Условия однолистности в канонических областях, отличных от круга, и их применение к обратным краевым задачам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава I . Условия однолистности в канонических областях, отличных от крута

§ I. Применение метода квазиконформного продолжения

§ 2. Условия однолистности функций с симметрией сдвига в полосе

§ 3. Функции с симметрией сдвига в полуплоскости

§ 4. Аналоги классов Базилевича и Мокану в полуплоскости

§ 5. Функции класса С*.

Глава П . Однолистная разрешимость обратных краевых задач в случае бесконечно удалённой точки на искомой границе

§ 6. Исследование решения обратной краевой задачи по параметру ^.

§ 7. Условия однолистной разрешимости обратных краевых задач.

§ 8. Оценки разделяющих постоянных (случай полуплоскости)

§ 9. Симметричные решения обратных краевых задач

§ 10. Задача о двоякопериодической гидродинамической решётке.

В диссертации рассмотрены обратные краевые задачи (окз) теории аналитических функций для односвязных областей в случае, когда граница искомой области проходит через бесконечно удалённую точку. Исследованы вопросы существования и однолистности решения таких задач.

Теория окз для аналитических функций возникла из решения прикладных задач механики сплошных сред. Большой вклад в её создание и развитие внесли казанские математики и механики. Подробное изложение этой теории и её приложений можно найти в монографиях Г. Г. Тумашева и М. Т. Нужина [60] , Ф. Д. Гахова [28] , М. Т. Нужина и Н. Б. Ильинского [48] , Р. Б. Салимова [55] ; последние достижения изложены в обзорной статье [16] .

Основные внутренняя и внешняя окз состоят в определении спрямляемого контура /, z и функции u?(z) , аналитической соответственно внутри или вне его, если заданы граничные значения u/(z)j2e£2 = cJ(s) = u(s) + teres) искомой функции в зависимости от длины дуги S , 0 ^ s « t , I - длина L£ . Эти задачи изучались во многих работах (см., напр., [60, 16] ). Исследованы вопросы существования, единственности, однолистности, устойчивости решения. Менее изучены окз в случае, когда искомый контур L^ является неспрямляемым. М. Т. Нужин [47] дал постановку и решение окз в случае, когда Lz проходит через бесконечно удалённую точку. Однако дальнейшее исследование этих задач не проводилось.

Отметим, что окз с особыми точками на границах, когда в качестве параметра выступает декартова координата X , полярный радиус р или полярный угол f , рассмотрены Р. Г. Авхадиевым и Л. Н. Журбенко [I, 2] .

Одним из центральных моментов исследования окз является вопрос их однолистной разрешимости в силу того, что неоднолистные решения физически нереализуемы. На это указывали основоположники теории окз [60, с. 6, 22, 58; 28, с. 320] . Изучению однолистной разрешимости окз посвящено большое число работ (см. 9, 16] ). Л. А. Аксентьевым [13] выделено два направления исследований. В первом направлении - сильной проблеме однолистности - изучаются условия однолистной разрешимости окз в виде ограничений на данные функции u(s) и 1У (S) ; второе направление - слабая проблема - связано с условиями на вспомогательную функцию p(t) ; здесь p(i) - плотность, входящая в интегральное представление, которое дает решение окз после перехода к какой-нибудь канонической области (кругу, полуплоскости, полосе и т. д.).

Для продвижения в сильной и слабой проблемах однолистной разрешимости окз нужны признаки однолистности как в канонических, так и в других областях. Получение новых достаточных условий однолистности в различных областях представляет и самостоятельный интерес.

Всё вышесказанное определяет актуальность теш диссертации. Её целью является получение достаточных условий однолистности в областях, отличных от круга, и применение их к однолистной разрешимости окз в случае бесконечно удалённой точки на искомом контуре.

Кратко изложим основные результаты.

Диссертация состоит из двух глав, разбитых на десять параграфов. Нумерация утверждений единая по всей работе, формулы пронумерованы по главам.

Первая глава посвящена получению условии однолистности в полуплоскости, полосе и других областях, границы которых содержат бесконечно удаленную точку.

В § I с помощью метода квазиконформного продолжения строятся условия однолистности в полосе, в бесконечных симметричных областях, достижимых извне углами некоторого раствора, в двусвя-зных областях с аналогичной геометрической характеристикой. Опишем один из результатов.

Пусть функция uT(t,) отображает полосу { | Ъп£,\ < А} на область 2) так, что выполняются условия: iun I uX(Z)\ = ОО f , 0***1.

Область JD является симметричной относительно вещественной оси и достижима углами раствора i' fi , (I-<*)&/% , биссектрисы которых параллельны мнимой оси. Пусть W = у> (и) - уравнение образа прямой %п £ - -(ь при отображении . Через (Я, <#) будем обозначать коэффициент гиперболической метрики области Я) относительно точки иТ . Справедлива

Теорема 3. Если функция -Р(иг) регулярна в области $ , f'(w) и f "(иг) непрерывны и f'(ux) фО в Z) \ , то ■Р(иХ) будет однолистной в 2) при выполнении условий: а) й>п I -Р(иУ)\ = оо 1 lim l<r-y>(u)lir(ux)/f(«?)\<\l + c\, u7— oof иге jo ' «г— и* где С ф -1 - некоторое комплексное число; б) {((#)= -f(ur) , иг £ 2) в) с

ГЫ)

Xl(0--i>(u)) {'(иг) я igJL ur)f

В § 2 рассматриваются функции, определенные в полосе /7 = = { : 0 < ЪпЬ, к} , обладающие симметрией сдвига, т.е, удовлетворяющие условию f(t. + i) = f(c)*A, i>0, А С еП. (од)

Теорема 6. Если функция f (С) регулярна в П и удовлетворяет условию (0.1), то она будет однолистной в П при выполнении условия т/т| '%-ifj- ?(n,t), ten, где yS = a/tc-ig ( к/{) при ^р = олЫд (i/к) при ^к.

В этом же параграфе найдены условия однолистности функций с симметрией сдвига в полосе по граничным характеристикам. Обозначим через угол, составленный касательной к образу прямой Ут £ = /? при отображении с помощью функции f (£) в точке f(£+ip) с положительным направлением вещественной оси, тогда г'(е.?) -цгъ.д • Hfb+W

Следствие 2. Если функция регулярна в П , удовлетворяет условию (0.1), f"(Z) и f'(C) непрерывны и f'fc)^® в П \ { 00} , то при выполнении условий i t

О о функция f(C) будет однолистной в П .

Получены также условия однолистности функций с симметрией сдвига в полосе в виде двусторонних и односторонних ограничений на %n[f"(&)/f'fe)] , где г; = ? или г; = 5 -^ .

В § 3 с помощью методов подчиненности и симметризационной подчиненности найдены условия однолистности функций с симметрией сдвига в полуплоскости по областям значений функционала f"(C)/{'(С) . Здесь использованы три подхода, связанные с ус

7 t ловиями однолистности в виде о Г(С) f - вещественное число, и | /"'(£)/. Например, получено такое

Следствие 4. Пусть функция f (с) регулярна в полуплоскости Н = JntZ, > 0} , удовлетворяет условию (0.1), её производная Г (С) непрерывна и отлична от нуля в Н . Функция f(C) будет однолистной в Н , если множество значений функционала , принадлежит некоторой од-носвязной области Ъ , удовлетворяющей одному из условий:

1) область % пересекается с каддой прямой Ути? = cxm*>~t по системе интервалов с суммой длин, не превосходящей i G), G » 0,916 - постоянная Каталана [31, о, 21] ;

2) Я = {ur:\ur&it\*R)t где R=fi(t) - корень уравнения

1олааЛЕ1 - алссоб ') = . \ W R-8 RJ i

В § 4 рассматриваются функции, регулярные в полуплоскости Н . Для функций f(C) , имеющих в окрестности бесконечно удалённой точки представление f(Z) = с" (с, + -ii + ■■■) , (0.2) где 0 d , Се > 0 , Cd , . - вещественные числа, справедливо следующее утверждение

Теорема 12. Если выполняются условия О, С е Н, J 7т Ф($ + if) cL$ > ~ Я , £ = где = f(t)/f(£) -mf'(C)/m , * ^ /-i/* , , с - вещественные числа, -с , то функция Р(с) однолистна в Н .

Класс функций, удовлетворяющих условиям теоремы 12, можно рассматривать как аналог класса Базилевича в единичном круге [ 24, 50, 76 ] . Класс А7т регулярных в Н функций с нормировкой (0.2), удовлетворяющих условию

МЩ * 0 пе»

Я» I- т й 0 при аналогичен классу Мокану [72] . Доказано, что при т >1 или т < t- i/<A. класс Мт включается в класс звездообразных в Н функций.

Отметим ещё

Следствие 8. Если функция f(£) регулярна в полуплоскости Н , нормирована условием (0.2) и удовлетворяет требованиям f'(z)-f(C) Ф 0, teH, то f (£.) однолистна в Н .

Нахождению условий однолистности функций, имеющих непрерывные частные производные в полуплоскости, полосе или кольце, посвящен § 5. Здесь используется метод геометрических семейств, предложенный Б. Н. Рахмановым [51, 52] . В качестве геометрических семейств берутся семейства спиралей, в частности, лучей, и получаются классические условия спиралеобразности и звездооб-разности.

Во второй главе исследуется однолистная разрешимость окз в случае бесконечно удалённой точки на искомой границе.

В § 6 уточняется постановка окз в случае бесконечного искомого контура. Вводится класс искомых областей 171 . Будем говорить, что область <Э2 , не содержащая точек ветвления, принадлежит классу 771 , если её граница Lz является локально спрямляемой, за исключением конечного числа точек Ai, . t которые могут находиться в бесконечности. Участки границы L 2 между точками А. и ;+i , / = ( = будем обознаlJJ чать через L, 2 • .

Задача I. Требуется найти область и функцию UX(г) , аналитическую в этой области, если на каждой кривой LBj , j = I7 п , известны значения функции ^(i) : их (2) = uX.is) = U .(S)+i<r.($) -oo^Szoo. (0.3) г б Lij J J J ,

Здесь I S) - дуговая абсцисса контура, знак S указывает направление отсчёта от некоторой фиксированной точки на контуре.

Предположим, что иХ. (sA Ф (S&) при любых конечных S, и * = А * » и * (SJ ПРИ Sr • ПРИ этих ограничениях в плоскости иг получится область, граница которой не имеет точек самопересечения. Пусть функции u-(s) и tX(s) j j имеют гёльдеровые производные, которые могут одновременно обращаться в нуль лишь в конечном числе точек.Предположим, что при достаточно больших | s| функции uX.Cs) имеют следующее поведение: J

UTj(S) = с.0 + l^'Cj, , s<0, {QA) w (S) = Cja + sV c-t s > 0,

S\ /V» где %j < 0 , = ij+i , c.0 , C-, , , c., - фиксированные коэффициенты такие, что с.с = » \cji \ = \ I ^ j - I, п (если j = п , то вместо п + i нужно взять I).

Система (0.3) в плоскости их определяет область с л границей L^ - U L^. . Перейдём от области в плоскости иг к единичному круту в плоскости . Пусть при этом дугам L^: , i - п , соответствуют дуги • — t единичной окружности L^j , j = i, п , между точками t,j - в ^ j = 0= е, <ех < . - &„t£ = zol.

Условия (0.4) позволяют выяснить поведение функции Ъ (С) , отображающей крут Е на искомую область , в окрестности точек £ . ; оказывается, что контур L2 будет иметь в беско7 нечно удалённой точке углы.

Если функции Uj (s) и ir. (s) , j = i, п , имеют гёльдеровые производные, которые не обращаются одновременно в нуль при всех конечных значениях параметра S , то искомая отображающая функция имеет вид

KeJ-1 О С

-где f и С - вещественная и комплексная постоянные,! Cj\ -1 , dj - фиксированные числа, удовлетворяющие условию -1 ^dj <0 ^ выражающиеся через начальные данные задачи, р(9) - функция, определяемая равенством р (в) = - t Uj -i)U\6- . (0.6) du ' 4

Допуская одновременное обращение в нуль uj ($) и 0"j (s) , j, в конечном числе точек, получим £

ПС-ь/^Ш'fW^cVjrt+C, (0.7)

- ЛА^ С 6, где оС^ удовлетворяют условию 0 ^ \ с Z , | | = 1 , функция р (&) задаётся равенством p(B) - At J- -£(*t-o Щв-Щ.

Далее в § 6 показано, что решение задачи I будет существовать (хотя и не будет единственным) при менее жестких ограничениях на функции u-j (S) и Oj (s) , ^j = it n . Именно, справедлива

Теорема 20. Ддя того, чтобы задача I имела решение, достаточно выполнения условий:

1) функции Uj(s) и if. (s) , j = ifn , абсолютно непрерывны;

2) пии {s'-uj.(s) = гr.'(s) = 0, j = Т^п.} = 0 ;

3) mzz [s:|u'j (s)| > Mt \v/(s)\ > Л7, / = = 0;

4) при достаточно больших IЛ поведение функций tVj(s) определяется равенствами (0.4).

Б § 7 функция (0.5) или (0.7) исследуется на однолистность. Один из подходов связан с применением каркасных многоугольников [14] , другой - с включением решения в класс выпуклых или почти выпуклых функций. Например, доказана

Теорема 24. Функция (0.5) при п =1,3 , • < 0 ,

4 о Л

- 1 < К ос. < 0 будет однолистной (почти выпуклой), если фун-j=i J кция р (0) , определённая равенством (0.6), удовлетворяет условию л, р(9')-р(9') \ K-0'f, 0<**1, Г 1 2пМ(*)

I) у

М(1) [И] .

01 J € о

В § 8 рассмотрен частный случай задачи из § 6, когда искомый контур представляет собой одну кривую, проходящую через бесконечно удалённую точку. В этом случае в качестве канонической области удобно использовать не круг, а полуплоскость. На это впервые указал М.Т. Нушш [47] . Искомая отображающая функция будет иметь вид • г

Z(t) = eir) exp{^rr] Pte)-^} d* + С, (0.8) oO ^ ^ ^ где у и С - вещественная и комплексная постоянные, р(Е)

Нахождение условий однолистности функции (0.8) даёт продвижение как в слабой, так и в сильной проблемах однолистной разрешимости окз. Предварительно в этом параграфе получены оценки гармонических функций в полуплоскости, если сопряжённая гармоническая функция удовлетворяет одному из условий:

- I

0.10) А, 'Л.

Т5,)-р'(Ъ)\ * в |g< • (0-И)

Затем с помощью известного условия однолистности Re\ecG О в замкнутой полуплоскости [10; 9, § 4] и аналога условия Паа-теро, полученного в следствии 8, найдены условия однолистности функции (0.8) в виде ограничений на коэффициент в условиях (0.9) - (0.11). Здесь же даны приложения к окз гидромеханики, именно, к задаче построения бесконечного контура по заданной на этом контуре скорости течения жидкости. Условия однолистности выражены через данную скорость.

В § 9 исследуются симметричные решения окз. Рассмотрены три вида симметрии: симметрия сдвига, зеркальная и поворотная. Получены условия на функции u?j(s) , j =l,n t При которых решение окз будет обладать тем или иным видом симметрии.

Для решений окз с симметрией сдвига в теоремах 31 и 32 найдены условия однолистности, относящиеся к слабой проблеме однолистной разрешимости окз. В теореме 33 условия выражены через начальные данные: пусть граничные значения искомой функции uf(s)-- и (s) + LlT(s) удовлетворяют требованию иг (s + £) = иг (s) + Т & Т > 0 ; решение окз будет однолистным, если выполняются условия: A^L, о ^ ы < i 6 ojtvta ЛЖ + £

4 U'(S)

U"(S)U'(S) + </"(s)ts'(s) [u'z(s) + (S'z(s)]

3/2

N, где N удовлетворяет неравенству N ^ 5lZ (t~ VoT)/(M I G)f G - постоянная Каталана.

В этом же параграфе с применением теорем 3 и 4 получены условия однолистности решений окз, которые обладают симметрией относительно прямой или зеркальной и поворотной симметрией одновременно. Результаты относятся к сильной проблеме однолистности. Построенным условиям даётся гидромеханическая трактовка.

Теорема 38. Пусть на искомых стенках канала задано распределение скоростей V = Vi(s) и V = V,(s) f - о° * s t причём выполняется одно из условий:

1) V^S) = V2(s) = V(s) , tnaxc V(s)/min I/(s) ^ e

2) Ws + g.) = V:(s) S; >О, tnaai V;(s)/nun \t

J a d 7 d а о где js = cuLotcj (Q/P) при P * Q , f> = oyvo^(P/Q) при P^ Q, Q - заданный расход жидкости, P = § J oLs 9 j = t,

Тогда задача построения стенок канала однолистно разрешима и граничные кривые симметричны относительно некоторой прямой в случае i) или обладают симметрией сдвига в случае 2) .

В заключительном десятом параграфе исследуется однолистная разрешимость задачи определения формы конгруэнтных профилей, составляющих двоякопериодическую гидродинамическую решетку, по заданной на профилях скорости в функции дуговой абсциссы 5 . Получено условие однолистности, которое выражается в виде ограничения на функцию, связанную с заданной скоростью. Как предельные рассмотрены случаи, когда решетка имеет один период.

Из описанного материала выделим следующие основные результаты работы:

- получены новые достаточные условия однолистности в областях с бесконечно удалённой точкой на границе;

- построены условия однолистности функций с симметрией сдвига в полосе и полуплоскости;

- решена обобщённая обратная краевая задача по параметру 5 в случае бесконечно удалённой точки на искомой границе, найдены условия однолистной разрешимости этой задачи в виде ограничений на начальные данные.

Основные результанты диссертации изложены в статьях [ 33-36 ] . Статья [36] написана в соавторстве с ш. ш. Ыайером, которым предложены основные идеи работы, а детальное доказательство намеченных утверждений осуществлено автором диссертации.

По мере получения результаты неоднократно докладывались на семинаре по геометрической теории функций в Казанском университете (руководитель - профессор Л. А. Аксентьев), на I Саратовской зимней математической школе по теории функций и приближений (1982 г.) , на итоговых научных конференциях Казанского университета (1983, 1984 г.) , на семинарах по теории функций в Волгоградском университете (1984 г., руководитель - профессор В. М. Минлюков) и Саратовском университете (1983, 1984 г., руководитель - доцент Д. В. Прохоров) .

Автор выралсает глубокую благодарность научному руководителю профессору JI. А. Аксентьеву за полезные советы и постоянное внимание к работе.

1. Авхадиев Р. Г., Журбенко Л. Н. Некоторое обобщение обратной краевой задачи по X и устойчивость её решения. - Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1977, вып. 14, с. 5-19.

2. Авхадиев Р. Г., Журбенко Л. Н. Об обратных краевых задачах в полярных координатах. Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1979, вып. 16, с. 3 - 14.

3. Авхадиев Ф. Г. Некоторые достаточные условия однолистности решений прикладных обратных краевых задач. Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1971, вып. 8, с. 3 - II.

4. Авхадиев Ф. Г. К слабой и сильной проблемам однолистности в обратных краевых задачах. Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1973, вып. 10, с. 3 - 10.

5. Авхадиев Ф. Г. 0 некоторых однолистных отображениях полуплоскости. Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1974, вып. II, с. 3 - 8.

6. Авхадиев Ф. Г. Достаточные условия однолистности квазиконформных отображений. Матем. заметки, 1975, т. 18, вып. 6, с. 793 - 802.

7. Авхадиев Ф. Г. Об однолистности отображений с заданными граничными свойствами. Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1983, вып. 19, с. 3-14.

8. Авхадиев Ф. Г., Аксентьев Л. А. Принцип подчинённости в достаточных условиях однолистности. Докл. АН СССР, 1973, т. 211, й I, с. 19 - 22.

9. Авхадиев Ф. Г., Аксентьев Л. А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций. Успехи матем. наук, 1975, т. 30, вып. 4, с. 3 - 60.

10. Аксентьев Л. А. Достаточные условия однолистности решения обратной задачи теории фильтрации. Успехи матем. наук, 1959, т. 14, вып. 4, с. 133 - 140.

11. Аксентьев I. А. Точные оценки гармонических в круге функций. Изв. вузов. Математика, 1968, $ 3, с. 3 - 8.

12. Аксентьев Л. А. Оценки для гармонических функций и их применение к обратным краевым задачам. Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1970, вып. 7, с. 82 - 87.

13. Аксентьев Л. А. Об однолистной разрешимости обратных краевых задач. Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1973, вып. 10, с. II - 24.

14. Аксентьев Л. А. Однолистное изменение многоугольных областей. Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1976, вып. 13, с. 30 - 39.

15. Аксентьев Л. А. Симметричные решения обратных краевых задач. -Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т,.1977, вып. 14, с. 20 27.

16. Аксентьев Л. А., Ильинский Н. Б., Нужин М. Т. и др. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и её приложения. В кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 18. - М., ВИНИТИ, 1980, с. 67 - 126.

17. Аксентьев Л. А., Кудряшов С. II. Некоторые условия однолистности решения обратной краевой задачи для симметричного профиля. Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1969, вып. 6, с. 3 - 15.

18. Аксентьев Л. А., Майер Ф. Ф. Применение принципов подчинённости и симметризации к достаточным признакам однолистности аналитических функций. Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1983, вып. 19, с. 14 - 28.

19. Аксентьев Л. А., Шабалин П. Л. Условия однолистности с квазиконформным продолжением и их применение. Изв. вузов. Математика, 1983, Л 2, с. 5-14.

20. Аксентьев Л. А., Шабалин II. Л. Условия однолистности в звёздных и выпуклых областях. Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1983, вып. 20, с. 35 - 42.

21. Александров И. А., Баранова В.' В. Метод вариаций в теории однолистных функций с симметрией сдвига. Тр. ТГУ / Томск, ун-т, 1974, т. 238, с. 3 - 32.

22. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 1969. - 133 с.

23. Андрианов С. Н. 0 существовании и числе решений обратной краевой задачи теории аналитических функций. Учён. зап. / Казан, ун-т, 1953, т. ИЗ, кн. 10, с. 21 - 30.

24. Базилевич И. Е. Обобщение одной интегральной формулы для подкласса однолистных функций. Матем. сб., 1964, т. 64, & 4, с. 628 - 630.

25. Векуа И. Н. Обобщённые аналитические функции. М.: Физмат-гиз, 1959. - 628 с.

26. Вудс Л. Дозвуковое плоское течение в кольцевой области или в канале с периодическими по длине граничными условиями. -Механика. Сб. перев. и обз. иностр. период, литер., 1956, В 2, с. 52 76.

27. Гахов Ф. Д. Об обратных краевых задачах. Учён. зап. / Казан. ун-т, 1953, т. ИЗ, кн. 10, с. 9 - 20.

28. Гахов Ф. Д. Краевые задачи, 3-е изд. перераб. и доп. -М.: Наука, 1977. - 640 с.

29. Гахов Ф. Д., Мельник й. М. Особые точки контура в обратной краевой задаче теории аналитических функций. Укр. матем.журн., 1959, т. II, № I, с. 25 37.

30. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. 2-е изд. - М.: Наука, 1966. - 628 с.

31. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов,сумм, рядов и произведений. 4-е изд. перераб. - М.: Физматгиз, 1962.1100 с.

32. Зиновьев П. М. Об одном свойстве почти выпуклых функций. -В кн.: Дифференциальные уравнения и теория функций. Ряды Фурье, интерполирование функций, однолистные функции. Саратов, 1981, с. 20 26.аналитических функций.

33. Зиновьев П. М. Условия однолистности4в полуплоскости и ихприменение к обратным краевым задачам. Казань, 1983. -27 с. - Рукопись представлена Казан, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 5 апреля 1983 г. В 1704-83. РЖ Мат 1983, 8Б 172.

34. Зиновьев П. М. Достаточное условие однолистности решения задачи построения двоякопериодической гидродинамической решётки. Казань, 1983. - 10 с. - Рукопись представлена Казан, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 15 августа 1983 г. Л 4469-83. РЖ Мех 1983, ЦБ 20.

35. Зиновьев П. М. Условия однолистности неаналитических функций в полуплоскости. В кн.: Теория функций и приближений: Тр. Саратовской зимней школы. 24 января - 5 февраля 1982 г. Часть 2. Саратов, 1983, с. 56 - 59.

36. Зиновьев П. М., Майер Ф. Ф. Условия однолистности симметричных функций в полосе и полуплоскости и их применение. Изв. вузов. Математика, 1984, № 8, с. 61 - 64.

37. Йлорович В. А. 0 некоторых классах аналитических функций, однолистных в круговом кольце. Матем. сб., 1953, т. 32, JG 3, с. 633 - 652.

38. Зшрович В. А. О некоторых классах аналитических функций в круговом кольце. Матем. сб., 1956, т. 40, с. 225 - 238.

39. Кудряшов С. Н. Некоторые достаточные условия однолистности решения обратной краевой задачи теории фильтрации. Изв. вузов. Математика, 1966, lb 5, с. 88 - 98.

40. Кудряшов С. Н. 0 некоторых признаках однолистности аналитических функций. Матем. заметки, 1973, т. 13, вып. 3, с. 359 - 366.

41. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. 4-е изд., испр. - М.: Наука, 1973. -736 с.

42. Лебедев Н. А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975. - 336 с.

43. Митюк И. П. Оценки в некоторых классах аналитических функций. В кн.: Метрические вопросы теории функций. Киев: На-укова думка, 1980, с. 90 - 99.

44. Насыров С. Р., Севодин М. А. Условия однолистности типа Не-хари-Покорного в -звездообразных областях. Изв. вузов. Математика, 1981, & II, с. 78 - 80.

45. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. -4-е изд. М.: Наука, 1974. - 480 с.

46. Нешлетдинов И. Р. Геометрические свойства решений обратных краевых задач. Дисс. . канд. физ-гмат. наук. - Казань, 1979. - 114 с.

47. Нужин М. Т. Отдельные случаи обратных краевых задач. Учён, зап. / Казан, ун-т, 1953, т. 113, кн. 10, с. 3 - 8.

48. Нужин М. Т., Ильинский Н. Б. Методы построения подземного контура гидротехнических сооружений. Обратные краевые задачи теории фильтрации. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1963. -139 с.

49. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. -2-е изд. перераб. и доп. М., Л.: ШТЛ, 1950. - 336 с.

50. Прохоров Д. В. Об одном обобщении класса почти выпуклых функций. Матем. заметки, 1972, т. II, вып. 5, с. 509 - 516.

51. Рахманов Б. Н. К теории однолистных функций. Докл. АН СССР, 1953, т. 91, Ш 4, с. 729 - 732.

52. Рахманов Б. Н. К теории однолистных функций. Докл. АН СССР, 1954, т. 97, № 6, с. 973 - 976.

53. Решетников Ю. А. Достаточные условия однолистности решения обратной задачи гидромеханики. Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1973, вып. 10, с. 107 - III.

54. Решетников Ю. А. Однолистная разрешимость некоторых обратных задач гидроаэромеханики и теории фильтрации: Автореферат дне. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1974. - 13 с.

55. Салимов Р. Б. Некоторые основные задачи об изменении контуров теории аналитических функций и их приложения в механике жидкости. Казань: Изд-во Казан, высш. командно-инженер. училища, 1970. - 364 с.

56. Севодин М. А. Метод квазиконформного продолжения и геометрические свойства общего решения обратных краевых задач. -Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1982. - 121 с.

57. Стоилов С. Лекции о топологических принципах теории аналитических функций. М.: Наука, 1964. - 228 с.

58. Сычёв А. В. Модули и пространственные квазиконформные отображения. Новосибирск: Наука, 1983. - 152 с.

59. Тимербаев Р. М. 0 симметричных решениях обратной задачи гидромеханики. Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1976, вып. 13, с. 239 - 245.

60. Тумашев Г. Г., Нужин М. Т. Обратные краевые задачи и их приложения. 2-е изд. перераб. и доп. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1965. - 333 с.

61. Тумашев Г. Г. Задача о построении двоякопериодической гидродинамической решётки по распределению скорости. Изв. вузов. Математика, 1974, № 5, с. 194 - 197.

62. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Часть 2. 2-е изд. - М.: Физматгиз, 1963. - 516 с.

63. Хейман В. К. Многолистные функции. М.: ИЛ, I960. - 180 с.

64. Широкова Е. А. 0 применении метода площадей к построению параметрических семейств однолистных функций. Казань, 1977. - 16 с. - Рукопись представлена Казан, ун-том. Деп.в ВИНИТИ 5 мая 1977 г. Jfc 1792-77.

65. Ahlfors L. V. Sufficient conditions for quasiconformal extensions. Annals Math. Studies, 1974, v. 79, p. 23 - 29.

66. A1 -Amiri H., Mocanu P. T. Spirallike nonanalytic functions. Proc. Amer. Math. Soc., 1981, v. 82, N 1, p. 61-65.

67. Al Amiri H., Mocanu P. T. Certain sufficient conditions for univalency of the class C* - J. Math. anal, and appl., 1981, v. 80, p. 387 - 392.

68. Baernstein A. Integral means, univalent functions and cir-kular symmetrization. Acta Math., 1975, v. 133, p. 139-169.

69. Fait M., Krzyz J.G., Zygmunt J. Explisit quasiconformal extensions for some classes of univalent functions. Comment. Math. Helv., 1976, v. 51, И 2, p. 279 - 285.

70. Kaplan W. Close to - convex schlicht functions. - Michigan Math. J., 1952, v. 1, U 2, p. 169 - 185.

71. Kiihnau R. Zur quasikonformen Fortsetzberkeit schlichter konformer Abbildungen. Bull. Soc. sci. et let. Lodz, 1974, v. 24, U 6, p. 1 - 4.

72. Mocanu P. Т. Une propriete de convexite generalisee dans la theorie de la representation conforme. Matheraatica (RSR), 1969, v. 11, Ш 1, p. 127 - 133.

73. Mocanu P. T. Starlikeness and convexiti for nonanalytic functions in the unit disc, Math, Rev. anal, numer et theor. approcxim. Mathematica, 1980, v, 22 (45), IT 1,p. 77 83.

74. Miller S. S., Mocanu p. Т., Reade M. 0. All d convex functions are univalent and starlike. - Proc. Amer. Math, Soc., 1973, v. 37, H 2, p. 553 - 554.

75. Reade M. 0. The coefficients of close to - convex functions. - Duke Math. J., 1956, v. 23, N 3, p. 459 -462.

76. Sheil Small Т., On Bazilevic functions, - Quart. J, Math., 1972, v, 23, П 90, p. 135 - 142,

77. Szilard K. Grundlagen der Punktionentheorie. Math. Z., 1927, Bd. 26, N 4, s. 653 - 671.