Экстремальные задачи в некоторых классах аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

- - * ' на правах рукописи

| > ^ .)

КАЮМОВ ИЛЬГИЗ РИФАТОВИЧ

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань — 1997

Диссертация выполнена в отделе математического анализа НИИММ им. Н.Г. Чеботарева при Казанском государственном университете.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, с.н.с. Ф.Г. Авхадиев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент И.В. Журавлев, кандидат физико-математических наук, доцент A.B. Казанцев.

Ведущая организация — Саратовский государственный университет.

Защита состоится "2 Ц- " Н^^А * 1997 г. в 14 часов на заседании специализированного Совета по математике К 053.29.05 Казанского государственного университета по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, корпус 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета (г. Казань, ул. Кремлевская, 18)

Автореферат разослан " 1Л 1997 г.

Ученый секретарь

специализированного Совета доцент

В.В. Шурыгин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. В первой главе данной диссертации изучаются некоторые проблемы коэффициентов для однолистных функций.

Проблема коэффициентов для однолистных фуикций, в силу своей сложности, является традиционным объектом исследования как зарубежных (Бибербах, Левнер, Литтлвуд, Шиффер, Гарабедяп, Хейман, Поммеренкс, Дженкинс, Cere, Фекете, де Бранж, Клуни, Ландау, Кар-лесои, Джонс и другие), так и отечественных (Г.М. Голузип, И.Е. Ба-зилевич, H.A. Лебедев, И.М. Милип, И.А. Александров, В.Я. Гутлян-ский, П.М. Тамразов, В.В. Горяйнов, Д.В. Прохоров, В.В. Старков, А.З. Грнннгпан, А.Ю. Васильев и другие) специалистов по теории функций. Актуальность решсиия подобпого рода проблем обусловлена тем, что фактически любая экстремальная задача на классе однолистных функций может быть сведена к пекоторой проблеме коэффициентов, так как любая однолистная функция представляется однозначно своим рядом Лорана.

Актуальность результатов второй главы обусловлена их прикладным характером. Здесь изучаются экстремальные задачи в некоторых классах аналитических функций с заданным граничным поведением.

Целью работы является исследование некоторых экстремальных проблем геометрической теории функций комплексного переменного.

Методика исследования. Основными методами исследования являются методы геометрической теории функций комплексного переменного: вариациоппый метод Шиффера, метод подчиненности, метод площадей и другие.

Научная новизна. Решена одиа проблема Андерсона, Клуни и Пом-меренке. Усилен результат Карлесона и Джопса об оценке коэффициентов однолистных фуикций. Исследованы качественные свойства экс-

тремалей в задаче о профиле с минимальным максимумом скорости. Установлена катастрофичность функционала И. Беккера.

Теоретическое значение и практическая ценность. Результаты и методы дайной работы могут применяться при проектировании аэро-гидроирофилей, при исследовании геометрических свойств аналитических функций.

Апробация работы. По мере получения результаты диссертации докладывались на 6-й Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (1994, Саратов), на международной конференции "Алгебра и Анализ", посвященной 100 - летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева, (1994, Казань), на 3-й Суслинской конференции, посвященпой 100-летию со дня рождения М. Я. Суслина (1994, Саратов), на 4-й международной конференции "Лаврснтьевские чтения" (1995, Казань), на Всероссийской конференции "Теория функций и ее приложения" (1995, Казань), на 16-м Неванлшшовском коллоквиуме (1995, Финляндия), на 7-й Саратовской зимней школе но теории функций и приближений (1996, Саратов), на международной конференции "Современные проблемы математики и механики", посвященной 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышева (1996, Москва), ца II республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов (1996, Казань), на Всероссийской школе-конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Га-гаева (1997, Казань), на итоговых научных конференциях Казанского университета (1993 - 1996, Казань). Результаты также докладывались па семинаре под руководством проф. Л.А. Аксентьева. В целом работа доложена на семинаре под руководством д.ф.-м.н. Ф.Г. Авхадиева.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух

глав и списка литературы. Работа набрана п системе La Тех и содержит 100 страниц, включая 8 рисунков и 2 таблицы. Список литературы насчитывает 65 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В параграфе 1 главы 1 изучается доведение коэффициентов логарифма производной однолистпой функции.

Пусть Bs семейство функций f(z) = log g'{z), где g(z) — г + a-jz2 + a3z2 + ... — аналитические и однолистные в Е — (|л| < 1} функции.

Теорема 1 ( п. 1.1). Пусть ап — коэффициенты функции f & В$. Тогда

sup sup |а„(/)| = 4. /€BS "

Этот результат и решает проблему N 7 из обзорной статьи Андерсона, Клуни и Поммеренке [6].

Теорема 2 (п. 1.1). Существует функция / ё В, B(f) < 1 , такая, что

lirnsup |а„| = е/2, ап = /(га)(0 )Дг!.

п—+со

С другой стороны , если f € В и B(f) < 1; то для любой невозра-стающей последовательности ¿п > 0 имеет мест,о неравенство

со со

Х^пйгKI2 < &П,

П=1 П = 1

причем число е, вообще говоря, нельзя заменить на постоянную, меньшую, чем е2/4.

В параграфе 2 рассмотрены некоторые другие проблемы коэффициентов в следующих хорошо известных классах однолистных функций:

Si = {f(z) = ai(/)2 + a2(/)z2 + ... : |/(Z)| <1, / - однолистна в E},

S = {/(*) = z + ba(f) + bi(/>_1 + ... : / - однолистна в E~ = С \ E},

S = {/(2) = 2 + c2(/)22 + c3(f)z3... : f - однолистна в E}.

Рассмотрим следующие величины:

Ап - sup |a„(/)|, /esi

B„=sup|bn(/)|.

Несмотря на то, что классы 5,Sj,S были введены достаточно давно, долгое время о соотношениях величин Ап и Вп ничего не было известно.

Как показали Л. Карлесон и П. Джонс [9] в 1992 году, для них выполнено соотношение:

BJC <Ап< С \og2riBn.

В этом неравенстве С — абсолютная положительная константа. В параграфе 2 главы 1 доказывается более сильное соотношение:

Ап < ClognB„bg„.

Кроме того, Карлесоп и Джонс [9] установили качественную связь между проблемами коэффициентов и средними значениями модуля производной:

^ sup ( \f'(z)\\dz\<ArnBn<^ sup f \f'(z)\\dz\

В диссертации доказывается аналогичное соотношение для логарифмических коэффициентов.

В параграфе 3 изучаются некоторые приложения этих результатов.

Перейдем теперь к описапию линейно-иивариантных пространств 11а и основного результата параграфа 4.

В [14] Поммеренке ввел понятие линейпо-инвариантного семейства М. Это подмножество всех регулярных в круге Е функций, удовлетворяющих условиям:

/(0) = 0, /'(*) = 1 + ---ф0,

для любых / £ М, а £ Е, в £ Я фупкпия

а) ~ о)у(о) е м' ~ •

Универсальным линейно-ишзариаытным семейством порядка а называется объединение всех локально однолистных фупкций f(z) = г + ¿2г2 + ..., для которых от<1{$) — а. Поммеренке [14] показал, что

1 - |,|2 /''(г)

ord(f) = sup

> 1,

2 f'(z)

причем TJ\ = Se, — известный класс выпуклых однолистных в Е функций.

Пусть / 6 Ua, а < оо. Обозначим log /'(г) = o,„{f)zn. Положим Ап = sup/et/<í |а„(/)|.

Нами доказано следующее утверждение.

Теорема 1 (п. 1.4 ). Предел lim^oo Ап существует.

Перейдем теперь к изложепшо результатов диссертации из главы 2.

Замкнутая спрямляемая ( но не обязательно простая ) кривая на плоскости называется кривой Радона, если ограничена полная вариант угла касательной к ней. Геометрическое неравенство для таких кривых доказанное Радоном [5], имеет важные применения в теории нерегуляр-

I

ных краевых задач [4] и в теории однолистных функций [1].

В параграфе 1 главы 2 дано обобщение соответствующего неравен ства Радона ( с полным исследованием случаев равенств) на тот случай когда кривая имеет конечное число особых точек, а именно, конечно* число раз проходит через бесконечность.

В [3] была поставлена следующая экстремальная задача. Пусть даш течение идеальной несжимаемой жидкости с постоянной скоростью и; бесконечности. При заданном угле атаки найти однолистный профиль максимум скорости течения па котором был бы минимальным в клас се всех однолистных профилей, внешний конформный радиус которы: фиксирован.

Ф.Г. Авхадиев и A.M. Елизаров [3] показали, что вышеописанна: задача эквивалентна следующей:

sup

К1»

(1 - l)(l + f)

F'( С)

mm: Fes

: М(а), а > 0.

В этом неравенстве а/2 — теоретический угол атаки.

Они же [3] предположили, что экстремальный профиль будет ра: резом. Диссертантом доказан это г факт при некоторых (внолне сжид; смых) предположениях об экстремалях. Кроме того, по этой проблем получены некоторые количественные результаты.

Теорема 1 (п. 2.3). Пусть ^ — функция, для которой

mm sup сев |С|>1

(1-1)(1 + £)

G'( О

= sup !CI>i

(1 - + f)

НО

= М{а).

Предположим, что F непрерывно продолжила на границу 0D~ = {1(| = 1} и F(OD~) состоит из двух дуг, внутри каждой из которых определена кривизна (т.е. = 1) имеет кривизну во всех точках, кроме, быть может, ( — —е,а и С, = 1 ).

Тогда F(D~) является внешностью разреза.

Предположение выпуклости слегка упрощает задачу.

Обозначим через So подкласс класса Е, функции которого характеризуются тем свойством, что дополнение F(D) до полной плоскости есть выпуклое множество. Положим

Если F гладка на = 1, то Vp{ip) — это скорость течения в точке F(elv) при обтекании потоком идеальной несжимаемой жидкости с единичной скоростью на бесконечности, при угле атаки, равном а/2. I(y{f) — кривизна F{dD) в точке F(elip). Хорошо известно, что F G S0 тогда и только тогда, когда Kp(tp) >0, у £ [0,2тг].

Теорема 1 (п. 2.4). Пусть F экстремальна в задаче

Хилл в 3949 году [11] и Гудман в 1972 году [10] привели явные примеры функций, показывающие точность постоянных в достаточных условиях однолистности Нехари [12] и Носиро-Варшавского [13], [15]. Примеры Хилла и Гудмапа представлят собой функции неограниченной лист-ности. Аналогичный факт отмечен Поммеренке [14] в 1964 году относительно линейно-инвариантного семейства Ьа порядка а: Ь] состоит

(1

VV (у) = lim sup |—

C-»e'V

maxVp-tV) —<► min = M(a) = M.

v> Fenо v ;

Тогда

(W(v>) - M)KF(v) = 0.

из однолистных и выпуклых функций, но для любого е > 0 семействс L\+, содержит бесконечнолистные функции. Таким образом, мы имсе.\ явные примеры катастроф.

В диссертации изучается это явление путем привлечения к рассмо трению других условий однолистности и р-листности. Приведем сейчас точную постановку проблемы. Пусть D — область на плоскости С, M{D) — множество конформ ных отображений / : D —* С. Следуя [1], [2], функционал I : M(D) — [О, оо] назовем допустимым в D, если существует постоянная > 0 та кая, что множество

Mt(D) = {f:feM(D),I(f)<t}

при t < ti состоит из однолистных в D функций w — f(z).

Будем считать, что tx — наибольшая из таких констант, т.е. Mt{D при t > i, содержит и неоднолистные функции.

Пусть число р = p(f, D) определено следующим образом: для любогс w 6 С уравнение f(z) = v> имеет не более р корней в D и существус. wo € С, для которого уравнение f(z) = wQ имеет р корней.

Ясно, что с увеличением t множество Mt(D) расширяется. Существу ет неубывающая последовательность tn — tn(D) такая, что для любог<

t 6 (t fl 5

D) < n + 1 для любой функции / € Mt(D),

и существует функция/о € Mt{D), для которой p(/0,D) = п-f 1. Допустимый функционал Г назовем регулярным, если ti(I,D) < Hm tn(I,D),

катастрофичным, если

П)=ПтЬ(1,П).

Пусть а — фиксированное число из (0,1] и

/"(г)

ад,Е) = 8щ>(1-н2Г

г 6 К

т

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1 (п. 2.5). Существует абсолютная постоянная С > 0 такая, что

^(В Е)<Щп - п1~а ~ С Как показали Беккер и Поммсрснке [7], [8], — 1. Этот ре-

зультат мы дополняем следующим утверждением.

Теорема 3 (п.2.5). Функционал В\ катастрофичен в Е, т.е. 1п(В\,Е) = 1 для любого натурального п.

В последнем параграфе главы 2 приводится контрпример к аналитическому неравенству Пуанкаре, а именно доказана

Теорема (п. 2.6). Существует ограниченная звездная область О со спрямляемой границей и существует аналитическая функция /(г) такая, что

|/| гАхйу = +оо,

Я Я

2,

\Vf\dxdy < +оо.

о

Результаты параграфа 1 главы 1 и параграфа 5 главы 2 получены совместно с Ф.Г. Авхадиевым. Результаты параграфа 4 главы 1 получены совместно с В.В. Старковым.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1) Решена одна проблема Андерсона, Клуни и Поммеренке.

2) Усилен результат Карлесопа и Джонса об оценке коэффициентов однолистных функций.

3) Исследованы качественные свойства экстремалей в задаче о профиле с минимальным максимумом скорости. .

4) Установлена катастрофичность функционала Й. Беккера.

В заключение автор выражает глубокую признательность научному руководителю профессору Ф.Г. Авхадиеву за полезные советы и носто-яиное внимание к работе. Автор, также, благодарит г-на Сороса и Оргкомитет соросовской программы за оказанную материальную поддержку. Кроме того, работа была поддержана следующими грантами РФФИ: 9601-00110 ( рук. — проф. Ф.Г. Авхадиев), 96-01-00123 (рук. — проф. A.M. Елизаров).

, Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Авхадиев Ф.Г., Каюмов И.Р. Оценки в классе Блоха и их обобщения / Тезисы докладов международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева. -Казань, 5-11 июня, 1994, -Ч. 2, -С. 9.

2. Авхадиев Ф.Г., Каюмов И.Р. Оценки логарифмических коэффициентов для производных в основных классах однолистных функций // Труды 7-й Саратовской зимней школы "Теория функций и ее приложения" (памяти профессора A.A. Привалова). -1995. -Ч. 2. -С. 77-81.

3. Авхадиев Ф. Г., Каюмов И. Р. Оценки в классе Блоха и их обобщения // Доклады РАН. -1996. -Т.349. -N 5. -С. 583-585.

4. Авхадиев Ф.Г., Каюмов И.Р. О бесконечно лист ных функциях / Материалы конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М.

Гагаева. -Казань, 16-22 июня 1997. -С. 9.

5. Каюмов И.Р. Об одной теореме Карлесона и Джонса / Тезисы докладов IV международной конференции " Лаврсптьевские чтения" по математике, механике и физике. -Казань, 1995. -С.43.

6. Каюмов И.Р. Обобщение и приложение одной теоремы Радона // Известия Вузов. Математика. -1996. -N 4. -С. 35-38.

7. Каюмов И.Р. Об одном свойстве оптимальных выпуклых профилей // Труды IV Всероссийской научной школы "Гидродинамика больших скоростей". - Чебоксары: Чуваш, ун-т, 1996. -С. 97-101.

8. Каюмов И.Р. О проблемах коэффициентов для однолистных функций // Материалы международной конференции и Чебышевских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышева. Том 1. М.: Издательство мехапико-математического факультета МГУ, 1996. -С.188-191.

9. Каюмов И.Р. Проблемы коэффициентов и интегральные средние / Тезисы докладов II республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов. -Казань, 28 июня - 1 июля, 1996. -Книга 3. -С. 15.

10. Каюмов И.Р. Об аналитическом неравенстве Пуанкаре / Материалы конференции, носвяи;енной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева. -Казань, 16-22 июня 1997. -С. 114.

11. Каюмов И.Р., Старков В.В. Оценки коэффициентов локально однолистных функций // Труды Петрозаводского Государственного Университета. Серия Математика. -1996. -Вып. 3. -С. 88-96.

12. Avhadiev F.G., Kayumov I.R. Estimâtes for Bloch fonctions and their généralisation. // Complex Variables. -1996. -V. 29. -C. 193-201.

13. Kayumov I.R. and Starkov V.V. Estimâtes for logarithmic coefficients of locally univalent functions // Proceedings of the International Conférence

held in Joensuu, Finland, August 1-5,1995 (Eds. I. Laine - O. Martio). Walter de Gruyter. -1996. -C. 239-245.

Литература

[1] Авхадиев Ф.Г. Некоторые геометрические неравенства и достаточные условия р-листпости // Известия Вузов. Математика. -1983. -N 10. -С. 3-12.

[2] Авхадиев ФТ. Допустимые функционалы в условиях инъективно-сти для дифференцируемых отображений n-мерных областей // Известия Вузов. Математика. -1989. -N 4. -С. 3-12.

[3] Авхадиев Ф.Г., Елизаров A.M., Фокин Д.А. Максимизация критического числа Маха для несущих крыловых профилей // Препринт N 94-1 НИИ мат. и мех. им. Н.Г.Чеботарева. -Казань: Изд-во Казапск. ун-та, 1994. 53 с.

[4] Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М.: Наука, 1975.

[5] Радон И. О краевых задачах для логарифмического потенциала // Успехи Матсм. Наук. 1. -1946. -N 3-4. -С.96-124.

[6] Anderson J.M., Clunic J. and Pommerenke Ch. Oil Bloch functions and normal functions //J. Reine Angew. Math. -1974. -T. 270. -C. 12-37.

[7] Becker J. Löwnersche Differentialgleichung und quasikonform fortsetzbare schlichte Funktionen // J. Reine und Angew. Math. -1972. -T. 255. -C. 23-43.

[8] Becker J., Pommcrenke Ch. Shlichtheitskritericn und Jordangebiete // J. Reine und Angew. Math. -1984. - T. 354. -C. 74-94.

[9] Carleson L. and Jones P. On coefficient problems for univalent functions // Duke math. J. -1992. -V. 66. -N 2. C. 169-206.

[10] Goodman A. W. A note on the Noshiro-Warschawski theorem // J. d' Analyse Math. -1972. -N 25. -C. 401-408.

[11] Hille E. Remarks on a paper by Zeev Nchari // Bull. Amer. Math. Soc. -1949. -T. 55. -N 6. -C. 552-553.

[12] Nchari Z. The Schwarzian derivative and schlicht functions. // Bull. Amer. Math. Soc. -1949. -55. -N 6. C. 545-551.

[13] Noshiro K. On the theory of schlicht functions // J. Fac. Science, Hokkaido Imp. univ. -1934. -N 2. C. 124-155.

[14] Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Funktionen // Math. Ann. -1964. -155. -C. 108-151.

[15] Warschawski S. E. On the higher derivatives at the boundary in conformal mapping // Trans. Amer. Math. Soc. -1935. -N 38. -C. 310340.

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

КАЮМОВ ИЛЬГИЗ РИФАТОВИЧ

УДК 517.54

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - математический анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук Ф.Г. Авхадиев

Казань — 1997

ч

Оглавление

1 Оценки логарифмических коэффициентов в некоторых

линейно-инвариантных семействах 18

1.1 Оценки в классе Блоха..................... 18

1.2 Некоторые соотношения для коэффициентов однолистных функций .............................31

1.3 Интерполирование ограниченных функций в областях со сложной геометрией....................... 39

1.4 Асимптотическое поведение логарифмических коэффициентов в линейно-инвариантных семействах порядка альфа 43

2 Экстремальные задачи с заданным граничным поведением 54

2.1 Об одной задаче Д. Пойа и Г. Сеге.............. 54

2.2 Обобщение теоремы Радона на случай бесконечных областей ................................ 56

2.3 Некоторые свойства однолистных профилей с минимальным максимумом скорости ..................62

2.4 Случай выпуклых профилей................. 72

2.5 Динамика множеств, определяемых допустимыми функционалами для конформных отображений ......... 77

2.6 Контрпример к аналитическому неравенству Пуанкаре . . 88

Введение

В диссертации исследованы проблемы коэффициентов в линейно-инвариантных семействах функций (в том числе и однолистных функций), а также некоторые проблемы для функций с заданным граничным поведением.

Среди основных результатов данной диссертации — решение одной проблемы для функций класса Блоха.

Функции класса Блоха В определяются условиями: /(.г) = а0 + а\г + а2г2 + ... аналитична в круге Е = {г : \г\ < 1} и #(/) = 8ир{(1 — |22|)|/'(^)| £ Е} < со. Они образуют несепарабельное банахово пространство с нормой ||/||Б = 1/(0)| + -£?(/)•

Связь с теорией однолистных функций проявляется следующим образом.

Логарифмы производных однолистных в круге Е функций принадлежат шару с радиусом б пространства Блоха. Этот факт был доказан известным немецким математиком Л.Бибербахом. Наоборот, единичный шар пространства функций Блоха содержится в классе функций, состоящем из логарифмов производных однолистных в круге Е функций (см. рис. 1). Этот результат принадлежит Й. Беккеру.

Основополагающие результаты в теории функций пространства Блоха принадлежат П.Л. Дюрену, Х.С. Шапиро, А.Л. Шилдсу [46], X. Пом-меренке [38], [59]. Их исследования продолжили Н.Г. Макаров [53], И.В. Журавлев [21], Й. Фернандес и другие математики. В 1974 году вышла обзорная статья Андерсона, Клуни и Поммеренке, посвященная современному состоянию дел в этой области. Там же были сформулированы 12 открытых проблем. К настоящему времени почти все они решены. В диссертации приводится решение проблемы N 7 из той статьи. Эта проблема является проблемой коэффициентов для однолистных функций.

Экстремальной оказалась известная функция Кебе. Эта функция отображает единичный круг на всю плоскость с прямолинейным разрезом, идущим от точки 1/4 до оо.

Проблема коэффициентов для однолистных функций, в силу своей сложности, является традиционным объектом исследования как зарубежных (Бибербах, Левнер, Литтлвуд, Шиффер, Гарабедян, Хейман, Поммеренке, Дженкинс, Сеге, Фекете, де Бранж, Клуни, Ландау, Кар-лесон, Джонс и другие), так и отечественных (Г'.М. Голузин, И.Е. Бази-левич, H.A. Лебедев, И.М. Милин, И.А. Александров, В.Я. Гутлянский, П.М. Тамразов, В.В. Горяйнов, Д.В. Прохоров, В.В. Старков, А.З. Грин-шпан, А.Ю. Васильев и другие) специалистов по теории функций. Проблемы коэффициентов однолистных функций тесно связаны с граничным поведением [45]. Как правило, не удается привести явного аналитического решения какой-либо проблемы коэффициентов. Чаще встреча-юся ситуации, когда экстремальную функцию можно охарактеризовать геометрическим образом. Однако, в подавляющем большинстве случаев практически невозможно сделать ни того, ни другого ( значительную часть исключений составляют экстремальные задачи, решением которых является функция Кебе, о которой уже упоминалось выше ). Поэтому имеет смысл, в этом случае, получать неточные оценки. В этом направлении, диссертантом усилен один результат Карлесона-Джонса.

Автором изучаются, также, некоторые экстремальные задачи для функций с заданным граничным поведением.

Задачи подобного типа успешно изучались М.А. Лаврентьевым [31], который создал свой собственный эффективный метод решения задач. В диссертации получено продвижение в одной задаче об оптимальном профиле, обтекаемым потоком идеальной несжимаемой жидкости, поставленной Ф.Г. Авхадиевым в 1994 году. Особенность проблемы заклю-

чается в том, что эта задача минимаксная. Поэтому классические вариационные принципы, в том числе и вариационный метод М.А. Лаврентьева, здесь неприменимы. Диссертантом предложен новый вариационный метод, основанный на модификации известного вариационного метода Шиффера.

Одним из важных направлений теории однолистных функций является исследование достаточных условий однолистности. В частности, достаточных условий с ограничениями на граничное поведение функций.

В [6], [8], [9] систематизированы основные результаты в достаточных условиях однолистности. В частности, Ф.Г. Авхадиевым [1] построена достаточно стройная теория допустимых функционалов, позволяющая по-существу классифицировать известные функционалы на множестве однолистных функций. Допустимые функционалы можно разбить на 2 типа — регулярные и катастрофичные.

Функционал называется катастрофичным, если не существует нетривиального условия n-листности при п > 2. Автору (совместно с Ф.Г. Авхадиевым) удалось показать катострофичность некоторых хорошо известных функционалов.

Перейдем теперь к конкретному изложению основных результатов диссертации.

Пусть Bs — семейство функций f(z) = log g'(z)) где g(z) — z + a2z2 + a3z3 + ... — аналитические и однолистные в Е — {|,z| < 1} функции.

Теорема 1 ( п. 1.1). Пусть ап — коэффициенты функции / £ Bs-Тогда

sup sup |an(/)| = 4.

feBs n

Этот результат и решает проблему N 7 из упоминавшейся выше обзорной статьи Андерсона, Клуни и Поммеренке.

Теорема 2 (п. 1.1). Существует функция / Е В, В(/) < 1 , такая, что

Нтэир |ап| = е/2, ап = /(гг)(0)/п\.

п—»оо

С другой стороны , если f Е В и < 1, то для любой нееозра-

стающей последовательности 8п > 0 имеет место неравенство

оо оо

гг5п|ап|2 < е <5п,

П=1 П=1

причем число е, вообще говоря, нельзя заменить на постоянную, меньшую, чем е2/4.

В параграфе 2 рассмотрены некоторые другие проблемы коэффициентов, в следующих хорошо известных классах однолистных функций:

Яг = {¡(г) = ага)г + а2и)г2 + ... : < 1, /- однолистна в Е},

£ = {f(z) = z + b0(f) + h(f)z-1 + ... : / - однолистна в Е~ = С \ Е],

S = if(z) ~ z + с2(/К2 + с3(/)г3... : / - однолистна в Е}. Рассмотрим следующие величины:

Ап = sup |ап(/)|,

Бп = sup|6n(/)|. /€ Е

Несмотря на то, что классы 5, Si, £ были введены достаточно давно, долгое время о соотношениях величин Ап и Вп ничего не было известно.

Как показали Л. Карлесон и П. Джонс [45] в 1992 году, для них выполнено соотношение:

Вп/С<Ап<С 1оё2 пВп.

В этом неравенстве С — абсолютная положительная константа. В параграфе 2 главы 1 доказывается более сильное соотношение:

Ап < Ск^пБпк)§п.

Преимущество этого неравенства заключается в том, что во-первых, показатель степени логарифма уменьшается на единицу, во-вторых, вместо Вп берутся Вп 10§п.

Кроме того, Карлесон и Джонс [45] установили качественную связь между проблемами коэффициентов и средними значениями модуля производной:

_1_ Г , „......... _ .С

Сп /еБг,

зир / \Г{г)\\йг\<Ап,Вп<- вир [

В диссертации доказывается аналогичное соотношение для логарифмических коэффициентов.

В параграфе 3 доказана следующая оценка.

1ьр\С>-А 2тгУо \Р(регв)-Р{и})\ -

с + ^ 1о§Р + Г

(р — I)5 3 г р — г

Здесь ^ Е 2, Кг < р, 6 < 0.491.

Эта оценка улучшает результат, полученный в [16]. Перейдем теперь к описанию линейно-инвариантных пространств ГГС и основного результата параграфа 4

В [60] Поммеренке ввел понятие линейно-инвариантного семейства М. Это подмножество всех регулярных в круге Е функций, удовлетворяющих условиям:

для любых f £ М,а е Е,в £ R

функция

<р(;

a + z_eie

/'(у(О)У(О) гч_/ 1 + аг

Многие известные классы конформных отображений являются линейно-инвариантными семействами, такие, как например классы 5, 50. Здесь 5о подкласс класса 5, состоящий только из выпуклых функций.

Порядком локально однолистной функции в [60] называется следующая величина:

ord(f)

sup

a£E,9£R

/ДО, а

2

Универсальным линейно-инвариантным семейством порядка а называется объединение всех локально однолистных функций /(г) = 2 + (¿2^2 + ••• для которых огс?(/) = а. Поммеренке [60] показал, что

ord(f) = sup

2бД

1-М 2№) _

Z

>1,

2 /'(*)

причем U\ = So -— известный класс выпуклых однолистных в Е функций.

Пусть / £ Ua, а < со. Обозначим log f'(z) = an(/)zn. Положим An = supfeUa |an(/)|.

Можно считать, что а > 1. Отметим также очевидную точную оценку |1 < 2а, так как а\ = 2¿2, а \й2\ < огс?(/) < а. Поэтому достаточно рассмотреть случай п > 2.

Нами доказано следующее утверждение.

Теорема 1 (п. 1.4). Предел Нт^-юо Ап существует.

Перейдем теперь к изложению результатов диссертации из главы 2.

Замкнутая спрямляемая ( но не обязательно простая ) кривая на плоскости называется кривой Радона, если ограничена полная вариация угла касательной к ней. Геометрическое неравенство для таких кривых, доказанное Радоном [36], имеет важные применения в теории нерегулярных краевых задач [18] и в теории однолистных функций [4].

В параграфе 1 главы 2 дано обобщение соответствующего неравенства Радона ( с полным исследованием случаев равенств ) на тот случай, когда кривая имеет конечное число особых точек, а именно, конечное число раз проходит через бесконечность.

Пусть Ь - замкнутая спрямляемая кривая (Ь может замыкаться и на бесконечности ). Из анализа известно, что в этом случае существует такое 50 Е Я+ и {+оо} и существует такая непрерывная слева функция В : [— 50,50] —> Л, что уравнение кривой Ь может быть представлено в виде :

г(з) = г0 + Г

J0

.5 Е [-50,50], г(з0) = г(-з0).

Положим

а{Ь)= I

Пусть ии £ Ь и Юи,^) — непрерывная ветвь — ги]. Положим

•50<*<5о И^гДО!- Ь называется кривой Радона, если а(Ь) < +оо.

Если в — абсолютно непрерывна , то a(L) = \0'(t)\ dt. Положим

Пусть Ь — кривая, заданная отображением окружности 5 в расширенную комплексную плоскость. Обозначим это отображение через 2 . Пусть — все такие точки,что = оо. Отождествим на 5

точки ¿1,..., ¿п . Теперь совершим перепараметризацию, переходя к натуральному параметру каждой из кривых. Фактически кривая Ь распадается на п кривых. Предположим, что все эти кривые являются кривыми Радона. Такую кривую будем называть обобщенной кривой Радона. Основные характеристики для обыкновенных кривых, введенные выше, мы переносим и на эти кривые. Полагаем соответствующую характеристику равной сумме характеристик кривых, на которые распадается наша кривая. Положим к(оо,Ь) = п.

Теорема (п. 2.2). Пусть Ь — обобщенная кривая Радона. Имеет место следующее неравенство:

причем равенство достигается тогда и только тогда когда соответ-

В [10] была поставлена следующая экстремальная задача. Пусть дано течение идеальной несжимаемой жидкости с постоянной скоростью на бесконечности. При заданном угле атаки найти однолистный профиль, максимум скорости течения на котором был бы минимальным в классе всех однолистных профилей, внешний конформный радиус которых фиксирован.

Ф.Г. Авхадиев и A.M. Елизаров [10] показали, что вышеописанная

1, s0 = +оо, 0, 50 < +со.

VW(L) < a(L) + 7г«(оо, L)

ствующие функции 9k и си^ согласованно монотонны.

задача эквивалентна следующей:

sup ICI>i

С

F'(0

mm

Fe s

M (а), а > 0.

В этом неравенстве а/2 — теоретический угол атаки.

Они же [10] предположили, что экстремальный профиль будет разрезом. Диссертантом доказан этот факт, при некоторых (вполне ожидаемых) предположениях об экстремалях. Кроме того, по этой проблеме, получены некоторые количественные результаты.

Теорема 1 (п. 2.3). Пусть Е — функция, для которой

mm sup G€£|ç|>1

(W)(i + Ç)

G'(()

sup ICI>i

(l-Ê)(l + f)

F'( 0

= M {a

Предположим, что F непрерывно продолжима на границу ÔD~ = {|£| = 1} и F(dD~) состоит из двух дуг, внутри каждой из которых определена кривизна (т.е. -Р(|С| — 1) имеет, кривизну во всех точках, кроме быть может £ = ега и ( = 1 ).

Тогда F(D~) является внешностью разреза.

Предположение выпуклости слегка упрощает задачу.

Обозначим через Е0 подкласс класса Е, функции которого характеризуются тем свойством, что дополнение F(D) до полной плоскости есть выпуклое множество. Положим

(1

Kf(^) — limsup

Кр((р) — liminf

ПС) Re(CÇ(0 + 1)

1СП01

Если Е гладка на |(| = 1, то Ур((р) — это скорость течения в точке Р(ег(р) при обтекании потоком идеальной несжимаемой жидкости с единичной скоростью на бесконечности, при угле атаки равном а/2. Кр{'г)

— кривизна F(dD) в точке F(elip). Хорошо известно, что F £ Е0 тогда и только тогда, когда К pif) > 0, (р G [0,2тг].

На практике считается полезным использовать выпуклые профили, которые состоят из отрезков прямых и линий на которых скорость постоянна. Обоснование такого выбора дано в работах [62], [47]. Сформулируем результат, который также показывает преимущество таких профилей.

Рассмотрим задачу:

min max Vf (iß) = M (a).

Fe Е0^е[0,2тг] vr/ w

Такая задача на всем классе однолистных функций, как уже упоминалось выше, была впервые поставлена в [10].

Теорема 1 (п. 2.4). Пусть F экстремальна в задаче

тахУр(<р) —> min = M (а) = M.

V FE So

Тогда

(VF(<p) - М)Кр(<р) = 0.

Хил л в 1949 году [50] и Гудман в 1972 году [49] привели явные примеры функций, показывающие точность постоянных в достаточных условиях однолистности Нехари [54] и Носиро-Варшавского [55], [64]. Примеры Хилла и Гудмана представлят собой функции неограниченной лист-ности. Аналогичный факт отмечен Поммеренке [60] в 1964 году относительно линейно-инвариантного семейства La порядка œrLi состоит из однолистных и выпуклых функций, но для любого б > 0 семейство Li+e содержит бесконечнолистные функции. Таким образом, мы имеем явные примеры катастроф.

В диссертации изучается это явление путем привлечения к рассмотрению других условий однолистности и р-листности.

Приведем сейчас точную постановку проблемы.

Пусть D — область на плоскости С, M(D) — множество конформных отображений области / : D —► С. Следуя [4], [5] функционал I : M(D) —» [0, оо] назовем допустимым в D, если существует постоянная ¿1 > 0 такая, что множество

Mt{D) = {f:feM(D)iI(f)<t}

при t < ti состоит из однолистных в D функций w = f(z).

Будем считать, что t\ — наибольшая из таких констант, т.е. Mt(D) при t > ti содержит и неоднолистные функции.

Пусть число р = р(/, D) определено следующим образом: для любого w G С уравнение f(z) = w имеет не более р корней в D и существует u>0 G С, для которого уравнение /(2) = w0 имеет р корней.

Ясно, что с увеличением t множество Mt(D) расширяется. Существует неубывающая последовательность tn = tn(D) такая, что для любого t G *n+i)

D) < п + 1 для любой функции / G Mt(D),

и существует функция/0 G Mt(D), для которой p(f0,D) = n + 1. Допустимый функционал / назовем регулярным, если

fi (J,D)< lim in(/,D),

п—юо

катастрофичным, если

¿i(/, D) = lim in (/,£>).

Цитированные выше результаты можно сформулировать, теперь, следующим образом.

Теорема 1.1 ( [54], [50]) . Допустимый в области Е = {|.г| < 1} функционал

2\2

/!(/,£)= 811 Р(1~И2)

т) п№)

катастрофичен в Е, причем ¿1(71,£|) = 2.

Теорема 1.2 ( [55], [64], [49]). Допустимый в области Е функци-

онал

геЕ

катастрофичен в Е, причем = тг/2.

Можно привести ряд примеров регулярных функционалов. Теорема 1.3 ( [56], [63]) . Допустимый в облает,и Е функционал

1 + Де|ге //(гей)}

¿9

регулярен в Е, причем ¿„(/з,^) = п.

Из теоремы 1.3 и примера п - листной функции еппг следует, что функционал

Во(/,Я) = 8Т1Р

является регулярным в й и для любого натурального п

1 < ЫЁаИ <

п

Пусть а — фиксированное число из (0,1] и

гм

2\а

Д,(/,Я) = 8ир(1-Н2)

г£Е

Г

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1 (п. 2.5) . Существует абсолютная постоянная С > О такая, что

гп{Ва,Е)

Как показали Беккер и Поммеренке [43], [44], ^(Вг.Е) = 1. Этот результат мы дополняем следующим утверждением.

Теорема 3 (п.2.5) . Функционал В\ катастрофичен в Е, т.е. 1п(В\,Е) = 1 для любого натурального п.

В последнем параграфе главы 2 приводится контрпример к аналитическому неравенству Пуанкаре.

Д. Гамильтоном [42] была поставлена следующая задача.

Для каких областей И на плоскости существует константа к (Б) < +оо такая, что для любой аналитической функции /(-г), /(0) = 0 верно неравенство

\№<1хд,у < к(Б) [ ( \Vf\4xdy. (*'

'£> ¿В

Это неравенство является аналогом неравенства Пуанкаре для функций с компактным носителем, которые обращаются в нуль на границе области. Ф.Г. Авхадиевым и Р.Г. Салахудиновым [41] выделены области для которых верно (*). Этими областями являются области класса Джона, т.е. области без внутренних нулевых углов. В другом направлении Хум-мелем [51] был построен пример спиралеобразной области, для которой (*) неверно.

Диссертантом доказана следующая теорема.

Теорема (п. 2.6) . Существует ограниченная звездная область I) со спрямляемой границей и существует аналитическая функция /(г) такая, что

УI \f\4xdy = +оо, I!' \4ffdxdy < +оо.

Итак, на защиту выносятся следующие результаты:

— решение проблемы Андерсона, Клуни и Поммеренке;

— усиление результата Карлесона и Джонса об оценке коэффициентов однол