Динамика обобщенных гауссовых пучков в нелинейных градиентных волноводах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1 ПРИБЛИЖЕННАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВНЕОСЕВО-ГО ПУЧКА В НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ

1.1 Полуаналитические методы описания пучков света в нелинейных средах

1.2 Модифицированный обобщенный метод моментов

1.3 Применение модифицированного обобщеного метода моментов к внеосе-вым пучкам.

1.4 Модель среды и матричные элементы восприимчивости.

2 ВНЕОСЕВОЙ ГАУССОВ ПУЧОК В КВАДРАТИЧНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ С КЕРОВСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ: АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

2.1 Общие свойства системы.

2.2 Стационарные режимы.

3 ВНЕОСЕВОЙ ГАУССОВ ПУЧОК В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ: АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ

3.1 Прозрачные волноводные среды параболического профиля.

3.1.1 Круглый волновод.

3.1.2 Эллиптический волновод.

3.2 Гауссов волновод: основные особенности.

3.3 Волноводные среды с диссипацией

4 ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ И КАЧЕСТВО ОПИСАНИЯ ДИНАМИКИ ПУЧКОВ НА ОСНОВЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА МОМЕНТОВ

4.1 Область моделируемых физических явлений.

4.2 Динамика поля и его моментов в прямом численном эксперименте: сравнение с результатами МОММ

4.3 Соответствие модели на основе МОММ физическому эксперименту: возможные параметры оптических систем.

5 ПРИМЕРЫ ВОЗМОЖНЫХ ОБЛАСТЕЙ ПРАКТИЧЕСКОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ДИССЕРТАЦИИ

5.1 Измерение керровской константы.

5.2 Новые возможности повышения эффективности керровской синхронизации мод

5.3 Метод снижения локальной интенсивности световых пучков высокой мощности

Предмет исследования и актуальность проблемы

Задача о распространении светового пучка в нелинейной неоднородной среде в подавляющем большинстве работ решается в аксиально симметричной постановке. Вместе с тем, в системах с естественной осью симметрии (волноводы, резонаторы, нелинейные оптические схемы с встречными пучками и т.п.) большое значение имеют эффекты, связанные с разъюстировкой, то есть с отклонением оси пучка от естественной оптической оси системы. В некоторых случаях, как например, в схемах спектроскопии суб-доплеровского разрешения, такая разъюстировка вводится сознательно, например, для устранения паразитной обратной связи между задающим лазером и встречной пробной волной. В других случаях разъюстировка возникает как побочный нежелательный эффект, влияние которого на функционирование оптической схемы должно учитываться при ее математическом моделировании. И, наконец, представляет интерес поиск особенностей распространения внеосевых пучков, могущих найти специальное практическое применение. Во всех перечисленных случаях при значительной интенсивности рассматриваемого пучка могут проявляться эффекты самовоздействия, связанные с оптической нелинейностью среды, что, с одной стороны, приводит к заметному усложнению задачи, а с другой - к появлению новых интересных физических свойств. Сами эффекты самовоздействия, связанные с поперечной ограниченностью световых пучков хорошо известны и играют существенную роль в динамике лазеров, задачах спектроскопии высокого разрешения в газах, в экспериментах по лазерному разделению изотопов и физике нелинейных оптических волноводов. Однако, особенности самовоздействия аксиально несимметричных пучков изучены недостаточно.

Основой моделирования волновых пучков в средах с крупномасштабными (по сравнению с длиной волны) неоднородностями является скалярное параболическое (параксиальное) волновое уравнение. Его численное решение в случае отсутствия аксиальной симметрии усложняется из-за повышения размерности задачи. Несмотря на прогресс вычислительной техники и рост памяти и быстродействия современных компьютеров, продолжает оставаться актуальной задачей разработка приближенных методов сокращенного описания пучков при помощи конечного числа зависящих от продольной координаты переменных. Интерес к такого рода подходам связан не только с потребностью в 1 упрощении численных расчетов, но и, в гораздо большей степени, с их преимуществами по сравнению с прямыми численными методами в плане физической интерпретации результатов. Распространенные в литературе подходы указанного типа, как правило, связаны либо с грубыми допущениями (безаберрационное приближение), либо с теми или иными ограничениями на характер нелинейности и/или неоднородности среды (например, отсутствие диссипации). Как правило, рассматривались аксиально-симметричные пучки, а оценка эффектов разъюстировки проводилась либо в линейной среде, либо в частных случаях, либо в грубых приближениях.

При сведении параксиального волнового уравнения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для параметров пучка фактически происходит хорошо известное в физике нелинейных волн сведение распределенной динамической системы к системе с сосредоточенными параметрами конечной размерности. В получающейся динамической системе продольная координата пучка играет роль эволюционной переменной - времени. Предварительный анализ показывает, что даже в отсутствие оптической нелинейности среды динамическая система, описывающая пучок, является нелинейной. Естественно возникающей задачей является исследование этой системы с применением хорошо разработанного математического аппарата нелинейной динамики. Для аксиально несимметричных пучков со сдвигом, астигматизмом и кручением такое исследование ранее не проводилось.

Таким образом, актуальной задачей является развитие методов сокращенного описания аксиально несимметричных пучков в волноводных средах с нелинейностью, неоднородностью и диссипацией, проведение детальных численных исследований, сложного поведения пучков, включающего сдвиги, пульсации и вращения, а также систематическое рассмотрение модели пучка как нелинейно-динамической системы с использованием современного математического аппарата.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является построение конечномерной математической модели, описывающей распространение обобщенных гауссовых пучков в нелинейных волноводных средах, и исследование ее как динамической системы.

Для реализации поставленной цели решаются следующие основные задачи:

• Обобщение модифицированного обобщенного метода моментов (МОММ) (B.J1. Дербов, Л.А.Мельников, А.Д.Новиков. Кв. электрон14, 2529 (1987)) на случай обобщенных гауссовых пучков со сдвигом, астигматизмом и кручением в аксиально симметричной среде с неоднородностью, нелинейностью и диссипацией.

• Выяснение особенностей поведения внеосевых пучков в градиентных волноводных, средах на конкретных примерах путем численного моделирования в рамках МОММ.

• Анализ конечномерной модели, описывающей распространение внеосевого пучка в градиентной волноводной среде с оптической нелинейностью, в терминах нелинейной динамики.

• Исследование применимости МОММ с точки зрения как аппроксимации поля, так и описания динамики моментов пучка на основе сравнения с результатами прямого численного решения волновой задачи с использованием абсолютно устойчивой схемы.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения

1. Конечномерная математическая модель, позволяющая описывать распространение обобщенных гауссовых пучков в нелинейных волноводных средах в терминах нелинейной динамики.

2. Результаты численных экспериментов, которые указывают на сложное поведение внеосевых пучков в волноводных средах с нелинейностью и диссипацией, включающее поперечное смещение пучка как целого, колебания его интенсивности и размеров, а также вращение вокруг собственной оси.

3. В среде с квадратичным профилем показателя преломления и керровской нелинейностью динамика интенсивности, размеров пятна, кривизны волнового фронта и углов вращения не зависит от поперечного движения пучка в целом.

4. В волноводной среде указанного выше типа возможна динамически устойчивая структура астигматического пучка, пятно которого сохраняет фиксированный размер и вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью.

Научная новизна

Научная новизна результатов диссертации состоит в развитии новой математической модели и обнаружении ранее не исследованных физических эффектов и особенностей динамики обобщенных гауссовых пучков в градиентных волноводных средах с нелинейностью и диссипацией.

1. На основе МОММ построена новая приближенная математическая модель распространения обобщенного гауссова пучка с астигматизмом и кручением в градиентной нелинейной среде, лишенная принципиальных недостатков безаберрационного подхода.

2. Динамическое рассмотрение астигматического пучка в нелинейных волноводных средах впервые выполнено с одновременным учетом всех степеней свободы, в том числе при наличии диссипации.

3. В среде с квадратичным профилем показателя преломления найдены условия стационарного распространения пучка с учетом нелинейности. Исследованы особенности поведения системы вблизи состояний равновесия.

4. Обнаружена и исследована динамически устойчивая структура астигматического пучка, пятно которого сохраняет фиксированный размер и вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью.

5. С использованием результатов численного эксперимента продемонстрирована устойчивость периодических режимов распространения пучка в линейном случае.

6. Впервые исследованы квазипериодические режимы динамики параметров обобщенного гауссова пучка в параболической среде с керровской нелинейностью, неоднородной либо нелинейной диссипацией, а также в волноводе с гауссовым профилем линейной рефракции.

Т. Впервые предложено использовать особенности распространения астигматических пучков со сдвигом и кручением в керровской среде для измерения константы Кер-ра, повышения эффективности устройств для синхронизации мод в лазерах, а также для повышения максимальной мощности излучения, передаваемой по волноводам при наличии ограничений на предельную напряженность поля.

Достоверность результатов диссертации

Для тестирования приближенной динамической модели, рассматриваемой в диссертации, проводились специальные расчеты пучков на основе численного решения параболического волнового уравнения с использованием различных методов (разложение по модам Гаусса-Лагерра, схема Кранка-Николсона с покоординатным расщеплением и комплексным скейлингом). Оценены условия применимости гауссовой аппроксимации поля в нелинейной среде. Показано, что в ряде случаев динамика моментов пучка правильно описывается предложенной моделью даже тогда, когда профиль пучка заметно отличается от гауссова. Результаты расчетов совпадают с известными для частных случаев.

Научная и практическая ценность результатов

Моделирование внеосевых пучков в поперечно-неоднородных нелинейных средах важно для учета и интерпретации эффектов, возникающих при несоосном возбуждении оптических волноводов, а также в активных и пассивных элементах разъюстированных резонаторов. С вычислительной точки зрения разработанная модель сочетает простоту описания, свойственную безаберрационным моделям, с отсутствующей у них внутренней непротиворечивостью. При небольших деформациях поля она вполне пригодна для оценки слабых проявлений самовоздействия. Более того, именно для слабой разъюсти-ровки и малых нелинейных искажений первоначально гауссова пучка, что часто имеет место на практике, наша модель имеет преимущество перед прямыми численными решениями волновой задачи, требующими выделения малых сдвигов поля на фоне неизбежных численных ошибок.

Проведенные исследования расширяют представления о сложном поведении внеосевых астигматических пучков в волноводных средах, что может оказаться полезным как при учете неизбежных, хотя и нежелательных разъюстировок в реальных оптических устройствах, так и при поиске возможностей полезного применения разъюстировки, вводимой сознательно.

С более общей познавательной точки зрения важно то, что рассмотренная модель представляет собой результат сведения волновой задачи к дискретной нелинейно-динамической системе, которая затем исследуется стандартными методами нелинейной динамики. Мы одними из немногих предприняли попытку применить анализ динамики моментов к задаче о распространении лазерных пучков. Следует отметить, что аналогичные подходы (сведение к дискретным переменным и численное исследование их динамики) вообще-то достаточно традиционны для физики волн и сплошных сред (достаточно вспомнить модель Лоренца). Недавно они не без успеха применялись, например, в задаче о когерентных состояниях квантовых осцилляторов [1]. В широком плане развитие подобных подходов важно для установления междисциплинарных связей, выявления единых закономерностей протекания различных физических процессов и развития единого языка их описания, основанного на нелинейно-динамическом подходе. Для нелинейной динамики оптика лазерных пучков, как продемонстрировано в нашей работе, может рассматриваться как источник новых физически содержательных моделей.

В работе специально рассматриваются и оцениваются возможности .использования обнаруженных особенностей распространения астигматических пучков со сдвигом и кручением в керровской среде для прикладных целей. К ним относятся измерение константы Керра, повышение эффективности устройств для синхронизации мод в лазерах. Показано, что использование пучков с равномерным вращением астигматического пятна постоянных размеров перспективно с целью передачи максимальной мощности по волноводам при наличии ограничений на предельную напряженность поля.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на следующих научных конференциях:

1. Проблемы фундаментальной физики (Саратов, 1996)

2. Школа по оптике, лазерной физике и оптоэлектронике, (Саратов, 1997)

3. Saratov Fall Meeting'98: Light Scattering Technologies for Mechanics, Biomedicine, and Material Science, (Saratov, Russia, 1998)

4. International Conference on Transparent Optical Networks (Kieice, Poland, 1999)

5. Saratov Fall Meeting'99: Laser Physics and Spectroscopy (Saratov, Russia, 1999) и

6. 2nd International Conference on Transparent Optical Networks (Gdansk, Poland, 2000)

Работа выполнена в Саратовском государственном университете.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 12 работах, из них 3 статьи в реферируемых отечественных и зарубежных журналах и 7 статей в международных сборниках.

Личное участие автора

Результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором. Ряд работ выполнен совместно с В.Л.Дербовым и Л.А.Мельниковым при совместной постановке задач и обсуждении полученных результатов. При этом автору принадлежит проведение теоретических исследований и физическая интерпретация результатов; численные эксперименты проводились на основе программного обеспечения, разработанного автором. В проведении тестовых численных экспериментов участвовал В.В.Серов. Вклад автора в работы, выполненные совместно с этими и другими соавторами, отмечен в тексте диссертации.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы, включающего 68 наименований и приложения. Общий объем диссертации - 92 страницы текста (в том числе 30 рисунков).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ

С помощью теории и численного моделирования в диссертации удалось добиться определенного продвижения к детальному пониманию нелинейных динамических эффектов в поперечно ограниченных световых пучках. Основные результаты проведенного исследования можно сформулировать следующим образом.

1. В диссертации проведено обобщение модифицированного обобщенного на случай задачи о динамике обобщенного гауссова пучка со сдвигом, астигматизмом и кручением в аксиально симметричной среде с неоднородностью, нелинейностью и диссипацией. Построенная новая приближенная математическая модель лишена существенных принципиальных недостатков безаберрационного подхода. Несмотря на то, что, как и в упомянутых во Введении работах, делается априорное предположение о функциональном виде решения (обобщенный гауссов пучок), как показано в главе 3, используемая для исследования система уравнений оказывается способна качественно правильно описывать особенности поведения пучков (согласно прямому численному эксперименту) при условии значительных негауссовых искажений, а в ряде практически интересных случаев - весьма точно. Кроме того, предложенная система уравнений универсальна в смысле принципиально произвольного функционального вида восприимчивости среды, динамику параметров пучка в которой эта система описывает. Благодаря этому, оказываются возможными различного рода аналитические обобщения ряда особенностей поведения пучков.

2. В качестве вспомогательного инструмента исследования системы обыкновенных дифференциальных уравнений для параметров пучка использован аппарат прикладной нелинейной динамики, как наиболее мощный и полно разработанный для задач подобного рода. Очевидными преимуществами такого подхода являются возможность указывать области типичного поведения пучка (в том числе и аналитическим образом), получать адекватные конкретной задаче способы измерения параметров среды, а также решать обратную задачу - поиск сред со свойствами, обеспечивающими требуемую динамику пучка. Более того, собственно для нелинейной динамики может быть интересно расширение круга физически содержательных моделей, что позволяет, в свою очередь, ожидать обнаружения новых интересных эффектов в распространении пучков.

3. В терминах нелинейной динамики выполнен анализ конечномерной модели, описывающей распространение внеосевого пучка для ряда важных примеров градиентных нелинейных волноводных сред, причем впервые с одновременным учетом всех степеней свободы такого пучка. Исследовано сложное поведение внеосевых пучков в волноводных средах с нелинейностью и диссипацией, включающее поперечное смещение пучка как целого, колебания его интенсивности и размеров, а также вращение вокруг собственной оси.

4. Для среды с квадратичным профилем показателя преломления определены условия стационарного распространения пучка с учетом нелинейности, а также особенности поведения системы вблизи таких состояний. В среде с квадратичным профилем показателя преломления и керровской нелинейностью обнаружен ряд нетривиальных динамических эффектов. В частности, показано, что динамика интенсивности, размеров пятна, кривизны волнового фронта и углов вращения не зависит от поперечного движения пучка в целом. Кроме того, существует динамически устойчивая структура астигматического пучка, пятно которого сохраняет фиксированный размер и вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью. Особенностью среды с эллиптическим поперечным сечением является зависимость степени локализации пучков вблизи оси волновода от их мощности.

5. Исследование границ применимости МОММ с точки зрения аппроксимации поля, а также описания динамики моментов пучка на основе сравнения с результатами прямого численного решения показало, что для широкого диапазона используемых на практике параметров сред и пучков обнаруженные в настоящем исследовании эффекты достаточно хорошо реализуются. В связи с этим, предложен ряд возможных решений задач из разных областей нелинейной оптики. В частности, впервые демонстрируются способы измерения константы Керра на основе особенностей вращения астигматических пучков, повышения эффективности устройств для синхронизации мод в лазерах, а также увеличения максимальной мощности излучения, передаваемой по волноводам при наличии ограничений на предельную напряженность поля.

Автор выражает искреннюю благодарность В.Л.Дербову, под руководством которого была выполнена настоящая работа.

За постоянное внимание в течение всего периода работы над диссертацией и значительное влияние на развитие научного кругозора автор выражает особую благодарность Л. A .Me льникову.

Автор выражает также признательность соавторам за полезное сотрудничество на разных стадиях работы: О.М.Приютовой, В.В.Серову и С.И.Виницкому. Кроме того, за важные обсуждения отдельных разделов диссертации автор благодарен Е.А.Романовой.

За творческую атмосферу, поддержку и стимулирование работы над диссертацией автор благодарит коллективы и руководство кафедры оптики и кафедры лазерной и компьютерной физики СГУ.

1. Горохов А.В., Рогачева Б.В., Ширяев А.В., Динамика когерентных состояний в моделях квантовой оптики // Дифференциальные уравнения и их приложения: тез.докл. Самара, 1996. - С. 18.

2. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979.- 384 с.

3. Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики. М.: Наука, 1989. - 560 с.

4. Кандидов В.П. и др. Метод конечных элементов в динамике. М.: Изд-во МГУ, 1980.

5. Елкин H.H., Напартович А.П. Прикладная оптика лазеров. М.: ГК ИАЭ СССР, 1988. - 224 с.I

6. Карамзин Ю.Н. Компьютерное моделирование в нелинейной оптике. М.: Изд-во МГУ, 1989.

7. Сухоруков А.П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике.- М.: Наука, 1988. 232 с.

8. Захарова И.Г., Карамзин Ю.Н., Трофимов В.А. Численные методы для задач теплового самовоздействия оптического излучения // Мат. моделир. 1989. - Т. 1, No. 10. - С. 130-141.

9. Волков В.М., Дриц В.В. Консервативные разностные методы решения квазиоптических задач // Весщ АН БССР, сер. ф1з.-мат. навук. 1988. - No. 1. - С. 8-15.

10. И. Bardin С., Babuel-Peyrissac J.P., Marinier J.P., Mattar F.P. A finite Hankel algorithm for intense optical beam propagation in saturable medium // Proc. Soc. Photo-Opt. Instrum. Eng. 1985. - V. 540. - P. 581-587.

11. Feit M.D., Fleck J.A., Jr. Light propagation in graded-index optical fibers // Appl. Opt. 1978. - V. 17, No. 24. - P. 3390-3398.

12. Шварцбург JI. Нелинейные электромагнитные волны.- М.: Мир, 1983, с. 104.

13. Dajani I., Di Peso G., Morse E.C., Ziolkowski R. Gaussian beam propagation in a weakly nonlinear medium: a geometrical optics approach // Phys. Rev. A. 1990. - V. 44, No. 7. - P. 3740-3745.

14. Sonnenschein M., Censor D. Simulation of Hamiltonian light-beam propagation in nonlinear media // J. Opt. Soc. Amer. B. 1998. - 15, No. 4. - C. 1335-1345.

15. Cornolti F., Lucchesi М., Zambon В. Elliptic Gaussian beam self-focusing in nonlinear media // Opt. Communs. 1990. - V. 75, No. 2. - P. 129-135.

16. Захаров B.E., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи М.: Наука, 1980.

17. Gagnon L. Exact solutions for optical wave propagation including transverse effects // J. Opt. Soc. Am. В 1990. - V. 7, No. 6. - P. 1098-1102.

18. Holm D.D.and Wolf K.B. Lie-Poisson description of Hamiltonian ray optics // Physica D 1991. - V. 51. - P. 189-199.

19. Goncharenko A.M., Logvin Yu.A., Samson A.M., Shapovalov P.S. and Turovets S.I. Ermakov Hamiltonian systems in nonlinear optics of elliptic Gaussian beams // Physics Letters A. 1991. - V. 160. - P. 138-142.

20. Hood S. A new class of solutions to a generalized nonlinear Schrodinger equation // J. Phys. A. 1998. - V. 31, No. 48. - P. 9715-9727.

21. Воробьев В.В. Самофокусировка световых пучков без осевой симметрии // Изв. вузов. Радиофизика. 1970. - Т. 13, No. 12. - С. 1905-1907.

22. Власов С.Н., Петрищев В.А., Таланов В.И. Усредненное описание волновых пучков в линейных и нелинейных средах (метод моментов) // Изв. вузов. Радиофизика. -1971. Т. 14, No. 9. - С. 1353-1363.

23. McCord A.W., Ballagh R.J., Cooper J. Dispersive self-focusing in atomic media // JOSA B. 1988. - V. 5, No. 6. - P. 1323-1334.

24. Кучеров A.H., Макашев H.K., Устинов E.B. Аппроксимация возмущений оптического пучка в условиях теплового самовоздействия // Квант, электроника. 1995.- Т. 22, No. 2. С. 187-192.

25. Pare С., Belanger P.-A. beam propagation in a linear or nonlinear lenslike medium using ABCD ray matrices: the method of moments // Opt. and Quantum Electron. -1992 . V. 24, No. 9. - P. 1051-1071.

26. Петрищев В.А. О применении метода моментов к некоторым задачам распространения частично-когерентных световых пучков // Изв. вузов. Радиофизика. 1971.- Т. 14, No. 9. С. 1416-1426.

27. Гончаренко A.M., Кукушкин В.Г., Шаповалов П.С. Рапространение световых пучков в неоднородных нелинейных средах // Квант, электроника. 1987. - Т. 14, No. 2. - С. 375-376.

28. Кукушкин В.Г. Разъюстированный лазерный резонатор с неоднородными оптическими элементами // Квант, электроника. 1987. - Т. 14, No. 2. - С. 381-383.

29. Кукушкин В.Г. Гауссов пучок света в линзоподобной среде с нелинейной комплексной восприимчивостью // Квант, электроника. 1987. - Т. 14, No. 1. - С. 197-199.

30. Бекшаев А.Я., Гримблатов В.М. Разъюстированный оптический резонатор с линзоподобной средой // Квант, электроника. 1980. - Т. 7, No. 6. - С. 1168-1179.

31. Бойцов В.Ф., Владимиров А.Г. Свойства кольцевого оптического резонатора с разъюстированной пространственно-неоднородной средой // Опт. и спектр. -1981. Т. 51, No. 4. - С. 708-713.

32. Голубков А.А., Макаров В.А. Амплитудные и поляризационные эффекты при самофокусировке лазерного излучения в средах с пространственной дисперсией нелинейности // Изв. вузов. Радиофизика. 1988. - Т. 31, No. 9. - С. 1042-1052.

33. Розанов Н.Н. Метод моментов для лазерных автосолитонов с дислокациями фазового фронта // Оптика и спектроскопия 1996. - Т. 81, No. 5. С. 877-880.

34. Ермаков В.П. // Университетские известия. Киев, 1880. - С. 1-20.

35. Гончаренко A.M., Логвин Ю.А., Самсон A.M., Шаповалов П.С. Полностью интегрируемые системы в нелинейной оптике эллиптических гауссовых пучков // Докл. АН БССР. 1990. - Т. 34, Nq. 11. - С. 990-993.

36. Бутылкин B.C., Каплан А.Е., Хронопуло Ю.Г., Якубович Е.И. Резонансные взаимодействия света с веществом. М.: Наука, 1977. - 352 с.

37. Bridges R.E., Boyd R.W., and Agrawal G.P. Effect of beam ellipticity on self-mode locking in lasers // Optics Letters 1993. V. 18, No. 23. - P. 2026-2028.

38. Канторович Jl.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984, гл. 14.

39. Мельников JI.А., Рабинович Э.М., Тучин В.В. Газоразрядные лазеры с линзопо-добными средами. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987.

40. Дербов В.Л., Мельников Л.А., Новиков А.Д. Новый метод расчета самовоздействия и его применение к анализу сдвига резонансов насыщенного поглощения в гауссовых пучках // Квант, электроника. 1987. - Т. 14, No. 12. - С. 2529-2539.

41. Casperson L.W. Gaussian light beams in inhomogeneous media // Appl. Opt. 1973. - V. 12, No. 10. - P. 2434-2441.

42. Casperson L.W. Beam modes in nonlinear lens-like media and cavities // JOSA. -1976. V. 66, No. 12. - P. 1373-1379.

43. Бергер Н.Л., Дерюгин H.A., Лукьянов Ю.Н., Студеникин Ю.Е. Открытый разъ-юстированный резонатор со сферическими зеркалами // Опт. и спектр. 1977. -Т. 43, No. 2. - С. 306-310.

44. Melnikov L.A., Derbov V.L., Bychenkov A.I., Priyutova O.M. Numerical modeling of light beam propagation in nonlinear waveguide media: effects of misalignment and inhomogeneous broadening // Proceedings of SPIE . 1997. - V. 2994. - P. 844-850.

45. Дербов В.Л., Мельников Л.А., Новиков А.Д. Асимметрия резонансов насыщения за счет линзовых и апертурных эффектов при распространении внеосевых гауссовых пучков в нелинейной среде // Квант, электроника. 1989. - Т. 16, No. 8. -С. 1652-1662.

46. Мельников Л.А., Дербов В.Л., Быченков А.И. Моделирование внеосевых гауссовых пучков с астигматизмом и кручением в нелинейной волноводной среде // Оптика и спектроскопия 1998. - Т. 85, No. 1. - С. 100-105.

47. Derbov V.L., Bychenkov A.I. Numm-ical modeling technique for waveguides : quality of modified method of moments // Proc. SPIE Physics and Simulation of Optoelectronic Devices 1998 - V. 3283. - P.915-920

48. Melnikov L.A., Derbov V.L., and Bychenkov A.I. Dynamics of a misaligned astigmatic twisted Gaussian beam in a Kerr-nonlinear parabolic waveguide // Phys. Rev. E 1999. V. 60. N. 6. P. 7490-7496.

49. Мельников JI.А., Дербов В.Л., Быченков А.И. Динамика внеосевого гауссова пучка с астигматизмом и кручением в прозрачной нелинейной волноводной среде // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1998. - Т. 6, No. 2. - С. 73-84.

50. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. М.: Мир, 1984. - 512 с.

51. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.-312 с.

52. Беспалов В.И., Таланов В.И. О нитевидной структуре света в нелинейных жидкостях // Письма в ЖЭТФ. 1966. Т. 3. С. 471.

53. Захаров В.Е., Шабат А.В. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // ЖЭТФ. 1971. Т. 61. 1(7). С. 118-134.

54. Пятахин М.В., Сучков А.Ф. Мелкомасштабная двумерная самофокусировка // ДАН СССР. 1988. Т. 299. С. 868.

55. French P.M.W. The generation of ultra-short laser pulses // Repts. Progr. Phys. 1995. V. 58. No. 2. P. 169-262.

56. Christov I.P., Stoev V.D., Murnane M.M. et al. Absorber-assisted Kerr-lens mode locking // J. Opt. Soc. Amer. B. 1998.-- V. 15, No. 10. - P. 2631-2633.

57. Christov I.P., Stoev V.D. Kerr-lens mode-locked laser model: Role of space-time effects// J. Opt. Soc. Amer. B. 1998. - V. 15, No. 7. - P. 1960-1966.

58. Barnes W.L., Andrew P. Energy transfer under control // Nature (Gr. Brit.) 1999.- V. 400, No. 6744. P. 505-506.

59. Menzel R., Ostermeyer M. Fundamental mode determination for guaranteeing diffraction limited beam quality of lasers with high output powers // Opt. Coramun.- 1998. V. 149, No. 4-6. - P. 321-325.

60. А.А.Самарский Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

61. Г.И.Марчук Методы расщепления. М.: Наука, 1988.

62. K.Boucke, H.Schmitz, H.-J.Kull Radiation conditions for the time-depended Schrodinger equations: Application in strong-field photoionization//Physical Review A 1997. V. 56. P. 763-771.

63. C.W.McCurdy and C.K.Stroud Eliminating wavepacket reflection from grid boundaries using complex coordinate countours //Computer Physics Communication 1991. V. 63. P. 323-330.