Шаровые покрытия банаховых пространств и теоремы единственности для потенциалов мер в бесконечномерных пространствах типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ



МОСКОВСКИЙ ОРДЕИЛ ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ пменп В. II. ЛЕНИНА

Специализированный совет К 053.01.02

На правах рукоппсп

КИМ ЁН ЧЖНН

ШАРОВЫЕ ПОКРЫТИЯ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ II ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ МЕР В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

ТИПА Лр

Специальность 01.01.01 — математический анализ 01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физнко-мателатических наук

Москва 1992

Работа выполнена в Московском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамепн педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина.

Научный руководитель:

доктор фпзнко-математнческих наук, профессор Е. А. ГОРИН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. А. ПАСЫНКОВ,

доктор физико-математических наук О. Г. СМОЛЯНОЕ

Ведущая организация: Российский педагогический государственный университет имени А. И. Герцена.

упи*

Защита состоится 05 октя'брн 1992 г. в ...... час. на заседании специализированного совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Московском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина (107140, Москва, ул. Краснопрудная, 14).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета (119435, Москва, ул. Малая Пироговская, 1).

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета

Г. А. КАРАСЕВ

м» * ^

- ..пиля

•,: ,..„, СБП1ЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Данная работа тесно связана с изучением следующей общей проблем. Пусть 'X - вещественное сепара- . больное банахово пространство. Норма элемента ОС. X обозначается /ее/ . Пусть К СО) - непрерывная функция на полуоси ~Ь > О и у11 - регулярный комплексный борелевс-кий заряд на X » имеющий конечную вариацию на кавдом шаре

конечного радиуса. В конкретных ситуациях функция К и заряд обычно подчиняются дополнительным условиям согласования. Например, от часто требуется существование аналитического

продолжения с оценками в угол \ ■С'С комплексной плоскос-

ти, а от. ^А*1 - то пли иные ограничения на рост (или убыва-ппо) на бесконечности, например | {х} <ъо(заряд ограниченной вар'шст; здесь к в дальнейшем \у.с \ - мера, значение дотороП на множество совпадает о вариацией на этом мно-

лество). Расстаттивается потенциал

и(х)\= 5 су*^). а)

х

В опроделешпи условиях потенциал существует (как интеграл Лебега) вевду или в каком-то смысле "почти" всюду. Ес.та это так, то требуется вишпт., г-нтокаот ли из тривиальности потенциала 7р:гоиалыюсть заряда . Если это так, то будем говорить

тжо, что я\гаот г.эсто единственность для уравнения

О

и называть ядро неособым.

Классический результат на эту тему - известная теорема М.Рисса, которую в введенных обозначениях можно сформулировать следующим образом. Пусть X— 1ЯП с евклидовой нормой,

К (£) = "С*4 . где -и < Л < О . и _ заряд ограничен-

нок вариации, т.е. СХ_)<.р° « В таком случае потенциал О.) существует почти всюду по мере Лебега н, если ТАС^^О почти всоду, то = О , т.е. ямеет место единственность для уравнения (2).

В 70-е годы в овязи с изучением изометрий подпространств

Р

лебеговых 1_ -пространств А.И.Плоткш С. 23 } рассмотрел

случай Л > О , когда Х -вещественная ось.

|Я . Оказалось, что единственность сохраняется при всех Х> О » кроме четных (очевидно, что при четных Л единственности нет). В дальнейшем А.Л.Колдобский С I? ) показал, что 5тот результат дословно сохраняется во ъсал (К,Л: и, белее того, во всех сепарабелъных гильбертовых пространствах. Отметим, что несколько позже, но независимо этот результат пэлучия В.Лпн-де, который применил один технический приеи, оказавшейся весьма полезным ео многих других случаях (см, в связи о эда нюхе понятие системы Линде). . ■ . '

Заметим, что изучение подобных проблем в случав бесконечно-,

мерных пространств представляет несомненный пнтероо для тсораи

случайных процессов. Например, при рассмотрении процессов с , х

1_ -реализациями естественно. возникают распределения в ш-тенциалы на гильбертовом пространстве.

Опуская целый ряд других результатов, перейдем к разульта- . там, тесно связанным с темой данной диссертации.

- 5 -

п (п3 1Г)п

Обозначим через стандартное ¡К • но снабжен-

ное покоординатной Л^ -нормой. Через Лу обозначается бесконечномерное пространство последовательностей, суммируемых в степени Р^ I ..

В работах Е.А.Горина л А.Л.КоддобскогоС 10]), (Д1) среди прочего был изучен случайА >0 (или линейной комбинации таких ядер), в указанных пространствах.

В конечномерной ситуации использовалась техника обобщенных функций, и один из центральных моментов состоял в установлении аналитических свойств преобразования Фурье от . Оказыва-

ется, что вне координатных плоскостей преобразование Фурье является вещественно-аналитической функцией, которая вырождается в том и только в том случае, когда ^/р целое и, кроме того, выполняется хотя бы одно из следующих условий: ^/р <С п - ;

четное; р и ^/р ~ 7* оба нечетные. В этих и только в этях случаях уравнение (2) над Лр имеет (разнообразные) нетривиальные решения.

В бесконечномерном Л-р ядро, отвечающее ~ЬЛ , оказывается особиа тогда п только тогда, когда А/р целое.

Хотя отвот в бесконечномерной ситуации подсказывается ко-иечпокзрпой, тохппка, связанная о обобщенными функциями теперь по работает. В работая Е.А.Горпна и А.Л.Кодцобского было пред-логеао несколько доказательств "бесконечномерной" теоремы, причем нказтарио. аз пах тробуат специфического варианта леммы Картам о сояраткл.

Хотя прз Л>0 привлекать лс-.?;у Картана но обязательно, пешпка распространять тоорзцу Рясса иа бесконечномерные пространства вряд ли будет уедезной без информация такого сорта,

поскольку б бесконечномерном случав нет аналога меры Лебега, . •л нельзя сослаться на теорему фубш даже душ доказательства существования потенциала (хотя в конечномерном случае допустима тем большая сингулярность потенциала, чем выие разморность пространства). Использование же леммы Картана мо&ет бить успешным только в том случае, когда известно, насколько обширная часть пространства остается непокрытой, если в качестве покрывающей используется последовательность шаров с убывающими к £> радиусами.

В дальнейших кратких публикациях и докладах Е.А.Горина била намечена обширная програл;\п исследований на эти темы. Цель- этой программы, с одной стороны, - выяснение некоторых топологических вопросов, возникающих в связи с леммой Картана, а с другой, -расширение класса ядер, приводящих-к единственности, особенно б , бесконечномерной ситуации.

Данная диссертация связана с реализацией этой прогреми, причем в том, что касается теорем единственности, - в случае пространств типа ^ и при довольно жестких дополнительню: . предположениях относительно ядер.

Цель габоты состоит в выяснений некоторых гоокэтрачбеюк вопросов, возникающих в связи с применение:! леьглы Картапа с бесконечномерной ситуации и в получения достаточно обдас теорел единственности для уравнений типа (2) б бееконечномэрпше банаховых пространствах типа пространства сукмируеиих последовательностей.

Методы исследования. В работе широко яспольауютсл катода

классического функционального анализа, абстрактной теория дари, классические интегральные преобразования Фурае С Лапласа, ивтодн

тэоряи обобщенных функций н методы теории аналитических функций.

Научная новизна. Среди новых результатов в работе

- получены теоремы о возможности (или невозможности) покрытия подпространств банахова пространства последовательностью окрестностей тонких подмножеств;

- дано необходимое условие ядерности счетно-нормированного пространства в терминах покрытия гомотетиями окрестности нуля;

- для кадцого бесконечномерного банахова пространства и убивающей.к нулп последовательности положительных чисел предъявлен компакт, который не покрывается никакой последовательностью паров о данными радиусами (аналог примера А.Н.Колмогорова);

- предложен новый локальный вариант теоремы о преобразовании фурьо свертки обобщенных функций;

- дани новые варианты теорем единственности для уравнений з свортках па полуоси;

- предъявлен широкий класс идентифицирующих потенциалов в вескопечнсхсряих пространствах специального типа и впервые получен бэскопачномврпкй аналог теоремы М.Рисса.

ттеинодтт.. Работа носит теоретический характер л п 0!!ач1ггсл.:10й кзрэ поспящапа проблемам лшейной топологии, тгор^з «эру ц футпокопальцого анализа. .Результаты могут иметь срзлозсягл и тс орта фупкцЕОйальтп: уравнешй и в теории случай-:та прег,сссов,

Дпг^1лтт"тпг"г*отт1П| Результаты диссертации были представлены па Ясяпнскк чтеяшг п 1ШГУ в апреле 1992 г., на 23-й конференция Л::?с2с::ого гатсгатггсссгого об~эства в июне 1992 г. (в сов-ссобг^птях Е.Л.Горгла а автора), а такяе докладывались ез сс^ппарэ сэ теории функций а функциональному анализу в МИГУ

- 8 -

и на кафедре математического анализа МПГУ.

Публикации. Тезисы упомянутых выше сообщений опубликованы

Структура и объем таботы. Диссертация состоит из введения, трех глав со сплошной нумерацией параграфов (5+3+4) и описка литературы, содержащего 39 наименований. Все основные предложения (теоремы, леммы, наиболее важные примеры и замечания) имеют двойной индекс: первый указывает номер параграфа, вторе:; - номер предложения в параграфе, и этот принцип отражен в автореферате. Полный текст диссертации занимает 125 страниц машинописи.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Бо введении дается краткий обзор истории вопроса и описываются основные результаты диссертации.

Геометрическая часть работы сосредоточена в гл.1.

Б §1 приводится несколько простых обобщений того факта, что пространство размерности и тогда и только тогда колет быть целиком покрыто системой шаров В (р^к » когда ¿1 — .

Е §2 мы напоминаем основные метрические характеристики компактов в банаховых пространствах ( £ - энтропия, тх- поперечники) и в качестве иллюстрации рассматриваем так называемо

-эллипсоиды в Лр . Некоторый интерес, бить иояет, продешевляет теорема 2.7. в которой в частности обнаружено, что пр^ оС > р компактность такого эллипсоида равносильна его ограниченности. •.'•'..■

В §3 рассматриваются пары ^(С. X » П£в X - банахоЕЭ пространство, а У - компактно влохеннЛ В него подпространство. Последнее означает, что V банахово относительно со<^ ствешюй норм!;, а его единичный шар предкомпактен в X « В

реме 3.2 устанавливается, что если последовательность убывает "не очень быстро", а "массивность" указанного шара "не очень велика", то подпространство Y монет быть целиком покрыто системой шаров BC^C1<.J "Ьк.) • ® качестве следствия (теорема 3.4) получается, что если £ ~ ядерное счетно-нор-мированное пространство и

Зм -Л < «*=>

то для каждой окрестности нуля УС Е существует такая последовательность точек е Е , что система ССК -+- Ь^Л/ целиком покрывает Е. (верно ли обратное, нагл не известно). Б §4 рассматривается система уравнений

X. = а .

(3)

в которой о1к и - заданные положительные числа. Боп-

рос состоит в определении условий, при которых система (3) разрешима в положительных ■Х^ , для которых, разумеется,

^ ъо .В теореме 4.1 установлено, что разрешимость системы (3) равносильна сходимости ряда

причем существует в точности одно решение, для которого .51 к совпадает с суммой указанного ряда. Цри всей ее простоте теорема 4.1 оказывается полезной в конструкциях и доказательствах в §5, в частности, она заменяет привлечение так называемых унквор-

сальных последовательностей, игравших заметную роль в предыдущих работах.

Известно, что бесконечномерное банахово пространство нельзя покрыть не только последовательностью шаров ЬС^к^-Ък) с убывающими к нулю радиусами, но и -окрестностями собст-

венных замкнутых подпространств Ук с X » если У, <^УЛСГ>— Более того, в описанной ситуации каждый шар ВС^'Ь) радиуса t > гп<ч< будет содержать точку, для' которой с! )>"ЬК

(здесь и ниже с! означает расстояние). Б приложениях особенно полезен именно этот факт.

В §5 вводится понятие тонкого подмножества банахова пространства (все собственные замкнутые подпространства и их сдвиги суть тонкие подмножества) и при помогай теоремы 4.1 дается некоторое обобщение указанного предложения (теорема 5.4). Кроме того, в теореме 5.8 установлен, в частности, следующий факт. Пусть X - бесконечномерное банахово пространство и > О . Существует такой компакт О, С X > который не покрывается никакой системой 5 , • Разумеется, это является усилением упомянутого выше утверждения о невозможности покрытия всего пространства шарами. При построении О. существенную роль играет теорема 4.1., пример А. II.Колмогорова компакта с "большой" энтропией и известные связи между основными метрическими характеристиками в случао абсолютно выпуклых компактов (в этом смысле конструкция нетривиальна).

В гл.2 содержатся результаты, позволяющие связать теоремы о покрытиях из гл.1 с теоремами единственности, которым посвящена гл.З. Отметим, что лишь часть гл.2 составляют новые результаты.

•- 11 -

§6 посвящен лемме Картана. Классический вариант леммы Кар-тана касается оценки снизу комплексных полиномов от одной переменной. Многочисленные другие варианты используются в теории аналитических и субгармонических функций, в классической теории потенциала и т.д. Характерной особенностью большинства из них является то, что как и в классических теоремах о покрытиях константы включают размерность области определения. Однако, если в теоремах о покрытиях это неизбежно, с леммой Картана дело обстоит иначе, что позволяет приспособить ее для работы с бесконечномерными пространствами. Один из таких вариантов (простейший из указанных Е.А.Гориным) состоит в следующем.

Пусть X ~ полное сепарабельной метрическое пространство, У - гомеоморфизм полуоси Ь >0 , - фиксированное число, причем о< А" < . Пусть - конечная борелевская мера на X . Тогда существует такая последовательность

Вб^Дк) шаров, что 1 9Ч1ГМ</1(*) и У УС^

при всех > О для каждой точки ос е X , не попа-

давшей в объединение шаров В С^к^к) . В §6 мы воспроизводим полное доказательство этого предложения и показываем, как его можно приспособить для доказательства ряда классических теорем (оценка логарифмического потенциала, лемма Картана для полиномов, оценка максимальной функции Харди-Литтлвуда, теоремы Лебега о производной по верхне;.,/ пределу и о производной от монотонной функции; этот материал заимствован из лекций Б.Я.Левина С.21} и Е.А.Горина). Основное приложение леммы Картана в приведенной форме дано в §12, где рассматривается вопрос о бесконечномерном варианте теоремы М.Рисса (о потенциалах).

Главное свойство классической свертки интегрируемых функций

н мер ограниченной вариации заключатся в том, что преобразование Фурье свертки равняется>лгоизведеншо преобразований Фурье. Этот факт сохраняется для -функций, но пропадает для обобщен-

ных функций, поскольку в рамках классических теорий нет корректного определения свертки и произведения для произвольных пар. Обычно рассматривают какие-то избранные пары (одна из функций имеет компактный носитель, обе функции сосредоточены в остром конусе й т.д.).

Б §7 в качестве пространства- пробных функций берется совокупность , о < < 1 > всех непрерывных функций на 1К.П , для которых

( 9<» I 4 Се

хотя бы при одном а > о . Это пространство снабжается естественной структурой индуктивного предела банаховых пространств. Заметим, что вполне аналогично пространству St^ Гель-

фанда-Иилова. Отличие состоит в том, что мы не требуем гладкости пробных функций, поскольку в качестве обобщенных функций нас интересуют только меры; меры, локально абсолютно непрерывные по мере Лебега, мы отождествляем с соответствующими плотностями, функционалы над реализуются локально конечными зарядами

"не очень большого"роста. Преобразование Фурье элементов из R-j. определяется стандартно. Поскольку oi < i , среди функций из имеется много функций с компактными носителями, и

ото дает возможность говорить о локальных свойствах преобразовании Оурье рассматриваемых зарядов. Заряды v//4 > на- . зываются подходящими, если

Г - I

\ е oli/MWcli/^icy;< ^

lP.a*Rn

для всех (X > о . Для таких пар естественно определяется свертка и оказывается (лемма 7.2), что если ^/ц , локально реализуются 1?"-ф>ункцияш, то локально 'у^х •

Б качестве следствия (теорема 7.Э) устанавливается, что терема Горина-Колдобского об дословно сохраняется при всех X , для которых _Г1 , и это, в частности, 'включает в данную схему классическую теорему М.Рисса.

Кроме того, в §7 в случае одного•переменного рассматривается свертка функции экспоненциального порядка ^ <£> < 1 и достаточно быстро убывающего заряда. Устанавливается, что если свертка . равна 0 , то либо функция сводится к полиному, либо все моменты заряда равны 0 (следствие 7.5). Это предложение довольно эффектно срабатывает в §11.

Пусть , - две меры на сепарабельном банаховом пространстве X • конечные на шарах конечного радиуса. Один из вариантов так называемой проблемы Хоффмана-Йоргенсена - это вопрос о'совпадении таких мер при условии, что совпадают их значения на шарах. Легко видеть, что ответ положительный, если пространство конечномерно. Б диссертации Е.А.Рисс С 27^1 било среди прочего установлено, что ответ остается положительным в ряде других случаев, в частности, для всех пространств 1_ (0,1)

В случае вероятностных мер первые положительные результаты были.получены самим Хоффманом-Йоргенсеном £26} , однако долгое время оставалось не ясным,' верно ли это в данном случае для произвольных банаховых пространств (кстати, по отношению к мерам, конечным лишь на шарах, вопрос в общем случае остается открытым). Положительный ответ был сравнительно недавно получен

в работа Прайса и Тишера ^38) . Ми имоли возможность ознакомиться с препринтом этой работы и, вввду важности этого результата для наших целей, было решено включить в диссертацию теорему Прайса-Тишера с подроб!шм доказательством.

В §8 сначала мы даем существенно более простое, чем у Прайса' и Тишера, доказательство их "основного конечномерного предложения" .опирающееся на лемму 7.2 о свертке. Затем, следуя, в основном, канве оригинального доказательства, мы получаем некоторое обобщение теоремы Прайса-Тишера в полном объеме.

Гл.З посвящена теоремам единственности, причем в §9 и §10 рассматриваются уравнения на полуоси, а в §11 и в §12 - уравнения в пространствах типа Лх .

Исходные объекты: функция , аналитическая в окрест-

ности точки 2 = 0 ив области I 2 I < V , регулярный борелевский заряд У ■ на полуоси ~Ь & О и некоторая согласующая их функция сОСЬ) , заданная на той же полуоси, непрерывная, положительная и подчиненная условиям регулярности на бесконечности; в частности, годится любая непрерывно дифференцируемая функция, для которой при ± -* 1,0 при некотором

<О'0 . Условие согласования состоит в том, что|£сгЛ при всех 2 из области определения и \и)сДу| < • Заметим, что одна и та же пара , V может быть согласована при помощи различных сО . Мы будем говорить, что ^ и V согласованы (обычно это просто предполагают), если выбор сО не важен. Относительно 77 для удобства предполагается, что 2ТОГ. Основное упрощающее дело предположение заключаемся в предположении; что £* > . Хотя по ходу дела приходится рассматривать преобразования Фурье-Лапласа, это предположение позволяет

в окончательных формулировках ограничиться исходными.объектами. Основной результат §9 составляет следующая теорема 9.7. Предположим, что и У согласованы и что

(та

dvcs; = о (4)

о

при всех "Ь > 0 . Если при этом У ф-О , то $• продолжается в комплексную плоскость до целой функции первого порядка_и минимального типа.

Дополнительно к этому, если /и) — о < о£ <: i (

то порядок £ не вше i —, а при с^ — 1 функция -f оказывается полиномом (следствия 9.8 и 9.9).

Теорема 9.7 показывает, что случай целых £ заслуживает отдельного рассмотрения (этому посвящен §10) и, кроме того, позволяет разобрать ряд интересных примеров. Скажем, если

-tK ¿t* -¿tX4 ■ i Сь) - с, e + Ca e -V c3 e + e.

то единственности для уравнения (4) может не бить (согласно теореме 9.7) только в том случае, когда пропорциональна

Ccsift -+ ChYt

Оказывается (§10), что в этом случае для уравнения (4) действительно нет единственности (тогда как для соответствующего уравнения в единственность есть.(§11)).

Основной результат §10 составляет следующее предложений (теорема 10.2), которое выводится-из классических фактов теории весовой аппроксимации. Пусть о < $ < • Тогда на полуоси Ъ?/0 имеется такой борелевский заряд V , что

F **

о < )Ê divlttx ю

о

.и „о

о

для 'каждой целой функции экспоненциального порядка < S

Таким образом, мы имеем здесь больше, чем неединственность в уравнении (4), поскольку один и тот же заряд "обслуживает" обширное семейство функций.

Кроме того, в §10 устанавливается, что "пройти" границу в теореме 10.2, вообще говоря, нельзя, рассматривается несколько . примеров и приводится одно полезное для дальнейшего следствие (теорема 10.4) из 7.5.

Пусть X ~ банахово пространство. 1-системой Линде называется такая последовательность единичных векторов <2* £ X > что

| се + tek I —» |cci + t

.при k-> t>° для всех эс € X и "t >/ 0 . Система Линде называется особой, если ее замкнутая линейная оболочка образует подпространство' в X бесконечной коразмерности.

Очевидно, что J^jобладает особой 1-системой Линде. Легко показать , что это верно и в отношении il ( 0, 1) . Как мы уже отмечали, это пространство обладает и свойством Хоффмана-йоргенсена в усиленном варианте (теорема Е.А.Рисс).

Пространство X мы называем пространством типа Jü< , если оно обладает 1-системой Линде. Часть из результатов §11 имеет место для всех таких пространств, часть требует наличия особой 1-сис-теми Линде, наконец, часть требует, чтобы пространство обладало и

свойством Хоффмана-Йоргенсена в усиленном варианте, формулировки теорем, приводимых в диссертации,.различаются в соответствии с тем, что требуется из названных свойств. Здесь для простоты формулировок ш будем предполагать, что X - это [_' (оД). Кроме того, i>ce функции и меры, встречающиеся в формулировках, предполагаются согласованными. ' . .

Связующим звеном слупит следующая простая лемма'11.4: в опгсанной ситуации из (2) при К = .следует (3).

Так:?.! образом, кадцая теорема единственности из §9 и §10 ,• влечет за собой некоторую теорему единственности для уравнения, тпла (2)^. Напримор (теорема 11.5), если (при К = f ) единст- . венностя в уравнении (2) нет, а § удовлетворяет указанным вы- ' во условиям регулярности, то (согласно теореме 9.7) i продолжается до целой функции первого порядка минимального типа.

Е^зсто с тем, случай, когда Х= J^i . занимает особое место, что объясняется наличием естественных инъекций ßf^Ji, и естественных проекций . В этом случае иногда удается устанавливать сдппстоепхгасть в ситуации, когда ее заведомо нет для шщуцяровапного УраЕпояия на полуоси. Следующую' теорему' НЛО г:ойяо считать осповпиа результатом §11 и одним из основных результатов ~ссортсдпЯ. Пусть<1 , <Т < 71 • Пусть

- агалетнчгепгл np:i(atj31 <f функция, для которой в этой об-ЛЮП | | ^ С Сф 1Я . Цусть - такой боролевеккй sapra гл , для которого выполняется условий

Прзясасоггч, что

S,

- О

при всех гх . Тогда либо УуМ~ О » либо - полином. Если Ь - полином, то.указанные условия совместим и приJ^rO • Наконец, в §12, основная цель которого - получить бесконечномерный аналог теоремы М.Рисса, широко используется по существу весь предыдущий материал диссертации (теоремы о покрытиях, лемма Картана, теорема Црайса-Тишера и теоремы единственности из §11). Теоремы из §11 позволяют в сочетании с указанными средст-, . вами сформулировать целый ряд предложений такого сорта, но иы ограничиваемся простейшей формулировкой (теорема 12.7). Пусть X,- сепарабельное банахово пространство, обладающей 1-системой Ливде, и - регулярный борелевский заряд конечной вариации. Пусть < 2Г < Л и i аналитическая при 21 <1Г функция, не сводящаяся к константе, но такая, что ■$(€+£) является ограниченной в этой области для кавдого 6 >0 . Если црк этом •- ,

Af-tV- о

х

. для всех х , для которых

.х

ТО JU = О •

Предварительная ле.\г.-л устанавливает, ч!0 ца самоа доле последний интеграл существует дуы "многих" ас joaa» ups условии, непрерывности и ограниченности т лучах "t > 6 .» Прямой аналог теоремы И.Рисса палучаетсл, еэдтх.

••irC"fc) - -Т5Г t А> 0 . Вместе с тея, годятся, гаиачяо,ор:|-, • i

expexp-^r и т.п. Отметим еще, что, по иаеикэ E.A.Iopuüa, вшшоп аналогии с теоремой'Ы.Рисоа <в noropoli требуется вироздвквэ по-

?снижала но всюду, где ои конечен, а лишь почти всюду.) можно добиться, привлекая подходящие варианты мер Каратеодори: в качество исходного семейства можно рассмотреть шары, а в качество "считаят'Л функции" - мажоранту, фигурирующую в лемме Картана.

Автор приносит глубокую благодарность Е.А.Горину, который ввел его в рассмотренный круг вопросов и без постоянной поддержки и помощи которого эта диссертация вряд ли била бы закончена з отведетше сроки.

По те:..о диссертации опубликованы работы: .

1. Горин Е.А., Гам. Ен Чгпш. Теоремы о покрытиях, связанные, с оценками потепцпалов. //Материалы научной сессии '.(ЛГУ, 1992, • .М.: ПромотеЯ, ШГУ, С. 16.

2. Горгл Е.А.,. Кпм.Ен Чяшг. Потенциалы идентифицирующие заряда. //Тезисы 23-й конференции Литовского мат. об-ва, Т.1.- .' . Еплыто, 1992, С.72-73.