Метод формул сдвига в применении к теории погруженно-градиентных волноводов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ
|
Николаев, Николай Эдуардович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2000
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.03
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
РГб 01
- о яип ;чс{)
Николаев Николай Эдуардович
МЕТОД ФОРМУЛ СДВИГА В ПРИМЕНЕНИИ К ТЕОРИИ ПОГРУЖЕННО-ГРАДИЕНТНЫХ ВОЛНОВОДОВ
(01.04.03 — радиофизика)
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук
Москва - 2000
Работа выполнена на кафедре радиофизики факультета физико-математических и естественных наук Российского Университета дружбы народов.
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор Шевченко В.В.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Беланов А С.
кандидат физико-математических наук, Мальцев В.П.
Ведущая организация: Институт общей физики РАН
Защита диссертации состоится « 21 » (^-/с^х^Р^Я 2000 г. в ч. 30 мин на заседании диссертационного совета К 053.22.01 в Российском Университете дружбы народов по адресу: 117419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, зал №1.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского Университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.6.
Автореферат разослан " ¿У " КОи-о^Л 2000 г.
Учёный секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук В.И.Санюк
1 й К* Ы6.Г)
Общая характеристика работы
Актуальность темы диссертации
Исследование интегрально-оптических волноводных элементов интенсивно проводятся на протяжении нескольких десятилетий. Результатам этих исследований посвящен целый ряд статей, обзорных работ, монографий. Действие всех существующих интегрально-оптических устройств основано на явлении полноводного распространения оптического излучения по тонким диэлектрическим слоям с показателем преломления несколько большим, чем у обрамляющих сред. В качестве таких устройств могут служить как однородные тонкопленочные волноводы, так и неоднородные или градиентные волноводы оптического диапазона, образуемые в приповерхностном слое подложки или внутри нее. В последнем случае такие волноводы называют погруженно-градиентными (buried).
Неоднородные или градиентные волноводы характеризуются тем, что в них имеют место малые потери мощности распространяющихся в них волн на рассеяние и поглощение. С помощью таких волноводов можно изготовить полосковые волноводы, обладающие также малыми потерями. Такие волноводы хорошо согласуются с волоконными световодами при вводе и выводе излучения. Кроме того на основе градиентных волноводов эффективно реализуются модуляторы,- интерферометры, акусто-оптические и электрооптические устройства.
Главной особенностью теории градиентных волноводов является исследование и решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, определяемыми функцией распределения диэлектрической проницаемости в волноведущем слое. Метод решения таких задач зависит как от вида функции, так и от характеристик волн, распространяющихся по волноводу.
Для успешного решения задач о распространении волн в градиент-
ных волноводах решающее значение имеет определение реального вида функции распределения диэлектрической проницаемости, или показателя преломления среды в волноведущем слое. Как правило, вид этой функции заранее неизвестен. Поэтому разрабатываются различные методы определения профиля диэлектрической проницаемости (ПДП) градиентных оптических волноводов по экспериментально измеренным дисперсионным характеристикам его мод. Разрабатываемые методы дают неплохие результаты для многомодовых волноводов. Однако при рассмотрении одномодовых волноводов эти методы либо вообще неприменимы, либо приводят к неоднозначным результатам.
Цель работы
1. Исследование математической модели, описывающей форму профиля диэлектрической проницаемости в поперечном сечении волновода; модель предложена для использования при расчетах методом формул сдвига.
2. Развитие метода формул сдвига в применении к анализу неоднородных волноводов сложной внутренней структуры — погруженно-градиентных волноводов.
3. Анализ влияния параметров математической модели на дисперсионные характеристики (постоянные распространения, критические частоты) волноводов.
4. Развитие метода формул сдвига в применении к решению задачи восстановления профиля диэлектрической проницаемости погруженно-градиентных волноводов, работающих в одномодовом режиме.
5. Исследование устойчивости решения задачи восстановления ПДП волноводов.
Научная новизна работы
Исследована математическая модель для описания профиля диэлектрической проницаемости неоднородных волноводов. Она позволяет описывать самые разнообразные профили: ступенчатые, приповерхностные, погруженно-градиентные. Математическая модель используется для расчета дисперсионных характеристик погруженно-градиентных волноводов. В применении к таким волноводам развит метод формул сдвига, с помощью которого рассчитаны постоянные распространения и построены дисперсионные кривые мод волноводов. Выявлена связь между параметрами математической модели и значениями постоянных распространения волноводов. Проведено развитие метода формул сдвига в применении к синтезу погруженно-градиентных волноводов, работающих в одномодовом режиме. Показана возможность получения единственного решения задачи синтеза волноводов и, тем самым, восстановления точного профиля диэлектрической проницаемости в поперечном сечении. Проведено исследование устойчивости решения задачи синтеза.
Научная и практическая ценность работы
Результаты диссертационной работы могут быть использованы при исследовании погруженно-градиентных волноводов, особенно при восстал новлении профиля диэлектрической проницаемости таких волноводов, работающих в одномодовом режиме.
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры радиофизики РУДН, на XXXII, XXXIII, XXXV и XXXVI научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН (1996 г., 1997 г., 1999 г. и 2000 г., Москва), на VIII международной научно-технической конференции ' 'Лазеры в на-
уке, технике и. медицине" (1997 г., Пушкинские Горы), на IX Международной школе-семинаре "Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ" (1997 г., Самара), на Vllth и VIHth International Conferences on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET'98 and MMET'2000, Kharkov, 1998 г. и 2000 г.).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах.
Структура и объём работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы. Диссертация опубликована на 150 страницах машинописного текста, содержит 13 таблиц и 51 рисунок. Список литературы включает 154 источника.
Краткое содержание диссертации
Введение Во введение представлен обзор современного состояния исследований в области анализа и синтеза оптических диэлектрических волноводов, сформулированы основные цели и задачи диссертации и кратко изложено ее содержание.
Глава 1 Рассматривается математическая модель, описывающая профиль диэлектрической проницаемости (ПДП) волноводов в поперечном сечении направляющего слоя.
, Согласно ей ПДП волноводов может быть представлен усеченной экспоненциально-степенной функцией вида
где
^ 1 — ехр )
j = 1 при 0 < у < г, 3 — 2 при г < у < 1,
<3>
(Р. = 1-", (4)
при этом
Еу = е& при 7/ = О, (5)
еу = е3 при у = г, (6)
е„ = е, при у = 1. (7)
Согласно этой модели распределение диэлектрической проницаемости направляющего слоя определяется девятью параметрами: £о! £ь] е8; ед] г; щ] р\\ р2) параметры £ъ и е3 определяют величины диэлектрической проницаемости на верхней и нижней границах волновода, г — расстояние от поверхности волновода, где достигается максимальное значение диэлектрической проницаемости внутри волноведущего слоя; параметры <71, дг, Р1> Рг определяют вид профиля.
Модель является достаточно универсальной, так как она позволяет описывать самые разнообразные профили: ступенчатые, приповерхностные, погружеино-градиентные.
В главе рассматривается влияние параметров модели на вид профиля. Представлены рисунки, на которых изображены ПДП различных волноводов, построенные в соответствии с математической моделью, а также для сравнения с использованием известных функциональных зависимостей — линейной, параболической, экспоненциальной и др.
Проведен подробный анализ математической модели, исследовано поведение профиля в зависимости от различных сочетаний параметров.
Глава 2 Глава посвящена рассмотрению метода формул сдвига. Основу метода составляют полученные из волнового уравнения интегральные соотношения — формулы сдвига, описывающие изменение постоянных распространения и критических частот при изменении параметров волноводов или их структуры. В формулы сдвига входит функция поля моды исследуемого волновода в поперечном сечении; она представляется в виде разложения по функциям сечения мод волновода сравнения, в качестве которого используется однородный волновод.
Расчет дисперсионных характеристик и полей мод методом формул сдвига сводится к решению интегрального уравнения
о о
относительно функции поля моды исследуемого волновода Ф(у), где Ф(г/) — известная функция поля моды однородного волновода сравнения,
V2 = (Щ\еа - еа), V2 = (Щ\е - е.), (9)
к — и/с, из — угловая частота поля, с — скорость света. Представление функции Ф(т/) в виде разложения
= (ю)
п=0
по функциям Уп{у) полей мод волновода сравнения, у которого е = еп, V = Уп, и подстановка его в выражение (8), с учетом того, что Ф(у) = Фщ(у) (гп = 0,1,2,...), приводит к задаче на собственные значения Уу и собственные векторы-столбцы С„ = [Сп]г, где и = 0,1,2,..., матричного оператора А — А(У) в виде
А(&)б = о. (11)
Функции полей мод волновода сравнения Фт и Фп равны
= СОЭ{иту - Щт), = СОБ(ипу - Щп) (12)
и обладают свойством ортогональности вида 1
У Ф4»)Ф«(у) Лу = А^» , (13)
о
где
Л» = 5 С1 + ТТ-Т +-2Т-2) ' (14)
2 \ V* + и^ шг + и~ )
а ип — решения системы дисперсионных уравнений для волновода сравнения
-и = и0 + аг^ — ; и2 +ги2 = V2 ; (15)
и
и0 = П7Г + агс^ - ; и2 = ш2 + {кН)2(е, - ео). (16)
и
Элементы матрицы Атп имеют вид
Атп(У) = (1 - У%!Уг)мпётп - <эпп{У). (17)
1
/ (18) У - е»
о
Нетривиальным является тот факт, что элементы матрицы нелинейно зависят от искомого собственного значения V Подстановка в (¿тп выражений для е(у), и Фп, и дальнейшее интегрирование позволяет получить элементы матрицы Атп и решить уравнение (11). Рассмотрение определителя Б матрицы А(У") (17) как функции от V и поиск нулей функции 0(у) дает возможность получить К в зависимости от фазового параметра моды В и, наоборот, зависимость от V фазового параметра
моды В„ = и?[у)/У2. Фазовый параметр связан с постоянной распространения моды 7„ соотношением
Ъ = ке\!\ 1 + 2&В„У'2, (19)
где
Таким образом, метод формул сдвига позволяет решить задачу анализа для каждого конкретного волновода и найти его дисперсионные характеристики.
Во второй Главе представлены дисперсионные кривые, расчитан-ные для нескольких первых мод погруженно-градиентного волновода. Кроме того, произведен анализ поведения кривых в зависимости от параметров профиля диэлектрической проницаемости волновода, входящих в математическую модель, описываемую формулами (1), (2).
Глава 3 Рассматривается задача восстановления ПДП погруженно-градиентных волноводов. Задача заключается в нахождении параметров ql, рх, <&! Р2) которые определяют форму профиля по известным величинам постоянной распространения моды. Восстановление профиля одномодового волновода состоит в вычислении указанных параметров, по крайней мере, по двум значениям постоянной распространения моды. Это можно сделать, рассмотрев работу волновода на двух, например, крайних частотах в заданной полосе в пределах одномодового режима. Нахождение параметров профиля осуществляется путем многократного решения задачи анализа с отбрасыванием результатов в случае, когда получаемые значения постоянных распространения не совпадают с заданными значениями.
Исследование процесса поиска решения проводилось путем выбора волновода базового профиля с заранее известными параметрами
рь, So, еь, ед, е„ г). (Здесь верхние индексы "6" у параметров qh, ръ означают "base" — базовый). Для этого профиля рассчитывались значения нормализованных постоянных распространения моды В\, на двух нормализованных частотах V\, V-z в пределах одномодового режима работы. Дальнейший поиск параметров профиля q, р осуществлялся в предположении, что известны только эти параметры моды.
Правильность выбора параметров оценивалась следующим образом: если сумма квадратов отклонений постоянных распространения рассчитываемого волновода от постоянных распространения волновода базового профиля уменьшается, то направление изменения параметров выбрано правильно; при увеличении суммы квадратов отклонений направление изменения параметров профиля следует выбрать противоположным.
Однако оказывается, что использование в качестве критерия только близости постоянных распространения моды недостаточно, так как при этом не удается осуществить достаточно точный подбор параметров ПДП. В дополнение к этому был применен еще один критерий, а именно — равенство или близость величины (В2 — Bi)/(V2 — VI) для мод рассчитываемого и базового волноводов.
Одновременное рассмотрение двух критериев позволяет с хорошей точностью подобрать параметры ПДП.
В качестве базового волновода были исследованы структуры с различным сочетанием параметров. На первом этапе была выбрана структура, у которой параметры были попарно равны, т.е. gi = 52, Pi = р2-Подбор параметров привел к восстановлению исходного профиля, т.е. были найдены параметры ПДП, совпадающие с параметрами базового волновода. На втором этапе рассматривалась структура, у которой одна пара параметров была различна. В то же время подбор проводился в предположении попарного равенства параметров. При таких условиях вычисления привели к нахождению некоторого ПДП. Однако из-за
различия начальных условий и условий поиска численные значения найденных параметров отличались от значений параметров базового волновода. Были рассмотрены четыре подобные структуры — для двух из них различными являлись параметры q\ и дг, а параметры р\ и рг были одинаковыми, т.е. р\ = рг; две другие имели одинаковыми параметры дх, д2 и неодинаковыми рх, Во всех случаях процесс подбора привел к нахождению волновода определенного профиля. Необходимо отметить, что несмотря на отличие параметров и формы ПДП, базовый волновод и волновод, полученный в результате подбора являются эквивалентными, если речь идет об их дисперсионных характеристиках, по крайней мере, в интервале частот К, Уч.
Данные всех рассмотренных случаев сведены в таблицу, а соответствующие профили представлены на рисунках.
Следующим этапом явилось рассмотрение структуры, все параметры которой были различны. Изменились и условия поиска. Теперь процесс подбора проводился для различных сочетаний параметров дх, 92, Р1 и рч- Каждый раз вычисления приводили к нахождению ПДП с определенными значениями параметров дх, д2> Ри Рг- Для каждого сочетания параметров р\, ръ — свой ПДП. Таким образом, при данных условиях подбора получается бесконечное множество эквивалентных волноводов. Иными словами, не удается найти единственное решение задачи восстановления профиля диэлектрической проницаемости.
Следовательно, необходимо ввести дополнительные критерии, которые позволят, по крайней мере, сузить область возможных параметров волноводов, при которых они являются эквивалентными. В качестве дополнительных критериев были выбраны величины, подобные использованному ранее второму критерию, а именно, равенство или близость углов наклона касательной к дисперсионной кривой в крайних точках частотного диапазона для рассчитываемого и базового волноводов, т.е. в точках Ух и С учетом вновь введенных критериев процесс поиска
и
несколько меняется, но в целом лишь немного отличается от проведенного ранее.
Введение каждого критерия позволяет значительно ограничить область возможных параметров волноводов. Одновременное рассмотрение обоих критериев приводит к нахождению единственного набора параметров 51, 52) Р\\ Рг- Это означает, что процесс подбора параметров с учетом всех четырех критериев приводит, в конечном итоге, к получению единственного решения задачи восстановления профиля диэлектрической проницаемости. Следует отметить, что полученный при таких условиях ПДП имеет параметры, совпадающие с параметрами базового волновода.
В качестве базового волновода были рассмотрены три структуры с различными сочетаниями параметров 51, 52, р1, рг- Во всех случаях процесс подбора параметров привел к восстановлению исходного ПДП.
В главе проведена оценка устойчивости решения задачи восстановления ПДП волновода. До этого при подборе параметров не рассматривалось влияние точности, с которой были определены величины, используемые при вычислениях: постоянные распространения В\ и В2, значения диэлектрических проницаемостей £&, ед и ев, а также глубина г — расстояние от поверхности волновода, на котором диэлектрическая проницаемость достигает максимального значения. Точность определения этих величин непосредственно влияет на точность определения параметров профиля диэлектрической проницаемости (см. формулу (1)).
Чтобы исследовать решение на устойчивость, необходимо знать влияние возможных ошибок в нахождении всех вышеуказанных величин на точность определения параметров профиля.
Такое исследование проведено дифференциальным методом относительно малых ошибок параметров В\} В2, £ь, ед е3 и г.
Проведенное исследование решения задачи синтеза волновода на устойчивость позволяет сделать вывод о том, что возможные ошибки
при нахождении параметров профиля диэлектрической проницаемости, возникающие из-за неточности определения исходных величин в заданном диапазоне частот, не являются критическими и не оказывают существенного влияния на синтезируемую форму профиля диэлектрической проницаемости волновода.
Заключение В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
Основные результаты работы
1. Проведен подробный анализ математической модели, описывающей профиль диэлектрической проницаемости неоднородных оптических волноводов.
2. Развит метод формул сдвига в применении к анализу погруженно-градиентных волноводов, произведены расчеты дисперсионных характеристик таких волноводов.
3. Исследована связь между параметрами математической модели и значениями постоянных распространения и критических частот волноводов.
4. Проведено развитие метода формул сдвига в применении к решению задачи восстановления профиля диэлектрической проницаемости погруженно-градиентных волноводов, работающих в одно-модовом режиме.
5. Проанализирована устойчивость решения задачи синтеза погруженно-градиентных волноводов.
Результаты диссертации опубликованы в работах
[1] Николаев Н.Э., Шевченко В. В. Модель и расчет параметров мод неоднородного заглубленного планарного волновода. XXXII Научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. 27 мая - 1 июня 1996 г. М.: Изд. РУДН. 1996. с.7-8.
[2] Николаев Н.Э., Шевченко В.В. Метод формул сдвига в применении к заглубленным планарным оптическим волноводам. Радиотехника и Электроника. 1997. т.42. № 8. с.901-903.
[3] Николаев Н.Э., Шевченко В.В. Анализ полей мод погруженно-градиентных волноводов методом формул сдвига. Тезисы XXXIII Научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. 20-24 мая 1997 г. М.: Изд. РУДН. 1997. с.31.
[4] Николаев Н.Э., Шевченко В.В. Дисперсионные характеристики и поля мод погруженно-градиентных планарных оптических волноводов. Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 1997. т.5. № 2. с.273-274.
[5] Черемискин И.В., Чехлова Т.К., Тимакш А.Г., Николаев Н.Э. Датчики концентрации газов на основе оптических волноводов. Тезисы VIII Международной научно-технической конференции "Лазеры в науке, технике, медицине". Пушкинские Горы, 9-12 сент. 1997. М.: 1997. с.159-160.
[6] Николаев Н.Э., Шевченко В.В. Восстановление профиля диэлектрической проницаемости планарных погруженно-градиентных волноводов. Радиотехника и Электроника. 1998. т.43. № 6. с.703-705.
[7] Nikolaev N.E, Shevchenko V.V. Permittivity Profile Synthesis of Planar Buried Waveguides. Proc. Vllth International Conference on
Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET'98). June 2-5, 1998. Kharkov, p.145-147.
[8] Николаев Н.Э. К теории синтеза погруженно- градиентных волноводов. XXXV Всероссийская научная конференция по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания. Тезисы докладов. Физические секции. 24-28 мая 1999 г. М.: Изд. РУДН. 1999. с.36
[9] Николаев Н.Э. Устойчивость решения задачи синтеза погруженно-градиентных волноводов. XXXVI Всероссийская научная конференция по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. Тезисы докладов. Физические секции. 22-26 мая 2000 г. М.: Изд. РУДН. 2000. с.27-28.
[10] Nikolaev N.E, Shevchenko V.V. Tolerence of the Solution to the Problem of Buried Waveguides Synthesis. Proc. VIHth International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET'2000). September 12-15, 2000. Kharkov, pp.610-612.
Николаев Николай Эдуардович Метод формул сдвиш в применении к теории погруженно-градиентных волноводов
В работе развит метод формул сдвига в применении к анализу неоднородных волноводов со сложным профилем диэлектрической проницаемости (ПДП) в поперечном сечении. Для описания формы профиля таких волноводов разработана математическая модель. Рассчитаны дисперсионные характеристики (постоянные распространения, критические частоты) погруженно-градиентных волноводов. Построены дисперсионные кривые. Выявлена связь между значениями постоянных распространения и параметрами ПДП согласно математической модели.
Проведено развитие метода формул сдвига в применении к задаче восстановления профиля диэлектрической проницаемости погруженно-градиентных волноводов, работающих в одномодовом режиме. Показано, что при определенных условиях возможно получение единственного решения задачи синтеза. Проведено исследование устойчивости решения.
Nikolai Ed. Nikolaev Shift formula method in the theory of buried waveguides
The shift formula method as applied to the analysis of inhomogeneous waveguides with sophisticated permittivity profile in cross section. For describing the profile form of such waveguides a mathematical model is developed. Dispersive characteristics (propagtion constants, cutoff frequencies) for buried waveguides are calculated. The dipersive curves are plotted. The correlation between the values of propagation constants and profile parameters according to the mathematical model is found.
The shift formula method is elaborated as applied to the problem of permittivity profile reconstruction (synthesis) of buried waveguides in one-mode operating regime. It is shown that at certain conditions the solution to the problem of waveguide synthesis is unique. Tolerence of the solution is studied.
Jfy/Ze-CQ 'St.,J Tu(o. , 3a k ^SG.
•7. ¿/e etzdCi, / y ,/. fyzfOrCGtScs/cits fl-?. "3 • Tcs*f. ¿y/7/C s^GM
Введение
1 Математическая модель профиля диэлектрической проницаемости
1.1 Общее описание модели.
1.2 Параметры профиля.
1.3 Влияние параметров модели на вид профиля.
1.3.1 Поведение кривой профиля в крайних точках.
1.3.2 Координаты "точки перегиба".
1.3.3 Влияние численных значений параметров р и д на ход кривой профиля.
2 Метод формул сдвига
2.1 Описание метода.
2.1.1 Случай целочисленных значений параметра р
2.2 Расчет дисперсионных характеристик волноводов в общем случае
2.3 Особенности метода формул сдвига.
3 Восстановление ПДП
3.1 Задача восстановления ПДП.
3.2 Задача восстановления ПДП при равенстве параметров и рв разных частях профиля.
3.3 Задача восстановления ПДП при одинаковых параметрах р^ и различных значениях параметров в разных частях профиля.
3.4 Восстановление ПДП при произвольных значениях коэффициентов ся и Ср.
3.5 Восстановление ПДП при различных значениях всех четырех параметров р\, р\.
3.5.1 Введение дополнительных критериев
3.6 Оценка устойчивости решения задачи восстановления ПДП.
3.6.1 Ошибка определения постоянных распространения
3.6.2 Ошибка определения значения диэлектрической проницаемости на границе внешней среды и волноведущего слоя — £ь.
3.6.3 Ошибка определения максимального значения диэлектрической проницаемости — гд.
3.6.4 Ошибка определения значения диэлектрической проницаемости подложки — г8 3.6.5 Ошибка определения глубины г
Исследование интегрально-оптических элементов интенсивно проводятся на протяжении последних лет. Результаты этих исследований опубликованы в ряде статей, обзорных работ, монографий [1-22]. Действие интегрально-оптических устройств основано на явлении волноводного распространения оптического излучения по тонким диэлектрическим слоям с показателем преломления несколько большим, чем у обрамляющих сред. В качестве таких устройств могут служить как однородные тонкопленочные волноводы, так и неоднородные или градиентные волноводы оптического диапазона, образуемые в приповерхностном слое подложки. В последнем случае такие волноводы называют погруженно-градиентными (buried).
Градиентные волноводы характеризуются тем, что в них имеют место * малые потери мощности распространяющихся в них волн на рассеяние и поглощение. С помощью таких волноводов можно изготовить полосковые волноводы, обладающие также малыми потерями. Такие волноводы хорошо согласуются с волоконными световодами при вводе и выводе излучения. Кроме того, на основе неоднородных волноводов эффективно реализуются модуляторы [23], интерферометры [24,25], акустооптические и электрооптические устройства [26,27].
Главной особенностью теории градиентных волноводов является ис5 следование и решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, определяемыми функцией распределения диэлектрической проницаемости е(х) по толщине приповерхностного слоя. Следует отметить, что метод решения таких задач зависит как от вида функции е(х), так и от характеристик волн, распространяющихся по волноводу.
При решении задач о распространении электромагнитных волн в градиентных волноводах наибольшее применение получил метод квазиклассических приближений или метод ВКБ (Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна) [28,29]. В работах [30-32] предложен уточненный вариант модифицированного ВКБ-метода для расчета постоянных распространения мод волноводов с параболическим, гауссовым, экспоненциальным профилями распределения диэлектрической проницаемости, а также для волноводов с профилем, описываемым дополнительной функцией ошибок. Работы [33. 34] посвящены изложению метода расчета одномодовых волноводов, который основан на использовании приближенного решения дифференциального уравнения для скалярных волн с применением функции Эйри. В работе [35] проводится сравнение двух методов: метода анализа Фурье [36] и GGG-метода (Goyal-Gallawa-Ghatak). Первый метод применяется только тогда, когда толщина волновода достаточно велика, так что электромагнитное поле на границе волноведущего слоя мало, и им можно пренебречь. Во втором случае анализ проводится для решения волнового уравнения (асимптотическое решение), ранее предложенного в [37,38]. В работе указывается, что преимущество данного метода по отношению к ВКБ-методу 6 состоит в том, что такая методика расчета проходит и в тех точках поворота, где обычный ВКБ-метод неприменим. В работе [36] проводится сравнение решения, полученного ВКБ-методом. с точным численным решением уравнений Максвелла. В [39] исследовано распространение волн в приближении геометрической и волновой оптик и показано, что оптимальный профиль диэлектрической проницаемости может быть описан множеством функций, причем геометрический и волновой подходы не совпадают. Оптимальный профиль аппроксимируется параболической функцией. В работе [40] на основе теории возмущений рассмотрена задача распространения мод в неоднородной среде с радиально-параболическим законом в поперечном сечении.
Относительно точных методов можно отметить, что они достаточно громоздки и не универсальны. Большинство их них, в основном, имеют решения для определенных видов распределения диэлектрической проницаемости. В работе [41] в рамках волновой теории получены точные дисперсионные уравнения и выражения для полей ТЕ-мод в планарных диффузионных волноводах, обладающих асимметричным Эпштейновским профилем диэлектрической проницаемости, а также профилем, состоящим из параболического сегмента и экспоненциального участка. В работе [42] предложен метод решения, при котором реальный профиль диэлектрической проницаемости аппроксимируется последовательностью прямоугольных ступенек с постоянной или линейно меняющейся по координате г — метод стратификации. Отмечено, что этот метод обеспечивает более быструю сходимость 7 приближенного численного решения к точному по сравнению с другими аналогичными методами. Однако еще в [8] было указано, что метод стратификации обладает существенным недостатком — он требует значительных затрат времени на вычисления. Этот факт приобретает особое значение при решении задачи синтеза волноводов. В работе [43] исследована возможность применения метода Ритца-Галеркина. Решение получено преобразованием исходных уравнений Максвелла в систему уравнений для фазовых функций, в качестве которых выбраны функции Эрмита-Гаусса. В работе [44] предложен матричный метод для определения постоянных распространения мод оптических волноводов. Метод основан на преобразовании скалярного волнового уравнения в матричную задачу на собственные значения. После приведения ее к диагональному виду можно получить выражения для направляемых мод и мод излучения. В работе [45] задача решается методом Гунге-Кутта для профиля диэлектрической проницаемости в виде Гауссовой зависимости, а также для комбинированных градиентных оптических волноводов. Большое распространение при анализе волноводов получил метод связанных мод [46-51].
Особое значение в интегральной оптике придается одномодовым волноводам. Поэтому в последнее время большое количество работ посвящено рассмотрению таких волноводов. Применяемые при этом методы различны. В работе [52] проводится анализ одномодового неоднородного волновода вариационным методом. В [53] исследуется распространение пучков в полосковом оптическом волноводе. Одним из методов, разработанных для 8 анализа волноводов, является метод эффективного показателя преломления [54], результаты которого хорошо согласуются с результатами, полученными численными методами; это особенно заметно в области частот вблизи критической частоты, при удалении от которой точность расчета уменьшается.
Для успешного решения задач о распространении волн в градиентных волноводах решающее значение имеет определение реального вида функции распределения диэлектрической проницаемости е{х) или показателя преломления п(х) среды в волноведущем слое. Как правило, вид функции е(х) или п{х) заранее неизвестен. Поэтому разработаны различные методы определения профиля показателя преломления градиентных оптических волноводов по экспериментально измеренным эффективным показателям преломления его мод. Эти методы основаны на возможности установления для некоторых функций профиля аналитической связи между параметрами волновода и его эффективными показателями преломления. В этом случае заранее задается форма п{х) с числовыми параметрами, которые необходимо определить для выбранной функции профиля [54-57]. В ряде случаев профили показателей преломления реальных планарных оптических волноводов могут быть аппроксимированы линейной, параболической, экспоненциальной, Гауссовой функцией, дополнительной функцией ошибок и др. Ко второй группе относятся методы определения профиля показателя преломления, основанные на обращении дисперсионного уравнения градиентного оптического волновода в ВКБ-приближении при кусочной 9 аппроксимации п(х) некоторыми достаточно простыми функциями [58-62]. которые обычно являются экспоненциальными или параболическими. Для погруженно-градиентных волноводов, которые описываются более сложными функциями, этот метод неприменим, либо приводит к неоднозначным результатам. Существуют более строгие методы для определения профиля диэлектрической проницаемости. Это методы теории синтеза градиентных диэлектрических волноводов [63-69], опирающиеся на математическую теорию обратных задач квантовой механики.
Многие методы предназначены для применения к многомодовым волноводам. В работе [70] реконструкция профиля преломления план арного волновода проводится инверсным ВКБ-методом. Кроме того, в этой же работе применяется другой метод, основанный на рассмотрении коэффициента отражения. Этому же методу посвящен ряд других работ [71-73]. Во многих работах исследования проводятся с использованием теории Гельфанда
Левитана-Марченко [14,74-77]. В некоторых случаях хорошие результаты * дает применение нелинейной формы уравнения Риккати с последующей инверсией [78]. При решении задачи восстановления ПДП широко применяются итеративные численные методы, использующие точные уравнения [79-82]. Точность восстановления ПДП повышается при использовании значений коэффициента отражения при разных углах падения волны [78,83,84]. В некоторых работах [85] рассмотрение происходит на основе метода Ньютона-Канторовича [86]. При этом точность зависит от частотного шага проведенных измерений [87].
10
В работе [88] рассматривается итеративный метод восстановления профиля показателя преломления волновода по показателям преломления мод.
Однако в последнее время, в связи с переходом к широкому применению одномодовых волноводов, большое значение приобретают методы, с помощью которых можно производить анализ и, особенно, синтез одномодовых волноводов.
Технология изготовления градиентных волноводов оптического диапазона в настоящее время достаточно хорошо разработана, и по этому вопросу имеется обширная литература. Градиентные волноводы формируются на поверхности монокристалических [61,89] и стеклянных [90-93] подложек методом ионной имплантации [94-98], диффузией [89,99-103], а также методом ионного обмена [92,104,105]. В последнее время большое распространение получили градиентные волноводы, изготовленные на основе стекол методом ионного обмена из расплавов слоев Ад NO3, KNO3, NaNOs. NbLiOz. В работе [106] рассматриваются волноводы, изготовленные путем имплантации As в Si и SÍO2; здесь же приводятся точные профили волноводов, образованные пучками с энергиями достаточно широкого диапазона (10keV — 2.56МеУ).
Обзор приведенных работ показывает, что теория неоднородных пла-нарных диэлектрических волноводов хорошо развита лишь для некоторых частных случаев; в большинстве работ преимущественно анализируются экспоненциальные и параболические профили диэлектрической проница
11 емости. Большинство предложенных методов являются приближенными, а существующие точные методы развиты только для определенных видов функции е(х). Методы, используемые при решении обратной задачи — восстановления ПДП, — также, в основном, являются приближенными. Кроме того, большинство методов применимы только при решении задачи восстановления ПДП многомодовых волноводов. Методы, предлагаемые для синтеза одномодовых волноводов, дают неоднозначные результаты. Точные же методы слишком громоздки и часто дают нереализуемые функции распределения е(х), п(х)
В работах [107-110] был предложен новый подход к решению задач распространения волн в диэлектрических волноводах, позволяющий проводить исследования волноводов со сложной внутренней структурой. В этих работах рассматривались так называемые формулы сдвига. С их помощью в работах [107,108] были рассчитаны постоянные распространения волн диэлектрических волноводов. Проведенное в [109] обобщение метода расчета позволило вывести формулы сдвига для критических частот направляемых волн. Дальнейший анализ привел к разработке обобщенного метода формул сдвига [111]. Этот метод позволяет производить расчет дисперсионных характеристик как однородных, так и неоднородных волноводов [112-116]. Кроме того, с его помощью можно исследовать и многомодовые, и одномо-довые волноводы. Особое значение приобретает метод формул сдвига при рассмотрении погруженно-градиентных волноводов. Он позволяет успешно решать как задачу анализа, так и задачу синтеза подобных волноводов.
12
Тема диссертационной работы связана с развитием метода формул сдвига, позволяющего производить приближенный аналитический и точный численный расчеты дисперсионных характеристик и параметров мод неоднородных диэлектрических волноводов, и, что важно, осуществить синтез таких волноводов — восстановление профиля диэлектрической проницаемости е(х). Целью работы является развитие метода формул сдвига в применении к анализу и синтезу погруженно-градиентных волноводов, работающих в одномодовом режиме.
Работа содержит три Главы.
В первой Главе предлагается и подробно рассматривается достаточно универсальная математическая модель профиля диэлектрической проницаемости (ПДП) волновода. Модель позволяет описывать самые разнообразные профили: ступенчатые, приповерхностные, погруженно-градиентные. В функциональную зависимость входят девять основных параметров, из которых четыре определяют значения диэлектрической проницаемости в определенных точках профиля. Один параметр указывает глубину "погружения" профиля, и четыре параметра определяют форму профиля внутри волноведущего слоя. Модель является практически универсальной и описывает известные реальные ПДП волновода. Кроме того, она хорошо аппроксимирует все известные теоретические функциональные зависимости, используемые при анализе волноводов [8,11].
В первом параграфе Главы дается общее описание модели. Второй параграф посвящен рассмотрению параметров профиля. Здесь же прово
13 дится сопоставление ПДП, описываемых известными теоретическими зависимостями [8,11] с предлагаемой математической моделью. В таблицах приводятся функциональные зависимости и соответствующие им параметры профиля волновода в предлагаемой модели. Прилагаемые рисунки иллюстрируют графическое совпадение профилей. В третьем параграфе подробно исследуется характер влияния параметров модели на вид профиля диэлектрической проницаемости.
Вторая Глава посвящена описанию метода формул сдвига. В первом параграфе дано общее описание метода. Рассматриваются некоторые частные случаи, при которых решение проводится без привлечения численных методов. Во втором параграфе исследуется применение метода формул сдвига для анализа волноводов. Проводится расчет дисперсионных характеристик волноводов в общем случае, когда решение осуществляется численными математическими методами. Рассматривается зависимость хода дисперсионных кривых от параметров профиля диэлектрической проницаемости. Третий параграф посвящен рассмотрению особенностей метода формул сдвига.
В третьей Главе рассматривается задача восстановления профиля диэлектрической проницаемости волновода. В первом параграфе приводится общее описание задачи. Параграфы второй и третий посвящены решению задачи синтеза волновода для некоторых частных случаев, когда на параметры профиля наложены определенные ограничения. В последующих параграфах (четвертый и пятый) проводится развитие метода расчета, с тем.
14 чтобы он мог быть использован для восстановления ПДП волноводов в общем случае, когда параметры профиля могут принимать любые значения. В пятом параграфе вводятся дополнительные критерии, позволяющие с их помощью найти единственное решение задачи синтеза волновода. Шестой параграф посвящен исследованию задачи на устойчивость. Рассматривается влияние ошибок в определении значений дисперсионных характеристик волновода на точность восстановления профиля диэлектрической проницаемости. Кроме того, исследуется также влияние на решение задачи ошибок определения некоторых других величин — тех параметров ПДП, которые могут быть определены заранее из характеристик технологических процессов создания волновода.
В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
В качестве основных результатов, выносимых на защиту, представляются:
1. Детальный анализ предложенной математической модели, описывающей профиль диэлектрической проницаемости неоднородных оптических волноводов.
2. Развитие метода формул сдвига в применении к анализу погруженно-градиентных волноводов, расчеты дисперсионных характеристик таких волноводов.
3. Исследование связи между параметрами математической модели и
15 значениями постоянных распространения и критических частот волноводов.
4. Развитие метода формул сдвига в применении к решению задачи восстановления профиля диэлектрической проницаемости погруженно-градиентных волноводов, работающих в одномодовом режиме.
5. Анализ устойчивости решения задачи синтеза погруженно-градиентных волноводов.
Апробация работы.
Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
1. XXXII Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук РУДН (Москва, Россия, 27 мая — 1 июня 1996 г.);
2. XXXIII Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук РУДН (Москва, Россия, 20-24 мая 1997 г.);
3. IX Международная школа-семинар "Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ" (Самара, Россия, 8-13 сентября 1997 г.);
4. VIII международная научно-техническая конференция "Лазеры в науке, технике, медицине" (Пушкинские Горы, Россия, 9-12 сентября 1997 г.);
5. Vllth International Conference on Mathematical Methods in
16
Electromagnetic Theory (MMET'98). (Kharkov, Ukraine, June 2-5, 1998);
6. XXXV Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук РУДН (Москва, Россия, 24-28 мая 1999 г.);
7. XXXVI Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук РУДН (Москва, Россия, 22-26 мая 2000 г.);
8. Vlllth International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET'2000). (Kharkov, Ukraine, Sept. 12-15, 2000). и опубликованы в журналах и сборниках статей:
1. Николаев Н.Э., Шевченко В.В. Модель и расчет параметров мод неоднородного заглубленного планарного волновода. XXXII Научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. 27 мая - 1 июня 1996 г. М.: Изд. РУДН. 1996. с.7-8.
2. Николаев Н.Э., Шевченко В.В. Метод формул сдвига в применении к заглубленным планарным оптическим волноводам. Радиотехника и Электроника. 1997. т.42. № 8. с.901-903.
3. Николаев Н.Э., Шевченко В.В. Дисперсионные характеристики и поля мод погруженно-градиентных план арных оптических волноводов. Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 1997. т.5. № 2. с.273-274.
17
4. Черемискин И.В., Чехлова Т.К., Тимакин А.Г., Николаев Н.Э. Датчики концентрации газов на основе оптических волноводов. Тезисы VIII Межд. научно-технической конф. "Лазеры в науке, технике, медицине". Пушкинские Горы, 9-12 сент. 1997. М.: 1997. с.159-160.
5. Николаев Н.Э., Шевченко В.В. Анализ полей мод погруженно-градиентных волноводов методом формул сдвига. Тезисы XXXIII Научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. 20-24 мая 1997 г. М.: Изд. РУДН. 1997. с.31.
6. Николаев Н.Э., Шевченко В.В. Восстановление профиля диэлектрической проницаемости планарных погруженно-градиентных волноводов. Радиотехника и Электроника. 1998. т.43. № 6. с.703-705.
7. Nikolaev N.E, Shevchenko V. V. Permittivity Profile Synthesis of Planar Buried Waveguides. Proc. VHth International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET'98). June 2-5,
1998. Kharkov, pp. 145-147.
8. Николаев Н.Э. К теории синтеза погруженно- градиентных волноводов. XXXV Всероссийская научная конференция по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания. Тезисы докладов. Физические секции. 24-28 мая 1999 г. М.: Изд. РУДН.
1999. с.36.
9. Николаев Н.Э. Устойчивость решения задачи синтеза погруженно
19
Основные результаты работы
1. Проведен подробный анализ математической модели, описывающей профиль диэлектрической проницаемости неоднородных оптических волноводов.
2. Развит метод формул сдвига в применении к анализу погруженно-градиентных волноводов, произведены расчеты дисперсионных характеристик таких волноводов.
3. Исследована связь между параметрами математической модели и значениями постоянных распространения и критических частот волноводов.
4. Проведено развитие метода формул сдвига в применении к решению задачи восстановления профиля диэлектрической проницаемости погруженно-градиентных волноводов, работающих в одномодо-вом режиме.
5. Проанализирована устойчивость решения задачи синтеза погруженно-градиентных волноводов.
Заключение
1. Взятышев В.Ф. Диэлектрические волноводы. М.: Сов.радио. 1970. 216 с.
2. Гончарепко A.M., Гедъко В.П. Введение в интегральную оптику. Минск: Наука и техника. 1975. 152 с.
3. Дерюгин Л.Н. Интегральная оптика. М.Машиностроение. 1978. 56 с.
4. Дерюгин Л.Н. Возможности, ограничения и проблемы развития пла-нарной волноводной оптики. М.:Радиоэлектроника. 1982. т.25. вып.2. с.4-12. ♦
5. Гончаренко A.M., Карпенко В.А. Основы теории оптических волноводов. Минск. Наука и Техника. 1983. 237 с.
6. Оптические методы обработки информации. Под ред. Б.Л.Гуревича. М.: Наука. 1977. 155 с.
7. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. М.: Мир. 1984. 512 с.131
8. Хансперджер Р. Интегральная оптика — теория и технология. М.: Мир. 1977. 521 с.
9. Введение в интегральную оптику. Под ред. М.Барноски. М.: Мир. 1977. 367 с.
10. И. Волноводная оптоэлектроника. Под ред. Т.Тамира. М.: Мир, 1991. с.
11. Маркузе Д. Оптические волноводы. М.: Мир. 1974. 576 с.
12. Унгер Х.Г. Планарные и волоконные оптические световоды. М.: Мир. 1980. 656 с.
13. Андрушко JI.M. Диэлектрические неоднородные волноводы оптического диапазона. Киев: Техника, 1983.
14. Капани Н.С. Волоконная оптика. Пер. с англ. М.: Мир. 1969. 464 с.
15. Аникин В. И. Исследование свойств распределенных систем возбуждения плено,чных оптических микроволноводов. Дисс. канд. физ.-мат. наук. М. 1972. 238 с.
16. Дерюгин Л.Н., Марчук А.Н., Сотин В.Е. Свойства плоских несимметричных диэлектрических волноводов на подложках из диэлектрика. Радиоэлектроника. 1977. т. 10. № 2. с.134-142.
17. Дерюгин Л.Н., Марчук А.Н., Сотин В.Е. Резонансное возбуждение диэлектрического волновода через закритический слой плоской волной. Электрон, пром. 1977. т. 10. № 2. с.75-88.132
18. Володин Е.Б., Свидзинский К.К. Перспективы применения элементов интегральной оптики в микроэлектронной аппаратуре. Электрон. Пром. 1977. № 6. с.75-88.
19. Marcatilli E.A.J. Dielectric Rectangular Waveguide and Directional Coupler for Integrated Optics. Bell Syst. Tech. J. 1969. v.48. pp.2071-2102.
20. Marcuse D. The Coupling of Degenerate Modes in Two Parallel Dielectric Waveguides. Bell Syst. Tech. J. 1971. v.50. pp.1791-1816.
21. Kogelnik H. Switched Directional Couplers With Alternating Db. IEEE J. Quantum Electron. 1976. v.12. pp.396-401. IEEE. 1974. v.62. pp.1044-1066.
22. Alfernes R.C. Guided-Wave Devices for Optical Communication. IEEE J. Quantum Electron. 1981. v. 17. pp.946-949.
23. Martin N.E. A New Waveguide Switch Modulator for Integrated Optics. Appl. Phys. Lett. 1975. v.26. pp.562-566.
24. Ramaswami V., Divino M.D. and Standley R.D. Balanced Bridge Modulator Switch Using Тг-diffused LiNbO3 Strip Waveguides. Appl. Phys. Lett. 1978. v.32. pp.644-646.
25. Taylor H.F. An Optical Analog-to-Digital Converter Design and Analysis. IEEE J. Quantum Electron. 1979. v.QE-15. pp.210-216.
26. Leonberger F.J., Woodward C.E. and Becker R.A. 4-bit 828 Megasamples133
27. Electro-Optics Guided Wave Analog-to-Digital Converter. Appl. Phys. Lett. 1982. v.40. pp.565-568.
28. Janta J., Ctyroky J. On the Accuracy of WKB Analysis of the TE— and TM—modes In Planar Graded-Index Waveguides. Opt. Comm. 1978. v.25. № 1. pp.49-52.
29. Marcuse D. TE-modes of Graded-Index Slab Waveguides. IEEE J.Quantum Electr. 1973. v.QE-9. № 10. pp.1000-1006.
30. Gedeon A. Comparison Between Rigorous Theory and WKB-Analysis of Wodes in Graded-Index Waveguides. Optics Comm. 1974. v. 12. № 3. pp.329-332.
31. Qiao Li and Jingyi Wang A Refined WKB-Method for Planar Waveguides With Asymmetric Graded-Index Profile. Optics Comm. 1991. v.83. 1,2. pp.144-153.
32. Jingyi Wang, Qiao Li A Refined WKB-Method for Symmetric Planar Waveguides with Truncated-Index Profiles and Graded Index Profiles. IEEE J. Quantum Electr. 1991. v.27. № 4. pp.878-883.
33. Goyal I.C., Gallawa R.L. and Ghatak A.K. Methods of Analysing Planar Optical Waveguide. Opt.Lett. 1991. v.16. № 1. pp.30-32.
34. Goyal I.C., Gallawa R.L. and Ghatak A.K. Approximate Solution to the Scalar Wave Equation for Optical Waveguides. Appl. Optics. 1991. v.30. № 21. pp.2985-2989.134
35. Yinggang Tu, Goyal I.C. and Gallawa R.L. Analysing Integrated Optical Waveguides: A Comparison of Two New Methods. Analysing Planar Optical Waveguide. Opt.Lett. 1991. v.16. № 1. pp.30-32.
36. Henry C.H. and Verbeek B.H. Solution of the Scalar Wave Equation for Arbitrarily Shaped Dielectric Waveguides by Two-Dimensional Fourier Analysis. IEEE/IOSA J. Light. Tech. 1989. LT-7. pp.308-313.
37. Loger R.E. On the Asymptotic Solution of Ordinary Differential Equations, with References to the Stokes Phenomenon About a Singular Points. Trans. Am. Math. Soc. 1935. v.37. pp.397-416.
38. Bender C.M. and Orszay S.A. Advances Mathematical Methods for Sci. Eng. Mc Graw-Hill. New York. 1978. ch.10.
39. Krivoshilov L. Optimal Profile of Refractive Index Multimode Gradient Waveguides. Opt.Comm. 1985. № 5. pp.265-269.
40. Gomez-Reano C. and Perez M. V. Modal Propagation In Gradient-Index (Grin) Material. Opt.Comm. 1983. 6. p.372.
41. Nikolov Z. and Panchev B. Application of Wave Theory for Two Types of Planar-Diffused Optical Waveguide Profiles. IEEE J. Quantum Electr. 1992. v.28. № 3. pp.658-662.
42. Galleger Dominic F.G. Serious Solution to the Arbitrary Profile 1-D Waveguide and Quantum-Well Problems. J. Quantum Elec. 1992. v.28. № 8. pp.1785-1791.135
43. Meunier J.P., Pigeon J., Massat J.N. A Numerical Technique for the Determination of Propagation Characteristics of Inhomogeneous Planar Optical Waveguides. Opt. and Quant. Elect. 1983. v. 15. pp.75-77.
44. Sharma K. Goyal I.C. and Ghatak K. Matrix Method for Determining Propagation Characteristics of Optical Waveguides. IEEE J. Quantum Elec. 1983. v.19. № 8. pp.1231-1233.
45. Ramasvamy V. Numerical Field Solution for an Arbitrary Asymmetrical Graded-Index Planar Waveguide. J. Light Tech. 1983. v.LT-1. № 2. pp.408416.
46. Butler J.K., Ackley E. Coupled Mode Analysis of Phased-locked Injection Laser Array. Appl. Phys. Lett. 1984. v.14. pp.293-295.
47. Yariv A. Coupled Mode Theory for Guided Wave Optics. IEEE J. Quantum Elec. 1973. v.9. pp.919-933.
48. Amos Hardy Coupled Mode Theory of Parallel Waveguides. J. Light Tech. 1985. v.3. pp.1135-1146.
49. Streifer W. Reformulation of the Coupled Mode Theory Multiwaveguide Systems. J. Light Tech. 1987. v.5. pp.1-5.
50. Shun-Lien Chuang A Coupled Mode Formation By Reciprocity and a Variational Principle. J. Light Tech. 1987 v.5. pp.5-15.136
51. Hans H.A. Coupled-mode Theory of Optical Waveguides. J. Light Tech. 1987. v.5. pp.16-25.
52. Woo-Hu Tsai, Shin-Chich Chao and Mu-Shiang Wu Variational Analysis of Single-Mode Inhomogeneous Planar Optical Waveguide. IEEE J. of Light Tech. 1992. v.10. № 46. pp.747-752.
53. Kahm K. Walter and Yang Shuwen Hamiltonian Analysis of Beams In An Optical Slab Guide. J. Opt. Soc. Amer. 1983. v.7. 5. pp.684-690.
54. Kin S.Chiang Effective-Index Function Method for the Analysis and Design of Inhomogeneous Planar Waveguides Based on the WKB equation. Opt.Comm. 1991. v.84. № 5,6. pp.258-263.
55. Борисов B.M., Войтенков A.H. Определение параметров одномодовых волноводов посредством изменения показателя преломления граничной среды. ЖТФ. 1981. т.51. вып.8. с.1668-1670.
56. Jestel D.J Voges Е. Refracted Near-Field Characterization of Ion Exchanged Glass Waveguides and Device Simulation. SPIE. v. 1141. 5th European Conference on Integrated Optics ECIO'89. pp.185-189.
57. White J.M., Heidrich P.F. Optical Waveguide Refractive Index Profiles Determined from Measurement of Mode Indices: A Simple Analysis. Appl. Opt. 1976. v.15. № 1. pp.151-155.
58. Tien P.K., Riva-Sanseverino S. and Martin R.J. Optical Waveguide Mode137in Single-Crystalline LiNbOz LiTaO3 Solid Solution Films. Appl. Phys. Lett. 1974. v.24. № 10. pp.503-506.
59. Колосовский E.A. Петров Д.В. Царев А.В. Численные методы восстановления профиля показателя преломления диффузных волноводов. Квантовая Электроника. 1981. т.8. вып.12. с.2557-2567.
60. Редъко В.П., Томов А.В., Штейнгарт Л.М., Куханъков Г.П., Маль-ко А.И. Экспериментальное исследование профиля показателя преломления планарных заглубленных волноводов, полученных облучением протонами. ЖТФ. 1987. т.57. № 8. с. 1658-1660.
61. Редъко В.П. Томов А.В. и др. Заглубленные планарные волноводы в кварцевом стекле, сформированные облучением протонами. ЖТФ. 1991. т.61. с.87-93.
62. Колесников П.М., Руденок И.П. О синтезе градиентных диэлектрических волноводов. ЖТФ. 1991. т.61. с.22-27.
63. Андрушко Л.М., Литвиненко О.Н. Синтез симметричных плоских диэлектрических волноводов. Изв.вузов."Радиоэлектроника". 1977. т.20. № 2. с.24-35.
64. Андрушко Л.М., Литвиненко О.Н., Науменко Л.П., Щепкина Е.Д. Синтез плоских диэлектрических волноводов в маломодовом режиме. Радиотехника и электроника. 1979. т.24. № 8. с.1507-1517.138
65. Андрушко Л.M., Щепкина Е.Д. Об использовании решения обратной задачи Штурма-Лиувилля для синтеза круглых неоднородных диэлектрических волноводов. Радиотехника и электроника. 1980. т.25. № 5. с.912-918.
66. Андрушко Л.М., Щепкина Е.Д. Синтез плоских неоднородных диэлектрических волноводов на металлическом экране в одномодовом и мало-модовом режимах на фиксированной частоте. Квантовая электроника. 1981. Вып.22. с.100-106.
67. Щепкина Е.Д. Синтез маломодовых диэлектрических волноводов (случай резкой несимметрии). Радиотехника и электроника. 1987. т.32. Ng 2. с.429-431.
68. Андрушко Л.М., Золотарюк A.B. Теория синтеза плоских оптических волноводов на фиксированной частоте. К.:ИТФ АН УССР. 1982. 33 с.
69. Щепкина Е.Д. Синтез одномодовых и маломодовых диэлектрических волноводов на фиксированной частоте. Автореферат. К.: 1991.
70. Mathey РJulliea РBolzinger J.L. Refractive-Index Profile Reconstructions In Planar Waveguides By the WKB Inverse Method and Reflectivity Calculations. J. Opt. Soc. Amer. В. 1995. v. 12. № 9. p.1663-1670.
71. Bolomey J.-C., Lesselier D., Pichot C., and Tabbara W. Spectral and Time139
72. Domain Approaches To Some Inverse Scattering Problems, IEEE Trans. Antennas Propagat. 1981. v.29. pp.206-212.
73. Hopcraft K.I., and Smith PR. Geometrical Properties of Backscattered Radiation and Their Relation To Inverse Scattering, J. Opt. Soc. Amer. A. 1989. v.6. m. pp.508-516.
74. Cui T.J., and Liang C.H. Reconstraction of the Permittivity Profile of an Inhomogeneous Medium Using an Equivalent Network Method, IEEE Trans. Antennas Propagat. 1993. v.41. pp.1719-1726.
75. Ladouceur H.D., and Jordan A.K. Renormalization of an Inverse-Scattering Theory for Inhomogeneous Dielectrics, J. Opt. Soc. Amer. A. 1985. v.2. mi. pp.1916-1921.
76. Jaggard D.L, and Olson K.E. Numerical Reconstruction for Dispersionless Refractive Profiles, J. Opt. Soc. Amer. A. 1985. v.2. №11. pp.1931-1936.
77. Frangos P. V., and Jaggard D.L. The Reconstruction of Stratified Dielectric Profiles Using Succesive Approximations, IEEE Trans. Antennas Propagat. 1987. v.35. pp.1267-1272.
78. Frangos P. V., and Jaggard D.L. Inverse Scattering: Solution of Coupled Gel'fand-Levitan-Marchenko Integral Equations Using Succesive Kernel Approximations, IEEE Trans. Antennas Propagat. 1995. v.43. pp.547-552.
79. Jaggard D.L, and Kim Y. Accurate One-Dimensional Inverse Scattering140
80. Using a Nonlinear Renormalization Technique. J. Opt. Soc. Amer. A. 1985. v.2. №11. pp.1922-1930.
81. Uno T., and Adachi S. Inverse Scattering Method for One-Dimensional Inhomogeneous Layered Media, IEEE Trans. Antennas Propagat. 1987. v.35. pp. 1456-1466.
82. Habashy T.M., Chow E.Y., and Dudley D.G. Profile Inversion Using The Renormalized Source-Type Integral Equation Approach, IEEE Trans. Antennas Propagat. 1990. v.38. pp.668-682.
83. Zhuk N.P., and Batrakov D.O. Inverse Scattering Problem In The Polarization Parameters Domain for Isotropic Layered Media: Solution Via Newton-Kantorovich Iterative Technique, J. Electromagn. Waves Appl. 1994. v.8. №6. pp.759-779.
84. Franchois A., Joisel A., Pichot C., and Bolomey J.-C. Quantitative Microwave Imaging With a 2.45-GHz Planar Microwave Camera, IEEE Trans. Med. Imaging. 1998. v.17. pp.550-561.
85. He S., Fuks P., and Larson G.W. An Optimization Approach To TimeDomain Electromagnetic Inverse Problem for a Stratified Dispersive and Dissipative Slab, IEEE Trans. Antennas Propagat. 1996. v.44. pp.12771282.
86. Cui T.J., and Liang C.H. Inverse Scattering Method for One-Dimensional Inhomogeneous Lossy Medium by Using a Microwave Networking141
87. Technique, IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1995. v.43. pp.17731781.
88. Mikhnev V.A., Vainikanen P. Two-Step Inverse Scattering Method for One-Dimensional Permittivity Profiles. IEEE Trans. Antennas Propagat. 2000. v.48. pp.293-298.
89. Roger A. Newton-Kantorovich Algorithm Applied to an Electromagetic Inverse Problem, IEEE Trans. Antennas Propagat. 1981. v.29. pp.232-238.
90. Iizuka K., Freundorfer A.P., Wu K.H., Mori H., Ogura H., and Nguyen V.-K. Step-Frequency Radar, J. Appl. Phys. 1984. v.56. №9. pp.2572-2583.
91. Oven R., Batchelor S.; Ashworth D. G., Gelder D., Bradshow J.M. Iterative Refinement Technique for Reconstructing Refractive Index Profiles From Mode Indices. Electron Lett. 1995. v.31. № 3. pp.230-231.
92. Towns end* P.D. Ion implantation and integrated optics. J. Phys. E.: Scientific Instruments. 1977. v.10. pp.197-203.
93. Золотое E.M., Казинский П.Г. Определение параметров оптических диффузионных волноводов. Квантовая Электроника. 1979. т.б. с.1111-1113.
94. Nikolopous John and Gar Lam Yip Characterization of Proton-Exchanged Optical Waveguides in Z-cut LiNbO3 using pyrophosphoric acid. SPIE Integrated Optics and Optoelectronics. 1989. v. 1177. pp.24-30.142
95. Глебов Л.Б., Евстропъев С.К., Никаноров Н.В., Петровский Г. Т. Пла-нарные оптические волноводы в стекле, образованные ионообменной диффузией цезия. ЖТФ. 1989. т.59. № 6. с.72-75.
96. Gedeon A. Formation and Characteristics of Graded Index Optical Waveguides Buried in Glass. Appl. Phys. 1975. v.6. № 2. pp.223-228.
97. Аникин В.И., Горобец А.П.,Половинкин А.П. Характеристики плоских оптических волноводов, изготовленных методом твердотельной диффузии. Оптика и Спектроскопия. 1978. т.2. № 7. с. 187-190.
98. Аникин В.И., Горобец А.П. Исследование плоских волноводов для интегральной оптики, изготовленных методом твердотельной диффузии. Квантовая Электроника. 1975. т.2. № 7. с. 1465-1470.
99. Serge Vallete, Labruine G., Deutch J.C. and Lizet J. Planar Optical Waveguides, achieved by Ion Implantation in Zinc Telluride: general characteristics. Appl. Opt. 1977. v.16. № 5. pp.1289-1296.
100. Ghailane F., Manivannan G, Knystautas E.J., and Lessard R.A. Fabrication of Poly(vinyl carbazole) Waveguides by oxygen ion implantation J. Opt. Soc. Amer. A. 1995. v.12. № 8. pp.1683-1686.143
101. Акценов Е.Т, Кухаръев A.B. Исследование оптических волноводов, формируемых в стеклах диффузией из расплавов нитратов. ЖТФ. 1982. т.52. № 12. с.2389-2393.
102. Зеленко A.A., Лындин Н.М. Исследование параметров плоских оптических волноводов, полученных методом ионного обмена в стекле. Квантовая Электроника. 1979. т.б. № 5. с.1043-1047.
103. Zhang L., Chandler P.J. and Townsend P.D. Extra "Strange"Modes in Ion Implanted Lithium Niobate Waveguides. Amer. Inst. Phys. 1991. v.70. № 3. pp.1185-1189.
104. Carruters J.R., Kaminov I.P. and Stulz L.W. Diffusion Kinetics and Optical Waveguiding Propeties of Out diffused Layers in Lithium Niobate and Lithium Tantale. Appl. Phys. 1974. v. 10. № 10. pp.2333-2342.
105. Кузъмипов Ю.С., Лындин Н.М. Диффузионные волноводы в стеклах и электрооптических кристаллах. Квантовая Электроника. 1975. т.2. с.2309-2313.
106. Bardier D., Mino Green and Madden S.H. Waveguide Fabrication for Integrated Optics by Electron Beam Irradiation of Silica. IEEE J. Light. Tech. 1991. v.9. № 6. pp.715-720.
107. Visconti Chaterine, Rimet Roger Study of Polarisation in Planar Waveguides Fabricated by K+/Na+ Ion Echange in glass. SPIE Glasses for Optoeletronics. 1989. v.1128. pp.156-163.144
108. Nakata J., Kajiyama K. Precise Profiles for Arsenic Implanted in Si and SiÛ2 over a Wide Implantation Energy Range (10keV 2.56MeV) Japan J. of Applied Physics. 1982. v.21. № 9. pp.1363-1369.
109. Snyder A.W., Young W.R. // J. Opt. Soc. America. 1978. v.68. №3. pp.297-309.
110. Snyder A. W., Love J.D. // Optical Waveguide Theory. L.: Chapman and Hall. 1983.
111. Шевченко В.В. Формулы сдвига в теории диэлектрических волноводов, Известия ВУЗов Радиоэлектроника. 1983. т.26. №5. с.9-18.
112. Шевченко В.В. Критические частоты одномодовых волоконных световодов с усложненной сердцевиной. Радиотехника и Электроника. 1984. т.29. т. с.871-879.
113. Шевченко В.В. Методы формул сдвига в теории диэлектрических волноводов и'волоконных световодов. Радиотехника и Электроника. 1986. т.31. №5. с.849-864.
114. Shevchenko V. On Modal Theory of Coupled Optical Dielectric Waveguides. Sov. Lightwave Comm. 1993. v.3. №4. pp.199-211.
115. Колесниченко Ю.В., Шевченко В.В. Волоконно-оптические диэлектрические волноводы с некруглой сердцевиной. Радиотехника и электроника. 1986. т.31. M. с.1399.145
116. Колесниченко Ю.В., Шевченко B.B. Дисперсионные и поляризационные характеристики мод волоконных световодов с некруглыми сердцевинами. Радиотехника и Электроника. 1988. т.32. №8. с.78.
117. Гончаренко И.А. // Радиотехника и Электроника. 1984. т.29. №5. с.880-885.
118. Гончаренко И.А., Шевченко В.В. Критические частоты анизотропных диэлектрических волноводов. Квантовая электроника. 1984. т. 11. NQ8. с.1894-1896.
119. Шевченко В.В., Эспиноса-Ортис Н. Метод формул сдвига для асимметричных планарных оптических волноводов. Радиотехника и электроника. 1993. т.38. № 10. с.1828.
120. Эспиноса-Ортис Н., Шевченко В.В., Приименение метода формул сдвига для восстановления профиля показателя преломления планар-ного волновода. Радиотехника и электроника. 1994. т.39. N5 3. с.394.
121. Эспиноса-Ортис Н. Моды неоднородных планарных оптических волноводов. Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: РУДН. 1994.
122. Николаев Н.Э., Шевченко В.В. Метод формул сдвига в применении к заглубленным план арным оптическим волноводам. Радиотехника и Электроника. 1997. т.42. № 8. с.901-903.
123. Галечян М.Г. Электродиффузионные методы создания Cs+ и К+146волноводов в стекле. Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: ИОФ РАН. 1991.
124. Бронштейн H.H., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука. 1986. 544 с.
125. Von Bibra M.L., Roberts A. Refractive Index Reconstruction of Graded-Index Buried Channel Waveguides from Their Mode Intensities. J. Light. Tech. 1997. v.15. № 9. p.1695-1699.
126. Николаев Н.Э., Шевченко B.B. Модель и расчет параметров мод неоднородного заглубленного планарного волновода. XXXII Научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. 27 мая 1 июня 1996 г. М.: Изд. РУДН. 1996. с.7-8.
127. Николаев Н.Э., Шевченко В.В. Анализ полей мод погруженно-градиентных волноводов методом формул сдвига. Тезисы XXXIII Научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. 20-24 мая 1997 г. М.: Изд. РУДН. 1997. с.31.
128. Николаев Н.Э., Шевченко В.В. Дисперсионные характеристики и поля мод погруженно-градиентных план арных оптических волноводов. Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 1997. т.5. № 2. с.273-274.
129. Риссел X., Руге И. Ионная имплантация. М.: Наука. 1983. 358 с.
130. Schindler E.R., Flam R.P., and Wilmot D.W. Optical Waveguides147
131. Formed by Proton Irradiation of Fused Silica. J. Opt. Soc. Amer. 1968. v.58. m. pp.1171-1176.
132. Николаев Н.Э., Шевченко В.В. Восстановление профиля диэлектрической проницаемости планарных погруженно-градиентных волноводов. Радиотехника и Электроника. 1998. т.43. № 6. с.703-705.
133. Nikolaev N.E, Shevchenko V.V. Permittivity Profile Synthesis of Planar Buried Waveguides. Proc. Vllth International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET'98). June 2-5. 1998. Kharkov, pp.145-147.
134. Nikolaev N.E, Shevchenko V.V. Tolerence of the Solution to the Problem of Buried Waveguides Synthesis. Proc. VIHth International Conference on148
135. Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET'2000). Sept. 12-15, 2000. Kharkov, v.2, pp.610-612.1. Дополнительная литература
136. Содха M.C., Гхатак А. К. Неоднородные оптические волноводы. М.:"Связь". 1980. 216 с.
137. Теумин И.И. Волноводы оптической связи. М.:"Связь". 1978. 168 с.
138. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.:"Наука". 1980. 319 с.
139. Андрушко Л.М. Волоконно-оптические линии связи. Одесса. ОЭИС. 1980. 36 с.
140. Дианов Е.М. Волоконные световоды для оптической связи. Справочник по лазерам. Пер. с англ. Под ред. А.М.Прохорова, т.1 и 2. М.:"Сов.радио", т.2. 1978. с.108-109.
141. Носов Ю.Р. Оптоэлектроника. М.:"Сов.радио". 1977. 231 с.
142. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.:Наука. 1989. 765 с.
143. Семенов А.С., Смирнов В.Л., Шмалко А.А. Интегральная оптика. М.: Радио и Связь. 1990. 225 с.
144. Gloge D. Weakly Guiding Fibre. Appl. Optics. 1971. v. 10. pp.2252-2258.149
145. Беланов А.С., Ежов Г.И., Черный В.В. Уравнения и параметры собственных волн плоского несимметричного диэлектрического волновода. В кн.Радиоэлектроника оптического диапазона. М.:ВЗМИ. 1970. с.3-17.
146. Белов А.В., Гурьянов А.Н., Девятых Г.Г. Дианов Е.М. и др. Стеклянный световод с потерями менее 1 дБ/км. Квантовая электроника. 1977. № 9. с.2011-2012.
147. Као К. СHockham G.A. Dielectric Fibre Surface Waveguides for Optical Frequencies. Proc. IEE. 1966. v.113. № 7. pp.1151-1158.
148. Мартынов А.А. Чижиков Б.И. Собственные моды планарных волноводов с произвольным распределением диэлектрической проницаемости. Оптика и Спектроскопия. 1984. т.56. вып.5. с.971.
149. Mills Ducan Analysis of Planar Optical Waveguides Using Scattering Data. J. Qpt. Soc. Amer. 1992. v.28. № 8. pp. 1769-1778.
150. Taylor H., Yariv A. Guided Wave Optics. Proc. IEEE. 1974. v.62. pp. 1044-1066.
151. Scifres D., Streifer W. High-power Coupled-multiple-stripe Phase-locked Injection Laser. Appl. Phys. Lett. 1979. v.34. pp.259-261.
152. Ackley D., Engelmann R. Twin-stripe Injection Laser with Leak-mode Coupling. Appl. Phys. Lett. 1981. v.37. pp.866-868.150
153. Kats J., Kapon E. Far field Distributions of Semiconductor Phase-Locked Arrays with Multiple Contacts. Elect. Lett. 1983. pp.660-662.
154. Manuel Lopez Amo Depressed-Index Waveguides (DIW) in Integrated Optics. J. Light Tech. 1990. v.8. pp. 1779-1790.
155. Andreas Neyer A Beam Propagation Method Analysis of Active and Passive Waveguide Crossing. J. Light Tech. 1985. v.3. pp.635-642.
