Некоторые случаи интегрируемости уравнения Левнера и экстремальные задачи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Институт математики им. С.-Л. Соболева

Па правах рукописи

РГ8 04

■>' "У

Садритдинова Гулнора Долимджановна

НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИЯ ЛЕВНЕРА И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Специальность 01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск-2000

Работа выполнена на кафедре математического анализа Томского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор И.А. Александров

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.Д. Медных кандидат физико-математических наук, доцент В.13. Чуешев

Ведущая организация:

НИИММ им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета.

Защита состоится « а » 2000 г. в «/Г часов на

заседании Диссертационного совета К 002.23.02 при Институте математики им. С.Л. Соболева но адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика В.А. Коппога, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева.

Автореферат разослан «

000 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета, ^ С Романов

кандидат физико-математических наук, /' доцент

ые-/, е^оз Бич, .5У<Г.

А. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы и исторические замечания. Одним из основных направлений исследований в геометрической теории функций комплексного переменного является постановка и решение различных экстремальных задач. Исследование экстремальных задач имеет важное значение в теоретических вопросах математического анализа, а также в возможности применения экстремальных задач к вопросам прикладного характера, например, в гидромеханике.

Не ослабевает исследовательский интерес к классическим экстремальным задачам. Среди,таких задач выделяется задача Л. Бибербаха о коэффициентах голоморфных однолистных в круге функций Дг), ДО) = /"'(0) - 1 = 0. В 1916 г. Бибербах' сделал предположение о справедливости неравенств |сл(/}| < п (п = 2, 3, ...), где /К?) - г + + с?(/)22 + ... + сп(ргп + ... . И.М. Милиным была установлена связь между тэйлоровскими и логарифмическими коэффициентами функции /", что позволило Л. де Брагоку в 1984 г. завершить доказательство гипотезы Бибербаха. При этом значительную роль сыграла работа Аски и Гаспера [5], из которой следует, что экспоненциальные многочлены Бранжа положительны на [0, оо).

Другая классическая задача о множестве граничных значений системы функционалов

на классе 5 при фиксированном zq, 0 < \zq\ < 1, также содержит вопросы для исследования. Эту систему и ее частные случаи рассматривали Л. Бибербах, Г. Грунскнй, Г.М. Голузин, В.Я. Гутлянский, И.Е. Базилевич, П.П. Куфарев, H.A. Лебедев, И.А. Александров, С.А. Копанев, В.И. Попов, Г.В. Улшга и другие. Первое полное решение задачи о множестве D значений данной системы функционалов было дано Поповым. Представляет интерес новая задача об описании управляющих функций в уравнении Левнера, приводящих к граничным значениям множества D.

Эти и другие экстремальные задачи способствовали созданию, развитию и успешному применению метода параметрических представлений, метода внутренних вариаций, метода площадей и др. Метод параметрических представлений, один из мощных методов геометрической теории функций, получивший блестящее развитие еще в тридца-

тые годы, опирается на некоторое обыкновенное дифференциальное уравнение, в частном случае - уравнение Левнера. Связанная с этим уравнением теоретико-функциональная конструкция имеет широкий спектр применений, в том числе и в области теории вероятностей. Поэтому исследование свойств решений уравнения Левнера, нахождение случаев его интегрируемости и множества управляющих функций, для которых интегралы уравнения Левнера приводят к отображениям круга на плоскость с разрезом, имеют важное значение. Добавим, что примеры интегрируемости этого уравнения единичны.

В реферируемой работе продолжается исследование некоторых вопросов, связанных с уравнением Левнера, и экстремальных свойств классов однолистных аналитических р-симметричных функций.

Цель работы. Основными направлениями исследований в реферируемой диссертационной работе являются: получение нового случая интегрирования уравнения Левнера; исследование свойств решений уравнения Левнера с постоянным управлением с целью попытки получить более простое, чем у Леки и Гаспера, доказательство неотрицательности полиномов Бранжа на [0, со); нахождение экстремальных управляющих функций в задаче вращения на классе 5р (р - 2, 3, ...) р-снмметричных функций.

Методы исследования. Доказательство основных результатов диссертации основано на использовании общих методов математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории функций комплексного переменного, теории конформных отображений, методов геометрической теории функций, таких как вариационный метод и метод параметрических представлений.

Научная новизна и практическая значимость. Следующие результаты являются основными результатами, выносимыми автором на защиту.

1. Получен новый случай интегрирования уравнения Левнера. Найдена функция, предельная для полученного решения уравнения, т.е. принадлежащая классу Бр.

2. Найдены экстремальные управляющие функции в задаче вращения на классе Бр (р = 2, 3, ...) при помощи параметрического метода Левнера.

3. Получено условие, при выполнении которого уравнение шестой степени, чьи решения доставляют функционалу I(fp, г) = arg f'p(r), fp е Sp, экстремальные значения, имеет ровно два вещественных корня.

4. Дано применение формул, связывающих полиномы Бранжа с решениями уравнений Левнера с постоянным управлением. Получено представление полиномов Бранжа в виде суммы некоторых полиномов, что позволило дать более простое доказательство теоремы Аски и Гас-пера о полиномах Бранжа в частных случаях.

Все результаты являются новыми.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы исследования могут использоваться при решении задач геометрической теории функций комплексного переменного, для изучения некоторых классов аналитических однолистных функций, а также в теории вероятностей, теории упругости, газовой динамике, гидромеханике и т.п.

Апробация работы. Результаты, содержащиеся в диссертации, докладывались на международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 70-летию академика Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 1999), на XXXVIII международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», посвященной 100-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 2000).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [6]-[ 10].

Структура работы. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, трех глав, разбитых на параграфы, и библиографии. Объем работы - 64 страницы. Нумерация формул и теорем подчинена соответствующей главе и не зависит от параграфов. Библиография содержит 98 наименований работ.

В. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Изложим кратко содержание работы. Номера формулировок нижеприводимых теорем соответствуют принятой в тексте диссертации нумерации.

Во введении дается краткое описание развития и современного состояния изучаемых задач, формулируются цели исследования и приводится обзор полученных результатов по главам, вводятся основные понятия.

Одним из важных классов функций, однолистных в круговой области, является класс S голоморфных однолистных в единичном круге

Е = {z : |г| < 1} функций, нормированных условиями ДО) = О, f( 0) = 1-

Многие исследования связаны с р-симметричными (р = 1, 2, ...) функциями класса 5, выделяющимися в самостоятельный класс Sp, причем s S.

Подклассы Sp (р = 2, 3, ...) не являются вложенными. Пусть число р раскладывается на простые множители р,. Тогда любая функция, принадлежащая классу Sp, принадлежит и каждому из классов Spi.

Функции вида f(z) = lim е' ¡¡(г, т), где С,(г, т) - решение уравне-

Т->оо

ния Левнера

dт ^

(О

| г | < 1, 0 < т < со,

в котором р(т), |ц(т)| = 1, - кусочно-непрерывная функция на [0, со), мы называем предельными для решений уравнения (1). Такие предельные функции входят в класс Sp и образуют в нем плотный подкласс в топологии равномерной сходимости на компактных множествах.

Первая глава состоит из шести параграфов. В ней приводится новый случай интегрирования уравнения (1), позволяющий сделать заключение о том, что управляющие функции вида

, , -iSi см-ß, ч

ц(т) = е х (т),

где 5 е R, a, ß е х(т), х(0) = 1, |х(т) | = 1, - непрерывно-дифференцируемая на [0, со) функция, индуцируют решения этого уравнения, в том числе отличные от отображения круга на круг с разрезами.

В § 1 дастся обзор основных результатов в задаче о решениях уравнения Левнера. В §§ 2, 3 вводится условие на х(т) и среди множества непрерывно-дифференцируемых функций х(т) указывается семейство, для которого удается эффективно проинтегрировать уравнение (1).

После выполнения в (1) замены ^ на w по формуле ^ = е lSt хР w и введения обозначений х" = X = a/ß = 2s на уравнение накладывается условие

В § 1 дается обзор основных результатов в задаче о решениях уравнения Левнера. В §§ 2, 3 вводится условие на г(х) и среди множества непрерывно-дифференцируемых функций 1(т) указывается семейство, для которого удается эффективно проинтегрировать уравнение (1). После выполнения в (1) замены С, на хю по формуле С, = е '6х 1л хю и введения обозначений г" = X = е2'4^, ос/р = на уравнение накладывается условие

>« * + ¿(уЧт) - 58) 2/р, = = , е -6- + ¿(ч/Чт) - 55) е 1 С0П5Ь'

_ Л. < Л.

2 р ^ 2 р '

При этом \у(т) является решением уравнения у' = 5 (5 + ^(у - ф)р), \|/(0) = 0.

После замен р(ц - ф) = у, рзх = Ь интегрирование этого уравнения позволяет сделать заключение о том, что если 5 = 0, то |х(х) = где

/(т) = е2г/,'Р (со5/зФ • е" ( + г' л/1 ~ со52рф • е"202- (2)

Когда 5*0, то функция и = \|/ - 55т монотонно изменяется, если ее значения принадлежат любому из промежутков кп/2 < (и -- ь)р < (к + 1)л/2 (к е где и = ф - «>5г.

В § 4 интегрируется уравнение Левнера с выбранным управлением и тем самым доказывается следующая теорема.

Теорема 1.1. Функция

Ф, т) = е~'5х 11/2*(т) хю(г, Х(т)), С(0, т) = 0, £(0, т) > 0,

где 5 - произвольная вещественная постоянная, 5 — произвольное

положительное число, /*.(т) = е2'^ \ причем ц/(т) определяется уравнением

_ со5(у - у)р + 8 ~ ф)р ш +

' т соБ/кр - 5 этрф ' '

в котором т = 5(1 + ¿5), е = т/т, у = е2';*Р (-п/2р < <р < п/2р) -постоянная, конформно и однолистно отображает круг Е на область, лежащую в единичном круге и имеющую р-кратную симметрию вращения относительно нуля.

В § 5 находится функция

/Ь)

тр

(1 - и' )и

тр-1

йи

, _ р. 2.5+1 (1 - у и')

1 / тр

(3)

предельная для полученного решения £ = ¿¡(2, т), и формулируется вытекающая отсюда теорема.

Теорема 1.2. Пусть 5 - вещественная постоянная, 5 - произвольное положительное число, р е

т = + ¿5), у = е2'/*р,

(~л/2р < ф < я/2р). Тогда однозначная ветвь функции /(2) = г + ..., даваемая формулой (3), однолистна в единичном круге и отображает его на область с р-кратной симметрией вращения относительно начала.

Функция (3) при р — 1 входит в класс, представляемый формулой И.Е. Базилевича

Дг) =

1/р0(0)

Р]М = 1 - и, р0(и) = 5(1 + ¿5) +

(2д- 1)2

1ф

е - 2

Шестой параграф посвящен частному случаю решенной задачи, аналогичному случаю Куфарсва [4] на классе 5, когда т - 1, ср = О, а = 2, р = 1, с описанием геометрии найденных функций. В этом случае решение уравнения Левнера имеет вид

0. г) =

1 + х

2 р

гр+х2р-к2р'

'(1-/)

1 -

/ 4 р

где х (т) = Х,(т), а Х(х) записывается по формуле (2). Предельная функция представляется формулой

с

г

- я -I t/P

и— '

Вторая глава состоит из шести параграфов. В пей при помощи метода параметрических представлений решается задача о нахождении экстремальных управляющих функций в уравнении Левнера в задаче вращения на классе Sp (р Ф 1), т.е. таких управляющих функций, которые приводят к граничным значениям функционала l(fp, г) = arg f'p(r), fp б Sp (p = 2, 3, ...), r = Uo¡, Zq e E\{0). H.A. Александров и А.И. Александров [2] решили задачу для р = 1 и проинтегрировали уравнение Левнера с найденными управляющими функциями.

В § 1 даются основные понятия и теоремы, имеющие отношение к поставленной задаче. В § 2 проводится параметризация функционала I(fp, г) , приводящая к формуле

1

I(fp, г) = f gis, t) ds,

а

где

1 21 21

gKS' t} ~ ps í2 + 1 + £2 + s2 ■

a= (1 -rp)/( 1 +rp), a < s < 1.

При фиксированном s некоторое решение t = t(s) уравнения 1 I -fi s^-fi

pni+^^tf + í2)2-0 (4)

доставит максимум функционалу I(fp, г). Верхняя и нижняя оценки данного функционала имеют одинаковую абсолютную величину, следовательно, можно ограничиваться задачей о шах arg f ;)(.r). В § 3 выводится условие

-P4sn + 1) + (8р3 + 8р) (s10 +1)5- 7Ap4ß + 1 )s2 +

+ (8р3 + 8р) (s6 + 1) s3 + 433p2(s4 + 1) s4 - (16p3 + 16p) x

x (s2 + 1) s5 - 716p2 s6 > 0

существования единственного вещественного положительного корня уравнения

3_ т 1 ~ 2 р$ - 2$2 + р£ + рз - 2$2 - 2р53 + р^3 + ^ д

* Х 1 + * 1 + рБ 1 + р5

В случае выполнения этого условия уравнение (4) имеет точно два вещественных корня ¿о,1 = доставляющих минимальное и мак-

симальное значения функционалу Я/^, г).

Для того чтобы составить представление о графике кривой (4), в § 4 посредством отображения

¿-з2 I2- 1

вводится и исследуется вспомогательная функция

1 V

р v2 + 1 и2 + 1

= 0.

В § 5 находятся те решения уравнения (4), которые доставляют максимум функционалу г). При 0 < 5 < 5(0), где

л/2 - 1

(0) + yjp2^Т)2 + 1 + р + yjp2 - 1 '

такое решение задается формулой

s0(t) = b-(t) + >/2û(i) b-(t) , (5)

a при S(о) < s < 1 - формулой

s,(i) = b+(t) + -\j2a(t) b4t) . (6)

£ (¿2 + l)2 _

Здесь а(1) = | ¿2 _ / • = ± ЛрШ^Т2 .

В § 6 даются формулы для экстремальных управляющих функций. Теорема 2.1. Управляющие функции в уравнении Левнера

Л V«-?" с 10

доставляющие максимум функционалу I(fp, z) = arg f 'p(z), fp e Sp (p = 2, 3, ...), нри фиксированном значении z, \z\ < 1, определяются формулой

V-k = У к е

1/Р

А = 0, 1,

где = (ттт44 ) , 0 < 5 <1, функ

г - Ь (5) ) > 0 5 > Функции к = ¿оС5) 11 Ч ~ неявно

задаются соответственно равенствами (5), (6), а ф^ = (р/Дз), учитывая связь переменных хир

1 /Р

( 1 ^ 1

Р

1

находятся из уравнении

с1 1пр du

J_I_£

2 Р

. Aßt = _ ~ iñ)

Л " Ü-P^l2'

При этом & = 0, если 0 < < S(Q),

*(0)

л/2 ~ 1

л/(р + + 1 + р + л/р2 - 1 '

т.е. р(о) < р < 1,

л/(р + Л/Р2 ~ I)2 + 1 + Р + Л/Р2 ~ 1 ~ л/2 + 1 ^ '/Р

Л/(р + л/р2^7!)2 + 1 + р + л/р2 - 1 + л/2 - 1

Р(0) =

и k = 1, если 5(о) < s < 1, т.е. О < р < р(0).

Отметим, что оценки arg f' на классе 51 получены И.Е. Бази-левичем и Г.М. Голузиным, а на классе Sp - В.Я. Гутлянским.

В третьей главе, состоящей из четырех параграфов, исследуются свойства решений уравнения Левнера с постоянным управлением

ц(т) = е1<р, -л < ф < я, как функций начального условия с целью попытки получить новое простое доказательство неотрицательности на [О, <») полиномов Бранжа

У5.„(Т> = I

(-1)

Л'-Г

П - Г 1

2п ~2гЛ

2п - Г ' -(я-г). е

г - 1

V А' - Г У

« = 1,2,..., 5=1,2, ..., п - 1.

Это исследование относится к задаче о коэффициентах голоморфных однолистных функций.

В § 1 указываются некоторые свойства функционала Милина и функции Бранжа.

Второй параграф посвящен постановке задачи. Полиномы Бранжа являются коэффициентами разложения по степеням г функции

<7=1.2.....

где й, = ¿¡(г, т) - решение уравнения Левнера с управляющей функцией ц(т) = -1 [1]. Так

как полиномы У^нСт) образуются из коэффициентов разложения по степеням г функций К (г) = ^ 2_ ^ =

= г + 2г- + Зг3 + ... + пгп + ... и С,'!(г, т), то возникает идея доказать неотрицательность Ул „(т) на [0, оо), установив неотрицательность на [О, со), если она имеет место, коэффициентов разложения и ^(г, т). От уравнения

ЬСьО)-«,. N<1

с управлением ц(т) = е'Ф, -п < ср < л, поворотом плоскости на угол -ср + л делается переход к уравнению

Ф,0) = г, |г|<1. (7)

В § 3 находится решение уравнения (7)

~\2

(1 - Л/1 +4а>е т)2

Агое

т

(1 - г)2 ■

Функция С, отображает единичный круг на единичный круг с разрезом по вещественной осн. В данном параграфе подробно описывается геометрия отображения, осуществляемого этой функцией.

В § 4 указываются формулы для разложения функции £ = С,Сг, т) по степеням г

I

V (то + к - 1)!

£ (к - 1)! а + 1)! Ы - к)\

Для нахождения этих формул предварительно доказывается утверждение Фазенмайер, приведенное в [3] без вывода.

оо

Пусть дан ряд Н(у) = £ ат ут. Образуем новый ряд ш=о

1

1 - £

, 4£Х А ( их .

= 9оМ + + д2Ш2 + ... = I <7иСг) ¿*

;л=0

Для коэффициентов полученного ряда имеет место формула

ЗтМ = Е

к=0

(-т)а (ти + ак

2

где

п(п + 1) (я + 2) ... (72 + к - 1), к > \ 1, к = 0

Основываясь на разложении Ç, полиномы Бранжа представляются в виде суммы определенных полиномов. Так

= V • V 2(-l)fc+1 (»-/+*- 1)! -h

Уп-\,п LJ L (/¿-i)| (Ä+ 1)! (n-;-Ä)!

Для полиномов

1 -r/t 2 Г -f/' -f/1 / 1

.V2,/+2 = -Le Vl-e <7=1,2.....

полиномы-слагаемые сохраняют положительный знак для т е [0, со), что свидетельствует в пользу гипотезы, а в представлении У34 = = e_I (e_t - 1) (5е-1 - 3) + 4е~т (1 - е-1) + Зе-Т слагаемое е_т (е_т - 1) х х (5е~; - 3) меняет знак на [0, œ), что свидетельствует против высказанного предположения.

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю Игорю Александровичу Александрову за большую помощь в работе.

Список литературы

1. Александров И.А. Гипотеза Бибербаха и задача о колебании струны // Докл. расширенных заседаний семинара института прикладной математики им. Векуа. Тбилиси, 1990. Т. 5. № 3. С. 9-13.

2. Александров И.А., Александров А.И. Экстремальные управляющие функции в уравнении Левнера в теореме вращения /

/ ДАН. 2000.

Т. 371. № 1. С. 7-9.

3. Бсйтмен Г., Эрденн А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1967.

4. Куфарев П.П. Одно замечание об интегралах уравнения Левнера ,// ДАН СССР. 1947. Т. 57. № 7. С. 655-656.

5. Askey R., Gasper G. Positive Jacobi polynomial sums II // Amer. J. Math. 1976. V. 98. N 3. P. 709-737.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

6. Александров И.А., Садритдннова Г.Д. Отображения с симметрией вращения // Изв. вузов. Матем. 1998. № 10. С. 3-6.

7. Садритдннова Г.Д. Об одном случае интегрирования уравнения Левнера с симметрией вращения // ДАН. 1999. Т. 368. Лгу 4. С. 462-463.

8. Александров И.А., Садритдннова Г.Д. Интегральные представления однолистных функций // Междунар. конфер. по анализу и геометрии. Тез. докладов. Новосибирск: Изд-во ин-та матем., 1999. С. 5.

9. Садритдннова Г.Д. Свойства решений уравнения Левнера с постоянным управлением // Исслед. по матем. анализу и алгебре: Сб. науч. трудов. Томск: Изд-во ТГУ. 2000. С. 129-134.

10. Садритдннова Г.Д. Экстремальное управление в задаче вращения /У Материалы XXXVIII Междунар. науч. студенч. конфер. «Студент и науч.-тех. прогресс». Матем. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2000. Ч. 2. С. 58.

Основные обозначения .,.

Введение

Глава I. Один новый случай интегрирования уравнения Левнера .И

§ 1. Основные результаты . .И п. 1. Уравнение Левнера-Куфарева. п. 2. Теорема о существовании и единственности решения уравнения Левнера-Куфарева п. 3. Основные понятия

§ 2. Выбор управления

§ 3. Функция vj/(t)

§ 4. Интегрирование

§ 5. Предельный случай

§ 6. Частный случай

Глава II. Экстремальное управление в задаче вращения на классе Sp

§ 1. Основные понятия и результаты п. 1. Оценки аргумента производной п. 2. Экстремальные управляющие функции в задаче о max arg f'(zo) на классе

§ 2. Параметризация функционала п. 1. Вывод основных формул п. 2. Введение параметров

§ 3. Условие существования единственного вещественного корня некоторого уравнения третьей степени

§ 4. Вспомогательная кривая п. 1. Отображение перехода к вспомогательной кривой п. 2. Параметризация вспомогательной кривой п. 3. Построение графика вспомогательной кривой

§ 5. Нахождение решений некоторого уравнения, доставляющих максимум функционалу I(fp, г) п. 1. Расположение дуг, прообразов дуг вспомогательной кривой п. 2. Аналитическое выражение ветвей, доставляющих максимум функционалу п. 3. Случай р

§ 6. Нахождение экстремальных управляющих функций

Глава III. Свойства решений уравнения Левнера с постоянным управлением

§ 1. Некоторые результаты в задаче о коэффициентах

§ 2. Постановка задачи

§ 3. Решение уравнения Левнера с постоянным управлением п. 1. Интегрирование. п. 2. Геометрия решения

§ 4. Разложение по степеням 2 решения уравнения Левнера с ц = и новое представление полиномов Бранжа.

В теории аналитических функций значительное место отводится изучению однолистных аналитических функций, т.е. таких аналитических функций, которые в различных точках области принимают различные значения.

Одним из важных классов функций, однолистных в круговой области, является класс S голоморфных однолистных в единичном круге Е = {z : \z\ < 1} функций, нормированных условиями ДО) = О, /'(О) = 1. Многие исследования связаны с р-симметричными (р — 1, 2, .) функциями класса S, выделяющимися в самостоятельный класс Spt причем Sj = S. Подклассы Sp (р = 2, 3, .) не являются вложенными. Пусть число р раскладывается на простые множители Pi. Тогда любая функция, принадлежащая классу Sp, принадлежит и каждому из классов Spi. Класс Sx представляет собой тождественное отображение круга на круг.

Функции f(z) = lim е C,(z, т), которые мы называем предельными для т—>00 решений уравнения Левнера r ti'(x) + С? dx ц цР(т) - с?' ф, 0) = г,

М< 1,

О < X < 00, где ц(т), |ц(т)| = 1, - непрерывная или кусочно-непрерывная функция на [О, оо), входят в класс Sp.

Связанная с этим уравнением теоретико-функциональная конструкция, которая впервые появилась в работе Левнера [89], имеет широкий спектр применений, в том числе и в области теории вероятностей [36], [37].

В каждой из глав данной работы решается отдельная задача геометрической теории функций комплексного переменного, связанная с уравнением (*).

Примеры интегрирования уравнения Левнера в квадратурах единичны. Некоторые случаи интегрируемости найдены Куфаревым П.П. [46], Александ5 ровым И.А. [5], Хеллингом К. [84]. Базилевич И.Е. [20], проинтегрировав более общее уравнение f --crfc. х) с функцией С1 - е-т) Р0(О + е-хР1(О ' 0 < х < 00, где Pq(Q, P\(Q ~ голоморфные в единичном круге функции с положительными вещественными частями, получил формулу

1/>о(о) которая задает совокупность функций, содержащую ряд подклассов класса S.

В первой главе мы приводим новый случай интегрирования уравнения (*), позволяющий сделать заключение о том, что управляющие функции вида ц.(т) = е~г5т ха+Р(т), где 5 е R, а, J3 е R+, х(т), х(0) = 1, | х(х) | = 1, - непрерывно-дифференцируемая на [0, оо) функция, индуцируют решения этого уравнения, в том числе отличные от отображения круга на круг с разрезами.

В §§ 2, 3 главы I вводится условие, необходимое для интегрирования уравнения (*) с указанным управлением ц(т), и исследуется влияние этого условия на управляющую функцию.

В § 4 интегрируется уравнение Левнера с выбранным управлением и тем самым доказывается теорема о принадлежности функции Q - е~г8т хР w, где w неявно за, ¡ется интегральным уравнением, к множеству однолистных функций, отображающих круг Е на ^-симметричные круговые области.

В § 5 находится функция f(z), предельная для полученного решения С, - C,(z, т), и формулируется вытекающая отсюда теорема о принадлежности этой функции к классу Sp. fiz) =

0Нехр )P№-Ur№dudv

Шестой параграф посвящен частному случаю решенной задачи с описанием геометрии найденных функций.

Широкий круг вопросов теории однолистных функций (теоремы искажения и вращения, задачи о радиусе и кольцах звездности и др.) связан с изучением системы функционалов на классе S при фиксированном Zq е Е\{0}. Эту систему и ее частные случаи рассматривали БибербахЛ., Грунский Г., Голузин Г.М., Базилевич И.Е., Куфарев П.П., Лебедев H.A., Александров И.А., Копанев С.А., Попов В.И., Улина Г.В. и другие. Исследования велись, в основном, методом внутренних вариаций [28], [95], методом параметрических представлений [89], методом интегральных средних [21], методом контурного интегрирования [77], методом площадей [51], методом структурных формул [43] и методом Куфарева [44], объединившим метод внутренних вариаций и метод параметрических представлений.

Первое полное решение задачи о множестве D значений данной системы функционалов было дано Поповым [57].

Представляет интерес новая задача об описании управляющих функций в уравнении Левнера, приводящих к граничным значениям множества D.

Целью работы, проведенной во второй главе настоящей диссертации, является решение этой задачи для функционала I(fp, г) = arg f'p(r), fp е Sp (р = 2, 3, .), г = |z0|, е Е\{0}. Александров И.А. и Александров А.И. в работе [7] решили задачу для р = 1 и проинтегрировали уравнение Левнера с найденными управляющими функциями.

Мы находим экстремальные управляющие функции Ho,i(t), соответствующие экстремумам функционала I(fp, г), используя метод параметрических представлений.

В § 2 главы II проводится параметризация функционала, приводящая к формуле а где

2 £ 2£

-72ТТ+;2 + 52

О < а < 1,

0 < 5 < 1.

В § 3 выводится условие существования единственного вещественного положительного корня уравнения

3 2 1 ~ ~ 252 + - 252 - 2Р53 + , " I Х- л .

1 + 1 + ря р53 + Л-4 VI— =

1 + рБ

В случае выполнения этого условия уравнение

1 1 - ¿2 - Ь2 рз( 1 + ¿2)2 + (52 + ¿2)2 - 0. ^^ где £2 = х, имеет только два вещественных корня ¿о,1 = ¿о^ОХ доставляющих минимальное и максимальное значения функционалу /(/р, г).

В § 5 находятся решения уравнения (**), которые дают максимум функционалу Д/р, г). Для этого в § 4 вводится и исследуется вспомогательная функция

1 ь + и д

Р V2+1 и2 + 1

В § 6 даются формулы для экстремальных управляющих функций. В третьей главе исследуются свойства решений уравнения Левнера с постоянным управлением гч>

I У е + у # # * ) с?т е" - С1

С^, 0) =гь N < 1, 8 где -% < ф < 7t, как функций начального условия с целью попытки получить более простое, нежели у Аски и Гаспера [67], доказательство неотрицательности полиномов Бранжа на [0, оо). Мы используем новое представление полиномов Бранжа в виде суммы определенных полиномов.

В § 2 главы III ставится задача о знаке коэффициентов разложения но степеням г решений уравнения (***). Без потери общности эту задачу можно решать для уравнения с -1 + е dx ^ -1 - (Р ' ф, 0)=г, И<1, В § 3 дается решение уравнения (****) и указываются свойства решения. В § 4 указываются формулы для разложения функции C,(z, т) по степеням z. Для нахождения этих формул мы предварительно доказываем некоторое утверждение о рядах, сформулированное Фазенмайер в [25]. Основываясь на этом разложении, получаем возможность представить полиномы Бранжа в виде суммы определенных полиномов. Показано, что для Уi)(?+i, Yi,q+2 полиномы-слагаемые сохраняют положительный знак для т е [0, да), что свидетельствует в пользу гипотезы, а в представлении У3 4 имеется полином, меняющий свой знак на этом промежутке, что свидетельствует против высказанного предположения.

Перечислим кратко основные результаты диссертации.

Найден новый случай интегрирования уравнения Левнера. Доказана теорема о принадлежности однозначной ветви функции Z

1 / тр С

1 - ир)ищ'~Х du f{z) = тр (1 - уир) »42s+l О где 5 е R, s е R+, р е N, т = s(l + гб), у = е

2 грч>

71 ^ JL с ф < ^ , классу ^ р'

Найдены экстремальные управляющие функции в задаче вращения на классе Sp (р = 2, 3, .) при помощи параметрического метода Левнера.

Получено условие, при выполнении которого уравнение шестой степени, чьи решения доставляют функционалу I(fp, г) = arg f 'p(r), fp e Sp, экстремальные значения, имеет только два вещественных корня.

Дано применение формул, связывающих полиномы Бранжа с решениями уравнений Левнера с постоянным управлением. Получено представление полиномов Бранжа в виде суммы некоторых полиномов, что позволило дать более простое доказательство теоремы Аски и Гаспера о полиномах Бранжа в частных случаях.

Основные положения диссертации опубликованы в [14], [15], [60]—[62], в частности, результатам первой главы посвящены публикации в журналах «Доклады Академии Наук» и «Известия высших учебных заведений», результатам третьей главы - статья в Томском сборнике научных трудов «Исследования по математическому анализу и алгебре». Результаты диссертации докладывались на международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 70-летию академика Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 30 августа - 3 сентября 1999 г.), на XXXVIII международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», посвященной 100-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 10-14 апреля 2000 г.).

Приношу глубокую благодарность моему научному руководителю Игорю Александровичу Александрову за большую помощь в работе.

1. Александров А.Д. Комбинаторная топология. М.-Л.: Гостехиздат, 1947.

2. Александров И.А. Гипотеза Бибербаха и задача о колебании струны // Докл. расширенных заседаний семинара института прикладной математики им. Векуа. Тбилиси, 1990. Т. 5. № 3. С. 9-13.

3. Александров И.А. Граничные значения функционала / = J{f, f, f', f') на классе голоморфных однолистных в круге функций // Сиб. матем. журн. 1963. Т. 4. № 1. С. 17-31.

4. Александров И.А. Доказательство Л. де Бранжа гипотезы И.М. Милина и гипотезы Л. Бибербаха // Сиб. матем. журн. 1987. Т. 28. № 2. С. 7-20.

5. Александров И.А. Об одном случае интегрирования уравнения Левнера // Сиб. матем. журн. 1981. Т. 22. № 2. С. 207-209.

6. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976.

7. Александров H.A., Александров А.И. Экстремальные управляющие функции в уравнении Левнера в теореме вращения // ДАН. 2000. Т. 371. № 1. С. 7-9.

8. Александров И.А., Александров А.И., Касаткина Т.В. Функционал Милина и полиномы де Бранжа // Актуальные проблемы современной математики. Сб. научн. трудов. Новосибирск: Изд-во НИИ МИОО НГУ, 1997. Т. 3. С. 13-18.

9. Александров И.А., Никульшина М.Н. К теории подчиненных функций // Укр. матем. журн. 1972. Т. 24. № 2. С. 195-198.

10. Александров И.А., Попов В.И. Весовые функции де Бранжа // Республик. совещ.-семинар по комплексному анализу и прикладным задачам управления. Тез. докладов. Киев, 1989. С. 4-5.

11. Александров И.А., Садритдинова Г.Д. Интегральные представления однолистных функций // Междунар. конфер. по анализу и геометрии. Тез. докладов. Новосибирск: Изд-во ин-та матем., 1999. С. 5.

12. Александров И.А., Садритдинова Г.Д. Отображения с симметрией вращения // Изв. вузов. Матем. 1998. № 10. С. 3-6.

13. Альфорс A.B. Неравенство между коэффициентами й2 и аА однолистной функции // Некотор. пробл. матем. и механ. М.: Наука, 1970. С. 71-74.

14. Бабенко К.И. К теории экстремальных задач для однолистных функций класса S // Тр. матем. ин-та АН СССР. 1972. Т. 101. С. 1-318.

15. Базилевич И.Е. К проблеме коэффициентов в теории однолистных функций // Матем. сб. 1936. Т. 1(43). N? 2. С. 211-228.

16. Базилевич И.Е. Области начальных коэффициентов ограниченных однолистных функций р-кратной симметрии // Матем. сб. 1957. Т. 43. № 4. С. 409-428.

17. Базилевич И.Е. Обобщение одной интегральной формулы для подклассов однолистных функций // Матем. сб. 1964. Т. 64(106). № 4. С. 628-630.

18. Базилевич И.Е. Об оценке среднего модуля и коэффициентов однолистных функций. Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1961. С. 7-40.

19. Базилевич И.Е. О дисперсии коэффициентов однолистных функций // Матем. сб. 1965. Т. 68. № 4. С. 549-560.

20. Базилевич И.Е. О теоремах искажения и коэффициентах однолистных функций // Матем. сб. 1951. Т. 28. № 2. С. 147-164.

21. Базилевич И.Е. Sur les theorems de Koebe-Bieberbach // Матем. сб. 1936. T. 1(43). № 3. С. 283-292.

22. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1967.

23. Голузин Г.М. Внутренние задачи теории однолистных функций // Успехи матем. наук. 1939. Вып. 6. С. 26~89.

24. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

25. Голузин Г.М. Метод вариаций в конформном отображении // Матем. сб. 1946. Т. 19. № 2. С. 203-236.

26. Голузин Г.М. О коэффициентах однолистных функций // Матем. сб. 1948. Т. 22. № 3. С. 373-380.

27. Голузин Г.М. О теоремах искажения в теории конформных отображений // Матем. сб. 1936. Т. 1(43). № 1. С. 126-135.

28. Горяйнов В.В. Граничные функции системы функционалов, составленной из значений однолистной функции и ее производной // Изв. вузов. Матем. 1982. № 7. С. 72-74.

29. Горяйнов В.В. К геометрии конформного отображения // Тр. 2-й Сара-товск. зимн. школы. Саратов, 1986. Ч. 2. С. 84-87.

30. Горяйнов В.В. Общая теорема единственности и геометрия экстремальных конформных отображений в задачах искажения и вращения // Изв. вузов. Матем. 1986. № 10. С. 40-47.

31. Горяйнов В.В. Об экстремалях в оценках функционалов, зависящих от значений однолистной функции и ее производной // Теория отображений и прибл. функций. Киев, 1983. С. 38-50.

32. Горяйнов В.В. Полугруппы конформных отображений // Матем. сб. 1986. Т. 129. № 4. С. 451-472.

33. Горяйнов B.B. Эволюционные семейства аналитических функций и неоднородные по времени марковские ветвящиеся процессы // ДАН. 1996. Т. 347. № 6. С. 729-731.

34. Горяйнов В.В., Полковников A.A. Аналог метода производящих функций для ветвящихся процессов с непрерывным пространством состояний // Обозрение прикл. и пром. математики. Сер. Вероятность и статистика. 1998. Т. 5. Вып. 2. С. 215-216.

35. Гриншпан А.З. Коэффициентные неравенства для конформных отображений с гомеоморфным продолжением // Сиб. матем. журн. 1985. Т. 26. N? 1. С. 49-65.

36. Гриншпан А.З. Логарифмические коэффициенты функций класса S // Сиб. матем. журн. 1972. Т. 13. № 5. С. 1146-1157.

37. Гриншпан А.З. Однолистные функции и регулярно измеримые отображения // Сиб. матем. журн. 1986. Т. 27. № 6. С. 50-64.

38. Гутлянский В.Я. Параметрические представления и экстремальные задачи в теории однолистных функций. Дис. докт. физ.-матем. наук. Киев, 1972.

39. Гутлянский В.Я. Параметрическое представление однолистных функций // ДАН СССР. 1970. Т. 194. № 4. С. 750-753.

40. Зморович В.А. О некоторых вариационных задачах теории однолистных функций // Укр. матем. журн. 1952. Т. 4. № 3. С. 276-298.

41. Куфарев П.Г1. Об одном методе исследования экстремальных задач теории однолистных функций // ДАН СССР. 1956. Т. 107. № 5. С. 633-635.

42. Куфарев П.П. Об однопараметрических семействах аналитических функций // Матем. сб. 1943. Т. 13(55). № 1. С. 87-118.

43. Куфарев П.П. Одно замечание об интегралах уравнения Левнера // ДАН СССР. 1947. Т. 57. № 7. С. 655-656.

44. Лебедев H.A. Мажорантная область для выражения / = zx f'(zy~x/f(z)x в классе S // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. Матем., физики и химии. 1955. Вып. 3. № 8. С. 29-41.

45. Лебедев H.A. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975.

46. Лебедев H.A., Милин И.М. Об одном неравенстве // Вестн. ЛГУ. 1965. № 19. С. 157-158.

47. Майков Е.В. т-непрерывность и т-дифференцируемость функционала // ДАН СССР. 1964. Т. 155. № 2. С. 266-269.

48. Милин И.М. Метод площадей в теории однолистных функций // ДАН СССР. 1964. Т. 154. № 2. С. 264-267.

49. Милин И.М. Однолистные функции и ортонормированные системы. М.: Наука, 1971.

50. Милин И.М. О коэффициентах однолистных функций // ДАН СССР. 1967. Т. 176. № 5. С. 1015-1018.

51. Милин И.М. Оценка коэффициентов однолистных функций // ДАН СССР. 1965. Т. 160. № 4. С. 769-771.

52. Попов В.И. Исследование некоторых функционалов и свойств линий уровня на классах однолистных функций. Дисс. канд. физ.-матем. наук. Томск, 1965.

53. Попов В.И. К методу параметрических представлений // Вопросы геометрической теории функций. Тр. Томск, ун-та. 1964. Т. 175. Вып. 2 С. 73-77.

54. П опов В.И. Область значении одной системы функционалов на классе S // Тр. Томск, ун-та. 1965. Т. 182. Вып. 3. С. 106-132.

55. Попов В.И. Об одной системе функционалов на классе S // Докл. III Сиб. конф. по матем. и механ. Томск, 1964. С. 63-64.

56. Привалов И.И. О функциях, дающих однолистное конформное отображение // Матем. сб. 1924. Т. 31. № 3. С. 350-365.

57. Садритдинова Г.Д. Об одном случае интегрирования уравнения Лсвнера с симметрией вращения // ДАН. 1999. Т. 368. № 4. С. 462-463.

58. Садритдинова Г.Д. Свойства решений уравнения Левнера с постоянным управлением // Исслед. по матем. анализу и алгебре: Сб. науч. трудов. Томск: Изд-воТГУ. 2000. С. 129-134.

59. Садритдинова Г.Д. Экстремальное управление в задаче вращения // Материалы XXXVIII Междунар. науч. студенч. конфер. «Студент и науч.-тех. прогресс». Матем. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2000. Ч. 2. С. 58.

60. Смогоржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. М.: Физматгиз, 1961.

61. Улина Г.В. Об областях значений некоторых систем функционалов в классах однолистных функций // Вест. Ленингр. ун-та. Сер. матем., механ., астр. 1960. Вып. 1.С. 34-54.

62. Фитцджеральд К.X., Поммеренке X. Теорема де Бранжа об однолистных функциях // Сердика. Бълг. мат. спис. 1987. Т. 13. № 1. С. 21-25.

63. Широков Н.А. Теорема регулярности Хеймана // Зап. научн. семин. ЛОМИ АН СССР. 1972. Т. 24. С. 182-200.

64. Askey R., Gasper G. Positive Jacobi polynomial sums II // Amer. J. Math. 1976. V. 98. N 3. P. 709-737.

65. Baernstein A. II. e. a. (Ed.) The Bieberbach conjecture. Proceedings of the symposium of the occasion of the proof // Amer. Math. Soc. 1986. Providence, R. I. N 21. 218 p.

66. Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln // Sitzungsberichte Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1916. S. 940-955.

67. Bombieri E. On the local maximum property of the Koebe function // Invent. Math. 1967. V. 4. N 1. P. 26-67.

68. Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture // Acta Math. 1985. V. 154. N 1-2. P. 137-152.

69. Charzynski Z., Schiffer M. A new proof of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient ,// Arch. Ration. Mech. and Anal. 1960. V. 5. N 3. P. 187-193.

70. Dieudonne J. Sur les functions univalentes // C. R. Acad. sei. Paris. 1931. P. 1148-1150.

71. Fekete M., Szegö G. Eine Bemerkung über ungerade schlichte Funktionen // J. London Math. Soc. 1933. V. 8. P. 85-89.

72. Fitzgerald C.H. Quadratic inequalities and coefficient estimates for schlicht functions // Arch. Rational Mech. and Anal. 1972. V. 46. N 5. P. 356-368.

73. Fomenko O.M., Kuz'mina G.V. The last 100 days of the Bieberbach conjecture // Math. Intel 1. 1986. V. 8. N 1. P. 40-47.

74. Garabedian P.R., Schiffer M. Indentities in the theory of conformai mapping // Proc. Amer. Math. Soc. 1949. V. 65. P. 187-238.

75. Garabedian P.R., Schiffer M. A proot of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient // J. Rational Mech. and Anal. 1955. V. 4. N 3. P. 427-465.

76. Garabedian P.R., Schiffer M. The lacal maximum theorem for the coefficients univalent functions // Arch. Rational Mech. and Anal. 1967. V. 26. N 1. P. 1-32.

77. Grad A. Coefficient regions of schlicht functions // Amer. Math. Soc., Colloqium Publ. New York, 1950. V. 35. P. 19-25.

78. GrunskyH. Koeffizientenbedingungen für schlichtabbildene meromorphe Funktion // Math. Z. 1939. Bd. 45. Hf. 1. S. 29-61.

79. GrunskyH. Zwei Bemarkughen zur konformen Abbildung // Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 1934. Bd. 43. S. 140-142.

80. Hayman W. The asymptotic behavior of p-valent functions // Proc. London Math. Soc. 1955. V. 5. N 19. P. 257-284.

81. Helling K. Beiträge zur Theorie der Löwnerschen Differentialgleichung //Wiss. Z. Päd. Hochsch. «Liselotte-Herrmann» Güstrow. Math. naturwiss. Fak. 1976. Bd. 2. S. 319-328.

82. Horowitz D. A further refinement for coefficient estimates of univalent functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1978. V. 71. N 2. P. 217-221.

83. Kaplan W. Close-to-convex schlicht functions // Michigan Math. J. 1952 (1953). V. 1. N 2. P. 169-185.

84. Littlewood J.E. On inequalities in the theory of functions // Proc. London Math. Soc. 1925. V. 23. P. 481-519.

85. Littlewood J.E., Paley R.E.A.C. A proof that an odd schlicht function has bounded coefficients // J. London Math. Soc. 1932. V. 7. Pt. 3. N 27. P. 167-169.

86. Löwner K. Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Fin-heitskreises //J. Math. Ann. 1923. Bd. 89. S. 103-121.

87. Löwner K. Untersuchungen über die Verzerrung bei konformen Abbildungen des Einheitskreises \z\ < 1, die durch Funktionen mit nicht verschwindenderAbleitung geliefert werden // Ber. Verh. Sachs. Ges. Wiss.-Leipzig, 1917. Bd. 69. S. 89-106.

88. Pederson R.N., Schiffer M. A proff of the Bieberbach conjecture of the fifth coefficient // Arch. Rational Mech. and Anal. 1972. V. 45. N 3. P.161-193.

89. Robertson M.S. A remark on the odd schlicht functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1936. V. 42. N 6. P. 366-370.

90. Schiffer M. A method of variation within the family of simple function // Proc. London Math. Soc. 1938. V. 44. P. 432-449.

91. Schiffer M. Variation of the Green function and theory of jy-valent functions // Amer. J. Math. 1943. V. 65. N 2. P. 341-360.

92. Waadeland A.H. Fra bieberbachs formondning til de Branges' setning // Normat. 1986. V. 34. N 3. P. 97-112.

93. Zemanek J. Hipoteza Biebebacha, 1916-1984 // Rocz. PTM. 1986. N 1. S. 1-13.