Конструктивное описание пространств непрерывных функций на системах лучей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

0.1, История вопросов, исследуемых в диссертации.

0.2 Основное содержание диссертации.

Глава 1. Аналог теоремы С.Н.Бернштейна для функций, неограниченных на оси.

Глава 2. Приближение функций из класса Гёльдера на полуоси.

2.0. Некоторые определения и формулировка результата.

2.1.Предварительные соображения по способу аппроксимации функции £.

2.2. Окончательный вариант приближающей функции.

2.3. Оценка ^(хК^х) при х>0.

Глава 3. Обратная теорема о приближении функций на полуоси.

0.1. История вопросов, исследуемых в диссертации.

Первыми результатами, относящимися к описанию классов функций, заданных на неограниченных множествах, скоростью их поточечной аппроксимации, из определенных подклассов целых функций, были теоремы С.Н.Бернштейна об описании классов ограниченных функций с какими-то условиями на их гладкость скоростью их наилучшего приближения так называемыми целыми функциями конечной степени.

Сформулируем классическую теорему С.Н.Бернштейна для классов Гёльдера, которую можно считать первым результатом в развитии последующей теории.

Итак, пусть 0<а<1, Аа - пространство комплекснозначных функций £ определенных и ограниченных на вещественной оси К и удовлетворяющих на И. условию Гёльдера порядка а, то есть таким, что х1)-Кх2) \ <с\хгх2\а,х,УЕК и т\<А{.

Пусть, далее, Вст - это класс целых функций первого порядка и типа не больше а, ограниченных на всей оси К.

Теорема А (С.Н.Бернштейн [1]). Для того, чтобы ограниченная функция f принадлежала классу Ла, 0<а<1, необходимо и достаточно, чтобы существовала постоянная с0=со(^), не зависящая от а и х, такая, что для всякого о>0 нашлась бы целая функция срае Ва такая, что х)-фст(х)|<Соа"а5 хеЯ

1)

В работах С.Н.Бернпггейна [1], [2], [3] рассмотрены классы функций на оси К более общие, чем Ла, однако условие ограниченности функций из соответствующего класса для получения его конструктивного описания всегда накладывалось.

Это замечание по существу относится и к тем ситуациям, в которых рассматриваются классы функций вида g+f, где g - фиксированная функция первого порядка экспоненциального типа, а ^ Аа, так как приближение находится в форме , срст - приближающая целая функция для £ см. [4], [5].

Конечно, теорема А описывает в форме оценки (1) приближения функциями классов Вс на вещественной оси и классы ограниченных аналитических функций в нижней полуплоскости С={г: 1т г<0}, удовлетворяющих условию Гёльдера порядка а.

Следующим этапом в развитии обсуждаемой проблематики можно считать работы Кобера [6], [7]:

Теорема В. Пусть функция Г определена и ограничена на оси Я. Для того, чтобы функция { была равномерно непрерывной на Я, необходимо и достаточно, чтобы

ФаеВа хе!1

8ир|ад-фа(х)|=0

2)

Теорема С. Пусть функция £ определена и ограничена на полуоси К+=[0;оо), Са+ - класс функций порядка — и типа не больше а. Для того, чтобы выполнялось соотношение м 8иР|ад-Ест(х)|=о (3)

§аеС(7+ хеК+ необходимо и достаточно, чтобы функция Р(х)=^х), была равномерно непрерывна на всей оси К

Отметим, что в теоремах В и С речь идет о классе всех равномерно непрерывных (в своих ситуациях) функций и они вновь предполагаются ограниченными. Кобером рассмотрены [7] и аналогичные (2) и (3) утверждения об описании классов аналитических в угле, ограниченных и в определенном смысле равномерно непрерывных функций.

Следующее продвижение в развитии конструктивных описаний классов функций скоростью их поточечного приближения целыми функциями было сделано в работе М.М.Джрбашяна и А.П.Тамадяна [8]. В ней рассматривались уже неограниченные углы, объединение таких симметричных углов и полуоси. Приведем некоторые из результатов этой работы; подчеркнем, что все классы рассматриваемых в ней функций предполагались содержащими только ограниченные функции. Будем цитировать формулировки, адаптированные к гладкости классов Гёльдера порядка а, 0<а<1, которая является нашей основной модельной гладкостью, хотя в [8] фигурируют более общие шкалы гладкости.

Теорема Б [8]. Пусть р>1, литических в Бр, ограниченных и удовлетворяющих в Бр условию Гёльдера порядка а, 0<а<1; ЕР;СТ - класс целых функций, ограниченных на Бр порядка р и типа не больше с; тогда для каждой функции Ге Аа (Ор) найдется постоянная с=с£ такая, что ст>0.

Отметим, что обратные теоремы в [8] на множестве в Бр не согласуются с прямыми:

Теорема Е [8]. Пусть Г - ограниченная функция на Бр, аналитическая в Бр ; предположим, что существует постоянная с такая, что ст>0, 0<ос<1. Тогда ^ Аа (Г)р).

Подчеркнем, что для неограниченных множеств Бр в теоремах Б и Е фигурируют только ограниченные функции £ а, кроме того, прямые теоремы не согласуются с обратными (ср. неравенства (4) и (5)). а

4)

М 8ир|Г(г)^ст(2)|<са

8аеЕр,а г&Ор

-а

5)

В той же работе [8]рассмотрено приближение в одном угле, под предельным случаем которого понимается полуось. Для описания класса функций на полуоси использовались целые функции порядка .

Теорема Г [8]. Пусть Ла(Д4), 0<а<1 означает класс ограниченных на функций, удовлетворяющих условию Гёльдера порядка а. Е^ - класс целых 2 функций порядка — и типа не больше ст, ограниченных на Тогда для каждой Аа (Я4) существует постоянная с=сг>0 такая, что

М 8ир|Дг)-ёа(2)|<са-2а, (6)

§<теЕ1 2еК+ 2 а>0.

Отметим, что в [8] имеются и обратные теоремы о приближении функциями класса Е{ , которые не стыкуются с прямой теоремой Б, поскольку в правой 2'° части неравенства, аналогичного (6), требуется приближение со скоростью а'а, и, что самое существенное, требовалась аналитичность исходной функции f в некоторой области.

Прямые и обратные теоремы для приближения функций на полуоси которые согласовывались бы между собой, были получены Ю.А.Брудным [9]. При этом он пользовался набором целых функций экспоненциального типа. Приведем эти результаты, вновь заранее адаптировав их к случаю Аа (Я4) (мы выбираем частный случай гладкости, оставляя остальные условия. Еще раз подчеркнем, что и в [9] всегда требуется ограниченность функций).

Теорема в [9]. Пусть класс функций Ла(Д4) определен в теореме 0<а<1, Е^а - класс функций порядка 1 и типа не больше а, ограниченные на Тогда для любой Ла (К4) существует постоянная с, не зависящая от х и а, такая, что для всякого <т>0 найдется функция ^е такая, что Г (х) - ёс (х)| < ■-+ -11, (7)

Ых + 1 а а у а>0.

Подчеркнем принципиальную разницу неравенства (7) и фигурировавших в теоремах А-Р оценок: неравенства (1)-(6) не зависят от точки множества, а приближение (7) неравномерно по х, оно имеет порядок а"2а при х=0 и порядок ст"а при х>1. Оказалось, что использование оценки (7), зависящей от точки х, позволяет согласовать прямые и обратные теоремы на

Теорема Н [9]. Пусть для ограниченной функции í существует постоянная с, не зависящая от х и а, такая, что для каждого >0 найдется функция £се Е^с, для которой выполнено неравенство (7). Тогда Ла (Д4).

Последующее выяснение шкалы неравномерного приближения и класса целых функций, которые позволяли конструктивно описывать класс Гёльдера на неограниченном множестве, не накладывая при этом ограничений на априорную ограниченность функций этого класса, было проведено в [10]. При этом оказалось, что имеется заметная аналогия между теорией приближения полиномами функций на компактах и теорий приближения целыми функциями на неограниченных множествах. Напомним, что достаточно уже развитая к настоящему времени теория приближения полиномами на ограниченных континуумах (см. этапные работы [11]-[19] или монографии [20], [21]) при описании класса Гёльдера Аа(Е), 0<а<1, функций, аналитических во внутренности континуума Е скоростью полиномиальных приближений, использует шкалу р" (г), геЗЕ, где рь определяются п следующим образом: пусть функция С=ф(2) конформно отображает внешность С\Е на внешность единичного круга причем так, что ф(оо):эоо, и пусть Гь=ф1({С |С1<1}), Ь>0. В таком случае полагают р^г^сШЯ^, Г\). Как оказалось [10], возможны аналогичные построения для неограниченного континуума Е. Именно, пусть Е - неограниченный континуум, границей которого является кривая Гь, у которой дуга соизмерима с хордой, то есть существует постоянная с0, не зависящая от ъ\, г2 такая, что для любых точек гь г2еГ длина агфь г2)<с0|г1-г2|, где агс(гь - дуга Г между точками ъ\ и ъ2 ; предполагаем, что Е и С\Е одно-связны. Пусть функция С,=Ф(г) отображает область С\Е на верхнюю полуплоскость {£,: 1т£>0} так, что Ф(со)=оо. Обозначим через

Ь>0, и пусть рь(г)=с1181(г; Гь), геГ. Оказалось [10], что при соответствующе подобранном классе целых функций класс А" функций, аналитических во внутренности Е и удовлетворяющих на Е условию Гёльдера порядка а без требования ограниченности функций из Аа(Е) вписывается при рассмотрении шкалы р°[ (г), геГ, где параметр а играет роль тишигупоминаемом классе целых а функций. Однако, несмотря на то, что в [10] рассматривалось конструктивное описание на неограниченных кривых, разделяющих плоскость, там не были рассмотрены такие важные ситуации, как описание класса Ла(К) (функций, допускающих рост) на прямой Я и класса Л^Ы4) на полуоси Ы+=[0; оо). Эти задачи были решены в [22], [23]. Принципиальной при действиях с классами неограниченных функций оказалась явная формулировка прямых и обратных теорем в терминах ограниченности соответствующего оператора вложения, как это было предложено в [24]-[26] для приближения полиномами или рациональными функциями.

Рассматриваемые в [22], [23] результаты, полученные в основном диссертантом, изложены в данной диссертации. Метод приближения, используемый в данной диссертации, для класса Ла(К+), во многом навеян теорией полиномиальных приближений и для теории целых функций является принципиально новым. Его применение подсказывает после получения прямых результатов возможный вид обратных утверждений. В главе 1 обсуждается задача на Ы, в главе 2 доказывается прямая теорема на в главе 3 доказывается обратная теорема на

0.2. Основное содержание диссертации.

Изложим основное содержание диссертации. В первой главе рассматривается приближение функций из класса Гёльдера на всей оси.

Будем говорить, что функция f принадлежит классу Аа, 0<а< 1, если для любых х и у выполняется:

ВД-Г(у)|<|х-у|а

Класс В(а)с - класс функций ф экспоненциального типа не больше а, таких, что ф(х)|<с((1+|х|)а+Л); хеИ; 0<а<оо. (4) у

Теорема 1.2. Пусть функция Г еЛа и М. <М. Тогда существуют постоянные и !\а с; Со, такие, что для всякого сг существует <ра(г)еВ^а> причем выполняются соотношения: фс(хК(х)|<Мсаа и |Фс1в(«)в -СоМ

И обратно. Пусть имеется функция Г , определенная на числовой оси. Предположим, что для нее существуют постоянные с и М/, такие, что для всякого <7>0 существует функция (р^г) еВ(а)а, такая, что фа в(а) <МЬ для которой выполняется. к(х)-Фа(х)|<саа, (5) где О О и с не зависит от а Тогда £ принадлежит классу Ла.

Доказательство теоремы разбивается на два этапа: доказательство «прямой» и «обратной» частей. Для доказательства более стандартной «прямой» части теоремы вводятся

С\ 2п со / • \ 2п

- ' У о = I -- ¿х;к^)=уЛЛА),

Ъ ) *V X /

00 и доказываются два утверждения. В первом утверждении формулируются свойства функции к^), а именно то, что во-первых, к^г) - целая функция экспоненциал алъного типа а, к^х^О при хеЯ; |кст(х)с!х=1, во-вторых, кс(х)^а; при

1-2п 1 ^ х|<-; и в-третьих, 0<ко(х)<са ; при |х|>-. А второе утверждение

2аг х 2а! определяет функцию <Рс/~)= ка(г-х)^(х)с1х, как целую функцию экспоненциально

00 го типа не больше а С помощью этих утверждений мы доказываем, что функция фа приближает функцию f с нужной скоростью и что норма фс в пространстве В(а)ст не превосходит некоторой постоянной, не зависящей от ст.

Для доказательства «обратной» части теоремы вначале мы проверяем следующее важное свойство целых функций из класса В(а)с .

Лемма 1.1. Пусть о<1; ||ф0|1>(а) ^Со . Тогда при /х/< — ; /*//< —

П в а а а выполняется: /ср^х)- (р^О ЫС[ /хгх/а, где с1 не зависит от сг; х; х}.

В доказательстве леммы 1.1 мы используем утверждение, аналогичное лемме П.М.Тамразова [20], гл. 2:

Лемма 1.2. Пусть рф)- целая функция экспоненциального типа не больше сг, 0<сг<1, удовлетворяющая на вещественной оси условию:

I Фс(х)I <со((1+1х|)а+4-); хеЯ; 0<а<1 (6) а

Тогда существует постоянная Ьа, зависягцая только от а, такая, что при 1-х+/у имеется неравенство:

Фа(2)| <Ьас0((1+Ы)а+^-)ест|у|. (7) о

В доказательстве леммы 1.1 мы применяем лемму 1.2 для круга |г|= — и испольа зуем формулу Коши.

Переходя к проверке того, что функция f принадлежит Аа, если для нее при каждом а>0 существует функция фсеВ(а)0 , удовлетворяющая условиям теоремы 1.2 полагаем — =|хгХ2 | для ХьХ2<еК, и выбираем то так, чтобы выполнялось соотнесу шение: тах(|х1|;|х2|)<2т°-т

2т°->1

8)

Имея тождество хО-ад =(Г(х1)-фа(х1))-(ад-фа(х2))+ т0-1 к=0 2к 2к+1 2к 2к+1 2Ш® 2Ш®

9) и рассматривая каждое слагаемое в нем, получаем, что |Г(х1)-€(х2)| < с|х1-х2|а, что и требовалось.

В анализе уже употреблялось большое количество классов целых функций экспоненциального типа, выделяемых своим поведением.^ вещественной оси. Подчеркнем, что класс , определенный в (4) и рассматриваемый как банахово пространство, не является частным случаем ранее изучавшихся классов функций.

В главе 1 рассматривалось приближение функций из класса Гёльдера на всей оси. Но прямую можно трактовать как объединение двух лучей. Во второй главе приводится ответ на вопрос о том, что изменится, если ограничиться лишь одним из этих лучей, например, [0; +оо).

Для этого приходится использовать целые функции порядка не 1, а 1/2, которые имеют, помимо всего прочего, специальные ограничения. Вводится новый класс функций и новый тип приближений, который оказался неравномерным.

В начале первого параграфа вводятся определения, используемые далее.

Рассмотрим Аа, 0<а< 1 - класс Гёльдера на [0; со) порядка а. л - отображение С\[0; со) на {1тоо>0}, при котором V— 1 —» Ц

Ьь, Ь>0, - прообраз при отображении со прямой {1тсо=11}. Ц - парабола, Пь - внутренность параболы Ьь. рьСх^^Сх; Ьь).

Класс функций С^ это класс целых функций срс, таких, что комплексном г имеем: а

Формулируется основной результат главы:

Теорема 2.0.1. Пусть /еЛа. Тогда существуют С1 и С2, не зависящие от х и а такие, что для любого о>0 существует функция такая, что фа||С^^С11МаИ |Г(х)-Фст(х)|<с2Ма.р«(х),х>0.

Первый параграф главы 2 посвящен предварительным соображениям по способу аппроксимации функции £ Вначале предполагаем Г аналитичной в узкой полосе 8б={г=х+1у: х>-§, |у|<8}, 5 - мало. т

Определяем функцию -где />0 выберем позже. Пусть у - контур вокруг полуоси [0;оо); х>0, (скажем, содержащейся в 8§, тогда

2т уц-х

Определим при 11>0 л/^+йт)2, Ст1=—-; к<7(г)= -— •Ьа;и Ьст такое,

2п уху

00

ЧТО для 2, находящегося пока в полуполосе 8а, функцию ко(0---; где Ь=—

Оказывается, что ga - целая функция порядка —; большая часть п. 2.1 посвящена нахождению оценки |^(-х)|, которая получена в (8). Однако, установленное в (8) поведение функции |&*(-х)| еще не гарантирует хорошего приближения ^(х)-^(-х) при х>0. Чтобы добиться хорошей точности приближения при х>0, требуется модернизировать функцию , что сделано в п. 2.2.

А именно, мы полагаем где

Затем оценивается ^к(-х). В конце концов оказывается, что (см. (19)) + л/х 7

Наконец, в п. 2.3 мы оцениваем разность ^(х)-Ос(х), при х>0. Основная формула для этого такова:

2п1* к+1 у V г ) С-х У 2п[ЧС +1) зта^

V г у

2п ( А

С-х

В полученной формуле мы считаем, что у - путь, дважды обходящий а функция й=Ла.

7 1

Таким образом, мы получили 32=0, а если положить , Ь=—, то - целая а функция порядка — и типа <а, для которой при х>0 выполнено соотношение (26):

И, кроме того (25),

К(х)-0„(х)|$с- , х + Ъ ) х>0.

Для того, чтобы проверить, что Оа=(2+Ь2)2Са(2)е мы устанавливаем следующее утверждение:

Утверэвдение 2.3.7. Пусть О ¿(г) - целая функция порядка ^ , удовлетворяющая условиям:

I Ос(-х) | <с, еСТл/* (Ахм+В), х>0

I 2а )

I Ос(х) I < —--, х > 0. 1 V

V СТ2/

Существует постоянная сз, не зависящая от г, а, Ь, с и а, такая, что справедливо соотношение: е°|1т^| Г с Л

0о(2)< с2 --—у[а+ь|2|а +

V а /

В третьей главе мы доказываем согласованное обратное утверждение, которое покажет, что и класс функций и скорость приближения были правильно найдены для конструктивного описания класса Л« на полуоси [0;оо).

Все обозначения мы сохраняем такими, какими они применялись в главе 2.

Теорема 3.1. Пусть для функции £ определенной на [0; со), существуют постоянные с=с{ и М=М{, такие, что для всякого о>0 найдется такая, что ||фа ||с(а) < М, для которой выполнено условие:

Г(х)-Фа(х)|<с.р£(х), (22) х>0, к=—. Тогда f еЛа. сг

Все обозначения мы сохраняем такими, какими они применялись в главе 2.

Для доказательства теоремы 3.1 нам вначале потребуется лемма, которая является качественным аналогом для класса С^ классической теоремы С.Н.Бернштейна о целых функциях экспоненциального роста, а также аналогом утверждений о многочленах, используемых в теории приближения многочленами в комплексной области (см. [20], гл.2)

Лемма 3.1. а) Пусть {еС^, |ДС(<*) ^М Тогда прих>0 справедливо неравенство:

19 f'(х)| < CjMp^1 (x)(l + xa + h2a ), 1

0<а<1, где h=—, постоянная cj не зависит от M, x и <j. ex 2

Пусть \(p\eC^ и удовлетворяет условию |ф(х)|< М0р"(х), х>0, h=—, 0<а<1 7

Тогда существует постоянная С2, не зависящая от x, cru Mo, такая, что справедливо соотношение: ф'(х)1 - c2^oPh1(x) В доказательстве обеих частей мы используем утверждение 2.3.7 второй главы.

1. Бернштейн С.Н. Собрание сочинении, т.2, статья 82, Москва, 1954г.

2. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений, т.2, статья 84, Москва, 1954г.

3. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений, т.2, статья 89, Москва, 1954г.

4. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений, т.1, статья 33, Москва, 1953г.

5. Zygmund A. Smooth functions, Duke Math. Joum.; 12, 1945.

6. Kober H., On the approximation to integrable functions by integral functions, Trans Amer. Math. Soc., 54, 70-82, 1943.

7. Kober H. Approximation by integral functions in the complex domain, Trans Amer. Math. Soc., 56, 7-31, 1944.

8. Джрбашян M.M., Тамадян А.П. О наилучщем приближении целыми функциями в комплексной области, Известия АН СССР, сер. матем., 20, 485512, 1956.

9. Брудный Ю.А. Приближение целыми функциями на внешности отрезка и полуоси, ДАН СССР, 124, №4, 739-742, 1959.

10. Широков Н.А. Конструктивное описание классов Гёльдера на неограниченных континуумах в С, ДАН СССР, 299, №6, 1332-1336, 1988

11. Дзядык B.K. К вопросу о приближении непрерывных функций в замкнутых областях с углами и о проблеме С.Н.Никольского (первое сообщение), Известия АН СССР, сер. магем., 26, №6, 796-824, 1962.

12. Дзядык В.К. К теории приближений аналитических функций, непрерывных в замкнутых областях и о проблеме С.Н.Никольского (второе сообщение), Известия АН СССР, сер. магем., 27, №5, 1135-1164, 1963.

13. Дзядык В.К. Обратные теоремы приближения функций в комплексных областях. Укр. матем. журнал, 15, №4, 365-375, 1963.

14. Лебедев H.A. Об обратных теоремах равномерного приближения. ДАН СССР, 171, №4, 788-790, 1966.

15. Лебедев H.A., Тамразов П.М. Обратные теоремы приближения на регулярных компактах комплексной плоскости, Известия АН СССР, сер. матем., 34, №6, 1340-1390, 1970.

16. Лебедев H.A., Широков H.A. о равномерном приближении функций на замкнутых множествах, имеющих конечное число угловых точек с ненулевыми внешними углами, Известия АН Арм. ССР, 6, №4, 311-341,1971.

17. Широков H.A. Приближение непрерывных аналитических функций в областях с ограниченным граничным вращением, ДАН СССР, 228, №4, 809812, 1976.

18. Дзядык В.К. К теории приближения функций на замкнутых множествах комлексной плоскости, Труды МИАН СССР им. В.А.Стеклова, 134, 63-114, 1975.

19. Белый В.И., Конформные отображения и аппроксимация функций в областях с квазиконформной границей, Маг. сборник, т. 102, №3, с.ЗЗ 1-361, 1977.

20. Тамразов П.М. Гладкости и полиномиальные приближения, Киев, Наукова думка, 1975.

21. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М., «Наука», 1977.

22. Давыдова Т.С., Широков H.A. Аналог теоремы С.Н.Бернштейна для функций, неограниченных на оси, Проблемы математического анализа, 1998. с.

23. Давыдова Т.С., Широков H.A. Приближение функций из класса Гёльдера на полуоси, Записки научных семинаров ЛОМИ, № , 1999. (в печати).

24. Широков H.A. Аппроксимативные свойства одного континуума, Записки научных семинаров ЛОМИ, 92, 241-252, 1979.

25. Широков H.A. Аппроксимативная энтропия континуумов. ДАН СССР, 235, №3, 546-549, 1977.

26. Широков H.A. Конструктивное описание классов Гёльдера на замкнутых жордановых кривых, Записки научных семинаров ЛОМИ, 141, 72-99, 1985.

27. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации, М., «Наука», Главная редакция физ.-мат. лит-ры, 1965.

28. Левин В.Я. Распределение корней целых функций, М., ГИТТЛ, 1956.85

29. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций, М., ИЛ, 1963.

30. Широков H.A. Идеалы и факторизация в алгебрах аналитических функций, гладких вплоть до границы, Труды МИАН, 130, 196-222, 1978.

31. Pally R. Е. А. С., Wiener N., Fourier transforms in the complex domain, 1934.

32. Левитан Б.М. Об одном обобщении неравенств С.Н.Бернштейна и H. Bohr'a, ДАН СССР, 15, 1937.

33. Крейн М.Г. О наилучшей аппроксимации непрерывных дифференцируемых функций на всей вещественной оси, ДАН СССР, 18, 1938.

34. Крейн М.Г. О представлении функций интегралами Фурье-Стильтьеса, Ученые записки Куйбышевского пед. института, 1943.

35. Plancherel M., Polya G. Fonctions entiers et integrales de Fourier multiples, Comm. Helv., 9, 10.