Динамика системы дискретных уравнений с квадратичной нелинейностью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

pre НАШОНШНАЯ АКАДШИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН 10 ИНСТИТУТ КОСМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

На правах рукописи

ПАНКРАТОВА ИРИНА НИКОЛАЕВНА

УДК 517.9

ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ С КВАДРАТИЧНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ШАТН - 1Э94

Работа выполнена в Института космических исследований Национальной академии наук Республики Казахстан.

Научные руководители:

академик HAH PK, доктор физ.-мат. наук У.М. Султвнгаэин, доктор физ.-мат. наук М.И. Рахкмбердиев.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор МГУ Н.Х. Розов,

канд.'физ.- мат. наук, СПС М.И. Тлеубергенов.

Ведущая организация: - Институт математики АН Беларуси.

Защита состоится

—/Р^

• J/« 1994г. явсов—на—заседании_сдвщализировавдого Совета

Д-БЗ.04.01. при Институте теоретической и прикладной математики НАН РК (480021 Алматы, ул. Пушкина, 125 ).

С диссертацией можно ознакомится в Центральной научной библиотеке НАН РК.

Автореферат разослан

Ж

CLit

1994г.

Ученый секретарь рованного совета

специализи- Ц/ , к.ф.-м.н. '

А.Т. Кулахметова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ • •

Актуальность тем. Многие проблемы естествознания и техники связаны с изучением явлений, присущих, нелинейным процессам. Их исследование выявило ряд общих закономерностей, которые стимулировали развитие самостоятельной математической дисциплины - теории динамических систем. Решающую роль в изучении нелинейных процессов сыграла теория одномерных полудинамических систем, обладающих сложной динамикой и допускающих достаточно полное качественное их описание. Аппарат для оффоктивного исследования многомерных полудинамических систем находится оща в стадии становления. Поэтому распространение методов одномерной теории на многомерные объекты представляет собой актуальную задачу.

Цель рабстси- изучить асимптотическое поведение траекторий системы разностных уравнений с квадратичной нелинейностью; свойства предельных множеств; зависимость динамики системы от параметров.

Научную новизну диссертации определяют следующие результаты.

1. Доказано, что и - предельное множество любой траектории системы расположено на коночном числе отрезков лучей, определяемых матрицей параметров.

2. Рассмотрены классы систем, зависимость динамики которых сводится к однопараметрической. Изучены структура, типы предельных множеств, характер усложнения динамики, бифуркации системы при изменении параметра.

3. Проведен анализ математической модели возрастной структуры популяции с лимитированием. Установлено, что ее структура либо стабилизируется, либо асимптотически периодическая. Дано описание динамики плотностей популяции и каждой из оо групп при некоторых условиях однородности популяции.

Методы исследования, используемые в работе,- это метода теории нелинейных разностных уравнений, теории динамических систем, теории положительных операторов, теории матриц.

Теоретическая и приапическая ценность. Результаты диссертации имеют теоретическое значение; они могут найти применение при исследовании математических моделей биологических систем.

Апробация рюоты. основные результаты диссертации догадывались на отчетной конференции Института космических исследований

HAH PK (1992г.), Moждународной конференции "Экомониторинг-93" (Ал-маты, 1993г.), семинаре по дифференциальным уравнениям Института теоретической и прикладной математики HAH РК под руководством чл.-корр. НАН РК Д.У.Умбетжанова и д.ф.-м.н. М.И. Рахимбердиева, семинаре Института космических исследований НАН РК под руководством акад. НАН РК У.М. Султангазина, а также семинаре лаборатории математического моделирования биологических систем Института космических исследований НАН РК.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в Ц-З].

Струитура и объел диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 45 наименований. Объем работы - 74 страницы машинописи.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

ВВЕДЕНИЕ

. Основой качественной теории дифференциальных и разностных уравнений, а также теории динамических систем (ТДС), послужили работы А. Пуанкаре и A.M. Ляпунова, устанавливающие возможные типы .предельного поведения траекторий системы дифференциальных уравнений и их устойчивость, й позволившие"получить-достаточно—содержа=_ тельную теорию в случае двумерной дискретной динамической системы.

Свое развитие теория получила в работах Дж. Биркгофа и его учеников, построивших с использованием топологических методов общую теорию динамических систем. Дж. Биркгофу принадлежит понятие динамической системы. .

Современное состояние ТДС таково, что лишь для сравнительно узких классов динамических систем получена довольно полная информация кок о характере фазового портрета, так, иногда, и о возможной связи последнего с топологией фазового пространства. В качестве примера можно назвать систомы Морса-Смейло с "простым" поведением траекторий и Аносова - с гиперболическим. Описание фазовых портретов многомерных ДС, модолируклцих реальные процессы и явления такие, как турбулентность, лздюоргаиизшдая, дотормшшротшшй хаос, образование структур, автомодельность, явленно перемежаемости, бифуркации и другие, ветрочоет содчитпльште трудности, пот>льку

система в этом случав имеет аттракторы, отличные от • многообразий, с хаотическим характером движений на них, либо со сложным строени ем их элементов.

Для понимания и анализа нелинейных эффектов, возникающих в таких.системах, были обнаружены и в последнее время широко используются простые нелинейные системы, обладающие сложной динамикой и допускающие вместе с тем достаточно полное качественное описание.

К ним в первую очередь следует отнести одномерные полудинамические системы, хорошо разработанная теория которых является сегодня одним из наиболее эффективных методов качественного исследования универсальных свойств, т.е. таких,, которыми обладают многие нелинейные системы.

• Первые систематизированные результаты по теории одномерных ДС появились в начале 60-х годов и связаны с именем А.Н. Шарковского. В 1964 г. была опубликована теорема о сосуществовании циклов, которая объясняла механизм появления бесконечного числа циклов через удвоение периода в любом семействе непрерывных отображений интервала в себя и механизм усложнения динамики отображений в зависимости от периодов имеющихся у них циклов. Американский математик М. Фейгенбаум в 1978г. обнаружил и исследовал некоторые универсальные свойства бифуркаций циклов, которые впоследствии получили название теории универсальности Фейгенбаума.

Многие свойства динамических систем являются прямым следствием развитых А.Н.■ Марковским- и М. Фейгенбаумом теорий, например, характер появления стохастических аттракторов, канторовых множеств и другие.

Актуальным остается вопрос о достаточно полном качественном описании динамики полугруппы непрерывных многомерных отображений.

Исследования, проводимые в диссертации, связаны с основными понятиями теории динамических систем такими, как предельное множество, его структура и тип, спектральное разложегае, бифуркации, аттрактор?, поремешиваемость, устойчивость, периодичность, почти периодичность, рекуррентность и распространяют некоторые результаты, относящиеся к теории одномерных отображений, на многомерные системы. •

ГЛАВА I.

В этой главе приведены необходимые, используемые в диссертации, сведения о динамических системах: дано описание изучаемого объекта; сформулированы цели исследования; изложены основные свойства одномерных квадратичных отображений.

Рассмотрим "систему разностных уравнений вида

х(я)=ф(х(я-1) )Лт(т-1), .тек? те^, (1)

п

где а:., А- сопаг матрица.

{ = 1 1 •

Обозначим через (/ ,... ,/п) функцию /(хЬфиОАг. Система уравнений (1) задает .в к" отображение /, которое порождает динамическую систему, {/".к^.г4} как полугруппу отображений, где =|ЦЩО}. При этом каждому решению х(и) с начальным условием лг(0)а ^^"соответствует траектория отображения /, проходящая через точку х, что позволяет для изучения поведения решений системы (1) применять аппарат теории динамических- систем и формулировать свойства системы разностных уравнений в терминах ТДС.

Интерес к изучению систем вида (1) диктуется возможностью рассмотрения многомерного аналога известного в теории одномерных ДС разностного уравнения вида

г(т)=г<р(х(т-1) )х(т-\), гек, тф, . (2)

(здесь ф(х)=1-х, г- числовой параметр), динамика которого т интервале 1=[0,1] при ге[0,4] достаточно полно исследована А.Н. Шарковским и др.

Также, как и в скалярном случае, для системы (1) необходимо

в-качестве - фазового-пространства-выдолить.компактное_инвариантное

множество и изучить на нем многообразие ее свойств (предельные множества, их структуру и типы, бифуркации, метрические аспекты динамики, устойчивость).

С точки зрения приложений скалярное уравнение (?,) опигиц/п'т механизм саморегуляции биологической популяции одного гшда. Если с: качестве х взять относительную численность вида или плоти-»уть. х&, а функцию ф(£) в качество лимитирутщего фактора, м.п--!"ч:1 т■■ ограниченность свободного простртигстпо или росзурсоп. то сь-кя. м-!* ду плотностью вида в т~ цй м'->м'чгг г-['.'МпШ1 и т- \ - л 11 т'1,1

урлпиоиием (3).

Обобщением данной модели можно считать систему (1), если интерпретировать ее как многогрупповую популяци'ошую модель динамики плотности с тем же механизмом лимитирования, -что и в скалярном случае. Здесь функцией лимитирования является ф(:г).При атом естественными ограничетаями на переменные от будут условия: j^D,

п

инвариантность которых относительно f обеспечивается рч

(=1

бором мвтрицы А.

Итак, в качестве фазового пространства рассмотрим компакт

Кп=(хекп|л>0, £ -МОи <=1 *

ГЛАВА II.

В главе определены условия инвариантности множества KQ, на котором изучается поведение динамической системы /т. Показано расположение в KQ неподвижных точек. Изучены свойства инвариантных подпространств системы. Установлен асимптотический характер поведения траекторий. Определены инвариантные множества, которым принадлежат и-продольные множества систем^ {/m,KQ,z1}.

Доказано, что при условиях А- неотрицательная матрица ШО),

ч

[А\^тх £ а..сЛ множество К_ полуинвариантно относительно отобра-

J t=i 4 0

женил /.

Пусть 0- максимальное собственное значение матрицы Ai Упорядочим вся ее собственные значения согласно следующим условиям

(возможно и k*n). Среди величин кг,...могут быть положительные, отрицательные и комплексные числа (если г>0). '

В теореме 3.2 доказано, что точка 0 является о>- предельной для всех траекторий системы при г=-0.

Поэтому считаом, что г>0. Представим пространство к" в виде прямой суммы двух инвариантных подпространств Rfc и re"~fc: ану-лируетоп многочленом (А.-А )•...• к'1 л - многочленом

(V\hM )■.... (Л AJ.

Оспоглюй результат главы II устанавливает теорема 2.3, b которой доказано, что предельное множество почти любой траектории ф«!0П9К( П|ЮСТрП1М?ТВП СИСТОМН СОДврЖИТСЯ на коночном числе

а

лучей, определяемых матрицей параметров А.

Обозначим через con М множество con М=(аг|хеМ,сёЮ) для любого Мс кп и К,={;г|хеКп> 2 x.f\ }.

1 и t=i 1 Теорема 2.3. Пусть матрица ЛЮ, и г>0. Тогда

для любого яеК,, х/ткп-к и- предельное множество траектории {/"х}" содержится во множестве con MJIKq, где Мя- конечное мно-• жество предельных векторов последовательности

m"d(a>Mr"mi4mí, те*.

Здесь d(x)~ введенная в диссертации некоторая характеристика системы {/т,К0,2+}, которую можно вычислить по формуле

d=1+ítm ín(Mmx|r"m)/ln(n).

m-*«>

В теоремах 2.4 и 2.6 дано конструктивное описание притягивающего множества почта любой точки фазового пространства для произ-извольной матрицы системы и любой точки- для неразложимой матрицы.

Теорема 2.6 обобщает результат теоремы 2.3 на случай любой точки геК1, при этом множество Ms определяется предельными векторами последовательности

m_d(:B)+V^mz, т п,

' где г,- наибольшее из собственных значений матрицы А, соответствующих неотрицательным собственным векторам, принадлежащим наименьшему инвариантному, подпространству, содержащему вектор дгеК1, причем г.>0.

ГЛАВА III.

• В третьей главе изучаются свойства предельных множеств: их структура и типы, зависимость от параметров. Выделены классы систем о однопараметрической бифуркацией. Приведены иллюстрации и примеры. Полученные результаты применены к исследованию математической модели динамики биологической популяции.

. Определение 3.1. Множество Е назовем цшиож отрезков лучей периода т>1, если оно представимо в виде упорядоченного набора отрезков лучей (30, 3,,..., Зт-1},",удовлетворяющих условиям:

• А>с 31...../3^«= 30. Л5т,= Зга, и зи,п 3m,,=i0),

т' ,т' 4(0,1,... ,п-1}.

В параграфе 3.1 установлено, что множество Лх=соп М^ПК^. со стоящее из- тх>1 компонент, является циклом отрезков лучей перио да тх. Показано, что псимптотичоскоо поведение траекторий фапогю го пространство определяется динамикой системы на циклях отрезков лучей и на собственных направлениях матрицы А. При атом множите:; Ах, состоящие из одного отрезка луча, расположены на собствотшх направлениях мптрину системы.

Отметим, что уравнение (2) задает на I динамическую систему {фт.1,24}, где ф(.т)=пр(.г)х и гс[0,4].

Теорема 3.1, Пусть матрица А2О, |ЛН4, г>0 и множество Ах, состоит из одного отрезка луча. Тогда отображение / на Лт топологически сопряжено отображению ф на I.

Доказано, что на цикле отрезков лучей периода шт система (1) эквивалентна скалярному уравнению вида

х(т)^(а /а , )гц>(х(п--\ ))т(я-1), кш, те«, (3)

ТГС ТЯ— 1

где отношение а /а . принимает конечное множество т значений и

, т т-1 х

длл любого тег .

В параграфах 3.2-3.3 более детально изучены некоторые классы систем вида (1), для которых отображение, задаваемое уравнением (3), является непрерывным.

Обозначим через К множество У» I) Л .

В параграфе 3.2 доказана

Теорема 3.2. Пусть А^О- неразложимая примитивная матрица, и г>0. Тогда множество' и состоит из одного отрезка луча.

Следствие 3.1. В предположениях теоремы 3.2 при г=4 справедливы равенства

О (//К0) )=и.

В параграфе 3.3 установлено, что для системы с условием г'1А*- стохастическая матрица дшшмика системы /т на циклах отрезков .лучей определяется параметром г. На каждом отрепне луча компакта Д. тгредольнне множества подпоследовательностей

>т > ( -----—

(I * *С_0. гомеоморфы продольным множествам соответ-

гтиугщяй траектории я -ой стошш отображения ф на I и. значит.

гомеоморфа" между собой. При этом множества периодических Per(// /А ), неслуадащих П(//Ах) и и- пределышх множеств u(f/Ax) являются циклическими и, кроме того, имеют место равенства

0(//U)= Per(//U )= u(//U).

Теоремы 3.3-3.6 определяют тип и свойства о-, предельного множества траектории {/тх}ц на цикле отрезков лучей при различных значениях параметра ге[0,4].

Полное описание динамики системы {/m,K0,z+} дает

Теорема 3.7. Пусть А}Ю, г>0 и г~14* - стоха-

стическая матрица. Тогда

П(//К0)=Рег(//К0)=и>(//К0).

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах.

1. Панкратова И.Н. Расположение предельных множеств системы дискретных уравнений со скалярной .нелинейностью. // Деп. в КазГосИНТИ, 28.05.93, Per.* 4289- Н 93.

2. Панкратова И.Н. Структура предельных множеств системы дискретных уравнений со скалярной нелинейностью. // Деп. в КазГосИНТИ, 21,12.93,. Per.* 4548- К 93.

3. Панкратова И.Н., Рахмыбердиев М.И. О предельных множествах си-системы дискретных уравнений со скалярной нелинейностью // Изв. HAH PK. - Сер. физ.-мат. -1993 - *б - с.55-58.

Панкратова Ирина Николаевна ■ '

Снзыксиздыгы квадрзттн дискротт1 тендеулер, системасыннн динамикасы

Сызынсызднги квадратты дискретт! тендэулер системасшшн асим-птотикалнн касиоттер1 зерттел1нген. Шект1к жиындардан орналасу ерокшел1ктер1 керсетШд!. Динамнкасн öip парамэтрл1к тэуолдШкке келт1р1лет1н системалар кластеры карпстнрылган. Иектеуш! фэкторла-рн бар популяпиялардан жас курамннып математикалык модел! талдана-да.

Pankratova Irina Nikolaovna

The DynvnioB of System of Difference Equations with Quadratic) Non-Linearity

Asymptotic propertied of system of difference equations with quadratic non-linearity are Btudied. Character of limit sets' disposition is determined. Glasses of syetemb with one-parameter dynamitic dependence are under consideration. This results are applied to analyse mathematical model for many group population dynamics with limited resouraes..

T

Подписано в nova ib 22.CW.94. Формат бОХВ'гДб Бум.тип. II? I. Печать офсетная Усл.п.л. 0,57. Усл.кр.-отт. 0,7. Уч.-изд.л. 0,61 Тираж 1U0. Заказ 435

Типография издательства "Гылыы" '+801)21, Алшты, ул.Шевченко, 28