Геометрические свойства конформных и локально квазиконформных отображений с заданным граничным поведением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

шдамя та ссср

СИБИРСКОЕ ОГДЕЛЕШЕ июитуг ш'ематшш

И. правах вукокиои

йарит Габидинсвич

УДК Ы7„Ь4

геиштшчесйие свжт ышшт

и ловимо твинон^ириш оювшш

• с ЗДДАШШ ГРА-'КЧШН ИШДОМШ • 01,01.01 - матемс.сипяп;«!! ок&лиз

А в т о р о ф 9 с а т

диссертации на сомг'&'тв ученой степени доктора !|ляино>-!;каук

Новосибирск - Й83

Работа выполнена в НИИ математики и механики им. И.Г.Чв-ботироча при Казанском государственном университете им. В.И, Ульянова-Ленина

Официал?, ше оппоненты: доктор физ,-мат.наук, профессор

И.А.Александров;

доктор физ.-кат.наук, ведущий н.о. В.М.Гольдштейн;

доктор физ.-мат.наук, профессор В.Я.ГутлянскиЛ.

Ведущая организация - Институт математики АЛ УССР

Защита диссертации состоится "_"_19Й года в _____ часов на заседании специализированного совета Д 002.23.02 при Институте математики СО АН СССР (Новосибирск, 630090, Университетская проспект, 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан "_"_ 19 'г.

Кеный секретарь специализированного совета ^

доктор физико-математических наук РРС^ Б.С.ШШЛЮСОВ

.CiEH.5

I. Jems

■дел

ртаций

ОЩАЯ XAPAKL'EPrlCl'hhA РАШШ

/■•'ссертацня посвящена исследованию геометрических свойств конформных и локально квазиконформных отображений с заданным граничным поведением. Основная пр-олема - конструктивное описание массивов однолистных отображений и оценка лист-ности в терминах, типичных чя краевых задач с неизвестными границами.

Актуальность темы. Выявление массивов однолистных и ко-нечнолистных конформных отображений, выделяемых простым свойствами, является одной из принципиальны/, проблем б геометрической теории функций комплексного переменного. Топологические и геометрические результаты такого рода находят разнообразные прилокени я в краевых задачах с неизвестными границами, изучаемыми в аэрогидродинамике, теории фильтрации жидкости, магнитостатике, теории взрыва по модели М.А.Лаврентьева. С другой стороны, приложения стимулируют развитие теории, являясь источником новых задач. Так, ряд геометрических проблем возник при изучении разрешимости и однолистности решений обратных краевых задач в работах Ф.Д.Гахова и Ю.М, Крикунова, 1956 г., B.C.Рогожина, 1УЬБ г., Л.А.Аксентьева, 1964 г., и других математиков (см. обзор [&>] ). Опросы топологического характера в обратных краевых задачах приводят к необходимости переосмысления классически фактов и изучения внутренних в смысле Стоилова отображений с граничнуш условиям типа Морса при наличии особых точек отображения в области или на ее границе.

Метрический аспект основной проблемы садится к оценка.'! точной нижней грани неотрицательны:: функционалов на нелинейном и некомпактном (относительно равномерной сходимости в области) классе -функций. Подобная задача хорошо изучена для функционала, связанного со шварциалом и теоремами Нехари 194У г. о конформных отображениях круга, причем зшшшшв к этому функционалу в 60-е и 70-е годы было обусловленоприложениями к теории пространств '¿'ейхмюллера и к краевым задачам. Уточненные версии, прямые аналоги и обобщения теоремы Ьеха-ри изучали Альфорс и Вейль, Л.А.Аксентьев и и.Л.Шабалин, Бек-

кер, Г'евирц, Геринг, С.Л.Крушкаль, Лехто, Мар^.ю и Сарвас, Иоммеренке, Осгуд и другие. Качественный вывод этой тес ии, установленный усилиями ряда авторов к 19ои году, состоит в следующем: прямой.аналог теоремы Нехари в конечносвязной области справедлив тогда и только тогда, когда область однородна (т.е. любая ее невырожденная граничная компонента - квазиконформная кривая). Такой качественный выьод сохраняется, фактически или гипотетически, и для некоторых других функционалов. Ь ряде случаев остается актуальным вопрос об эффекгив-ных оценках констант. Шх'од за пределы однородных областей, требующий иных функционалов и разработки новых методов исследования, является наиболее "горячей точкой" в этом круге вопросов.

Цель работы состоит в развитии теории конформных и локально квазиконформных отображений с заданным граничным поведением, пригодной для изучения однолистной разрешимости обратных краевых задач и включающей:

- оценки листности отображений при граничных условиях типа Морса или Умедзавы;

- постановку и исследование основных задач при метрико-функциональных ограничениях на отображения канонических областей и областей со сложной геометрией;

- примеры применения методов и результатов к Исследованию разрешимости и однолистности решений обратных краевых задач.

Г тодика исследований. Ь работе используется ряд результатов и методов геометрической и топологической теории функций, дифференциальных уравнений и краевых задач для аналитических функций. Наиболее часто и последовательно применяемые в доказательствах новые конструкции связаны с локально гомео-морфными продолжениями, со специальными интегральными соотно-шени,„ли при обосновании метрико-функциональних условий однолистности, с редукцией задач по граничным данным к оценкам функций внутри области.

Теоретическое значение и новизна работе определяются следую :,им;

- изучены новые топологические и геометрические модели лассоь фуш—чй: построены аналоги принципа соответствия гра-

ниц и общей теоремы Морса о порядках (об индексах) для внутренних отображений при наличии особых точек на грашцг области, получены оценки листности для внутренних отображений многосвяз-кых областей при граничных условиях Умедзавы;

- выделены основные задачи теории при ме три ко-фун кцис но-льных ограничениях на отображение и обоснованы торемы о глобальной однолистности в областях с "нулевыми углами";

- установлены условия глобальной однолистности и оценки листности б новых терминах: ограниченность на границе либо вращения, либо искажения, ( Р,0. ) - условия, комбинирование условий разных типов, специальные функционалы для дифференцируемых отображений;

- получены теоремы существования решений обратной крае- . вой задачи, сформулированной Ф.Д.Гаховым и Ю.М.Крикуновым в 19Ь6 году, обоснованы признаки однолистности решений прикладных обратных краевых задач.

Приложения. Методы и результаты диссертации могут быть использованы (и применялись в работах ряда авторов) для построения новых классов конечнолистных отображений, для исследования однолистной разрешимости краевых задач с неизвестными границами, в том числе прикладных задач гидромеханики. Топологические и геометрические результаты могут быть применены для определения корректных постановок краевых задач механики сплошных сред, для исследования задачи' построения рима-новой поверхности с заданной границей.

Апробац• [ работы. Результаты работы докладывались на Донецких коллоквиумах по теории конформных, квазиконформных отображений, °е обобщениям и приложениям в №76, 19Ш, 19Ь4, 1987 годах; на Кубанских школах-конференциях по геометрической теории фун кций комплексного переменного в 1УЫ, 1984, 1УвЬ, 1У89 год:'х; на семинаре Института математики СО АН СССР, руководимом проф. 11.П.Белинским, проф. С.Л.Крушкалем и проф. А,ь.Сычевым а 19ЬЬ, 19ь7 годах; на семинаре Белорусского университета, руководимом проф. Э.И.Зверовичеы в 19ВЬ году; ¡¡а семинарах Московского университета, руководимых проф. Е.И.Долженко, проф. Б.Ь.Шабатом (19Ьо г.), проф. Б.и.Шабатоп, проф. Чаркой (19Ь6г.); на семинаре йнститу-

Ь

та прикладной математики и механики АН JССР, руководимом проф. В.Н.Гуглянским (Донецк, 1У8о, ISbü г.г,); на семинаре Института математики Atl УССР, руководимом проф, Ю.ЮЛ'рохим-чуком и проф. П.МД'амразовым Ошев, 1Ув6 г»); на семинаре Томского университета, руководимом проф. tisA.Александровым в 19о7 и 1Уо9 годах; на семинаре Кубанского университета, руководимом проф. И.П.Ыитюком (1УВУ г.); неоднократно в течение рлд лит на итоговых научных конференциях и следующих семинарах Казанского университета: на городском семинаре по краевым задачам, руководимом проф. Г'.ГЛ'умашевым, проф. МЛ'. Пушным и проф. Л.И.Чибриковой, на семинаре кафедры математического анализа, руководимым ироф, Л.А»Аксентьевым, на семинаре НИИ математики и механики, руководимом проф. Л.Б.Ильинским.

ПуйййМШИ» Основные результаты диссертации опубликованы е работах [l-í¿6], ¡26, § 4 главы 2]. Кроме того, в диссертацию шелючены некоторые результаты, полученные непосредственно автором и содержащиеся и совместных публикациях [21-2У].

Структура,и объем работы, /¡¿юсертация состоит из введения и трех глав, объединяющих 11 параграфов, списка цитированной литературы из IIÜ наименований , общий объем - 27У страниц машинописи. Формулы и каждый из видов утверждений (теоремы, леммы, предложения, следствия, замечания) нумеруются независимо друг от друга о указанием номера параграфа и порядкового номера в пределах параграфа.

СОДЕРЖАНИЕ РАШШ

lio введении даны обзоры истории вопроса и содержания диссертации. Содержание глав i411 кратко может быть охарактеризовано следующим образом.

.. главе I (§§1-3) изучаются топологические и геометрические вопросы. Аналоги принципа соответствия границ, включая И -мерный случай, а также оценки листноети при граничных условиях Умедзаиы, полученные соответственно в § I и § 3, используются частично в главе Н Построению аналога общей теоремы Морен об индексах, когда отображение имеет особые точки на i шице области, посвяшен § 2. Полезным в дальнейшем оказыва-

ется попутный результат с рациональной параметризации кривда, используемый в главе И при доказательстве существования решений обратных краевых задач в общей постановке.

Глава II (§§ 4-8) посвящена метрико-функциональиш условия'! однолистности и р -листности. Ьначвпо, с §§ 4,& рассматриваются функционалы на г-лассе аналитических нлг меронорфшпс функций, получены основные качественные результата, привопящп"-к областям с "нулевым! углами", данк в ркде случаов з^фектяв-ные оценки констант. Затем мы изучаем г-озмояность распространения этих результатов на слу"яч: а) д^фэретдир'Т'ч-гл отображений с половительнш якобианом (§ 6), б) комбинирзаяия с условиями геометрического характера (§ 7). Н 5 в обсуждается проблема выбора функционалов, подходдазгс для воделеши натгч-виальных массивов однолистных п р -¿шетннх отображений.

Глава Ш содержит упомянутые еисз теоремы существогамця решений обратных краевых задач в постановке й.Л.Гехот ч Ю.Ц.Крикуиова, решения возникших ранее вопросов по условиям однолистности в обратных краевюс задачах, другие приложения результатов гл?.ви П. В частности, з § II, пунк? И, сбсуждплт-ся однолистность реиенкя обратной задаем теории крыла, когда, искомая область ограничена кривой, заведомо не являющейся квазиконформной»

Перейдем к более подробному изложения результатов, В главе I рассматриваются внутренние п смысле Стоялова отображения ДС области Ю расширенной плоскости Ь . Основная задача - оценка числа листов ¡0) огобра-исицм £ Предполагаются заданными: а) локальное поседение / (2/ ч з.^ исключением конечного числа особых точек {¿х} - / С $ , г (¿¡•с)" со ; б) обобщешяд? грпипчикэ условия тгяя г!о.рса пли Умецзаш. Обозначил:

ДЛ1 лвбого множества Xе- 3) • где рЫЛ,&) - доколь-

^ Ш ' I

ная листность отображения {■ в точка " ; угяооой

порядок (индекс ■Уитни) ориентированной локально простой замкнутой кривой ^с С . Некоторые утвер'адсния главы I обоснованы б более общей ситуации - для отображений П -ь-.ертх областей. ,

7

Ь начале § I приведены предварительные результаты и некоторые уточнения принципа соответствия границ, дан пример, показывающий необходимость дополнительных требований при распространении этого принципа на случай многосвязных областей.

В оснопщх утверждениях § I - в теореме 1.1 и дополняющей ее теореме 1.2 - моделируется одна из типичных ситуаций в краевых задачах с неизвестными границами, когда известна или легко устанавливается инъективность конформного отображения на каждой из граничных кривых или их дуг.

Пусть 2) - конечносвязная область в С , любая гронич-ная_ компонента которой - жорданова кривая. Отображение : 3) С является внутренним по Отоилову в Я , непрерывным в сферической метрике, т.е. как отображение в С , в замкнутой области ¡0 , причем

где_Т - конечное или пустое множество точек из Ш ,

Если / инъективно на каждой из компонент множества [оЯ)) \ Т , то т е о р е м а 1.1 утверждает, что величина Уконечна, отображение / конечнолистно и

р[1>$\Т)*У[!,Ш)-т+2-ыт при и,.*О,

при

Здесь Щ - число точек из Т , лежащих в 3) (т.е. число полюсов {(2) без учета их кратности), оС^ - число граничных компонент области !0 , имеюцих общие точки с Т .

Б предположениях теоремы 1.1 отображение / будет однолистным (= иньективным) в 3)\Т тогда и только, тогда, когда либо ¿т - У(£ #) = 0 , либо ¿Г / = Ш = ]/(!,2) \ Т) = 0 . Именно этот случай теоремы 1.1 с ослаблением требований на исключительное множество Т и его образ /(77 переносится на отображения П. -мерных областей.

Теорема 1.2. Пусть 2) - гц изволымя область в $ , (I ? 2 , Г - зтыкнутое множество из Л (в частнс&ти, Т = 0 ), 1й\т -область, отображение непрерывно в сферической ме.^ике. Отображение / будет иньективным в Т , если выполнены условия:

а) е сферической метрике ,локально гомеоморфно в 0 \ Т и инъективно на каждой из компонент кпжеетва

б) существует замкнутое нножество_ f\ - я\ такое, что

ЦТ) с К : К fi f(a\ Т) ~ 0 , Я>Л\К

- односаязкая область. г — f|

Здесь f(T) - предельное шгоявстпо, T.e.flfT}"¡'J<-''• существует такая последовательность (Хгп) С J , что йш xm ~ х е Т -iint .

»П •• С.> !1 —.»

до::гзательстп-эх гворем 1Л и 1*2 ауществпкнук poj'b играет построение локялыюгшеоморфщгс' прэдодкеюй яяучавкига отобрадвкяя (с перестроенной облСОТП ,;5 — С или ДвуИРШОГО сочения на более гаирокип пмкастпа), Подобнцб поде-»

роония оказываются работоспособнип; п при обосновании других пнчлогоэ пшнц!«№ СООТВЕТСТВИЯ границ. В частности, я ПуЧЧТО 1.Й 5 I с применением sj-o.t мегодлкн рассмотри)i!<i стяндетх'«.?« задача об оценка p(f} $ 1 7J дчя отобр'ктекия плоской v6i.«e-ти, когда заданы ориентации образов гонпоиеит (ßß/\ I и локальное поведение f("Z) в точках Ьк G Т '■) . ß пункте 1.3 доказана р -лисхнооть d кольцо ( ß ~ '?-) mn iwi ?к~ THDHocTh в шаропом слоо (il> 2) локально го'зооморфного 0".;;б~ ракэння, если образы двух граничных ксютонсл« сидсоиа о г,сг,з~ щьз Fs -готоиорфчзпя R'1 на себя» сбдвдяаого caeiiitaetnr-Mii свойства;-,Аналогичная ситуация рэссасгргиа дял оюбрп;.;.}-ниц полоса (слоя).

В § 2 вредены класс кваги локально прос^я: (:-юавв -о,л,;) кривых, число::.¿в характеристики (индексы) дли оа'Ш£ кривых, 060cii0Br.ii аналог общей а'воре.*.гы Морса о порядках и«ццокса<с) для случаяj когда граничные значения внутренний) оусбрэяенан /!д L определяют квпаи -т.п. ¿■равг'в.

Кринум у , определяемую отобээжеипш 2-: dt ->- iL

д£ ={е-: О-, t* PJ%}

, назанае» квози докедьио

простой, если

а) отображение 3 локально гомеоморфно в

ЪЕ \ / !j),

где TU) - некоторое конечное или пустое aoptmo-daccBo ЪЕ ;

б) для любой точки £ = Т(й) существуют £>0, натураль-

ное число г) , гомеоморфизм IV: ь, с

такие, что 2(е1т) + СтЛ при , .

Индекс особой точки г; е Т"(<Г) П0(г:;£) ,

где п0(г;; е/ - минимальное из всзх возможных значений п(г;; е) . Угловой порядок И'(^) , а также ~ ин-

декс точки Л относительно квази л.п. кривой у - определяются как соответствующие величины для ограниченной локально простой кривой ' > получаемой из % деформацией специального вида. Топологические свойства квази л.п. кривых характеризуются следующим .утверждением об их рациональной параметризации.

Т еорема 2.1. а) Ксли 1-* - замкнутая жорданова кривая в С , £(2) _ рациональная функция, чо отображение определяет квази л.п. кривую.

б)_Пусть у - ориентированные квази л.п. кри-

вые в С . Тогда существуют рациональная функция №(¿) ,

V - связная область 2) , ограниченная замкнутыми жорда-новыш кривыми , ..., , такие, что отображение /?/1у определяет ^ для всех / , .¡», V , причем положите-

льная ориентация ~ЬЪ индуцирует заданную ориентацию крц-вых ^ ^ .

Теорема 2.2. дает связь между характеристиками локальной листности внутреннего отображения /' -В-*" € и индексами у,- с /[ЪЗ)) в предположении: У - связная область Ъ ограничен1 жордановыми кривили, граничные значения $(2) определяют квази л.п. кривые ^ ..... ¿у . Ь частном случае, когда основное соотношение теоремы 2.2 влечет неравенство у>

4(1,3)) + 1Щ),

где - кривая с измененной ориентацией,

сумм I кратностей полюсов в /(г) в Ъ . Построен пример, показывающий возможность строгого неравенства; равенство имеет место для случая, когда ьсе ^ локально просты и ограничены (= теорема Морса) л в некоторых других случаях.

Обоснование теоремы 2.2 предваряется изучением свойств индексов

Щ) ■ 'пс(Д

для квази л.п. кривой $ : изменения 10

индексов при специальных деформациях кривых; равномерная по а« ограниченность$ ; потеря свойства нечетнос-

ти при смене ориентации Так, для углового порядка имеет нес-то формула: = - + 2 К(оо, ¿) Н £ я{оо, ,

где >1(00, $) - число точек множества Т~ {с, € "ЬЁ '•

К(о^л) = Е п'ъи) .

В конце § 2 обсуждается связь теоремы 2.1 с задачей построения римановой поверхности с заданиями проекциями граничных кривых на плоскость.

В § 3 изучается вопрос об оценке р (?,«$) , когда иззе-стны величина (,3)) и следующие цолочисленнкв характерис-

тики С ' ^ " - угловой порядок,

^ =}Х(¿'^) ~ величина, введенная Умодзавой и харахтернэую-щая вращение кривой.

Пусть /1(СЦ - число Л-аочек внутреннего по .

Стоилову отображения £ У - связной области . Оценка теоремы 3.1 имеет вид

ж*,¿я; с /г^я; *

где У, - образ компоненты границы, а. - любая точка вне ( й!)) ^ С ; Ц,1"[%) определена явным образом как функция от К = У/($) и }*■-}*..

Теорема ¿.1 включает в себя известную теорему Умедзави, охватывающую счучай функций, аналитических г замыкании одно-ссяэнэй области. Б основе доказательства теоремы ЗЛ лежит геометрическое наблюдение: возможность оцени» индекса Пуанкаре иШ^ # при заданных К ) и 73^ (%) . Такой подход позволяет рассмотреть (в отличие от метода УмедэаЕи) как случай многосвязных областей, так и случай П(оо;Р;.

Из оценок индекса и теоремы ЗЛ вытекают следе! -в и л 3.2 - 3.£>, даящие оценки листности функций, мзромор?--ных з круге или кольце и обладающих определенными граничными свойствами. Доказательство следствия показывает, в частности, что ряд известных фактов, установленных различными методами в ¿0-е и ЬО-е годы, является следствием неравенства Радона, обоснованного им в 191У г.

JJ конце параграфа доказана теорема 3.2 - обобщение теоремы 3.1 на случай счетно-связной области специального вида.

Проблема, изучаемая в главе П (§§ 4-Ш для конформных отображений и их обобщений, в общем веде формулируется следу-кяцим образог;. Пусть JU- некоторый класс отображений области JD с. ^ . в ¡¡\ , /»-*-£>= -функционал со значениями ¿^[0, С«J , р - натуральное число. Найти ¡эффективные оценки константы И (р) = Ltif {3(f) : /<= M(J)) , p(f,Jô) > P + 1} , Функционалы, для которых Х(р) f д , мы Называем р -допустимыми (при р - допустимыми) для класса jil в области J) . Для заданных Л1 и J основной вопрос качественного характера заключается в следующем: насколько широк класс областей Gi(3)={<$} , для которых J является р -допустимым?

В § 4 установлены условия глобальней однолистности или Р - листности в терминах области значений ¥ (&) . Геометрическим свойствами областей описано множество (л :)сех тех областей ДС i (в предположении коиечкосвясшостн и кусочной гладкости 2Л ), для которых ï е о р е ы а утверждает

$ 6 G"' (/>= IIакд f (г) ¡I допустим б 3) .

Здесь множество М~ М($) состоит из функций {(?) , анали-тичных в сО \|(Х> J , причем f (г)ф 0 и ((z) имеет простой полюс в бесконечности, если оовЗ) . Здесь и в дальнейшем llipiî)!!^ означает sup | ( : Zé,2)J .

Если область 3} односвязна и ограничена, то условие 236 û. состоит е том, что a) hjù - кусочно-гладкая корда-нова кривая; б) если на имеются точки возврата г^ , то лучи fj = lzj) 00) > проведенные в направлении острия, должны pi сходиться (т.е. ij. А Я , при jfK, если fj и Гк параллельны, то должны быть^направлены в разные стороны),Таким образом, область не обязательно является однородной.

в с»иэи с теоремой 4,? уместно привести в наших терминах улоыян; !'ый вше качественный результат Альфорса, Геринга, Мар-

тио и Сарваса, Осгуда: для конечно связной областг 3) функционал И {т, является допустимы!-* я 3 тогда и только тогда, когда ¡0 однородна. Здесь сцл£ (2, ЪЗ)) - расстояние от точки г до границы,

г} - шварциан глвроморфной в Я фуякшш /(г; <

Теорема 4,2 развивается в § 4 в различных направлениях. Наиболее общий функционал, рассматриваемый этом параграфе, имеет вид

Здесь О- - заданная область, - рациональная функция.

Функционал Я получается из ; , когда

и Я- - горизонтальная полоса.

Предложение 4.3 утверждает, что функционал является р -допустимым для р=> я ¡л£ ,3)') : Ц)'э £)} в конечноевязной ограниченной однородной области, если гв(Я)- 5ир{ W£Я.J< со ,

где - конформный радиус <2 в точке « и

предложении 4.2 показано, что условие на конформный радиус является существенным: если и В , то ; не является допустимым.

В ряде случаев, важных в приложениях, получены явныз оценки постоянной ?С(р) в достаточном.условии р-лаехчю-сти вида

С^) $ щр) :

а) 5) - круг, £(2) = 3 14 - полоса (т е о р е м а

б) 9 - однорогая область, ¡¿(с)- 2 р) -объединение двух полос [ч,!: /£?Л'// АО,} ¡У¡Я ¿фЛ} (теорема 1.3),

Теорема -1.3 покатывает, в «пстносси, что фуикцчонолн \\aiy ¿'(^Нд И М'мЦлШ/МяЦд-} яплпвтея допустн-ит» в едкар. дчнх областях. Згим фактом для ^ мы пользуемся пр.*! дотаптст.пгев теориям пкг.осршкш, ввиду слоглости, в отдели:1<1! ¡-у/.нт 4,3, Агорой п;? у га ринцк $ушщис-ч<?дов соот-кстотвурт тогда 52 вертикальная полоса, и приволок

К И0СТ8Т0'1Н-/',:у утло».-»» однолистности »иг,о П\ М I

М/щ а» в'Л'р [ 1л!"п;;м, что гп ('.[•,}'.',!>> у-сломы такого вя-

да были обоснованы Джоном (для конформных отображений круга) и актором (для конформных отображений внешлости круга с нормировкой ).

В § б изучены ( РМ ) - условия, выражающиеся через два произвольные аналитические функции Р= Р(г) \\0.~ (Ц (г) при связи р'(г;- Р*(г)/2 ~ , И их частные слу-

чаи, когда а) Р(2)= - {"&)/ 1Ъ) , , б)Р(?)=0,

Использование Р и <2 позволяет избегать дублирований в доказательствах при выводе условий однолистности в терминах шаарциана и отноше-

ния {Ьу1Ь).

И пунктах ЬЛ к Ь.2 рассматриваются меромор<|ше функции в круга и полуплоскости, а также в облгстях с характеристиками Ь.С.Рогогхина, Приведем некоторые утверждения или их частные случаи.

Справедливы достаточные условия однолистности в 'области !1) в форме неравенств; .

1)|г-а| х-1 |Р(г)|+^ Сг> ]<ЭС2д| < ^ (?),

где $ - круг с центр;« в точке & радиуса % или его внешность, - коэффициент гиперболической метрики области Я (т е о р е и а 5,1);

2) | у 1"(г)/ | * \/2 или (у (/(2 ^|г-нс[} $ - полуплоскость (з; г >0}

(следствие

ЯЛ).

Б круге Е имеет место условие |Д.)-листности

(< - и2""/ и ){/, н ] ч<- «м^ 2 л №

при П>А- 0 и нормировке 0 (предложе-

ние Ь.Й). .

При П = / отсюда следует упомянутая теорема Нехари. Ьту теорему, а также известные результаты Ьеккера можно получить также и:з 1) с учетом частных случаев а)-в) задания Р и й . ( Р,(3 )- условие ьида 1) с заменой г-а - Г £ было опу' тиши-то нами к [9] , 197Ъ г. Близкое утверждение (гн-м сснлкичм [ V ] ) в несколько иных обозначениях опубликовал,

в 19Ь6 г. Поммеренке как усиление некоторых рк>улг татоа Эп-итейна 1У85 г. Первое нехювенство в '¿) было найдено одновременно Кюнау и автором (см, обзор ['¿о] ).

Достаточные условия однслистности в Еиде

I! + с, || б(ю 11^ 4 пр), { |Р(нЦн| + сд \ |а(н)с(н( < Кр)

обоснованы в пункте Ь.2. Дану явные опенки кДй) л в заысимооги от характеристик 3} , введенных В.С-Рогсжнкцм, Эти характеристики позволяю? охватить подклассы однородных областей, а также некоторые неоднородные области, на границах которых,имеются "нулевые внутренние" ^¡глы. Оказалось, однако, что классы для функционалов !>

включают области с "нулевыми внешними" углами при вполне определенной дозировке. Приведем необходимые определения и • формулировку центрального результата § Ь» А _

Пусть с£ и А - постоянные, с1^(0,1] , п> 0 »Будем писать: область $ € ¿л¿(Л ) , если существует компакт Кс 3) такой, что для любых двух точек Е< и '¿., , деяаакх в одной к той ке компоненте К , существует соединяющая их спрямляемая дуга с $ длины/{г^АЧерез

обозначим точку» верхкио грань дяэлэтрэв компоие?:?

Т о о р о м а Ь.З. Пусть область С ,({■• ((($}< оэ г Ъй . (^кгаря /(с), ыерсиор$иап и локально едкодаот-

кая о £} , будет однолистной в ф . если пншшадэгея одчо КЗ -требований: ,, ,, . „ с / ,

где - единсмешшй в (0,1) корень доакаэяпл

есср к = ¿л ( еярГкЬ)сИ ;

1(1,'}1а<ш~'<1"*',

Если = (1Ш)= со , то эти ф;шщоналн не допустимы а 3). Являются точными и ниише пределы //.2 и //5 : для меньших оС существуют контрпримеры областей

В ГОТОрыХ I f/flla (при d<i/2) или ¡/{zjfjj, (при oL<{fa) im являются допустимыми.

Развивая это утверждение, в т е/о реме Ь,4 рассматриваются функционалы \\dibt f /f при S'eiOji] и | Ый) (f, z} |я при <Ге [0,2] . Они оказываются допустимыми, соответственно, при fe p(Z-i/oi) и <f= ~ , в областях класса , определяемого аналогично QaiA) , но с двумя условиями на

mMi{sJ-s}4ßdi5tfi(zJjd),

где S - длина дуги i(z(s) <= jf (z(, 2j . Отме-

тим, что при oL—р — 1 получается одно из известных определений однородных облаете^.

Вопрос о замена другой весовой функцией

при формировании функционалов и о переходе от равномерных к интегральным метрикам затронут в конце параграфа Ь в предложениях Ь.З и t>,4.

ь § 6 обоуадается возможность распространения ^некоторых утверждений на случай дифференцируемых (класса

№ или

С lJÖJ } отображений с положительным якобианом, заданных в Iг -мерных областях при )1-2. или , Рассматривается,

в частности, функционал

где

Здесь ... , / = ^ , ...} fti) - точки lf\

- матрица Лкоби, f (t) - обратная матрица, Ц.ц стандартная норма линейного оператора в в евклидовой

метрике Такое продолжение функционала 7(f)~ ¡¡dibt (z, Щ1/1 Hfl при расширении множества заданных отображений должно привести, вообще говоря, к сужению класса и уме-

ньшении постоянной н(У)= inf(J(f): fzJll, p(f,^)>ij . иднако ряд утверждений § Ь относительно J(f) и классов областей С. , , Gij:^ оказывается устойчивым при расширении кон-отображений ди оюбракешй класса С2£Э/ с иоложите-

^Г— при П^Я

льным якобианом.

Так, теорема Беккера допускает обобщение с сохранением константц: частным случаем теоремы 6.2 является признак однолистности в круге в виде неравенства ¡Z P¿ (2) 14 ú i/tf-féi^) i . В пункте 0.1 дан также ряд других

достаточных условий однолистности отображений плоских областей в терминах частных производных I по Я и 2 , указаны применения этих результатов к случаю конформных отображений. Условия инъективности отображений при Ti? Z в терминах Э(¥) &) а классах областей G,¿ и , определения которых естественно переносятся на /У? , изучаются в пункте 6.2. Доказанные здесь теоремы b.J н 6.4 представляют собой прямые аналоги или обобщения теорем Ь.З и Ь«4. Доказательства существенно опираются на методику § b и теорему 1,2 из § I. Приведем одно утверждение, получаемое с учетом того, что ограниченная выпуклая область лежит в при / и d~dJumS¡ .

Следствие Ь»?. Локально гоыеоморфное отобр&даг-нне f : Л) -*■ Щ класса выпуклой области ¡R

будет инъекгивным в 2) .если

При И= А функцию

можно заменить на г, (х), что -для конформного случая дает усиление известного условия однолистности ri.C»Рогожина в виде неравенства ¡/"(Z)//(z)| ^ ^íl/diam Я для отображений выпуклой оЗластн С »

П § 7 изучается возможность замены точечных нормировок некоторыми геометрическими требованиями при формировании классов М(Я). Доказываются признаки однолистности и р-т-стносги, включающие требования разного вида вблизи различные граничных компонент области и приводящие к теоремам комбинирования условий топологического и метрического характера,

U пункте '7.1 анализируется простейшая ситуации, показывающая важность нормировок при формировании класса JÜ(¡ñ) . Так,^предполагая нормировку / (0}~ О и неравенство Веккера 12 f {'¿)/ f (i) [ < l/(í~{~¿¡Z) выполненными для аналитической в круге F. ~/н;|2|<|} функции ((ъ) , мы получаем двулист-ность fo) И включение f(E)c { W: |iv- f(0) ( < \f(0)\ j

Vi

(¡т р е д л о ж е н и е 7.1, пункт и)).

но» г е о р е м ы 7.1, типичного результата пункте '?«£, следует, что аналитическая t кольце «Э-{z*. (¡,<V*\*i\\ фикция {(?) не более, чем {%.£-{) -листна, если ¡2f/î (<

i/(i-№iZ) для всех гей , а кривая ^ , определяемая отображением [О, -2Г] 5 0 Н^е1"0) , является обобщенно выпуклой и имеет врадение К>0 ,

Построен пример, показывающий возможность знака равенства б оценке р((,<£>) ZK-i . Таким образом, ожидаемая оценка p(f/J))< К оказывается неверной.

¿»лее обаде ситуации рассмотрены в пункте 7.J. о частности, в т е о р'е м е 7.2 речь идет об однолистности функции f(z) , локально однолистной в замыкании конечносвязной области JQ , если для каждой граничной компоненты L облести Л либо / икьектиэно на L , либо производные

f(z) в $J вблизи L удовлетворяют некоторому неравен-СТЕу.

Ь § 8, последнем параграфе главы Л, изучается проблема выбора допустима функционалов. Доказано (теорема БД), что р -допустимость произвольного неотрицательного функционала 0 есть следствие своеобразной устойчивости ядра J . При отом функционал^ J определен на множестве М{11) _сурб-ргжений f : [I-*- ¡R , Il - произвольное подмножество R f Р ■= ро(7) . "Де

.рр)- шр{рМ>И): рЛШ- р(х,ъ Щ- «f lRnj.

* в

По определении, функционал J:fll(U)-*-[О, ьэ] имеет устойчивое ядро, если выполнены следующие требования.

I) Ядро ¡{(Я J■ не пусто, лабое отображение из ядра определено и непрерывно в сферической метрике на замыкании tl , причем Р0(7]< оО ;

'¿) для любой последовательности (/,,) С JlluiJ , для которой J^-W- J(fv)- 0 , существуют подпоследовательности (f^ ) , отображение /0 £ \Ол J такие, что ^

ft ) (Я) (ж) в сферической метрике равномерно в Й' ;

б) для любой точки X* 1С иэжио указш-ь нок'ьр ¡/(х) V;

5. -окрестность С((х> £) точки X , причем 4 и.) для всех

Центральным результатом § в является

I е о р е м а В,2, Пусть ¿Ь - клачпоеья-нпя однотд.. над, область с невырожденные граничными компонентами, С , ¡¿(2) - рациональная функция. Если функция мероморфиа в

является р -допустимым в ¡и для р =

область 3) }. Ьдось Рд(2) - коэффициент гиперболической метрики области 2)

Длк р=1 , = + , а*0 , теорема Ь.2 была доказана в 197У году [.¡артио и Се рейсом, Герингом и Оагудом. Подходы Г1ТИХ авторов отражают специфику однолистного случая, и не распространяется на случай , Д аощем случае дока-

зательство теоремы подставляет .чначительнне трудности и осязано на применении теоремы с(.1. й частности, доказательство устойчивости ядра функционала 7 , являющегося некото-ркм^прадольениед > , вклкч&вт в себя такой факт: ир>« нормировках $у(г0) = £(г0) , ^ (?„)■= К (20)

0 при со ^(г)-^Я(г) при

равномерно в в сферической метрике,

В пункте ь,л даны другие примеры р -допустимых функционалов, иллюстрирующие возможность нетривиальных ядер, зега-симость Я<р)= м[{Ш ЫЩ), > рИ| , от выбора ико-

не ст в а

Гласа Ш (§§ 9-11) посвящена приложениям результатов и разработанных методов к исследовании разрешимости и однолистности решений обратных краевых задач.,

Следует отметить, что возникнув из прикладных вопросов (работы »¡¡англера, Г.ГЛ ума'ивва и других по теории крыла, мно гочисленные исследования по теории струйных течений), обра".- . ныа крпевне задачи привлекли внимание ряда математиков и гид-

роиехакикои. Б оО-е годы был сформулирован и изучен ряд модельных задач (работы Г.ГЛумаиева, М.'Г.Ьужина, затем О.И.Андрианова, й.Д.Гахова, Ю.М.Крикунова, й.С,Рогокина), в Ы)-е годы и последующи« годы большой е-клад в теорию и приложения внесли Л.А.Аксентьвв, й.Б.Ильинский, Ь.Н.Монахов, Р.Б.Салимов, М.И» Хайкин и другие.

Ь § У дается общий метод решения обратной краевой задали для многозначной аналитической функции Р(в) , имеющей конечно') число полярных и логарифмических особенностей (постановка Ф.Д.Гахова и Ю.М.Крикунова, обобщающая ряд прикладных задач).

'лрзбуегск определить область и в ней функцию Г (г) , имеющую мероморфную производную, по заданным краевым значениям Гф^д = = И(В) +11/(2) , , где Б -дугоьая абсцисса границы искомой области. Решение задачи -пара ~ существенно зависит от задания классов искомых областей Шд к функций

п пункте У.1 анализируются способы построения решения для частного случая: имеет полюс и логарифмическую осо-

бенность в точке Ъ- о-о , Пг)фО всюду в , разомкну-

тая дуге ¿- ц/ с уравнением

, является

дугой Ляпунова. Получено (предложение 9.1) необходимое условие существования решения, указаны три подхода к построению решения, один из которых удается использовать в дальнейшем для рассмотрения общего случая.

В пункте 9.2 доказаны теоремы существования и р-.инстеок--нооти в общем случае. X о о р е и а У Л утверждает существование локально однолистной области с х'ладкои границей и функции при следующих данных: = 1'/(г>) ,

0^5-4 £ ; имеет предписанное число логариф-

мических особенностей в заданными вычетами С^ , причем

... +ск~[н(0}- \1У(£)]/(2Я1) ; маро-

морфна и может иметь конечное число полярных осг>беинг>сгн\; предписаны порядки полисов к точках, где (-(?/ нгст логарифмическую особенность. Замена последнего углгнин чяк-»м«-:и (,г -которой кокечиоовязной области Х)^ , еппкалын:.; ((Орвао;-согласованной с дугой и набором сц, } , ¡или.'

дит к другому варианту теоремы существования (т в о р о u s 9..J, в котором имеется и единственность решения.

В доказательствах этих теорем используются известные факты теории краевых задач со сдвигом и граничные свойства конформных отображений. Кроме того, существенную роль играют геометрические леммы, получаемые применением результатов главы .1» Так, в леммах 9.1 и У.2 дается описание локального поведения в окрестности нуля функц. j веда

Г(ц) = ат г;'т+ ,..+af + а0+ с.(кг, + <?($),

где а^о , ¿j^O , Ift&O , а функция аналитична

вблизи нуля, Самостоятельный интерес представляет лемма 9,4, получаемая из уточненной версии теоремы 2.1. И этой лемме речь 1.,ет о_параметризации заданной ориентированной локально простой в L кривой, вообще говоря, разомкнутой и имеющей семопересеченмя, граничными значениями функции вида

заданной в круге, причем Ф0(%)- функция, меронорфнэя в от» круге и удовлетворяющая некоторым априорным требованиям.

В пункте 9,3 исследуется обобщение задачи пункта связанное с расширением класса искомых областей (римановых поверхностей): «Э^ односвнзна, содержит гп листов вблизи точки Н-оо , имеет q, точек ветвления кратностей /?/ ,

tt^ над конечными точками. Нз теоремы У.З ела дует разрешимость соответствующей задачи при выполнении одш> го из двух требований: L) i , (т.е. точки ветвль

ния над конечными точками отсутствуют); '¿) i^tn^ mill llj ,

(р > 2. , Отметим, что разрешимость обобщенной задачи обуслш, ■ лена существованием корня € \<1]

уравнения m~U ¡^

совпадающего при /г) = / , 0 и известным уравнением '^.ДД'ахова. Здесь »f(i;J» ^'(К) П,!^'$)]

ffofe) - ачдаш.пя ь Е-{%:)$}<!} аналитическая фу'-»

-принадлежащая классу Гельдера в с . Существование корта указанного уравнения было установлено ранее Ф.Д.Гаховым прм -те = "I , 4^-0 , и, тем же методом, Н.Н.Бидякиной при

т^Н , п^д .

Теоремы У.1 - 9,3 сохраняют значение и при отсутствии логарифмических особенностей у искомой функции Г(г). А именно, в этом частном случае оказываются преодоленными две принципиальные трудности, стоявшие на пути развития теории обратных краевых задач на римановых поверхностях. Одна из них была связана с проблемой существования конечнолистной области (римановой поверхности рода нуль), проекция границы которой н& плоскость совпадает с заданной кривой, и решение этой проблемы, содержится в теореме 2.1. Другая - с проблемой распространения результата Ф.Д.Гахова о разрешимости внешней обратной краевой задачи на случай конечнолистных решений. Теорема У,3, обобщающая результат Ф.Д.Гахова, показывает, в частности, что известный контрпример Н.Н.шдякиной (о неразрешимости задачи при П\~Я ) обусловлен наличием излишне жесткого требования - запретом на слияние полюсов.

Б §§ 10 и II обоснованы достаточные условия однолистности решений ряда обра^ых краевых задач. Требование однолистности -рвений прикладных задач является условием их физической реализуемости, между тем, найденные области в обратных краевых задачах оказываются, вообще говоря, многолистными, т.е. расположенными на некоторой римановой поверхности над плоскостью. Поэтому необходимо выявить требования, обеспечивающие однолистность решения. 11а важность отсй проблемы еще в 40-е годы обратил внимание Ь.Г.Чеботарев.

В § 10 рассматриваются возникающие при решении модельных задач г 'а интегральных представления

%и - «?(* ± ту*, ^

Знак плюс соответствует случаю £ —л С•|£|<минус -

В пункте 10.1 даны решения вопросов, возникших у актора в рамках подхода, разработанного Ь.С.Рогожиным, .'ин.Акеени р

'¿И

-•Й'Г/'-'

вым, С.Н.Кудряшовш и связанного с ограничениями на подкормы ^ельдера функции р(в) или ее произ одной.

Пусть р± (0) /с раз ( 0 ) непрерывно дифференцируема, д-

1 р^^М-О ,

Тогда определен функционал

± . р] г±) "-и,к --рГ|] : неоднолистна в у.

Из п р е д л о-а а-ц и я 10.3 следует, что П. ^ ^ц,^

£ }1 Шр 1 т>е<> получена точная в

смысле порядка, по ¡я- и К оценка коэффициента Липшица в достаточных условиях однолистности функци'; г+(г;) и ,1ГЛ) ,

Доказательство этого и других утверждений пункта 1и«1 опираются на теорему 10.1, в которой доказаны точные оценки ¡$(£)} , з любой точке X. 6 Е

для функции с|(гг) , аналитической в Е , непрерывной в Е и удовлетворяющей требованиям: £{£) имеет нуль порядка II <» { в точке , К -тая производная (К&О)

и{9) ~ И& удовлетворяет условии Липшица с коэффициен-

том А . Ь частности, теорема 10.1 дает и оценки и \0т I , хорошо известные а теории приближений и ус-

тановленные по-другому.

Б пункте 10,2 даны прививки однолистности функций 2± («), не предполагающие ограниченности полунормы 1'ельдера для функции • Основная идея тэкова: рассматриваются функционалы ^¡Р*] » которые гарантируют импликацию

где <7 - кнкой-либо допустимый функционал дли функций Н,(С) или 2 .(2} , а ^пшцш Д.*(х)ибладамг свойством; Л±(х) - О при X — 0 . и р «г ,п, л о к е н и я х 10.h-HJ.ti ршзсиот-репы конкр^гнии примем, осног.злные на применении тео^дам»главы П.

Нослндшп! § ) I поожмен прикладном эщптм, 3 пункте длны условия однолистности двух обратных краевых задач

теории фильтрации. Наиболее простое требование (в виде следу- 1 юцего ограничения на заданную скорость потока: txutx. V(5)/ (fnÁ-Д V(&)< ) получазтся для задачи по построению под-

земного контура гидросооружения, рассмотренной П.Я.Полубари-ИОВОЙ-КОЧИНОЙ и Ы.Т.НужИНИ-!.

В пункте 11.2, на примере обратных краевых задач аэрогидродинамики, показана применимость результатов главы И к анализу трудных "реблем. Одна из задач заключается в поиске массива*? однолистна функций в терминах плотностей р~(9) , когда ) должна быть кусочно гладкой кривой с одной точкой возврата, причем Н_(Е ) должна иметь нулевой шем-НкЙ угол ( L - h'S) заведомо не яаляыся квазиконформной кривой!). Требуемые массивы выделены с применением теорэи bsJ, 6.1, предложения Ь.4 и оценок теоремы IU.I. Ч след-с í а и и 11.1 предлагается, например, такое описание: а) [}.(&} - Ül\2 st;?(0/?j¡ непрерывно дифференцируема, а йунк-

VA,L at(9) « u(Z6)/& ш8) , где и(0) = pÚD) -.<- Siud-

~ {'</Я) oto (0/Z) удовлетворяет условию липшца с коэф-ф«даентом ' !(á , Д0- tfV? ; б) «(P)-f-

+ t J.'' u(tj dgfy/Z) di-0 . Другие версии дазэгея в предложениях 11.4 и И.о.

Ь-конце параграфа схематично изложены два примера, ил-лпетркруюлиа иоэмэгчости применения тсоремн '¿„J в односвяз-HOM или ксн»чн0сеяян0м случаях для получения условии однолистности через нечаянные данные обратных краевых задач соро-гидродинамики; кратко указаны другие приложения.

публикации по теме диссертации

1. Аехздизг V.i'. п достаточным условиям однолистности реягеиий обратных краевых задчч //Докл. Alt СССР. - 1970 - Х.190,

- С, 491.-4 ¿H.

2. Авходиев Ф.Г, Об условиях однолистности аналитических функций //'Иов. byacé, Математика. - 1970 - К« 11. - 0. j-Kí.

3. Авхадиев &.Г. Радиусы выпуклости а почти., выпуклости некоторых интегральных представлений //Матем.заметки. - 197-Т.7, Р о. - С. ЬЫ-bt>H .

4. Авхадиев Ф.Г. Некоторые достаточные условия однолистности решений прикладных обратных краевых з^ дач /Аруды семинара по краевым задачам. - Казань: Иэд-во Казанск.ун-та, 1971,

- Выи. в. - С. 3-11.

5, Аёхедиев Ф.Г, Некоторые достаточные условия однолистности аналитических функций /Аруда семинара по краевым задачам.

- Казань: Изд-во Вазанск.ун-та, 1972. -Вып. 9. - С, 3-11. 6» Аахадиев Ф.Г. К слабой и сильной проблемам однолистности

№ обратных краевых задачах /Аруды сем!шара по крзеэым па~ дачам. - Казань: йзд-во Казанск.ун-та, 1973, - ВдоЛи. -

а;. 3-10.

74. /шхядиев Ф.Г» Достаточные условия однолистности в невыну«-лих- областях //Сиб. матем.лсрн. - 1974 - ТЛЬ, № 5. - С» 9&Ш1,

й^А^хрдиев ф,г, 0 некоторых однолистных отображениях полу-п^закости /АруДЫ семинара по краевым задачам,- Казань: И&ЧдВр Казанск.ун-та, 1974, - Выл, II« - С. 3-6. Эу.Айкадиев Ф.Г. Достаточные условия однолистности квазиконформных отображений /Датем*заметки. - 1975 - Т.18, № 6. -С. 793-В02.

19;А»хадиев Ф.Г. Особые случаи принципа соответствия границ /Аруды семинара по краевым задачам.- Казань: Изд-во Казанск.ун-та, 1976, - Выл. 13. - С, 13-23. П.Авхадиев Ф.Г', 0 достаточных условиях псевдоаналитической продолжимости //В кн.: Теория отображений, ее обобщения и приложения. Сб. научн.трудов. - Киев: Наук.думка

- С. 3-У.

12.Авхадиев Ф.Г. Об однолистности отображений с заданными граничными свойствами /Аруды семинара по краевым задачам. • Казань: Изд-во Каз&нск.ун-та, 1983. - Вып. 19, - 0,3-1ч.

13. Авхалиев Ф.Г. О методе локально гомеоморфнога продолжении в теории достаточных условий однолистности //Груды семинара по краевым задачам. - Казань: Иэд-во Казанск.ун-та, 19ВЗ, - ъш. 20. - С. а-Ю.

М.Авхадиев Ф.Г. Некоторые геометрические неравенства и диига точные условия р -лисчности //Изв. вузов. Математика,-19ВЗ - № 10. - (', 3-12.

Ib. Авхадиев Ф.Г. Обратная краевая задача для функции с ат-бекностяии //Груды семинара по краевым задачам. -Изд-во Нозанск.ун-та, 1964, - Вып. 12. - G, Ь-19, 16» Авхадиев &.Г» Об обратной краевой задаче для функции с полюсом и логарифмической особенностью //Научи.труды юбилейного семинара по краевым задачам, посвященного 7,Ь-йо~ тив со дня рождения акад. АН БССР Ф.Д.Гахова. - йщдк, 19üb. - С, 139-142. 17. Авхадиев Ф.Г. Классы не более чем' р -листных отсбрал;ео>'й в ксльцз //¿опросы теории специальных классов функций. -Ставрополь, 1985. - С» 3-16, .Ш» Авхадиев Ф.Г. Об кнъективности в области открытых- изолированных отображений с заданными граничными свойствами // Докл. АН СССР. - I9B7. - Т.292, № 4, - С. 780-763. 19. Авхадиев Ф.Г. Необходимые к достаточные условия однолистности решений краевых задач в терминах класса Зигмунда// Псесоюзн. конф. по геометрич. теории функции, - Новосибирск, 19uá» - С» 7. КО. Авхадиев &.Г. Допустимые функционалы в условияхгаъектив-ности для дифференцируемых отображений П -мерных областей //Игг, вузов. Математика«. - 1989, - 4. - С„3-12» 2.1. Авхадиев Ф.",, Аксентьев Ji.A. Принцип подчиненности в достаточных условиях однолистности //Докл. АН СССР. - 1973» - Т.211, i? I. - С. 19-22» ZP.c Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Ji.A. Функции класса Базилевича в круге а кольце //Докл. АН СССР. - 1974 - Т„21Ь, [;■ 2, -С, 241-244.

23, Авхадиев Ф.Г«, Аксентьев Л.А. Основные результаты в до-

■ статочных условиях однолистности аналитических функций // Успехи матем. наук. - 1975 - Т.30, 4. - 0« 3-60.

24, Авхадиив Ф.Г,, Аксентьев Jl,Ae Достижения и проблемы в достаточных условиях конечнолистности аналитических функций //' Изб. вузов. Математика« - I9b6 - };> 10. - С, 3-16.

2Ь. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Ji.A., Елизаров А.М. Достаточпнг-условия конечнолистности аналитических функций и их приложения //Итоги науки и техники. Матем. анализ, М., tíítfiÜH, ]987 - Т.20. С. 3-1УI.

26* я кади ев Ф.Г., Насыров С.Р. Необходимые условия существования римановой поверхности с заданной границей /Ару-ДН семинара по краевым задача»-!. - Казань: Изд-во Казане»« ун-та, 19В5 - Был. 22. - С. 6-1о. 27, Авхадиев Ф.Г., Насыров С.Р. Построение римановой поверхности но ее границе //Пав,вузов. Математика. - 1У№ -I? Ь. - С. 3-11.

Авхадиев Ф.Г., Салимов И.Б. Однолистная разрешимость обратной краевой задачи теории взрыва //Груды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казанск.ун-та, 1976. -Вып. 13» - С. 24-¿9» 29. Авхадиев й>.Г«, Шабалин Л.Л. об отображениях на ыногосвнэ-ные облясти, не принадлежат..з классу В.М.Смирнова //Казанок.- ун-г-.. - ¡Казань, 1976» - 23 е.- л. в ВЛНШ'П ^ 2ЬГА)-7и.'

Подписано h печати 7.0830

Формат бумаги 60xb4 I/I6. Объем 2 п.л., I,Ь уч.-изд.л. Заказ 212 Тираж 100 экз.

Отпечатано на ротапринте Института математики СО Ali СССР, üoOüííü, Новосибирск, У0