Частотные оценки периодов колебаний нелинейных дискретных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

005003685

ФЕДОРОВ Алексей Анатольевич

Частотные оценки периодов колебаний нелинейных дискретных систем

01.01.09 — Дискретная математика и математическая кибернетика

2 4 НОЯ 2011

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2011

005003685

Работа выполнена иа кафедре факультета Санкт-Петербургского

Прикладной кибернетики матсматнко-мехапического государственного университета.

Научный руководитель: члсп-коррсспопдепт РАН,

доктор физико-матсматичсских паук, профессор ЛЕОНОВ Геннадий Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических паук, профессор

ГЕЛИГ Аркадий Хаймович (Санкт-Петербургский государственный университет)

доктор технических паук, ведущий научный сотрудник АНДРИЕВСКИЙ Борис Ростиславич (Учреждение Российской академии паук Институт проблем машиноведения РАН)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный элсктр»техниче-

ский университет «ЛЭТП»

Защита состоится 14 декабря 2011 г. в 17 часов па заседании совета Д 212.232.20 и» защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 19102.3. Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, аул. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199031, Санкт-Петербург, Университетская наб.. 7/9.

Автореферат разослан

2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. паук, профессор

Нежинский В.М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Дискретные динамические системы играют важную роль в различных разделах прикладной математики. Они описывают системы управления и являются генераторами хаотической динамики.

В диссертации рассматриваются дискретные динамические системы с хаотическим поведением, для которых решаются задачи оценки периодов циклов. Эти оценки применяются к классическим одномерным системам и системам фазовой синхронизации, которые играют важную роль в радиотехнике и компьютерной архитектуре.

Цель работы

1. Получение оценок периодов колебаний дискретных систем, имеющих хаотическое по Ли и Йорке поведение, и их применение для систем управления и синхронизации.

2. Применение и развитие методик Е.Д. Гарбера, Ю.Н. Бакаева, A.A. Гужа, Г.А. Леонова, В.Б. Смирновой и Л.С. Сперанской для дискретных систем.

Методы исследования. В работе применялись частотные методы исследования нелинейных дискретных систем, использующие специальные свойства передаточных функций. Для конкретных двумерных систем использовались также численные методы локализации аттракторов.

Достоверность полученных результатов базируется на корректном использовании методов математического и функционального анализа и численных методов. Полученные в ходе работы над диссертацией теоремы сравниваются с классическими результатами теории устойчивости.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Основные результаты.

1. Развит аппарат оценки существования циклов, являющийся прямым аналогом частотного аппарата в теории устойчивости движения.

2. Получен полный дискретный аналог критерия Гарбера для систем со стационарной дифференцируемой нелинейностью. Получены аналитические оценки существования циклов в системах с развитой хаотической динамикой.

3. Получен критерий отсутствия циклов первого и второго рода в системах фазовой синхронизации. Получены аналитические оценки существования циклов в таких системах.

Практическая значимость. Разработанные критерии могут использоваться для анализа дискретных систем фазовой синхронизации.

Апробация результатов исследования. Основные результаты исследований по теме диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры, а также на следующих международных конференциях:

— 23rd IAR Workshop on Advanced Control and Diagnosis, 2008, Coventry, UK;

— 6th Vienna International Conference on Mathematical Modeling, 2009, Vienna, Austria;

— 3rd IEEE Multi-conference on Systems and Control MSC, 2009, Saint-Petersburg, Russia;

— XI международная конференция "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"(конференция Пятницкого), 2010, Москва, Россия.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в О публикациях [1-0]. В совместных работах [1, 2, 5] соавтору Г. А. Леонову принадлежит постановка задачи, диссертанту - формулировка и доказательство теорем об отсутствии циклов фиксированного периода, а также численные расчеты. В совместных работах [3, 4] диссертанту целиком принадлежат части о циклах в дискретных системах.

Статьи [1] и [2] опубликованы в издании, входящем в перечень ВАК.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, приложения и списка литературы, содержащего 117 наименований. Текст диссертации изложен на 80 страницах и содержит 20 рисунков.

Содержание работы

Введение начинается формулировкой известных гипотез Айзермана и Кал-мана, связывающих условия устойчивости линейных и нелинейных систем. Эти две гипотезы середины XX века сильно повлияли на современную нелинейную науку несмотря на то, что позже было доказано, что обе они не являются верными.

Далее рассматриваются круговой критерий абсолютной устойчивости непрерывных систем и критерий Попова для динамических систем с дифференцируемыми нелинейностями. Также сформулирован критерий абсолютной устойчивости для фазовых систем.

Затем идет описание аналогичных критериев устойчивости для дискретных систем. Среди этих критериев — критерии Джури-Ли и Чо-Нарендры.

Введение завершается формулировками критериев отсутствия циклов — начиная пионерской работой Е.Д. Гарбера об отсутствии циклов в непрерывных системах и заканчивая работой Г.А. Леонова, являющейся прямым дискретным аналогом кругового критерия.

В первой главе диссертации формулируется и доказывается круговой критерий отсутствия циклов в нелинейных дискретных системах.

Рассматривается система

Здесь ¡p(t, »г) : No хП —> П С R, й и с — постоянные 7г-мерные векторы, А — постоянная nxn-матрица, xt6К" — вектор состояния, isNo — время. Пусть в этой системе f при любых t удовлетворяет следующему условию:

kio2 < ip(t, а)<т < I;2<J2, Vcr ф 0 и <p(t, 0) = 0 если 0 € П. (2)

Передаточная функция W системы (1) задается формулой:

Здесь и далее звездочкой (*) обозначено эрмитово сопряжение. Теорема (Круговой критерий).

Пусть для системы (1) с ограничениями (2) для некоторого натурального N выполнено следующее неравенство:

периодической последовательности векторов Х(, удовлетворяющей системе (1) и включению с'хь = с( 6 для любого 4 € Мо.

xt+i = Axt 4- bif{l, c*xt).

(1)

W(p)=c'{A-pI)-1b.

(3)

Существенная часть главы посвящена рассмотрению трех систем - одномерной системы фазовой синхронизации, логистического отображения и отображения Хэнона. Полученный в начале главы критерий применяется ко всем трём перечисленным системам для оценки существования в них цикла периода три.

Первым рассматривается уравнение

01+1 = 9t ~ jtiSin 6t, ¡1 € R+, te No, (4)

описывающее динамику бесфильтровой дискретной системы фазовой синхронизации с синусоидальной характеристикой фазового детектора. В роли состояния здесь выступает i% — разность фаз двух генераторов.

Применение аналога кругового критерия для периода 3 в этом уравнении дает оценку: ¡г < ц" и 3.7698, то есть, при ц < /х* уравнение (4) не может иметь цикла 3. Бифуркационная диаграмма с отмеченным на ней значением ц* приведена на рисунке 1.

При росте ц от 0 до и 3.5316 в рассматриваемой системе наблюдается каскад бифуркаций удвоения периода: из устойчивого состояния рождается цикл периода 2, из него рождается цикл периода 4, потом периода 8, 16, 32, 64 и т.д. Это явление описано в работах Н.С. Osborne, Г.А. Леонова, С.М. Селеджи, Е.В. Кудряшовой и др.

При разных значениях бифуркационного параметра fx из интервала (/¿ф, /г*)в системе встречаются устойчивые циклы других четных периодов: цикл периода 6 при ц = 3.57244, периода 10 при /л = 3.55708, периода 12 при /1 = 3.54025, периода 14 при fx = 3.55129.и т.д. Из теоремы Шарковского следует; что для таких ¡л в системе (4) будет наблюдаться хаос по Ли и Йорке.

Гис. 1: Бифуркационная диаграмма одномерной системы фазовой синхронизации

Далее в диссертации рассматривается логистическое уравнение:

ХМ = 1 - £(), ж0б(0;1).

Широко известно, что для любого решения этой системы при всех < > 2 :

а* е

(5)

16 ' 4

Компьютерное моделирование демонстрирует, что для многих значений параметра из отрезка [3.5, 4] эта оценка является точной. Численный расчёт показывает, что критерий для периода 3 в этом уравнении выполнен при ц < ц* ю 3.6395.

При росте ц от 0 до « 3.57 в рассматриваемой системе наблюдается каскад бифуркаций удвоения периода: из устойчивого состояния рождается цикл периода 2, из него рождается цикл периода 4, потом периода 8, 16, 32, 64 и т.д.

При разных значениях бифуркационного параметра ц из интервала ц*)в системе встречаются устойчивые циклы других четных перио-

дов: цикл периода 6 при /л = 3.62655, периода 10 при ц = 3.60521, периода 12 при //, = 3.58202, периода 14 при ц = 3.59721 и т.д. Из теоремы Шарковского следует, что для таких ц в рассматриваемой системе будет наблюдаться хаос по Ли и Йорке.

На рисунке 2 помимо значения //, обозначено вычисленное на компьютере бифуркационное значение ^ргаа ~ 3.84, при котором из хаоса рождается цикл периода 3.

0-

--1-----*—►

3 II" ЦргаЛ 4

Рис. 2: Бифуркационная диаграмма логистического отображения с ограничениями (5), обозначенными пунктирной линией

В качестве третьего примера рассматривается система Хэнона

= 1 + у1-цх1 У1+\ = 0.3:Е(

при начальных данных х0 = уо = 0.1. Применяя теорему для периода 3 в этой системе, получаем оценку на параметру < Ц* — 1.129: если бифуркационный параметр удовлетворяет данному ограничению, то в системе Хэнона нет циклов периода 3.

-1-1----А-*

0.3675 /I* 1.426 I1

Рис. 3: Бифуркационная диаграмма отображения Хэнона с полученной оценкой на цикл периода 3

При росте д от 0 до ~ 1.058 в системе Хэнона, как и в двух рассмотренных выше одномерных системах, наблюдается каскад бифуркаций удвоения периода: из устойчивого состояния рождается цикл периода 2, из него рождается цикл периода 4, потом периода 8, 16, 32.и т.д.

При разных значениях бифуркационного параметра ц из интервала ц*) в системе встречаются устойчивые циклы других четных периодов: цикл периода 10 при д = 1.10013, периода 12 при ц = 1.07195, периода 14 при ц = 1.09069 и т.д. Бифуркационная диаграмма отображения Хэнона с отмеченным на ней значением д* приведена на рисунке 3.

Во второй главе диссертации формулируется и доказывается критерий отсутствия циклов для систем со стационарной дифференцируемой нелинейностью, являющийся полным дискретным аналогом критерия Гарбера. Показано, как он приводится к виду, аналогичному критерию Попова.

Пусть tp:Vl —> fi С R, ip£ Сх(й), Ьнс — постоянные n-мерные векторы, А — постоянная пхп-матрица, xt € Rn,t € N0. Критерий формулируется следующим образом.

Пусть дана дискретная динамическая система

xt+i = Axt + btp(c*xt), (G)

нелинейность <p(a) € C\fl) которой удовлетворяет следующим ограничениям:

hа1 < tp(a)a < к2а2, Va ф 0, уз(0) = 0 если 0 € П, (7) т < <р'(сг) < т2. (8)

Передаточная функция W(p) системы (б) задается формулой:

W(p)=c'(A-pI)~lb.

Теорема (Критерий отсутствия циклов для систем со стационарной дифференцируемой нелинейностью).

Пусть для системы (6) с ограничениями (7) и (8) для некоторого натурального N и чисел а, ß > 0 выполнено неравенство

Re(l + [h + k2 + (а - ß)(l - р)] W(p)+

+ [kxk2 + (гща - m2ß)( 1 - p)} |И/(р)|2) > 0 (9)

•> in bi' 2«-(JV-l)>

оля ecexp = l,e * ,e * ,... ,e " . Тогда не существует нетривиальнойN-периодической последовательности векторов xt, удовлетворяющей системе (6) и включению c*xt = at е для любого t £ Z.

Далее в диссертации рассматривается вопрос эффективности данного критерия: выводится необходимое и достаточное условие, при котором этот критерий улучшает круговой.

Для одномерной системы фазовой синхронизации, логистического отображения и системы Хенона этот критерий даёт те же результаты, что и круговой. В конце главы показано, что для двумерного квадратичного отображения оценка периода три, полученная с его помощью, улучшает оценку, полученную с помощью кругового критерия.

Третья глава диссертации посвящена критерию отсутствия циклов первого и второго рода в многомерных системах фазовой синхронизации.

Уравнения дискретной системы фазовой синхронизации имеют вид:

xt+i = Axt + b(p(at) %i= at + c*xt + np( <7f). Здесь y{ci) e CX(IR) — скалярная 27г-периодическая функция, t € N0, b и с — постоянные n-мерные векторы, А — постоянная пхп-матрица, ж, g 1", fft6R, г е8 - константа.

(10)

Пусть для любого а € К. выполнены неравенства:

dip

(П)

и существуют точки а' и а", такие

что а' < а" < +2тг, <р(а') = </>(</') = 0,

<Т'+27Г

sign J <p(u)du = -sign J <p(u)du.

a'

Без ограничения общности положим:

(12)

а" а'+2ж г

м = J ip(it)du > I tp(u)du

п' fr"

= 771, I/ =

М - m М + т'

Введем передаточную функцию системы (10) от входа (р к выходу -ст.

W(p)=c'{A-pI)~lb-r. 12

Циклом периода N будем называть решение системы (10) такое, что существует целое число к, для которого выполнены равества:

ху = хо, с к — сто = 2ж к.

Теорема (Критерий для систем фазовой сихронизации).

Пусть существуют е>О, Т>0 и С такие,-что выполнены неравенства

+ >(Ои)2, (13)

GReW(p) - е |W<p)r - Г + Re{¡xiW(p) + р - 1) (n2W(p) + р - 1) > 0 (14)

з ; 1 о , г™. í»i

оля I = l,¿ и всехр = 1,е " , е * ,..., е ч соответственно. Тогда система (10) не имеет циклов с периодом N.

В качестве примера применения критерия в диссертации рассматривается двумерная система фазовой синхронизации с синусоидальной характеристикой фазового детектора и пропорционально-интегрирующим фильтром:

í xt+i = bxt + {b-l)ip(at), bjí 1, \ (15)

^ al+i = crt + (1 - d)xt - d<p(at).

Здесь <p(a) = sin(<r+cr) - sin а, где sin a — относительная начальная

расстройка, ЬеШ, d e Ш, а е [0, §].

Передаточная функция такой системы задается формулой:

un \ pd+1-b-d

Щр) =-г-•

р — о

Легко проверить, что

7Г sin сг

Щ=-1, (12 = 1, ,v = i/(á) =

2(cos 5- -f a sin а)'

Несложно показать, что и монотонно возрастает с ростом д. Из а € [0, |]

следует, что г/ € [0, 1]. Положим

1 ^ 2 2// + 1 f+í/0 , "<3' Г^Зр £ = (0 < fo << г/).

13

Условие (14) принимает вид:

2 „ „,i ii 2и+ 1 и + и° L

ReW(p>)~ —---—+

l-3i/

1-Зг/

+ + >0. (16)

Применим теорему для периода 3. При ,7=0 условие (14) выполняется

автоматически, а при 3 = 1,2 оно переписывается как

Ь2-Ь(1 + 2Ь- 2А2 + ЪА У - ЗЬ2-Ь<1 + 4Ь-<12 + с1 + 3'

Таким образом, цикл 3 отсутствует в системе (15) при

v €

1 b2 - bd + 2Ь - 2ê + 3 d 0; mm ^ 3' 362 -ld + Ab-cP + d + 3

(17)

Далее будем считать d равным -0.5. Область Oi отсутствия циклов периода 3, задаваемая условием (17), показана на рисунке 4.

0.3

0.2

0.1

0.0

fiocQix

\

\ ,

5-4-3-2-1 0 1 2 b

Рис. 4: Область отсз'тствия циклов периода 3 для d = —0.5.

Широко известен аналог этой теоремы, дающий для систем типа (10) достаточное условие устойчивости в целом. Одним из его условий является выполнение неравенства (14) для всех комплексных р таких, что |р| = 1. Область, задаваемая этим условием, обозначена на рисунке как О-о-

Приведем результаты компьютерного моделирования системы (15). Точка Р = (Ь,1у) = (-2.5,0.1) (значению V = 0.1 соответствует а « 0.0638) находится за пределами области . Численный расчёт показывает, что при данных параметрах и начальных данных хо = сто = 0.1 система (15) имеет цикл периода 3. На рисунке 5 показана бифуркационная диаграмма системы (15).

хА

Ть о Ь>2 1 Ц 'ь

Т'ис. 5: Бифуркационная диаграмма системы (15).

В приложении 1 описаны некоторые свойства и особенности дискретного преобразования Фурье, используемые для доказательства основных теорем диссертации.

Публикации по теме диссертации

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Леонов Г.А., Федоров А.А. Частотные оценки периодов колебаний нелинейных дискретных систем // Доклады Академии наук, 2010. Т. 433, № 1. С. 30 - 33.

2. Леонов Г.А., Федоров А.А. Оценки частот колебаний в дискретных системах фазовой синхронизации // Доклады Академии наук, 2011. Т. 440, № 4. С. 459 - 462.

Другие публикации:

3. G. Leonov, S. Seledzhi, A. Fyodorov, О. Kuznetsova, Е. Kudryashova. Analytical-numerical analysis methods of control system / Proceedings of the 23rd IAR Workshop on Advanced Control and Diagnosis, pp. 287 - 291. 2008, Coventry, UK.

4. G. Leonov, S. Seledzhi, O. Kuznetsova, A. Fyodorov, E. Kudryashova. Periodical oscillations of control systems. Analytical and numerical approach / Proceedings of 6th Vienna International Conference on Mathematical Modeling, pp. 416 - 427. 2009, Vienna, Austria.

5. G. Leonov, A. Fyodorov. Frequency estimates of oscillation period for discrete-time systems / Proceedings of 3rd IEEE Multi-conference on Systems and Control MSC, pp. 26 - 27. 2009, Saint-Petersburg, Russia.

6. Федоров А.А. Колебания в дискретных системах / Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов XI Международной конференции. С. 407. 2010, Москва, Россия.

Подписано к печати 23.09.11. Формат 60 х 84 'А. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00. _Тираж 100 экз. Заказ 5285._■

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СТОГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский по., 26 Тел.: (812) 428-4043,428-6919

Введение

1 Круговой критерий

1. Круговой критерий отсутствия циклов.

2. Одномерная система фазовой синхронизации.

3. Логистическое отображение.

4. Отображение Хенона.

2 Критерий для систем со стационарной дифференцируемой нелинейностью

1. Дискретный аналог критерия Гарбера.

2. Об эффективности критерия.

3. Двумерное квадратичное отображение.

3 Критерий для систем фазовой синхронизации

1. Дискретный аналог критерия Леонова и Сперанской

2. Двумерная система фазовой синхронизации.

Во второй половине двадцатого века в теории устойчивости появилось и получило развитие новое направление — метод априорных интегральных оценок. В его основе лежит применение преобразования Фурье как унитарного оператора в некоторых функциональных пространствах.

В работе показано, что этот метод может дать содержательные аналитические оценки периодов колебаний дискретных систем, имеющих хаотическое по Ли и Йорке [Ы & Уогке, 1975] поведение.

Ниже приводится краткий обзор работ, в которых появлялись и развивались идеи, методы и приемы, используемые в данной диссертации.

В 1949 году М.А. Айзерманом была [Айзерман, 1949] сформулирована проблема, которая стимулировала разработку новых математических методов исследования нелинейных систем на несколько десятилетий вперёд.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений х = Ах + Ыр{с*х), х е Кп, (1) где А — постоянная вещественная nxn-матрица, Ь,с — постоянные п -мерные векторы, с*х = а 6 М, а <р — дифференцируемая функция, причём у>(0) = 0. Здесь <р трактуется как вход системы, а —сг как выход. Здесь и далее знак "*"обозначает операцию транспонирования.

Гипотеза Айзермана заключалась в следующем. Если для всех к Е (к\, к2) система (1) с (р — ко асимптотически устойчива по Ляпунову, то любая система (1), удовлетворяющая условию кг < ^ < к2, Va ф 0, (2) и устойчива в целом. Позже многократно было показано, что ни гипотеза Айзермана, ни гипотеза Калмана с условием к! <~<к2 (3) аа вместо (2) в общем случае неверны.

За прошедшие шестьдесят с лишним лет частотные методы превратились в полноценный математический аппарат, которому посвящено огромное количество работ [Jury & Lee, 1964, Cho & Nareridra, 1968, Вавилов, 1970, Шепелявый, 1972, Якубович, 1973, Якубович, 1975, Леонов к, Корякин, 1976, Леонов к. Чурилов, 1976, Леонов к Чурилов, 1982,Корякин к Леонов к Лисс, 1978, Леонов, 1980, Леонов к Буркин к Шепелявый, 1992].

Достаточное условие устойчивости в целом было предложено В.М. Поповым [Popov, 1959,Попов, 1970,Leonov &; Ponomarenko &; Smirnova, 1996]. Пусть для системы (1) выполнено условие:

О < <к, Миф 0, (4) 7

Пусть матрица А — гурвицева и существует число 0 такое, что для всех неотрицательных и выполнены неравенства:

1 + к Re[( 1 + 6iuj)W{iu))} > О, lim [1 + к Re[{ 1 + 9ico)W(гш)]] > О,

J—>+схз где W(p) : С —>• С — передаточная функция линейной части системы (1), определяемая формулой

W(p) = с*{А-р1)-1Ъ, в которой I обозначает единичную матрицу соответствующей размерности. Тогда система (1), (4) устойчива в целом.

Геометрическая интерпретация теоремы Попова такова: существует прямая на комплексной плоскости, проходящая через точку (—-д, 0) такая, что модифицированный годограф частотной характеристики

Х{ш) = ReW{ico), Y{ ш) = uImW(iuj) целиком лежит справа от этой прямой.

Другим известным условием устойчивости является круговой критерий [Гелиг & Леонов &; Якубович, 1978, Ьеопоу к Ропотагепко к, Бгшгпоуа,

1996, Леонов & Смирнова, 2000], который, в отличие от критерия Попова, применим к системам с нестационарными нелинейностями. Пусть дана система х = Ах + bcp(t, с*х), х Е Мп, (5) с нелинейностью <p(t,er), удовлетворяющей условию ki < Ф, < Ver ф 0, tG R+. 7

Здесь х G IRn, Ь, с € R"^, Л — постоянная вещественная nxn-матрица, а £ М, а (/? — функция двух скалярных аргументов такая, что для любого t Е М+ <p(t, 0) = 0.

Пусть пара (A, b) полностью управляема и выполнены условия:

1. Матрица А не имеет чисто мнимых собственных значений;

2. Для некоторого к 6 к2) линейная система (5) с <p(t,a) = ka асимптотически устойчива;

3. Для всех вещественных со выполнено частотное неравенство

ReühWiiu) + 1]*[k2W{iu) + 1]} > 0. Тогда система (5) абсолютно устойчива.

В случае к\ = 0 можно переобозначить к = к2, после чего последнее условие переписывается в виде

1 + к Re W(iu>) > 0.

Важным вариантом задачи об устойчивости является задача о глобальной асимптотической устойчивости фазовых систем. Рассмотрим систему х = Ах + Ь(р(сг), а = - с*х, йеЬ А — О,

6) р(<т) = <р(а + А).

Пусть <р(0) = 0 и пусть существуют два числа ~ к\ и к2, для которых выполнено условие к\ < ^^ < к2, Уст ф 0. <т

Ясно, что кг <0<к2 (тривиальный случай к\ = к2 = 0 мы исключаем).

Пусть передаточная функция \¥(р) линейной части системы (6) невырождена и имеет на мнимой оси лишь нулевой полюс кратности один и пусть

Яе[ш \¥(ш)] ф 0, Уа; е М, и Нт ш2Не[ш \¥(ш)} ф 0. ш—>оо

Тогда система (6) дихотомична, то есть любое ее решение стремится к какому-либо положению равновесия.

Если в описанных условиях матрица А имеет п — 1 собственное значение с отрицательными вещественными частями и д

I <р(<т) йст — 0, О то система (6) глобально асимптотически устойчива.

Однако данная теорема не решает задачу о глобальной асимптотической устойчивости в общем случае. Специфика возникших здесь задач потребовала специального аппарата. Началом развития такого аппарата следует считать работу [Бакаев к Гуж, 1965].

Параллельно с развитием теории глобальной асимптотической устойчивости систем с непрерывным временем шло развитие аналогичной теории для систем с дискретным временем и импульсных систем. Математическая теория дискретных систем была была развита в работах [Бромберг, 1953, Бромберг, 1967, Цыпкин, 1955, Цыпкин, 1962, Джури, 1963] и многих других работах. В частности, на дискретные системы была перенесена и теория абсолютной устойчивости нелинейных непрерывных систем [Дмитриев, 1965, Цыпкин к Попков, 1973, Цыпкин, 1977, Шепелявый, 1972, Jury к Lee, 1964, Cho к Narendra, 1968]. Получившиеся при этом результаты являются полными аналогами кругового критерия, критерия Попова, более общего критерия устойчивости в случае дифференцируемой нелинейности и т.д.

Наиболее известный из них — критерий Джури-Ли [Jury к, Lee, 1964, Цыпкин к Попков, 1973], являющийся дискретным аналогом кругового критерия.

Рассмотрим систему xt+i = Axt + bip{t,c*xt), жеГ,

7) с нелинейностью (p(t,cr), удовлетворяющей условию о v^o, te ж

8) а

Здесь х Е М™, Ь, с G M.N, А — постоянная вещественная пхп-матрица, все собственные значения которой по модулю меньше единицы, a G М, а ф — функция двух скалярных аргументов такая, что для любого t G Ш+ сp(t, 0) = 0. Пусть для всех си G [0, 7г] выполняется неравенство:

4 1 + kReW{iw) > 0.

Тогда система (7) абсолютно устойчива.

Критерий Чо-Нарендры [Cho & Narendra, 1968] отличается от критерия Джури-Ли условием на нелинейность. Вместо (8) используется ограничение:

О <*>(*,01)-¥>(*,<*) Va^o*. ¡p{tt0) = 0¡ Vi s Ж+.

Ti — cr2

Широкое распространение получил и дискретный аналог [Цыпкин & Попков, 1973] критерия Попова. Рассмотрим систему xt+i = Axt + bip(c*xt), х G IRn, (9) с нелинейностью (р(а), удовлетворяющей условиям р'> 0, 0 < ^^ < к, Маф 0, t G R+. сг

Здесь a; G Rn, b, с G М"^, А — постоянная вещественная пхп-матрица, все собственные значения которой по модулю меньше единицы, <т G М, а <Р ~ функция двух скалярных аргументов такая, что для любого t G М+ 0) = 0. Пусть для всех со € [0, 27т) выполняется неравенство: + Ле [(1 + <9(1 - е-*")) \¥{ги)\ > 0. С

Тогда система (7) абсолютно устойчива.

В отличие от критерия Попова для непрерывных систем, в этом критерии имеется дополнительное условие в виде ограничения на нелинейность: она должна быть монотонной.

Метод априорных интегральных оценок помогает и в исследовании актуального вопроса существования циклов. Первой работой по данной проблематике стала работа [Гарбер, 1967], где рассматриваются критерии несуществования в нелинейных непрерывных автономных системах периодических режимов определенного вида.

Пусть дана автономная система (1) с ограничением на нелинейность (4). Тогда у системы (1) не существует периодических режимов частоты со > со*, если для всех ио > со* выполняется неравенство:

1 + к Яе[(1 + в > 0.

Этот критерий является полным аналогом критерия Попова.

Работа [Леонов & Сперанская, 1985] является логическом продолжением работы Гарбера на случай циклов второго рода в фазовых системах. Рассмотрим многомерную систему х = Ах + Ь(р(а), & = с*х + г</?(сг),

Где А — постоянная гурвицева п х п -матрица; бис - постоянные п -мерные векторы; г — число, — Д -периодическая функция. Введем комплексную функцию W:

W(p) = с* (А — — г.

Пусть W(p) невырождена, ср(а) дифференцируема и удовлетворяет условию (2).

Введем обозначение v =

0А if (a) da

0 \v(°)\d(J

Пусть для о;* > 0 существуют числа ô > 0, г > 0 и к такие, что выполняются условия

2 2 Г

W2(0)-/ÎW(0) + <7<0,

2 2

W2{iu>)]

-Re kWUlj) + — iuj ) (KWiiuj) + -^-iw h J V «2 y ¿> < 0, Va; > a;*

Тогда у этой системы не существует предельных циклов второго рода частоты со > со*.

Изложенные идеи можно использовать и для оценки биений в системах с дискретным временем. Аналогами приведенных выше результатов являются критерии отсутствия в дискретных системах циклов некоторого заранее заданного периода. Впервые такой критерий был предложен в работе Г.А. Леонова [Леонов, 2006].

Пусть для системы (7) с нелинейностью </?, удовлетворяющей условию (8), для некоторого натурального N выполнено следующее неравенство: у + Яе\¥{р) > 0 к для всех N ; где IV — передаточная функция системы (7). Тогда не существует нетривиальной ./У-периодической последовательности векторов жг, удовлетворяющей системе (7) и включению с*Х[ = ег^ £ О, для любого £ е Мо