Аппроксимация целыми функциями на подмножествах полуоси тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

СИЛЬВАНОВИЧ ОЛЬГА ВАСИЛЬЕВНА

АППРОКСИМАЦИЯ ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ НА ПОДМНОЖЕСТВАХ ПОЛУОСИ

01.01.01 — МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2009

\

003460975

Работа выполнена на кафедре математического анализа государственного образовательного учреждения "Российский Государственный Педагогический Университет им. А. И. Герцена"

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор

Широков Николай Алексеевич доктор физико-математических наук Коточигов Александр Михайлович кандидат физико-математических наук, доцент Васин Андрей Васильевич Брянский Государственный Университет имени академика И. Г. Петровского

Защита состоится " у у '^¿#¿^^2009 года в у час. на заседании Диссертационного Совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического Института им.В. А. Стеклова Российской Академии наук по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб.р.Фонтанки, д. 27, ауд. 311

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПОМИРАН

Автореферат разослан " ^ "¿¿^1^/2009 года.

-у

Учёный секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук О4^-1 Зайцев А.Ю.

общая характеристика работы

Актуальность темы. Несмотря на то, что

аппроксимация целыми функциями составляет сейчас большую ветвь комплексного анализа, некоторые вполне естественные вопросы остаются пока без ответов. Применительно к поставленной проблеме приближения эти вопросы формулируются следующим образом:

— Каким условиям должна удовлетворять комплекснозначная функция для того, чтобы некоторая сколь угодно хорошая весовая аппроксимация на некотором подмножестве М+ целыми фукнциями из определённого класса была возможна.

— Каким должен быть класс приближающих функций.

— Каким образом строить функции, осуществляющие указанное весовое приближение рассматриваемых функций на заданном подмножестве М+.

— Возможно ли получить конструктивную характеристику функций из рассматриваемого класса непрерывных функций.

Ранее ответы на аналогичные вопросы для случая всей полуоси были получены в работе Т.С.Давыдовой и H.A. Широкова (Т.С. Давыдова, H.A. Широков, Приближение функций из класса Гёлъдера на полуоси, Записки научных семинаров ПОМИ 262 (1999), 127137). А именно, там была решена задача о весовом приближении функций класса Гёльдера на всей полуоси целыми функциями порядка | из специально подобранного класса. При этом удалось доказать прямую и соответствующую обратную теоремы приближения, что позволило говорить о конструктивном описании

рассматриваемого класса непрерывных функций. Изменение области приближения привело к постановке сформулированных выше вопросов, появилась новая проблема конструктивного описания некоторого класса непрерывных функций, а также оценки скорости их весовых приближений. Таким образом, тема диссертации актуальна.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования в диссертации являются функции из обощённых классов Гёльдера на подмножествах положительной полуоси и целые функции порядка | из специального класса.

Цель работы состоит в формулировании и доказательстве соответствующих прямой и обратной теорем приближения целыми функциями, что даёт возможность говорить о получении конструктивного описания класса гладкости функции из классов типа Гёльдера при помощи скорости весового приближения.

Методы исследования. При построении масштаба приближения используются оценки функции Грина в различных вариантах; используются методы построения приближающих функций, развивающие ранее применённые при исследовании приближений на полуоси, а также используемые при исследовании аппроксимации на несвязных множествах; при доказательстве обратной теоремы применяется новая форма неравенства типа неравенства С. Н. Бернштейна для производных целых функций.

Научная новизна заключается в возможности получения конструктивной характеристики класса непрерывных гладких функций на новых типах подмножеств полуоси. Все полученные результаты являются новыми.

Теоретическая значимость. В диссертации

конструктивно описаны классы функций в ситуациях, требующих соединения соображений, относящихся к приближениям полиномами на областях комплексной плоскости и соображений, относящихся к приближениям целыми функциями.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её методы могут быть использованы в аналогичных задачах теории приближений.

Достоверность результатов. Все основные результаты диссертации являются достоверными научными фактами, получившими в диссертации строгие доказательства.

Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием. Доказательства всех основных положений получены соискателем. В совместной работе научному руководителю принадлежит постановка задач и намеченная методика их решения.

Научные положения, выносимые на защиту.

1. В диссертации для определённых подмножеств положительной полуоси построена функция, оценки которой оказываются удобным масштабом для изучения приближения целыми функциями.

2. Для функций из классов, аналогичных классам Гёльдера на подмножествах положительной полуоси доказана возможность их сколь угодно хорошей весовой аппроксимации, измеряемой определённым в диссертации образом, с помощью целых функций порядка | из некоторого конкретного класса.

3. Доказана теорема о гладкости функции, приближаемой указанным в диссертации образом.

4. Согласованность прямого и обратного

з

аппроксимационного утверждения дают конструктивное описание обобщённых классов Гёльдера на подмножествах положительной полуоси.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на 1У-й Петрозаводской международной конференции по комплексному анализу (июль 2008 года), а также на Герценовских чтениях в докладе; "Обратная теорема для приближения целыми функциями на подмножествах полуоси,"которые проходили 17 апреля 2008 года в РГПУ им. А. И. Герцена.

Публикации. По теме, диссертации опубликованы 3 работы, указанные в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы, изложена на 71 стр. Список литературы включает 21 название.

Содержание диссертации

Введение' содержит краткий экскурс в историю расматриваемой в диссертации проблемы, описание основных результатов диссертации.

Первая глава "Вспомогательные функции,"состоящая из четырёх параграфов, содержит все необходимые для раскрытия темы диссертации материалы. В первом параграфе вводится множество приближения Е - это подмножество положительной полуоси Е+ = [0;оо), состоящее из конечного числа дизъюнктных отрезков 1г = [0,61],..., 1к = [ак, Ьк) и луча 1Ш = [ак+1, оо), где 0 = ах <Ьг < ... < Ьк < ак+1, к ^ 1.

На основе множества ^специальным образом строится семейство континуумов К:

К = К{зи..., з2к) = Е и у и£=1 [¿2а1_Ь Ы,

где /у - три равные части отрезка каждый отрезок /„, 2 < и < к, разделен на пять равных отрезков, которые перенумерованы так, что при < отрезок /„л лежит левее отрезка отрезок [а^г + 1 ]йк+1 + 2] обозначен через Д+1)4; точки

51 £ /12, -52(^-1) € 1и2, 52(гу_1)+1 € /„4, 2 ^ ^ ^ к, € Д+1,4

выбраны произвольно; = — I.

Далее описываются функции, для которых будет осуществляться приближение - они принадлежат пространству комплекснозначных функций Щ(Е) и удовлетворяют следующим условиям:

В качестве приближающих на множестве Е агрегатов вводится класс целых функций порядка | и

переменного типа а > 0, с нормой, задаваемой равенством:

Второй параграф посвящён введению специальной функции Ph(z), с помощью которой получается необходимое для оценки получаемых приближений масштабирование. Для этого сначала доказывается следующая Лемма :

Лемма 1. Существует единственная гармоническая в С \ Е функция, удовлетворяющая условиям: Ve{z) > 0, <Pe{z) 0, если z —> z0€ Е,

<Pe(z) < ci (l + и ~1 пРи х

I), х,уеЕ,

\\Fa\\c^) = sup

«^1 + Игф|) + гМг2)'

После чего вводится масштабирующая функция : ph{z) = dist(z,Lh), z€C,

где

Lh = {z G С \ E : ipE{z) = h}, h > 0.

Так как при доказательстве прямой теоремы приближения, содержащейся во второй главе, сначала все оценки производятся на континууме К, а затем переносятся на множество Е, во втором параграфе также доказывается Лемма 2, аналогичная Лемме 1.

Лемма 2. Существует единственная гармоническая в С \ К функция <Pk{z) со следующими свойствами:

<Pk(z) > 0, <Pk{z) -> 0 при z —► z0, z0 е к, -;—- —> 1 при х —> +00,

X2

где К - любой из семейства построенных ранее континуумов, содержащих множество Е.

В третьем параграфе формулируется и доказывается ряд технических Лемм, необходимых для проведения оценок построенного приближения при доказательстве обратной теоремы приближения, содержащейся в Главе 3:

Лемма 3. Пусть

7 к~г к

Lh = {z € С \ Е : ipE{z) = h},h> О, ' A{z) = dist(z, Е'),

Ph{z) — dist(z, Lh), тогда при всех z G E

Ph{z) ж hy/A{z) + h2.

Лемма 4. Пусть V(z) - фукнция, гармоническая в С \ Е и удовлетворяющая условиям

V{z) - log ((\уЩх) + ЩГш (/ix/aM+^)) , при z х € Е, h > 0;

V(z) = 0(log(\z\ + 1)), npuz ^oo

Тогда существуют постоянные с\ > 0 и > 0, не зависящие от z и h такие, что при z £ <С\Е справедливо соотношение

log (J[hy/A(z) + h2Ju (hy/Щ+Щ^ - с? < V(z) <

< log ((hy/A{z) + h?Jи (hy/A(z) + /г2)) + с*

Четвёртый параграф является последним в первой главе и содержит только одну Лемму, которая является основной при построении приближающей фукнции в прямой теореме приближения (см. Главу 2). А именно, в ней рассматривается возможность осуществления так называемого псевдоаналитического продолжения функции по Е. М. Дынькину.

Лемма 7. Пусть f € Щ(Е) и точки sl5 ...,s2fc выбраны из соотвествующих промежутков.

Тогда существует продолжение fo(z, sb ...,s2fe) функции f на всю плоскость С (так называемое псевдоаналитическое продолжение по Е. М. Дынькину) такое, что выполнены соотношения

f0eC{C)ncl(c\K(Sl,...,s2k)),

/о = 0 вне Q, f0\E = /,

dfo{z,Si,...S2k)

dz

^ ca5t-\z)d{8{z)\ z € €\K{8U...,S2k),

где

5{г) = ¿(г, 5Ь..., = Шз^г, К(зи..., а2*))>

постоянные с3,с4 не зависят от «1, и -г,

= [г - х + гу : х ^ -1, у ^ 2(ж + 1)}.

Глава вторая "Прямая теорема приближения" содержит формулировку и доказательство1 прямой теоремы приближения - теоремы о возможной скорости аппроксимации на рассматриваемом множестве Е гладких функций целыми функциями порядка 1/2 из класса определённого ранее в Главе 1:

Теорема. Пусть / € Щ(Е). Тогда для любого а > О найдется целая функция ¥„ € такая, что

и

\/{х) - < са||/||Г1Ырг1(ф (рфг)) , хеЕ,

где постоянные сь с%> 0 зависят только от г, ш и Е.

Третья глава "Обратная теорема приближения" посвящена так называемой обратной теореме, которая согласуется с приведённой в Главе 2 прямой теоремой. Речь идёт о том, что если непрерывная на множестве функция может быть приближена в определённой шкале при помощи некоторого запаса приближающих функций с данной скоростью, то она имеет вполне определённую гладкость. Если известно и о возможности приближения функций обсуждаемой гладкости с требуемой скоростью, то получается конструктивное описание класса гладкости при помощи скорости приближения. Теорема. Пусть пространство целых функций С^

с нормой

Ш\сш = sup

jc\R+ 1 + \z\rw(\z\) + a~2ru>(a~2)'

\Fa(z)\ ■

где ш(х) удовлетворяет условию

у

oo

f co(x) f u(x) , ^ , ,

/ -j^dx + y -jrdx ^ cou{y), у > 0,

0

у

шкала функций ph(z) определена с помощью Lh = {zeC\E: <Pe(z) = h} , h > 0,

ph(z) = dist(z, Lh), z eC.

Пусть f G C(E) и предполоэюим, что существуют постоянные с4 и с5; такие, что для всякого а > 0 найдётся функция Fa £ такая, что

||iv||c(^) ^ с4

и

Тогда

/ G и 11/11^ ^ Се, Сб = сб(с4, с5, Е, г).

Публикации по теме диссертации

1.0.В.Сильванович, Н.А.Широков, Приближение целыми функциями на подмножествах полуоси, Записки научных семинаров ПОМИ 337(2006), 233237.

2.0.В.Сильванович, Н.А.Широков, Скорость приближения и гладкость функций, Вестник Санкт-Петербургского университета, Серия 1. Математика, механика, астрономия, 2008, Вып.4, 39-45.

3.0.В.Сильванович, Н.А.Широков, Гладкость функции и скорость приближения, Тезисы докладов IV Петрозаводской международной конференции по комплексному анализу, Петрозаводск, 29 июня-5 июля 2008, 36-37.

Подписано в печать 15.01.2009. Формат 60x84/16 Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ЗАО «КопиСервис». Печать ризографическая. Заказ № 1/0115. П. л. 0.625. Уч.-изд. л. 0.625. Тираж 100 экз.

ЗАО «КопиСервис» Адрес: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, д. 3. тел.: (812) 327 5098

§0. Введение

Глава 1. Вспомогательные фукнции.

§1. Множество аппроксимации и приближающие функции

§2. Масштабирующая функция.,

§3. Оценки функций фе^) и У7к(г)

§4. Псевдоаналитическое продолжение функции.

Глава 2. Прямая теорема приближения.

Глава 3. Обратная теорема приближения.

В процессе решения поставленной проблемы приближения последовательно решается ряд вопросов:

• Каким условиям должна удовлетворять комплекснозначная функция для того, чтобы некоторая сколь угодно хорошая весовая аппроксимация на некотором подмножестве целыми фукнциями из определённого класса была возможна.

• Каким должен быть класс приближающих функций.

• Каким образом строить функции, осуществляющие указанное весовое приближение рассматриваемых функций на заданном подмножестве М+.

• Возможно ли получить конструктивную характеристику функций из рассматриваемого класса непрерывных функций.

Все эти вопросы возникли в ходе исследования общей проблемы аппроксимации целыми функциями на различных областях комплексной плоскости. Ранее ответы на аналогичные вопросы для случая всей полуоси были получены в работе [7]. А именно, там была решена задача о весовом приближении функций класса Гёльдера на всей полуоси целыми функциями порядка \ из специально подобранного класса. При этом удалось доказать прямую и соответствующую обратную теоремы

-зприближения, что позволило говорить о конструктивном описании рассматриваемого класса непрерывных функций. Изменение области приближения привело к постановке сформулированных выше вопросов, появилась новая проблема конструктивного описания некоторого класса непрерывных функций, а также оценки скорости их весовых приближений.

Актуальность темы. Несмотря на то, что аппроксимация целыми функциями составляет сейчас большую ветвь комплексного анализа, некоторые вполне естественные вопросы остаются пока без ответов. К числу подобных проблем относится и конструктивное описание классов непрерывных функций, скорость их весовых приближений. Диссертация выполнена в русле этой тематики и потому актуальна.

Цель работы состоит в формулировании и доказательстве соответствующих прямой и обратной теорем приближения целыми функциями, что даёт возможность говорить о получении конструктивного описания класса гладкости функции из классов типа Гёльдера при помощи скорости весового приближения.

Основные результаты работы.

• - класс целых функций порядка | и переменного типа а > 0, с нормой, задаваемой равенством

ПРИ 1 + ИМИ) + <7-М"-2)

- функции, являющиеся приближающими агрегатами.

• шкала весового приближения определяется с помощью введения следующей функции рн(г) = (ИзЬ(г, Ьн), г в С, где

Ьк^{геС\Е: = К] , К > О,

О - гармоническая в С \ Е функция, обладающая определёнными свойствами.

• Сформулирована и доказана прямая теорема приближения.

• Сформулирована и доказана обратная теорема приближения.

Научная новизна. В диссертации получены утверждения о конструктивном описании классов непрерывных функций на новых типах несвязных множеств. Все основные результаты являются новыми.

Теоретическая значимость. В диссертации конструктивно описаны классы функций в ситуациях, требующих соединения соображений, относящихся к приближениям полиномами на областях комплексной плоскости и соображений, относящихся к приближениям целыми функциями.

Достоверность научных результатов. Все результаты диссертации являются строго доказанными научными фактами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на 1У-й Петрозаводской международной конференции по комплексному анализу (июль 2008 года), а также на Герценовских чтениях в докладе "Обратная теорема для приближения целыми функциями на подмножествах полуоси,"которые проходили 17 апреля 2008 года в РГПУ им. А. И. Герцена.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 3 работы.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы, изложена на 71 стр. Список литературы включает 21 название.

1. E.M.Dyn'kin. The rate of polynomial approximation in the complex domain // Springer Lecture Notes in Math, Vol.864, 1981, 90-142.

2. K.G.Mezhevich, N.A.Shirokov. Polynomial approximation on the union of conven continua // J.Math.Sci., (132), 2006, No.4, 400403.

3. N.A.Shirokov. Analityc functions smooth up to the boundary // Springer Lecture Notes in Math.,Vol. 1312,1988, 220 p.

4. Н.И.Ахиезер. Лекции по теории аппроксимации. М.,1965.

5. В. И. Белый. Конформные отображения и приближения аналитических функций в областях с квазиконформной границей // Матем. сборник АН СССР (102) 1977, No.3, 331-361.

6. Г.М.Голузин. Геометрическая теория фукнций комплексного переменного. М., 1961.

7. Т. С.Давыдова, Н.А.Широков. Приближение функций из класса Гёльдера на полуоси // Зап. научных семинаров ПОМИ (262) 1999, 127-137.

8. В.К.Дзядык. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.,1977.

9. Е.М.Дынькии О равномерном приближении функций в жордановых областях // Сиб.мат.ж. (18) 1977, N0.4, 775-786.

10. Е.М.Дынькин. Оценки аналитических функций в жордановых областях // Зап. научных семинаров ЛОМИ (73) 1977, 70-90.

11. Е.М.Дынькин. Гладкости интегралов типа Коши // ДАН СССР, 1980, 199-202.

12. Е.М.Дынькин. Конструктивная характеристика классов Соболева и Бесова // Труды мат. ин-та им. В. А. Стек лова (155) 1983, 39-74.

13. Н.А.Лебедев, Н.А.Широков. О равномерном приближении фукнций на замкнутых множествах, имеющих конечное число угловых точек с ненулевыми внешними углами // Известия АН Арм. ССР,(6) 1971, N0.4, 311-341.

14. К.Г.Межевич, Н.А.Широков. Полиномиальные приближения на дизъюнктных отрезках // Проблемы математического анализа 1998, N0.18,118-132.

15. О.В.Силъванович, Н.Л.Широков. Приближение целыми функциями на подмножествах полуоси // Зап. научных семинаров ПОМИ (337) 2006, 233-237.

16. О.В.Силъванович, Н.А.Широков. Скорость приближения и гладкость функций / / Вестник Санкт-Петербургского университета, Серия 1. Математика, механика, астрономия, 2008, Вып.4, 39-45.

17. О.В.Силъванович, Н.А.Широков. Гладкость функции и скорость приближения // Тезисы докладов IV Петрозаводской международной конференции по комплексному анализу, Петрозаводск, 29 июня 5 июля (2008), 36-37.

18. П.М.Тамразов. Гладкости и полиномиальные приближения, Киев, 1975, 255 с.

19. У.Хейман, П.Кеннеди. Субгармонические функции, М.,1980,

20. Н.А.Широков. О равномерном приближении функции на замкнутых множествах с ненулевыми внешними углами // Изв. АН Арм ССР,(11) 1974, N0.1,62-80.

21. Н.А.Широков. Приближение многочленами на компактах с бесконечносвязным доплнением // Алгебра и анализ (10) 1998, N0.1, 248-264.