Равномерное приближение непрерывных функций многих переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А. СТЕКЛОВА

ГОРБАЧЕВ Дмитрий Викторович

РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

(01.01.01 — математический анализ)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 517.5

Москва - 1998

Диссертация выполнена в Тульском государственном университете

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор В.И. Иванов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор М.К. Потапов доктор физико-математических наук, профессор С.А. Теляковский

Ведущая организация — Институт математики HAH Украины

Защита состоится « 14 » января 1999 г. в 14 часов на заседании специализированного Совета Д 002.38.03 при Математическом институте им. В.А. Стеклова Российской академии наук (г. Москва, 117333, ул. Губкина, 8).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан « 12 » декабря 1998 г.

Ученый секретарь спецсовета

Д 002.38.03

доктор физ.-мат. наук

В.А. Ватутин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вопросы равномерного приближения непрерывных функций, в частности, приближения периодических функций линейными методами, являются важной экстремальной задачей теории приближений. Этой тематике посвящены многочисленные работы Ж. Фавара, Б. Надя, С.М. Никольского, С.Б. Стечкина, С.А. Теляковского, A.B. Ефимова, Н.П. Корнейчука, В.К. Дзядыка, А.И. Степанца и многих других авторов [1-12].

С наибольшей полнотой исследован случай одной переменной. Доказательство большинства точных результатов опиралось на известную лемму Корнейчука-Стечкина [8]. Случай функций многих переменных менее изучен. Многомерный вариант леммы Корнейчука-Стечкина исследовался А.И. Степанцом [11].

Цель работы. Диссертация посвящена вычислению точных верхних граней функционалов на n-мерных классах функций, определяемых выпуклыми модулями непрерывности, и решению некоторых экстремальных задач для периодических функций многих переменных, связанных с нахождением уклонений линейных методов.

Методы исследования. Применяются методы теории приближений, теории рядов Фурье.

Научная новизна, а) При п ^ 3 получен n-мерный вариант леммы Корнейчука-Стечкина. Вычислены точные верхние грани функционалов со специальными ядрами на многомерных классах Липшица.

б) В пространстве С(Тп) на классах функций, определяемых с помощью свертки многомерных аналогов ядер Бернулли с вы-

числены точные верхние грани норм и уклонений линейных методов, осуществляющих приближение «углом»; в случае свертки с многомерным классом Липшица вычислены точные верхние грани уклонений угловых методов Фавара. При п ^ 3 найдена точная оценка приближения многомерного класса Липшица квадратными суммами Фавара.

Все результаты являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут

бьггь попользованы в теории приближении при исследовании экстремальных задач на классах непрерывных функции многих переменных.

Аппробация работы. Результаты диссертации

докладывались на Международных конференциях по теории приближений и гармоническому анализу в г. Калуге (1996 г.), в г. Туле (1998 г.), на семинаре С.Б. Стечкина и С.Л. Теляковского в МИРАН, на семинаре В.И. Иванова в ТулГУ.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы. Общий объем диссертации — 80 страниц. Библиография содержит 42 названия.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из двух глав. Первая глава содержит 3 параграфа и посвящена решению экстремальной задачи о нахождении точных верхних гранен функционалов на n-мерных классах функции, определяемых выпуклыми модулями непрерывности. Пусть п € f i; для а, Ь £ Е"

Pab - [ai,6i] х ... х [а„, Ь„]

— n-мерный прямоугольник; С(Раь) — множество непрерывных действительных на РаЬ функций;

HLn)(Pab) = {feC(Pab) :|/(l)-/(»)l G Раь},

^ ¿ = 1 >

где uii(xi), г = 1,...,п — одномерные модули непрерывности [11,

с. 12-17].

Рассмотрим экстремальную задачу о нахождении точных верхних граней функционалов

f 4>(x)}{x)dx, TP(x) = f[Mxi) (1)

aft . = 1

на классах Н^(Раь).

В §1 рассматривается простейшая экстремальная задача на классе #<1"'(Раб)-

Для а < 7 < р обозначим через 1/7[а,/3] множество действительных суммируемых на [а, /?] функций удовлетворяющих условиям: ip(t) > 0 почти всюду на (а, 7), </>(i) < 0 почти всюду на (7,/?), f^<p(t)dt = 0 (см. [И, с. 17-18]). Такие функции называются одномерными простейшими ядрами. Для с, х £ Раь функции вида

п

'Ф(х) - П4>i{xi), 4>i £VCl[aitbi], 1=1,...,71, ¿=1

называются многомерными простейшими ядрами. Множество многомерных простейших ядер ф обозначим через У^п\раь). Отметим, что

г)

!/'(.1') > 0 почти всюду па 71-мерном прямоугольнике Рас = [аьС]] х . .. х [а„, сп].

Для многомерного простейшего ядра ф € \'е"\Раь) рассмотрим экстремальную задачу о точной верхней грани функционала (1) на классе (Раь), которую также назовем простейшей. Положим

£(М = £[ф,Н^(РаЬ))= sup

jenin)(P„b)

ip,

A.II. С'тепанец [11, с. 71] получил оценку сверху

[ ф(х)Цх) dx

(2)

£(ф,ы) <С 2П~1 [ Ф(х) ппп uJi(вi{xi)-xi)dx. (3)

■¡Рос К'^П

где ¿»¿(я,) = ф{), г = 1,..., 71 — функции, которые определяются

на [а, , с;] посредством равенств

/ dti = I фi{ti)dti, а,- ^ л,- с,- ^ ^ &,-. (4)

•/ а, ^ а.

Множество всех функций ei{x^,фi) обозначим через д{ф):

в(Ф) = {еЛъ,ф{) : г = 1, • -.,»}.

Основным результатом §1 является построение экстремальной функции, доказывающей точность оценки (3) для произвольного ядра ф и произвольных выпуклых (вверх) модулей непрерывности u!¡ при всех п > 3.

Теорема 1.1. Если п ^ 3, i — 1,..., п — выпуклые мо-

дули непрерывности, ф = Vi • ... ■ фп £ Vc"'1 (Раь) — многомерное простейшее ядро, то

£(ф,ш) = 2"~1 I ф{х) min uJi(ßi(xi) — Xi) dx = Jpac i^»

= [ il>(x)f*{x)dx, JPab

где Qi(xi) определяются (4) n f*(x) = /*(х,и,е(ф)) G Н^г](Раь)-

При n — 1 теорема получена Н.П. Корнейчуком и, независимо, С.Б. Стечкиным (лемма Корнейчука-Стечкина [8, с. 190-191]), а при п = 2 — А.И. Степапцом [11].

Для выпуклых модулей непрерывности u)j(xi) величина £(>/', ш) допускает представление свободное от функций Qi(xi), которое дается n §2 через перестановки. Пусть

(•*•<) = / 4>i [U) Mi, xi € К Л], г = 1, . . ., п

Ja,

ii для t о

Ф¡(0 = Ф,-(Ма,-Л]) = inf{u : mes{i,- G [а,, 6,] : £ и} ^ i} (5)

— невоэрастающие перестановки функций |Фj-(а;) j = Ф,(х',) на [а,-, 6,], г = 1,...,п,

liu, = Нш{Раь) = min — а,). (6)

1 ^ I ^ п

Теорема 1.2. В предположениях теоремы 1.1 для величины £(ф,и>) справедливо равенство

= Гиф.-К"'(0)^, J° ¿=1

где ^i(t), i = 1,. .., n — функции (5) и /ъ определяется (6).

При n = 1 теорема получена II.П. Корнейчуком [8, с. 190-191], а при п — 2 — A.II. Степанцом [11].

В §1 находится точная верхняя грань функционала (1), где каждое из одномерных ядер V'i имеет в точности одну перемену знака на [я,-,6,]. В §3 вычисляется точная верхняя грань функционала (1) на классах Липшица в случае, когда одномерные ядра V'i со специальными свойствами имеют несколько перемен знака на [а,-,6,]. Пусть А = (А\,..., Л„) G М", Ai > 0,

H{;l)(Pab) = {/ G C(Pab) : If(x) - f(y)I <C J2 - Vil У G

¿=1 '

— класс Липшица. Очевидно, что Н^(Раь) есть частный случай класса Н^(Раь), определяемого линейными, а, значит, выпуклыми модулями непрерывности

u>i{xj) = AiXi, Xi G [0, bi - a,], i = 1,..., n.

Для /? G П, о < /3 обозначим через Ул[о, 0] множество функции (одномерных ядер) f(t), удовлетворяющих условию:

(-l)Ve Vlk[tk,tk + 1], к = 0, l,..., R — 1,

где tk = а + 11 1к — некоторая точка из (tk,tk+1)- Для N £ П"

через V^'\Pab) будем обозначать множество функций (многомерных ядер) П'(х) = П"=1 i'i(xi), х G Раь, где G Vjv,[я,, 6,], i = 1,..., п.

На классе Я^П'(Р„(,) рассмотрим экстремальную задачу нахожде-

ния величины

£л(ф) = £{ф,Н^\РаЬ)) = sup

Уея^^Роь)

I

ф'(х)/(х)(1х

РаЬ

с многомерным ядром ф = ф\ ■ . .. ■ фп 6 ^\Раь)- Пусть для г = 1,..., п, I ^ О

Г ми)<1и, Ф,-(*, [а,/?]) (7)

— невозрастающие перестановки функций |Ф,| на [а,/?],

— Е-иерестановки Корнейчука [8, гл. б] функций |Ф,| на [а,, 6,],

ц = РаЬ) = ппп Л^Ц^-. (9)

Теорема 1.3. Если п ^ Ъ, ф> = ф\ ■ ... ■ ф>„ £ У^{Раь), то

<=1

= [ ф>(х)Г(х)с1х,

¿Роь

где ! = 1,.. .,п — функции (8), (7), /< определяется

(9) л /* £ И{д \Рпь) — экстремальная функция, обладающая свойством:

Г(х1,.. .,ак,... ,хп) = (—/*(Ж1 ,...,Ьк,...,хп), к = 1,.. . ,п.

При ?) = 1 доказательство теоремы п более общей формулировке содержится в [11, с. 30-35]. При п = '2 теорема по сути доказана Л.П. Стенанцом в работе [10].

13 §3 также рассматривается одна экстремальная задача на специальном классе Липшица.

Пусть [(),/]" — ?)-мерный куб, / > 0;

//<">([0,/]") = {/ е С([0,/]"): 1/И-/М1 <; ¿|.т,-Ы, лу е [о,/]"} ^ ¿=1 '

— частный случаи класса Липшица /^"'([О,/]"), определяемого константами /1, = 1, ? = 1, . . ., 7). Обозначим

н{0п]ф,1)п) = {/ е //("»([0,/]"): 7(0) = о).

Для В. 6 14, Я ;> 2 введем класс У}"'([0,/]п) многомерных ядер ф(х) = П"=1 V'!(лг*)- х £ [0,/]", удовлетворяющих условиям: г/и(х{) > 0 почти всюду на [0, /0'/Л ф{(х{) с1х{ = 1, ф{ <Е Ул-^т?,'], » = 1, • •

На классе //¿"'([О,/]") рассмотрим экстремальную задачу нахождения величины

£(Ф) = е(Ф,п(0'1)([о, /]"))= вир

с ядром ф = VI • • • • • ф,г € /]")- Пусть для г = 1,..., п, I ^ 0

Щх{)= 1г(ч(и)<Н„ *,■(*,[«.$) (10)

— невозраотающие пе])естановкн функций |Ф,| на. [(*,/$],

II-1

— ^-перестановки Корнейчука функций |Ф,| на [7^,/?].

/ ф(х)/(х)с!.х

J\0,l]^^

Теорема 1.4. Если п ^ 3, </' = </'1 • • ■ ■ ■ V'« £ V«'(ЕМ"). то

\=1

Ф(х)Г(х)Лх,

гЧп ( " 1 / "

= (1>,-(ол + 2(П(1 + 2

/ ./го

/[о,;]»

/'де Р[(/лЧ*;), , ¿= 1, ...,п —функции (11), (10) л экстремаль-!0

пая функция /* € //,'"'([0,/]").

При п = 1 теорема в более общей формулировке доказывается также, как и в [11, с. 266]. При п = 2 теорема по сути доказана А.II. Степанцом в работе [10].

Вторая глава состоит из 4 параграфов и посвящена решению некоторых экстремальных задач для периодических функций многих переменных, связанных с нахождением уклонений линейных методов.

Пусть п £ К, Т" = [—7г, 7г)п — 71-мерный тор, С(Т") — пространство непрерывных 27г-периодических по каждой переменной действительных на Тп функций /(х) с нормой ||/||с = вир |/{аг)|, х € Т";

л£п) = {/ е С(Т"): \/(х) - ¡(у)\ ^ ¿>,(|2,- - у,-|), х,уе г1},

где и>((х{), г = 1,...,п — одномерные модули непрерывности [11, с. 17].

В §1 находится точная верхняя грань норм функций из класса ЩН^.

Пусть для произвольного г 6 Р1"

I 3{х) (1х; = 0, 1,...,»|

— класс функций с ?--й смешанной производной из

и нулевым

средним значением по каждой переменной. Если для произвольного .г е Т"

П 1=1

где

D, t (ж,) = — ^ k~r' cos(k{Xi — L), i=l,...,n "" fc, = i

— одномерные ядра Бернулли [11, с. 211], то известно, что

wsiiw = вг * //1,"' =

= {«;(*•) = (Br*f)(x)= J Вг(х - 0/(0 Л : / £

(12)

Па классе И7о//!,"' рассмотрим экстремальную задачу нахождения величины

Л/«">Н = sup Hffllc seiv0r//in)

При п = 1 точное значение величины Мг1\ы) для выпуклого модуля непрерывности ы нашел Н.П. Корнейчук [11]. В §1, используя теоремы 1.1 и 1.2, находится точное значение величины Л/Г'"'(ы) с выпуклыми модулями непрерывности для произвольного п ^ 2. Положим

1 °°

В Jt) = -V k-4cos(kt - -7Г^*<7Г,

7Г ''—' fc = l

62,(0 = (-1)SB23(0, 62s+i(0 = (-i)ss2s+1(i + f),

6,(0= / b„(u)du, -7Г ^ / ^ 7Г,

(13)

P[tJ>4) = MO [0, 7г]) +I(/(0 [-7Г, 0]),

где 69(0 [о-, /3]) — невозрастающая перестановка функции |6<j| на [a, /i].

Теорема 2.1. Если и ^ 2, w,-(x,-), г = 1,.. . ,п — выпуклые модули непрерывности, то

Л/(">М =2"-! /""П^гЧОЛ^л, 70 ,=1

где функции P(t,bVl), ЪГг, i = 1,...,п определяются (13) п = minw,-(7r).

В §2 рассматривается близкая к задаче §1 проблема нахождения величины уклонения линейных угловых методов иА на классе

Линейные угловые методы для полиномов изучались М.К. Потаповым, С!.А. Пичуговым, для сплайнов — В. Гордоном, М. Шабоэо-вым, II.II. Корнейчуком и другими авторами [9, 13-16]. Пусть г <Е Е", г,- > 0, ?' = 1.....«,/ЗбР,

11

вгР(х) = Цвг,0,(х<), хет", ¿=1

где

1 °°

Вг,р,{ц) = соз(кх! - Ц^), 1=1,...,»»

— одномерные обобщенные ядра Бернулли [12, с. 29]. Тогда

IНМ = Вг(1 * НЫ (14)

— многомерный класс свертки ядра Вгр и класса Нш*\ являющийся обобщением класса И'0г//1"' (12).

Пусть для произвольной функции д £ С'(Тп)

п

иА(х,д) = ^(-1)к-1 £ иАч..л,к(х,д) (15)

к = 1 1^Ч< Ок^п

— линейный метод приближения «углом». Здесь

Л = (ЛЬ...,Л„), л,- = {ли™=1, ¿ = 1,...,»»

— последовательности действительных чисел, для 1 ^ г^ < ■ • • < г^ ^ п, 1 ^ к ^ п, х £ Тп

ил,1...л,к(х,д)= / иА,1(х{1-и1)-...-иА (х{к-ик)х

х 11 ■ ■ ■ I ^>11 • • • I 1 • • • ! ^п) ■ • • ^¿к

1 /1 °° \ иА,{х^ - - ( - + £ Ук сое кх{ 1, г = 1,..., 71

\ к = 1 '

— одномерные ядра.

IIa классе рассмотрим экстремальную задачу нахожде-

ния величины

E(\Y^H^,Ua)= sup lls-t/AÜrtllc g£U'¡,ñ II L"]

В §2 показывается, что

£{\v;;ßH^\uA)= sup \\Brß(h)*f\\c, (ю>

/б/е>

где

п

Brß(x,\) = Y[Br,ft,[r„Ai), t=i

1 со

Br,0,[xi,Ai)=-Yik-r'(l-\i)coS(kxi-¥-). (17)

При неко торых значениях параметров »•,-, /?,■ и Л,- ядра Br,ß, (х,-, Л,) (17) обладают свойствами ядер Бернулли Br¡(xi). В этом случае для величины £(\Vq^Нш1\иА) (16) можно сформулировать теорему, аналогичную теореме 2.1. В п. 1 §2 выясняются достаточные условия на V{, ßi и А,, при которых ядра /Л-./í, (-i1,, А,) обладают этими свойствами. При этом вводится следующее определение.

Пусть i; > 0, а 6 2, S = — последовательность действи-

тельных чисел,

1 со

Bqa(<, Е) = - J2 - ifc) cos(kt - -TT ^ t < TT

— одно из ядер (17). Будем говорить, что последовательность £ обладает свойством /1(<7о), и писать

Zۀ(q0),

если < 1, ^ 1, к ^ 1 и qo > 0 — минимальное, при котором Á,--<?0(1 _ пе возрастает при к 1.

В п. 1 §2 приводятся некоторые примеры классических линейных методов, удовлетворяющих условию Л(</о) с различными qq.

1-1

Пусть для I — 1,..., н, х Е Тп и / ^ О

Л/€ Л(|-0,-), 'Чи > О,

^ Г + 2, в, = 2<г,, Ь'0, + 1, А = 2<г,- + 1, , Г (— I,2с, (а:,, А,), А =2(7,,

Ьу.б, I) Л;) = <

\ (-1Г>Вг„2ст1 + 1(х, +|,Л,), й =2^ + 1

Ьг,0,(х{,А^ = / 6г./з.(<»,Л,-) с//,-,

J — 7Т

=ьг^1(<,л,-1[о,7г]) + 6г101(4)л|-1[-7г,о]))

гДе '•г,/9,(Л А;, [а,/?]) — невозрастающие перестановки функций Л,)| на [а,/?].

Теорема 2.2. Если п 1, и>,(х{), i — 1,...,п — выпуклые модули непрерывности, г, л Л, удовлетворяют условиям (18), то

•'0 1=1

где Р(/,6,.1/31(Л,)), ¿г./?, (л*,-, ), г = 1,...,гг — функции (19) и =

гшпы,'(7г).

В §2 находится величина £{Ш'013(16) для многих классических линейных угловых методов £/д, однако, только с ядрами (17), имеющими две перемены знака на периоде. Ясно, что аппроксимативные характеристики методов ид в этом случае невелики. В §3 вычисляется величина ¿Уд»), где Яд"' —

класс Липшица и Г/д» — угловой метод Фавара, для которого ядра Вг,/з,(х1, А*) имеют много перемен знака на периоде. Пусть для

МО = . -+ <*»

при 0 <; I <С 1 II £9а(0 = 0 при 1 ^ / < оо. Если для N € II

= иГи^')}^,, к = 1,2,..., (21)

(19)

1Г>

то функция

1 /1 л'-' \ г'н£>(0 = -( 2 + ц -7г <с 1 < 7г

называется (</, а)-ядром Фавара порядка N — 1. Отметим, что при <7 = л, ч £ это классическое ядро Фавара [12, с. 258-259]. Пусть Л = (Ль ..., Л„) е Ш:", /1,' > О,

//<,"> = {/ е С(Т") : |/(.г) - /(у)| ^ ¿Л-^,- - у, |, Г1}

¿=1 ^

— класс Липшица;

иг?н™ = вг0 • н™

— частный случай класса И7д/37/1,"' (14).

11а. классе Н^ рассмот])им экстремальную задачу нахождения величины

£{\\^Н{;г\иА.)= вир Цз-^л-ЫНс, эеИ'о ""д '

где иА. — линейный угловой метод (15), определяемый последовательностями чисел Л* = (Л),.. ., А*,):

л,-еп, » = 1,...,н. (22)

Метод Vл* в этом случае называется угловым методом Фавара. Пусть

. оо . с(лг), ,

ад. 4?') = -

= [' Ьча(т,Е^)<1т, -тг^тг.

«/ — 7г

(23)

(24)

к»

H и. 1 §3 устанавливаются следующие свойства функций bqil (/, е!/« ')

И b,,a(i,Z[a)Y-

sigub4a(t,E^) = ( —l)w signsin Nt,

Г.7Г].

Пусть bqa(t, [a, 6]) — невозрастающая перестановка функции на [a, 6],

Pi-^tXai^)) = £ ^«MaUTË.1^]) (26)

k = -N

— Е-перестановка Корнейчука функции \bqa(t, Eqa на [— 7г,7г].

Теорема 2.3. Если п ^ 2, А* — (AJ,..., Л* ) определяются (20) — (22), то

S(W^H{An),UA.) = 2»-' rf[l\-^](i-,br,p,(mdt,

Jo ,=i

где функции гЛ](*А,/?,(А*)), г = \,...,п определя-

ются (23)-(2б) и /I = гшпЛ,-^.

В §4 рассматривается вопрос о приближении специального класса Липшица квадратными суммами Фавара. Пусть

Я*1'» = {/ € С(ТП) : |/(х) - f(y)| ^ ]Г - У1|, х, у G Г" и-мерный класс Липшица; для R G N

(27)

/ G [—7г,7г) (28)

1*1<Д

— одномерное ядро Фавара [10],

^RH = Fn(Xi)....-FR(xn), х G Tn

- многомерный аналог (28),

ф«(£< я = т^ [ - У) /М dy =

v / JT»

I 7r|t/„| . тН^п.

-e

' 9 /? Ь 9/? ' ' ' 9 О 6

2Л ° 2/? " 2Л ' ь 2/7

(29)

— квадратная сумма Фавара порядка Я функции /(.г). Здесь (;/, í) = //].(•! Н-----h v„x„ и

М = 7^7 / dx,

W Jt»

v е

— коэффициенты Фур1,е функции /(ж).

Рассмотрим экстремальную задачу приближения на классе

£(//<">, Фл) = sup ||/(х) - Фп(г,/)||с. /€//<">

Пусть

Fii(t) = - Г Fn(«)du, t е [0,тг], (30)

я" Л

0 ^ Г1 < т2 < ■ ■ ■ < Г/?_ 1 ^ 7Г, 0 <С ?! < ?2 < •• • < ^ Т

— нули функций Fji(1), Fn(t)\ Fn(t, [а, /3]) — невозрастающая перестановка функции на [а,0\,

п-1_

F[./n,*](t,h) = ^2FR{f,[Tk,rk+1]) (31)

— Е-перестановка Корнейчука функции |F/?| на [77, я"]-

Теорема 2.4. Если n ^ 3, то

£(Н{п), Фл) = £,R(nF„[t) + i((l + 2^[7r//?,7r](i,JP/?))" - l)) dt,

где P[T,/rt,n){i, Fn), Fn — функции (31) и (30).

При 71 = 1 теорема получена Ж. Фаваром [1]. Им было установлено, что метод (29) является в этом случае наилучшим линейным методом приближения на классе (27) и Фл) = Er{H где Еп(Н(1)) — наилучшее приближение класса

//(1) тригонометрическими полиномами порядка R — 1. При п = 2 теорема получена А.II. Степанцом [10].

ЛИТЕРАТУРА

1. Favard J. On best methods of approximation of certain classes of functions by trigonometric polynomials//Bull. Sei. Math. 1937. V. 61. №2. P. 209-224, 243-256.

2. Nagy B. Sur une classe generale de procèdes de sommation pour les Series de Fourier // Hung. Acta. Math. 1948. V. 1. №3. P. 14-62.

3. НИКОЛЬСКИЙ С.M. О линейных методах суммирования рядов Фурье // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1948. Т. 12. №3. С. 259-278.

4. Стечкин С.Б. О наилучшем приближении некоторых классов периодических функций тригонометрическими полиномами // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1956. Т. 20. №6. С. 643-648.

5. Теляковский С. А. О нормах тригонометрических полиномов и приближении дифференцируемых функций линейными средними их рядов Фурье. I // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1961. Т. 62. С. 61-97.

6. Теляковский С. А. О нормах тригонометрических полиномов и приближении дифференцируемых функций линейными средними их рядов Фурье. II // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1963. Т. 27. №2. С. 253-272.

7. Ефимов A.B. Линейные методы приближения некоторых классов непрерывных периодических функций // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1961. Т. 62. С. 3-47.

8. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближений. М.: Наука, 1976.

9. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984.

10. степанец А.И. Точная оценка отклонений сумм Фавара на классах Я1,1 // Исследования по теории приближения функций и их применения. Киев. 1978. С. 174-181.

11. степанец А.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев: Наукова Думка, 1981.

12. Степанец А.И. Классификация и приближение периодических функций. Киев: Наукова Думка, 1987.

13. Gordon W.J. Spline-blending surface interpolation trough curve networks // J. Math. Mech. 1969. V. 18. P. 931-951.

14. Потапов M.K. Изучение некоторых классов функций при помощи приближения «углом» // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1972. Т. 117. С. 256-291.

15. Пичугов С.А. О приближении периодических функций многих переменных в Lч // Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. Днепропетровск: Изд-во ДГУ. 1976. С. 49-50.

16. Шабозов М. Оценки приближения дифференцируемых периодических функций двух переменных интерполяционными смешанными сплайнами // Вопросы теории аппроксимации функций. Киев. 1980. С. 166-172.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Горбачев Д.В. Экстремальная функция для одного функционала на классе H^N\Pab) // Известия ТулГУ. Сер. Математика. 1995. Т. 1. Вып. 1. С. 51-66.

2. Горбачев Д.В. Приближение многомерных классов сверток линейными методами // Известия ТулГУ. Сер. Математика. 1996. Т. 2. Вып. 1. С. 56-70.

3. Горбачев Д.В. Построение экстремальной функции для одного функционала на классе Я^"' // Матем. заметки. 1997. Т. 61. Вып. 4. С. 519-529.

4. Горбачев Д.В. Об одной экстремальной задаче на классе дифференцируемых функций многих переменных // Матем. заметки. 1997. Т. 62. Вып. 2. С. 192-205.

5. Горбачев Д.В. Приближение функций многих переменных суммами Фавара// Известия ТулГУ. Сер. Математика. 1997. Т. 3. Вып. 1. С. 8-13.

ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГОРБАЧЕВ Дмитрий Викторович

РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Специальность: 01.01.01 — математический анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук В.И. ИВАНОВ

Тула - 1998

СОДЕРЖАНИЕ

Основные обозначения ..................................................................................3

Введение ..............................................................................................................8

Глава 1. Экстремальные значения функционалов на классах функций многих переменных................................................23

§1. Простейшая экстремальная задача на классе Н^ (Раь) ••• 23

§2. Представление величины £{ф, Н^ (Раь)) в перестановках 41

§3. Экстремальные задачи на классах Липшица Н^\Раъ) ... 45

Глава 2. Равномерное приближение непрерывных периодических функций многих переменных..................................58

§1. Точная верхняя грань норм функций из класса .. 58

§2. Уклонение линейных угловых методов на классе (54

§3. Уклонение угловых методов Фавара на классе Нд^ .. 70 §4. Приближение класса Липшица квадратными суммами Фавара ..............................................................................................................74

Литература ........................................................................................................77

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

N — множество натуральных чисел, Z — множество целых чисел, Ъч = {0,1,..., q — 1} (g 6 N), К — множество действительных чисел;

W ={v= (1/ь...,!/„) : Vi Е N}, Z n = {v= (z/b ..., vn) : щ Е Z}, Z£ = {z/ = (i/b ... ,г/п) : v{ E Z2}, = {x = ,..., : х{ E К};

a, b E Mn, Раъ = [ai, bi] x ... x [an, bn] — n-мерный прямоугольник;

C(Pab) — множество непрерывных действительных на Раь функций;

^¿(^г) — модули непрерывности;

Hin)(Pab) = {/ Е С(РаЪ) : \f(x)-f(y)\ < Е-=1^г(\хг-уг\), х,уе -Раб};

а < 7 < /3, V7[a, /3] — множество суммируемых на [а, (3] функций (p(t), удовлетворяющих условиям: (p{t) > 0 почти всюду на (а,7), ip(t) < 0 почти всюду на (7, /3), J(p(t) dt = 0;

С Е Pab, Vc{n\Paъ) = {ф(х) = П?=1 Ф^г) ■ Фг <= ^¿Л]};

ОД, Hin\pab)) = sup{| fPab Ф(х)/(х) dx\ : / Е #i,n)(Pa6}};

Ф% £ Qi{xi^i) — функции, определяемые на [a^Cj] по-

средством равенств: /аж.г g^ = dt{\

в{Ф) = teOb^i) : г = 1,.. - ,гг};

/(£, [а,/3]) = inf{u : mes{:r Е : \f(x)\ ^ и} ^ t] — невозра-

стающая перестановка |/| на [«,/3], mesA — мера множества А; f~l(t) — обратная функция к /; Цш{Раь) = minu;i{bi - а,-);

Л G Л- > 0, Я^п)(РаЬ) = {/ G С(Раь) : |/(я) - /Ы| < ~ хтУ G — класс Липшица;

Д G N, = М*) : (-1) V G V^a + ^к, а + ^(к + 1)],

fc = 0,1,..., .R — 1};

iV G N", vft\pab) = {ф(х) = Ylti Мъ) • ^ е Ъг}};

<р G ФИ - f^(u)du, Ф) = Е£"о [« +

+ + 1)]) — Е-перестановка Корнейчука |Ф| на [а,/3];

/ > 0, [0,1]п — n-мерный куб;

Я <»([0, Z]») = {/ G С([0, /]п) : \f(x) - f(y)I < E?=1 ki - Уг I, X, у G

[о,/]"};

Д G N, Л ^ 2, V^n)([0,/]n) = {ф{х) = пим^г) : Фг(хг) > 0 почти всюду на [0, /¿/R ф{(х{) dx{ = 1, ф{ G /]};

ТП = [—7Г, 7т)п — n-мерный тор;

С(Тп) — пространство непрерывных 27г-периодических по каждой переменной действительных на Тп функций f(x) с нормой \\f\\c = snp\f(x)lxeTn;

#in) = HLn)(Tn), tf^n) - Я ^(Т»), HW = H^{Tn); q G N, = £ Efeli cos(kt ~ ^f) — ЯДР° Бернулли;

гбГ,^ Тп, Вг(х) = П"=1 (/ * д)(х) = /Тп 1{х - у)д{у) с1у;

УГХНЫ = {9 е С(Т») : € Я<"\ ¡1к9{х)<Ьц = 0} =

Д. * Я<п) = {¿/(я) - (Вг * /)М : / 6 Я<п)};

= (-1)«Вв(*) при д = 25 и ьч(г) = (-1 увч(г + при д =

25+1;

М*) - ¡1жЬд(и) <1щ

? > 0, а 6 Д^ВД = ¿Е^ ¿"«аЦА* - ~ обобщенное ядро Бернулли;

г е мп, г,- > о, е 2», * е тп, вгР(х) = П?=1 вг.ф{)\

= Вг(3 * ;

Л = (Л1,...,ЛП),Л,- = {А0^1 с К;

1 < ¿1 < •■• < гк < га, 1 < к < га, х е Тп, иА{1..л,к(х,д) = 1тк Ц/=1 . — •> • ■ • 1 til 1 • • ■ 1 ^гк 5 • • • 5 хп) • • • ;

иА(х,д) = Ек=1(-1)к~1Е1^1<...<^пиАч...А,к(х,д) — линейный угловой метод;

иА) = 8ир{||£ - иА(д)\\с : д е УУ;?!!^};

О 0,« е г, {,«(4) = 1-4«+' ЕГ=1(-1)°№"1Ч (яф+т+^^г)

при 0 < Ь ^ 1 и = О при 1 ^ £ < оо;

N е N. - {Л,«)}&!, Л,*) = Ы&);

= + — (д,а)-ядро Фавара

порядка — 1;

^л* — угловой метод Фавара;

= -Л,«)) ««(**-

= (-1)°+"при а = 2а и =

-1У+мВча(1 + 23?,при а = 2(7 + 1;

bqa{ti Z^qcJ) — f—к ^qoci^i ^qa ) d>T

p (+ h - v^-1 h (t \Eh iih±Hi\

Г[—К,7г] {L1 Vqay^qa )) — 2^k=-N V<la \L-> 'I- jV ' N U

qa[

Е-перестановка Корнейчука |bqa(t,Eqa^)\ на [—7г,7г];

R e N, FR(t) = Y,\k\<R 1д ct§ 17Гeikx - ЯДР° Фавара; ж, г/ G Мп, (ж, у) = Ж1У1 +----h

v G Zn, f{v) = JT„ dx — коэффициенты Фурье

функции /(ж);

Ы*, /) = тЛ^ ¡тп - У) /(У) ¿У =

(27Г)'-

п

2Я 2Д

= Е П^^^/Ме-

г/€2"П(-Д,Д)" г=1

— квадратная сумма Фавара порядка Д функции /(ж);

€(Н^\ФЯ) = 8ир{||/(®) - Фд(ж,/)||с : / € Ж»)};

Ы*) = i I? Ы") ¿Щ

О ^ Г1 < т2 < • • • < 7Г, 0 < Т1 < Т2 < • • ■ < Тд < 7Г, ТТе = ^

— нули функций .Рд, Рд;

= ЕьГх1 [^,^+1]) — Е-перестановка Кор-

нейчука |Рд| на ,7г];

signí = 1 при £ > О, signí = 0 при I = 0 и signí = — 1 при £ < 0.

ВВЕДЕНИЕ

В диссертации рассматриваются экстремальные задачи для непрерывных действительных функций многих переменных. Вычисляются точные верхние грани функционалов на n-мерных классах, определяемых выпуклыми модулями непрерывности и решаются некоторые экстремальные задачи для периодических функций многих переменных, связанные с нахождением уклонений линейных методов.

Вычисление верхних граней уклонений линейных методов на классах непрерывных периодических функций (классы ШгНш и др.) является важной экстремальной задачей теории приближений и ей посвящено очень много работ: А. Лебег [18], А.Н. Колмогоров [13], С.М. Никольский [20-23], Б. Надь [19], C.B. Стечкин [33-35], С.А. Теляковский [36, 37], A.B. Ефимов [9-11], Н.П. Корнейчук [14-17], В.К. Дзядык [8], А.И. Степанец [28-32], Л.В. Жижиашвили [12], В.Н. Темляков [39], С.А. Теляковский и В.Н. Темляков [38] и др.

С наибольшей полнотой исследован случай одной переменной. Доказательство большинства точных результатов опиралось на известную лемму Корнейчука-Стечкина [16]. Случай функций многих переменных менее изучен. Многомерный вариант леммы Корнейчука-Стечкина исследовался А.И. Степанцом [31]. В простейшей экстремальной задаче в двумерном случае им было получено полное решение, а для больших размерностей — оценка сверху и решение только в случае симметричных ядер.

Пусть п £ N; для а, Ъ G Мп

РаЪ = [а\М] X ... х [ап,Ьп]

— n-мерный прямоугольник; С(Раь) — множество непрерывных действительных на Раь функций;

H{j\Pab) = {/ G C(Pab) : \f(x)-f(y)\ < ¿Wiflsi-y,-1), x,y G Раъ\ ^ i=î )

где cji(xi), i — 1 ,...,n — одномерные модули непрерывности [31, с. 12-17].

Первая глава посвящена решению экстремальной задачи о нахождении точных верхних граней функционалов

с JL-

/ ${x)f{x)dx, ф(х) = Цфг{х^ (0.1)

JPab i = 1

на классах Н^ (Раь) •

В §1 рассматривается простейшая экстремальная задача на классе Н^\Раъ).

Для а < j < (3 обозначим через V^[a,f3] множество действительных суммируемых на [а, (3] функций (p(t), удовлетворяющих условиям: Lp(t) > 0 почти всюду на (а, 7), <p(t) < 0 почти всюду на (7,/3), f^(p(t)dt = 0 (см. [31, с. 17-18]). Такие функции называются одномерными простейшими ядрами. Для с,х£ Раъ функции вида

п

Ф{х) = П^М' Фг €Vci[ai,bi\, г = 1,..., п,

i=1

называются многомерными простейшими ядрами. Множество многомерных простейших ядер ф обозначим через Vc{n\Pab). Отметим, что ф(х) > 0 почти всюду на n-мерном прямоугольнике Рас = [abci] х ... х [ап,сп].

Для многомерного простейшего ядра ф Е УсП\Раь) рассмотрим экстремальную задачу о точной верхней грани функционала (0.1) на классе Н^{Раъ)^ которую также назовем простейшей. Положим

8(ф,и) = Е{ф,Н^\Ра ь))= sup

feHin)(Pab)

/ ф(x)f(yx) dx

'РаЪ

(0.2)

А.И. Степанец [31, с. 71] получил оценку сверху

£(ф, со) ^ 2п~1 / ф(х) min tüi(gi(xi) — Xi) dx. (0.3)

'Рас

1 ¿¿<71

где Qi(xi) = Qi(xi^i), i = 1,..., n — функции, которые определяются на [аг-,сг] посредством равенств

pXi PSi(xi)

/ фг^{) dti = / lf>i(ti)dti, di ^ Xi ^ Ci ^ Qi(xi) < bi. (0.4)

J cii J ai

Множество всех функций Qi(xi,ipi) обозначим через д(ф):

д(ф) = {Qi(Xi, ф{) : i = 1,..., п].

Основным результатом §1 является построение экстремальной функции, доказывающей точность оценки (0.3) для произвольного ядра ф и произвольных выпуклых (вверх) модулей непрерывности при всех п > 3.

Теорема 1.1 [4]. Если п ^ 3, Ш{(х{), г = 1,.. .,п — выпуклые модули непрерывности, ф = ф\ ■ ... ■ фп Е УсП\Раь) — многомерное простейшее ядро, то

£(ф,и) = 2П~1 / ф(х) min Ui(gi(xi) — Х{) dx =

JPac

= / ф{х)$*{х)йх,

JPab

где Qi(xi) определяются (0.4) и f*(x) = f*{x,uj, д(ф)) Е H^l)(Pab).

При n = 1 теорема получена Н.П. Корнейчуком и, независимо, С.Б. Стечкиным (лемма Корнейчука-Стечкина [16, с. 190-191]), а при п = 2 — А.И. Степанцом [28].

Для выпуклых модулей непрерывности uji(xi) величина £(ф,ш) допускает представление свободное от функций Qi(xi), которое дается в §2 через перестановки.

Пусть

Фг(жг-) = / ф{{и) dti, Xi Е [аг-, bi], г = 1,...,

n

a,i

и для t ^ 0

= [а;Л']) = inf{u : mes{х{ E [а,-Д-] : |Фг(^)| > u} < £}

(0.5)

— невозрастающие перестановки функций |Фг-(жг-)| = на [аг-, 6г],

г = 1,..., п,

/¿w = Vu{Pab) = min Uiipi - di). (0.6)

1 <г<п

Теорема 1.2 [5]. В предположениях теоремы 1.1 для величины £(ф,ш) справедливо равенство

i= 1

где i = 1,..., n — функции (0.5) и определяется (0.6).

При n = 1 теорема получена Н.П. Корнейчуком [16, с. 190-191], а при п = 2 — А.И. Степанцом [30].

В §1 находится точная верхняя грань функционала (0.1), где каждое из одномерных ядер имеет в точности одну перемену знака на [a,i,bi\. В §3 вычисляется точная верхняя грань функционала (0.1) на классах Липшица в случае, когда одномерные ядра ф{ со специальными свойствами имеют несколько перемен знака на [щ,Ь{]. Пусть А = (Ai,..., An) G Ai > 0,

Н{А}(Раь) = \fe C(Pab) : | f(x) - f(y) | < Ai\xi - у{1 x,ye Pab\ ^ i= 1 '

— класс Липшица. Очевидно, что Н^(Раь) есть частный случай класса Н^\раь), определяемого линейными, а, значит, выпуклыми модулями непрерывности

uJi(xi) = AiXi, Xi G [о, bi - aj, i = 1,..., п.

Для R G N, a < (5 обозначим через множество функций

(одномерных ядер) (p(t)} удовлетворяющих условию:

(-1)'v е v^ltk,tk+1l k = о, i,...,R- l,

где tk — а + ^-jr'k и 7*. — некоторая точка из tk+i). Для N G Nn через Vjy ^ (Раъ) будем обозначать множество функций (многомерных ядер) ф(х) = ПГ=1 ^¿(ж,-), х еРаь, где ^ G Vhbi], i = 1,..., п.

На классе Н^ {Раь) рассмотрим экстремальную задачу нахождения величины

£А(ф) = 8{ф1Н^\РаЬ)) = sup

/ен^ЧРаъ) Jp-b

ф{x)f{x) dx

с многомерным ядром ф = ф\ • ... • фп £ Пусть для

г = 1,..., п, £ ^ О

% X i

Vi{xi)= i/>i{ti)dti, (0.7)

ai

невозрастающие перестановки функций |Фг-| на [а: /3], Ni-l

P[aM(t, »^^»¡(Mi'r'l), 4k)=°i + ~ik (0.8)

fc=0 г

Е-перестановки Корнейчука [16, гл. 6] функций |Ф;| на

/i = v{AN,Pab) = min Ai^-^. (0.9)

l^i^n iVj-

Теорема 1.3. Если n ^ 3, ф = фх ■ ... ■ фп £ V^\Pab), то

£л(ф)=2П~1 Г =

J° i= 1

= / ф(х)/* (x) dx,

¿РаЬ

где Р[а^.](£,Ф;), Фг-, г = 1,... ,п — функции (0.8), (0.7), ¡л определяли

А

ется (0.9) и /* £ Н^\Раъ) — экстремальная функция, обладающая

свойством:

/*(х1,...уак)...,хп) = (-1) кГ{х1 к = 1,...,п.

При п = 1 доказательство теоремы в более общей формулировке содержится в [31, с. 30-35]. При п = 2 теорема по сути доказана А.И. Степанцом в работе [29].

В §3 также рассматривается одна экстремальная задача на специальном классе Липшица.

Пусть [0, /]та — гг-мерный куб, / > 0;

гг

НЫ({0,/Г) = / £ С([0,/Г) : I/W-/WI < Е Х'У G М

i=1

— частный случаи класса Липшица Нд^ ([0,1]п), определяемого константами А{ = 1, г — 1,..., п. Обозначим

#<^([0,/]") = {/ £ #(п)([0,/]п) : ДО) = 0}.

Для Л 6 М, Д ) 2 введем класс /]п) многомерных ядер

Ф{х) = ПГ=1 Фг{хг)> х ё [0,/]П, УДОВЛеТВОрЯЮЩИХ УСЛОВИЯМ.- фг(Хг) > 0 почти всюду на [0, йх{ = 1,ф4 е Уд-^,/], г = 1

На классе Н^п\[0,1]п) рассмотрим экстремальную задачу нахождения величины

ф(х)/(х) ¿X

8(ф) = 8(ф,Н{0п)([0,1]п))= 8ир

/ея<п)([о,Г)

'[0,1]'

с ядром ф = фх • ... • ф еу£°([0,/]*). Пусть для г = 1,..., п, £ ^ 0

Щх{)= [ Фг{и)<1и, Фг-(^кД) (0.10)

Л XI

— невозрастающие перестановки функций |Фг[ на [а,(3],

Д-1

(*,«.•) = Е [я. ^тг1]). (°Л1)

к= 1

— Е-перестановки Корнейчука функций на

Теорема 1.4. Если п > 3, ф = фг ■ ... ■ фп £ ([0,1]п), то

Г1/К ( п 1 / п \\

= / ф(х)Г(х)йх, ¿[0 Ап

где Ф,-), Ф», г = 1,..., п — функции (0.11), (0.10) и экстре-

мальная функция /* £ Н^п\[0,1]п).

При п — 1 теорема в более общей формулировке доказывается также, как ив [31, с. 266]. При п = 2 теорема по сути доказана А.И. Степанцом в работе [29].

Знание величины (0.2) и экстремальной функции в (0.2) играет большую роль при нахождении точных верхних граней уклонений линейных методов на классах ]¥ГНШ непрерывных периодических функций многих переменных.

Пусть п € М, Тп — [—7г, тт)п — п-мерный тор, С(Тп) — пространство непрерывных 27г-периодических по каждой переменной действительных на Тп функций /(ж) с нормой ||/||с = эир \f(x)\, х Е Тп;

н^ = {/ е С(ТП): |/М - /(у)I < - угI), х,у е

где о;г-(жг), г = 1,...,п — одномерные модули непрерывности [31, с. 17].

Вторая глава посвящена точному решению некоторых экстремальных задач на классах функций из С(Тп) (классы Липшица Я^ и др.).

В §1 находится точная верхняя грань норм функций из класса

Пусть для произвольного г £ М"

{Я^Н-----

5 6 С(Тп) : дх? ^дх1„ 6 ЯН,

У д(ж) йх^ = 0, г = 1,..., п|-

— класс функций с г-й смешанной производной из Н^ и нулевым средним значением по каждой переменной. Если для произвольного

хетп

п

Вг{х) = ЦВг,{х^,

г-1

где

^ оо

Ви(Х{) = ~ «' = 1, . . . ,71

^ Аг< = 1

— одномерные ядра Бернулли [31, с. 211], то известно [39, с. 31], что

т^я^ - вг * н^ =

= = (Вг * /)(*) = I вг(х - *)/(*) Л : / €

(0.12)

На классе WqH^ рассмотрим экстремальную задачу нахожде-

ния величины

AfP<n> И = sup \\д\\с.

gew-Hin)

При п = 1 точное значение величины М^ {ио) для выпуклого модуля непрерывности ю нашел Н.П. Корнейчук [15]. В §1, используя теоремы 1.1 и 1.2, находится точное значение величины МгП\и) с выпуклыми модулями непрерывности для произвольного п ^ 2.

Положим

^ оо

Bq(t) = ~Y^k-qcos(kt - -тг<£<тг, q£ N

П k= 1

Ы*) = ИГ^ЫО, WiW = (-i)sB2s+1(t +1),

bq(t) = / bq(u) du, —7Г ^ t ^ 7Г,

./ —7Г

(0.13)

где [а,/3]) — невозрастающая перестановка функции \bq\ на [a,ß].

Теорема 2.1 [5]. Если п ^ 2, Ui(xi), г = 1,.. .,п — выпуклые модули непрерывности, то

где функции P(t,bri), bri, i = 1,...,п определяются (0.13) и = min о;г-(7г).

В §2 рассматривается близкая к задаче §1 проблема нахождения величины уклонения линейных угловых методов U\ на классе

Линейные угловые методы для полиномов изучались М.К. Потаповым [26, 27], С.А. Пичуговым [25], для сплайнов — В. Гордоном [7], М. Шабозовым [42], Н.П. Корнейчуком [17, §3 гл. 7]) и др.

Пусть г G Мп, г{ > 0, г = 1,..., п, ß G Zn,

n

Brß(x) = Y[Brißi{xi), x етп,

г-1

где

^ оо

Вп/з{{х{) = - ^к п с0Б(кх{ - г = 1,...,п

^ Аг=1

— одномерные обобщенные ядра Бернулли [32, с. 29]. Тогда

яг;* нр = вгР * нр (о.14)

— многомерный класс свертки ядра Вгр и класса Н^, являющийся обобщением класса УУЦН^ (0.12).

Пусть для произвольной функции д £ С(Тп)

п

иА(х,д) = ^(-1)к-1 Е иА11.,Лгк(х,д) (0.15)

к—1 <---<г'/с^та

— линейный метод приближения «углом». Здесь

А= (ЛЬ...,ЛП), Л,- = {А'*}^, ъ = 1,...,п

— последовательности действительных чисел, для 1 ^ ¿1 < • • • < ^ иАч ...А{к (я, д)= иАч (хгЧ - ) •... • иА (х{к - ик) х

JTk

х д{х\,..., t{1,..., tik,..., жп) с^^ ... с^^

и

1 /1 °° \

UAi{xi) = -( - + \гк coskxi J, г = 1,..., n

— одномерные ядра.

На классе рассмотрим экстремальную задачу нахожде-

ния величины

S(W;ßH<?\UA)= sup \\g-UA(g)\\

с-

gew^Hin)

В §2 показывается, что

£(W^H^\Uh)= sup ||БГ/3(Л)*/||С, (0.16)

где

п

Вг/3(х,А) = Y[Bri/3i(xi,Ai),

г=1 - оо

Вгфг{хг,Аг) = -У>-П( 1 - \Ъ)с08(кхг -

7Г z—'

к=1

При некоторых значениях параметров гг-, /Зг- и Лг- ядра Bnf3i(xi, Лг-) (0.17) обладают свойствами ядер Бернулли Bri(x{). В этом случае для величины (0.16) можно

сформулировать теорему, аналогичную теореме 2.1. В п. 1 §2 выясняются достаточные условия на гг-, /Зг- и Аг-, при которых ядра Brif3i (xi, А{) обладают этими свойствами. При этом вводится следующее определение.

Пусть q > 0, а Е Z, S = — последовательность действи-

тельных чисел,

^ оо

Bqa(t, 3) = -У2 k~qil ~ &) cos (kt -If), -7T^t<7T 7Г z—'

k= 1

— одно из ядер (0.17). Будем говорить, что последовательность S обладает свойством A(qo), и писать

SG A(q0),

если <1, — минимальное, при котором

k~q°(l — не возрастает при к ^ 1.

В п. 1 §2 приводятся некоторые примеры классических линейных методов, удовлетворяющих условию A(qo) с различными qQ.

0.17)

Пусть для г = 1,..., п, х £ Тп и £ ^ О

Л,- € А(г<н), г0г- > О, Г г0,-+ 2, А = 2(7,-, (0.18)

^ I Г0< + 1, А = 2(7; + 1,

ь , Л л Г (-1)^,2^,^), А = 2(7,-,

Гг/ЗДЖЬ ^ I (-1)^,2^ + 1(^ + 1,Л,-), А = 2<7,- + 1,

/Ж,

где Ьгф{ Аг-, [а, /3]) — невозрастающие перестановки функций на [о?,/3].

Теорема 2.2 [3]. Если п ^ 1, о;г-(жг), г = 1,..., п — выпуклые модули непрерывности, Г{ и А?; удовлетворяют условиям (0.18), то

О

г=1

где P(i, (Л,-))} brißi (xi, Ai), i = 1,..., n — функции (0.19) и = min Ui{ 7г).

В §2 находится величина £(Wq^Ua) (0.16) для многих классических линейных угловых методов однако, только с ядрами Brißi Лг-) (0.17), имеющими две перемены знака на периоде. Ясно, что аппроксимативные характеристики методов Ua в этом случае невелики. В §3 вычисляется величина EiW^Ua*), где Н^ — класс Липшица и Ua* — угловой метод Фавара, для которого ядра Вгфг(хг,к*) имеют много перемен знака на периоде.

Пусть для q ^ 0, а £ Z

/ 1 \ = 1 - ^ в-и^-1' (р^п + (fcVr) (°-2°)

/ъ — 1

при 0 ^ i ^ 1 и £qa{t) — 0 при 1 ^ t < оо. Если для N £ N

(Л"={СГ°(?.в)}£1. ^>(9,«)= * = 1,2,..., (0.21)

qa

то функция

N-1

и^ (*) = - (V Ё (я,«) сов А*) ,

7г \ 2 -' }

\ 1 /

-7г ^ £ < 7г

&=1

называется (д,а)-ядром Фавара порядка ТУ — 1. Отметим, что при д = а, д Е это классическое ядро Фавара [32, с. 258-259]. Пусть А = (Аи...,Ап) е Кп, А{ > О,

= {/ € С(Тп) : \/(х) - /(у)I < - Ы, т4

^ г=1 '

класс Липшица;

и^я= вг3 *

— частный случай класса И^Н^ (0.14).

На классе И7^'8Н^ рассмотрим экстремальную задачу нахождения величины

вир \\д-иА*(д)\\с,

где иА* — линейный угловой метод (0.15), определяемый последовательностями чисел А* = (А*,..., А*):

А* = 5^, Дг € Н, г = 1,..., п. (0.22)

Метод 11А* в этом случае называется угловым методом Фавара. Пусть

1 °° 1 _ АЮ ( \ В,о(*,В£>) = с" (М-**), (0.23)

7г ^ к<1

к= 1

(0.24)

~ (-1; 2а(Г,2стЛ

Ь (+ \-( 7Г -(АО \

= Г Н^т, -тг < * < тг. (0.25)

</ —7Г

В п. 1 §3 устанавливаются следующие свойства функций

signЪqa(t,Z<q^) = (~1)1Ч31ёп8тт,

Пусть Ьда(£, [а, &]) — невозрастающая перестановка функции \Ьда(г,Е$Р)\ на [а, Ь],

N-1

П-^Ъ^Е^)) = £ (0.26)

— Е-перестановка Корнейчука функции | на [—7г, 7г].

Теорема 2.3. Если п ^ 2, Л* = (Л^,...,Л*) определяются (0.20)-(0.22), то

П

'0

£(WlßHf,Uk.) = 2-1 / Л,

¿=1

где функции Р^^.Ьгф^А*)), brißi(xi, А*), i = 1,...,п определяются (0.23)-(0.26) и /1 = min Л-¿т.

В §4 рассматривается вопрос о приближении специального класса Липшица квадратными суммами Фавара. Пусть

Я(п) = {/ е С(Г"): I/W - /Ы1 < Е - Уг|, х, у £ Г*}

(0.27)

г=1

гг-мерный класс Липшица; для R £ N

«=Elctsf1' te [-*,*) (0.28) lfcl<Ä

— одномерное ядро Фавара [35],

— многомерный аналог (0.28),

Фд(я, /) = т^-- / Фr(x - у) f(y) dy =

[ZTTJ JTn

7г|v\ | tt\v\\ 7r|i/n| Tl\v.

2Д ° 2R 2R 2R

v&nf\(~R,R)n

(0.29)

— квадратная сумма Фавара порядка R функции f(x). Здесь (г/, ж) =

Н-----h и

= тЛ^ f dx, V е zn

(27Г)п ут„

— коэффициенты Фурье функции /(ж).

Рассмотрим экстремальную задачу приближения на классе

£(Я<п\Фд) = sup ||/(Ж)-Фд(Ж,/)||с.

/ея(")

Пусть

Йг W = - [ Ыи) du, * G [0? т], (0.30)

71 Jt

0 ^ ti < r2 < • ■ • < тд_1 < 7г, 0 < г1 < т2 < • • • < tr < 7г

— нули функций FR(t), FR(t); FR(t, [су,/