О некоторых экстремальных и геометрических задачах теории отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

р Щ^Цх рукописи АЛЕКСАНДРОВ АЛЕКСАНДР ИГОРЕВИЧ

О НЕКОТОРЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ОТОБРАЖЕНИЙ

Специальность 01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск-2000

Работа выполнена на кафедре математического анализа Томского государственного университета

Научный руководитель:

чл.-корр. РАО, доктор физико-математических наук, профессор И.А.Александров

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Медных Александр Дмитриевич

Кандидат физико-математических наук, доцент Чуешсв Виктор Васильевич Ведущая организация: Саратовский государственный университет

Защита состоится «¿3 у"\ 2000 г. в ' / час. на заседании

диссертационного совет^К002.Й.02 в Институте математики им.Соболева СО РАН по адресу: 630090, г.Новосибирск, проспект Академика В.А.Коптюга,4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им.СЛ.Соболева СО РАН

Автореферат разослан «_» //-¿"г*-"1' /3 ^ 2000 г.

Ученый секретарь /О

диссертационного совета, кандидат физ.-матем.наук

А.С.Романов

в-Гб'Г^'/Г, 2 03

А. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Краткие исторические сведения. Доказанная 1907 г. П.Кебе теорема о существовании круга, покрываемого образами ¡иничного круга £={z:|z|<l} при отображении голоморфном в нем одноли-ными функциями

/(z) = Z+c2(/)z2+...+cn(/y,+... х совокупность образует класс S), стимулировала рост интереса к экстренным задачам геометрической теории функций. Л.Бибербах, основываясь i внешней теореме площадей, доказал в 1916 г., что радиус круга, указанно-| Кебе, равен 1/4. В более поздней работе Л.Бибербах дает точную оценку эдуля функции и модуля производной на классе S цветочную оценку аргу-;нта производной. Точная оценка arg f\z) на классе S была получена М.Голузиным [1] и И.Е. Базилевичем [2] и составила содержание теоремы )ащения. Доказательство основывалось на методе, предложенном в 1923 г. Лёвнером [3] и, в частности, на выведенном им уравнении для семейства гображений на плоскость с разрезом переменной длины, идущем из беско-

2чности.

Создание вариационных методов М.А.Лаврентьевым [4], М.Шиффером '], Г.М.Голузиным [б], метода площадей Н.А.Лебедевым [7], метода сим-етризащш И.П.Митюком [8], В.Н.Дубиныным [9], метода ортогональных ногочленов И.М.Милиным [10], разработка этих методов и их применений ногими авторами качественно изменило содержание теории экстремальных щач на классах однолистных функций (см. обзорную статью И.Е.Базилевича книге «Математика в СССР за сорок лет», статью Н.АЛебедева, .В.Кузьминой, Ю.А.Аленицына [11], статью И.А.Александрова, .М.Милина [12]). Были доказаны теоремы об экстремальных функциях от-эсительно функционалов и их систем общего вида. Оказалось, что во многих тучаях экстремальные функции отображают каноническую область на плос-эсть с разрезами. Отсюда следовало, что их можно рассматривать как предел гшений уравнения Левнера с соответствующей управляющей функцией.

Важное место заняли предложенные П.П.Куфаревым и Н.А.Лебедевым етоды, объединяющие метод параметрических представлений Левнера и етод вариаций Голузина. Их развитию и приложениям посвящены работы [.П.Куфарева, И.А.Александрова, В.В.Горяйнова, В.Я.Гутлянского, 1.И.Редысова, В.В.Черникова и других авторов. Были найдены мажорантные бласти значений для многих функционалов, причем в большом числе рас-мотренных задач они оказались совпадающими с областями значений ссот-гтствующих функционалов. Вопрос о представлении в явном виде гранич-ых функций был решен лишь для небольшого числа задач, поскольку он казался, вообще говоря, очень сложным.

И.А.Александров, С.А.Копанев, В.И.Попов в работах [13], [14] указа примеры эффективного использования метода параметрических предстану ний и теории оптимального управления Понтрягина, Глубокое исследован в этом направлении проведено Д.В.Прохоровым [15].

1923 г. доказать точную оценку |с3(/)|<3,/ е 5, и тогда же дать точш оценки коэффициентов разложения по степеням и- функций г = (\м), с ратных функциям класса Б, был применен В.И.Поповым [16] к исследован! системы функционалов

на классе Были получены важные теоремы о строении границы в К4 мн жества значений этой системы. В частности, указаны семейства прямолине пых отрезков, принадлежащих границе.

Замечательное применение метода Лёвнера было дано Луи де Бранжч [17] при доказательстве справедливости гипотезы И.М.Милина [10], стр. 72, логарифмических коэффициентах и, как следствие, при получении нераве ства | с„(/) |< п, / е Б, п - 3,4,..., составлявшего до работы Бранжа содерж ние гипотезы Бибербаха, высказанной в 1916 г. Отметим, что исследовани связанные с привлекательно простой формулировкой гипотезы, способств вали развитию методов геометрической теории функщш и существенно об гатили ее. Проблемой коэффициентов занимались многие видные математ ки: Литглвуд, Дьедонне, И.И.Привалов, К.И.Бабенко и другие. Достаточ! подробно история исследований освещена в работах Фитцжеральда и Помм ренке [18], О.М.Фоменко, Т.В.Кузьминой [19], И.А.Александров И.М.Милина [12].

В доказательстве, предложенном Бранжем, важную.роль выполняют нею торые экспоненциальные многочлены. Эти многочлены Бранжа, монотош убывающие до нуля на положительной части вещественной оси, тесным о( разом связаны с решением уравнения Лёвнера с постоянной управляют« функцией, и они заслуживают изучения в рамках метода параметрическо1 продолжения средствами математического анализа, дифференциальных урш нений, теории ортогональных многочленов.

Большое место в практике конформных отображений занимают отображ( ния многоугольников, определяемые с помощью формулы Кристоффел) Шварца, относящейся к классическим результатам теории функций кол плексного переменного. В внекоторых вариационных задачах такие функци оказываются экстремальными. Поэтому они, а также другие функции с отне сительно простым геометрическим описанием, составляют предмет углус ленного изучения. В частности, достаточно сложной оказывается задача пс

Метод параметрических представлений Лёвнера, позволивший еще

строения лёвнеровских семейств функций, сходящихся к данной функции, указания соответствующей управляющей функции. Некоторые результаты .в этом направлении получены Базилевичем, Куфаревым, Г.Д.Садритдиновой и другими авторами, занимавшимися задачами интегрирования уравнения Лёв-нера в различных постановках.

Цель работы. В данной диссертационной работе, посвященной исследованию геометрических и экстремальных свойств классов однолистных аналитических функций одного комплексного переменного, основными направлениями исследований являются: указание тех управляющих функций в уравнении Лёвнера, которым соответствуют экстремальные функции в теореме вращения и аналогичных теоремах относительно других простейших функционалов на классе однолистных голоморфных в круге; указание связи полиномов Бранжа с решениями уравнения Лёвнера с постоянным управлением; вывод формулы для производящий функции для полиномов Бранжа; вывод формулы типа Кристоффеля-Шварца для конформного отображения полосы (полуплоскость) на специальные области с симметрией переноса.

Методы исследования. Основные результаты диссертации доказаны с использованием различных методов геометрической теории функций, теории дифференциальных уравнений: вариационных методов, параметрического метода Лёвнера, оценок интегралов, нахождения решений дифференциальных уравнений посредством нахождения интегрирующих множителей и др. В работе развивается метод параметрического представления и находятся новые приложения идей, использованных Кристоффелем и Шварцем при выводе общей формулы для отображения круга на многоуголышк.

Научная новизна и практическая значимость. Результаты, представленные в диссертации, кроме введения и частично §5, а также некоторых подготовительных результатов в §§ 1,2, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Достоверность утверждений обосновывается полными математическими доказательствами.

Основными результатами, выносимыми автором на защиту, являются следующие:

1. Получены экстремальные управляющие функции в уравнении Лёвнера в теореме вращения на классе £ голоморфных в единичном круге однолистных нормированных функций.

2. Посредством интегрирования уравнения Лёвнера с этими управляющими функциями найдены лёвнеровские семейства, сходящиеся к экстремальным функциям в теореме вращения.

3. Найдены экстремальные управляющие функции в уравнении Лёвнера в задачах о множестве значений на классе 5 функционалов, характеризующих поведение функций :: их логарифмических производных и доказана точность соответствующих оценок Грунского.

4. Установлена связь между решениями уравнения Лёвнера с постоянным управлением и экспоненциальными многочленами Бранжа, участвующими в данном им доказательстве гипотезы Милина и гипотезы Бибербаха. Получена производящая функция для полиномов Бранжа и их представление в виде сумм ортогональных полиномов Якоби.

5. Выведена формула, аналогичная формуле Кристоффеля-Шварца, для функции, конформно отображающей полосу на область с симметрией переноса и с границей, составленной из отрезков и лучей.

Аиробацня работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах по геометрической теории функций в Томском государственном университете, на Международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 70-летию академика Ю.Г.Решетняка (30 августа-3 сентября 1999 г., г.Новосибирск), в школе-семинаре, посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф.Егорова (13-18 сентября 1999 г., г.Казань), на Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000» (20-22 апреля 2000 г., г.Москва, МГУ), на XXXVIII Международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», посвященный 100-летию со дня рождения основателя Сибирского отделения РАН академика М.А.Лаврентьева (10-14 апреля 2000 г., г. Новосибирск, НГУ), на IV Сибирском конгрессе по индустриальной и прикладной математике, посовященном 100-летию со дня рождения академика М.А.Лаврентьева (26-30 июня 2000 г., г. Новосибирск).

Основные результаты автора опубликованы в работах [20]-[28]. Все результаты из совместных статей, используемые автором в тексте диссертации, получены им самостоятельно.

Структура работы. Диссертация состоит из списка основных обозначений, введения, трех глав (разбитых на параграфы), библиографии, оглавления и изложена на 80 страницах. Библиография диссертации содержит 79 наименований.

В. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Охарактеризуем содержание работы в целом, сохраняя нумерацию глав, параграфов, утверждений, принятую в работе.

Первая глава диссертации посвящена нахождению управляющих функций Д г) в уравнении Лёвнера

Ц- = S [, 0<t<co, = z £ Е \ {0}, (*)

соответствующих семейству решений Q = /(г,z; р), для которого функция •

/(z) = limer/(r,z;//) (**)

Г-*Ю

является экстремальной в задаче об оценке сверху функционала /(/,z0) = arg/'(z0) на классе S при фиксированном z0e£A{0} .

В § 1 показывается, что множество D(z0) значений функционала /(/, z0) на классе S ограничено, замкнуто, связно, симметрично относительно нуля и не зависит от argz0. В дальнейшем считаем -0=г, 0</<1. Вариационным методом устанавливается, что экстремальная функция относительно /(/,z0) отображает круг Е на область, полученную из плоскости проведением из бесконечности кусочно-аналитических разрезов и поэтому / е ,S' с S . Разрезы имеют не более двух концевых точек, лежащих в конечной части плоскости.

Класс S' состоит из тех и только тех функций класса S, которые отображают Е на область, получающуюся исключением из плоскости обобщенно кусочно-непрерывных кривых.

Каждая функция fiz) е S' может быть представлена в виде (**). Функция Дг) в (*) обобщенно непрерывна (т.е. непрерывна в топологии С), за исключением конечного числа разрывов, и имеет модуль, равный единице.

Функцию Дг)=Дт;/-), которой соответствует экстремальная функция в задаче о max arg/'(г), / eS, /"6(0,1) фиксировано, будем называть экстремальной управляющей функцией.

В § 2 сначала дается интегральное представление функционала I(f,r). Пусть р(т,г) - экстремальная управляющая функция и Q = /(г, 2;р), f(0,z;p) = z , - соответствующее ей решение уравнения Лёвнера. Полагая р(т) = р(т,г;р) = | f(r,r;p)\, р(т)у(т) = f(r,r,p)p{z),

имеем

/(/,/■) =-2 Im J

г \

У-Р

у-

dp

1-р2

о V 1-/9V

После замены переменныхy=(i+t)/(i-t), s=(\-p)l(\+p), получаем

ds

'(У» = flo-

rae

, ч 2t. Ist 1 + r

OiTOTTVO IIUTAmOTTQ rm MD Г» Ь" ирпяприлтияи

А VI J/tW IM 1 liV|/MWVtlV A

1

|arg/'(z)|<

4arcsinr приО<г<-г_, >/2

, r2 1 . 1

/г + m-- mm—f=<r<l,

l-r2 F ^

ранее полученным Голузиным и Базилевичем.

Далее в этом же параграфе решается вопрос об экстремальном управлении

при ге (1,1/>/2). В этом случае ,-

. Л "> у , ч >

> = р-ф-р2 , р(т,г) = ге~х, Дт,г) = р(т,г)

а2(0)

где

г2ё~2г

и

А2(0)

Проводится интефирование уравнения Лёвнера с найденным экстремальным управлением. В итоге получена

ТЕОРЕМА 1. Экстремальной управляющей функцией в задаче о max l(f,r),

f<aS, г е ^0, y^jj, является функция

M(j) = г) = а (rj^re1 + i-J\-r2e~lx где

a(r) = r + i-Jl-r2 . Ей в классе S соответствует функция

z-rz2 V 1 -a(r)z .

Нетрудно проследить изменение области F0 (Е, г) с ростом г от 0 до Функция F0 (z,0) отображает круг Е на плоскость с разрезом от точки г/4 по той части мнимой оси, которая не содержит начала. При увеличении г начало разреза F0(a(r),r) перемещается по мнимой оси в направлении от нуля и

разрез поворачивается против стрелки часов. При г=\/-^2 разрез начинается

в точке />/2/4 и параллелен отрицательной части вещественной оси.

В §3 продолжено исследование управляющих функций при г е [1/72,1). Установлено, что для каждого г они не единственны. В этом случае имеем две непрерывные функции

\ + ^2р2 -1 .1±^2р2-1

д2(/0 =—---»—-

2 р 2 р

и бесконечно много кусочно-непрерывных функций, составленных из чередующихся сужений у\(р), у2(р) на попарно непересекающихся промежутках, объединение которых дает промежуток \/42<р<\. Неявная зависимость р от г дается формулами

<р{р)-<р 00 = 7,

где

.1 -Р2

<р{р) = 1п 1+

arceos-

Для сокращения записи индексы «1», «2» опускаем. Учитывая, что

. -/ !п —

/(т,г) = ре"е >

и формулу /(г, г)ц{т) = р(т, г)у{т), получаем

Mp) = Q(p)y(p),

где

Q(p) = ехр^ /

<р(р)-ф)~ 1п — г

В результате интегрирования уравнения Левнера с найденными управляющими функциями получаем следующую теорему.

ТЕОРЕМА 2. Экстремальными управляющими функциями в задаче о

шах/(/,/"), /е5 , г е^/<¡2,1^,являются функции Я(Р)У(Р), 0<г<Г°,

/¿(г) = -

где

а (r)\re ' + i*Jl~r2e 2r j , r° < г < 00, = ехр< i <р(р) - <p(r) - ln L

l + y¡2p2-l \±42p2-\

y(P)=---'--

2 p 2 p

. <p(p) = Цг+ ^¡2p2 -1 j ± ^ arceos f-,

т = (р{р)-<р{г),

a{r) = r + i'Vl-r2 , = p(r).

Этим функциям в классе S соответствуют функции

1

F(z,r) = e-^F0

я.

где C(t0,z) - решение уравнения

In

в котором

QoCo

= (! + /) ) + In

Я.

+/ln

r-z

l-rz

Qo = е*Р1 - i

(p{r) + ln

4Ír

Во второй главе даются применения метода параметрических представлений к исследованию некоторых экстремальных задач и полиномов Бранжа.

В § 4 находятся экстремальные управляющие функции в уравнении Лёв-нера относительно функционалов

/,(/>„) = In

Я*о)

на классе 5 при фиксированном г0 е Е \ {0} ; не умаляя общности задач можно считать г0=г, 0<г<1.

Грунек им были получены оценки

АСА О-in

i

l-r2

, |/2(/,,)|<lnj±^ l-r l-r

указывающие мажорантные области значений функционалов соответственно

ьал Щг).

Пусть цг- произвольное число из промежутка [0,2л). Если в уравнении Лёв-нера взять функцию Дг), \р(г)\=\,

arg//(r) = sin^

l-r 1-р

— \¡/—JI

где зависимость между х\\р дается уравнением

т = <р{г)-<р(р)

(р{р) = 1п —+ сое у/ 1п —— ,

1-/Г 1 -р

го соответствующая этому /¿(г) функция класса Б будет обеспечивать равенство в оценке 1\{/,г), данной Грунским.

Аналогичной функцией для оценки 1г(/,г) является

М А г) = ехр г —-£-Г - —-£-- - агс^ -

+ 1-2/ЗС05^/ + р (1 +/Г ) ССМ (У - 2/3

где

р = р(т) =

l + wcosyf-yjl + 2wcoslff-w2 бш2 у/.

2 е~тг

и> =

1-2ГС05^ + Г2

Таким образом, указанные выше мажорантные области значений функционалов 1\(/,г), Ь(/,г) являются областями значений этих функционалов.

В § 5 приводятся ранее известные результаты о функционале Милкна и полиномах Бранжа в том объеме, который используется в следующем параграфе.

И.М.Милин установил следующие неравенства между модулями тейлоровских коэффициентов функции

д2)=г+с2(/)г2+...+Сле/>"+...

сласса 5" и модулями тейлоровских коэффициентов разложения

Ч/ФЛ (1

— Ш- — — I

0 г 2'

2 ^ о

'гоо 1 ■

ск = Г1(/)2 + у2(Лг2 + +...,

называемых логарифмическими коэффициентами функции /(г): \с„(/)\<пе'м^ («=2,3...),

Ж

МЛ) = ~ функционал Милина.

п А.=1 к

Луи де Бранж доказал, что Д/„(/)>0 для/е Б и тем самым доказал сггравед-швоеть гипотезы Бибербаха. Важным оказался известный ранее факт, что минимум функционалу Милина дает функция / е 5" .

Пусть £> - односвязная область с конформным радиусом относительно пуня, равным единице, получающаяся исключением из С обобщенной жордано-юй дуга не проходящей через нуль. Пусть Дг),Д0)=0, - функция, отобра-кающая Е на СМ. Параметрическое уравнение „кривой Ь можно взять в виде

w=ç{t), 0<z<co, таком, что после присоединения к C\L дуги A={w:\v=ç(i 0</<г} функцию w= yAz, г), отображающую круг Е на получившуюся облает можно полагать нормированной условием i/Kz,f)=eIz+... и продолжаемой i границу круга Е. Семейство функций yKz,t) при г—»0 равномерно сходитс внутри Е к fiz). Обозначим через Дг), 0<г<со, точку единичной окружност: отображаемую функцией в точку (p(j) границы области (C\L)uv

Функция y/(z, г) удовлетворяет в Е уравнению Лёвнера в частных произво' ных

dy _ dy/ n{f)+z dr dz p{r)-z

Положим

lial(^l = ri(t)z + r2(t)z2+... + rn(T)z''+... 2 e z

Функции Гк(т) (¿=1,2...) является компонентами решения системы

т=1

управляемых линейных уравнений первого порядка, причем Гк (0) = ук (/) ПМ=0.

Введем в рассмотрение систему обыкновенных дифференциальных л», нейных уравнений первого порядка (в ней л=2,3... фиксировано).

, л-m-I

хш,п = ~2т X-(яг= 1,..., /7-2), /

Vi.» =-(«-1K-i,„-Обозначим ее решение, удовлетворяющее условиям хт п(0)=п-т, через

хп(г) = {х1>л(г),...,хй_1л( г)}.

ДляЛ"т,г(г) обычным способом получаем формулу

^w-gt-e-if2» V",

^î-fflA"-1"^

показывающую, что Хт,п(т) - полином относительно е\

На множестве решений указанных систем уравнений, следуя Л.де Бранжу зададим функцию

ш = 1 Л

имеющую при 7=<ю значение нуль, а при z=0 - значение Mn(j).

Производная

в-1

чде т2т п (г) = Хт п (г) < 0 неположительна на любом допустимом управле-гииДг), 0<г<а>. Отсюда следует неравенство Мп(/)>0 для / е5'.

Функции 2т л(т),Хтп(г) называют экспоненциальными многочленами зранжа.

В § 6 устанавливается связь между полиномами Бранжа и указывается для шх производящая функция.

ТЕОРЕМА 5. Полиномы Бранжа Хтп(т) (п~2, 3,...; т= 1, 2,..., п-1) представляются в виде

■да ит „(г) — коэффициенты разложения

оо

Г(г,г)= Уи>1т(гЪ"-]

п-гпН

п-ой степени решения

= -- м/ = 2е ■

2IV

'равнения Лёвнера с управляющей функцией и(т) = -1. ТЕОРЕМА 6. Функция

Та(т,1) = —(«=),2,...) (1-2)

вляется производящей для полиномов X т п(т):

7-и(г,г)= ¿Хя,п(г)2".

Л = /7И 1

ТЕОРЕМА 8. Имеет место следующее представление

к-о

де (х) - полиномы Якоби.

Множество полиномов 2я>л(г) можно рассматривать как двухиндекс-

ую последовательность. Соседние (по индексам) функции связаны форму-ами

Отметим также, что

Jk+n Vir

Глава 3 целиком посвящена выводу формулы для конформного отображе ния полосы (полуплоскости) на некоторые области с симметрией переноса Исследования примыкают к классическому результату Кристоффеля и Швар ца об общем виде функции, отображающей полуплоскость на многоугольник.

Пусть DczC - односвязная область, совпадающая с собой при перенос! вдоль вещественной оси на отрезок Т, 0<Г<+оо. Будем считать, что границ; fr D области D, понимаемая как совокупность простых концов по Каратеодо ри, состоит из отрезков, лучей и прямых и удовлетворяет следующему уело вию: если w0e fr D, м^00, то дуга [w0, w0+7] границы, начинающаяся в точк< w0 и заканчивающаяся в точке w0+T, состоит из конечного числа отрезков i лучей. Двигаясь по границе Каратеодори области D в положительном направ лении, будем обозначать последовательно встречающееся угловые точки ipa

ницы через н{0), \v(20),..., w'/', w*0) ^ + Т {п=\, 2,...), а углы области I соответственно ахк, а2л ,..., а„тс. Если ivf' е С, то 0<а5<2; если ж< >v<0) = оо, то as=0. Легко видеть, что а]+и2+...+«„=«.

Возможны два случая: множество

или совпадает с границей области Д или не совпадает с ней. В первом случй< мы говорим, что Б есть область типа полуплоскости, во втором - типа поло сы.

В § 7 рассмотрен случай полосы. Фиксируем на /г £)И0 конечную точю а>й. Пусть

которое в объединении с L0 образует границу области D. Обозначим чере: w=ßz) функцию, однолистно и конформно отображающую полосу 0<lm z<г}, где т- фиксированное число, на D с условиямиу(0)=^о) lim Дг)=а

00

U^o+^^o+^ + lF)

А = [}[coü + kT,wü+(k + \)T]

ш Re 2-»оо и ze Д Двигаясь от йь к олгТ в положительном направлении по D будем обозначать последовательно встречающиеся угловые точки через

,(0) (0) (0) „(О) , „(О) /-_._ 1 1 \ „..„„.»с---_„ п _________

'[ , СО2 ,..., U>m , wm cfj —i , у/Л— I, ), а у1Лы uOjiawin lj — \,ui>inCii,i-

:нно ßxn, ß27lßmn. Пусть Z=(f{w) - функция, обратная К yv=j{z) и (fiwQ+T). Тогда f(z+t)=fiz)+T для любого zeü. Пусть af} = <p(w(s0)), |0) = ç(co{s0>). В данной работе установлена формула

•=1 »-I

le z0 - фиксированная точка в замыкании Д из которого удалены точки

f } + kt, b(s0)+kt (AeZ), G(z) - целая функция, не обращающаяся в нуль,

'z) - сигма-функция Вейерштрасса.

В § 8 приводится для полноты изложения формула; [Ап] для функции Xz), гображающей полуплоскость на область типа полуплоскости. В указанных >нне обозначениях имеем

dÇ + f(z0).

Случаи полосы и полуплоскости качественно различны. В первом из них в [писи отображения участвуют дважды периодические функции, а во втором функции с одним периодом.

Список литературы

Голузин Г.М. О теоремах искажения в теории конформных отображений //Матем.сб.1936.т.1(43). С.127-135.

Базилевич И.Е. Sur les théorèmes de Koebe-Biebrbach //Матем.сб.1936.т.1(43). С.283-292.

Löwner К. Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Ein-beitskreises//Math.Z.1923.v.7.№3. P. 103-121.

Лаврентьев M.A., Люстерник Л.А. Основы вариациотюго исчисле-ния.//т.1.ч.2,М.:ОНТИ,1935 (Дополнение II "О некоторых экстремальных задачах в теории конформных отображений").

Schiffer M. A method of variation with in the family of simple functions //Proc.London Math.Soc. 1938.44(ser 2). P.432-449.

f(z) = f'(z) ]g(Ç)Y\

. я sm — / (f

. л sm — t

6. Голузин Г.М. Метод вариаций в конформном отображе! //Матем.сб.1946.т.19. С.203-236.

7. Лебедев H.A. Принцип площадей в теории однолистных фу] ций.//М. :Наука, 1975.

8. Митюк И.П. Принцип симметризации для кольца и некоторые его прш пения //Сиб.матем.журн. 1965.№6. С.1282-1291.

9. Дубинин В.Н. Симметризация в геометрической теории функций кс плексного переменного //Успехи матем.наук.1994.т.49.в. 1(295). С.3-76.

10. Милин И.М. Однолистные функции и ортонормированные систе! //М.:Наука.1971.

11. Лебедев H.A., Кузьмина Г.В., Аленицын Ю.Е. Методы и результаты п метрической теории функций. В книге Г.М.Голузина "Г'еометричесь теория функций комплексного переменного" //М.:Наука.1966. C.532-62«

12. Куфарев П.П. О вариационной форм>'ле Г.М.Голузина /вопросы мате.\ тики и механики: Тр.Томск.ун-та.1963.т.163. С.58-62.

13. Александров И.А., Попов В.И. Оптимальные управления и однолистн! функции //Ann.Univ.Mariae Curie-Sklodowska. 1968-1970. Ser.A. v.22-1 P. 13-20.

14. Александров И.А., Завозил Г.Г., Копанев С.А. Оптимальные управлен в задачах о коэффицентах однолистных функций //Дифференциальш уравнения. 1976.т.12.№4. С.3-19.

15. Прохоров Д.В. Методы оптимизации в экстремальных задачах для одн листных функций //Докторская диссертация. Новосибирск. ИМ СО РА 1990.

16. Попов В.И. Область значений одной системы функционалов на классе //Труды Томск.ун-та.1965.т.182. С.107-132.

17. de Branges L. A Proof of Bieberbach conjecture //Preprints LOMI.l 984 ,№E-84. P.l-33

18. Fitzgerald C.H., Pommerenke Ch. The de Branges theorem on univalent fun tions //Trans.Amer.Math.Soc.l985.v.290.№2. P.683-690.

19. Fomenko O.M., Kuzmina G.V. The last 100 days of the Bieberbach conjectu: //Math.Intell. 1986. v.8.№ 1. P40-47.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

20. Александров И.А., Александров А.И. Экстремальные управляющие функции в уравнении Лёвнера в теореме вращения // Доклады РАН. 2000. т. 371, №1, С. 1-3.

21. Alexandrov A.I., Alexandrov I.A. On Theorems of rotation. International Conference on Analysis and Geometry devoted to the 70"' anniversary of Yurii Grigore'vich Reshetnyak. August 30-September 03 1999, Novosibirsk. Russia. P.5.

22. Алекссандров А.И. Экстремальные управляющие функции в уравнении Лёвнера // Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000». М. Изд-во МГУ, 2000, вып. 4, с. 317.

23. Александров И.А., Александров А.И. О граничных функциях для простейших функционалов // Исследования по математическому анализу и алгебре. Изд. Томск, ун-та, Томск, 1998, с. 3-9.

24. Александров И.А., Александров А.И., Касаткина Т.В. Функционал Ми-лина и полиномы де Бранжа // Актуальные проблемы современной математики. Сб. науч.трудов. т. 3. Новосибирск. Изд-во НИИ МИОО АГУ. 1997. с. 13-18.

25. Александров А.И. Отображения на специальные области с симметрией переноса // Материалы XXXVTII международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», посвященной 100-летию со дня рождения основателя Сибирского отделения РАН академика М.А.Лаврентьева. Новосибирск, НГУ, 2000. С. 133-134.

26. Александров А.И. Конформные отображения полосы на области с симметрией переноса // Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск. 2000. С. 5-10.

27. Александров А.И. Конформные отображения полосы на области с симметрией переноса // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы школы-конференции, посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф.Егорова (Казань, 13-18 сентября, 1999 г.). Казанское математическое общество. 1999. С. 14.

28. Александров И.А., Александров А.И. Конформные отображения полосы и полуплоскости на области с симметрией переноса // Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-

2000), посвященный памяти М.А.Лаврентьева (1900-1980). Тезисы докладов. Часть 1. Изд-во МН СО РАН, Новосибирск, С. 146.

Список основных обозначений 2

Введение 4

Глава 1. Теорема вращения. Экстремальные управляющие 18 функции в уравнении Левнера в теореме вращения

§ 1. Свойства экстремальных функций 20

§ 2. Экстремальные управляющие функции ц(т) при 24

0<г<1/ л/2

§ 3. Функция ц(т) при I / л/2 <г<1. Интегрирование уравнения 33

Левнера

Глава 2. Применение метода параметрических 40 представлении в исследованию некоторых экстремальных задач

§ 4. Об экстремальных управляющих функциях для 40 простейших функционалов

§ 5. Функционал Мишина и полиномы Бранжа 48

§ 6. Полиномы Бранжа и решения уравнения Левнера с 52 постоянным управлением

Глава 3. Конформные отображения полосы и полуплоскости 60 на области с симметрией переноса

§ 7. Область типа полосы 62

§ 8. Область типа полуплоскости 66

Работа посвящена исследованию геометрических и экстремальных свойств классов однолистных аналитических функций одного комплексного переменного. В работе указаны те управляющие функции в уравнении Левнера, которым соответствуют экстремальные функции в теореме вращения, аналогичные задачи решены для граничных функций относительно простейших функционалов на классе однолистных голоморфных в круге функций, указана связь полиномов Бранжа с решениями уравнения Левнера с постоянным управлением, получена формула для производящей функции для полиномов Бранжа, выведена формула типа формулы Кристоффеля-Шварца для конформного отображения полосы (полуплоскости) на специальные области с симметрией переноса.

Актуальность темы. Краткие исторические сведения. Доказанная в 1907 г. П Кебе [1],[2] теорема о существовании круга, покрываемого образами единичного круга E = {z:\z\<\) при отображении голоморфными в нем однолистными функциями f(z) = z+c2(f)z2 +. + cn(f)zn +. (их совокупность образует класс S), стимулировала рост интереса к экстремальным задачам геометрической теории функций. Л.Бибербах [3], основываясь на теореме площадей Гронуолла [4], доказал в 1916г., что радиус круга, указанного Кебе, равен 1/4. В более поздней работе Л.Бибербах [5] дает точную оценку модуля производной на классе S и неточную оценку аргумента производной. Точная оценка arg f'(z) на классе S была получена Г.М.Голузиным [6] и И.Е.Базилевичем [7],[8] и составила содержание теоремы вращения. Доказательство основывалось на методе, предложенном в 1923г. К.Левнером [9] и, в частности, на выведенном им уравнении для семейства отображений на области специального вида. Создание вариационных методов

М.А.Лаврентьевым [10],[11], М.Шиффером [12],[13], Г.М.Голузиным [14],[15], метода площадей Н.А.Лебедевым [16],[17], метода симметризации И.П.Митюком [18],[19], В.Н.Дубининым [20],[21], метода ортогональных многочленов в теории однолистных функций И.М.Милиным [22],[23], разработка этих методов и их применений многими авторами качественно изменило содержание теории экстремальных задач на классах однолистных функций (см. обзорную статью И.Е.Базилевича в книге "Математика в СССР за сорок лет" [24], статью Н.А.Лебедева, Г.В.Кузьминой, Ю.Е.Аленицына [25], статью И.А.Александрова, И.М.Милина [26]). Были доказаны теоремы об экстремальных функциях относительно функционалов и их систем общего вида. Оказалось, что во многих случаях экстремальные функции отображают каноническую область на плоскость с разрезами. Отсюда следовало, что их можно рассматривать как предел решений уравнения Левнера с соответствующей управляющей функцией. Важное место заняли предложенные П.П.Куфаревым [27],[28] и Н.А.Лебедевым [25] методы, объединяющие метод параметрических представлений Левнера и метод вариаций Голузина. Их развитию и приложениям посвящены работы П.П.Куфарева [29], И.А.Александрова [30],[31], В.В.Черникова [32],[33], М.И.Редькова [34], В.Я.Гутлянского [35], В.В.Горяйнова [36]. Ими были найдены мажорантные области значений для многих функционалов, причем в большом числе рассмотренных задач они оказались совпадающими с областями значений соответствующих функционалов. Вопрос о представлении в явном виде граничных функций был решен лишь для небольшого числа задач, поскольку он оказался, вообще говоря, очень сложным.

И.А.Александров, С.А.Копанев, В.И.Попов, в работах [37],[38] указали примеры эффективного использования метода параметрических представлений и теории оптимального управления

Понтягина. Глубокое исследование в этом направлении проведено Д.В.Прохоровым [39].

Метод параметрических представлений Левнера, позволивший еще в 1923 г. доказать точную оценку |с3(/)|<3,/ [9], и тогда же дать точные оценки коэффициентов разложения по степеням и> функцией (», обратных функциям класса Я, был применен

В.И.Поповым [40] к исследованию системы функционалов на классе £. Были получены важные теоремы о строении границы в Л4 множества значений этой системы. В частности, указаны семейства прямолинейных отрезков, принадлежащих границе.

Замечательное применение метода Левнера было дано Луи де Бранжем [41],[42] при доказательстве справедливости гипотезы И.М.Милина [22] (стр.72), [43], о логарифмических коэффициентах и, как следствие, при получении неравенства |си(/)|<л,/е£,й = 3,4,., составлявшего до работы Бранжа содержание гипотезы Бибербаха, высказанной в 1916 г. [3]. Отметим, что исследования, связанные с привлекательно простой формулировкой гипотезы, способствовали развитию методов геометрической теории функций и существенно обогатили ее. Проблемой коэффициентов занимались многие видные математики: Литтлвуд [44], Дьедонне [45], И.И.Привалов [46], К.И.Бабенко [47] и другие. Достаточно подробно история исследований освещена в работах Фитцжеральда и Поммеренке [48], О.М.Фоменко, Г.В.Кузьминой [49], И.А.Александрова, И.М.Милана

В § 6 этой работы указывается связь экспотенциальных полиномов Бранжа с решением уравнения Левнера. В первой главе и начале второй главы излагается способ нахождения экстремальных управлений в уравнении Левнера применительно к простейшим

26]. функционалам. В частности, устанавливается управляющие функции в теореме вращения на классе S.

Большое место в практике конформных отображений занимают отображения многоугольников, определяемые с помощью формулы Кристоффеля-Шварца [50],[51], относящейся к классическим результатам теории функций комплексного переменного. Многочисленные примеры использования этой формулы даны в [52]. В данной работе получено полное решение задачи о виде функции, дающей конформное отображение полосы (полуплоскости) на области с симметрией переноса, дополняющее формулу Кристоффеля-Шварца.

Цель работы. Найти управляющие функции в уравнении Левнера, соответствующие экстремальным или граничным функциям относительно функционалов на классе S, зависящих от значения функции и производной, в частности, для аргумента производной. Установить и использовать связь между полиномами Бранжа и решениями уравнения Левнера. Найти производящую функцию для полиномов Бранжа. Дать их представление через специальные функции. Дать вывод формулы для конформного отображения полосы на области с симметрией переноса и с границей, составленной из прямолинейных отрезков.

Перейдем к краткому содержанию работы. Основной целью главы 1 является нахождение управляющих функций ju(г), | ju(t) |= 1, в уравнении Левнера ат ju(T)-g для которых функция

0) = lim e*g(T,z)

Т-УО экстремальна в задаче о шах arg f(z0),z0 gE\{ 0} и фиксировано, то есть в теореме вращения на классе S. В исследовании используются известные и новые факты в том их соединении, которое далает изложение более полным, цельным и удобным для проверки.

В § 1 отмечаются некоторые свойства множества 1)(ги) значений функционала

7(/,г0) = = г0еЕ\{0}, о / ($") на классе где интегрирование выполняется по любой кусочно-гладкой кривой, начиняющейся в нуле и оканчивающейся в точке г0. Множество И(г0)еК ограничено, замкнуто, связно, не зависит от ащг0, симметрично относительно нуля. Поэтому для нахождения £>О0) достаточно найти (г) = тах/(/,г), г е (ОД) и фиксированно. е5

Пусть функция /(г) доставляет максимум функционалу 1(/,г) на классе £. Предположение о том, что область /(£') имеет внешнюю точку, пусть м>0, легко приводится к противоречию посредством использования вариационной формулы в £

Мг) = № + еА /1(2) , /00 где а > 0 и А - произвольная постоянная. Используя вариационную формулу Голузина

А) =/(*) + «>(*, + А), где д) = АН2(д) /У] + АК{х,д) + АК(г,I),

А - произвольное комплексное число, д - произвольно фиксированная точка в Е, $") 2 д-г 2 и o(z,h) - величина более высокого порядка малости, чем h, на любом замкнутом множестве из Е, получаем для экстремальной функции fig) уравнение

2fig)-fir) g2f2jg) Q„is) (/(g)-f(f))2 f2(g) ig-r)\g-1-f г в котором Qnig) - полином не более чем четвертой степени.

Из аналитической теории дифференциальных уравнений известно, что решение / ($•) можно продолжить на границу единичного круга и что на ней fig) кусочно-аналитична. Объединяя этот результат с фактом отсутствия внешних точек у f(E) заключаем, что f(E) - область, полученная из плоскости проведением из бесконечности кусочно-аналитических разрезов. Учитывая, что первая часть уравнения имеет не более четырех нулей устанавливаем, что разрезы имеют не более двух концевых точек, лежащих в конечной части плоскости. Поэтому fig) принадлежит классу S'<zS функций, отображающих Е на плоскость с исключенными обобщенно кусочно-непрерывными кривыми. Значит, существует кусочно непрерывная функция //(г),| //(г) |= 1, такая, что z) = limer/<V,z,//), г->со где fiz,z,ju) = e~Tz + . - решение уравнения Левнера с начальным условием /(0,z,ju) = z.

В начале § 2 дается представление /(/» как функционала на множестве указанных выше функций //(г), точнее функций, полученных из них заменой переменных. Пусть р(т) = р(т, г, /л) =1 /(г, Z,fi) I, р(т)у(т) = fir,r,fi)fi(r). Заменив т на р согласно формуле йт ■

10

11 - ру I2 Ф

1 ~Рг Р и используя уравнение Левнера получаем = - 21т} М о V

У~ Р У + - к

1-Р2

Здесь у(р,г) - некоторая комплекснозначная кусочно-непрерывная функция от р,0< р <г, с модулем, равным единице. Пусть у = — = 1-Г 1 + р

Тогда где

2? 25/ 1 — г

1+*2 52+/2' 1 + г'

Это интегральное представление /(/» приводит к оценке агд/'(г ),/;е'£, установленной Голузиным и Базилевичем.

Затем восстанавливается функция //(г) при 0 < г < и проводится интегрирование уравнения Левнера с этой управляющей функцией.

Теорема 1. Экстремальной управляющей функцией в задаче о тах/(/»,/ еб",г е (ОД/л/2), является функция ц(г) - //(г,г) = а~2(г)(г+ Ы\-г2е~гт^, где а(г) ~г + .

Ей в классе Я соответствует функция г-п1 г 1 -а(г)г , г, г) =-- = - , сЬ .

1 -ф)х)2 {(1-а(г)2у

Рассматриваются геометрические свойства реализуемых функциями семейства Р0(г,г) при изменении г от нуля до 1/л/2 .

В § 3 восстанавливается функции //(г) при < г < 1 и л/2 проводится интегрирование уравнения Левнера с этими управляющими функциями.

Теорема 2. Экстремальными управляющими функциями в задаче о тах/(/»,/ е Я, г е (ОД/л/2), являются функции

Г 0 < г < г°, 1-2 где а2(г)(ге Г +Ы\-г2е 2т 1 <г<ос,

Х/>) = + 42р2-\ .1 ± л/2

2/> р) = 1п(1 + л/2/>2 -1) ± — агссоБ

2 рг - (р{р) - (р{г), а(г) = г + /VI - г2 ,р(г°,г) = 1/л/2. Этим функциям в классе Б соответствуют функции где д12 (т0, г)—решение уравнения (относительно д0) 1 г V л12 У г-г

1-гг в котором ( п бо = ехЫ-/ +

I I

Отметим, что наряду с двумя указанными функциями д(р) в качестве функций, приводящих к экстремальным управлениям, можно взять функцию, равную одной из д(р) на системе попарно непересекающихся интервалов, и другой - на дополнении этой системы.

В главе 2 даны применения метода параметрических представлений в исследованию некоторых экстремальных задач.

Нахождение тех р(т), которым соответствуют в Я' функции, вносящие граничные точки в множества В, (г),02(г) значений соответственно функционалов о /Оо) посвящен § 4. Можно считать г0 = г е (ОД). Методом параметрических представлений доказана ранее установленная Грунским [53].

Теорема 3. Множество Д(г) значений функционала /, (/, г) на классе 8 принадлежит замыканию круга Кх (г), имеющего центр в точке 1п —— и радиус 1п . 1 -г~ 1 -г

Для доказательства совпадения £>, (г) с кругом К} (г) достаточно указать либо функции в вносящие граничные точки в Кг (г), либо управляющие функции //(г), которым соответствуют граничные функции. Вторая из этих возможностей реализована в данной работе указанием формулы т) = м(т,г) = -ехри Л Л \ / 1 + Г 1+р 8Ш у/ 1П--1П V

1 -г 1 -р где у/ - постоянная, у/&[0,2л), и монотонная функция р = р(т) определяется уравнением т = (р{г)-(р(р), где р{р) = 1п—+ ^ + Р . 1 -р2 1 -р

В аналогичной задаче для /2(/,г),/е59 экстремальной управляющей функцией является ч , ч . 2sinw 2úny/ (1 — /? )sinщ т) = //(г,г) = ехр^-——-Г + Г^-~ - arctg ^ l-2pcosx¡/ + p l-2rcos^ + r (1 -р )cosy/ - 2р где у/ - постоянная, у/ е [0,2л) и

1 + wcosy/- yJl + 2wcosi/f-w2 sin2 у/

Р = P(j) = w = w

2 e~Tr l-2rcos^ + r2

Таким образом, множеством D2(r) значений функционала I2(J,r) на классе S является замкнутый крут с центром в нуле и радиусом In-.

-г

Для точек из Dl(r),D2(r), лежащих на вещественной оси, нетрудно указать функции из S, вносящие эти точки. В общем случае нахождение граничных функций рассматриваемым методом связано с решением довольно сложных дифференциальных уравнений.

В § 5 приводятся ранее известные результаты относительно функционала Милина

Мп (/) = - f О - к21 ук (/) |2 п Е N \ {1}, п к=1 к на классе S функций

00 = r + 2>t C/V;

4=2 через ук СО обозначены логарифмические коэффициенты разложения iin ^ = ±гЛ/У. 2 z

JI.де Бранж доказал, что min Мп (/) достигается на функции Кебе feS

К (z) =--—-,0<<р<2тг, v (1 -el(pzf и, опираясь на неравенство Милина cn{f)\<ne'M^ {п = 2,3,.), где иЧ/ ^п-к

М. » ~ , к завершил доказательство неравенства \сп(/)\<п,/ е предположение о справедливости которого было сделано Л.Бибербахом.

Важную роль в доказательстве Бранжа играет система обыкновенных дифференциальных линейных уравнений первого порядка (в ней п=2,3, .п- фиксированно) п~т-1

Система имеет постоянные вещественные коэффиценты и, следовательно, ее решение существует на всей действительной оси и единственно в условиях задачи Коши.

Решение системы, удовлетворяющее условиям хт>п(0) = п-т, обозначим через

Для Хт „ (т) имеем формулу ю^Енг-1 д=т Ц У д + п л п- 1-я показывающую, что Хтп(г) - полином относительно е~г. Функции

Хт,п{т),1тп(г) = -Х\п( г) т называются экспоненциальными многочленами Бранжа.

В § 6 устанавливается и изучается связь полиномов Бранжа и решений уравнения Левнера с управляющей функцией ¿и(т) = -1. Интегрирование уравнения и разложение решения д(т,г),д(0,г) = г, дает и

Е(-1 г1 1

2^ + 1

V 13 Уч + п - Л г = е^г + 2е-т(\-е'т)г2 + е~Г (1 - е~т )(3 - 5е~т)г3 +. Фиксируем т&И. Разложение дт(т,г) по степеням г имеет вид

СО и=ст+1

Теорема 5. Полином Бранжа Хтп(г) (п = 2,3,.;/» = \,2,.,п-\) представляется в виде п-1 т

Теорема 6. Функция

ТЯМ

-дт(г,2) (пг = 1,2,.) является производящей для полиномов Хтп(х): со и=т+1

Теорема 7. Функция п=т+1 является производящей для полиномов 2тп(т).

Теорема 8. Имеет место следующее представление: п-т-\ к=О где (х) - полиномы Якоби.

Отметим два свойства производящей функции Тт(т,г)

Г =-Т +т т л т+\ *» * т т +1 т т+\ ? т~1с т + к-\ т-к Г X т,п к + п п-к-1

-кг У где*=1,2,.,п-1;п=2,3,.

Глава 3 целиком посвящена выводу формулы для конформного отображения полосы (полуплоскости) на некоторые области с симметрией переноса. Исследования примыкают к классическому результату Кристоффеля и Шварца об общем виде функции, отображающей полуплоскость на многоугольник.

Пусть DgC- односвязная область, совпадающая с собой при переносе вдоль вещественной оси на отрезок Т,о< Т < +«>. Будем считать, что граница frD области D, понимаемая как совокупность простых концов по Каратеодори, состоит из отрезков, лучей и прямых и удовлетворяет следующему условию: если w0 е frD,w0 ^оо, то дуга O0,w0+r] границы, начинающаяся в точке w0 и оканчивающаяся в точке w0 +Т, состоит из конечного числа отрезков и лучей. Двигаясь по границе Каратеодори области D в положительном направлении, будем обозначать последовательно встречающиеся угловые точки границы через w\°\wf}* wf0) +Т(л = 1,2,.), а углы области D соответственно ахп,а2я,.,апп. Если wfeC, то 0<as <2; если же wf} =оо, то as -0. Легко видеть, что ах +а2 +.+ап = п.

Возможны два случая: множество к=- со или совпадает с границей области D, или не совпадает с ней. В первом случае говорим, что D есть область типа полуплоскости, во втором -типа полосы.

В § 7 рассмотрен случай полосы. Фиксируем на frD\L0 конечную точку о)0. Пусть оо к= Uk+*2>o+(* + lFl к - <с

- множество, которое в объединении с Ьо образует границу области D. Обозначим через w=f(z) функцию, однолистно и конформно отображающую полосу Q-{z :0<lmz <г}, где т - фиксированное число, на D с условиями/(0)=w0, lim/(z) = оо, при Rez -» -да, Rez и z е Q. Двигаясь от щ к щ-Т в положительном направлении по frD будем обозначать последовательно встречающиеся угловые точки границы через (0^,60^ -Т (т = 1,2,.), а углы области D - соответственно ßxTc,ß2n,.,ßmn. Пусть z-<p{w) - функция, обратная к w=f(z) и t = (р{со() + Т). Тогда f(z+t)=f(z)+T для любого zeQ. Пусть af* = = (picof^). В данной работе установлена формула

2 п / ч m . .

00 = /* (z0)]g(S) ]>"1 k - ^0))]> fe - k+/(zo), гЛ S~1 5=1 0 где Zg - фиксированная точка в замыкании Q, из которого удалены точки as(0) +ki,bf] +kt (к е Z), G(z)- целая функция, не обращающаяся в нуль, cr(z)- сигма-функция Вейерштрасса.

В § 8 приводится для полноты изложения формула [75] для функции f(zj, отображающей полуплоскость на область типа полуплоскости. В указанных выше обозначениях имеем f(z) = f(z0)]G(g)Y\ z0 S=1 sin j (g - af}) sin ~ (z0 - af^) dg + f{z o).

Случаи полосы и полуплоскости качественно различны. В первом из них в записи отображения присутствуют дважды периодические функции, а во втором - функции с одним периодом.

1. Koebe Р. Über die Uniformisierung beliebiger analytischen Kurven //Nachr. Gess.Wiss.Gött.,Math-Phys.Kl. 1907. P. 191 -210.

2. Koebe P. Über die Uniformisierung der algebraischen, II //Math.Ann.1910,69. P.l-81.

3. Bieberbach L. Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln //S.B.Preuss.Acad.Wiss.1916.138. P.940-955.

4. Gronwall Т.Н. Some remarks on conformai representation //Ann.of Math. 1914-1915.v. 16. P.72-76.

5. Bieberbach L. Aufstellung und Beweis der Drehungssatzes für schlichte konforme Abbildungen //Math.Z.1919.v.4. P.295-305.

6. Голузин Г.M. О теоремах искажения в теории конформных отображений //Матем.сб.1936.т.1(43). С.127-135.

7. Базилевич И.Е. Sur les théorèmes de Koebe-Biebrbach //Матем.сб.1936.т.1(43). С.283-292.

8. Базилевич И.Е. Дополнение к работе "Sur les théorèmes de Koebe-Biebrbach" //Матем.сб.1937.т.2(44). C.689-698.

9. Schiffer M. A method of variation with in the family of simple functions //Proc.London Math.Soc.l938.44(ser 2). P.432-449.

10. Schiffer M. Variation of the Greenfunction and theory of the p-valued functions //Amer.Journ.Math. 1943.65. P.341-360.

11. Голузин Г.М. Метод вариаций в конформном отображении //Матем.сб.1946.т.19. С.203-236.

12. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. //М.:Наука, 1966.

13. Лебедев H.A. Приложение принципа площадей к задачи о неналегающих областях //Тр.Ин-та матем. АН СССР им.B.А.Стеклова. 1961 .т.60. С.211 -231.

14. Лебедев H.A. Принцип площадей в теории однолистных функций.//М. :Наука, 1975.

15. Митюк И.П. Обобщенный приведенный модуль и некоторые его применения//Известия ВУЗов. Математика. 1964.№2. С.110-119.

16. Митюк И.П. Принцип симметризации для кольца и некоторые его применения //Сиб.матем.журн.1965.№6. С. 1282-1291.

17. Дубинин В.Н. Метод симметризации и трансфинитный диаметр //Сиб.матем.журн.1986.т.27.№2. С.39-46.

18. Дубинин В.Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного //Успехи матем.наук.1994.т.49.в.1(295).C.3-76.

19. Милин И.М. Однолистные функции и ортонормированные системы//М. :Наука. 1971.

20. Милин И.М. О коэффициентах однолистных функций У/ДАН СССР.1967.т.176.№5. С. 1015-1018.

21. Математика в СССР за сорок лет //М.:Физматгиз. 1959.Т. 1.

22. Лебедев H.A., Кузьмина Г.В., Аленицын Ю.Е. Методы и результаты геометрической теории функций. В книге Г.М.Голузина "Геометрическая теория функций комплексного переменного" //М.:Наука. 1966. С.532-626.

23. Александров И. А., Милин И.М. О гипотезе Бибербаха и логарифмических коэффициентах однолистных функций //Известия ВУЗов. Математика. 1989.№8(327). С.3-15.

24. Куфарев П.П. Об однопараметрических семействах аналитических функций//Матем.сб.1943.13. С.87-118.

25. Куфарев П.П. О методе параметрических представлений и вариационном методе Г.М.Голузина //Труды 3-го Всесоюзного матем.съезда. М.:1956.т.1. С.85-86.

26. Куфарев П.П. О вариационной формуле Г.М.Голузина //Вопросы математики и механики: Тр.Томск.ун-та.1963.т.163. С.58-62.

27. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций //М.:Наука.1976.

28. Александров И.А. Граничные значения функционала J = •/(/,/,/',/') на классе голоморфных однолистных в круге функций //Сиб.матем.журн.1963.т.4.№1. С.17-31.

29. Черников В.В. Об экстремальных свойствах однолистных функций с вещественными коэффицентами //Тр.Томск.ун-та.1963.т.169. С.69-95.

30. Черников В.В. Обобщенный метод вариаций в теории однолистных функций //Депонент в ВИНИТИ №5804.В.89. 12.09.89.

31. Редьков М.И. Область значений функционала / = в классе W(»0I) Н Труды Томск.ун-та. 1963 .т. 169. С.59-68.

32. Гутлянский В.Я. Параметрическое представление однолистных функций//ДАН СССР.1970.Т.194. С.750-753.

33. Горяйнов В.В. Полутруппы конформных отображений //Матем.сб.1986.т.129. С.451-472.

34. Александров И.А., Попов В.И. Оптимальные управления и однолистные функции //Aim.Univ.Mariae Curie-Sklodowska. 19681970. Ser.A. v.22-24. Р. 13-20.

35. Александров И.А., Завозин Г.Г., Копанев С.А. Оптимальные управления в задачах о коэффицентах однолистных функций //Дифференциальные уравнения. 1976.т.12.№4. С.3-19.

36. Прохоров Д.В. Методы оптимизации в экстремальных задачах для однолистных функций //Докторская диссертация. Новосибирск. ИМ СО РАН. 1990.

37. Гриншпан А.З. Логарифмические коэффиценты функций класса S //Сиб.матем.журн.1972.т.13.№5. С.1146-1157.

38. Littlewood J.E. On inequalities in the theory of functions //Proc.London Math. Soc. 1925.v.23. P.482-519

39. Dieudonne J. Sur les functions univalentes //C.R.Acad.Sci.Paris.1931. P.1148-1150.

40. Привалов И.И. О функциях, дающих однолистное комфорное отображение //Матем.сб.1924.т.32. С.350-365.

41. Бабенко К.И. К теории экстремальных задач для однолистных функций класса S //Труды МИАН CCCP.1972.T.CI.

42. Fitzgerald С.Н., Pommerenke Ch. The de Branges theorem on univalent functions //Trans.Amer.Math.Soc. 1985.v.290.№2. P.683-690.

43. Fomenko O.M., Kuzmina G.Y. The last 100 days of the Bieberbach conjecture //Math.Intell.l986.v.8.№l. P40-47.

44. Christoffel E.B. Ann.math.pura ed appl. Ser.2.1868.t.l. P.89-103. 51.Schwarz H.A. Gesammelte mathematische Abhandlungen. Bdl-2,В.,1890.

45. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений //М.:ИЛ.1963 С.406.

46. Grunsky H. Neue Abschätzungen zur konformen Abbildung ein und mehrfach zusammenhängender Bereiche //Math.Sem.Univ.Berlin. 1932.1. P.93-140.

47. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного //М.:Наука.1967.

48. Александров И.А., Соболев В.В. Аналитические функции комплексного переменного //М.:Высшая школа. 1984.

49. Александров И.А., Копанев С.А. Область значений производной на классе голоморфных однолистных функций //Укр.матам.ж. 1970.22. С.647-651.

50. Grad A. Coefficient regions of schlicht functions //Amer.Math.Soc., Colloqium Publ. 1950.35.New York.

51. Дитенкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения //М.:ИЛ.1962.

52. Александров И.А., Александров А.И. Экстремальные управляющие функции в уравнении Левнера в теореме вращения //Доклады РАН.2000.т.371.№1.

53. Александров И.А., Александров А.И. Об экстремальных функцияъ в проблеме вращения для однолистных отображений //Вестник Томского университета.Томск.Изд-во Томск.ун-та.2000.т.269.

54. AlexandraV A.I. Alexandrov I.A. On Theorems of rotation. International Conference on Analysis and Geometry devoted to the 70th anniversary of Yurii Grigir'evich Reshetnyak. August 30 September 03. 1999, Novosibirsk, Russia. P.5

55. Александров А.И. Экстремальные управляющие функции в уравнении Левнера //Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов". М.:Из-во МГУ.2000.вып.4. С.317.

56. Александров И.А., Александров А.И. О граничных функциях для простейших функционалов //Исследования по математическому анализу и алгебре. Изд.Томск.ун-та.Томск.1998.с.З-9.

57. Александров И.А., Александров А.И., Касаткина Т.В. Функционал Милина и полиномы де Бранжа //Актуальные проблемы современной математики. Сб.научн.трудов. т.З. Новосибирск. Изд-воНИИМИООНГУ. 1997. С.13-18.

58. Grunsky Н. Jahresber.deutsh.Math.Vereinig. 1934.43. Р.140-142.

59. Милин И.М. О коэффициентах однолистных функций //ДАН СССР. 1967.т. 176.№5. С.1015-1018.

60. Садритдинова Г.Д. Об одном случае интегрирования уравнения Левнера с симметрией вращения //Доклады РАН.1999.т.368.№4. С.462-463.

61. СегёГ. Ортогональные многочлены//М.:Физматгиз. 1962.

62. Askey R., Gasper G. Positive Jacobi polynomial sums. II //Amer.J.Math. 1976.v.98.№3. P709-737.

63. Кантарович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа //М. :Гостехиздат. 1949.

64. Куфарев П.П. Об одном методе численного определения параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца //ДАН СССР.1947.57. С.535-537.

65. Александров А.И. Конформные отображения полосы на области с симметрией переноса //Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск.2000.с.5-10.

66. Александров И.А. Конформные отображения полуплоскости на области с симметрией переноса //Известия ВУЗов. Математика. 1999.№б(445). С. 15-18.

67. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций //М,-Л. :Гостехиздат. 1950.

68. Волковыский Л.И. Лунц Г.Л. Арманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного //М.Физматгиз.1961.

69. Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений //Т.З М,-Л. :Гостехиздат. 1951.

70. Градштейн И.С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, рядов и произведений //М.-Л. :Гостехиздат. 1951.79