи в классах S или S(M) связаны с оценками коэффициентов разложения (1) и функционалов, зависящих от коэффициентов. Особое место среди таких задач занимала гипотеза Бибербаха1 о том, что в классе S справедливы оценки |о„| < 71, п > 2, со знаком равенства только для вращений функции Кебе K(z) = z/{ 1 - z)2, которая отображает единичный круг D на плоскость с разрезом по лучу на отрицательном направлении вещественной оси с вершиной в точке —Гипотеза Бибербаха была доказана де Бранжем2 в 1984 году. Подробный анализ и библиографию по проблеме коэффициентов в классе S и его подклассах можно найти в монографиях Г.М. Голузина, И.А. Александрова, H.A. Лебедева, И.М. Милина, К.И. Бабенко, Дж. Дженкинса, В.К. Хеймана, П. Дюре-на, Хр. Поммеренке, О. Тамми, обзорных статьях Д.В. Прохорова

*L. Bieberbach. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln. S.-B. Preuss. Akad. Wiss., 1916, 940-955.

2L. de Brenges. A proof of the Bieberbach conjecture. LOMI Preprints E-5-84, 1984, 1-21

и других. Ряд экстремальных задач по оценкам коэффициентов локально однолистных функций универсального линейно-инвариантного семейства решен В.В. Старковым с соавторами Г.М. Димковым и Я. Годулей.

Что касается класса S(M), то роль функции Кебе в нем отводится функции Пика Рм3,

Рм(г) = МК-г =z + f>„(M)z"GS(M), zeD, M > 1,

^ ' n=2

которая отображает единичный круг D на круг радиуса M с центром в начале координат с разрезом вдоль отрезка [—M, —М(2М — 1 — ■s/M2 — M)] на отрицательном направлении вещественной оси.

Тем не менее функция Пика Рм перестает быть экстремальной в задаче об оценке коэффициента |а„| в классе S(M) при некоторых п и М. Так, Северский4 и Шиффер и Тамми5 показали, что в задаче об оценке 5?ап в классе S{M) при M, близких к 1, экстремальной функцией является (п — 1)-симметричное преобразование функции Пика

РмМ = [РМ»-ЛгП~Х)]Щп-1) G S(M).

Результат Северского и Шиффера и Тамми пробудил острый интерес к исследованию экстремальный задач и, в частности, проблемы коэффициентов в классе S(M) при М, близких к 1. Класс S(M) является замкнутой окрестностью тождественной функции в классе однолистных 1 функций, а число log M может служить радиусом этой окрестности.

Северский доказал свою теорему вариационным методом, разрабо- 1 танным для нелинейного класса S и его подклассов, а Шиффер и Тамми i

3G. Pick. Uber die konforme Abbildung eines Kreises auf ein schlichtes und zugleich beschränktes Gebiet. S.-B. Kaiserl. Akad. Wiss. Wien, Math.-Naturwiss. Kl. Abt. II a, v.126, 1917, 247-263.

Siewierski. Sharp estimatiom of the coefficients of bounded univalent functions close to identity. Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.), v.86, 1971, 1-153.

5M. Schiffer, O. Tammi. On bounded univalent functions which are close to identity. Ann. Acad. Sei. Fenn., Ser AI, 1968, 3-26.

использовали для доказательства того же вывода неравенства Грунско-го. Многие другие результаты о коэффициентах однолистных функций были доказаны параметрическим методом, основанным на представлении всюду плотных подклассов классов 5 или 5(М) интегралами дифференциального уравнения Левнера. В частности, гипотеза Бибербаха доказана де Бранжем именно параметрическим методом.

Позднее в экстремальных задачах теории однолистных функций начали успешно применяться классические вариационные методы к \ множестве решений дифференциального уравнения Левнера. Глубокое проникновение вариационных принципов в параметрический метод связано со взглядом на дифференциальное уравнение Левнера как на управляемое уравнение во всюду плотном подклассе класса Б. После пионерских результатов А. Шеффера и Д. Спенсера® первую серьезную попытку применить методы оптимизации в теории однолистных функций предпринял Г.Гудман7. Свой вклад в применение методов теории оптимального управления к оценкам функционалов в классах однолистных функций внесла группа математиков под руководством И. А. Александрова8 . Позднее теория оптимального управления в применении к классу <9 и его подклассам стала активно разрабатываться Д.В. Прохоровым и его учениками.

Иные направления развития методов оптимизации были предложены

• eA.C. Schaeffer, D.C. Spencer. Coefficient regions for achlicht functions. Amer.

Math. Soc. Colloq. Publ., v.35. New York: Amer. Math. Soc., 1950. I 7G.S. Goodman. Univalent functions and optimal control. Ph. D. Thesis, Stanford

University, 1968.

' 8И.А. Александров, В.И. Попов. Оптимальные управления и однолистные функ-

ции. Ann. Univ. M.Curie-Sklodowska. Sec.A, v.22-24, 1968-70, 13-20. В.И. Попов. Принцип максимума JI.C. Понтрягина в теории однолистных функций. ДАН СССР, т.188, 1969, 532-534.

И.А. Александров, Б.Я. Крючков, В.И. Попов. О начальных коэффициентах ограниченных голоморфных функций. Докл. АН УССР, сер.А, 1973, No.l, 3-5. И.А. Александров, Г.А. Попова. Экстремальные свойства однолистных голоморфных функций с вещественными коэффициентами. Сиб. матем. ж., т.14, 1973, No.5, 915- 926.

С. Фридландом, М. Шиффером9 и другими. О.Рот10 посвятил свою диссертацию описанию и сравнению вариационных методов в классах однолистных функций с оптимизационными методами Д.В. Прохорова и С- Фридланда и М. Шиффера.

В настоящей диссертации рассматриваются линейные непрерывные функционалы

определяемые конечным набором комплексных чисел Л2,..., АП1 А„ ^ О, и решается экстремальная задача о поиске максимума

который достигается в силу компактности класса 3(М). Задача (3) для функционала (2) содержит в частном случае при Л2 = ••■ = Лп-1 = О задачу об оценке ЙаП) равносильную оценке |ап|.

Цель работы. Для решения задачи (3) об оценке линейных функционалов в классе Б{М) при М, близких к 1, в диссертационной работе бьши поставлены цели:

- найти достаточные условия, при которых функция Пика Рм экстремальна в задаче об оценке из (2);

- показать, что достаточные условия весьма близки к необходимым;

- найти конструктивные оценки близости М к единице, обеспечивающие экстремальность функций Пика в задаче (3).

9S. Friedland, M. Schiffer. Global results in control theory with applications to univalent functions. Bull. Amer. Math. Soc., v.82, 1976, 913-915.

S. Friedland, M. Schiffer. On coefficient regions of univalent functions. J. Analyse Math., v.31, 1977, 125-168.

1°0. Roth. Control Theory in W(D). Ph. D. Thesis, Bayerischen Univ.: Wiirzburg, 1998.

П

(2)

(3)

3Щ}) max, / € S(M), 1 < M < 00,

б

Методика исследований. Результаты диссертационной работы получены применением методов оптимизации в рамках параметрического представления Левнера, развитых Д.В.Прохоровым и его учениками. Методика исследования включает применение методов теории функций комплексного переменного, обыкновенных дифференциальных уравнений, вариационного исчисления в форме принципа максимума Понтря-гина, функционального анализа и матричной алгебры.

( Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

- доказаны достаточные условия, при которых функции Пика Ри доставляют максимум вещественной части линейного функционала (2)

1 в классе Б(М) для М, достаточно близких к 1;

- произведено сравнение необходимых и достаточных условий экстремальности функций Пика в задаче (3) для М, достаточно близких к 1;

- описано подмножество двупараметрического семейства линейных функционалов, максимум вещественной части которых в классе 5(М) доставляется функциями Пика Рм для М, достаточно близких к 1;

- дана конструктивная; характеристика окрестности тождественной функции, в которой функции Пика Рм доставляют максимум вещественной части линейных функционалов двупараметрического семейства.

Все результаты диссертации являются новыми и приводятся с полными доказательствами.

1 Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут найти применение в геометричес-в кой теории функций комплексного переменного, теории экстремальных Г задач, теории потенциала, теории достижимых множеств управляемых систем дифференциальных уравнений, при исследовании прикладных задач естествознания и техники, а также могут быть использованы в учебном процессе.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались в Саратовском государственном университете на семинаре по геометрической теории функций комплексного переменного (научный

руководитель профессор Прохоров Д.В.), на объединенном семинаре кафедр дифференциальных уравнений и прикладной математики, математического анализа, вычислительной математики и математической физики, теории функций и приближений, математической экономики (научный руководитель профессор Хромов А.П.), на апрельской научной конференции сотрудников механико-математического факультета СГУ в 2002 г., на 11-й Саратовской зимней школе по теории функций и приближений в 2002 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы автором в работах [1]-[4]. Часть результатов диссертации получена в рамках выполнения работ, поддержанных грантами 98-01-00842 и 01-0100123 Российского Фонда Фундаментальных Исследований, и грантом Е02-1.0-178 Министерства образования Российской Федкрации.

Структура и объем диссертации. Диссертация насчитывает 103 страницы и состоит из введения, двух глав, разделенных на 9 параграфов, и списка литературы из 54 наименований. Принята сплошная нумерация теорем, лемм, предложений, следствий и замечаний внутри каждого параграфа и сплошная нумерация формул внутри каждой из двух глав.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Б первом параграфе диссертации приводятся основные сведения о параметрическом представлении классов однолистных функций и теоре- I мах классического вариационного исчисления в форме принципа макси- 1 мума Понтрягина в задаче с закрепленным временем и свободным правым концом. Рассматривается обыкновенное дифференциальное урав- 1 нение Левнера

(4) — = -ги—-, ш (=о = 2, *>0,

х аЬ е,и - -ш

с кусочно непрерывной функцией и— и(1). Его интегралы

у>(г,1) = е-*(г + а2($г2 + --- + ап(е)гп+ ...), г £ О, t>0,

являются аналитическими и однолистными по г £ D при каждом фиксированном i > 0, а функции f(z) = Mw(z,log М) £ S(M) образуют всюду плотный подкласс класса S(M), 1 < М < оо.

Уравнение Левнера индуцирует систему обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов а2((),..., a„(t), а экстремальная задача (3) сводится к аналогичной задаче для (a2(log М),..., an(log М)). По этой причине становится возможным применение методов классического вариационного исчисления к решениям управляемых систем ^ дифференциальных уравнений. Действительно, для того, чтобы управ: ление u*(t), 0 < t < log М, и соответствующая ему траектория a*(i) = ^ (a|(i), • • •»фазовой системы давали решение оптимальной зада» чи с закрепленным левым концом (а^О),..., 5?а* (0)) = (0,..., 0) и свободным правым концом и заданными моментами времени 0 и log Af, необходимо существование такой непрерывной вектор-функции Ф = (<fiZ(t),...,<fi2n-i), соответствующей функциям u*(t) и a*(t) согласно сопряженной системе, что для всех t, 0 < t < logM, функция Гамильтона Н переменного и достигает в точке и = u*(t) максимума,

(5) гаахЯ(*, а*, Ф*, a) = H(t, а*, Ф*, u*{t)), и

(6) (^(log м),..., v5„-i(bg М)) = (0,..., 0).

Условие (5) называется принципом максимума Понтрягина, а равенство J (6) называется условиями трансверсальности.

Во втором параграфе доказаны три леммы 2.1-2.3, характеризующие ограниченный рост фазовых и сопряженных переменных, и лемма 2.4, выражающая функцию Гамильтона в начальный момент t = 0 как тригонометрический многочлен относительно и с коэффициентами, линейно зависящими от £ = Ф(0). Эти леммы позволили для М, близких к 1, найти условия, при которых оптимальное управление u(t), соответствующее решению экстремальной задачи (3), непрерывно дифференцируемо на [0, log М].

Теорема 2.5. Если для вектора А — * * • ^n — Tnpuzouo-

метрический многочлен

n

(7) #(0,а°,Л, u) = -2^[КЛкСОз(й - l)u - 3Afcsin(* - l)u]

k=1

обладает свойством, что if(0,а0, А, и) достигает своего максимума по и на [0,2тг) только в одной точке и, в которой Huv(0, а0, А, и) ф О, то оптимальное управление и*, соответствующее решению экстре- f мальной задачи (3), непрерывно дифференцируемо на [0, logM] для М, \ достаточно близких к 1. ]

При условиях теоремы 2.5 оптимальное управление и = u(t, а, Ф) 1 зависит от времени t, фазовой переменной а и сопряженной переменной Ф как неявная функция, заданная уравнением #u(i, а, Ф, и) = 0.

В третьем параграфе показано, что при условиях теоремы 2.5 для управления, порождающего функции Пика Рм, выполняются необходимые условия оптимальности при М, близких к 1.

Теорема 3.1. Пусть (Лг,...»€ R™-2. Если для вектора А = (А2,..., A„_i, 1)т тригонометрический многочлен (7) относительно и обладает тем свойством, что он достигает своего максимума по и на [0, 27г] только в точке и = тг и Нии(0, о°,А,тг) Ф 0, то управление u(t) — ж удовлетворяет на [0, log М] принципу максимума Понтрягина (5) и условиям трансверсальности (6) для экстремальной задачи (3) i при М, достаточно близких к 1.

В четвертом параграфе при условиях теоремы 2.5 исследовано по- ' ведение функции Гамильтона и частных производных управляющей • функции и по i и £. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 4.3. Пусть для вектора А = (Аг,..., Ап_х, 1)т тригонометрический многочлен (7) обладает тем свойством, что он достигает своего максимума по и на [0,2ж) только в одной точке и, в которой

25 = -Нии(0,а°,\,и) > 0,

и пусть и — u(t, £) - функция, локально определенная условием принципа максимума (5) и фазовой и сопряженной системами задачи (3). Положим

ы__

4(4^+55!)'

где А\ и Вj определяются условием (1.27). Тогда для всех f из I-окрестности точки А справедливо неравенство

\ |#™(0,a°,f,u(0,?))|>i.

(

» Теорема 4.6. Пусть для вектора Л = (А2,... , An„i,1) тригонометрический многочлен (7) обладает тем свойством, что он достигает своего максимума по и на [0,2ж) только в одной точке и, в которой Нии(0, а0, Л, и) ф 0, и пусть и — u(t, £) - функция, локально определенная условием принципа максимума (5) и фазовой и сопряженной системами задачи (3). Если для некоторого 8 > 0 существует I > О такое, что для всех £ из l-окрестности точки А справедливо неравенство

\Нии(0,а°,1и(0,£))\>8,

то неравенство

и |Huu{t,a{t,()J{t,0,u{t,l))\ > \

J выполняется для всех t G [0, logM] и - Aj| < I, где h

l0gM=2(2 А251бВ2у

а Аг и определяются условием (1.32).

Доказано, что частные производные ut{t,J) ж uj(t,£) локально ограничены и описаны конструктивные алгоритмы их вычисления.

Пятый параграф имеет вспомогательный характер. В нем содержится конструктивное доказательство теоремы существования и диф-ференцируемости обратного отображения в конечномерном евклидовом пространстве, которое позволяет оценить снизу радиусы окрестностей заданных точек, являющихся множеством определения и множеством единственности значений обратного отображения. Доказательство основано на принципе сжатых отображений и его обобщении для отображений сжатия, непрерывно зависящих от параметра. Оно близко изложению в монографии JI. Шварца11, с.294-297. <

В шестом параграфе доказано основное качественное утверждение , первой главы о том, что при условиях теоремы 3.1 функция Пика удов- ' летворяет не только необходимым, но и достаточным условиям экстре- « мальности в задаче (3) для М, близких к 1.

Теорема 6.1. Пусть (Л2,..., Ап_]) б Rn~2 и линейный функционал

L задается формулой (2). Если для вектора А = (Л2....., 1)г

тригонометрический многочлен (7) относительно и обладает тем свойством, что он достигает своего максимума по -а на [0,2тг] только в точке и = тг и Нии(0, а0, А, зг) ф 0, то существует М{А) > 1 maKoe¡ что

твх^ ЗЩ/) = L{PM), 1 < М < М(А),

причем для всех М € (1,М(А)) максимум $tL(f) в классе S(M) достигается только функцией Пика Рм.

1 <

Для сравнения необходимых и достаточных условий экстремальности функций Пика в задаче (3) в окрестности тождественной функции ( теорема 3.1 дополнена следующим утверждением. i

Предложение 6.2. Пусть координаты вектора А = (Аз,..., А„_ь 1)г вещественны и существует Mq > 1 такое, что для всех М € (1, М0) функции Пика Рм являются экстремальными в задаче ($)■ Тогда тригонометрический многочлен (7) относительно и достигает своего максимума на [0,2я] в точке и— -к.

11 П. Шварц, Анализ, т.1. М.: Мир, 1972.

Сходство и отличия условий теоремы 6.1 и предложения 6.2 выражены в следующем замечании.

Замечание 6.4. Пусть вектор А = (Л2,..., Л„_1,1)г имеет вещественные координаты. Различие необходимых и достаточных условий экстремальности функций Пика е задаче (3) длжМ, достаточно близких к 1, по предложению 6.2 и теореме 6.1 выражается в том, что (1) тригонометрический многочлен (7) относительно и достигает своего максимума на [0,2тг] в точке и = же случае необходимого \ условия и только в точке и = ж в случае достаточного условия; ^ _ (И) значение #ии(0, а0, Л, 7г) неположительно в случае необходимого

I условия ч отрицательно в случае достаточного условия. , Таким ьбразом, множество А всех векторов А разбивается на два

непересекающихся класса Ах и Л2, Л1 иЛг — Л, где открытое множество Л1 состоит из всех векторов, удовлетворяющих достаточным условиям экстремальности функций Пика Рм в задаче (3) для М, достаточно близких к 1. Множество всех векторов, удовлетворяющих необходимым условиям экстремальности функций Пика Рм в задаче (3) для всех М, достаточно близких к 1, является замыканием множества А\.

Во второй главе рассматривается задача определения тех линейных функционалов, которые задаются формулой (2) с вещественными значениями параметров Аг,.. ■, Ап_!, Ап = 1 и максимум которых в классе " 5(М) доставляется функциями Пика Рм для М, достаточно близких к 1. Сложность задачи увеличивается с ростом порядка п. Простейшая | задача при п = 2 решается тривиально, ее решение найдено Пиком для ¡1 всех М > 1. Следующий случай тг = 3 менее тривиален, полное его исследование можно найти в монографиях Тамми12. Случай п = 4 далек от тривиальности, решение этой задачи дано Прохоровым и Василье-

120. Tammi. Extremum problems for bounded univalent functions. Lecture Notes in Mathematics, v.646, Berlin-New York: Springer-Verlag, 1978.

O. Tammi. Extremum problems for bounded univalent functions. II. Lecture Notes in Mathematics, v.913. Berlin-New York: Springer-Verlag, 1982.

вой13.

Случай п > 4 ранее не рассматривался. Вторая глава посвящена исследованию двупараметрического семейства линейных функционалов в случае п = 5.

Пусть А4 = а, A3 = ß, А2 = За, (се, /3) G R2, и линейный функционал L задается формулой (2) при п = 5. В седьмом параграфе описано двупараметрическое семейство линейных функционалов, для которых функции Пика Рм являются экстремальными в задаче (3) для М, близ- | ких к 1. h

Введем следующие обозначения для множеств на плоскости (a,ß). '

Ei = {{a,ß) : ß > 4, ß < 2a, ß < 3a - 4}, E'2 = {(a,ß):a>0, ß<-Sa-A), El={(a,ß):ß<4, |/3 + 4|<3a}, = i(a>ß) G El • 9"2 > 32/3 - 128, a(9a2 - 32/3 + 128)3/2 > 27a4 - 144a2/3 + 576a2 + 128/32 - 4096a + 1024/3 + 2048}, 1?2 U E£, E = E\ U E2.

Теорема 7.1. Для всякой точки (a,ß) € Е существует M(a,ß) > 1 такое, что для всех M G (1 ,M(a,ß))

max 5RI/(a,/3: /) = max îî(a5 + aa4 + ßa3 + Зааг) = L{a,ß-, Рм).

f£S{M) J/ fbS(M)

_ >

Если (a,ß) £ E, то функции Пика Рм не доставляют локального ( максимума 3lL(a, ß; /) в классе S(M) ни при каких М, достаточно близких к 1.

Если ß > -4, то функции Pm(z) и —Pm{~z) не доставляют локального максимума 3?(а5+ßa^) в классе S(M) ни при каких М, достаточно близких к 1.

13D.V. Prokhorov, Z. Vasileva. Linear extremal problems for univalent functions close to identity. Bull. Soc. Sei. Lettr. Lodz, v.45, 1995, 11-17.

В восьмом параграфе в теоремах 8.3 и 8.5 указаны способы оценивания спектральных норм матриц А-1 и А-1 В -Е через оценки элементов матриц А и В, а в замечаниях 8.4 и 8.6 эта задача связывается с конструктивной характеристикой достаточных условий экстремальности функций Пика. Именно, теорема 8.5 предлагает алгоритм оценивания снизу радиуса односторонней окрестности точки М = 1, во всех точках 1 которой выполняется условие единственности управления и, удовлетворяющего необходимым условиям (5) и (6) экстремальной задачи (3). ,, В девятом параграфе дан алгоритм получения конструктивных ниж-I них оценок величин М(а,/3), определенных в теореме 7.1, таких, что

!} тах та,р-,1) = 1{а,13;Рм)

/65 (М)

для М е(1,М(а,{3)).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руково-! дителю профессору Прохорову Дмитрию Валентиновичу за постоянное внимание к работе и полезные советы.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Е.В. Григорьева. Линейные функционалы в классе ограниченных однолистных функций. Труды Петрозаводского гос. унив. Сер. Математика, вып.7. Петрозаводск: ПетрГУ, 2000, 3-14. '' 2. Б.В. Григорьева. Оценка линейного функционала для однолист-

■ ных функций, близких к тождественной. Математика. Механика. Сб. \ науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. вып. 2, 25-27.

3. Е.В. Григорьева. Достаточные условия экстремальных свойств функций Пика. Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002, вып. 4, 40-41.

4. Е.В. Григорьева. Линейные функционалы в классе ограниченных однолистных функций. Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы по теории функций и приближений. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002, 58-59.

Г 66 9 2

I

I

Подписано к печати 27. 03.2003 г. Формат 60x90 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. п. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № 37.

Отпечатано в типографии ЦНТИ, г. Саратов, ул. Советская, 60.

Введение.

ГЛАВА I. ЛОКАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ.

§1. Общие сведения о параметрическом представлении классов однолистных функций и формализация экстремальной задачи.

§2. Качественные свойства оптимальных управлений

§3. Необходимое условие экстремальности функций

Пика.

§4. Ограниченность частных производных семейства управлений, удовлетворяющих принципу максимума.

§5. Теорема существования и дифференцируемости обратного отображения

§6. Достаточное условие экстремальности функций Пика.

I J ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУПАРАМЕТРИЧЕ

СКОГО СЕМЕЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ.

§7. Двупараметрическое семейство линейных функционалов, локально максимизируемых функциями Пика.

§8. Оценки матричных норм.

§9. Конструктивные характеристики достаточных условий экстремальности.

Геометрическая теория, функций комплексного переменного изучает свойства конформных отображений, главным образом, геометрическими средствами. Знаменитая теорема Римана о конформном соответствии двух произвольных односвязных гиперболических областей не дает конструктивных способов построения однолистной функции, осуществляющей взаимно однозначное отображение. Поэтому в начале XX века стали создаваться разнообразные методы решения экстремальных задач в классах однолистных функций, аналитических в канонических областях, например, в единичном круге D — {z : \z\ < 1}.

Свойство однолистности инвариантно относительно композиции функций. В частности, произвольную однолистную функцию можно подвергнуть линейному преобразованию и добиться нормировки, сохранив при этом ее существенные геометрические и аналитические качества. Таким образом, вполне естественно, что основным объектом исследования в теории однолистных функций стал следующий класс.

Определение 1. Класс всех аналитических и однолистных в D функций f, нормированных разложением

1) f(z) = z + а2г2 + • • • + anzn + ., z€D, обозначается через S.

Нетривиальный подкласс класса S состоит из ограниченных функций.

Определение 2. Будем обозначать через S(M) класс всех функций / €Е S, удовлетворяющих в D условию \f(z)\ < М.

Экстремальные задачи в классе S и его подклассах заключаются в установлении оценок различных функционалов, среди которых доминируют однородные, то есть инвариантные относительно вращения f(z) —> eiaf(e~locz). Линейные функционалы также вызывали значительный интерес. Напомним общий вид линейного непрерывного функционала L в классе аналитических в единичном круге функций /, оо

Ц/) = Апап,

71=0 где параметры А0,., Ап удовлетворяют условиям, обеспечивающим сходимость записанного ряда. В силу нормировки (1) класса 5 параметры Ао и Ai в общем представлении для него не существенны. Кроме того, будем исследовать линейные функционалы, задаваемые лишь конечными суммами, определяемыми конечным набором комплексных чисел А2,.,Ап, Ап ф 0. Поскольку при решении экстремальных задач умножение функционала L(f) на положительное число не влияет # на поиск решения, то можно нормировать L(f), например, условием

А„| = 1. Если воспользоваться инвариантностью класса 5(М) относительно вращения, то можно положить An = 1. Поэтому будем рассматривать линейные непрерывные функционалы п

2) W) = Y1 А« = 1» к=2 и сосредоточимся на экстремальной задаче о поиске максимума

3) »L(/) max, / G S(M), 1 < M < oo, который достигается в силу компактности класса 5(М). щ Задача (3) для функционала (2) содержит в частном случае при

2 — ■■■ = Ani = 0 задачу об оценке 9£ап, равносильную оценке \ап\. Подобные задачи вызывали повышенный интерес в теории однолистных функций особенно в связи с гипотезой Бибербаха [32] о том, что в классе S справедливы оценки а„| < n, п > 2, со знаком равенства только для вращений функции Кебе К, оо

4) = = zeD, которая отображает единичный круг D на плоскость с разрезом по лучу на отрицательном направлении вещественной оси с вершиной в точке — Гипотеза Бибербаха была доказана де Бранжем [33], [34]. Подробный анализ и библиографию по проблеме коэффициентов в классе S и его подклассах см. в монографиях Г.М.Голузина [7] И.А.Александрова [1], Н.А.Лебедева [17], И.М. Милина [18], К.И.Бабенко [6], Дж.Дженкин-са [12], В.К.Хеймана [30], П.Дюрена [36], Х.Поммеренке [45], О.Тамми [53], [54], обзорных статьях Д.В.Прохорова [25], [26] и других. Ряд экстремальных задач по оценкам коэффициентов локально однолистных функций универсального линейно-инвариантного семейства решен В.В.Старковым [28], [29], Г.М.Димковым и В.В.Старковым [35], Я.Году-лей и В.В.Старковым [40].

Что касается класса S(M)7 то роль функции Кебе в нем отводится функции Пика Рм [44],

5) pM(z) = MK-1 = * + Х>„(му е S(M), zeD, м> 1, п—2 которая отображает единичный крут D на круг радиуса М с центром в начале координат с разрезом вдоль отрезка [—М, —М(2М — 1 — у/М2 — М)] на отрицательном направлении вещественной оси.

Тем не менее функция Пика Рм перестает быть экстремальной в задаче об оценке коэффициента |ап| в классе S(M) при некоторых п и М. Так, Северский [52] и Шиффер и Тамми [51] показали, что в задаче об оценке 3Ran в классе S(M) при М, близких к 1, экстремальной функцией является (п—1)-симметричное преобразование функции Пика

РмА*) = [^-1(^п-1)]1/(п"1) € S(M).

Результат Северского и Шиффера и Тамми пробудил острый интерес к исследованию экстремальных задач и, в частности, проблемы коэффициентов в классе S(M) при М, близких к 1. Заметим, что S(Mi) С 5(М2), если Mi < М2, и тождественная функция f(z) = z является единственной функцией, которая принадлежит всем классам S(M), М > 1,

Р) S{M) = {f(z) = z}. м> 1

Значит, класс S(M) является замкнутой окрестностью тождественной функции в классе однолистных функций, а число М > 1 может служить характеристикой радиуса этой окрестности.

Северский [52] доказал свою теорему вариационным методом, разработанным для нелинейного класса S и его подклассов, а Шиффер и Тамми [51] использовали для доказательства того же'вывода неравенства Грунского. Многие другие результаты о коэффициентах однолистных функций были доказаны параметрическим методом, основанным на представлении всюду плотных подклассов классов S или S(M) интегралами дифференциального уравнения Левнера. В частности, гипотеза Бибербаха доказана де Бранжем [33], [34] именно параметрическим методом. Более подробно уравнение Левнера и содержание параметрического метода будут описаны и обсуждены в §1.

Позднее в экстремальных задачах теории однолистных функций начали успешно применяться классические вариационные методы на множестве решений дифференциального уравнения Левнера. Особенно эффективно эти методы выглядели в современной форме метода максимума Понтрягина, который соединяет такие известные необходимые условия экстремума, как уравнение Эйлера-Лагранжа и неравенство Вейер-штрасса. Важны и геометрические интерпретации условий трансверсальности как свойств ортогональности или опорности сопряженного вектора граничным многообразиям.

Глубокое проникновение вариационных принципов в параметрический метод связано со взглядом на дифференциальное уравнение Левнера как на типичное управляемое уравнение для f(z) во всюду плотном подклассе класса 5. Дифференцируя уравнения Левнера по начальному данному получаем управляемую систему относительно значений функции / и ее начальных производных в точке z. При z — 0 после деления на соответствующие факториалы и исключения двух начальных фиксированных коэффициентов разложения (1) приходим к управляемой системе для начальных коэффициентов функции / € 5

После пионерских результатов А.Шеффера и Д.Спенсера [50] первую серьезную попытку применить методы оптимизации в теории однолистных функций предпринял Г.Гудман [41], а затем появились и другие работы, развивавшие новый подход и содержавшие решения конкретных экстремальных задач.

Свой вклад в применение методов теории оптимального управления к оценкам функционалов в классах однолистных функций внесла группа математиков под руководством И.А.Александрова. Отдельные положения теории вошли в монографию [1]. Общие проблемы оптимизации и трудности их решения были обсуждены И.А.Александровым и В.И.Поповым [3], [22]. Точные оценки функционала

5R(eiaa2) + Щаг - а|), 0 < а < тг/2, в классе S были получены И.А.Александровым, Б.Я.Крючковым и В.И. Поповым [2]. В статье И.А.Александрова и Г.А.Поповой [4] принцип максимума Понтрягина был применен к нахождению оценки функционала

ЭДС11оёМ + С21об£Ш]5 (сьс2)€С2, zeE, в классе Sr функций / € 5, имеющих вещественные тейлоровские коэффициенты.

Позднее теория оптимального управления в применении к классу S и его подклассам стала активно разрабатываться Д.В.Прохоровым и его учениками [23]-[26], [46]-[48].

Иные направления развития методов оптимизации были предложены С.Фридландом, М.Шиффером [37], [38] и другими. О.Рот [49] посвятил свою диссертацию описанию и сравнению вариационных методов в классах однолистных функций с оптимизационными методами Д.В.Прохорова и С.Фридланда и М.Шиффера.

Настоящая диссертация посвящена задаче (3) об оценке линейных функционалов в классе S(M) при М, близких к 1. Найдены достаточные условия, при которых функция Пика Рм экстремальна в задаче об оценке $tL(f) из (2). Показано, что достаточные условия весьма близки к необходимым. Результаты получены применением методов оптимизации в рамках параметрического представления Левнера, развитых Д.В.Прохоровым и его учениками.

Диссертация насчитывает 103 страницы, включая 1 рисунок, и состоит из введения, двух глав, разделенных на 9 параграфов, и списка литературы из 54 наименований. Принята сплошная нумерация теорем, лемм, предложений, следствий и замечаний внутри каждого параграфа и сплошная нумерация формул внутри каждой из двух глав.

1. И.А. Александров. Цараметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976.

2. И.А. Александров, Б.Я. Крючков, В.И. Попов. О начальных коэффициентах ограниченных голоморфных функций. Докл. АН УССР, сер.А, 1973, No.l, 3-5.

3. И.А. Александров, В.И. Попов. Оптимальные управления и однолистные функции. Ann. Univ. M.Curie-Sklodowska. Sec.A, v.22-24, 1968-70, 13-20.

4. И.А. Александров, Г.А. Попова. Экстремальные свойства однолистных голоморфных функций с вещественными коэффициентами. Сиб. матем. ж., т.14, 1973, No.5, 915 926.

5. В.И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.

6. К.И. Бабенко. К теории экстремальных задач для однолистных функций класса S. Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова, т.101. М.: Наука, 1972.

7. Г.М. Голузин. Геометрическая теория функций комплексного переменного. 2-е изд. М.: Наука, 1966.

8. Е.В. Григорьева. Линейные функционалы в классе ограниченных однолистных функций. Труды Петрозаводского гос. унив. Сер. Математика, вып.7. Петрозаводск: ПетрГУ, 2000, 3-14.

9. Е.В. Григорьева. Оценка линейного функционала для однолистных функций, близких к тождественной. Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. вып. 2, 25-27.

10. Е.В. Григорьева. Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002, вып. 4, 40-41.

11. Е.В. Григорьева. Линейные функционалы в классе ограниченных однолистных функций. Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы по теории функций и приближений. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002, 58-59.

12. Дж. Дженкинс. Однолистные функции и конформные отображения. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962.

13. А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

14. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968.

15. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. 7-е изд. М.: Физматгиз, 1962.

16. П. Ланкастер. Теория матриц. 2-е изд. М.: Наука, 1982.

17. Н.А. Лебедев. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975.

18. И.М. Милин. Однолистные функции и ортонормированные системы. М.: Наука, 1971.

19. С.М. Никольский. Курс математического анализа, т.1. 2-е изд. М.: Наука, 1975.

20. И.Г. Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. 6-е изд. М.: Наука, 1970.

21. Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. Математическая теория оптимальных процессов. 2-е изд. М.: Наука, 1969.

22. В.И. Попов. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории однолистных функций. ДАН СССР, т. 188, 1969, 532-534.

23. Д.В. Прохоров. Множества значений систем функционалов в классах однолистных функций. Мат. Сборник, т.181, 1990, по.12, 16591677.

24. Д.В. Прохоров. Множество значений начальных коэффициентов ограниченных однолистных типично вещественных функций. Сиб. матем. ж., т.32, 1991, No.5, 132-141.

25. Д.В. Прохоров. Коэффициенты голоморфных функций. Итоги науки и техники. Серия: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Т.71. Комплексный анализ и теория представлений 2. М.: ВИНИТИ, 2000.

26. Д.В. Прохоров. Геометрические методы в проблеме коэффициентов аналитических функций. Известия Саратовского университета. Новая Серия, т.1, 2001, No.2, 43-55.

27. У. Рудин. Основы математического анализа. 2-е изд. М.: Мир, 1976.

28. В.В. Старков. К оценке коэффициентов в классе U* локально однолистных функций. Вестник ЛГУ, 1984, No. 13, 48-54.

29. В.В. Старков. Об одном неравенстве для коэффициентов функций некоторого линейно-инвариантного семейства. Докл. Болг. Акад. Наук, т.37, 1984, No.8, 999-1002.

30. В.К. Хейман. Многолистные функции. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960.

31. Л. Шварц. Анализ, т.1. М.: Мир, 1972.

32. L. Bieberbach. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln. S.-B. Preuss. Akad. Wiss., 1916, 940-955.

33. L. de Branges. A proof of the Bieberbach conjecture. LOMI Preprints E-5-84, 1984, 1-21

34. L. de Branges. A proof of the Bieberbach conjecture. Acta Math., v.154, 1985, no.1-2, 137-152.

35. G.M. Dimkov, V.V. Starkov. Le probleme de coefficients dans une classe de fonctions localement univalents. Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska, Sec.A, v.42, 1988, 9-15.

36. P.L. Duren. Univalent functions. New York: Springer-Verlag, 1983.

37. S. Friedland, M. Schiffer. Global results in control theory with applications to univalent functions. Bull. Amer. Math. Soc., v.82, 1976, 913-915.

38. S. Friedland, M. Schiffer. On coefficient regions of univalent functions. J. Analyse Math., v.31, 1977, 125-168.

39. A. Ganczar, D.V. Prokhorov, J. Szynal. A coefficient product estimate for bounded univalent functions. Ann. Univ. Maruae Curie-Sklodowska, Sec.A, v.54, 2000, 27-44.

40. J. Godula, V. Starkow. Logarithmic coefficients of locally univalent functions. Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska, Sec.A, v.43, 1989, 9-13.

41. G.S. Goodman. Univalent functions and optimal control. Ph. D. Thesis, Stanford University, 1968.

42. Z.J. Jakubowski, D.V. Prokhorov, J. Szynal. Proof of a coefficient product conjecture for bounded univalent functions. Compl. Var. v.42, 2000, 241-258.

43. K. Lowner. Untersuchungen liber schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. Math. Ann., v.89, 1923, 103-121.

44. G. Pick. Uber die konforme Abbildung eines Kreises auf ein schlichtes und zugleich beschranktes Gebiet. S.-B. Kaiserl. Akad. Wiss. Wien, Math.-Naturwiss. Kl. Abt. II a, v.126, 1917, 247-263.

45. Ch. Pommerenke. Univalent functions. Goettingen: Vanderhoeck and Ruprecht, 1975.

46. D.V. Prokhorov. Coefficient products for bounded univalent functions. Compl. Var., v.27, 1995, 211-216.

47. D.V. Prokhorov. Coefficients of functions close to the identity function. Compl. Var., v.33, 1997, 255-263.

48. D.V. Prokhorov, Z. Vasileva. Linear extremal problems for univalent functions close to identity. Bull. Soc. Sci. Lettr. Lodz, v.45, 1995, 11-17.49. 0. Roth. Control Theory in ЩЩ. Ph. D. Thesis, Bayerischen Univ.: Wiirzburg, 1998.

49. A.C. Schaeffer, D.C. Spencer. Coefficient regions for schlicht functions. Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., v.35. New York: Amer. Math. Soc., 1950.

50. M. Schiffer, O. Tammi. On bounded univalent functions which are close to identity. Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser AI, 1968, 3-26.

51. L. Siewierski. Sharp estimatiom of the coefficients of bounded univalent functions close to identity. Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.), v.86, 1971, 1-153.

52. O. Tammi, Extremum problems for bounded univalent functions. Lecture Notes in Mathematics, v.646, Berlin-New York: Springer-Verlag, 1978.

53. O. Tammi, Extremum problems for bounded univalent functions. II. Lecture Notes in Mathematics, v.913. Berlin-New York: Springer-Verlag, 1982.