Метод инвариантного погружения в теории рупорных антенных решёток и нерегулярных волноводов

Филонов, Павел Владимирович

Метод инвариантного погружения в теории рупорных антенных решёток и нерегулярных волноводов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Филонов, Павел Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Метод инвариантного погружения в теории рупорных антенных решёток и нерегулярных волноводов»

Автореферат диссертации на тему "Метод инвариантного погружения в теории рупорных антенных решёток и нерегулярных волноводов"

904616196

На правах рукописи УДК 537.87+621.396.677

Филонов Павел Владимирович

Метод инвариантного погружения в теории рупорных антенных решёток и нерегулярных волноводов

01.04.03 — Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 3 ЛЕН 2010

МОСКВА - 2010

004616196

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет гражданской авиации»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Кузнецов Валерий Леонидович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Кюркчан Александр Гаврилович, Московский технический университет связи и информатики,

доктор физико-математических наук, профессор Анютин Александр Павлович, Российский новый университет.

Ведущая организация: Московский институт радиотехники элек-

троники и автоматики.

Защита состоится 29 декабря 2010 года в 15-00 на заседании диссертационного совета Д 212.156.06 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 117393, г. Москва, ул. Профсоюзная, д. 84/32, корпус В-2.

Отзывы направлять по адресу: 141700, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, МФТИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ (ГУ)

Автореферат разослан ноября 2010 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

Чубинский Н.П.

Общая характеристика диссертации

Актуальность работы. Рупорные элементы находят важное применение в антенных решётках, разрабатываемых для систем радиолокации и спутниковой связи. Основным назначением рупорных элементов в указанных системах является обеспечение хорошего согласования решётки со свободным пространством в широкой полосе частот.

Основная проблема расчёта характеристик таких систем состоит в корректном описании распространения поля в рупорном переходе, который является частным случаем нерегулярного волновода. Хорошо известны различные классические подходы к описанию поля в нерегулярных волноводах с переменным сечением, такие как комбинированный метод согласования мод, метод поперечных сечений и метод интегрального уравнения. Сопоставление этих методов, характеризующихся различными алгоритмами и математическим аппаратом, в силу их сложности, возможны лишь после получения конкретных численных результатов. При этом в литературе' отмечены случаи, когда проводить сравнение результатов, полученных различными методами некорректно поскольку существуют области параметров, при которых численные результаты не могут быть получены с достаточной точностью, и такие области для различных методов могут не совпадать.

Различные классические подходы описывают один и тот же объект — отрезок нерегулярного волновода. Поэтому возникает вопрос о существовании такого универсального метода, который мог бы использовать внутри себя любой из допустимых методов, с одной стороны, и иметь универсальную (инвариантную относительно выбранного метода) вычислительную процедуру, с другой стороны.

В качестве такого объединяющего подхода целесообразно рассмотреть метод инвариантного погружения, хорошо зарекомендовавший себя при описании многократного рассеяния в случайно неоднородных средах и взаимодействии поля с возмущёнными, неровными поверхностями. В таких задачах центральным моментом является корректный механизм включения борновского приближения в общую картину многократного рассеяния. В

1 Александров Н.Л., Винниченко Ю.П., Леманский А.А., Туманская А.Е. Характеристики излучения решетки рупоров // Радиотехника и электроника, 1988.Т. 33. №2. С. 412-414

задаче о нерегулярном волноводе роль борновского приближения — метода описания взаимодействия излучения с бесконечно тонким слоем вещества, могут выполнять отмеченные выше классические методы с той лишь существенной особенностью, что применяться они будут к участку нерегулярного волновода бесконечно малой длины. Наличие этого малого параметра может существенно упростить алгоритмы классических методов, доводя их до простых аналитических формул.

Поэтому попытка реализовать такой подход в теории нерегулярных волноводов видится целесообразной и актуальной.

Цель и задачи исследования. Цель работы заключается в расширении области применения метода погружения на класс задач о нерегулярных волноводах, на примере рупорного перехода, и антенных решётках.

Для достижения указанной цели были рассмотрены следующие задачи.

1. Используя идеологию метода погружения получить общий вид уравнения погружения для матрицы рассеяния нерегулярного волновода.

2. Опираясь на известные классические методы и используя как преимущество наличие малого параметра в методе погружения, найти аналитический вид коэффициентов уравнения погружения для полей различной поляризации.

3. Исследовать конечно-разностный вид уравнений погружения для описания периодических структур (антенных решёток) в базисе углового спектра поля.

Методы исследования. В качестве центрального, в работе используется метод инвариантного погружения, с выбранным в качестве параметра погружения линейным размером нерегулярного участка волновода. Для решения вспомогательной задачи о взаимодействии поля с элементарным слоем используются такие методы как метод согласования мод, метод поперечных сечения и метод интегрального уравнения. В работе используется математический аппарат теории дифференциальных и интегральных уравнений, а так же численные методики интегрирования ОДУ.

Научная новизна работы. В работе получено уравнение эволюции (уравнение погружения) матрицы рассеяния нерегулярного волновода по параметру погружения — линейном размеру нерегулярного участка. На основе различных классических методов, с учётом появляющегося в методе погружения малого параметра, найден аналитический вид коэффициентов уравнения погружения для различных случаев поляризации волнового поля. На уровне аналитических соотношений показана асимптотическая эквивалентность результатов классических методов для рассматриваемой задачи.

Основные результаты работы. В ходе диссертационной работы были получены следующие основные результаты.

1. Получено уравнение эволюции матрицы рассеяния нерегулярного волновода при использовании базиса волноводных мод, имеющее вид уравнения Риккати.

2. На основе таких классических методов как метод согласования мод, метод поперечных сечений и метод интегрального уравнения (МИУ) найден аналитический вид решения для вспомогательной задачи о матрице рассеяния для бесконечно малого участка нерегулярного волновода для случаев полей различной поляризации.

3. В рамках метода погружения, показана асимптотическая эквивалентность решений указанных классических методов для всех областей значений параметров рассмотренной задачи.

4. Аналитически обоснована интегрируемость уравнения погружения в окрестности критических сечений нерегулярного волновода — точек сингулярности коэффициентов уравнения.

5. Получен конечно-разностный вид уравнения погружения для задачи о взаимодействии поля с периодической структурой (антенной решеткой) в базисе углового спектра волнового поля.

6. В рамках исследования конечно-разностного уравнения погружения, для подзадачи о дифракции на прямоугольных брусьях получено ре-

шение на основе использования разложения по полному периодическому базису, которое позволило существенно улучшить точность расчётов и стабилизировать рост числа обусловленности полученной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) по сравнению с результатами, представленными в работах Шестопалова2.

Практическая ценность работы заключается в разработке унифицированного подхода к расчёту характеристик нерегулярного волновода на основе решения задачи Коши для матрицы рассеяния. Для задачи о дифракции на брусьях получены результаты позволяющие значительно улучшить выполнение теоремы Пойнтинга и стабилизировать рост числа обусловленности рассматриваемых систем линейных уравнений.

Достоверность научных результатов обеспечивается корректностью вывода уравнения погружения и его коэффициентов. Результаты расчётов по полученным уравнениям были численно (для случая ¿^-поляризации) сравнены с результатами расчётов по комбинированной модели ступенчатого рупора, и показали хорошее соответствие. Для случая Я-поляризации поля было произведено сравнение результатов расчёта с известными в литературе. Для всех расчётов проводилась проверки энергетического баланса и сходимости решения по количеству учитываемых мод.

Апробация работы Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах «Математическое моделирование волновых процессов» под рук. Лукина Д.С. в РосНоу (Москва, 2009 и 2010), «Численные методы электродинамики» под рук. Свешникова А.Г., Ильинского А.С. физфак МГУ (Москва, 2010), «Фельдовский семинар» под рук. Шевченко В.В., Скобелева С.П. ИРЭ РАН (Москва, 2010) и конференциях Progress In Electromagnetic Research Symposium (Moscow, 2009, Beijing, 2007), «Авиация и космонвтика» МАИ (Москва, 2009), «Гагаринские чтения» МАТИ (Москва, 2009), «Гражданская авиация на современном этапе развития науки,техники и общества» МГТУГА (Москва, 2008).

Публикации. По теме диссертации было опубликовано 16 работ, включая 7 работ в журналах рекомендуемых ВАК.

2Шестопалов В.П., Литвиненко Л.Н., Масалов С.А., Сологуб В.Г. Дифракция волн на решетках. — Харьков: Изд-во Харьк. Ун-та, 1973.

Структура и объём диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 116 страницах, включая 27 рисунков и библиографию из 77 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении рассмотрены вопросы применения рупорных антенных решеток (PAP) в радиолокации. Приведён обзор классических методов расчёта подобных систем, и, в частности, проанализированы методы решения задач о нерегулярных волноводах с изменяющейся шириной. Рассмотрены потенциальные преимущества использования метода инвариантного погружения для задач о нерегулярных волноводах и рупорных антенных решётках (PAP).

В завершении приведены цели диссертационной работы, основные результаты и краткое содержание диссертации по главам.

В первой главе рассмотрена задача о расчёте волнового поля в плоском нерегулярном волноводе с изменяющейся шириной сечения и описан подход к решению на основе метода инвариантного погружения. Идеология метода погружения базируется на рассмотрении множества геометрий задачи, отличающихся значением одного параметра — параметра погружения. Такое множество задач порождает пространство решений, в котором выделяются две особые точки — искомое решение и решение, которое может быть легко получено. Соединяя эти две точки траекторией можно исследовать как решение эволюционирует при изменении параметра погружения. Уравнение эволюции, определяющее как изменяется решение вдоль указанной траектории, называется уравнением погружения.

Стоит отметить, что величины рассматриваемые в качестве решения должны удовлетворять принципу динамической причинности по параметру погружения, т.е. решение задачи для конкретного значения параметра погружения может зависеть только от решений полученных для предшествующих значений этого параметра.

Для задачи о нерегулярном волноводе в качестве параметра погружения удобно выбрать протяженность нерегулярного участка — h. На рис. 1

к+ЛИ_ К

а( 0)

ад

ап

а{К)

а*

а(Н +АЬ)

8(к+АИ)

а) Ь) с)

Рис. 1: Эволюция рупорного перехода.

показано, как изменяется геометрия задачи при увеличении значения /г. Поскольку электромагнитные поля не удовлетворяют принципу динамической причинности, то в качестве решения следует рассмотреть матрицу

рассеяния 5 = I _ I, где В.± и Г* — матричные коэффициенты отражения и прохождения соответственно, записанные в базисе собственных мод регулярных участков волновода.

Для построения уравнения погружения относительно 5 необходимо определить, как изменяется решение при добавлении бесконечно малого элементарного слоя высотой Д/г., т.е. определить вид функционала Ф в следующем уравнении:

5(/г + ДЛ) = 5(Л) + Ф[5(Л)] • ДЛ + о(ДЛ).

О)

После чего, конечный вид уравнения получается с помощью предельного перехода при Д/г —> 0. В качестве начальных условий для этой задачи

логично взять 5(0) = ^ ^, где 0 — нулевая и I — единичная матрицы.

Основой для вывода общего вида уравнения погружения является искусственный прием — введение виртуального зазора, разделяющего с помощью бесконечно малого регулярного участка две неоднородности — слой конечной высоты Н и элементарный участок высоты ДЛ. Такое разделение позволяет однозначно разделить поля внутри зазора на распространякнци-

еся в положительном и отрицательном направлении оси г и естественным образом ввести определения соответствующих коэффициентов отражения и прохождения для обоих участков.

На примере матрицы отражения можно показать, что блочная компонента (1) имеет хорошо известный в литературе вид:

на двух неоднородностях, разделённых виртуальным резонатором (зазором).

Для перехода от конечно-разностной формы к дифференциальной, уравнение (2) необходимо дополнить видом коэффициентов отражения (г*) и прохождения (^ элементарного слоя. Поскольку высота элементарного слоя Д/г — малая величина, и в конечном результаты будет произведен предельный переход при Д/г 0, то мы вправе представить коэффициенты отражения и прохождения в виде разложения по Д/г, которое, при условии непрерывности функции профиля волновода а{к), будет иметь следующий вид

Как будет показано в следующей главе подобное представление позволяет значительно упростить задачу расчёта коэффициентов элементарного слоя и довести результат до аналитических формул.

После подстановки (3), (4) в (2), переходя к пределу при Д/г -» О получаем уравнение погружения для одного из блоков матрицы рассеяния

В тексте диссертации показано, что для остальных элементов блочной матрицы рассеяния можно записать аналогичные (2) выражения, и, переходя к пределу при Д/г —> 0, с учетом (3) и (4) получить оставшиеся три урав-

г^/г; Д/г) = р±(/г)Д/г + о(Д/г), ¿±(/г; Д/г) = 1 + т^Д/г + о(Д/г).

(3)

(4)

~=р++ т+Л+ + Л+т- + К+р-В+.

(5)

нения погружения

лп4-

= т+Т+ + Я+р~Т+, (6)

= Т~т~ +Т~р~Я+, (7)

= Т-р~Т+. (8)

йк ¿Г-вк <т~

¿к

Систему (5)-(8) можно представить в виде одного уравнения для матрицы рассеяния £ нерегулярного участка волновода

+ (9)

Здесь х* — | |И£± = (Т Уравнение (9) дополняется оче-

0 о/ \ О О

О I

видными начальными условиями 5 =

Отметим, что общий вид полученного уравнения не зависит от геометрии волновода и типа возбуждения, вся информация о которых заключена в характеристиках элементарного слоя р± и т*.

Полученное уравнение можно трактовать как некое правило «суммирования» для характеристик элементарных участков, при этом, выражение для последних может быть получено на основании различных классических методов теории нерегулярных волноводов с той лишь разницей, что при использовании метода погружения, в задаче возникает малый параметр — высота элементарного слоя. Отмеченный выше факт, как показано во второй главе работы, позволяет записать решение для коэффициентов р. т в компактном аналитическом виде.

Вторая глава работы посвящена решению задачи о взаимодействии волновых полей различной поляризации с элементарным слоем бесконечно малой высоты АН.

В работе показано, что наличие малого параметра Д/г, присущего методу погружения, позволяет значительно упростить решения классических методов и получить аналитический вид для для риг — коэффициентов

уравнения (Э).

Первым рассматривается случай Е-поляризации поля с геометрией неоднородности аппроксимируемой бесконечно малой ступенькой (рис. 2). Для решения по- И+ЛИ-ставленной задачи используется метод согласования мод. При этом, на основании представления (3) и (4) в тексте диссертации показано, что, отбрасывая в уравнениях члены порядка о(АН), решение можно записать не в виде СЛАУ относительно характеристик отражения (г) и прозрачности

(£), как это обычно делают при использовании метода согласования мод, а в виде следующих аналитических выражений относительно риг:

_______1_______

¡\ 1 \ \ 1

|гт 1 а

Рис. 2: Геометрия ступеньки.

Ррк = ~2 ^ V + 5 ~ (Фр> Ф'к): Трк = ™Р5Рк + Ррк + (Фр, Ф'к)-

кр — постоянная распространения р-ой моды и

(10) (И)

Здесь

У^^Бт ^^х + ^ , р € N — собственные моды регулярного участка волновода (базисные функции) для Е-поляризации поля.

Далее в тексте работы рассматривается вопрос о том, насколько сильное влияние на решение имеет форма аппроксимации геометрии нерегулярного участка волновода. При этом предлагается отказаться от ступенчатой аппроксимации рассмотрев аналогичную задачу для клина (рис. 3). Для такой геометрии наиболее удобным методом решения является метод поперечных сечений, основная суть которого заключается в представлении решения в виде разложения поля в произвольном сечении нерегулярного участка по собственным модам волновода.

И+ЛЬ

Рис. 3: Геометрия клина.

ОС

ЕМ(х,г) = '£Спк(г)фпЫг))-

(12)

П=1

При этом коэффициенты Спк{:) в разложении зависят от 2.

В классическом подходе разложение (12) используется совместно с уравнением Гельмгольца, что и позволяет свести исходную краевую задачу к задаче Штурма-Лиувилля для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) относительно коэффициентов С(г).

В работе предложен иной подход, суть которого заключается в представлении неизвестных коэффициентов С(г) в виде разложение по малому параметру Д/г

При этом, как показано в тексте диссертации, в разложении (13) достаточно ограничится первыми тремя членами. Это приводит к задаче с пятью системами неизвестных (р, х,6°, Ь1, Ь2). Для определения искомых коэффициентов записывается пять систем уравнений, две из которых представляют собой условия непрерывности поля и его производной на нижней границе неоднородности, две определяются из тех же условий на верхней границе. Для получения последнего используется уравнение Гельмгольца.

В работе показано, что описанная система может быть аналитически разрешена относительно неизвестных р и г, и вид аналитического решения полностью совпадает с результатами полученными при использовании ступенчатой аппроксимации профиля волновода.

Такое совпадение можно трактовать как асимптотическую эквивалентность (в смысле предельного перехода при Д/г -»■ 0) метода согласования мод и метода поперечных сечений, в следствии того, что аналитический вид коэффициентов, а значит и уравнения эволюции (9) эквивалентны, при всех значениях параметров задачи.

Далее в главе описано решение аналогичной задачи для случая Н-поляризации поля. На основе метода согласования мод и ступенчатой аппроксимации профиля волновода получены аналогичные случаю Е - поляризации результаты для коэффициентов уравнения Риккати, имеющие

со

(13)

следующим вид:

Ррк = (-г&рк + Ррк + ^Ркг

(14)

(15)

Д/г

трк = гкр5рк + ррк + Ррк-

Здесь &рк = {фр,тр'к) и фр = соб [^х + ^ — собственные моды

волновода для случая Я-поляризации. Как видно из сравнения (10), (11) с (14), (15) структура решений для различной поляризации поля схожа и отличается лишь видом базисных функций, что приводит к изменению свойств симметрии фигурирующих в выражениях матриц.

В случае Я-поляризации, возникает вопрос об ориентации вектора Е на боковой границе волновода (рис. 4). Проблема заключается в том, что векторное поле , усреднённое по физически бесконечно малому объёму, у боковой границы волновода должно быть перпендикулярно исходной гладкой поверхности. Вопрос о переходе к усреднённому полю и его ортогональности к боковой границе волновода, к сожалению, пока не нашёл своего разрешения.

В диссертации предлагается другой подход к этой проблеме, основанный на использовании метода интегрального уравнения, не требующего обязательной ступенчатой аппроксимации. При рассмотрении гладкой поверхности в МИУ условие ортогональности выполняется автоматически. Совпадение результатов при различных способах моделирования поверхности будет являться косвенным подтверждением выполнения условий ортогональности для ступенчатой аппроксимации.

В работе предлагается рассмотреть интегральное представления для поля внутри клина (рис. 4).

Рис. 4: Контур интегрирования.

€ (Л.Л+Д/1), (16)

где 5 = — контур интегрирования (рис. 4) и й — функция Грина для уравнения Гельмгольца на плоскости, представленная в удобном для поиска решения виде

оо _

в{х - х', г - г') = | J ^«Ч-НИ*-»'!^, V = - ф.

-оо

Наибольший интерес в выражении (16) представляет интеграл по боковым участкам контура (¿2, £4). В тексте работы показано, что в силу того, что длинна бокового участка контура интегрирования пропорциональна АН ((5г| ~ АН), то вклад существенного порядка в конечный результат в по-динтегральном выражении может давать только падающее поле.

Используя это преимущество малого параметра на основе условий непрерывности поля на верхней и нижней границах элементарного слоя можно получить искомое решение, которое полностью совпадает с результатами для ступенчатой аппроксимации.

В заключительной части главы рассмотрено поведение решения матричного уравнения погружения (9), в окрестности особых точек — критических сечений волновода. Т.е. таких значений высоты неоднородного участка, при которых постоянная распространения одной из мод обращается в нуль.

В таких точках часть коэффициентов уравнения Риккати (9) становятся сингулярными. В работе подробно рассмотрен вопрос о поведении решения в окрестности особых точек. При этом показано, что правая часть уравнения погружения может быть легко разделена на сингулярную (6) и регулярную (ЭТ) части

Вблизи особых точек регулярной частью можно пренебречь (6 [5] > 9л [5]), что позволяет получить простую диагональную систему ОДУ, которую можно аналитически проинтегрировать.

Анализ результатов показывает, что решения не противоречат основным физическим принципам. Проведённый в работе анализ данных решений позволяет говорить об интегрируемости уравнения Риккати в особых точках, т.е. особенности коэффициентов не приводят к особенностям в решении.

В третьей главе рассматриваются вопросы применения метода погружения в задаче об излучении фазированной рупорной антенной решётки (PAP). Декомпозиция задачи позволяет выделить часть непосредственно решаемую с помощью метода погружения — это задача о поле в рупорном переходном слое, и часть, связанную с согласованием поля в волноводах и в свободном пространстве.

Характеристики отражения (Дялл) и прохождения (Т^АА) всей PAP определяются из соотношений

RH ал = r~H +T-r-L\[I - Rfrl]-1!*,

ПАЛ =tt ['-ЯКГ'Тя-

Здесь — характеристики рупорного перехода, которые определяют-

ся из уравнения погружения (9), а — коэффициенты отражения и

прохождения для антенной решетки из усечённых волноводов, для вычисления которых используется хорошо известное решение на основе метода согласования мод.

Для проверки адекватности предложенной методики расчёта была проведена серия совместных численных экспериментов, включающих в себя как расчёт на основе метода погружения, так и расчёт с использованием модели ступенчатого рупора. Расчёты показали хорошее численное совпадение, в среднем с точностью до Ю-6 (в худшем случае результаты различались на 10~3). Для контроля корректности результатов проводилась проверка энергетического баланса, которая показала, что, при отсутствии критических сечений, точность проверки может быть доведена до машинной погрешности порядка 10 ~15. В случае наличия нескольких критических сечений на интервале интегрирования точность проверки падала до Ю-3.

Время работы различных алгоритмов расчёта при одинаковом количестве шагов (количестве ступенек, для ступенчатой аппроксимации и количества шагов метода Рунге-Кутта для метода погружения) различается незначительно. Однако, в тексте работы отмечено, что метод погружения показывает более быструю скорость сходимости по количеству шагов в методе Рунге-Кутта.

В тексте работы представлены результаты расчёта диаграммы направ-

О 02

о.б an

Рис. 5: Короткий рупор.

sin&

Рис. 6: Сверхразмерный рупор.

ленности элемента решётки и значения коэффициента отражения для различных геометрий фазированной PAP. Диаграмма направленности вычисляется согласно следующему выражению

FW) = J—TQ(kb sin0)cos0.

где к1 = у/к2 — (тг/ао)2 — постоянная распространения волны ТЕю, О угол отклонения главного луча от нормали. На рис. 5, 6 приведены резуль-

таты расчётов для двух различных геометрий решетки, состоящей из коротких и сверхразмерных рупоров.

На рис. 7 приведены значения характеристик отражения и - прохождения как функции частоты излучения, в случае когда главный луч ДН направлен по нормали. На приведённом графике рассмотрена полоса частот, в пределах который подводящие волноводы остаются одномодовыми.

|Ä,(0)L|F(0)|

Рис. 7: Частотная характеристика.

Щ,

-А- Ь=0.44А

Для случая Я-поляризации было произведено сравнение результатов с известными в литературе, в частности были рассмотрены геометрии аналогичные работам1, при которых в ДН наблюдаются провалы обусловленные продольными вудовскими резонансами. На рис. 8 приведены кривых характеризующие ДН для различных значений высоты рупорного перехода.

Наконец, на рис. 9, 10 изображены ДН для двух геометрий решетки, которые показывают хорошее согласование полей для различных углов фазирования. Уменьшение значение коэффициента прохождения для больших значений частоты обусловлено появлением бокового лепестка, на излучение которого уходит часть энергии излучаемого поля.

1 \ Л, \ -

V тТ*т\~т »—-ТА

! № /И'11

I'. 1/Л.И

Рис. 8: ДН РАР для случая Н-поляризации.

Рис. 9: Короткий рупор.

Рис. 10: Сверхразмерный рупор.

В главе 4 рассмотрена возможность применения метода погружения для систем, характеризующихся конечными (не стремящимся к нулю при ДЛ. —>■ 0) значениями коэффициента отражения элементарного слоя. В качестве тестовой рассмотрена задача о взаимодействии поля с решёткой полу-

прозрачных волноводов составленной из идеально-проводящих цилиндров (рис. 11). Подобная геометрия является моделью electromagnetic bandgap (EBG) структуры и может использоваться в качестве матричной облучающей системы, а также служить для подавления боковых лепестков в разряженных антеннах3

Рис. 11: Периодическая структура из идеально-проводящих цилиндров.

Для данной системы элементарный слой можно представить в виде решётки из прямоугольных брусьев бесконечно малой высоты. Поскольку для такой системы соотношения (3), (4) не выполняются, то коэффициенты отражения элементарного слоя будут стремиться к отличной от нуля величине при Д/г —> 0. Это не позволяет ограничится двумя первыми членами в разложении обратного оператора в (2) (однократным переотражением в виртуальном резонаторе). Как следствие переход к дифференциальному уравнению погружения (5) не представляется возможным. В этом случае следует рассмотреть конечно разностный вариант уравнения погружения, который для матриц Л+ и Т+ будет иметь следующий вид:

Тп+г = tn+\M~lTn

1 ~Гп + 1 + t„+iM~lt„+i Мп = I - Rnr„+i

(17)

Существование обратной матрицы в (17), возможно в случае если спектральный радиус матричного оператора [Л • г) будет меньше единицы. Это условие накладывает дополнительные ограничения на точность решения

3Банков С.Е., Калошин В.А., Фролова Е.В. Компьютерное проектирование и экспериментальное исследование кластерного излучателя на основе ЕБб структуры // «Журнал радиоэлектроники», №2, 2009.

вспомогательной задачи о дифракции на брусьях. С целью повышения точности

решения для вспомогательной за- ^

тинга) результат, по сравнению с классическим решением аналогич-

дачи в работе был предложен метод метод согласования мод с разложением по полному периодическому базису. Полученная в результате СЛАУ при решении позволяет получить более точный (в смысле проверки теоремы Пойн-

ной задачи2. Отдельно следует от- 07 09 1 " 12

метить, что для полученной СЛАУ

наблюдается стабилизация роста рис 12: а _ один слой ЦШШНдров, Ь -числа обусловленности при уве- ДВа слоя, с - три слоя, личении количества учитываемых

компонент углового спектра. Этот результат позволяет корректно проводить обращение матрицы А/ в (17) для большого числа учитываемых мод.

При расчёте характеристик системы представленной на рис. И один слой цилиндров рассчитывается с помощью системы (17). Расчёт многослойной структуры реализуется по схеме, аналогичной (17), где роль элементарного слоя играет уже рассчитанный уединённый ряд цилиндров. Наличие конечного зазора (к) между слоями учитывается соответствующими фазовыми набегами компонент спектра дифрагированного поля.

На рис. 12 приведены значения модуля коэффициентов прохождения моды ТЕ00 для случая нормального падения плоской волны как функции частоты для 3-х систем, состоящих из одного, двух и трех слоёв цилиндров с параметрами Ь = 2тг, а = ОЯЬ, в. — 0.2Ь, к = <1. На приведенных графиках хорошо видны эффекты, связанные с продольными и поперечными ву-довскими резонансами. Поведение кривых показывает, что с увеличением количества слоёв чаще проявляются «слепые» зоны для рассматриваемой системы, что обусловлено продольными резонансами при переотражении плоских волн между слоями.

В заключении сформулированы основные вывода по результатам проведённого исследования.

• Для задачи о поле в нерегулярном волноводе получен общий вид уравнения погружения, не зависящий от геометрии профиля и типов рассматриваемых полей.

• На основе классических методов получены аналитические решения для задачи об участке нерегулярного волновода бесконечно малой высоты.

• Для рассмотренных методов показана асимптотическая эквивалентность их решений для всех возможных значений параметров.

• Исследование поведения решений в окрестности критических сечений волновода показало, что сингулярности возникающие при наличии особых точек являются интегрируемыми.

• Исследование конечно-разностного вида уравнений погружения показало возможность их применения для расчёта характеристик периодических структур.

• Полученные для вспомогательной задачи о дифракции на брусьях решения обладают хорошими свойствами устойчивости по числу учитываемых мод.

Список публикаций

По теме диссертации в изданиях рекомендованных ВАК были опубликованы следующие работы:

1. Филонов Л.В. Модификация метода погружения для анализа решетки рупоров, возбуждаемых ТН-волнами // Радиотехника. 2010. №10. С. 65-70.

2. Кузнецов В.Л., Филонов П.В. Об интегрируемости уравнений погружения с сингулярными коэффициентами в задаче о рупорном переходе. // Научный вестник МГТУ ГА. 2010. №157. С. 117-120.

3. Кузнецов В. JI., Филонов П.В. Уравнение погружения для обобщённой матрицы рассеяния в теории нерегулярных волноводов // Научный вестник МГТУ ГА. 2010. №157. С. 5-11.

4. Кузнецов В.Л., Филонов П.В. Расчет характеристик малого участка нерегулярного волновода на основе метода интегрального уравнения. Случай Е-поляризации // Научный вестник МГТУ ГА. 2010. №158 С. 16-19.

5. Кузнецов В.Л., Скобелев С.П., Филонов П.В. Модификация метода погружения для анализа решетки рупоров, возбуждаемых ТЕ-волнами // Радиотехника. 2010. №4. С. 30-38.

6. Кузнецов В.Л., Филонов П.В. Проблемы наносекундных технологий в радиолокации. Рупорные антенные решетки // Научный вестник МГТУ ГА. 2009. №145. С. 11-17.

7. Кузнецов В.Л., Филонов П.В. Модификация уравнений погружения в задаче расчета комплексной диаграммы направленности конечной рупорной антенной решетки // Научный вестник МГТУ ГА. 2007. №120. С.52-58.

Работы опубликованные в прочих изданиях и тезисы докладов:

8. Филонов П.В. Дифференциальная модель расширяющегося волновода // Теоретические вопросы вычислительной техники и программного обеспечения. 2010. С. 182-185.

9. Filonov P. V., Kuznetsov V.L. The virtual resonator in embedding method of horn array antennas // PIERS Proceedings, Moscow. 2009. P. 118121.

10. Filonov P. V., Kuznetsov V.L. Application of Embedding Method to the Problem of Nanosecond Impulses Distortion // PIERS Proceedings, Moscow. 2009. P. 448 - 451.

11. Filonov P.V. The application of Thickonov's regularization method to virtual resonator problem. Proc. of Progress in electromagnetic research Symposium, Moscow, Russia, August 18 — 21, 2009.

12. Филонов П.В. Излучение сверхширокополосных сигналов рупорной антенной решёткой, причины разрушения наносекундных импульсов // Тезисы докладов конференции «Авиация и космонавтика». МАИ.

13. Филонов П.В. Задача дифракции на решётке из брусьев при падении неоднородной волны. Тезисы докладов конференции «Гагаринские чтения», МАТИ, 8-9 апреля, 2009.

14. Филонов П.В. Математическая модель конечной рупорной антенной решётки // Теоретические вопросы вычислительной техники и программного обеспечения. 2008. №11 С. 128-135.

15. Филонов П.В. Модификация уравнений дифракции на решётке из брусьев. Тезисы докладов конференции «Гражданская авиация на современном этапе развития науки, техники и общества», МГТУ ГА, 22 - 23 апреля 2008 г.

16. Filonov P.V., Kuznetsov V.L. The new approach to computing the transparency о horn layer of linear antenna lattice. Proc of Progress in electromagnetic research Symposium, Beijing, China, March 26 — 30, 2007.

2009.

Соискатель

Филонов П.В.

Печать офсетная 1.27 усл.печ.л.

Подписано в печать17.11.10 г. Формат 60x90/16

1,18 уч.-изд. л. Тираж 80 экз.

Заказ №1174////

Московский государственный технический университет ГА 125993 Москва, Кронштадтский бульвар, д. 20 Редакционно-издательский отдел 125493 Москва, ул. Пулковская, д.ба

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Филонов, Павел Владимирович, Москва

Московский

Государственный Технический Университет Гражданской

Авиации

61 11-1/363

На правах рукописи

Филонов Павел Владимирович

Метод инвариантного погружения в теории рупорных антенных решёток и нерегулярных

волноводов

01.04.03 - Радиофизика

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. т. н., проф. Кузнецов В. Л.

Москва - 2010

Содержание

Введение......................................................................4

Глава 1. Метод инвариантного погружения..........................17

1.1. Идеология метода погружения....................................17

1.2. Метод погружения в задаче о поле в нерегулярном волноводе 19

1.3. Уравнение погружения для обобщенной матрицы рассеяния . 29

Глава 2. Характеристики элементарного слоя........................32

2.1. Случай ^-поляризации поля......................................32

2.1.1. Расчёт коэффициентов элементарного слоя на основе ступенчатой модели....................................32

2.1.2. Модель клина и метод сечений..........................35

2.1.3. Метод интегрального уравнения........................39

2.2. Случай Я-поляризация поля...................43

2.2.1. Расчёт коэффициентов элементарного слоя на основе ступенчатой модели..................43

2.2.2. Метод интегрального уравнения............45

2.3. Интегрируемость уравнений погружения с сингулярными коэффициентами ...........................50

Глава 3. Расчёт характеристик PAP....................................56

3.1. Методы и подходы к описанию фазированных PAP......56

3.2. Излучение фазированной PAP...................57

3.3. Расчёт характеристик нерегулярных волноводов........60

3.4. Результаты расчёта фазированной PAP..........................63

^-поляризация ............................................63

Л-поляризация ...................... 67

Глава 4. Применение метода погружения к периодическим структурам ................................... 75

4.1. Метод обратной матрицы........ .............75

4.2. Дифракция на решётке из брусьев............... 77

4.3. Результаты численного эксперимента..............80

Заключение................................. 83

Литература................................. 85

Приложение А. К выводу выражений для коэффициентов элементарного слоя в методе поперечных сечений..........94

Приложение Б. К выводу выражений для коэффициентов элементарного слоя в методе интегрального уравнения.......97

Приложение В. Листинги программ для расчёта РАР.......100

Приложение Г. Листинги программ для расчёта периодической решётки .................................111

Введение

Волноводно-рупорные излучатели, имеющие плавный переход от одно-модового входного волновода до раскрыва, характеризуются хорошим естественным согласованием со свободным пространством в довольно широкой полосе частот. Поэтому они находят применение в качестве элементов фазированных антенных решёток (ФАР) для сканирования в ограниченном секторе [1-4], а так же в качестве элементов небольших решёток облучателей в многолучевых зеркальных антеннах, используемых в системах спутниковой связи [5, 6].

Основная проблема расчета характеристик таких систем состоит в корректном описание распространение поля в рупорном переходе, который является частным случаем нерегулярного волновода. Хорошо известны различные классические подходы к описанию поля в нерегулярных волноводах с изменяющейся шириной поперечного сечения. В прикладных задачах часто используются комбинированный метод согласования мод [7-11], который базируется на использовании ступенчатой аппроксимации профиля боковой стенки волновода с последующей итерационной процедурой, на каждом шаге которой используются условия согласования полей для учёта вклада каждой следующей ступеньки в характеристики всего участка. Не менее успешно для решения подобных задач применяется метод поперечных сечений [12-17], предложенный в работах А.Г. Свешникова, и далее развиваемый в работах Б.З. Каценеленбаума. Идея метода поперечных сечений которого заключается в представлении поля внутри нерегулярного участка в виде разложения по собственным модам регулярного волновода с переменными коэффициентами, для определения которых формулируется краевая задача. Этот подход позволяет перейти от уравнения Гельмгольца для поля к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

для неизвестных коэффициентов. Не меньший интерес представляет метод интегрального уравнения [18, 19], который часто используется совместно со ступенчатой аппроксимацией для волноводов с переменной шириной поперечного сечения и неоднородным диэлектрическим заполнением.

Сопоставление этих методов, характеризующихся различными алгоритмами и математическим аппаратом в силу их сложности, возможны лишь после получения конкретных численных результатов. При этом в литературе [20, 21] отмечены случаи, когда проводить сравнения результатов, полученных различными методами некорректно поскольку существуют области параметров, при которых численные результаты не могут быть получены с достаточной точностью, и такие области для различных методов могут не совпадать.

Различные классические подходы описывают один и тот же объект — отрезок нерегулярного волновода. Поэтому возникает вопрос о существовании такого универсального метода, который мог бы использовать внутри себя любой из допустимых методов с одной стороны, и иметь универсальную (инвариантную относительно выбранного метода) вычислительную процедуру, с другой стороны.

В качестве такого объединяющего подхода целесообразно рассмотреть метод инвариантного погружения. Впервые идея погружения была предложена В.А. Амбарцумяном для задачи о диффузном отражении света от рассеивающего слоя [22] и получила дальнейшее развитие при решении различных задач в работах Белламана, Калабы и их коллег [23, 24]. Значительный вклад в развитие и применение метода для задач распространения и рассеяния волн в одномерных случайно-неоднородных средах был сделан В.И. Кляцкиным [25] Метод погружения так же хорошо зарекомендовавший себя при описании многократного рассеяния в случайно неоднородных средах и взаимодействии поля с возмущенными, неровными поверхностя-

ми [26-31], а также в задачах дифракции на фотонных кристаллах [32-35]. В таких задачах центральным моментом является корректный механизм включения борновского приближения в общую картину многократного рассеяния. В задаче о нерегулярном волноводе роль борновского приближения — метода описания взаимодействия излучения с бесконечно тонким слоем вещества, могут выполнять отмеченные выше классические методы с той лишь существенной особенностью, что применяться они будут к участку нерегулярного волновода бесконечно малой длины. Наличие этого малого параметра может существенно упростить алгоритмы классических методов, доводя их до простых аналитических формул.

Для достижения указанной цели были рассмотрены следующие задачи.

Методы исследования. В качестве центрального, в работе используется метод инвариантного погружения, с выбранным в качестве параметра погружения линейным размером нерегулярного участка волновода. Для решения вспомогательной задачи о взаимодействии поля с элементарным слоем используются такие методы как метод согласования мод, метод поперечных сечений и метод интегрального уравнения. В работе используется математический аппарат теории дифференциальных и интегральных уравнений, а так же численные методики интегрирования ОДУ.

Основные результаты работы. В ходе диссертационной работы были получены следующие основные результаты.

матрице рассеяния для бесконечно малого участка нерегулярного волновода для случаев полей различной поляризации.

3. В рамках метода погружения, показана асимптотическая эквивалентность указанных решений классических методов для всех областей значений параметров рассмотренной задачи.

6. В рамках исследования конечно-разностного уравнения погружения, для подзадачи о дифракции на прямоугольных брусьях получено решение на основе использования разложения по полному периодическому базису, которое позволило существенно улучшить точность расчётов и стабилизировать рост числа обусловленности полученной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) по сравнению с результатами, представленными в работах [36-38]

Практическая ценность работы заключается в разработке унифицированного подхода к расчёту характеристик нерегулярного волновода на основе решения задачи Коши для матрицы рассеяния. Для задачи о дифракции на брусьях получены результаты, позволяющие значительно улучшить выполнение теоремы Пойнтинга и стабилизировать рост числа обусловленности рассматриваемых систем линейных уравнений.

Достоверность научных результатов обеспечивается корректность вывода уравнения погружения и его коэффициентов. Результаты расчётов по полученным уравнениям были численно (для случая ^-поляризации) сравнены с результатами расчётов по комбинированной модели ступенчатого рупора, и показали хорошее соответствие. Для случая Я-поляризации поля было произведено сравнение результатов расчёта с известными в литературе. Для всех расчётов проводилась проверки энергетического баланса и сходимости решения по количеству учитываемых мод.

Апробация работы Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах «Математическое моделирование волновых процессов» под рук. Лукина Д.С. в РосНоу (Москва, 2009 и 2010), «Численные методы электродинамики» под рук. Свешникова А.Г., Ильинского А.С. физфак МГУ (Москва, 2010), «Фельдовский семинар» под рук. Шевченко В.В., Скобелева С.П. ИРЭ РАН (Москва, 2010) и конференциах Progress In Electromagnetic Research Symposium (Moscow, 2009, Beijing, 2007), «Авиация и космонвтика» МАИ (Москва, 2009), «Гагаринские чтения» МАТИ (Москва, 2009), «Гражданская авиация на современном этапе развития науки,техники и общества» МГТУГА (Москва, 2008).

Публикации. По теме диссертации было опубликовано 16 работ, включая 7 работ в журналах из перечня ВАК.

Краткое содержание работы

задачи, отличающихся значением одного параметра — параметра погружения. Такое множество задач порождает пространство решений, в котором выделяются две особые точки — искомое решение и решение, которое может быть легко получено. Соединяя эти две точки траекторией, можно исследовать как решение эволюционирует при изменении параметра погружения. Уравнение эволюции, определяющее как изменяется решение вдоль указанной траектории, называется уравнением погружения.

Стоит отметить, что величины рассматриваемые в качестве решения должны удовлетворять принципу динамической причинности по параметру погружения, т.е. решение задачи для конкретного значения параметра погружения может зависеть только от решений, полученных для предшествующих значений этого параметра.

Для задачи о нерегулярном волноводе в качестве параметра погружения удобно выбрать протяженность нерегулярного участка — к. Поскольку электромагнитные поля не удовлетворяют принципу динамической причинности, то в качестве решения следует рассмотреть матрицу рассеяния

прохождения соответственно, записанные в базисе собственных мод регулярных участков волновода.

Для построения уравнения погружения относительно £ необходимо определить, как изменяется решение при добавлении бесконечно малого элементарного слоя высотой А/г.

Поскольку высота элементарного слоя А/г — малая величина, и в конечном результате будет произведен предельный переход при А/г —» 0, то мы вправе представить коэффициенты отражения и прохождения в виде разложения по А/г.

матричные коэффициенты отражения и

г^/г; А/г) = р±{К)/\к + о(Д/г) 10

^(/г; АН) = I + ^{ЩАН + о(Д/г).

Такое разложение позвляет записать дифференциальную форму уравнения погружения для матрицы рассеяния нерегулярного волновода.

Общий вид полученного уравнения не зависит от геометрии волновода и типа возбуждения, вся информация о которых заключена в характеристиках элементарного слоя р± и т^.

Полученное уравнение можно трактовать как некое правило «суммирования» для характеристик элементарных участков, при этом, выражение для последних может быть получено на основании различных классических методов теории нерегулярных волноводов с той лишь разницей, что при использовании метода погружения, в задаче возникает малый параметр — высота элементарного слоя. Отмеченный выше факт, как показано во второй главе работы, позволяет записать решение для коэффициентов уравнения в компактном аналитическом виде.

В главе показано, что наличие малого параметра АН, присущего методу погружения, позволяет значительно упростить решения классических методов и получить аналитический вид для для р и г — коэффициентов уравнения погружения.

= х+ + + + Бх-Э.

очевидными начальными условиями £

Первым рассматривается случай ^-поляризации поля с геометрией неоднородности аппроксимируемой бесконечно малой ступенькой. Для решения поставленной задачи используется метод согласования мод. Показано, что, отбрасывая в уравнениях члены порядка о(А/г), решение можно записать не в виде СЛАУ относительно характеристик отражения (г) и прозрачности (£), как это обычно делают при использовании метода согласования мод, а в виде следующих аналитических выражений относительно р и т:

трк = ^Рк + Ррк + (Фр> Ф'к)-

Здесь фр — у^у 8т (^щХ + 5 - собственные моды регулярного

участка волновода (базисные функции) для Е-поляризации поля, а кр — постоянная распространения р-ой моды.

Далее в тексте работы рассматривается вопрос о том, насколько сильное влияние на решение имеет форма аппроксимации геометрии нерегулярного участка волновода. При этом предлагается отказаться от ступенчатой аппроксимации, рассмотрев аналогичную задачу для клина. Для такой геометрии наиболее удобным методом решения является метод поперечных сечений, основная суть которого заключается в представлении решения в виде разложения поля в произвольном сечении нерегулярного участка по собственным модам волновода.

В работе показано, что вид аналитического решения полностью совпадает с результатами полученными при использовании ступенчатой аппроксимации профиля волновода.

Такое совпадение можно трактовать как асимптотическую эквивалентность (в смысле предельного перехода при АН 0) метода согласования мод и метода поперечных сечений, в следствии того, что аналитический

вид коэффициентов, а значит и уравнения эволюции, эквивалентны при всех значени�