Достаточные условия однолистности различных операторов и экстремальные задачи на классе ограниченных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕЩЕНИЕ.

ГЛАВА I. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОДНОЛИСТНОСТИ ИНТЕГРО-ДШЕ-РЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ОПЕРАТОРОВ СВЕРТКИ АДА

МАРА.

§ I. Операторы свертки Адамара на классах регулярных функций, представимых интегралом

Стилтьеса.

§ 2. Однолистные операторы свертки Адамара с гипергеометрической функцией

§ 3. Однолистные интегральные операторы

§ 4. Звездообразность дифференциального оператора на классе $.

ГЛАВА П. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА КЛАССЕ ОГРАНИЧЕННЫХ

ФУНКЦИЙ.

§ I. Класс однолистных не обращающихся в нуль ограниченных функций

§ 2. Класс не обращающихся в нуль ограниченных функций.

§ 3. Область значений коэффициентов биоднолистного кубического полинома.

Диссертационная работа посвящена получению необходимых условий и достаточных условий однолистности и проблеме коэффициентных оценок аналитических в единичном круге 1} функций.

Теория однолистных функций занимает центральное место в геометрической теории функций комплексной переменной и является основополагающей в теории конформных отображений.

Возникшее из физических представлений понятие конформного отображения находит многочисленные приложения к различным областям физики (работы Н.Е.Жуковского, С.АЛаплыгина, М.В.Келдыша и др.) - метод конформного отображения используется при решении задач гидро- и аэродинамики, теории упругости, теории электростатического, магнитного и теплового полей и т.п. м.

В фундаментальных исследованиях советских математиков В.А. Лаврентьева, И.Е.Базилевича, Г. М. Го Лузина, Н.А.Лебедева, Л.А.Ак-сентьева, В.Я.Гутлянского, И.М.Милина, а также в работах зарубежных специалистов на различных семействах функций, регулярных в заданных односвязных областях, основное место занимали и занимают исследования вопросов получения всевозможных необходимых и достаточных условий однолистности функции и изучения влияния свойства однолистности на другие свойства функции.

При этом большое место в теории однолистных функций занимают вопросы получения количественных оценок модуля функции, модуля и аргумента ее производной, оценок коэффициентов и функционалов.

Одной из важных проблем теории однолистных функций была и остается проблема коэффициентов: каким необходимым и достаточным условиям должны удовлетворять первые /2- коэффициентов степенного ряда, чтобы его сумма принадлежала рассматриваемому классу функций?

Пусть - класс регулярных и однолистных в единичном круге А функций / , нормированных условиями {(0) - 0 ,

Впервые в 1916 г. Л.Бибербах высказал предположение (гипотеза Бибербаха) о том, что для всякой функции /б $ верна точная оценка:,

Знак равенства реализуется только для функции Кебе р % ¿пд п которая отображает единичный круг А на всю плоскость с разрезом по радиальному лучу с вершиной в точке ( е^ ).

Однако решение проблемы Бибербаха оказалось очень сложным. Для всего класса «У однолистных функций гипотеза доказана лишь для п = 2, 3, 4, 5, 6. Дальнейшее продвижение в этом направлении связано с большими трудностями, как теоретического, так и технического характера. Поэтому, наряду с оценками последующих коэффициентов, истинность гипотезы Бибербаха стали устанавливать на различных подклассах однолистных функций. В частности, она верна для выпуклых, звездообразных и близких к выпуклым функций, для однолистных функций с вещественными коэффициентами.

Следовательно, получение новых подклассов однолистных функций с целью доказательства в них истинности гипотезы Бибербаха: является одним из важных вопросов теории однолистных функций.

Решение последней проблемы теории однолистных функций зависит от степени исследованности вопроса построения различного рода операторов, сохраняющих однолистность регулярной функции. Принимая каждый из получаемых операторов за определение класса, будем иметь достаточно широкий спектр семейств однолистных функций, причем всякая функция таких семейств снабжается дополнительной информацией о ее свойствах, что, в целом, облегчает решение проблемы коэффициентов, а также задач об однолистном конформном отображении областей.

С проблемой оценок коэффициентов регулярных функций тесно связан не только вопрос исследования однолистности интегро-диф-ференциальных операторов, но и проблема получения необходимых условий однолистности.

Таким образом, в теории однолистных функций представляет интерес исследование вопросов, связанных с построением наиболее общего вида однолистных операторов, получением необходимых условий однолистности функции и доказательством коэффициентных гипотез в тех или иных классах.

Для дальнейшего нам потребуется определение некоторых классов функций и понятие свертки по Адамару, играющей большую роль при получении достаточных условий однолистности.

Через К^ (&) , 0 4 4 1 , ^ - вещественное число, обозначим класс ^ -выпуклых функций порядка , то есть класс таких функций , что в А !

При $ = 0 ползшим класс 3 (Я) звездообразных порядка ¿Г функций; при - класс выпуклых порядка функций.

Если, к тому же, , то Б (0)= 3 9 К(о)= К хорошо известные классы соответственно звездообразных и выпуклых в Л функций, то есть таких функций, которые конформно отображают Л соответственно на звездообразные относительно начала и выпуклые области.

Регулярная и однолистная в Л функция / называется & -спиральной (или спиральной с фиксированным углом поворота

9 ), 1В1<х/Л , если

Л (е"1Па) >0. к ((г) /

С геометрической точки зрения О-спиральные функции осуществляют конформное отображение А на спиралеобразную область, то есть на область, движение к каждой точке которой из начала осуществляется по дуге логарифмической спирали.

Класс "-спиральных функций обозначим через

Тогда , , - класс всех спиральных В функций.

Пусть

Си

9 ^ 1 , - класс близких к выпуклым (или почти выпуклых) порядка функций , для каждой из которых существует выпуклая порядка функция / , такая, что в Д :

Ил (/"(*)/?(*))>«■

Тогда

С (о), С

- класс близких к выпуклым в А функций.

Обозначим через 2 , класс регулярных в Л функций /(%)= 1 + СЛ + --' , таких, что а •№))> о.

При 0 получим известный класс Каратеодори функций с положительной вещественной частью.

Пусть В - класс таких регулярных в Л функций, для которых в А : бу - подкласс класса В , состоящий из однолистных в А функций

Через Ир обозначим класс регулярных в единичном круге й функций /(%) = Лр+О.^^-- , удовлетворяющих в Л условиям:

1){(2)ф0 2) 1/(2)1*4.

Соответственно, 305 - подкласс функций /е , однолистных в А .

Сверткой Адамара (или произведением в смысле Адамара) двух регулярных в Л функций

4т-1аа*л и называется функция ^ (ш *= £>о ап 4 **

Мандельбройт и Шиффер (см. /38/, с. 247) высказали гипотезу об однолистности оператора » гДе / е ^ • Однако эта гипотеза неверна уже для класса 8 (контрпримером служит свертка двух функций Кебе). Поэтому стали пытаться установить истинность подобных гипотез либо на некоторых других (известных или новых) подклассах класса 2 , либо для сверток специального вида. Начиная с 1972 года и до настоящего времени появилась целая серия работ данного направления (например, /16/,

13/; /38/, §§ 8.3-8.4). В последней из указанных работ приведено доказательство того факта, что если функция , а функция f из класса К ( S или С ), то свертка соответственно из классов К , <5 или С

В частности, В.Б.Ожеговым (/16/) на классе регулярных в Л функций, представимых структурной формулой, содержащей интеграл Стилтьеса, решалась задача построения операторов типа свертки Адамара, действующих с сохранением класса функций, на котором задавался этот оператор.

Особый интерес представляет оператор свертки регулярной и однолистной функции / с гипергеометрической функцией Гаусса где В}С} %) - сумма гипергеометрического ряда Гаусса: а , $ , С - вещественные параметры.

В 1978 г. Ю.Е.Хохлову (/32/) удалось построить гипергеометрический оператор F(bß,c)f , при некоторых условиях переводящий класс S в себя.

Пристальное внимание к таким сверткам не случайно. При конкретных значениях параметров CL , ß и С гипергеометрические операторы дают однолистные интегро-дифференциальные операторы, которые возникают в работах многих авторов из других соображений (см., например, Л.А.Аксентьев /1/-/3/, И.Е.Базилевич /4/, H.A. Лебедев /12/, Д.В.Прохоров /24/-/27/).

Вопрос об однолистности операторов связан с радиусом звез-дообразности.

Будем называть радиусом звездообразности для класса л регулярных функций верхнюю границу радиусов кругов £ , которые при отображении круга А любой функцией W= £(%) класса Л отображаются на области, звездообразные относительно точки Ш=0 (см. /8/, с. 166).

Еще в 1947 г. Робинсон (/49/) высказал гипотезу, согласно которой для регулярной и однолистной в круге А функции / , функция однолистна в круге

0,5" (граничной является функция Кебе). В этой же работе доказано, что функция Н однолистна по крайней мере в круге радиуса 0,38 .

Если "внутреннюю" функцию выбирать из различных подклассов класса S , как, например, классов S или С , то соответствующая проблема полностью решена Б.Н.Рахмановым (/28/-/30/).

Укажем еще две работы Барнарда (/34/-/35/), в которых приведены примеры соответствующих функций, чей радиус звездообразности ограничен сверху числом 0,445 , а радиус однолистности - не меньше числа 0,49 .

Таким образом, наиболее сложная задача определения радиуса звездообразности tH функции Н на классе S полностью до настоящего времени еще не решена.

Отметим, что решение этих вопросов тесно связано с оценкой функционалов, аналитически зависящих от модуля функции и модуля ее производной в некоторых точках области задания функции. В частности, при %=0 из этих оценок непосредственно получаются либо оценки коэффициентов, либо оценки коэффициентных функционалов.

Важным свойством ограниченных функций является так называвмая лемма Шварца, содержащая точную оценку модуля функции в классе

Хорошо известны также точные оценки: "ГШ*

- для функций класса В (см, /8/, с. 319);

I * I ,

I {(*)/< Т^г

- для функций класса В0 ( /7/ ).

В частности, при из последней оценки следует точная оценка в классе В0 : /&/ / ^ ^/е .

Общую коэффициентную проблему в этом классе сформулируем следующим образом: определить

Очевидно, что

А0=1 . В. И. Л евин (/42/) показал, что Л^ 2/е . В 1965 г. И.М.Гальперин (/5/) доказал, что .

Кшия (/41/) передоказал результат И.М.Гальперина и высказал предположение ("гипотеза Кшижа"), что бЛ/ : .

Хаммел, Шоенберг и Зальцман (/40/) доказали, что .

В работе Д.В.Прохорова и Я.Шиналя (/48/) получена точная оценка функционала + +и 1 при вещественных значениях параметров Ь и и , и, как частный случай, - точная оценка /Й3/.

Горовиц (/39/) получил грубую оценку /¿-го коэффициента:

1лАЫб,99т„, .

Более трудной является задача определения коэффициентных оценок для функций = С10 + С1^-1- ~ .

Очевидно, что 1&0\<{ и в силу однолистности функций класса В0$ указанная граница не достигается в Л .

Хаммел, Шоенберг и Зальцман (/40/), а также Макгрегор (см. /40/) получили точные оценки:

7ШГ ' или

1а<и 0,62629.,. .

Точная оценка модуля йг на классе В0$ получена Д.В. Прохоровым и Я.Шиналем (/48/): 1(1^1 £ 0^5538,.

Для биоднолистного кубического полинома Л3%3 , - вещественные числа, как частного случая ограниченной функции, Смит (/51/) получил оценки: , причем последняя оценка точная.

Таким образом, до сих пор не решены следующие актуальные задачи:

1) найти достаточные признаки однолистности интегро-диффе-ренциальных операторов более общего вида, чем известные;

2) получить необходимые признаки однолистности ограниченных не обращающихся в нуль функций;

3) установить некоторые точные оценки коэффициентов для ограниченных функций.

В работе с использованием методов теории функций комплексной переменной, функционального анализа, вариационного исчисления и развитием идей И.Е.Базилевича, Г. М. Го Лузина и других математиков, даются ответы на данные вопросы.

В первой главе диссертации изучаются операторы свертки Дда-мара и связанные с ними интегро-дифференциальные операторы. Путем обобщения метода сверток в первом параграфе получены специального вида операторы, сохраняющие, например, класс (&) (теорема 1.1), переводящие класс в ¿> (следствие 3 из теоремы 1.2), и имеющие вид

Г(*) = Л(*У* где

- регулярная в единичном круге функция, а и ^ - регулярные в А функции, пред ставимые интегралом Стилтьеса. Таким образом, результаты В.Б.Ожегова (/16/) обобщаются на случай, когда оператор свертки, построенный на различных классах функций, переводит один из них в некоторый другой или действует с сохранением класса.

Так, например, в теореме 1.4 главы I утверждается, что для регулярной функции 9 !&!<$£/2 , %еА , оператор /)<*)' * «/>/<7* (В * р№)} отображает класс в себя.

Во втором параграфе первой главы исследуется однолистность оператора свертки Ддамара однолистной функции £ с гипергеометрической функцией Гаусса. Наряду с введенным Ю.Е.Хохловым (/32/) оператором , в параграфе доказывается однолистность оператора а,в,с;г)-1) * (а).

В частности, показано, что для РЪ 4- оператор р £ о сохраняет классы К , 3 и С . Здесь коэффициенты ^ определяются из разложения на простейшие дроби выражения Р V* ^ (Р.) -1 п = % % СН+Р г*- 7 теорема 2.4).

Как следствие из этого результата (при ) получаем известный оператор Либеры (/44/): ^ рц,1,*){(*)~ I X ,

1 * о для которого заключения теоремы 2.4 дают известные результаты.

В § 3 главы I изучается однолистность обобщений приведенного выше интегрального оператора. Показано, например, что для вещественных значений <* и £ , ссф 0 , ^/ос >-I , оператор

Г г2 в-1 ос , пШч+р

Т{)(*> = [ («+/)! * / ШсИ\ действует из класса в класс « (теорема 3.1). В связи с исследованием однолистности дифференциального оператора //(Х) = | в четвертом параграфе удалось показать, что радиус звездообразности ^ функции Н больше числа 0,435 (теорема 4.1).

Таким образом, результаты первой главы дают ответ на первый из поставленных вопросов.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию проблемы коэффициентов в классе не обращающихся в нуль ограниченных и регулярных функций.

В § I главы П получена связь функций класса и однолистных функций класса Гельфера, а также функций классов и Э

На основе этого приводятся точные оценки модуля функции (теорема 1.3) и модуля ее производной. Именно: доказана

Теорема 1.5. Для произвольной функции +{¿¿2+еВ02 справедлива точная оценка: гиы Р 1 1-ММо) „ ,

1ШШ' если 0<г<г° ,0<1ао1<-Д-1-,

3-2&, если o<lacl<i, где #, / К*-®.! М нал Лг л

I I

I 1-10,1

Во всех случаях знак равенства достигается (в соответствующих точках) только для функции

1Ш л и /VI гШ Ы2/ 1-82. или ее вращений , ^ , которая отображает Л на единичный круг с разрезом по сегменту (-1; 0] (аналог функции Кебе для класса В^ ).

Часть второго параграфа посвящена получению точных коэффициентных оценок для функций класса . Доказана теорема об области значений коэффициентов CL0 и для всякой функции ftehQo+dfZ-1-'" £ Bps (теорема 1.6). Как следствие теоремы 1.4 доказана точная оценка /ft// на классе Bos . Получен ряд других точных коэффициентных оценок.

Во втором параграфе второй главы получена точная оценка модуля четвертого коэффициента на классе Ё>0 не обращающихся в нуль ограниченных и регулярных функций fiVCLo+CLi**- , • Тем самым для четвертого коэффициента функций класса В0 доказывается упомянутая выше гипотеза Кшижа (теоремы 2.1-2.2).

Доказана также

Теорема 2.3. Если у функции = U0+СЬ^*"' е В0 : ft, = = . = йп1 =0, то ICL^I ^ &/С . Оценка точная (экстремальная функция выписывается).

Последний параграф второй главы дает решение задачи определения области значений вещественных коэффициентов биоднолистного кубического полинома, представляющего собой частный случай ограниченной однолистной в единичном круге функции.

Результаты второй главы дают ответы на второй и третий из поставленных вопросов.

Таким образом:

1. Найдены новые конструкции однолистных операторов типа свертки Адамара и однолистных интегральных операторов.

2. Улучшена оценка снизу для радиуса звездообразности функции в классе

3. В классе &os однолистных не обращающихся в нуль ограниченных функций .найдены точные оценки модуля функции и модуля ее производной. Доказана теорема о теле начальных коэффициентов, а также ряд точных оценок коэффициентов. Вариационным методом найдена точная оценка модуля четвертого коэффициента в классе не обращающихся в нуль ограниченных функций, тем самым для четвертого коэффициента подтверждена известная гипотеза Кпшжа.

Основные положения диссертации опубликованы в статьях /18/-/23/, доложены на Ленинградском и Саратовском городских семинарах по геометрической теории функций, на У Кубанской школе-конференции по геометрической теории функций (1981 г.), на ХХХШ-ХХХУТ Герценовских чтениях в ЛГПИ имени А.И.Герцена (1980-1983 гг.), на Ж Донецком коллоквиуме по теории квазиконформных отображений (1982 г.), на семинаре по геометрической теории функций при Казанском университете (1982 г.). В целом работа докладывалась на объединенном научно-исследовательском семинаре кафедр математического анализа, теории функций и приближений, вычислительной математики и дифференциальных уравнений в Саратовском государственном университете имени Н.Г.Чернышевского (1983 г.).

В заключение считаю своим долгом выразить глубокую и искреннюю благодарность моим научным руководителям доктору физико-математических наук, профессору Н.А.Лебедеву ( и доктору физико-математических наук, зав. лабораторией алгоритмизации НИИ "МЕШЮБР" Й.М.Милину за помощь и поддержку, оказанные мне при выполнении настоящей работы.

1. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций. - Успехи математических наук, 1975, т. 30, вып. 4, с. 3-60.

2. Аксентьев Л.А. Об интегральных представлениях однолистных функций. Известия вузов. Математика, 1959, № 4, с. 3-8.

3. Аксентьев Л.А., Нежметдинов И.Р. Достаточные условия однолистности некоторых интегральных представлений. В сб.: Труды семинара по краевым задачам, Казанск. ун-т, 1982,18, с. 3-11.

4. Базилевич И.Е. Обобщение одной интегральной формулы для подкласса однолистных функций. Математический сборник, 1964, т. 64, № 4, с. 628-630.

5. Гальперин И.М. Некоторые оценки для ограниченных в единичном круге функций. Успехи математических наук, 1965,т. 20, № I, с. 197-202.

6. Гельфер С.А. О классе регулярных функций, не принимающих ни одной пары значений № и -Ш . Математический сборник, 1946, т. 19, Р I, с. 33-46.

7. Голузин Г,М. Оценка производной для функций, регулярных и ограниченных в круге. Математический сборник, 1945,т. 16, № 3, с. 295-306.

8. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М,: Наука, 1966. - 628 с.

9. Зморович В.А. О границах звездности и однолистности некоторых классов функций, регулярных в круге /2/< 1 . Ук- 102 раинский математический журнал, 1966, т. 18, № 3, с. 28-39.

10. Кудряшов С.Н. 0 некоторых признаках однолистности аналитических функций. Математические заметки, 1973, т. 13, Р 3, с. 359-366.

11. Лебедев H.A. Принцип площадей в теории однолистных функций.- М.: Наука, 1975. 336 с.

12. Лебедев H.A. Об однолистности одного класса функций. Вестник ЛГУ, 1981, Р I, с. II3-II5.

13. Макмак K.M. Об Л-свертках рядов Лорана в круговом кольце.- Успехи математических наук, 1965, т. 20, Р I, с. 213-220.

14. Милин И.М. Однолистные функции и ортонормированные системы.- М.: Наука, 1971. 256 с.

15. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. - 480 с.

16. Ожегов В.Б. О свертках функций в некоторых классах функций, представимых интегралом Стилтьееа. Вестник ЛГУ, I960,Р 13, с. 32-40.

17. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. М.: Наука, 1978, ч. 2. - 432 с.

18. Пронин П.Н. О биоднолистности кубического полинома. В сб.: Дифференциальные уравнения и теория функций. Вып. 3. - Саратов, СГУ, 1980, с. 64-67.

19. Пронин П.Н. Об однолистности функционала (г Ш) на классе л? . В кн.: Дифференциальные уравнения и теория функций. Ряды Фурье, интерполирование функций, однолистные функции. Изд-во Сарат. ун-та, 1981, с. 90-93.

20. Пронин П.Н. О некоторых однолистных интегральных операторах. Известия вузов. Математика, 1982, Р 12, с. 31-35.

21. Пронин П.Н. Однолистные гипергеометрические операторы. Л., 1982. - 22 с. - Рукопись прёдставлена Ленингр. гос. пед. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 10 ноября 1982 г., Р 5560-82 Деп.

22. Пронин П.Н. Операторы типа свертки Адамара на классах однолистных функций. В кн.: Теория функций и приближений. Интерполирование. Геометрическая теория функций. Межвуз. науч. сб. Изд-во Сарат. ун-та, 1983, с. 75-84.

23. Пронин П.Н. Экстремальные задачи на классе ограниченных не обращающихся в нуль функций. Л., 1983. - 39 с. - Рукопись представлена Ленингр. гос. пед. ин-том. Деп. в ВИНИТИ13 июля 1983 г., Р 3877-83 Деп.

24. Прохоров Д.В. О геометрической характеристике функций из подклассов Базилевича. Известия вузов. Математика, 1975, Р 2, с. 130-132.

25. Прохоров Д.В. Интегралы от однолистных функций. Математические заметки, 1978, т. 24, Р 5, с. 671-678.26« Прохоров Д.В. Линейно инвариантные расширения семейств аналитических функций. Известия вузов, Математика, 1979, Р 9, с. 41-47.

26. Прохоров Д.В. Интегральные преобразования в некоторых классах однолистных функций. Известия вузов. Математика, 1980, Р 12, с. 45-49.

27. Рахманов Б.Н. К теории однолистных функций. ДАН СССР, 1951, т. 78, Р 2, с. 209-211.

28. Рахманов Б.H. К теории однолистных функций. ДАН СССР, 1952, т. 82, № 3, с. 341-344.

29. Рахманов Б.Н. К теории однолистных функций. ДАН СССР, 1955, т. 103, № 3, с. 369-371.

30. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Физматгиз, 1959, т. 5. - 655 с.

31. Хохлов Ю.Е. Операторы и операции на классах однолистных функций. Известия вузов. Математика, 1978, '2 10, с. 83-89.

32. Широкова Е.А. Об однолистности некоторых интегралов. Известия вузов. Математика, 1977, № 9, с. I07-II4.

33. Barnard R.W. On the radius of starlikeness of (zf)» for f ■univalent. Proc. Amer. Math, Бос., 1975, v. 53, Ho. 2,p. 585-590.

34. Barnard R.W. On Robinson's 1/2 conjecture. Proc. Amer. Math. Soc., 1978, v. 72, По. It p. 135-139.

35. Causey W.M. The close-to-convexity and uni valence of an integral. Math. Z., 1967, v. 99, Ио. 5, p. 207-212.

36. Charzynski Z., Lawrinowicz J. On the coefficients of univalent polynomials. Oollog. math., 1967, v. 16, ïïo. I, P. 27-33.

37. Krzyz J. Coefficient problem for bounded nonvanishing functions. Ann. Polon. Math., 1968, y. 20, p. ¿14.

38. Levin V. Aufgabe Ï63. Jber. Deutsch. Math.-Verein., 1935, v. 43, No. I, p. 133» Losung ibid., 1934, v. 44, No. I, p. 80-83.

39. Lewandowski Z., Miller S., Zlotkiewicz E. Generating functions for some classes of univalent functions. Proc. Amer. Math. Soc., 1976, v. 56, Ho. I, p. III-II7.

40. Libera R.J. Some classes of regular univalent functions. Proc. Amer. Math. Soc., 1965» v. 16, No. 4, p. 755-758.

41. Merkes E.P., Scott W.T. Starlike hypergeometric functions. Proc. Amer. Math. Soc., 1961, v. 12, No. 6, p. 885-888.

42. Miller S.S., Mocanu P.T. Differential subordinations and univalent functions. Michigan Math. J., 1981, v. 28, No. 2, p. I57-I7I.

43. Miller S.S., Mocanu P.I., Reade M.O. Starlike integral operators. Pacific J. Math., 1978, v. 79, No. I, p. 157-168.

44. Prokhorov D.V., Szynal J. Coefficient estimates for bounded nonvanishing functions. Bull. Acad. Polon. Sei. ser. Sei. Math., I98I, v. 29, No. 5-6, p. 223-230.

45. Robinson R.M. Univalent majorants. Irans. Amer. Math. Soc.,1947, v. 61, No. I, p. 1-35.

46. Sakaguchi K. On a certain univalent mapping. J. Math. Soc. Japan., 1959, v. II, No. I, p. 72-75.

47. Smith H.V. Bi-univalent polynomials. "Simon Stevin", 1976-77, v. 50, Ho. 2, p. II5-I22.

48. Wall H.S. Analytic theory of continued fractions. N.-Y.,1948. 433 PP.