Динамика обобщенных гпуссовых пучков в нелинейных градиентных волноводах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

На правах рукописи

РГВ од

- 6 СЕН 7ПП0

Быченков Алексей Иванович

ДИНАМИКА ОБОБЩЕННЫХ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАДИЕНТНЫХ ВОЛНОВОДАХ

01.04.21 - лазерная физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2000

Работа выполнена в Саратовском государственном университете им. Н.Г.Чернышевского

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В.Л.Дербов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор С.П.Кузнецов, кандидат физико-математических наук, доцент Е.А.Романова

Ведущая организация:

Самарский государственный университет

Защита диссертации состоится '^Р^/^и^Л- 2000 г. в у * '3е' час. на заседании диссертационного совета K063.74.ll в^Саратовском государственном университете им. Н.Г.Чернышевского по адресу: 410026, Саратов, ул. Астраханская, 83, СГУ, физический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке СГУ.

Автореферат разослан.

им

. 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

В.Л.Дербов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Предмет исследования и актуальность проблемы

Задача о распространении светового пучка в нелинейной неоднородной среде в юдавляющем большинстве работ решается в аксиально симметричной постанов-се. Вместе с тем, в системах с естественной осью симметрии (волноводы, резона-'оры, нелинейные оптические схемы с встречными пучками и т.п.) большое зяа-[ение имеют эффекты, связанные с разъюстировкой, то есть с отклонением оси гучка от естественной оптической оси системы. В некоторых случаях, как напри-iep, в схемах спектроскопии субдоплеровского разрешения, такая разъюстиров-а вводится сознательно, например, для устранения паразитной обратной связи [ежду задающим лазером и встречной пробной волной. В других случаях разъ->стировка возникает как побочный нежелательный эффект, влияние которого на »ункционирозапие оптической схемы должно учитываться при ее математиче-<ом моделировании. И, наконец, представляет интерес поиск особенностей рас-ространения внеосевых пучков, могущих найти специальное практическое при-енение. Во всех перечисленных случаях при значительной интенсивности рас-латриваемого пучка могут проявляться эффекты самовоздействия, связанные оптической нелинейностью среды, что, с одной стороны, приводит к заметному шожнению задачи, а с другой - к появлению новых интересных физических юйств. Сами эффекты самовоздействия, связанные с поперечной ограниченно-ью световых пучков хорошо известны и играют существенную роль в динамике 1зеров, задачах спектроскопии высокого разрешения в газах, в экспериментах 1 лазерному разделению изотопов и физике нелинейных оптических волново-ш. Однако, особенности самовоздействия аксиально несимметричных пучков учены недостаточно.

Основой моделирования волновых пучков в средах с крупномасштабными (по авнению с длиной волны) неоднородностями является скалярное параболиче-ое (параксиальное) волновое уравнение. Его численное решение в случае от-гствия аксиальной симметрии усложняется из-за повышения размерности за-чи. Несмотря на прогресс вычислительной техники и рост памяти и быстро-аствия современных компьютеров, продолжает оставаться актуальной задачей зработка приближенных методов сокращенного описания пучков при помощи печного числа зависящих от продольной координаты переменных. Интерес к coro рода подходам связан не только с потребностью в упрощении численных ;четов, но и, в гораздо большей степени, с их преимуществами по сравнению с

прямыми численными методами в плане физической интерпретации результатов Распространенные в литературе подходы указанного типа, как правило, связань либо с грубыми допущениями (безаберрационное приближение), либо с теми аш иными ограничениями на характер нелинейности и/или неоднородности средь (например, отсутствие диссипации). Как правило, рассматривались аксиально симметричные пучки, а оценка эффектов разъюстировки проводилась либо : линейной среде, либо в частных случаях, либо в грубых приближениях.

При сведении параксиального волнового уравнения к системе обыкновенны: дифференциальных уравнений для параметров пучка фактически происходи хорошо известное в физике нелинейных волн сведение распределенной динз мической системы к системе с сосредоточенными параметрами конечной pas мерности. В получающейся динамической системе продольная координата пучк играет роль эволюционной переменной - времени. Предварительный анализ пс казывает, что даже в отсутствие оптической нелинейности среды динамическа система, описывающая пучок, является нелинейной. Естественно возникающе: задачей является исследование этой системы с применением хорошо разрабс таяного математического аппарата нелинейной динамики. Для аксиально вест метричных пучков со сдвигом, астигматизмом и кручением такое исследовани ранее не проводилось.

Таким образом, актуальной задачей является развитие методов сокращенж го описания аксиально несимметричных пучков в волноводных средах с нел! нейностью, неоднородностью и диссипацией, проведение детальных численны исследований сложного поведения лучков, включающего сдвиги, пульсации вращения, а также систематическое рассмотрение модели пучка как нелинейн< динамической системы с использованием современного математического аппар, та.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является построение конечномерной матем тической модели, описывающей распространение обобщенных гауссовых пучке в нелинейных волноводных средах, и исследование ее как динамической систем:

Для реализации поставленной цели решаются следующие основные задачи:

• Обобщение модифицированного обобщенного метода моментов (МОММ (В.Л.Дербов, Л.А.Мельников, А.Д.Новиков. Кв. электрон., 14, 2529 (1987 на случай внеосевых гауссовых пучков со сдвигом, астигматизмом и кру^

нием в аксиально симметричной среде с неоднородностью, нелинейностью и диссипацией.

• Выяснение особенностей поведения внеосевых пучков в градиентных волно-водных средах на конкретных примерах путем численного моделирования в рамках МОММ.

• Анализ конечномерной модели, описывающей распространение обобщенного гауссова пучка в градиентной волноводпой среде с оптической нелинейностью, в терминах нелинейной динамики.

• Исследование применимости МОММ с точки зрения как адпрокимацни поля, так и описания динамики моментов пучка на основе сравнения с результатами прямого численного решения волновой задачи с использованием абсолютно устойчивой схемы.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения

1. Конечномерная математическая модель, позволяющая описывать распространение обобщенных гауссовых пучков в нелинейных волноводных средах в терминах нелинейной динамики.

2. Результаты численных экспериментов, которые указывают на сложное поведение внеосевых лучков в волноводных средах с нелинейностью и диссипацией, включающее поперечное смещение пучка как целого, колебания его интенсивности и размеров, а также вращение вокруг собственной оси.

3. В среде с квадратичным профилем показателя преломления и керровской нелинейностью динамика интенсивности, размеров пятна, кривизны вол нового фронта и углов вращения не зависит от поперечного движения пучка в целом.

4. В волноводной среде указанного выше типа возможна динамически устойчивая структура астигматического пучка, пятно которого сохраняет фиксированный размер и вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью.

Научная новизна

Научная новизна результатов диссертации состоит в развитии новой математической модели и обнаружении ранее не исследованных физических эффектов и особенностей динамики внеосевых гауссовых пучков в градиентных волноводных средах с нелинейностью и диссипацией.

1. На основе МОММ построена новая приближенная математическая модель распространения обобщенного гауссова пучка с астигматизмом и кручением в градиентной нелинейной среде, лишенная принципиальных недостатков безаберрационного подхода.

2. Динамическое рассмотрение астигматического пучка в нелинейных волноводных средах впервые выполнено с одновременным учетом всех степеней свободы, в том числе при наличии диссипации.

3. В среде с квадратичным профилем показателя преломления найдены условия стационарного распространения пучка с учетом нелинейности. Исследованы особенности поведения системы вблизи состояний равновесия.

4. Обнаружена и исследована динамически устойчивая структура астигматического пучка, пятно которого сохраняет фиксированный размер и вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью.

5. С использованием результатов численного эксперимента продемонстрирована устойчивость периодических режимов распространения пучка в линейном случае.

6. Впервые исследованы квазипериодические режимы динамики параметров обобщенного гауссова пучка в параболической среде с керровской нелинейностью, неоднородной либо нелинейной диссипацией, а также в волноводе с гауссовым профилем линейной рефракции.

7. Впервые предложено использовать особенности распространения астигматических пучков со сдвигом и кручением в керровской среде для измерения константы Керра, повышения эффективности устройств для синхронизации мод в лазерах, а также для повышения максимальной мощности излучения, передаваемой по волноводам при наличии ограничений на предельную напряженность поля.

Достоверность результатов диссертации

Для тестирования приближенной динамической модели, рассматриваемой в диссертации, проводились специальные расчеты пучков на основе численного решения параболического волнового уравнения с использованием различных методов (разложение по модам Гаусса-Лагерра, схема Кранка-Николсона с покоординатным расщеплением и комплексным скейлингом). Оцепены условия применимости гауссовой аппроксимации поля в нелинейной среде. Показано, что в ряде случаев динамика моментов пучка правильно описывается предложенной моделью даже тогда, когда профиль пучка заметно отличается от гауссова. Результаты расчетов совпадают с известными для частных случаев.

Научная и практическая ценность результатов

Моделирование внеосевых пучков в поперечно-неоднородных нелинейных средах важно для учета и интерпретации эффектов, возникающих при несоосном возбуждении оптических волноводов, а также в активных и пассивных элементах разъюстированных резонаторов. С вычислительной точки зрения разработанная модель сочетает простоту описания, свойственную безаберрационным моделям, с отсутствующей у них внутренней непротиворечивостью. При небольших деформациях поля она вполне пригодна для оценки слабых проявлений самовоздействия. Более того, именно для слабой разъюстировки и малых нелинейных искажений первоначально гауссова пучка, что часто имеет место на практике, наша модель имеет преимущество перед прямыми численными решениями волновой задачи, требующими выделения малых сдвигов поля на фоне неизбежных численных ошибок.

Проведенные исследования расширяют представления о сложном поведении внеосевых астигматических пучков в волноводных средах, что может оказаться полезным как при учете неизбежных, хотя и нежелательных разъюстировок в реальных оптических устройствах, так и при поиске возможностей полезного применения разъюстировки, вводимой сознательно.

С более общей познавательной точки зрения важно то, что рассмотренная модель представляет собой результат сведения волновой задачи к дискретной нелинейно-динамической системе, которая затем исследуется стандартными методами нелинейной динамики. Мы одними из немногих предприняли попытку применить анализ дипамики моментов к задаче о распространении лазерных

пучков. Следует отметить, что аналогичные подходы (сведение к дискретным ' переменным и численное исследование их динамики) вообще-то достаточно тра-диционны для физики волн и сплошных сред (достаточно вспомнить модель Лоренца). Недавно они не без успеха применялись, например, в задаче о когерентных состояниях квантовых осцилляторов (Горохов A.B., Рогачева Е.В., Ширяев A.B., Динамика когерентных состояний в моделях квантовой оптики //.Дифференциальные уравнения и их приложения: тез.докл. - Самара, 1996. - С. 18.). В широком плане развитие подобных подходов важно для установления междисциплинарных связей, выявления единых закономерностей протекания различных физических процессов и развития единого языка их описания, основанного на нелинейно-динамическом подходе. Для нелинейной динамики оптика лазерных пучков, как продемонстрировано в нашей работе, может рассматриваться как источник новых физически содержательных моделей.

В работе специально рассматриваются и оцениваются возможности использования обнаруженных особенностей распространения астигматических пучков со сдвигом и кручением в керровской среде для прикладных целей. К ним относятся измерение константы Керра, повышение эффективности устройств для синхронизации мод в лазерах. Показано, что использование пучков с равномерным вращением астигматического пятна постоянных размеров перспективно с целыо передачи максимальной мощности по волноводам при наличии ограничений на предельную напряженность поля.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на следующих научных конференциях:

1. Проблемы фундаментальной физики (Саратов, 1996)

2. Школа по'оптике, лазерной физике и оптоэлектронике, (Саратов, 1997)

3. Saratov Fall Meeting' 98: Light Scattering Technologies for Mechanics, Bio-medicine, and Material Science, (Saratov, Russia, 1998)

4. International Conference on Transparent Optical Networks (Kieice, Poland,

1999)

5. Saratov Fall Meeting'99: Laser Physics and Spectroscopy (Saratov, Russia, 1999)

6. 2nd International Conference on Transparent Optical Networks (Gdansk, Poland,

2000)

Работа выполнена в Саратовском государственном университете.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 12 работах, из них 3 статьи в реферируемых отечественных и зарубежных журналах и 7 статей в международных сборниках.

Личное участие автора

Результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором. Ряд работ выполнен совместно с В.Л.Дербовым и Л.Л.Мельниковым при совместной постановке задач и обсуждении полученных результатов. При этом автору принадлежит проведение теоретических исследований и физическая интерпретация результатов; численные эксперименты проводились на основе программного обеспечения, разработанного автором. В проведении тестовых численных экспериментов участвовал В.В.Серов. Вклад автора в работы, выполненные совместно с этими и другими соавторами, отмечен в тексте диссертации.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы, включающего 68 наименований и приложения. Общий объем диссертации - 92 страницы текста (в том числе 30 рисунков).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обозначен предмет исследования, обоснована актуальность темы, дан сжатый анализ состояния проблемы к моменту начала исследований, сформулированы цель и задачи работы, основные положения, выносимые на защиту, охарактеризованы новизна полученных в диссертации результатов, их научное и практическое значение, апробация работы, публикации по ее теме, личное участие автора в выполнении работы, ее объем и структура, а также кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава включает четыре раздела. В первом разделе приводится краткий обзор используемых в литературе методов теоретического описания распро-

странения лазерных пучков в нелинейных средах. Основной акцент делается на приближенных полуаналитических подходах. Второй раздел начинается с изложения основных положений модифицированного обобщенного метода моментов (МОММ), предложенного Л.А.Мельниковым. В этом методе решение параксиального волнового уравнения ищется в виде пробной функции (например, гауссовой), параметры которой зависят от продольной координаты г. Уравнения для этих параметров получаются из условий ортогональности невязки функциям ор-тонормированного базиса. Моды этого базиса содержат те же зависящие от г параметры, что и пробная функция, и в этом смысле являются гибкими, что в итоге позволяет резко уменьшить их число, необходимое для удовлетворительной аппроксимации поля.

Центральное место в главе занимает третий раздел, в котором МОММ применяется для построения математической модели, описывающей распространение обобщенного астигматического гауссова пучка со сдвигом и кручением в среде, имеющей естественную ось симметрии. При этом общий метод не накладывает ограничений на функциональный вид восприимчивости среды, что дает принципиальную возможность рассматривать среды с произвольным типом неоднородности, нелинейности и диссипации. Исходным является безразмерное скалярное параболическое уравнение

где х[Ф-1 х> У>' комплексная восприимчивось среды. Скалярная медленная амплитуда электрического поля пучка ищется в виде

= Аехр[-(г,/2 + Ду'2 + + ^ЛЬ (2)

а гибкий ортонормированный базис представляет собой набор обобщенных гауссовых мод, для которого сама фа является основной модой. Координаты {х'О'-;/) и (а:"0"У") соответствуют системам главных осей распределений интенсивности и фазы. Переменные г/, /3 определяют размеры главных осей эллиптического пятна интенсивности, а переменные - главные значения кривизны волнового фронта. В результате применения МОММ осуществляется переход от параксиального уравнения (1) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для параметров пучка:

& - г 1*, г <201x400) №100) (001/!00)\ 2у/2 2\/2 2 )

g = ту[2 (f eos2S + esin2í) - i(20|^"|00}3

g = /?[2 (í sin2 5 + £ eos2 S) - -^(02lx"¡00}]

^ = - г?2 eos2 ¿ - /32 sin2 ¿ + 4=[í/(201x'|00) eos2 ¿ + az л/2

0{O2\x!\OO) sin2 <S] + sin 26

^ = e2 - Г)ЧтЧ - /?W¿ + — fo(2<%'|00) sin2á +

^^Ix'lOO) eos2 ¿j - ^(Щх'ЮО) sin2í

Sm2í -[^{021^100) - T7<20|X'¡00>]

2s/2(Z-ey

% = acostf + 7ein tf + ^|{01U"|00) - ~|(10|/|00> ^ = asinf — 7cos0 - ^|{0l!x"|00) - ^(10|/|00)

Tz = + ^cosJ{10|x'|00) - ^smí(01|x'|00) -^Бт5(01|Х"|00) + J^cos5{l<%"|00)

% = afz ~ T&iamx'm ~ xcosá(011x'|00) ~ ^cos«{01|x"|00) - ~=sin¿<10|x"|00>

Очевидно, уравнения (3) можно рассматривать как динамическую систему, причем роль эволюционной перемешюй (времени) играет продольная координата z.

В число параметров пучка, играющих роль динамических переменных построенной модели, наряду с уже упомянутыми ij, 0, е, входит его интенсивность, а также параметры, характеризующие смещение и поворот пучка. Эти парамет-

ры связаны с положением главных осей распределений интенсивности и фазы относительно лабораторной системы координат хОу, ось z которой совпадает с естественной осью симметрии среды. Линии равной интенсивности и равной фазы в плоскости хОу представляют собой кривые второго порядка с центрами симметрии в точках 0'(xi,yi) и 0"(хр,ур) и главными осями, повернутыми на углы <р и в, соответственно. Интенсивность в максимуме определяется величиной I ~ \ipo{x' = 0,у1 = 0)|2 = |у1)2. Вместо переменных сдвига волнового фронта (xi,y\) удобно ввести угловые переменные а = £((хр — xj) cos в -ь (ур — yi) sin в), 7 — £((жр — xi) sin в — (ур — y¡) cos $), характеризующие средний наклон пучка . Правые части уравнений (3) содержат 0 и <р только в виде разности S = <р—9, характеризующей угол поворота пятна относительно фазового фронта.

В последнем разделе главы определяются модели сред, соответствующие целям настоящей работы, динамические свойства которых могут представлять практический интерес. Вычисляются соответствующие матричные элементы от вос-приимчивостей, входящие в правые части уравнений системы (3). Большая часть новых эффектов, обнаруженных и исследованных в диссертации, основана на модели аксиально-симметричной волноводной среды с квадратичной зависимостью линейного показателя преломления от поперечных координат и нелинейностью керровского типа:

X — х' + гх"'> х' = хо(1 + х" = 0- (4)

При Rx = Ry = i¿o волновод является круглым, в противном случае - эллиптическим.

Во второй главе с помощью аналитических приемов изучаются общие свойства системы в случае параболической волноводной среды с керровской нелинейностью (4).

Даже для оптически линейной прозрачной среды полученная система дифференциальных уравнений существенно нелинейна. Поэтому важным вопросом, разрешенным в данной главе является вопрос об определении класса к которому принадлежит система. В разделе 2.1 путем вычисления среднего значения дивергенции фазовой скорости показано, что для среды с восприимчивостью (4) система консервативна. Далее, обнаружено разделение переменных пучка на две группы, основанное на том, что уравнения для переменных размера пятна г}, ft, кривизны волнового фронта е, £ и углов поворота уз, в не содержат переменных xi,yj,a, 7 явно, и поэтому могут быть исследованы отдельно. Переменные 1,Г1,/З,е,£,<р,в естественно назвать внутренними, a xj,yi,a,7 внешними. Данная терминология в дальнейшем сохраняется и в тех случаях, когда расщепление

уравнений отсутствует.

В том же разделе 2.1.приводится общее решение Х[[г),у1(г) для круглого волновода. Если начальный угол поворота пятна относительно фазового фронта 5 равен нулю, оказывается возможной дальнейшая редукция системы к 5-мерной. Данная особенность приводит к значительным качественным отличиям динамики пучка от общего случая, что далее учтено при проведении детального численного анализа (глава 3).

В завершение раздела 2.1 представлены три интеграла движения системы (3). Первый из них Р ~ —^ имеет смысл мощности пучка и является универсальным для всех прозрачных сред с действительной восприимчивостью. Второй, явный вид которого не приводится из-за его громоздкости, имеет смысл гамильтониана системы. Специфическим свойством сред с восприимчивостью (4) является сохранение величины ф = — 9).

В разделе 2.2. выводятся условия стационарного распространения пучков в различных средах, делаются оценки их устойчивости. Наряду с классическим стационарным состоянием волноводной моды (плоский волновой фронт, неизменное вдоль 2 поперечное распределение поля) в системе с восприимчивостью (4) обнаружен нетривиальный режим равномерно вращающегося пятна с неизменными размерами. При этом неплоский фазовый фронт также сохрапяет свои размеры и форму, знаки главных значений кривизны противоположны, а угол поворота пятна относительно волнового фронта постоянен и составляет 3 = 7г/4.

Третья глава посвящена численному анализу сложных динамических режимов системы с восприимчивостью (4) с использованием фазовых портретов и отображений Пуанкаре. Для определенных значений параметра керровской нелинейности среды обнаружены явления резонанса колебаний внутренних и внешних переменных (рис. 1).

'ис. 1: Резонанс частот колебаний переменных (х/,т?) при Хп1 = 0.08 (Ь). График (а) соответ-твуег Хп! = 0.03.

Обнаружен также чисто нелинейный эффект появления новых частот в спек-

X

тре осцилляций переменных. На соответствующих фазовых портретах он проявляется в форме рождения циклов (рис. 2).

Рис. 2: Рождение циклов в проекции фазовой траектории на плоскость (т/, {) с ростом керров-ской нелинейности среда хы — 0,05(а),0.08(6).

Для найденных эффектов проведено сравнение случаев круглого (11х — Яу) и эллиптического (lit. ф Ry) волноводов.

В различных двумерных проекциях отображения Пуанкаре на плоскость I = const можно наблюдать резонанс более сложного вида, в частности колебаний трех переменных (рис. 3).

(а) «

(Ь)

в«в tax

П

о» isa ш i«

"Ч

(с)

Рис. 3: Сечение Пуанкаре (/ — const) в проекции на плоскость (£, 7j) для хы=0 (а), 0.03 (Ь), 0.07 (с).

Исследована роль начального значения переменной 5 в указанных процессах. Так, например, сравнение реализаций г)(г) и /3(г) для начальных 6 = 0 и 5 ^ 0 показало, что кручение пучка играет роль синхронизирующего фактора.

В смысле возможных приложений интересными являются особенности движения центра астигматического пучка аг/, у/ в эллиптическом волноводе с И2 ^ Ну. В зависимости от параметра нелинейности возможны как квазипериодические траектории, локализованные в приосевой области волновода, так и траектории,

значительно удаляющиеся от оси. В реальном эксперименте, где сердцевина волновода имеет конечный размер, таким траекториям будут соответствовать значительные потери, связанные с вытеканием излучения.

В разделе 3.2. модель волноводной среды дополнена неоднородной нелинейной диссипацией

Xя = хиы-шх* +У2)]+хЖ, (5)

что приводит к двусторонней связи внутренних и внешних переменных и усложняет динамику пучка. Физической причиной указанной двухсторонней связи можно считать одновременное проявление линзовых и апертурных эффектов. Обнаружено, что при фиксированной длине распространения в зависимости от параметров волновода и начальных условий малые изменения неоднородного поглощения весьма различным образом влияют на выходные значения переменных пучка, причем в некоторых случаях это влияние незначительно, а в других весьма велико.

Принципиальным недостатком модели бесконечной среды с квадратичным профилем рефракции является не имеющий физического смысла бесконечный рост показателя преломления при значительном удалении от оси. Более реалистичной в этом смысле является модель с гауссовым профилем рефракции

X — Хо ехР | для которой сохраняется возможность аналитиче-

ского определения матричных элементов восприимчивости. В этой модели также наблюдалось усложнение динамики, связанное с двухсторонней связью внутренних и внешних переменных. Ограничения применимости МОММ к данной модели волновода проанализированы в главе 4.

Анализ достоверности результатов и области применимости используемых моделей и приближений проводится в четвертой главе. Для этого решение параксиального волнового уравнения (1) было выполнено прямыми численными методами (разложение поля по поперечным модам Гаусса-Лагерра, схема Кралка-Николсона с использованием покоординатного расщепления и комплексного скейлинга). Приближенный характер модели, основанной на МОММ, требует ответа на два вопроса: 1) какова точность аппроксимации поля в случае, когда первоначально гауссов пучок испытывает негауссовы искажения из-за неоднородности или нелинейности среды; 2) насколько точно уравнения МОММ воспроизводят динамику моментов, рассчитанных по результатам прямого численного решения. В разделе 4.1. очерчены границы применимости модели, связанные с изначально введенными упрощениями. Для среды с гауссовым профилем линей-

ной рефракции аппроксимация одной обобщенной гауссовой модой, как и следовало ожидать, дает приемлемые результаты в двух случаях. Первый соответствует почти свободной дифракции широкого пучка, второй - режиму сильной локализации пучка в центральной области сердцевины волновода, когда вытеканием излучения можно пренебречь. Таким образом, применимость используемой версии МОММ для детального воспроизведения поля ограничена. Целью данной работы, однако, является исследование динамики переменных пучка. В разделе 4.2. приводится определение моментов таблично заданного поля, соответствующих переменным МОММ. Это поле может быть найдено численно или измерено экспериментально. На ряде примеров показано, что модель на основе МОММ способна правильно описывать динамику моментов даже в тех случаях, когда профиль поля испытывает заметные негауссовы искажения. В разделе также проводится оценка качества воспроизведения МОММ (?/>тот) детальной картины поля, полученного прямыми численными методами (фпит) для случая параболической волноводвой среды с керровской нелинейностью- Величина \фтот\2 — \фп,итл меняет знак вдоль сечения (см. рис. 4), что демонстрирует, каким образом реальный пучок аппроксимируется эффективным гауссовым профилем. Наибольшее иска-

Рис. 4: Поперечное распределение разности интенсивностей лучков, получаемых в численном эксперименте и на основе (3). Максимальная интенсивность I ~ 70.

жение гауссов пучок претерпевает в малой области максимальной интенсивности, однако, в целом поле остается близким к гауссовому, что и объясняет достаточно высокую точность аппроксимации. Последняя оценивается с помощью интегральной характеристики - среднеквадратичного отклонения \гртот\2 — \1рПит\2-

Ввиду того, что используемые в работе величины нормированы, раздел 4.3 посвящен определению границ изменения переменных пучка и параметров среды в системе единиц СГС.

Пятая глава содержит примеры практических приложений изученных особенностей динамики пучков. Предлагается способ измерения керровской константы, основанный на зависимости скорости равномерного вращения пятна (в режиме, описанном в главе 2) от мощности пучка. Предложено использовать зависящие от мощности пучка эффекты поворота и сжатия пятна для нового варианта эффективной керровской синхронизации мод в лазерах. Показано, что в режиме равномерпо вращающегося пятна его сечение, как правило, больше, чем при распространении нелинейной аксиально симметричной волноводной моды. Это означает, что при данной мощности снижается максимальная локальная напряженность поля, что в практике передачи пучков высокой мощности важно для устранения мелкомасштабной неустойчивости и оптического пробоя.

В Заключении резюмируются основные результаты и оцениваются перспективы работы.

В Приложение вынесено описание использованных методов прямого численного решения параболического волнового уравнения на основе разложения поля по поперечным модам Гаусса-Лагерра, а также схемы Кранка-Николсона покоординатного расщепления с комплексным скейлипгом.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

С помощью теории и численного моделирования в диссертации удалось добиться определенного продвижения к детальному пониманию-нелинейных динамических эффектов в поперечно ограниченных световых пучках. Основные результаты проведенного исследования можно сформулировать следующим образом.

1. В диссертации проведено обобщение модифицированного обобщенного метода моментов на случай задачи о динамике гауссова пучка со сдвигом, астигматизмом и кручением в аксиально симметричной среде с неоднородностью, нелинейностью и диссипацией. Построенная новая приближенная математическая модель лишена принципиальных недостатков безаберрационного подхода. Несмотря на то, что, как и в других работах, делается априорное предположение о функциональном виде решения (обобщенный гауссов пучок), используемая для исследования система уравнений способна пра-

вильно описывать качественные особенности поведения пучков даже при условии значительных негауссовых искажений. Предложенная модель не накладывает принципиальных ограничений на функциональный вид восприимчивости среды. Однако, наибольшая эффективность метода достигается, когда матричные элементы восприимчивости можно найти аналитически (квадратичная или гауссова неоднородность, керровская нелинейность). В этих случаях удалось установить ряд общих свойств динамики пучков в аналитическом виде.

2. Исследование предложенной конечномерной модели пучка проводится в терминах аппарата прикладной нелинейной динамики. Очевидными преимуществами такого подхода являются возможность указывать области типичного поведения пучка (в том числе и аналитическим образом), получать адекватные конкретной задаче способы измерения параметров среды, а также решать обратную задачу - поиск сред со свойствами, обеспечивающими требуемую динамику пучка. Собственно для нелинейной динамики может быть интересно расширение круга физически содержательных моделей, что позволяет, в свою очередь, ожидать обнаружения новых эффектов в распространении пучков.

3. Детальный анализ динамики внеосевого пучка выполнен для ряда важных. примеров градиентных нелинейных волноводных сред, причем впервые с одновременным учетом всех степеней свободы. Исследовано сложное поведение внеосевых пучков в волноводных средах с нелинейностью и диссипацией, включающее поперечное смещение пучка как целого, колебания его интенсивности и размеров, а также вращение вокруг собственной оси.

4. Для среды с квадратичным профилем показателя преломления определены условия стационарного распространения пучка с учетом нелинейности, а также особенности поведения системы вблизи таких состояний. В среде с квадратичным профилем показателя преломления и керровской нелинейностью обнаружен ряд нетривиальных динамических эффектов. В частности, показано, что динамика интенсивности, размеров пятна, кривизны волнового фронта и углов вращения не зависит от поперечного движения пучка в целом. Кроме того, существует динамически устойчивая структура астигматического пучка, пятно которого сохраняет фиксированный размер и вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью. Особенностью среды с эллиптическим поперечным сечением является зависимость степени лока-

лизации пучков вблизи оси волновода от их мощности.

5. Сравнение с результатами прямого численного решения показало, что для малых нелинейных деформаций поля используемое приближение дает хорошие результаты. Более того, даже при значительных негауссовых аберрациях оно обеспечивает правильное описание динамики моментов пучка.

6. Оценки показали, что для широкого диапазона используемых на практике параметров сред и пучков обнаруженные в настоящем исследовании эффекты могут быть реализованы. В связи с этим, предложен ряд возможных практических приложений. К ним относятся измерение константы Керра на основе особенностей вращения астигматических пучков, повышение эффек-

. тивности устройств для синхронизации мод в лазерах, а также увеличение максимальной мощности излучения, передаваемой по волноводам при наличии ограничений на предельную напряженность поля.

Основные публикации по теме диссертации

[1] В.Л.Дербов, А.И.Быченков, О.М.Приютова. Геометрическая фаза разъ-юстировашшх пучков и когерентных состояний смещенного квантового осциллятора Материалы научной конференции "Проблемы фундаментальной физики", Саратов, 7-12 октября, 1996, с. 56-57.

[2] L.A.Melnikov, V.L.Derbov, A.I.Bychenkov, O.M.Friyutova. Numerical modeling of light beam propagation in nonlinear waveguide media: effects of misalignment and inhomogeneous broadening // Proceedings of SP1E. -1997. - V. 2994. - P. 844-850.

[3] V.L.Derbov and A.I.Bychenkov. Numerical modeling technique for waveguides: quality of the modified method of moments // Proceedings of SPIE. - 1998. - V. 3283. - P. 915-920.

[4] Л.А.Мельников, В.Л.Дербов, АЛБыченков. Моделирование внеосевых гауссовых пучков с астигматизмом и кручением в нелинейной волноводной среде // Оптика и спектроскопия. - 1998. - Т. 85, № 1. - С. 100-105.

[5] Л.А.Мельников, В.Л.Дербов, А.И.Быченков. Динамика внеосевого гауссова пучка с астигматизмом и кручением в прозрачной нелинейной волноводной

среде // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 1998. - Т. 6, № 2.

- С. 73-84.

[6] V.L.Derbov, A.I.Bychenkov. Long-trace behaviour of a misaligned astigmatic twisted beam in a dissipative nonlinear waveguide // Proceedings of SPIE. - 1998. -V. 3726. - P. 249-254.

[7] L.A.Melnikov, V.L.Derbov and A.I.Bychenkov. Reduced numerical models for misaligned beam propagation dynamics in nonlinear gradient waveguides, Proceedings of International Conference on Transparent Optical Networks, Kieice, Poland, June 9-11, 1999, P. 173-176.

[8] L.A.Melnikov, V.L.Derbov, A.I.Bychenkov. Dynamics of a misaligned astigmatic twisted Gaussian beam in a Kerr-nonlinear parabolic waveguide // Phys.Rev. -1999

- V. 60,- N 6. - P. 7490- 7496.

[9] В.Л.Дербов, С.И.Виницкий, В.В.Серов, А.И.Быченков. Численная схема покоординатного расщепления с комплексным скейлингом для уравнений квантовой механики и параксиальной оптики "Проблемы современной физики. К 90-летию Саратовского государственного университета и 40-летию сотрудничества ОИяИ и СГУ", Изд-во ОИяИ, D2-99-263, Дубна, 1999.

[10] V.V.Serov, A.I.Bychenkov, V.L.Derbov, S. I. Vinitsky. Numerical scheme with external complex scaling for 2D Schrodinger equation in paraxial optics // Proceedings of SPIE. - 1999. - V. 4002. - page numbers (10).

[11] V.L.Derbov, A.I.Bychenkov. Astigmatic twisted beams: reducing the peak intensity in high-power waveguides // Proceedings of SPIE. - 1999. - V. 4002. - page numbers (11).

[12] A.I.Bychenkov, V.L.Derbov, L.A.Melnikov. Modeling of off-axis Gaussian beams in elliptical waveguides: application to mode-locking devices, Proceedings of International Conference on Transparent Optical Networks, Gdansk, Poland, June 5-8, 2000, P. 53-56.