Применение левнеровских семейств отображений в задачах комплексного анализа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Юферова Галина Александровна

ПРИМЕНЕНИЕ ЛЕВНЕРОВСКИХ СЕМЕЙСТВ ОТОБРАЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА

01.01.01 - Математический аналш

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск-2009

003470706

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАО, профессор Александров Игорь Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Прохоров Дмитрий Валентинович (Саратовский государственный университет)

Ведущая организация: Институт математики им. С. Л. Соболева

Сибирского отделения РАН

Защита состоится 22 июня 2009 года в 14 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 212.267.21 при Томском государственном университете по адресу: 634050, Томск, пр. Ленина 36, аудитория 119 (главный корпус).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 14 мая 2009 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.627.21 при ТГУ, кандидат физико-математических наук,

кандидат физико-математических наук, доцент Гулнора Долимджановна Садритдинова (Томский государственный архитектурно-строительный университет)

доцент

А.Н. Малютина

Актуальность темы. В начале XX века классическая теория Вейерштрасса о последовательностях голоморфных функций пополнилась исследованиями Каратеодори о сходимости последовательности областей к ядру и соответствующих отображений к отображению на ядро. Эти результаты были обобщены на семейства, зависящие от вещественного параметра, и появилась возможность и необходимость исследовать дифференциальные свойства отображений относительно вещественного параметра. Первые исследования в этом направлении были выполнены Левнером1 в 1923 году. Им был получен следующий результат. Пусть Д е С, Д*С, - односвязная область в w-пл ос кости, содержащая точку w = 0. Пусть w = /(т), 0<г<г°<+оо, - простая жорданова дуга в А,

начинающаяся в точке /(0) е Д, оканчивающаяся в точке границы

области Д и не проходящая через нуль. Обозначим отображение единичного круга £ = {zeC;|z|<l} на Д с исключенной частью рассматриваемой дуги

от г(0) до у(т) через w = 4'(r)z), 4/(0,z) = 0, vF;(0,z)>0. Всегда можно полагать, что 4/(r,z) = erz+.... Левнер показал, что ^(r.z) имеет производную

дт dz ^(r)-z'

где ~ точка на границе круга Е, соответствующая подвижному концу разреза при отображении T(r,z). Полученную формулу можно рассматривать и изучать как дифференциальное уравнение. Из-за неизвестности ^(O.fi), Ч^г0,/?) более удобно исследовать уравнение для

функции C(r,z) = F(4'(0,z),r), где ге[о,г°), а F(r,w) - функция, обратная к при фиксированном г , то есть уравнение

Плотный относительно равномерной сходимости внутри Е подкласс класса S, то есть класса голоморфных однолистных отображений /(z) круга Е, удовлетворяющих условиям: /(0) = 0, /' (0) = 1, можно получить как множество отображений

/(z)= lim eri(r,z) = z + c2z2+..., zeE,

' Левнер К. (Lowner К.) Untersuchungen über schlichte konforme Abbildung des Einheitskreises//''' Math.Ann.- 1923.-T. 89.-C. 103-121. I

s

з

где С(т,г) ~ решение уравнения (*) (уравнения Левнера) с непрерывной управляющей функцией ¿/(г), |//(г)| = 1. Левнер, пользуясь (*), доказал неравенство |с3)< 3 на классе 5, что было дополнительным фактом в пользу справедливости гипотезы Бибербаха2: |с„|<я на 5 при любом пеМ. На

основе уравнения Левнера и исследований Г.М. Голузина3'4, И.Е. Базилевича5 сформировался один из методов геометрической теории функций комплексного переменного: метод параметрических представлений. П.П. Куфаревым6, '8, И.А. Александровым9,10, В.А. Синевым, Г.Д. Садритдиновой11,12 он был развит в направлении реализации конформных отображений (нахождение постоянных в интеграле Кристоффеля - Шварца, получение интегральных представлений подклассов класса 5). И.А. Александров13, В.И. Попов14, С.А. Копанев15, В.Я. Гутлянский16 нашли области значений многих функционалов на

! Бибербах Л. (Bieberbach L.) Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln, sitzungsber // Preuss. Akad. Wiss. Phys. - Math. Kl. - 1916. -Т. 138.-C. 940-955.

5 Голузин Г.М. Дополнение к работе «О теоремах искажения в теории конформных отображений» // Матем. сб. - 1937. - Т. 2 (44):4. - С. 685 - 688.

4 Голузин Г.М. О теоремах искажения и коэффициентах однолистных функций // Матеем. Сб. -1948. - Т. 23 (65), №3. - С. 353 - 360.

' Базилевич И.Е. О теоремах искажения в теории однолистных функций// Матем. Сб. - 1951. -Т. 28(70) :2,-С. 283-292.

11 Куфарев П.П. Об одном методе численного определения параметров в интеграле Шварца -Кристоффеля // ДАН СССР. - 1947. - Т. 57. - № 6. - С. 535 - 537.

7 Куфарев П.П. Одно замечание об уравнении Левнера // Доклады АН СССР. - 1947. - Т. 57. - С. 655-656.

* Куфарев П.П. Теорема о решениях одного дифференциального уравнения II У чен.зап.Томск.ун-та.- 1947.-Т. 5.-С. 20-21.

' Александров И.А., Гутлянский В.Я. К проблеме коэффициентов в теории однолистных функций // Доклады АН СССР. - 1969. - Т. 188, №2. - С. 266 -268.

10 Александров И.А. Геометрические свойства однолистных функций // Труды Томского университета. - 1964. - Т. 175. - С. 28 - 38.

" Садритдинова Г.Д. Области с разрезами и свойства управляющих функций в уравнении Левнера// Тез. докл. междунар. конфер. по матем. и механике. Томск. ТГУ. - 2003.

12 Садритдинова Г.Д. Уравнение Левнера с составным управлением // Вестник ТГУ. Математика. Кибернетика. Информатика. - 2004. № 284.

" Александров И.А. Об области значений некоторых функционалов в классе функций однолистных и регулярных в круге // Исслед.по совр.пробл.теории функций компл.переменного. М.: Физматгиз. - 1960. - С. 39-45.

14 Попов В.И. Область значений одной системы функционалов на классе S // Труды Томского университета. - 1965. -Т. 182. -С. 107- 132.

15 Александров И.А., Копанев С.А. Область значений производной на классе голоморфных однолистных функций //Украинский математический журнал. - 1970. - Т. 5.

16 Гутлянский В.Я. Параметрическое представление однолистных функций //ДАН СССР. 1970. Т. 194. С. 750-753.

классе 5, в том числе, область изменения 1п/'(г0) на 5, П.П. Куфарев17 и А.Э. Фалес18 решили известную задачу М.А. Лаврентьева о дополнительных областях.

Более общее, чем уравнение Левнера, уравнение ^ = 0<Г<+оо,

где функция Р(т,С), при фиксированном т , голоморфна в круге Е и имеет

в нем положительную вещественную часть, изучалось П.П. Куфаревым19,20,21,22 и получило название уравнения Левнера -Куфарева. Основываясь на выпуклости класса функций Каратеодори, И.Е. Базилевич23, интегрируя уравнение Левнера - Куфарева, получил интегральное представление подкласса класса 5, включающее звездные и выпуклые отображения. А.П. Сыркашев24 в частных случаях свел уравнение Левнера - Куфарева к уравнению Бернулли и к уравнению Рикатти.

Д.Б. Прохоров25, С.А. Копанев26, И.А. Александров27 исследовали вариационные задачи, сочетая метод параметрических представлений с методом оптимального управления Л.С. Понтрягина.

Объединение метода внутренних вариаций Шифера - Голузина и метода параметрических представлений Левнера дано П.П. Куфаревым28.

17 Куфарев П.П. К вопросу о конформных отображениях дополнительных областей // ДАН СССР. - 1950. - Т. 73. - № 5. - С. 881 - 884.

18 Куфарев П.П., Фалес А.Э. 06 одной экстремальной задаче для дополнительных областей // Докл. АН СССР. -1951. - Т. 81, № 6. - С. 995 - 998.

" Куфарев П.П. К теории однолистных функций //Доклады АН СССР. - 1947. -Т. 57, № 8. - С. 751-754.

20 Куфарев П.П. Об интегралах простейшего дифференциального уравнения с подвижной полярной особенностью правой части // Ученые записки Московского университета. - 1946. - Т. 1.-С. 35-48.

21 Куфарев П.П. Об одной системе дифференциальных уравнений // Ученые записки Томского университета. - 1948. - Т. 8. - С. 61 - 72.

Куфарев П П. Об одном специальном семействе однолистных областей // Ученые записки Томского университета. - 1947. - Т. 5. - С. 22 - 36.

23 Базилевич И.Е. Об одном случае интегрируемости в квадратурах уравнения Левнера -Куфарева// Матем. сб. - 1955. - Т. 37 (79), № 3.

24 Сыркашев А.Н. Об одном случае интегрирования уравнения Левнера - Куфарева // Труды матем. центра им. Н И. Лобачевского. Т. 21. Лобачевские чтения - 2003. материалы третьей всероссийской молодежной научной школы-конференции. Казань 2003. С. 204-206.

25 Прохоров Д.В., Романова C.B. Локальные экстремальные задачи для ограниченных аналитических функций без нулей // Изв. РАН. Сер. матем. - 2006. - Т. 70. - Вып. 4.-С. 209-224.

26 Копанев С.А., Александров И.А., Завозин Г.Г. Оптимальное управление в задачах о коэффициентах однолистных функций // Дифференциальные уравнения. - 1976, - Т.12, №4.

27 Александров И.А. Вариационный метод решения экстремальных проблем в некоторых классах аналитических функций. //Доклады АН СССР. - 1963.-Т. 151, №5. - С. 999 - 1002.

2> Куфарев П.П. О методе параметрических представлений и вариационном методе Г.М. Голузина // Труды III Всероссийского математического съезда. - M., 1965. - T. 1. - С. 85 - 86.

М.Р. Куваев29 распространил уравнение Левнера на автоморфные функции, И.А. Александров - на однолистные отображения кругового кольца, Л.М. Бер30 - на области с несколькими разрезами, Л.С. Копанева31 - на отображения с симметрией переноса.

Установлены связи между методом параметрических представлений и вариационно-параметрическим методом М.А. Лаврентьева.

В недавних работах И.А. Александрова32,3 показано, что в рамках метода параметрических представлений можно получить основную вариационную формулу Голузина.

В работах H.A. Лебедева и И.М. Милина34 был разработан «аппарат формального экспоненцирования», позволяющий перенести ограничения с логарифмических коэффициентов на тейлоровские коэффициенты однолистных функций, в частности, позволяющий оценивать коэффициенты функции / е S следующими неравенствами:

\с„(/)\<пе-мЛ<\ и = 2,3.....

где

y„(f) - логарифмические коэффициенты функции /.

Полное решение задачи Бибербаха о коэффициентах функций класса S было получено Л.де Бранжем35'36 в 1984 году. Важной частью предложенного им доказательства стал этап с использованием метода параметрических представлений.

Функционал И.М. Милина Бранжем рассматривался как предельное значение при г=0 функции

и Куваев М.Р. Обобщения уравнения типа Левнера для автоморфных функций // Труды Томск.ун-та. - 1959. - Т. 44. - С. 27 - 30.

30 Бер Л.М. Усиление теоремы скольжения //Вестник Томского гос. Университета. - 2003. - Т. -280(декабрь). -С. 8- 11.

31 Копанева Л.С. Параметрическое представление отображений с симметрией переноса // Исследования по математическому анализу и алгебре.-Томск. -2001. - С. 135 - 144.

32 Александров А.И., Александров И.А. Вариационная формула Голузина для Левнеровких отображений круга // Вестник Томского государственного университета . - 2008. - Т. 1 (2). - С. 5-10.

33 Александров И.А. О связи метода параметрических представлений с методами Голузина и Куфарева // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2008. -Т. 2(3).-С. 5-9.

54 Лебедев Н.А., Милин И.М. Об одном неравенстве // Вестник Ленинградского университета -1965.-Т. 19.-С. 157- 158.

35 Louis de Branges A proof of the Bieberbach conjecture// Acta Mathematica. - 1985. - T. 154. - C.

137-152.

Louis de Branges A proof of the Bieberbach conjecture// LOMI preprintes, E — 5 - 84. S. 1 — 21.

где ^„(Z) - логарифмические коэффициенты функции е"гЧ/(г,г),а

(-1)* (2п-2]Л

2 n-j

I J-1 .

м "-] I Л

- компоненты решения некоторой системы уравнений. Бранж, пользуясь работой Р. Аски и Г. Гаспера37 установил, что

и доказал гипотезу Милина38, то есть показал, что М„ (/) > 0 . В силу леммы Лебедева-Милина имеем |с„|£л.

В 1991 году Вайнштейн39 представил другое доказательство гипотезы Бибербаха без использования результата Аски и Гаспера. Доказательство Вайнштейна сводилось к установлению знака введенных в рассмотрение специальных функций А" (г). Тодоров40 и Вильф41 независимо друг от друга показали, что функции А" (г) связаны с функциями Бранжа следующим соотношением: (г) = -¿А" (г).

И.А. Александровым, А.И. Александровым, Т.В. Касаткиной42,43, Г.А. Юферовой44,4546 исследованы связи Ук„[т) с задачами конформных отображений.

Метод параметрических представлений получил дальнейшее развитие и выделился среди всех методов исследования экстремальных

" Аски Р., Гаспер Г. (Askey R., Gasper G.) Positive Jacoby polynomial sums // Amer. J. Math. -1976.-Т.-98.-С. 709 - 737.

58 Милин M M. Оценка коэффициентов однолистных функций // Докл. АН СССР. - 1965. - Т. 160, №4.-С. 769-771.

35 Weinstein L. The Bieberbach conjecture // International Mathematics Reseach Notices. - 1991. - T. -5.-C.61 -64.

40 Todorov P. A simple proof of the Bieberbach conjecture // Bull. CI. Sci .,Acad. R. Belg. - 1992. - T. 12, №3. -C. 335 -356.

41 Wilf H. A footnote on two proof of the Bieberbach - de Branges Theorem // Bull. London Math. Soc. - 1994. - T. - 26. - C. 61 - 63.

42 Александров И.А., Александров А.И., Касаткина Т В. Функционал Милина и полиномы де Бранжа// Актуальные проблемы современной математики. Сб. научных трудов. - Новосибирск: НИИ МИДО НГУ. - 1997. - Т.З - С. 13 - 18.

" Александров И.А., Касаткина Т.В. Функционал Милина // Исследования по математическому анализу и алгебре. - Томск. - Томский университет. -2000. -С. 11 - 15.

44 Александров И.А., Юферова Г.А. К доказательству неравенства Бибербаха // Вестник Томского государственного университета. - 2007.-№297, апрель. - С 141 - 145.

45 Юферова Г.А. Об одном семействе однолистных отображений // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2009. - Т. 1 (5). - С. 47 - 53.

46 Юферова Г.А Уравнение Левнера и ортогональные многочлены // Вестник Томского государственного университета-2007.298, май.-С. 121 - 124.

задач на классах однолистных отображений как единственный в настоящее время приведший к решению задачи Бибербаха о коэффициентах.

Цель работы. Целью настоящей работы является получение новых случаев интегрирования уравнений Левнера и Левнера - Куфарева, исследование проблемы Бибербаха о коэффициентах, исследование полиномов Бранжа с позиции теории конформных отображений и теории классических ортогональных многочленов, а также установление возможной связи экстремальной для ряда вариационных задач функции Кебе с классическими ортогональными многочленами и функцией Бранжа.

Методы исследования. Основные результаты диссертации доказаны с использованием метода параметрических представлений Левнера, методов вещественного и комплексного анализа, методов теории функций комплексного переменного, методов геометрической теории конформных отображений, методов теории дифференциальных уравнений и теории ортогональных многочленов.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

■ Получены два семейства однолистных конформных отображений круга, соответствующих указанных автором семейства управляющих функций в уравнении Левнера, и как следствие даны экстремальные функции в теореме вращения, а также усилен известный пример Куфарева об отображении круга на круг с исключенной луночкой.

■ В дополнение к известной формуле Базилевича получено интегрированием уравнения Левнера - Куфарева семейство однолистных отображений круга на специальные круговые многоугольники.

■ Доказана теорема о разложении в степенной ряд функции, полученной подстановкой в степенной ряд функции Кёбе, а также ее обобщения и на ее основе дан способ представления основных классических ортогональных многочленов через гипергеометрические ряды (полиномы) Гаусса.

■ Разработано доказательство постоянства знака экспоненциальных многочленов Бранжа, использующее соотношения между многочленами Чебышева, Лежандра и Гегенбауэра.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они относятся к геометрической теории функций комплексного переменного, дифференциальных уравнений и ортогональных многочленов. В дальнейшем эти результаты могут быть использованы специалистами по теории функций и комплексному анализу.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на международной научной конференции "Студент и научно-технический прогресс" (апрель 2006 - 2009 гг., Новосибирский государственный университет, г. Новосибирск), на Конференции, посвященной 300-летию со дня рождения Леонарда Эйлера (апрель 2007 г., Томский государственный университет, г. Томск), на Восьмой Казанской летней научной школы-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (июнь 2007г., Казанский государственный университет, г. Казань), на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2008» (апрель 2008г., Московский государственный университет, г. Москва), на IV Петрозаводской Международной конференции по комплексному анализу (июнь 2008 г., Петрозаводский государственный университет, г. Петрозаводск), на Всероссийской конференции по математике и механике (сентябрь 2008 г., Томский государственный университет, г. Томск), на семинаре Института математики им. C.JI. Соболева СО РАН «Теория функций комплексного переменного» под руководством профессора В.В. Асеева, профессора A.B. Сычева (апрель 2009 г., Новосибирск).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах автора, приведенных в конце автореферата, одна из которых выполнена в соавторстве с научным руководителем И.А. Александровым.

Объем а структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых каждая на три параграфа, и списка литературы из 76 наименований. Общий объем диссертации составляет 83 страницы.

Введение. Во введении изложена история вопроса, проведен обзор результатов, связанных с тематикой исследования, сформулированы основные результаты.

Глава 1. В первой главе приводятся новые случаи интегрируемости уравнения Левнера и уравнения Левнера - Куфарева.

В первом параграфе первой главы получено решение

уравнения Левнера с заданной управляющей функцией /л (г) = е'211рЯ3 (т,<р),

где Х(т,(р) дается формулой Л = Л(т,/р) = сочср-е~г (р-е~1т , и с

начальным условием £"(0 ,г,]и) = г, геЕ. Теорема 1.1, Функция

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

где

cos q> (l-e^z)

при фиксированном г, 0 < г < +оо, осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга при 0,2тг)\{л"} в единичный круг

(4* еС;|4"|< 1} с разрезом, начинающимся в точке и

оканчивающемся в точке на единичной окружности, а при (р е {0,/г} в

единичным круг с выкинутой лункой, ограниченной дугой единичной окружности и дугой кривой, лежащей в единичном круге. При этом

Функция

(1-е**)

является предельной для е'^(т,г,<р) при г —> -ко , дает точную оценку

аргумента производной на классе S при |z| ^ и осуществляет

v2

однолистное конформное отображение круга Е на плоскость w — и + /V с

разрезом вдоль прямой v=c\g2q>-uJr—'—, начинающимся в точке

4 sin (р

f[e'r,<p) = —'— и пересекающий ось абсцисс в точке

cos <р

4sin^> 2cos2p

Частным случаем теоремы 1.1 при <р = 0 является пример

Куфарева47

z + A2-A2J(l-z)|l--^

1+А2

показывающий, что решение уравнения Левнера не всегда

отображает круг Е на круг < 1 с разрезом.

Во втором параграфе первой главы решается задача о нахождении решения уравнения Левнера с управляющей функцией

р(т) = е*"*"^, а,/? е К, и с начальным условием £(0,г,м) = г, г е Е .

47

Куфарев П.П. Одно замечание об уравнении Левнера // Доклады АН СССР. - 1947. - Т. 57. -С. 655-656.

I ир

Теорема 1.2. При фиксированном т, 0 2 г < +оо, и а,р е 1 функция (г, 2,!и), заданная неявно уравнением

е'С г

[1+е',{аЧ>т)д^ (1 + е-'а6г)

где 3 = —~, осуществляет однолистное конформное отображение круга

Е в единичный круг е С;|£| < 1}. При этом £= 0, ¿¡'г (г,0,/л) = е~'.

(1-ф + 4е-'К(х)\2

В частности, функция С(т,г,-\) = --—-— является

' 4е'гК(2)

решением дифференциального уравнения Левнера с управляющей функцией /л{т) = -1. Она играет важную роль в исследовании проблемы коэффициентов.

В третьем параграфе первой главы решается задача о нахождении решения уравнения Левнера - Куфарева с начальным условием

£"(0) = г, геЕ и

Р(т,г,{,а) = [1+(1-2[1 -/-(1 -2/)ае', г е Е. Теорема 1.3. При любых а, I функция

2г 2

1 - 2Ае"н> -, (1- 2Ае'1 уХ - 4е " уу С(т) =-^--, 0<г<+оо,

где

» = >»-(«) =-;-гт-Г-г, А = (1-2/)(1-де~г),

4 > 1 + 2(1 - 2/)(1 - а) г + 2 ^ Д >

осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга на круговой шестиугольник с границей, образованной единичной окружностью и двумя отрезками вещественной оси. Функция

Я(г'''а)=1 + 2(1-2/)(1-а)г + г2

является предельной для ег£(т) при г->оо. Она принадлежит классу 5 и

осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга Е на область, представляющую собой плоскость С с двумя разрезами вдоль

вещественной оси:

1

1

2 + 2(1-2<)(1-а)

,+оо

. Она

' 2-2(1-2/)(1-а)

используется в третьей главе при установлении знака функции Бранжа.

Глава 2. Во второй главе получены формулы, связывающие классические ортогональные полиномы Лежандра, Чебышева, Якоби, Гегенбауэра с решением <Г(г>г) уравнения Левнера с постоянным

управлением //(г) = -1. Они представляют композицию простейших

отображений с функцией Кебе.

В первом параграфе второй главы доказывается теорема о

подстановке обобщенной функции Кебе

2'хг

О-,')"

—» = 2,-, В

аэ

произвольный степенной ряд Q (и) = .

Теорема 2.1. Пусть функция бДи) голоморфна в области О, О е О, и имеет разложение в ряд вида:

еД«)=2Укр)и\ р=1,2,... *=0

Тогда при фиксированном х е (0,1) разложение функции

ф„(г)=—— а

2' XI

(1-х')'

по степеням переменной г имеет вид

т=0

где

\г)к МЛ

представляет собой полином степени т, если Ь^ * 0.

В частности, при р = 1 и фиксированном х е (0,1) разложение функции

1

ФМ-^А

по степеням г имеет вид

4хг

I о-п

. . » ™(-/и), (т + 1), Ък , _

т=0 к=0 ШЛ'Л Ранее теорема 2.1 для р = 1 была доказана Г.Д. Садритдиновой48. Во втором параграфе второй главы приводится ряд примеров, показывающих связь между экстремальной в ряде вариационных задач на классе 5 функцией Кебе и классическими ортогональными полиномами Чебышева, Лежандра, Гегенбауэра, Якоби, а также с некоторыми другими функциями. Показано, что при *е(0,1), т = 0,1,2,...:

. , -т,т +1

Л, 0-2*)=^,

1

-к,к +1

(О,

Тт (1-2*)=

к

-т,т

I

г

-т + к,т~к + \,у

1-1

;х

;х

В третьем параграфе второй главы получены ряды по степеням г для степеней решения уравнения Левнера и для производных от

1п£(г,г) по г и по 2 .

Теорема 2.2. Решение £ (г, г), 0 < т < 4оо, уравнения Левнера

^ = 0<г<+оо,

а-с 1+с

с начальным условием £(0,г) = г, возведенное в степень т, имеет разложение в ряд по степеням г следующего вида:

/ + 7И-1 2т-I

Л

т + 1,т-1 2т+ 1

г' , т е N .

Получено дифференциальное соотношение между степенями решения уравнения Левнера с постоянной управляющей функцией. Теорема 2.3. При т = 1,2,... имеет место равенство

48 Сатритдинова Г.Д. Об одном случае интегрирования уравнения Левнера с симметрией вращения// Доклады РАН. - 1999. - Т. 368. - 462 - 463.

лх

1 11 ¿сМ'

от + 1

¿/г

т с1т

с1т <Лт

Глава 3. В третьей главе исследуется проблема Бибербаха о коэффициентах. Получена система дифференциальных уравнений для

г ас (г, г)

коэффициентов разложений функций--5—-

по степеням г .

(1-г)2 Лх

Показано совпадение этой системы с системой дифференциальных уравнений для нахождения экспоненциальных полиномов Бранжа, используемых в доказательстве справедливости гипотезы Бибербаха о коэффициентах. Дается вывод формулы суммирования для полиномов Чебышева второго рода и получено представление производных функций Бранжа ^'„(г) не в виде суммы знакочередующихся слагаемых, как оно

первоначально было получена Бранжем, а в виде суммы со слагаемыми одного знака. Получена связь полиномов Чебышева второго рода с полиномами Бранжа. Это позволяет провести исследование указанных полиномов с позиции теории конформных отображений и получить неравенство Вп (г) > 0, а значит, Л/п (/) > 0.

В первом параграфе третьей главы рассмотрена определенная в [0,оо)хЕ последовательность о, где

Пользуясь теоремой 2.3, устанавливается связь между элементами этой последовательности: при т= 0,1,... имеет место равенство

со

Для коэффициентов функций Ш„{т,2)= т(т)г' > »> = 0,1.....

/=т+1

получена система дифференциальных уравнений

4а,-., М = 21НП+' (г)-(Ма,. (*). * = 2,...,п-1, п е №{1}

¿г

/=1

Во втором параграфе третьей главы установлена связь экспоненциальных полиномов Бранжа

)'-' (2п-2Л(2п-Л

^ п-з) я п-1

э-г

г-1

5 = 1,2.....п-1, л = 1,2,...

с решением уравнения Левнера и функцией Кебе.

Теорема 3.1 Производная функции Бранжа К I г,-

n-s J

коэффициенты (г) разложения функции Wm (г, z) связаны

равенством:

Qn,„-A*)=-K'Jr.—

V n-Sy

В третьем параграфе третьей главы рассматриваются функции

где cosy = (l-e"r)+e"rcos0.

Показана связь этой функции с последовательностью [Wm (r,z)]^ о: Нг (г) = W0 (г, z) + г£ Wm (r,z) • cos тв

т=\

и с ортогональными полиномами Чебышева:

Hr{z) = fdUm_l(cosry.

т = )

Получена связь коэффициентов разложения функции Wm[r,z) с полиномами Чебышева:

CL (cosr) = (cosy) = Qm0 (r) + 2]ГQmJ (r)- cos/6>, m = 1,2,... (10)

ы

Дан вывод формулы суммирования для полиномов Чебышева второго рода и ее применение к исследованию экспоненциальных полиномов Бранжа:

Лемма 3. Имеет место функциональное соотношение

(лу+тг^тг^с) - ci (xv+vr^ vn^c)=1: (i - (i - у х

где постоянная

D 4>-;)!(,/!)2(2,/Ч1) " (" + J +1)!

Теорема 3.2 Коэффициенты Qm, (г), 0 <, т < +оо, в разложении (10) функции Um (cos у) неотрицательны.

Следствие 1. Имеет место неравенство У' г, ^ 1 < 0,

' п-й)

О<г<+оо, леМ\{1}, 5 = 1,2,...,«.

Следствие 2. Экспоненциальный полином Бранжа У. „\ т, —— 1 на

' V п-$)

(О, +оо) положительно определен.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Александрову Игорю Александровичу за постановку задач и постоянное внимание ко всем этапам данной работы.

Работы автора по теме диссертации

1. Александров И.А. К доказательству неравенства Бибербаха / И.А. Александров, Г.А. Юферова // Вестник Томского государственного университета. - 2007. - № 297. - С. 141 - 145. (поступила в научную редакцию Вестника ТГУ И декабря 2006 г., принята к печати 18 декабря 2006 г. Входит в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов ВАК (2001 -2005 гг. Письмо ВАК от 30.11.2006 г.)

2. Юферова Г.А. Уравнение Левнера и ортогональные многочлены // Вестник Томского государственного университета. — 2007. - № 298. - С. 121 - 124. (поступила в научную редакцию Вестника ТГУ 22 декабря 2006 г. Входит в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов ВАК (2001 -2005 гг. Письмо ВАК от 30.11.2006

г.)

3. Юферова Г.А. Об одном семействе однолистных отображений //Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2009. - №1 (5). - С. 47 - 53.

4. Юферова Г.А. Об одной системе дифференциальных уравнений // Материалы ХЫУ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», секция Математики, Новосибирский государственный университет. Новосибирск, апрель 2006 г. - Новосибирск, 2006. - С. 33 - 34.

5. Юферова Г.А. Уравнение Левнера, классические ортогональные многочлены и их связь // Материалы ХЬУ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирский государственный университет. Новосибирск, 10-12 апреля 2007 г. Новосибирск, 2007. - С. 197 — 198.

6. Юферова Г.А. К решению задачи Бибербаха о коэффициентах // Материалы конференции, посвященной 300 летию со дня рождения Леонарда Эйлера 1707-1783, Томский государственный университет. Томск, 16-21 апреля 2007 г. - Томск, 2007. - С. 98 -100.

7. Юферова Г.А. Левнеровские семейства областей, проблема коэффициентов и ортогональные многочлены // Материалы Восьмой международной Казанской летней научной школы-конференции. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казань, июнь 2007г. - Казань, 2007. - С. 285 - 286.

8. Юферова Г.А. К доказательству Л. Бранжа теоремы о коэффициентах // Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2008», МГУ. Москва, 21-26 апреля 2008г. М., 2008. - С. 64.

9. Юферова Г.А. Решение уравнения Левнера - Куфарева // XLVI Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс", Новосибирский государственный университет. Новосибирск, 26-30 апреля 2008 г. - Новосибирск, 2008.-С. 227-228.

10. Юферова Г.А. К вопросу об оценке функционала Милина // IV Петрозаводская Международная конференция по комплексному анализу, Петрозаводский государственный университет. Петрозаводск, 29 июня - 5 июля, 2008 г. - Петрозаводск, 2008. - С. 46.

11. Юферова Г.А. Об интегрируемости уравнения Левнера-Куфарева // Всероссийская конференция по математике и механике, Томский государственный университет. Томск, 22 - 25 сентября, 2008 г. -Томск, 2008.

12. Юферова Г.А. Экстремальные функции в теореме вращения на классе S // XLVII Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс", Новосибирский государственный университет. Новосибирск, 11-15 апреля, 2009 г. Новосибирск, 2009. - С. 117 - 118.

Заказ 529. Тираж 100. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40. Тел. 533018.

Введение.

Глава 1. Примеры интегрирования уравнения Левнера и уравнения Левнера - Куфарева.

§ 1 Экстремальные функции в теореме вращения на классе 8.

§2 Уравнение Левнера с управляющей функцией =

§3 Об одном случае интегрирования уравнения Левнера — Куфарева.

Глава 2. Функция Кебе и ортогональные многочлены.

§1 Теорема о композиции степенных рядов.

§2 Гипергеометрические многочлены Гаусса, ортогональные многочлены и функция

Кебе.

§ 3 Применение теоремы о композиции степенных рядов к решению уравнения Левнера с постоянным управлением.

Глава 3. Связь экспоненциальных многочленов Бранжа с функцией и функцией

Кебе.

§1 Производящая последовательность для полиномов Бранжа.

§2 Связь функции Бранжа с коэффициентами функции Жт

§3 Неравенства для коэффициентов функции 1¥т

В начале XX классическая теория Вейерштрасса о последовательностях голоморфных функций пополнилась исследованиями Каратеодори о сходимости последовательности областей к ядру и соответствующих отображений к отображению на ядро. Эти результаты были обобщены на семейства, зависящие от вещественного параметра и появилась возможность и необходимость исследовать дифференциальные свойства отображений относительно вещественного параметра. Первые исследования в этом направлении были выполнены Левнером [60] в 1923 году. Им был получен следующий результат. Пусть АеС, А^С, — односвязная область в плоскости, содержащая точку м? = 0. Пусть м = 0< т < т° < -ко, - простая жорданова дуга в А, начинающаяся в точке у(т{)еА, оканчивающаяся в точке границы области А и не проходящая через нуль. Обозначим отображение единичного круга Е = е С;\г\ < 1} на А с исключенной частью рассматриваемой дуги от у(0) до у(т) через = г), х1/(0,г) = 0,

Всегда можно полагать, что Ч*(т,г) = етг + . Левнер показал, что ^(г^) имеет производную где м(т) ~ точка на границе круга Е, соответствующая подвижному концу разреза. Полученную формулу можно рассматривать и изучать как дт дг ¿1(т) — г г<=Е, дифференциальное уравнение. Из-за неизвестности более удобно исследовать уравнение для функции где

Плотный относительно равномерной сходимости внутри Е подкласс класса то есть класса голоморфных однолистных отображений круга

Е, удовлетворяющих условиям: /(0) = 0, /'(0) = 1, можно получить как множество отображений где — решение уравнения (*) (уравнения Левнера) с непрерывной управляющей функцией м(т)> (/¿(т)| = 1- Левнер, пользуясь (*), доказал неравенство |с3|<3 на классе что было дополнительным фактом в пользу справедливости гипотезы Бибербаха [29]: на 5" при любом «еМ. На основе уравнения Левнера и исследований Г.М. Голузина [34], [35], [36], [37], [38]; [39], [41], И.Е. Базилевича [23], [24], [26] сформировался один из методов геометрической теории функций комплексного переменного: метод параметрических представлений. П.П. Куфаревым [53], [56], [57], И.А. Александровым [5], [15], В.А. Синевым, Г.Д. Садритдиновой [65], [66] он был развит в направлении реализации конформных отображений (нахождение постоянных в интеграле Кристоффеля - Шварца, получение интегральных представлений подклассов класса 5). И.А. Александров [9], В.И. Попов [62], С.А. Копанев [17], В.Я. Гутлянский [43] нашли области значений многих функционалов на классе в том числе, область изменения 1п/'(г0) на П.П. Куфарев [48] и А.Э. Фалес [58] решили известную задачу

М.А. Лаврентьева о дополнительных областях.

Более общее, чем уравнение Левнера, уравнение

- = -СР{£,т), 0<г < +оо, где функция , при фиксированном г, голоморфна в круге Е и имеет в нем положительную вещественную часть, изучалось П.П. Куфаревым [49], [51], [52], [54] и получило название уравнения Левнера — Куфарева. Основываясь на выпуклости класса функций Каратеодори, И.Е. Базилевич [25], интегрируя уравнение Левнера - Куфарева, получил интегральное представление подкласса класса S, включающее звездные и выпуклые отображения. А.П. Сыркашев [71] в частных случаях свел уравнение Левнера - Куфарева к уравнению Бернулли и уравнению к Рикатти.

Д.Б. Прохоров* [63], С.А; Копанев [45], И.А. Александров [4]' исследовали вариационные задачи, сочетая метод параметрических представлений с методом оптимального управления Л-G. Понтрягина.

Объединение метода внутренних вариаций Шифера' - Голузина и метода параметрических представлений Левнера дано П.П. Куфаревым [50]. М.Р: Куваев [47] распространил уравнение Левнера на автоморфные функции; И.А.Александров - на однолистные отображения кругового кольца, Л.М. Бер [28] - на области с несколькими разрезами, Л.С. Копанева [46] - на отображения с симметрией переноса.

Установлены связи между методом параметрических представлений и вариационно-параметрическим методом М.А. Лаврентьева.

В недавних работах И.А. Александрова [1], [8] показано, что в рамках метода параметрических представлений можно получить основную вариационную формулу Голузина.

В работах H.A. Лебедева и И.М. Милина [59] был разработан «аппарат формального экспоненцирования», позволяющий перенести ограничения' с логарифмических коэффициентов4 на тейлоровские коэффициенты однолистных функций, в частности, позволяющий оценивать коэффициенты функции f <eS следующими неравенствами: cn(f)\<ne~Mn(/), и = 2,3,., где к=\ 4 > К г. 2 И=1 — логарифмические коэффициенты функции /.

Полное решение задачи Бибербаха о коэффициентах функций класса Б было получено Л.де Бранжем [30], [31] в 1984 году. Важной частью предложенного им доказательства стал этап с использованием метода параметрических представлений.

Функционал И.М. Милина Бранжем рассматривался как предельное значение при г = 0 функции к=1у ' где /„(/) - логарифмические коэффициенты функции е~тх¥(т,г), а

2 и-/ 7-1

-{»-Л* Л' = /? - /с, компоненты решения некоторой системы уравнений. Бранж, пользуясь работой Р. Аски, Г. Гаспера [21] установил, что где т = п-в +1, к = Б-1, и доказал гипотезу Милина [61], то есть показал, что Мп (/) > 0. В силу леммы Лебедева - Милина имеем \сп | < п.

В 1991 году Вайнштейн [32] представил другое доказательство гипотезы Бибербаха без использования результата Р. Аски и Г. Гаспера. Доказательство Вайнштейна сводилось к установлению знака введенных в рассмотрение специальных функций А"(г). Тодоров [72] и Вильф [33] независимо друг от друга показали, что функции А" (г) связаны с функциями

Бранжа следующим соотношением: У'зп (г) = -¿А" (г).

И.А. Александровым, А.И. Александровым, Т.В. Касаткиной [14], [16], Г.А. Юферовой [20], [75], [76] исследованы связи Укп(т) с задачами конформных отображений.

Метод параметрических представлений получил дальнейшее развитие и выделился среди всех методов исследования экстремальных задач на классах однолистных отображений как единственный в настоящее время приведший к решению задачи Бибербаха о коэффициентах.

Приведем краткое изложение содержания диссертации. Мы будем использовать номера теорем и формул, введенные в основном тексте данной работы.

В первой главе приводятся новые случаи интегрируемости уравнения Левнера и уравнения Левнера - Куфарева.

В первом параграфе первой главы получено решение уравнения Левнера с заданной управляющей функцией /¿(г) = е~2"рЛ3 (т,<р), где Я{т,(р) дается формулой Л = Л(т,<р) = cos(р • е~т + - cos2 qy • ё~2т, и с начальным условием ¿Г(0,z,//) = z, zeE. Теорема 1.1. Функция

Xe~2'(p

D D где z-cosq>

D = D(z,cp) = v2 ' при фиксированном т, 0 < г < +со, осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга при (р е (0,2л*) \ {я-} в единичный круг с разрезом, начинаюгцимся в точке = и, оканчивающемся в точке на единичной окружности, а при (р <е {О,л"} в единичный круг с выкинутой лункой, ограниченной дугой единичной окружности и дугой кривой, лежащей в единичном круге. При этом £-(гД//) = 0, £ (г, 0,= Функция

2,ф) = 2 СОБ(р * , Ф<=[0,2л-), ге£, (1 - е1<рх\ является предельной для еТ£(т,г,<р) при т—>+со, дает точную оценку аргумента производной при и осуществляет однолистное л/2 конформное отображение круга Е на плоскость = и + ы с разрезом вдоль

1 \ I прямой V = ctg2^• и Л--:—, начинающимся в точке /{ец\ср} = и

- СО БЙ? пересекающий ось абсцисс в точке

2 соя 2 (р

Частным случаем теоремы 1.1 при (р = 0 является пример П.П. Куфарева [56]

7. + II — показывающий, что решение уравнения Левнера не всегда отображает круг Е на круг < 1 с разрезом.

Во втором параграфе первой главы решается задача о нахождении решения уравнения Левнера с управляющей функцией г) = , а,{3 е Е, и с начальным условием = г, г е Е.

Теорема 1.2. При фиксированном т, 0<г<+оо, и функция заданная неявно уравнением

2 — 2 ' где 8 — |—осуществляет однолистное конформное отображение круга Е в единичный круг е < 1}. При этом ¿Г(г,0,//) = О, <^'(г,0,//) = е~г.

1-^/1 + 4

В частности, функция 1) = -г-^-— является решением дифференциального уравнения Левнера с управляющей функцией //(г) = -1. Она играет важную роль в исследовании проблемы коэффициентов.

В третьем параграфе первой главы решается задача о нахождении решения С(Т) уравнения Левнера - Куфарева с начальным условием

0) = г, г&Е и

1 Ч" 2 1 2

Теорема 13. При любых а, / функция

-2Ае-т^-Л\-2Ае~гуЛ -4е~2ты2 С(т) =-^-1-, 0<г<+оо, где м> = м>(2) =-?---г-А = (1-И)(\-ае-т),

Х } 1 + 2(1-2^(1 -а)г + г2 V Л > + 2(1-2г)(1 -а)г + х7 осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга на круговой шестиугольник с границей, образованной единичной окружностью и двумя отрезками вещественной оси.

Функция является предельной для ет£(т) при т—>оо. Она принадлежит классу 5 и осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга Е на область, представляющую собой, плоскость С с двумя разрезами вдоль вещественной оси:

-00. 1 1

2 + 2(1-2^(1 -а) со Она 2-2(1-2*)(1-£7) используется в третьей главе при установлении знака функции Бранжа.

Во второй главе получены формулы, связывающие классические ортогональные полиномы Лежандра, Чебышева, Якоби, Гегенбауэра с решением уравнения Левнера с постоянным управлением /¿(г) = -1.

Они представляют композицию простейшего отображения с функцией Кебе.

Доказывается теорема о подстановке ряда обобщенной функции Кебе

2.

2 р 00 -т, р = 1,2,., в произвольный степенной ряд <2р(и) = , то есть о представлении композиции к=О кр

2рхг в виде ряда по степеням г, г . Полученная теорема применяется для разложения целой положительной степени решения уравнения

Левнера с1т -1-С Установлена связь между членами последовательности с1Ст(т,г)

Лт пг=1

Применяемый нами способ может быть распространен с целью получения разложений, коэффициенты которых связаны со специальными функциями.

Все результаты получаются как следствия применения доказанной в первом параграфе второй главы теоремы 2.1 о разложении композиции сходящегося ряда с /^-симметричной функцией Кебе.

Теорема 2.1. Пусть функция Qp{u) голоморфна в области £), 0е£), и имеет разложение в ряд вида: р=1>2>к=0

Тогда при фиксированном х е (ОД) разложение функции р \ ) по степеням переменной г имеет вид

00, * ^ 2рхг т=О где к=о (2 представляет собой полином степени т, если Ь^ Ф 0.

В частности, при р = 1 и фиксированном х е (ОД) разложение функции 1

-—а по степеням г имеет вид

4хг

1-*У где д(и) = £Ьки\ к=0 щ т

-т)к(т +1)

0^=0 ИД1)*

Ранее теорема 2.1 для р = 1 была доказана Г.Д. Садритдиновой [67]. Во втором параграфе второй главы приводится ряд примеров, показывающих связь между экстремальной в ряде вариационных задач на классе & функцией Кебе и классическими ортогональными полиномами Чебышева, Лежандра, Гегенбауэра, Якоби, а также с некоторыми другими функциями.

В третьем параграфе второй главы получены ряды по степеням 2 для степеней решения уравнения Левнера и для производных от по г ипо г.

Теорема 2.2 Решение 0 < т < +оо, уравнения Левнера ас л-С

-2- = -С-—, 0 < г < +СО,

Т 1 + С с начальным условием = г, возведенное в степень т, имеет разложение в ряд по степеням г следующего вида: г1 + т-\\

С(т,г,-1) = е-У

1=т\ ¿т- 1 У т + 1,т — 1 е

2т + 1 г1, /иеМ.

Получено дифференциальное соотношение между степенями решения уравнения Левнера с постоянной управляющей функцией. Теорема 2.3 При т = 1,2,. имеет место равенство а йх

1 с1Сп+\т,г) ШСя(т,г) с1С+1{т,г) с1С'п(т,2) с1т с1х т +1 йх т йх

В третьей главе исследуется проблема Бибербаха о коэффициентах. Получена система дифференциальных уравнений для коэффициентов г ¿гм разложении функции-^-1-- по степеням 2.

1 - г) Лх

Показано совпадение этой % системы с системой дифференциальных уравнений для нахождения экспоненциальных полиномов Бранжа, используемых в доказательстве справедливости гипотезы Бибербаха о коэффициентах. Дается вывод формулы суммирования для полиномов Чебышева второго рода и получено представление производных функций Бранжа У'кп (г) не в виде суммы знакочередующихся слагаемых, как оно первоначально была получена Бранжем, а в виде суммы со слагаемыми одного знака. Получена связь полиномов Чебышева второго рода с полиномами Бранжа. Это позволяет провести исследование указанных полиномов с , позиции теории конформных отображений и получить неравенство Вп(т)> 0, а значит Мп(/) > 0.

В первом параграфе третьей главы рассмотрена определенная в [0,оо)х£ последовательность , где

Ж0(т,2) = -К(2/1пС}Т'*\ Жт+1(т,2) = £(т,2)Жт(т,2), т=0Д-. ат

Пользуясь теоремой 2.3, устанавливается связь между элементами этой последовательности: при т - 0,1,. имеет место равенство

Жт(т,г) + -1~Жт+1(т,2) = (т + 1)РГт+1(т,г)-т1Гт(т,2).

Получена система дифференциальных уравнений для коэффициентов со функций жт(т,г)= £ @;,,„(т)г/> ™ = 0,1,.:

1=т+1

Во втором параграфе третьей главы установлена связь экспоненциальных полиномов Бранжа г 8 \*(-\у(2п-гА(2п-/ У

Ту у п — Б) ~ п —г

Б —Г г-1 у «У ■ ^ " * * 9 ^ ^ 5 ^ 1 ^ •<• с решением уравнения Левнера и функцией Кебе .

Теорема 3.1. Производная функции Бранжа Узп коэффициенты Qnns{т) разложения функции 1¥ш (т,г) связаны равенством: 8 ^^ 7,И r 1+НУ

L 5 2 j

В третьем параграфе третьей главы введена в рассмотрение функция

HÁZ) =-^-Г' rK 7 l-2cosy-z + z2 полученная в первой главе как предельная при г -» со для решения е~т£(т) уравнения Левнера - Куфарева при t = 1, а = 1 - sin2 у.

Показана связь этой функции с последовательностью {Wm (r,z)| q :

Ну (z) = W0 (r, z) + 2¿ (r,z) • eos m9 m=1 и с ортогональными полиномами Чебышева:

00

Hr(z) = YUmx(cosy)zm. m=1

Получена свиязь коэффициентов разложения функции Wm (V,z) с полиномами Чебышева: т-1 i=i

Дан вывод формулы суммирования для полиномов Чебышева второго рода и ее применение к исследованию экспоненциальных полиномов Бранжа: Лемма 3. Имеет место функциональное соотношение и„ [ху + ^г^/С) = С'„ (ху + ТГ^л/П^г) = ±DM (1 ■- x2f (1 •-где постоянная 47 {п - j'YUtf (2 / +1) и + у + 1)!

Теорема 3.2. Коэффициенты т), 0<г<+оо, в разложении (10) функции ит (соб^) неотрицательны.

Следствие 1. Имеет место неравенство ¥'х \ т,—-— <0, 0<т <+оо,

V п-й) лет{1}, 5 = 1,2,.,«.

Следствие 2. Экспоненциальный полином Бранжа У8 п I г,— (0, +оо) положительно определен. на

1. Александров А.И. Вариационная формула Голузина для Левнеровких отображений круга / А.И. Александров, И.А. Александров // Вестник Томского государственного университета . - 2008. - Т. 1 (2). - С. 5 - 10.

2. Александров А.И. Об экстремальных функциях в проблеме вращения для однолистных отображений / А.И. Александров, И.А. Александров // Вестник Томского государственного университета. 2000. — Т. 269 (январь). - С. 16 - 17.

3. Александров А.И. Левнеровские семейства функций в теореме вращения / А.И. Александров, Александров И.А., Бер Л.М. // Вестник Томского государственного университета. 2003. - Т. 280 (декабрь). -С. 5-1.

4. Александров И.А. Вариационный метод решения экстремальных проблем в некоторых классах аналитических функций // Доклады АН СССР. 1963. -Т. 151. - №5. - С. 999 - 1002.

5. Александров И.А. Геометрические свойства однолистных функций // Труды Томского университета. 1964. - Т. 175. - С. 28 - 38.

6. Александров И.А. Доказательство Л. де Бранжа гипотезы И.М. Милина и гипотезы Л. Бибербаха // Сибирский математический журнал. 1987. -Т. 28.-С. 7-20.

7. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций / И.А. Александров. Томск: Томск, гос. ун-т, 2001. - 220 с.

8. Александров И.А. О связи метода параметрических представлений с методами Голузина и Куфарева // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2008. - Т. 2 (3). - С. 5 - 9.

9. Александров И.А. К проблеме коэффициентов в теории однолистных функций / И.А. Александров, В.Я. Гутлянский // Доклады АН СССР. -1969. Т. 188. - №2. - С. 266 - 268.

10. Александров И.А. Функционал Милина / И.А. Александров, Т.В. Касаткина // Исследования по математическому анализу pi алгебре. -2000. С. 11 - 15.

11. Александров И.А. Область значений производной на классе голоморфных однолистных функций / И.А. Александров, С.А. Копанев // Украинский математический журнал. 1970. - Т. 5.

12. Александров И.А. О гипотезе Бибербаха и логарифмических коэффициентах однолистных функций / И.А. Александров, И.М. Милин // Известия вузов. Математика. 1989. - Т. 8. - С. 3 - 15.

13. Александров И.А. Аналитические функции комплексного переменного / И.А. Александров, В.В. Соболев. М.: Высшая школа, 1984. - 192 с.

14. Александров И.А. К доказательству неравенства Бибербаха / И.А. Александров, Г.А. Юферова // Вестник Томского государственного университета. 2007. - № 297, апрель. - С 141 - 145.

15. Аски Р. Positive Jacoby polynomial sums / R. Askey, G. Gasper // Amer. J. Math. 1976. - T. - 98. - C. 709 - 737.

16. Базилевич И.Е. Sur les theorems de Kebe Bieberbach // Матем. Сб. -1936.-Т. 1,-С. 283-292.

17. Базилевич И.Е. О теоремах искажения в теории однолистных функций // Матем. Сб. 1951. - Т. 28(70) : 2. - С. 283 - 292.

18. Базилевич И.Е. О теоремах искажения и коэффициентах однолистных функций //Матем. Сб. 1951. - Т. 28(70): 1. - С. 147 - 164.

19. Базилевич И.Е. Об одном случае интегрируемости в квадратурах уравнения Левнера Куфарева // Матем. сб. - 1955. - Т. 37 (79). - № 3.

20. Базилевич И.Е. Области начальных коэффициентов ограниченных однолистных функций р кратной симметрии // Матем. Сб. - 1957. -Т. 43(85):4. - С. 409-428.

21. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн. -М.: Наука, 1974.

22. Бер Л.М. Усиление теоремы скольжения // Вестник Томского государственного университета. 2003. - Т. - 280 (декабрь). - С. 8 - 11.

23. Бибербах Л. (Bieberbach L.) Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln, sitzungsber // Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl. - 1916. -T. 138.-C. 940-955.

24. Бранж (Louis de Branges) A proof of the Bieberbach conjecture // Acta Mathematica. 1985.-T. 154. - C. 137- 152.

25. Бранж (Louis de Branges) A proof of the Bieberbach conjecture // LOMI preprintes, E 5 - 84. S. 1 - 21.

26. Вайнштейн JI. (Weinstein L.) The Bieberbach conjecture // International Mathematics Reseach Notices. 1991. - T. - 5. - C. 61 - 64.

27. Вильф (Wilf H.) A footnote on two proof of the Bieberbach de Branges Theorem // Bull. London Math. Soc. - 1994. - T. - 26. - C. 61 - 63.

28. Голузин Г.М. Дополнение к работе «О теоремах искажения в теории конформных отображений» // Матеем. Сб. 1937. — Т. 2 (44):4. -С. 685 -688.

29. Голузин Г.М. К теории однолистных функций // Матем. Сб. 1939. -Т. 6 (48):3. - С. 383 -388.

30. Голузин Г.М. К теории однолистных функций // Матем. Сб. 1943. - Т. 12 (54). - №1. - С. 48 - 55.

31. Голузин Г.М. Некоторые оценки коэффициентов однолистных функций // Матем. Сб. 1938. - Т. 3 (45). - № 2. - С. 321 - 330.

32. Го лузин Г.М. Некоторые оценки коэффициентов однолистных функций //Матем. Сб. 1938. - Т. 3 (45). -№ 2. - С. 321 - 330.

33. Голузин Г.М. О коэффициентах однолистных функций // Матеем. Сб. -1948. Т. 22 (64), № 3. - С. 373 - 380.

34. Голузин Г.М. О теоремах искажения в теории конформных отображений//Математический сборник. -1936.-Т. 1.-С. 127-135.

35. Голузин Г.М. О теоремах искажения и коэффициентах однолистных функций // Матеем. Сб. 1948. - Т. 23 (65), №3. - С. 353 - 360.

36. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. М.: Физико - математической литература, 1951.

37. Гутлянский В.Я. Параметрическое представление однолистных функций // ДАН СССР. 1970. - Т.194. - С. 750 - 753.

38. Копанев С.А. Оптимальное управление в задачах о коэффициентах однолистных функций / С.А. Копанев, И.А. Александров, Г.Г. Завозин // Дифференциальные уравнения. 1976. - Т. 12. — №4.

39. Копанева JI.C. Параметрическое представление отображений с симметрией переноса // Исследования по математическому анализу и алгебре. 2001. - С. 135 - 144.

40. Куваев М.Р. Обобщения уравнения типа Левнера для автоморфных функций // Труды Томского университета. 1959. - Т. 44. - С. 27 - 30.

41. Куфарев П.П. К вопросу о конформных отображениях дополнительных областей//ДАН СССР. 1950. - Т. 73. -№ 5.-С. 881 -884.

42. Куфарев П.П. К теории однолистных функций // Доклады АН СССР. 1947. - Т. 57. - № 8. - С. 751 - 754.

43. Куфарев П.П. О методе параметрических представлений и вариационном методе Г.М. Голузина // Труды III Всероссийского математического съезда. 1965. - Т. 1. - С. 85 - 86.

44. Куфарев П.П. Об интегралах простейшего дифференциального уравнения с подвижной полярной особенностью правой части // Ученые записки Московского университета. — 1946. — Т. 1. С. 35 - 48.

45. Куфарев П.П. Об одной системе дифференциальных уравнений // Ученые записки Томского университета. 1948. - Т. 8. - С. 61 - 72.

46. Куфарев П.П. Об одном методе численного определения параметров в интеграле Шварца Кристоффеля // ДАН СССР. - 1947. - Т. 57. - № 6. -С. 535 -537.

47. Куфарев П.П. Об одном специальном семействе однолистных областей// Ученые записки Томского университета. — 1947. Т. 5. -С. 22-36.

48. Куфарев П.П. Об однопараметрических семействах аналитических функций//Матем. сб. 1943.-Т. 13 (55):1.-С. 87-118.

49. Куфарев П.П. Одно замечание об уравнении Левнера // Доклады АН СССР. 1947. - Т. 57. - С. 655 - 656.

50. Куфарев П.П. Теорема о решениях одного дифференциального уравнения // Ученые записки Томского университета. 1947. - Т. 5. -С. 20-21.

51. Куфарев П.П. Об одной экстремальной задаче для дополнительных областей / П.П. Куфарев, А.Э. Фалес // Докл. АН СССР. 1951. - Т. 81.- № 6. С. 995-998.

52. Лебедев H.A. Об одном неравенстве / H.A. Лебедев, И.М. Милин // Вестник Ленинградского университета. 1965. - Т. 19. - С. 157 - 158.

53. Левнер К. (Lowner К.) Untersuchungen über schlichte konforme Abbildung des Einheitskreises // Math.Ann. 1923. - T. 89. - C. 103 - 121.

54. Милин M.M. Оценка коэффициентов однолистных функций // Доклады АН СССР, 1965.-Т. 160.-№4.-С. 769-771.

55. Попов В.И. Область значений одной системы функционалов на классе SII Труды Томского университета. 1965. - Т. 182. - С. 107 - 132.

56. Прохоров Д.В. Локальные экстремальные задачи для ограниченных аналитических функций без нулей / Д.В. Прохоров, C.B. Романова // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. - Т. 70. - Вып. 4.- С. 209 -224.

57. Прудников А.П. Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Марычев. -М.: Наука, 1981.

58. Садритдинова Г.Д. Области с разрезами и свойства управляющих функций в уравнении Левнера // Тез. докл. междунар. конфер. по матем. и механике. — Томск: ТГУ. — 2003.

59. Садритдинова Г.Д. Уравнение Левнера с составным управлением // Вестник Томского государственного университета. 2004. - № 284.

60. Сатритдинова Г.Д. Об одном случае интегрирования уравнения Левнера с симметрией вращения // Доклады РАН. 1999. - Т. 368. -С. 462-463.

61. Сеге Г. Ортогональные многочлены / Г. Сеге. М.: ГИФМЛ, 1962. -500 с.

62. Смирнов В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов. Т. 3. - Ч. 2. -М.: Наука, 1974. - 672 с.

63. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены / П.К. Суетин -М.: Наука, 1976. -328 с.

64. Сыркашев А.Н. Об одном случае интегрирования уравнения Левнера -Куфарева // Материалы третьей всероссийской молодежной научной школы-конференции, КГУ, Казань, 2003г. Т. 21. - С. 204 -206.

65. Тодоров П. (Todorov P.) A simple proof of the Bieberbach conjecture // Bull. Cl. Sci.,Acad. R. Belg. 1992. - V. 12, №3. - p. 335 - 356.

66. Тодоров П. (Todorov P.G.) A structural formula of the Weinstein fonctions used in his proof of the Milin, Robertson and Bieberbach conjectures// Publications de L'institut mathématique. 2001. - V. 70(84). - P. 9 - 18.

67. Уиттекер E.T. Курс современного анализа / E.T. Уиттекер, Г.Н. Ватсон. 42. - M. - Л.: ГТТИ, 1934.

68. Юферова Г.А. Об одном семействе однолистных отображений // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2009. - Т. 1 (5). - С. 47 - 53.

69. Юферова Г.А. Уравнение Левнера и ортогональные многочлены// Вестник Томского государственного университета. 2007. — № 298, май.-С. 121 - 124.