Расчет дифракции монохроматического излучения на спиральных фазовых пластинках и аксиконах, формирующих сингулярные лазерные пучки тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Ковалев Алексей Андреевич

РАСЧЕТ ДИФРАКЦИИ МОНОХРОМАТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НА СПИРАЛЬНЫХ ФАЗОВЫХ ПЛАСТИНКАХ И АКСИКОНАХ, ФОРМИРУЮЩИХ СИНГУЛЯРНЫЕ ЛАЗЕРНЫЕ ПУЧКИ

01.04.05 -Оптика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 5 СЕН 2011

Самара-2011

4853056

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)» (СГАУ) на кафедре технической кибернетики и в Учреждении Российской академии наук Институте систем обработки изображений РАН

Научный консультант доктор физико-математических наук, профессор

Котляр Виктор Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, в.н.с.

Абрамочкин Евгений Григорьевич

доктор физико-математических наук, доцент Ежов Евгений Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор Ивахник Валерий Владимирович

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Институт автоматики и электрометрии Сибирского отделения РАН

Защита состоится «_7_» октября 2011 г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.215.01, созданного при государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)», по адресу: 443086, г. Самара, Московское шоссе, д. 34

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГАУ.

Автореферат разослан « 30 » августа 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

К.Т.Н., профессор т,ЪпрО0/7 В.Г.Шахов

Общая характеристика работы

В диссертации теоретически исследуется дифракция (параксиальная, непараксиальная и векторная) когерентного света на спиральной фазовой пластинке, спиральном аксиконе и логарифмическом спиральном аксиконе.

Актуальность темы. В последние несколько лет происходит выделение в отдельный раздел («сингулярная оптика») раздела оптики, занимающегося исследованием сингулярных пучков - световых пучков с фазовыми особенностями. Частным случаем таких пучков являются вихревые лазерные пучки, обладающие орбитальным угловым моментом, и формируемые, например, при прохождении света через спиральную фазовую пластинку (СФП) (А.Е. Березный, A.M. Прохоров, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер, 1984).

Вихревым пучкам посвящены многочисленные исследования и публикации как российских учёных-оптиков, так и их зарубежных коллег. В последнее время активно изучаются свойства подобных пучков на основе мод Бесселя, Лагерра-Гаусса (ЛГ), Эрмита-Гаусса (ГЭ) и других (S. Sato, 2009).

Область применения оптических вихрей постоянно расширяется. В частности, в задачах нанофотоники их предлагается использовать для манипулирования микро- и нанообъектами (М. Dienerowitz, 2008). Использование оптических вихрей в фотолитографии позволяет достичь разрешения X/ 10 (X - длина волны света). (M. Levenson, 2003). К числу других применений оптических вихрей относится, например, интерферометрия (A. Jesacher, 2006). С помощью спиральных фильтров выполняется контрастирование и рельефное изображение фазовых объектов нанометрового размера (S. Bernet, 2006). СФП используется также в звездном коронографе, в котором свет от яркой звезды преобразуется в кольцо и диафрагмируется, а слабый свет от планет этой звезды проходит через диафрагму и регистрируется. (Т. van Dijk, 2009). СФП также применяется для оптического выполнения радиального преобразования Гильберта (В.В. Котляр, 1992, J.A. Davis, 2001). Фазовые дислокации представляют собой перспективное средство в метрологии, информация об объекте может быть определена с очень высокой точностью (В.П. Тычинский, 2008). На этом подходе основывается метод оптико-вихревой метрологии, успешно примененный в оптико-вихревом интерферометре, позволяющем отслеживать смещение объектов с нанометрической точностью (W. Wang, 2006).

1. Впервые СФП была рассмотрена в 1984 году (В.А. Сойфер, 1984) как элемент Бессель-оптики. В 1992 году СФП была изготовлена как амплитудная решетка с «вилкой» (V.Yu. Bazhenov, 1992), как радиально-спиральная амплитудная решетка (N.R. Heckenberg, 1992) и без несущей пространственной частоты как фазовый элемент (S.N. Khonina, 1992). Ранее теоретически рассматривалась дифракция неограниченной плоской волны на СФП (V.V. Kotlyar, 2005). Однако дифракция плоской волны, ограниченной круглой диафрагмой, на СФП не была рассмотрена. Также не было показано, что комплексная амплитуда света при дифракции на СФП выражается через гипергеометрические функции.

2. Аксикон известен с 1954 года (J.H. McLeod, 1954). Это стеклянный конус, который освещается со стороны основания, а оптическая ось проходит вдоль высоты конуса. Он, как правило, используется в оптике для создания узкого «бездифракционного» лазерного пучка или совместно с линзой для формирования узкого кольцевого распределения интенсивности света. При совмещении аксикона со спиральной фазовой пластинкой получается оптический элемент, называемый спиральным акси-коном. Впервые дифракционный спиральный аксикон (CA) был изготовлен по техно-

логии фотолитографии и экспериментально использован для формирования Бесселевых пучков высших порядков в 1992 году (S.N. Khonina, 1992). СА в комбинации со сферической линзой был изготовлен немного ранее с помощью отбеливания на желатине и был использован для фокусировки в кольцо с устранением центрального максимума (В.Г. Волостников, 1992).

В некоторых работах предприняты попытки математически описать дифракцию света на аксиконе. В частности, было получено выражение для поля в каустике акси-кона (И.Г. Пальчикова, 1986), однако аксикон рассматривался не спиральный, и использовался метод стационарной фазы, который подходит только для случая малых длин волн. Была также получена приближенная формула для распределения интенсивности в окрестности фокуса (С. Zapata-Rodriguez, 2006). Там также исследовался не спиральный аксикон. Явных аналитических выражений, описывающих дифракцию когерентного света на СА получено не было.

3. Лазерные пучки с радиальной поляризацией используются для острой субволновой фокусировки. Ранее распространение радиально-поляризованных пучков рассматривалось без оптических вихрей (G. Wu, 2007).

Однако не были получены явные аналитические выражения для радиальной, азимутальной и осевой проекций вектора напряженности электрического поля, возникающего при непараксиальной дифракции Гауссовых оптических вихрей с начальной радиальной и азимутальной поляризациями.

4. При изготовлении СФП по технологии литографии получается ступенчатый микрорельеф. Многоуровневые СФП исследовались ранее (К. Sueda, 2004), но в прежних работах СФП анализируется с помощью разложения в ряд по угловым гармоникам. Однако не было получено аналитического выражения (не в виде ряда) для —ия дифракции Фраунгофера плоской волны на многоуровневой (квантованной)

5. В современных научных исследованиях интерес к различным типам лазерных пучков заметно возрос. Например, продолжаются исследования хорошо известных мод Лагерра-Гаусса (М. Gao, 2007). Было рассмотрено (V.V. Kotlyar, 2007) новое семейство параксиальных лазерных пучков - гипергеометрические моды. Однако теоретически не было сделано обобщение гипергеометрических мод и не были получены гипергеометрические лазерные пучки.

6. В последнее время возрос интерес к точным решениям параксиального уравнения типа Шредингера в цилиндрической системе координат. Недавно были открыты гипергеометрические-гауссовые пучки (Е. Karimi, 2007). Однако аналогичных непараксиальных гипергеометрических лазерных пучков, которые получаются как решения уравнения Гельмгольца, получено не было.

7. Известны работы, в которых показана самофокусировка кольцевых лазерных пучков (Y. Shin, 2001). Но не было показано, что непараксиальные векторные гипергеометрические лазерные пучки с топологическим зарядом п = 0, 1 также обладают свойством самофокусировки (то есть смещением перетяжки от начальной плоскости).

8. Интерес к фокусировке лазерного света в продольный осевой отрезок, в том числе с субволновым диаметром, не ослабевает (М.К. Bhuyan, 2010). Численно показано, что вблизи вершины стеклянного аксикона при определенных параметрах может возникнуть субволновое фокусное пятно диаметром FWHM = 0,30X (V.V. Kotlyar 2010). Было также установлено, что при прохождении через логарифмический акикон (ЛА) осевая интенсивность вдоль отрезка в среднем более постоянная, в отличие от конического линейного аксикона (L.R. Staronski, 1992), у которого средняя интенсивность растет вдоль осевого отрезка. Но не были получены аналитические выражения

ГЧеХГ„^.К°МПЛСКС"0Й аМПЛИТУДЫ ДИФР™ Г^СС0Ва "У™ » —р„ф-

кш!Л„ГГе ВРеМЯ В03Р0С ИНТереС К ПЛаиаР"ым градиентным и фотонно-кристаллнческнм линзам, которые способны обеспечить субволновую фокусировку

лазерного света (X. Wang, 2004). Часто в качестве планарной градиГнои линзы используется линза, показатель преломления которой зависит от поперечной коорди"а-ть. как гиперболический секанс (ГС). ГС-линза Микаэляна является частньш случа м градиентного волновода Эпштейна. Задача распространения света в ГС-волноТде и

**ZZPoZZC: " ГС0МеТР00ПТИЧССК0М и волновом (W- Streifer, 1967) приближениях. Однако не было показано, что моды планарного ГС-волновода могут быть выпажены через многочлены Якоби, и что любая композиция ТЕ-мод ГС^лновода периодически повторяется при распространении.

Целью диссертационной работы является теоретическое исследование дифракции когерентного света на спиральной фазовой пластинке, спирГном

аксиконе и логарифмическом спиральном аксиконе иральном

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации-УЧИТЬ »аналитические выражения для описания скалярной дифракции ной картины"" На ' а ТаКЖе УСТаН0ВИТЬ СВ0ЙСТВа Ф°рмирук>щейся дифрГкциГ

2. Получить явные аналитические выражения для описания скалярной дифракции плоской волны на СА. Исследовать влияние аксикона на картину дифракции ш СФП

11апУ™1ь явные аналитические выражения для векторной дифракции Гауссова пучка с различным состоянием поляризации „а СФП. Исследовать фокусиропку р ди-ально поляризованных Гауссовых пучков. ' у 1Д

4. Получить явные аналитические выражения для описания дифракции Фраунго-фера плоской волны на квантованной СФП. Установить свойства оптических вихрей формирующихся при дифракции на СФП с малым числом уровней квантования

алькпй ™лИТЬ """Г а,1аЛИ™ЧеСКИе »«ражена. Для описания скалярной параксиальном дифракции Френеля и установить свойства гипергеометрических лазернь"х пучков и мод, формирующихся при прохождении Гауссова пучка с амплитудой степенной составляющей через спиральный логарифмический аксикон

6. Получить явное выражение для непараксиальной дифракции гипергеометрических лазерных пучков в свободном пространстве. Р

7. Получить явные аналитические выражения для трех проекций вектора натяженности электрического поля гипергеометрического лазерного пучка в слабомТпа-раксиальном приближении. Исследовать фокусировку гипергсометричсских пучков

„пгяп "0ЛуЧИТЬ ВЬГражение да" дифракции Френеля Гауссова пучка на спиральном логарифмическом аксиконе (ЛА), а также для эффективного радиуса картины ди-

щьюГ: ИССЛеД°ВаТЬ в°змож„ость преодоления дифракционного предела с помо-

9. Получить явные выражения для мод планарного гиперболического секансного

2сТоГезка?сТЛИТЬ ВеЛИЧИНУ ПерИ°Да ТаЛЬб°Та- Установить изображающие свойства отрезка 1 С-волновода.

Научная новизна работы.

В диссертационной работе впервые получены следующие результаты-

опи ;.1°,Ге"Ы ЯВНЬШ анали™ческие выражения для комплексной амплитуды света, описывающей скалярную дифракцию на спиральной фазовой пластинке (СФП) В случае освещения СФП плоской волной учтена ее ограниченность круглой диафраг мои (раньше это учитывалось только для СФП первого порядка). В случае освещения

Гауссовым пучком комплексная амплитуда выражена через гипергеометрическую функцию, что позволило рассмотреть дифракцию Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей и обобщить известные выражения для оптических вихрей.

2. Получены явные аналитические выражения для комплексной амплитуды света, описывающей скалярную дифракцию плоской неограниченной и ограниченной круглой диафрагмой волн на спиральном аксиконе. Использование спирального аксикона позволило управлять контрастом периферийных колец на дифракционной картине оптического вихря, изменяя параметр аксикона.

3. С помощью вычисления интегралов Рэлея-Зоммерфельда в слабом непараксиальном приближении получены явные аналитические выражения для амплитуды трех компонент вектора напряженности электрического поля, описывающей дифракцию Гауссова пучка на СФП с произвольным целым топологическим зарядом п. Рассмотрено прохождение через СФП Гауссова пучка с радиальной и азимутальной начальной поляризацией (ранее радиально поляризованные Гауссовы пучки рассматривались в свободном пространстве без СФП). Полученные выражения позволили обосновать формирование радиально и азимутально поляризованных световых пучков при интерференции Гауссовых оптических вихрей с правой круговой поляризацией и п = -1 и левой круговой поляризацией и п = +1, а также необходимость использования СФП с единичным топологическим зарядом для фокусировки в пятно, а не кольцо.

4. Получены явные аналитические выражения для комплексной амплитуды света, описывающей скалярную параксиальную дифракцию Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП. Новизна состоит в том, что рассматривалась СФП в форме правильного многоугольника, состоящего из конечного числа треугольных секторов с постоянной фазой в каждом из них. Это позволило показать, что оптические вихри можно сформировать при прохождении плоской волны света через СФП всего с тремя или четырьмя уровнями квантования, которая является более простой в изготовлении по сравнению с непрерывной СФП.

5. Рассмотрено трехпараметрическое семейство гипергеометрических лазерных пучков, комплексная амплитуда которых является решением параксиального уравнения Гельмгольца и пропорциональна функции Куммера. Гипергеометрические лазерные пучки формируются при прохождении Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей через логарифмический аксикон, совмещенный с СФП.

6. Найдено решение уравнения Гельмгольца, которое описывает распространение гипергеометрических лазерных пучков в свободном пространстве без использования параксиального приближения. Это семейство решений выражается через произведения двух линейно-независимых решений уравнения Куммера, и описывает световые поля, распространяющиеся как в прямом, так и в обратном направлении вдоль оптической оси. Эти пучки являются еще одним примером непараксиальных оптических вихрей или сингулярных световых полей с радиальной симметрией поперечной интенсивности и винтовой (спиральной) фазой.

7. Рассмотрены векторные гипергеометрические лазерные пучки, для которых получены аналитические выражения для амплитуд трех проекций вектора напряженности электрического поля. Также получены формулы для осевой интенсивности таких пучков с нулевым и единичным топологическим зарядом. Эти формулы позволили обнаружить смещение положения перетяжки пучка от начальной плоскости и определить величину этого смещения.

8. Получено явное аналитическое выражение для комплексной амплитуды света, описывающей дифракцию Френеля Гауссова пучка на спиральном логарифмическом аксиконе. Это позволило оценить эффективный радиус картины дифракции, обосно-

вать уменьшение этого радиуса с ростом модуля отрицательного параметра аксикона, и показать с помощью моделирования возможность формирования субволнового фокусного пятна с диаметром, равным одной пятой длины волны.

9. Получены явные выражения для комплексных амплитуд ТЕ и ТМ мод планар-ного гиперболического секансного (ГС) волновода. Новизна состоит в выражении амплитуды ТЕ мод через полиномы Якоби, а также в том, что показано наличие периода

альоота для ТЕ-поляризованного излучения и отсутствие такового для ТМ-поляризованного. Отрезок ГС-волновода (ГС-линза) рассмотрен в качествГизобра-жающеи системы с субволновым разрешением и предложено для увеличения разрешения вместо интенсивности регистрировать проекцию вектора Умова-Пойнтанга на оптическую ОСЬ. "читана

Практическая ценность работы.

Полученные в диссертационной работе результаты имеют также и прикладное значение. Полученные аналитические выражения могут применяться при расчетах и моделировании в таких оптических задачах, как

-создание оптических ловушек, в которых осуществляется захват диэлектрических микрочастиц в световое кольцо и вращение по нему;

-создание устройств оптической обработки изображений, в котором спиральный оптическии элемент может использоваться в качестве пространственного фильтра для

подчеркивания контуров на оптическом изображении-

-субволновая фокусировка лазерного излучения с помощью логарифмического аксикона или гиперболической секансной линзы.

Положения, выносимые на защиту.

1. При скалярной дифракции на спиральной фазовой пластинке (СФП) с целым топологическим зарядом п формируется световое поле, комплексная амплитуда кото-Г™ИТаеТСЯ "^геометрической функцией при дифракции плоской волны и функцией Куммера при дифракции Гауссова пучка. В случае дифракции Фраунгофера ™ ограниченной плоской волны комплексная амплитуда оптического вихря также пропорциональна конечной сумме функций Бесселя, а в случае дифракции Френеля Гауссова пучка - сумме двух модифицированных функций Бесселя

2. В случае дифракции Фраунгофера плоской волны, ограниченной круглой диафрагмой, на спиральном аксиконе (СА) комплексная амплитуда света описывается рядом из гипергеометрических функций ,Г2(в, Ъ, с, г). При дифракции Френеля Гауссова пучка на СА комплексная амплитуда описывается рядом из функций Куммера

(вырожденных гипергеометрических функций). Использование аксикона совместно с СФП позволяет сформировать дифракционную картину с низким контрастом периферииных колец. ^

3. При векторной дифракции света на СФП комплексная амплитуда описывается конечной суммой из функций Бесселя (в случае параксиальной дифракции Фраунгофера плоской волны с эллиптической поляризацией) и линейной комбинацией двух модифицированных функций Бесселя (для дифракции Гауссова пучка как с эллипти-ческои, так и с радиальной поляризацией). В случае начальной радиальной поляризации Гауссова пучка положение фокуса оказывается смещенным от геометрического в сторону перетяжки.

4. При дифракции Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП в фооме правильного многоугольника световое поле описывается конечной суммой плоских волн. В случае треугольной или квадратной СФП с тремя или четырьмя уровнями фазы в центре дифракционной картины в области размером, равным диску Эйри формируется оптическии вихрь с единичным топологическим зарядом

5. При прохождении Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей через спиральный логарифмический аксикон формируется световой пучок, комплексная амплитуда которого в зоне дифракции Френеля описывается функцией Куммера (вырожденной гипергеометрической функцией). При наличии амплитудной особенности в начале координат эти световые пучки переходят в гипергеометрические моды, сохраняющие при распространении вид кольцевой интенсивности в поперечном сечении, меняясь только масштабно. Пространственная частота светлых колец на дифракционной картине линейно возрастает при удалении от оптической оси.

6. Комплексная амплитуда гипергеометрического лазерного пучка в непараксиальном приближении описывается произведением двух линейно-независимых решений уравнения Куммера.

7. В слабом непараксиальном приближении амплитуды трех проекций вектора напряженности гипергеометрического лазерного пучка описываются функциями Куммера. При распространении такого пучка с нулевым или единичным топологическими зарядами в свободном пространстве происходит самофокусировка, заключающаяся в смещении перетяжки пучка (области с максимальной осевой интенсивностью) от начальной плоскости.

8. При дифракции Френеля Гауссова пучка на спиральном логарифмическом ак-сиконе размер формируемого светового пятна находится в обратной зависимости от параметра аксикона. С помощью логарифмического аксикона может быть осуществлена субволновая фокусировка Гауссова пучка сразу за аксиконом.

9. Комплексная амплитуда ТЕ и ТМ мод пленарного гиперболического секансного волновода описывается соответственно полиномами Якоби и Гауссовыми гипергеометрическими функциями. Для ТЕ мод существует период Тальбота, через который дифракционная картина самовоспроизводится. Планерная гиперболическая секансная линза, являющаяся отрезком гиперболического секансного волновода, позволяет разрешить по критерию Рэлея два когерентных точечных источника, разделенных расстоянием равным 0,15 длины волны света.

Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертационную работу, представлялись на 11 конференциях, в том числе на 9 международных и двух всероссийских: Международная конференция SPIE «Photon Management II» (Strasbourg, France, 2006); Международная конференция «ICO Topical Meeting on Optoinformatics / Information Photonics» (г. Санкт-Петербург, Россия, 2006); Международная конференция SPIE «Nanoengineering: Fabrication, Properties, Optics, and Devices III» (San Diego, CA, USA, 2006); XXVI Школа по когерентной оптике и голографии (Иркутск, Россия, 2007); Международная конференция «Optics, Photonics and Metamaterials -2009» (Харьков, Украина, 2009); Международная конференция молодых ученых и специалистов «Оп-тика-2009» (Санкт-Петербург, Россия, 2009); Международная конференция SPIE «Ор-tical Technologies for Telecommunications 2009» (Самара, Россия, 2009); Международная конференция «Optical Techniques and Nano-Tools for Material and Life Sciences» (Минск, Беларусь, 2010); Седьмая международная конференция «ГОЛОЭКСПО-2010» (HOLOEXPO-2010), XXVII Школа по когерентной оптике и голографии (Москва, Россия, 2010); Международная конференция с элементами научной школы для молодежи «Перспективные информационные технологии для авиации и космоса» (Самара, Россия, 2010); II Всероссийский научный семинар «Оптика нано- и микроструктур» (Самара, Россия, 2010).

Личный вклад автора. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Также автор самостоятельно проводил моделирование и сравнение

экспериментальных данных с результатами моделирования. Постановка задач и обсуждение результатов проводились совместно с научным консультантом.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 33 статьях в реферируемых отечественных и зарубежных журналах, а также в материалах 11 научных конференций.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка цитируемой литературы (201 наименований). Работа изложена на 249 страницах и содержит 98 рисунков и 5 таблиц.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы ее цель и задачи, дан краткий обзор научных работ по рассматриваемым вопросам, показана научная новизна полученных результатов, приводятся положения, выносимые на защиту, и описана структура диссертации.

В первой главе рассматривается скалярная дифракция некоторых световых полей на СФП (рис. 1). Рассмотрим дифракцию Фраунгофера плоской волны единичной амплитуды конечного радиуса Я на СФП. Плоская волна с волновым числом к = 2п/Х, где X - длина волны, описывается комплексной амплитудой при г = 0:

Е0(г,<р) = скс1(г/Я), (1)

где (г, ф) - полярные координаты, с!гс1(л:) = 1 при |х| < 1, с!гс1(дг) = 0 при ¡д:| > 1 . Пусть плоская волна (1) падает на СФП с функцией пропускания т(<р) = ехр(т<р), где п = 0,1,2... - номер СФП. Картина дифракции Фраунгофера плоской волны (1) на СФП формируется в задней фокальной плоскости сферической Фурье-линзы с фокусным расстоянием/и описывается комплексной амплитудой:

I

Рис. 1. Спиральная <] зовая пластинка

Е.{р,в) =

(-/)"+'exp(wfl) kR2

(п + 2)п!

kRp Y 2 f)

где (р, в) - полярные геометрическая функция:

/

координаты

Л

п+2 п+4

,п +1,-

2 2 в Фурье-плоскости,

(2)

kRp) 2/1

F2(a, b, с, х) — гипер-

Fia а Ь Ь =

где (а)к = Г(а + к) / Г (а) - символ Похгаммера, Г(а) - Гамма-функция:

Из (2) видно, что дифракционная картина состоит из набора концентрических колец. Радиус первого светлого кольца равен р„ = XfaJ(nR), где а„ - некоторая постоянная, зависящая только от номера СФП.

Кроме формулы (2), комплексная амплитуда светового поля для дифракции Фраунгофера ограниченной плоской волны на СФП п-го порядка может быть выражена через конечную сумму функций Бесселя:

(л-2)/2

\~J0{y)-2 X J>jy)

v ' kp2

(„-l)/2

\j0{t)dt- 2 2

~ yJ„-\(y),n = 2m, yJn_, (y),n = 2 m +1,

(3)

гдеу = кЯр//, ЛО) - функция Бесселя п-го порядка первого рода, а £./„(/)<# выражается через функции Струве.

Рассмотрим теперь дифракцию Френеля ограниченной плоской волны на СФП Параксиальная дифракция волны (1) на СФП будет описываться выражением

2 ("«о

£„(p,6>,z) = ex р iizo/z)

iz0p

+ inO

i(2w + « + 2)!w!

2w + n + 2 2m + « + 4

(4)

где z0 - IcR /2- длина Рэлея, p = p/R. Уравнение (4) отличается от (2) тем, что гипергеометрические функции 1F2 появляются как слагаемые ряда. Из уравнения (4) видно что с ростом z в значение суммы будут давать вклад только несколько первых членов ряда, а в дальней зоне (z со) вклад в амплитуду будет давать только первый член при т = 0, который совпадает с (2).

На рис. 2 показаны экспериментальная и расчетная картины дифракции на СФП (п = 3) плоской волны с радиусом Л =1,25 мм и длиной волны X = 633 нм на расстоянии z = 80 мм. Нарушение круговой симметрии связано со смещением центра СФП от центра круглой диафрагмы. По виду спирали на рис. 2 можно определить знак ±п.

Для плоской волны с теми же параметрами картина дифракции Фраун-гофера, полученная с помощью CCD-камеры в фокусе линзы <f= 150 мм), показана на рис. 3. Среднеквадратичное отклонение теоретических и экспериментальных кривых составило 14,3%.

Более простое выражение для оптического вихря в дальней зоне получается, если СФП расположить в перетяжке Гауссова пучка. Тогда комплексная амплитуда исходного светового поля будет иметь вид:

арПШь*. »йШИб)! _

Рис. 2. Картина дифракции Френеля плоской волны с радиусом Я = 1,25 мм и длиной волны X = 633 нм на расстоянии г = 80 мм от СФП: эксперимент (а) и теория (б)

р;мм

а)

Рис. 3. Картина дифракции Фраунгофера на СФП: распределение интенсивности (негатив) (а), вертикальное сечение интенсивно-

nog

(г,ф) = ех р

—г- + тф w

(5)

где м> - радиус перетяжки Гауссова пучка, а комплексная амплитуда в зоне

сти (б) (-теория, --*-*_-эксперимент) диФРакции Фраунгофера (в фокальной

плоскости сферической линзы с фокусным расстоянием]) будет иметь вид:

E:h {Р'в) = ехР

-/'—(п + \) + тв - у

(у)

где

у (V2)[kwp! (2/)] , /(„±1)/2(у) - модифицированная функция Бесселя.

Из уравнения (6) видно, что в центре Фурье-плоскости интенсивность будет равна нулю (и * 0). Сомножители у ехр(-2У) в интенсивности показывают, что в дальней зоне формируется кольцевое распределение интенсивности. Радиус первого кольца можно найти из уравнения: (и - 4у)1^т(у) + (п + 4у)/,„+1)/2(у) = 0.

В случае дифракции Френеля Гауссова пучка на СФП комплексная амплитуда также выражается через сумму двух функций Бесселя второго рода. Ниже приводится выражение для той же комплексной амплитуды, но через вырожденную гипергеометрическую функцию:

Е,щ (р,6) = ехр

-г—(п +1) + тв + 2 2г

¡к 2г

п + 2

2г п\

кр

ПА- 2

где ГОс)

1^1 (а, Ь, х) -

ЛВт/м2

функция Куммера.

На

(7)

-500 0 500 Рис. 4. Дифракция Фра- Рис. 5. Дифракция Гаус-

унгофера Гауссова пучка сова пучка на СФП:-

(радиус перетяжки экспериментальное и м> = 0,8 мм) на СФП по- —*—* теоретическое рас-рядка п = 2 пределения интенсивно-

сти в сечении картины на рис. 4

рис. 4 показано экспериментальное распределение интенсивности в фокальной плоскости сферической линзы с фокусным расстоянием /=135 мм. Длина волны лазерного пучка была равна X = 0,633 мкм. Кольцевое распределение интенсивности на рис. 4 получено в результате дифракции Гауссова пучка с радиусом перетяжки = 0,8 мм на СФП второго порядка (л = 2).

На рис. 5 показано сравнение теоретического и экспериментального профиля кольцевого распределения интенсивности, показанного на рис. 4. Из рис. 5

видно, что экспериментальная и теоретическая кривые хорошо согласуются.

Исходные световые поля (1) и (5) интересны с практической точки зрения, так как могут быть реализованы с помощью фазовых дифракционных оптических элементов, а Гауссов пучок - является основной модой лазерных источников. Рассмотрим теперь другие оптические вихри, которые описываются более простыми функциями (например одной функцией Бесселя первого рода), хотя сформировать такие «простые» оптические вихри можно только с помощью световых полей со степенной амплитудной. Пусть комплексная амплитуда исходного светового поля имеет вид:

(8)

Комплексная амплитуда, описывающая дифракцию Фраунгофера поля (8), будет иметь вид:

Е„л (р, в) = ехр -/у(и +1) + тв

кЯ

I /

(9)

где У - кЯр!/. Первое нулевое кольцо интенсивности на картине дифракции будет на расстоянии от центра равном А.о = У„+],МЩ, где у„+1, - первый нуль функции Бесселя

Радиус первого кольца (максимума интенсивности) вихря можно найти из уравнения (У) = У„+1 (У), где (У) - производная функции Бесселя.

Во второй главе рассматривается скалярная дифракция на спиральном аксиконе (СА). В качестве освещающего поля сначала рассматривается неограниченная плоская волна, а затем волна, ограниченная круглой апертурой. Рассматривается также дифракция Гауссова пучка на СА.

Функция пропускания СА имеет вид /„(г,в) = ехр(/аг + тв), п = 0,±1,±2,..., где (г, в) - полярные координаты, а- параметр аксикона, п - номер СФП.

В случае дифракции Фраунгофера плоской неограниченной волны на СА комплексная амплитуда света в полярных координатах будет иметь вид:

а<р,

(10)

,а>р,

где (р, ф) - полярные координаты в Фурье-плоскости, р = кр//,к= 2п/Х - волновое число, X - длина волны,/- фокусное расстояние линзы.

Из (10) видно, что в Фурье-плоскости формируется световое кольцо радиусом ро-аАк с бесконечной плотностью энергии. На рис. 6а показан вид функции интенсивности для разных значений номера п (к!/= 1 мм'2).

р,мм

аЧ — 2 2'5 т 2 2-5 " ч

а> б) в)

Рис. 6. Радиальное распределение интенсивности в Фурье-плоскости при дифракции плоской волны на СА (ог= 2 мм"1, *//= 1 мм"2): (а) апертура - бесконечная, различные порядки сингулярности п: 0 (кривая А), 3 (кривая В) и 5 (кривая С), (б) апертура конечна (К - 35 мм), различные порядки сингулярности и: 0, 3, 5, 10 (кривые А, В, С и О), и (в) порядок сингулярности п = 3, различные апертуры - бесконечная (кривая А), Я = 50 мм, 35 мм, и 20 мм (кривые В, С, и Б) На рис. 66, в показаны результаты численного моделирования дифракции Фраунгофера плоской волны конечного радиуса Л на СА. Показана зависимость распреде-

ления интенсивности I, вычисленной с помощью преобразования Фурье, от радиальной переменной р (размерность пространственной частоты). Из рис. 66 видно, что с ростом порядка СА п происходит незначительное уменьшение максимального значения интенсивности на главном кольце (при р = 2мм"1) из-за незначительного расширения кольца, и незначительного сдвига макимальной интенсивности в сторону больших значений радиальной переменной р .

Из рис. бе видно, что уменьшение радиуса Л приводит к расширению главного кольца на дифракционной картине и уменьшению максимального значения интенсивности (самое узкое распределение соответствует бесконечному радиусу). Радиус кольца остается почти неизменным.

5000

3000

1000 о"

£,Вт/мг

р,мм

-1000 -500 0 500 1000 Рис. 7. Дифракция плоской волны на СА:-экспериментальное и —*—* теоретическое сечения распре- СУЮТСЯ-

На рис. 7 показано сравнение теоретического и экспериментального профилей кольцевого распределения интенсивности. Экспериментальная картина дифракции была получена в фокальной плоскости сферической линзы с фокусным расстоянием /= 135 мм в при прохождении плоской волны радиуса й = 2,5 мм через дифракционный аксикон с параметром а= 44,5 мм"1 и СФП пятого порядка (п = 5). Длина волны лазерного пучка была равна Я = 0,633 мкм, мощность - один милливатт.

Радиус кольца на рис. 7 приблизительно равен оценке из выражения (10): р0 = а/1к= 605 мкм. Из рис. 7 видно, что экспериментальные и теоретические кривые согла-

деления интенсивности

Рассмотрим скалярную параксиальную дифракцию плоской волны конечного радиуса Я с комплексной амплитудой (1) на СА с параметрами а и п. Тогда комплексная амплитуда света Р„(р, в) в фокальной плоскости идеальной сферической линзы с фокусным расстоянием/имеет вид:

(-;')"+1ехр(ш0) (кЯрЛ

п\ 1 / J 1 /

х£

(«аД)"

(т + п + 2)т\1

т + п+2 т + п + 4 ( кЛр

-,-,и + 1,- ——

2 2 [2/

(П)

где (р, в) - полярные координаты в плоскости дифракции Фраунгофера, к = 2п/к -волновое число, а, Ъ, с, л) - гипергеометрическая функция.

Из выражения (11) следует, что картина дифракции представляет собой набор концентрических колец. Радиусы р1 локальных максимумов и минимумов картины дифракции должны удовлетворять выражению: р, = Л//,/(я-Д), где у/ - постоянные,

зависящие только от номера кольца / = 1,2,... картины дифракции.

Вместо ряда (11), состоящего из гипергеометрических функций, можно получить для комплексной амплитуды, описывающей дифракцию Фраунгофера плоской волны радиуса Д на СА, выражение в виде ряда из функций Бесселя:

/ т-О

где р-кр//, ^+„(х) - функция Бесселя, ит(х) и 1Г„,(х) - полиномы Чебышева второ-

го рода и их производные.

2-

0

т

К*

Из этого выражения при а= О следует выражение для комплексной амплитуды дифракции Фраун-гофера плоской волны конечного радиуса на СФП (3).

На рис. 8 показаны рассчитанные модули амплитуды \Е„(р, в)\

> ->- и; 1,5 радиальных сечений картин дифра-

Рис. 8. Рассчитанные модули комплексной ам- КЧИИ Фраунгофера (/'=100 мм) пло-плитуды от радиальной координаты при разных ской волны радиуса Л = 1 мм и с номерах СФП: п = 16 (а), п = 50 (б) длиной волны X = 633 нм на СФП с

номерами п = 16,50. Из рис. 8 видно что с ростом п уменьшается контраст боковых лепестков графика модуля амплитуды

Для координаты р, первого максимума амплитуды \Еп(рп 0)\ (радиус «воронки») можно получить приближенное равенство: pv а г„//{кЯ), где уп = [ + /я ^2, у„ 1

и у'п. 1 - первые корни функции Бесселя «-го порядка и ее производной

Далее рассмотрим скалярную параксиальную дифракцию на спиральном аксиконе (с параметрами пи а) Гауссова пучка с радиусом перетяжки м> и комплексной амплитудой (5). В этом случае дифракция Френеля описывается выражением:

К(рЛг)

ехр

тв + ¡кг +

¡кр1

у-т/2

т + п + 2

А

2г т + п + 2

к£ 2г

,п +1,—

.-(»+2)/2

кр

(13)

О) ~ полярные координаты в плоскости 2, к= 2п/Х - волновое число, у = \Ыг-М(2г). Из (13) следует, что картина дифракции представляет собой набор концентрических колец. Радиусы р, локальных максимумов и минимумов картины дифракции

должны удовлетворять выражению р, ^га./г^Х + гЦг^, где а, - постоянные,

зависящие только от номера кольца /=1,2,... картины дифракции и параметра а, 20 - к» /2 - длина Рэлея. При 2 -> со (2 » 20), из выражения (13) следует соотношение для комплексной амплитуды дифракции Фраунгофера Гауссова пучка на СА (у= \Ы):

Рп(р,в,г^усо) =

„у ('«"Г Т(т + п ГЙ т\ 2

2" И ¡2 + 2

тв + ¡кг +

А

где Ь, х) - функция Куммера.

ехр

т + п + 2

¡кр' 2г

,п +1,-1

£оР гм 2

0,8^|F8(p)|

р,мм

a)

б)

0,4-

0,8-||Fs(p)| 0,4-

На рис. 9 показан радиальный профиль картины дифракции Френеля (при 2 = 200 мм) Гауссова пучка с радиусом перетяжки ы = I мм и длиной волны X = 633 нм на спиральном аксиконе (п = 8) с параметром а=20ммч(а), а=50ммч(б). Видно, что радиус главного максимума модуля амплитуды увеличивается с ростом значения а.

Используя слабый аксикон совместно с СФП, можно подавлять боковые лепестки на дифракционной картине без уменьшения прошедшей энергии света и без увеличения радиуса кольца на дифракционной картине. Эксперимент с использованием программируемого жидко-кристаллического дисплея (ЖКД) это подтверждает (рис. 10). Как в эксперименте, так и в моделировании, была рассмотрена апертура радиусом Л = 4,6 мм и СФП с п = 10. Картина дифракции Фраунго-фера исследовалась в задней фокальной плоскости сферической линзы с фокусным расстоянием /= 2 м. Было обнаружено существенное снижение контраста боковых лепестков при а = 0,584 мм"1 (рис. 106).

р.мм

1;5 Г г;5

Рис. 9. Амплитуда ]Г„(р, 0)\ на расстоянии х = 200 мм для Гауссова пучка (X = 633 нм, -и> = 1 мм) на СА (п = 8): а =20 мм"1 (а), а= 50 мм"1 (б)

д) о ТОО 200 ЗОО -too О IDO ZOO ЭОО 400

Рис. 10. Дифракция Фраунгофера плоской волны на СФП (и = 10) (а) и на СА (п = 10, а = 0,584 мм"1, по горизонтальной оси - отсчеты): жирная кривая - теория, тонкая

кривая - эксперимент.

В третьей главе на основе интегралов Рэлея-Зоммерфельда и его приближений рассматривается векторная дифракция плоской волны и Гауссова пучка на СФП.

Сначала рассматривается параксиальное векторное приближение. В случае, когда в плоскости г = 0 расположена СФП и-го порядка радиуса Я и линза с фокусным расстоянием/ в геометрическом фокусе линзы, т.е. при г =/, получим выражения:

' ¡к р1 . „ , Л

-ехр| + тО +х

я/2-1

\-J0{y)-2Y,Jlm{y)

т=I

(-ЧЛ

о т=1

2/

yJn-i{y),n = 2p,

-yJ»-x{y)'n = 2P + X'

-(Л + Ц,)ехр(-й9) )./„_, - 2/р(4 со30 + Л, 5Ьв) ]>„ [^гйг }. ^

™(Р'в)~ П0лярные К0°РДинаты в задней фокальной плоскости линзы ~ „ - волновое число, X - длина волны, Ах и Ау - комплексные амплитуды пло-

ГобГП5ТСГЩеЙ На СФП С ЛИН30Й- ПОСЛеДНИЙ инте^ в вь.чисГтся подобно (15). Для первых двух интегралов также можно получить аналитические вьша-жения для четных значений порядка СФП и, так как для нечетных р И™ЧеСКИе ВЫра

1 -Р2

(17)

{р-т

ЛИ+ 2 2 •/,,(«)

В отличие от плоской волны Гауссов пучок не требуется ограничивать апертурой так как вся его энергия сосредоточена вблизи оптической оси. Векторную дифЕию Гауссова пучка на СФП, помещенной в перетяжке, будем рассматривав ЗГГ параксиальном приближении, которое в декартовых координатах имеет вид-

(18)

* —7-----1-«» "

Л2

Е, {и,у,г) = 'кС11^2В) \1{и - Х)Ех(х,у,0) + _у)Еу 0)]ехр

+ (,,,) и (и, V) - декартовы коорди-

наты в начальной плоскости и в плоскости, отстоящей на расстоянии г

В этом приближении для дифракции Гауссова пучка с эллиптической поляризацией на СФП (т.е. Еху(г,<р,г = 0) = Вгуехр(-г^ + ту) ), можно записать:

'АР ' ( > -1пжеМ->

8р"2

-у)

. 2 г

в.-¡В.

2

в,+'В

ехр(/0)|(п + 3-3>')

'-ЛУ)-. 2 -'.ЛУ) 2 '►.М. 2 '*ЛУ) 2

'-ОО- . 2 2 .. 2 2

(19)

-¡{[1,0058 + Ву*,тв)ср

эти СФП "П0Л:РНЫе КООрдИНать,1в плоскости, отстоящей „а расстоянии г от плоскости СФП, V, - радиус перетяжки Гауссова пучка, 1„(х) - модифицированная функция

Бесселя «-го порядка, >> = с2/8р, р = - йДг^Т?),^ кр/^^7.

дли!?ГлИ„мТ-0«ГДеЛИР0ВаНИИ Использовались бедующие значения параметров: длина волны X - 633 нм; радиус перетяжки Гауссова пучка „ = 1 мкм, порядок СФП

п- 3, расстояние вдоль оптической оси г = 10 мкм, амплитуды составляющих Гауссова пучка Я, - I и Ву~0,2/. Распределения напряженности электрического поля полученные с помощью (19) и с помощью интеграла Рэлея-Зоммерфельда, для данного набора параметров практически совпали (в отличие от параксиальных формул) Моделирование также показало, что даже при таких небольших расстояниях * продольная составляющая Ег не дает существенного вклада в общую интенсивность. Однако при п - ±1 на оптическои оси будет не равна нулю только продольная составляющая и для определения осевой интенсивности надо использовать вторую формулу из (19)

Рассмотрим в слабом непараксиальном приближении дифракцию на СФП Гауссова оптического вихря с начальной радиальной поляризацией, т.е. с распределением в начальной плоскости Е,(Г,ср,а) = Е^/со^г^-аг*), где а = \/со1 -Л/(2/),

радиус перетяжки Гауссова пучка, к- волновое число,/- фокусное расстояние линзы В плоскости, перпендикулярной оптической оси, сформируется световое поле со следующей радиальнои и азимутальной составляющей электрического вектора:

Е (о в А-

(п - 4х)1^ (х) + („ + 4х)/^ (х) ехр {¡к^Т^ -х + м),

(20)

'«.М-'.-.М

ехр (¡ку1г2+р2 -х + тО}. (21)

>(я + 2)

2гх-10р(п-4х)

.00 +

У (и- 2)

(4

(22)

где (р,^-полярные координаты в плоскости, отстоящей на расстоянии г от плоско-

У = кр/^2+р2 , р = аЧЦ

•2г+рг ,

сти СФП /1-го порядка, х = у2/(8Р), д = у]г1+р2 -¡к/(2а).

_ Если сложить два пучка (19), один с правой круговой поляризацией (Вх = +» ) и п - 1, а другой с левой круговой поляризацией (Вх = ЧВу) и п = -1, то из (19) получается пучок с радиальной поляризацией:

Ег(р,в,г) = 0,

*{(2-3,*,ср)[г,(у)-/, (,)]+,[/.(у)-/,(,)]), где_у,р и с те же, что и в (19).

Аналогично, вычитая поля (19), одно из которых имеет правую круговую поляризацию и п = 1, а другое - левую круговую поляризацию и п = -1, можно получить пучок с азимутальной поляризацией:

Ег{р,в,2) = Ег(р,в^) = О,

-ЫРЯ^-уХШ-фя

Ev{p,e,z) =

4(p2 + z2)j

,3/2

exp

(24)

При численном моделировании FDTD-методом (www.rsoftdesign.com) были использованы следующие значения параметров: длина волны 2 = 633 нм, мощность пучка Е0 = 1 Вт/см2, радиус перетяжки Гауссова пучка со0 = 1 мкм, фокусное расстояние параболической линзы /= 4 мкм, расстояние, пройденное светом z = 4 мкм (т.е. поле рассматривалось в геометрическом фокусе линзы), п = О, 1, полярный угол в выходной плоскости д= 0.

На рис. 11а показана мгновенная амплитуда \ЕХ\ в плоскости XZ для невихревого пучка (и = 0) с радиальной поляризацией (прерывистой линией показано расположение фокуса). На рис. 116 показана усредненная по времени интенсивность в плоскости z = 4 мкм, а на рис. 11е - ее горизонтальное сечение, которое совпадает с распределением интенсивности, полученным по формулам (20), (22).

На рис. 12а показана мгновенная амплитуда \ЕХ\ в плоскости XZ для вихревого пучка (и = 1) с начальной радиальной поляризацией (прерывистой линией показано расположение фокуса). На рис. 126 показана усредненная по времени интенсивность в плоскости z = 4mkm, а на рис. 12в - ее горизонтальное сечение, которое по своей структуре совпадает с распределением, полученным по формулам (20)-(22). На рис. 12<? ширина фокусного пятна по полуспаду интенсивности равна FWHM= 1,4/,, хотя числовая апертура линзы равна NA ~ 1/(1+42)"2 0,243. Согласно скалярной теории должно быть FWHM = 0,5UNA ~ 2,06/L

мкм (aj....... 4аУ.«км _ (Щ _ _ ф!\мкм (aj 4 жу,мкм _ (щ _

Рис. 12. Моделирование вихревого Гауссова пучка (п = 1) с радиальной поляризацией в начальной плоскости {г = 0) РО'ГО-методом

-4-2 0 2 Рис. 11. Моделирование невихревого Гауссова пучка (п = 0) с радиальной поляризацией в начальной плоскости (z = 0) FDTD-методом

В обоих случаях, когда пучок вихревой (п = 1) и когда он невихревой (п = 0), фокус пучка находится ближе, чем геометрический (z =_/). Это хорошо известное смещение фокуса (Y. Li, Е. Wolf, 1981). На рис. 11а и 12а видно, что смещение фокуса от геометрического составляет почти 50%: вместо z=/=4mkm фокус находится на z~ 2 мкм. Оценить осевое смещение фокуса для п = 0 можно с помощью уравнения (22), положив р—0. Фокус будет находиться в точке на оси z, когда \EZ\ максимально,

Рис. 13. Картины дифракции Фраунгофера плоской волны на квантованной ограниченной СФП: фаза ДОЭ (а, г), амплитуда (б, д) и фаза (в, е) в зоне дифракции Фраунгофера. Число секторов: 18 (а-в), 54 (г-е)

В таблице 1 показана зависимость среднеквадратичного отклонения картины дифракции Фраунгофера плоской волны на ограниченной квантованной СФП (и = 6) от

так как Ег- 0 при р- 0. Была получена следующая формула для оценки осевого сме-фокуса: (г-/)// = + (Го//)'] , где ,а=ктЦ2 - длина Рэлея, которая

щения

дает смещение фокуса 40%.

В четвертон главе рассматривается дифракция Фраунгофера на многоуровневых (квантованных) СФП, получаемых при изготовлении по технологии электронной литографии. Рассмотрим дифракционный оптический элемент, имеющий форму правильного многоугольника П = А0А,...АР_1 с вершинами в точках А„ и вписанного в окружность радиуса R с центром в начале координат О. Пусть внутри каждого треугольника ОАрАр+х глубина микрорельефа имеет постоянное значение, тогда внутри ОА„Ар+1 и функция комплексного пропускания ДОЭ будет постоянна- т(х у) = ехр(/Чу. В случае СФП, выберем 4>р = щ„ <рр = (2п/Р)р. Пользуясь уравнением для дифракции на многоугольном отверстии (N. Saga, 1987), было получено выражение для комплексной амплитуды, описывающей дифракцию Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП:

b\P>V)~ —~2—2,—7-ГГ---2sin—sin(q> ~в) +

Inkp ,,„ sin^ - в j cosacos a P /

ikRP ) f .kRp

-I-rns ГУ I — nr\Q rv Pvn I _7 ~ ,

+ cosaptI exp| -/—-cosoj- cosa,, exp^-¿-y-cosa„

где (р, 9) - полярные координаты в Фурье-плоскости, к= 2л/Х - волновое число, X -длина волны,/- фокусное расстояние линзы, ар = (рр - к)Р - в, Р > 3.

показаны картины дифракции Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП («-6), полученные по формуле (25). При расчете использовались следующие значения параметров: длина волны Л = 633 нм, фокусное расстояние сферической линзы/= 150 мм, радиус апертуры R = 2 мм.

картины дифракции на ограниченной непрерывной СФП при меняющемся количестве

Таблица 1

Число СКО

секторов

18 19,1411

30 1,9003

42 0,1320

54 0,0479

На рис. 14а показан вид СФП, ограниченной правильным треугольником, площадь которого разделена на три равных треугольника с постоянными фазами 0, 2л/3 и 4я/3. Вблизи оптической оси, при Р = 3 из формулы (25) можно получить:

п ( „л i -ЗТЗА:2^3 ,

£;(/?-> 0,0)«^ 48^2 jpexp(,в), (26)

где (р, в) - полярные координаты в Фурье-плоскости, к - волновое число света,/- фокусное расстояние сферической Фурье-линзы, R - радиус описывающей треугольник окружности.

На рис. 146 и в показаны рассчитанные интенсивность и фаза в плоскости Фурье-спектра при дифракции плоской волны на СФП, показанной на рис. 14ûr. Параметры расчета: длина волны X = 633 нм, R = 2 мм,/= 155 мм. Из рис. 146,в видно, что в центре картины дифракции (около оптической оси, в области, примерно равной диску Эйри с диаметром 1,22XflR) имеется изолированный ноль интенсивности, фаза вблизи которого носит спиральный характер и имеет топологический заряд 1.

пШННй! В)ЯШ А*Л

Рис. 14. Дифракция Фраунгофера плоской волны на трехуровневой СФП с треугольной апертурой, фаза ДОЭ (а), интенсивность (б) и фаза (в) света в Фурье-плоскости На рис. 15а показана четырехуровневая СФП, разделенная на четыре треугольника с фазами 0, л/2, п и Зл/2. Вблизи оптической оси (в области, примерно равной диску Эйри) также сформируется оптический вихрь с топологическим зарядом Г

Е20(р^ 0,0);

4у/2л/2

/зехр(;6|).

(27)

где

R = aJ2 .

а)

шш

Рис. 15. Дифракция Фраунгофера плоской волны на четырехуровневой СФП с квадратной апертурой, разделенной на треугольные субапертуры: фаза ДОЭ (а), интенсивность (б) и фаза (в) света в Фурье-плоскости (пунктиром показан диск Эйри) Так как рассмотренные ранее малоуровневые СФП имеют апертуру в виде правильного треугольника и квадрата, то с помощью них можно формировать сложные

(составные) СФП, присоединяя одну ячейку к другой как в домино. Например при объединении четырех квадратных СФП (рис. 15а), повернутых одна относительно другой на я/2 против часовой стрелки; в центре картины дифракции сформировался оптическии вихрь с топологическим зарядом п = 2. Аналогично, путем объединения шести одинаковых треугольных трехуровневых СФП (рис. 14а) в центре картины дифракции также формируется оптический вихрь с топологическим зарядом п = 2.

В пятой главе исследуются гипергеометрические лазерные пучки, формируемые при дифракции Гауссова пучка на СФП и логарифмическом аксиконе. Рассмотрим световое поле с начальной функцией комплексного пропускания вида:

2

,(г,<р,0;а)

J_

' 2л

ехр

+ 'У In — + incp 2<т w

(28)

где (г, ф) - полярные координаты в начальной плоскости (г = 0), у - действительный параметр логарифмического аксикона, ^ - масштабный множитель, <х- радиус перетяжки Гауссова пучка, п - номер СФП, т - вещественный параметр, показатель амплитудной степенной составляющей.

При параксиальном распространении поля (28) его комплексная амплитуда на расстоянии 2 будет определяться в полярных координатах следующим выражением:

л/2сг 1 ( кар

Ж

2 кп\ 1yzq

wq

ехр

хГ

n + m + 2 + iy

п + т + 2 + iy

,п +1,-

кар

\2Л

+ тв х

\qz

(29)

где (р, в) - полярные координаты в плоскости, перпендикулярной оптической оси к -волновое число, 20 = каг,д = ^(а, Ь, х) - функция Куммера.

При т — и при сг > со (т.е. Гауссов пучок переходит в плоскую волну) выражение (29) описывает гипергеометрическую моду, сохраняющую свою структуру при распространении:

w " р" n+l + iy

2 лп\

xp(inff)

ikw2 2 z

n+l-iy ~2~

n + l-iy

n +1.

ikp' "27

(30)

Мода (30) формируется из начальной комплексной амплитуды (2 = 0) с особенностью в начале координат, поэтому практически такая мода может быть реализована, например, с помощью кольцевой диафрагмы. На практике это не приводит к значительным искажениям дифракционной картины.

Гипергеометрические пучки (ГГ-пучки) (29) и моды (30) зависят от квадрата радиальной переменной. Это означает, что пространственная частота картины дифракции увеличивается при удалении от оптической оси. На рис. 16 показано радиальное сечение интенсивности гипергеометрического пучка при следующих 2 4 6 8 р/1 параметрах: длина волны Л = 532 нм, радиус перетяж-

Рис. 16. Радиальное сечение КИ ГаУссова пУчка °"= 5 мм> показатель амплитудной интенсивности гипер- степенной составляющей т = 0, порядок спиральной геометрического пучка (29) (Разовои пластинки п = 20, масштабирующий коэффи-

циент лу = 5 мкм, расстояние вдоль оптической оси г = 7 мкм, параметр логарифмического аксикона у =-200. Из рис. 16 видно, что на одной длине волны умещается около

ннтмвин Двух-трех максимумов интен-

¿V ' I сивности.

С помощью электронной | литографии был изготовлен бинарный фазовый ДОЭ, размером 5><5 мм с разрешением 10 мкм для длины волны 532 нм. На рис. 17а показана I картина дифракции Френеля, сформированная после осве-

Рис. 1 Экспериментальная (а) и расчетная (., карти- " Гме" мТТт ны дифракции плоской волны на ДОЭ для гипергео- ТВердОТельного лазера с дли-метрическои моды (« = 7, у = 10) ной волны 532 нм £ мощно_

стью 500 мВт. На рис. 17 показаны экспериментальная (а) и расчетная (б) картины дифракции плоской волны на ДОЭ для формирования гипергеометрической моды (п= 7, у = 10). Из рис. 17 видно что обе картины дифракции удовлетворительно соответствуют друг другу. Среднеквадратичное отклонение их радиальных сечений составляет 27 %.

Рассмотрим некоторые частные случаи ГГ-пучков. При у= ¡(т+1) выражение (29) примет вид:

тв +

1кр2 р2 2Л,(г) 2 а2 (г)

Р2 , *Рг 2а-2 (г) 2Я(г)

(31)

где -

модифицированная функция Бесселя, а2 (г) = 2а2 (1 + г2/г2^ , 11(2) = 2г(1 + 22/220) , Л, (*) = Л(г)(1 + 2 .

Световые пучки (31) сходны с квадратичными пучками Бесселя-Гаусса (КБГ-пучки) ("С.К.К. Сагоп. 1999). Но КБГ-пучки и пучки (31) порождаются разными начальными световыми полями. Поля (31) можно назвать модифицированными квадратичными пучками Бесселя-Гаусса.

Положив у = ¡т, из общего вида (29) для ГГ-пучков можно получить частный случай в явной форме:

V А 72«

кар

ехр

1

где у = —

кар 72qz

Я2 ¡кр1

тв +

¡кр2 р1 2Д,(г) 2а2 (г)

¡пЛуУ^ЛУ)

2

,(32)

" 2а1 (г) 2Л(г)'

Световое поле (32) можно реализовать с помощью дифракции Гауссова пучка на СФП. Поэтому световые пучки, описываемые комплексной амплитудой (32), могут быть названы Гауссовыми оптическими вихрями.

Рассмотрим дифракцию полого Гауссова пучка на СФП:

2а

- + ¡пер

(33)

Из общего уравнения (29) при условии у= Цт-1), следует явное выражение для таких световых пучков:

.НГ'Г^ (

ехр

тв +

'кр2 р2 2Л,(г) 2с72(2)

1-» 2

> 2 2

(34)

где ^ такое же, как в (32). Световые поля (34) с учетом вида порождающего их поля (33) можно назвать полыми Гауссовыми оптическими вихрями.

На рис. 18 показаны распределение амплитуды в плоскости у = 0 (а), в плоскости г = ЗЗЯ. (б), а также фазы в плоскости г = ЗЗХ (в) для полого Гауссова оптического вихря, порождаемого начальным полем (33) при следующих значениях параметров: А.-633 нм, а= а = ЗХ, п = 3. Рис. 18 получены с помощью конечно-разностного метода распространения пучка (ВРМ-метода) (www.rsoftdesign.com1.

Рис. 18. Распределение модуля комплексной амплитуды в плоскости у = 0 (а), в плоскости г = ЗЗА, (б), а также фазы в плоскости г = ЗЗА, (в)

Подберем параметры гипергеометрической функции в (29) так, чтобы т =-1, п + 1-1/= -2р, где р - целое число (р > -я/2). Тогда из (29) получим:

^«М,).,.-! (А*.*)

. И"

2л

л/2а

!2 ехр

тв +

¡крг 2г

¿"ДО-

(35)

где I -^сгрДТг^^ , Ьпр(х) - присоединенный многочлен Лагерра.

Световые пучки, описываемые комплексной амплитудой (35), можно назвать модифицированными элегантными пучками Лагерра-Гаусса (МЭЛГ-пучки). Логично назвать эти новые световые пучки элегантными, так как аргумент многочлена Лагерра комплексный, как и у обычных элегантных пучков Лагерра-Гаусса (ЭЛГ-пучки) Но зависимость аргумента многочлена Лагерра в (35) от переменной 2 отличается от аналогичной зависимости в обычных элегантных пучках ЛГ. В общепринятой форме элегантные пучки ЛГ имеют форму х"'гехр(-х)/.;(*), которая отличается от (35) постоянными множителями и фазовой Гауссовой экспонентой. Таким образом, обнаружена еще одна разновидность элегантных пучков ЛГ, которые являются частным случаем ГГ-пучков. Отличие возникает из-за разных начальных полей.

Рассмотрим теперь ГГ-пучки в непараксиальном случае. Можно показать, что следующие функции

'2ят/? + Г

Е±{г,ф,г) = ±Т х[/' + ^ + 1

2л + 1,±х

ехр(г'2и<г> ± г'Ьг)(Ь") 2и + /? +1

,2и + 1,±*_

(36)

- первое и

0,04-

0.02-

являются решениями уравнения Гельмгольца. Здесь Ь, х) и С/(а, Ь, х) ■ второе решения уравнения Куммера.

Если в выражении (36) для прямой волны Е¥{г, <р, г) устремить г к бесконечности, получим выражение, которое с точностью до постоянного множителя совпадает с выражением для комплексной амплитуды параксиальной ГГ-моды (29).

Было проведено численное моделирование путем решения уравнений Масквелла методом РО'ГО. В плоскости 2=0 было задано электромагнитное линейно поляризованное вдоль оси х поле (36) при /3=0, п = 1, Л =633 нм. На рис. 19а показана картина дифракции такого поля в плоскости г = 1 мкм. На рис. 196 показано радиальное сече-сечение (плоскостью у = 0) (б) для непаракси- ние картины дифракции, которое ального гипергеометрического пучка при у(?= 0 с Х0Р°Ш0 согласуется с решением, начальной (г = 0) комплексной амплитудой (36) полученным с помощью углового на расстоянии г = 1 мкм спектра плоских волн.

/

\л

к

-2,5 -10 1 2,5

Рис. 19. Картина дифракции / = |Я,|2+|£| (а) и ее горизонтальное

В шестой главе исследуется фокусировка векторных гипергеометрических лазерных пучков, дифракция Гауссова пучка на логарифмическом аксиконе, а также рассматривается распространение мод в планарном гиперболическом секансном волноводе.

Пусть при 2 = 0 имеется две поперечные проекции электрического вектора светового поля, пропорциональные комплексной амплитуде параксиального гипергеометрического пучка:

лг,<р,г = 0) = В I — I ехр| --г— + />1п— + т<р

1 — 1 1 И' м>

(37)

где {г, <р) - полярные координаты в начальной плоскости, Вху - постоянные, -и> - радиус перетяжки Гауссова пучка, п - топологический заряд оптического вихря, у- параметр логарифмического аксикона, т - параметр, характеризующий порядок кольцевого пучка. Тогда, в произвольной поперечной плоскости сформируется световое поле со следующей комплексной амплитудой:

2"+1Г(л + 1)£>"+2Г~

т + 2+уу

х ехр (гпд + ШЭ),

п + т + 2 +¡у , А:2 л2 --,л + 1,- ^

4£>2Г

-ехр(/Ю + гиб') >

—--ехр(/0 --А---

2 14 ' 2"+2£>ИТ(л + 2)

+ т + 4 + ¡у 2

п+т + 4 + 1у „ к2р2

--,п + 2,--

2 4£>2Г

/, \»-1 лгГ к+от+г+У^

} (п + т + 2 + 1г п ^ 2 14 ' 2Т(и) 1 \ 2 ' ' 4Я2Ж

(39)

п + т + 2 +¡у

-¡р(в,со*в + ВуЯтв)-21г{п + х)-

и + от + 2 + г> , кгр2 --,и + 1,— ^

где (р, в) - полярные координаты, г - координата вдоль оптической оси, к = 2пГк -волновое число, X - длина волны, Б = + г2)1'2, IV = 1/и>2 - \Щ2й), 6, л) - вырожденная гипергометрическая функция.

При и = 0 амплитуда на оптической оси (/> = 0) Ег = 0 и интенсивность имеет вид:

/(0Дг) =

у-Г ехр -уагсйп —

/ 1 2 ).

(40)

где — Ы212. Максимум осевой интенсивности достигается при условии = 2д + у/?1 + 8от 1^4. Из этого следует, что при /я = 0 расстояние самофокусировки пучка, который уже не будет кольцевым, равно гтах = гду/2.

При п = 1 на оптической оси будет отлична от нуля только продольная составляющая (Еху = 0), и осевая интенсивность будет иметь вид:

-уагйап^—

(41)

/(0,0.) = Г = (, +1-)" ^ ехр

Расстояние самофокусировки, на котором достигается максимум осевой интенсивности, равно г^ + ,//2+1б(т-1)|^8 .

Самофокусировка гипергеометрических пучков, рассчитанных РЭТО-методом, видна на рис. 20. Параметры расчета: длина волны Л = 532 нм, ч> = X, (у, от) = (0, 3) (рис. 20а) и (у, от) = (-5, 3) (рис. 206).

4 О -4

х/Х

а) 01234567

0,65

I 0,00

г/Х

4 4 0

-4 -I

х / X

2,70

б) 0 1 2 3 4 5 6

" л. Лт, —Г V/ /

Рис. 20. Самофокусировка векторных гипергеометрических пучков: интенсивность в

плоскости (X, 2)

Далее рассмотрим в скалярном параксиальном приближении дифракцию Гауссова пучка на спиральном логарифмическом аксиконе (СЛА) и просто на логарифмическом аксиконе (ЛА) с параметром у. Функция пропускания СЛА имеет вид ГМ) = ехр[»у1п(г/а) + »*], где а- масштабный параметр СЛА, (г, ср) - полярные

координаты. Из (29), пользуясь приближенной формулой для нулей гипер-геометрическои функции, была получена оценка ширины поперечного распределения интенсивности вблизи оптической оси, из которой следует, что выбором достаточно большого значения |у| (у < 0) можно с помощью ЛА получить вблизи плоскости 2 = О световое пятно с любым малым субволновым диаметром. Рассмотрим двумерный ЛА и проведем моделирование с помощью ГОТО-метода.

24/

Л

-мДлл-

Рис. 21. Вид двумерного ЛА с параметрами: радиус АХ, параметр у = -20

-3 -2-10 1

X, мкм 1

Рис. 22. Усредненное по времени распределение интенсивности сразу за аксико-ном (при г = 2Х)

На рис 21показан рельеф двумерного ЛА (л = 0). Граница области моделирования: 1-4Я., +АХ] х [0, ЗА.], время моделирования: сГ= ЗОЯ, с - скорость света, дискретизация по х (горизонтальная ось) и по г (вертикальная) >750, по времени 77100 Высота рельефа: А/(и'-1) — 2Х, показатель преломления: л'= 1,5, длина волны освещающего света Л - 532 нм, параметры аксикона у = -20 и а = 4Х. ЛА освещается Гауссовым пучком света с ТЕ-поляризацией и радиусом перетяжки * = ЗА. Ширина по полуспаду центрального максимума интенсивности на рис.22 равна Г\УНМ = 108нм = 0 20А

п™ ДИфраКЦИ0ННЫЙ пРедел в сРеДс в 20 случае РЛУНМ =

0,44 Х/п = 0,293X (для стекла п' = 1,5).

В предыдущих главах исследовались лазерные пучки, описываемые гипергеометрическими функциями, распространяющиеся в свободном пространстве. Рассмотрим теперь планарныи гиперболический секансный волновод (ГС-волновод) с зависимостью показателя преломления вида п(х) = л„сГ V*), где п0 - показатель преломления на оси г при * - 0, * - поперечная координата волновода, а - полуширина волновода

по спаду показателя преломления в 1,54 раза. Можно показать, что ТЕ-моды ГС-волновода имеют вид:

(х г)= (-т,-т-р,/3 + 1,-у)

сЬ»(х/а)(\ + уу '

(42)

Ет (х,г) = ехр(//ЬД,)(1 - Р^ („), (43)

где к = 2к/Х - волновое число света, у = ехр(2х/а), т - положительное целое число, м> = Й1 (х/а), 2Р\ (а, Ь, с,х) - гипергеометрическая функция Гаусса, а Р^ (м>) - многочлены Якоби, /3=р0+т, где Д= (л/1 + 4кга2п2 -1)/2. Показано, что произвольное световое поле в ГС-волноводе будет повторяться с периодом 1 = 2 т, названным периодом Тальбота.

1 044 2Г,МКМ| С помощью разностного решения системы

уравнений Максвелла РОТС)-методом было промоделировано распространение в ГС-волноводе ТЕ-моды (т = 4). Параметры моделирования были следующие: а = /1/2 Д = 1,55 мкм, По — 3,47 (кремний), ГС—волновод ограничен размером Ъ= 1,5 мкм. На рис.23

6 4 2 О -2

1

111 ¡111

34 ггя£;

1111 ||1||.

2 3

-3 -2-10 1

Рис. 23. Распространение моды (т = 4) в ГС-волноводе 1 64^, МКМ 12

-4 ' -2 ' ~0~ 2 ' 4

Рис. 24. Распространение немодового речного сечения интенсивности с периодом светового поля в ГС-волноводе жХ/2.

В случае прохождения через ГС-волновод

ТМ-мод выражения для них имеют вид:

Я ( у, -) - -П,П + 1 -у)

с Ь"(х/а)(1 + уУ ' (44)

где 27 = 2-У/?2 + 1 = + Ак2а2п1 ~(2т + \), Я-проекция магнитного вектора на ось у.

В отличие от ТЕ-мод, ТМ-поляризованное излучение не фокусируется в ГС-волноводе.

ГС-волновод с длиной, равной одному или половине периода Тальбота, может быть использован для формирования изображений и для фокусировки света. Такой ГС-волновод будем далее называть гиперболической секансной ГС-линзой. На

X, МКМ показано мгновенное распределение реальной части £-вектора ТЕ-моды, распространяющейся в ГС-волноводе.

Периодическое повторение светового поля с ТЕ-поляризацией в ГС-волноводе, показано на рис. 24. На этом рисунке показано мгновенное распределение амплитуды ТЕ-моды с номером т = 3, распространяющейся в ГС-волноводе (таком же как на рис. 23), но ширина которой была уменьшена в 3 раза а' = а/3. Она уже перестает быть модой и распространяется как линейная комбинация мод, поэтому при распространении такого светового поля наблюдается периодическое повторение попе-

А',МКМ т>

рис 25а показано формирование изображения двух точечных источников такой лин-зои (ширина линзы 6 мкм, длина 4,92 мкм, материал - кремний „0 = 3,47). Ширина источников 50 нм, расстояние между ними 300 нм, расстояние от источников до передней плоскости линзы 10 нм, длина волны X = 1 мкм. На рис. 256 показано усредненное распределение потока мощности (проекции на оптическую ось вектора Умова-Поинтинга Sz), рассчитанное за выходной поверхностью ГС-линзы на расстоянии

шения ргшна 0 ЗА ^ ™ " ИСТ°ЧНИКа при этом величина разре-

AZ,MKM

^Изображения

„А&

.vx -V.MKM

Источники

0

+4'

б) -3 0 +3

Рис. 25. Мгновенная картина амплитуды электрического вектора световой волны с ТЕ-поляризациеи в ГС-линзе, когда перед входной поверхностью на расстоянии 10 нм находятся два точечных источника (а); усредненный по времени поток мощности рассчитанный на расстоянии 10 нм от задней плоскости линзы (б)

Оказалось, что поток мощности позволяет разделять источники лучше чем интенсивность. В рассмотренном примере для расстояния 0.25Х источники разрешаются по потоку мощности и едва разрешаются по интенсивности. На рис. 26 источники разделенные расстоянием 0.15А, разрешаются только по потоку мощности. А источники

тТнсивности РаССТ°ЯНИеМ Н6 Р-Рещаются „и по потоку мощности, ни по ин!

0,3*/

0,0

А

, мкм -Í»

0,0

-^ч/ и.

b

-V, мкм

аГ"'3 ~Ъ +5 б) о о +'з

Рис. 26. Усредненные по времени интенсивность (а) и мощность (б), вычисленные за выходной плоскостью ГС-линзы для двух источников света

Заключение

В диссертации на основе волнового уравнения, а также на основе интегральных преобразовании, описывающих распространение монохроматического излучения решена задача расчета дифракции света „а спиральных фазовых пластинках и

аксиконах, формирующих сингулярные лазерные пучки.

Основные результаты диссертационной работы

I Показано, что при прохождении плоской волны, ограниченной круглой диафрагмой, через спиральную фазовую пластинку (СФП) с произвольным целым топологическим зарядом „ в дальней зоне формируется картина дифракции Фраунгофера,

комплексная амплитуда которой описывается конечной суммой функций Бесселя, вид которой отличается для четных и нечетных п. Радиус первого светлого кольца на'картине дифракции пропорционален диаметру диска Эйри, умноженному на сумму первых нулей функции Бесселя и-го порядка и ее производной.

2. Исследована дифракция Фраунгофера плоской волны, ограниченной круглой диафрагмой радиуса Л, на спиральном аксиконе (СА) с параметром а и топологическим зарядом п. Комплексная амплитуда описывается рядом из функций Бесселя и полиномов Чебышева второго рода. Показано, что аксикон, добавленный к СФП, позволяет снижать контраст периферийных колец оптического вихря. При моделировании и в эксперименте контраст уменьшался в два раза при условии ак ~ 2,7 (п < 10).

3. Показано влияние поляризации на картину дифракции Гауссова пучка на СФП. Как при эллиптической поляризации, так и при радиальной и азимутальной, комплексная амплитуда всех компонент вектора напряженности электрического поля описывается линейной комбинацией двух модифицированных функций Бесселя. СФП с единичным топологическим зарядом совместно с линзой фокусирует Гауссов пучок с начальной радиальной поляризацией в пятно (без СФП происходит фокусировка в кольцо). При этом осевое смещение фокуса от геометрического может достигать половины фокусного расстояния.

4. Исследовано влияние квантования фазы, которое возникает при изготовлении СФП по технологии электронной литографии. Установлено, что при скалярной дифракции Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП в форме правильного многоугольника световое поле представляет собой конечную сумму плоских волн. В случае треугольных трехуровневых и квадратных четырехуровневых СФП в центре дифракционной картины в области, примерно равной диску Эйри, формируется оптический вихрь с единичным топологическим зарядом.

5. Решена задача дифракции Френеля Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей на СФП, совмещенной с логарифмическим аксиконом. Показано, что в этом случае формируется оптический вихрь, комплексная амплитуда которого пропорциональна вырожденной гипергеометрической функции. Множество таких оптических вихрей (гипергеометрических пучков) составляет трехпараметрическое семейство. При наличии амплитудной особенности в центре плоского освещающего пучка формируется гипергеометрическая мода, сохраняющая поперечную структуру интенсивности при распространении с точностью до масштаба. Пространственная частота световых колец на дифракционной картине линейно возрастает при удалении от оптической оси к периферии.

6. В рамках скалярной теории дифракции исследованы непараксиальные гипергеометрические лазерные пучки. Показано, что комплексная амплитуда таких пучков в поперечной плоскости описывается произведением двух линейно-независимых решений уравнения Куммера.

7. Получено распределение осевой интенсивности при прохождении Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей через спиральный логарифмический аксикон с нулевым или единичным топологическим зарядом. Показано, что имеет место безлинзовая фокусировка, состоящая в смещении положения перетяжки вдоль оптической оси. При отсутствии оптического вихря и логарифмического аксикона величина смещения перетяжки пропорциональна расстоянию Рэлея и квадратному корню от показателя амплитудной степенной составляющей. При отсутствии оптического вихря и амплитудной степенной составляющей величина этого смещения пропорциональна расстоянию Рэлея и параметру логарифмического аксикона.

8. Получена оценка для эффективного радиуса картины дифракции Френеля Гауссова пучка на логарифмическом аксиконе (JIA). Размер формируемого пятна интенсивности находится в обратной зависимости от параметра JIA. С помощью моделирования конечно-разностным методом решения уравнений Максвелла показано, что с помощью двумерного ЛА можно преодолеть дифракционный предел: сразу за выходной поверхностью диаметр светового пучка по полуспаду интенсивности может составлять пятую часть длины волны.

9. Показано, что в планарном градиентном волноводе с секансным распределением показателя преломления комплексная амплитуда ТЕ мод описывается полиномами Якоби, а ТМ мод — Гауссовыми гипергеометрическими функциями. Установлено, что для ТЕ мод существует период Тальбота, через который дифракционная картина повторяется. Для TM-мод такого периода не существует. Гиперболическая секансная линза, являющаяся гиперболическим секансным волноводом с длиной, равной периоду Тальбота, позволяет достигать субволновое разрешение при изображении двух точечных источников ТЕ-поляризованного излучения (при моделировании FDTD-методом были разрешены источники с расстоянием между ними 0,3 длины волны). Использование проекции вектора Умова-Пойнтинга на оптическую ось вместо интенсивности позволило увеличить разрешение до 0,15 длин волн.

Основные результаты опубликованы в следующих работах

Статьи в реферируемых журналах и изданиях, рекомендованных ВАК

1. Котляр, В.В. Дифракция конической волны и гауссового пучка на спиральной фазовой пластинке [Текст] / В.В. Котляр, A.A. Ковалев, С.Н. Хонина, Р.В. Скиданов, В. А. Сойфер, Я. Турунен // Компьютерная оптика. - 2005. - № 28. - С. 29-36.

2. Котляр, В.В. Дифракция плоской волны конечного радиуса на спиральной фазовой пластинке [Текст] / В.В. Котляр, С.Н. Хонина, A.A. Ковалев, В.А. Сойфер // Компьютерная оптика. — 2005. - № 28. - С. 37-40.

3. Kotlyar, V.V. Diffraction of conic and Gaussian beams by a spiral phase plate [Текст] / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, S.N. Khonina, R.V. Skidanov, V.A. Soifer, H. Elfstrom, N. Tossavainen, J. Turunen // Appl. Opt. - 2006. - Vol. 45. - No. 12. - P. 2656-2665.

4. Kotlyar, V.V. Diffraction of a plane, finite-radius wave by a spiral phase plate [Текст] / V.V. Kotlyar, S.N. Khonina, A.A. Kovalev, V.A. Soifer, H. Elfstrom, J. Turunen // Opt. Lett.-2006.-Vol. 31.-No. 11.-P. 1597-1599.

5. Котляр, В.В. Дифракция Гауссового пучка на спиральном аксиконе [Текст] / В.В. Котляр, A.A. Ковалев, Д. Коджек, В. Гарбини, Е. Феррари // Компьютерная оптика. - 2006. - № 30. - С. 30-35.

6. Котляр, В.В. Дифракция плоской волны конечного радиуса на спиральном аксиконе и спиральной фазовой пластинке: сравнение [Текст] / В.В. Котляр,

A.A. Ковалев, В.А. Сойфер, Д.А. Девис, С. Тувей, Д. Коттрел // Компьютерная оптика. - 2006. - № 30. - С. 36-43.

7. Kotlyar, V.V. Sidelobe contrast reduction for optical vortex beams using a helical axi-con [Текст] / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, V.A. Soifer, C.S. Tuvey, J.A. Davis // Opt. Lett. - 2007. - Vol. 32. - No. 8. - P. 921-923.

8. Ковалев, A.A. Параксиальные гипергеометрические лазерные пучки с особенностью в центре перетяжки [Текст] / A.A. Ковалев, В.В. Котляр, С.Н. Хонина,

B.А. Сойфер// Компьютерная оптика. -2007. - Т. 31. -№ 1. - С. 9-13.

9. Ковалев, А.А. Дифракция плоской волны на ограниченной спиральной фазовой пластинке: параксиальная векторная теория [Текст] / А.А. Ковалев, В.В. Котляр // Компьютерная оптика. - 2007. - Т. 31. -№ 2. - С. 4-8.

10. Kotlyar, V.V. Diffraction of a finite-radius plane wave and a Gaussian beam by a helical axicon and a spiral phase plate [Текст] / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, R.V. Skidanov, O.Yu. Moiseev, V.A. Soifer // J. Opt. Soc. Am. A. - 2007 - Vol 24 -No. 7.-P. 1955-1964.

11. Ковалев, А.А. Дифракция Фраунгофера на многоуровневой (квантованной) спиральной фазовой пластинке [Текст] / А.А. Ковалев, В.В. Котляр // Компьютерная оптика. - 2007. - Т. 31.-№ 3.-С.9-13.

12. Ковалев, А.А. Непараксиальная векторная дифракция гауссового пучка на спиральной фазовой пластинке [Текст] / А.А. Ковалев, В.В. Котляр // Компьютерная оптика. - 2007. - Т. 31,-№4.-С. 19-22.

13. Ковалев, А.А. Гипергеометрические лазерные пучки общего вида и их известные частные случаи [Текст] / А.А. Ковалев, В.В. Котляр // Компьютерная оптика -2007. — Т. 31. - №4. - С. 29-32.

14. Kotlyar, V.V. Simple optical vortices formed by a spiral phase plate [Текст] / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, R.V. Skidanov, S.N. Khonina, O.Y. Moiseev V.A. Soilfer // J. Opt. Technol. - 2007. - Vol. 74. - No. 10. - P. 686-693.

15. Kotlyar, V.V. Family of hypergeometric laser beams [Текст] / V.V. Kotlyar

A. A. Kovalev // J. Opt. Soc. Am. A. - 2008. - Vol. 25. - No. 1. - P. 262-270.

16. Kotlyar, V.V. Fraunhofer diffraction of the plane wave by a multilevel (quantized) spiral phase plate [Текст] / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev // Opt. Lett. - 2008 - Vol 33 -No. 2.-P. 189-191.

17. Котляр, В.В. Трех- и четырехуровневые спиральные фазовые пластинки [Текст] /

B.В. Котляр, А.А. Ковалев // Компьютерная оптика. - 2008. - Т. 32 - № 1 - С 914.

18. Котляр, В.В. Некоторые типы гипергеометрических лазерных пучков для оптического микроманипулирования [Текст] / В.В. Котляр, А.А. Ковалев, Р.В. Скиданов, С.Н. Хонина // Компьютерная оптика. - 2008 - Т 32 - № 2 - С 180-186. .....

19. Котляр, В.В. Непараксиальные гипергеометрические моды [Текст] / В.В. Котляр, А.А. Ковалев // Компьютерная оптика. - 2008. - Т. 32. - № 3. - С. 222-225.

20. Kotlyar, V.V. Generating hypergeometric laser beams with a diffractive optical element [Текст] / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, R.V. Skidanov, S.N. Khonina, J. Turunen II Appl. Opt. - 2008. - Vol. 47. - No. 32. - P. 6124-6133.

21. Kotlyar, V.V. Nonparaxial hypergeometric beams [Текст] / V.V. Kotlyar

A.A. Kovalev // J. Opt. A Pure Appl. Opt. - 2009. - Vol. 11. - No. 4. - P. 045711.

22. Nalimov, A.G. Three-Dimensional Simulation of a Nanophotonics Device with Use of Fullwave Software [Текст] / A.G. Nalimov, A.A. Kovalev, V.V. Kotlyar, V.A. Soifer // Optical Memory and Neural Networks (Information Optics). - 2009. - Vol 18 - No 2.-P. 85-92.

23. Kotlyar, M. Photonic crystal lens for coupling two waveguides [Текст] / M. Kotlyar, Y. Triandaphilov, A. Kovalev, V. Soifer, M. Kotlyar, L. O'Faolain // Appl Oct -2009. - Vol. 48. - No. 19. - P. 3722-3730.

24. Ковалев, A.A. Непараксиальное распространение векторного гауссова оптического вихря с начальной радиальной поляризацией [Текст] / А.А. Ковалев,

B.В. Котляр // Компьютерная оптика. - 2009. - Т. 33. - № 3. - С. 226-232.

У

25. Котляр, В.В. Градиентные элементы микрооптики для достижения сверхразрешения [Текст] / В.В. Котляр, А.А. Ковалев, А.Г. Налимов // Компьютерная оптика. - 2009. - Т. 33.-№ 4. - С. 369-378.

26. Ковалев, А.А. Аналитическое описание радиально и азимутально поляризованного света и моделирование преобразования поляризации с помощью субволновых ДОЭ [Текст] / А.А. Ковалев, А.Г. Налимов, В.В. Котляр // Компьютерная оптика. - 2009. - Т. 33. - № 4. - С. 393-400.

27. Kotlyar, V.V. Nonparaxial propagation of a Gaussian optical vortex with initial radial polarization [Текст] / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev // J. Opt. Soc. Ara. A -2010 - Vol 27.-No. 3.-P. 372-380.

28. Котляр, В.В. Моды планарного градиентного гиперболического секансного волновода [Текст] / В.В. Котляр, А.А. Ковалев, Я.Р. Триандафилов, А.Г. Налимов // Компьютерная оптика. - 2010. - Т. 34. - № 2. - С. 146-155.

29. Котляр, В.В. Самофокусировка гипергеометрических лазерных пучков [Текст] /

B.В. Котляр, А.А. Ковалев // Компьютерная оптика. - 2010 - Т 34 - № 3 - С 286-291. " '

30. Kotlyar, V.V. Subwavelength focusing with a Mikaelian planar lens [Текст] / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, V.A. Soifer // Optical Memory and Neural Networks (Information Optics). - 2010. - Vol. 19. - No. 4. - P. 273-278.

31. Котляр, В.В. Дифракция гауссового пучка на логарифмическом аксиконе: преодоление дифракционного предела [Текст] / В.В. Котляр, А.А. Ковалев,

C.С. Стафеев // Компьютерная оптика. - 2010. - Т. 34. - № 4. - С. 436-442.

32. Kotlyar, V. Diffraction of a Gaussian beam by a logarithmic axicon [Текст] / V. Kotlyar, A. Kovalev, S. Stafeev, V. Soifer // J. Opt. Soc. Am. A - 2011 - Vol 28 -No. 5.-P. 844-849. ' '

33. Kotlyar, V.V. Lensless focusing of hypergeometric laser beams [Текст] / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, V.A. Soifer // J. Opt. - 2011. - Vol 13 - No 7 - P 075703. ' ' '

Подписано в печать 23.06.2011 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 2,0. Тираж 100 экз. Отпечатано с готового оригинал-макета заказчика. 443086, Самара, Московское шоссе, 34, СГАУ

Введение

Глава 1. Скалярная параксиальная дифракция световых полей на спиральной фазовой пластинке (СФП)

1.1 Дифракция ограниченной плоской волны на СФП

1.1.1. Дифракция Фраунгофера ограниченной плоской волны на СФП

1.1.2. Дифракция Френеля ограниченной плоской волны на СФП

1.2 Дифракция плоской волны на эллиптической СФП

1.3 Дифракция амплитудно-фазового светового поля на СФП—простые оптические вихри 41 1.3.1. Оптические вихри, сформированные СФП со степенной амплитудной составляющей 4 Г

1.4 Дифракция Гауссова пучка на СФП 51 1.4.1. Дифракция Фраунгофера Гауссова пучка на СФП

1.4.2 Дифракция Френеля Гауссова пучка на СФП в терминах гипергеометрических функций 54'

1.4.3 Дифракция Френеля моды Лагерра-Гаусса (0, т) на СФП 55 1.4.4. Экспериментальные исследования дифракции Гауссова пучка на

Выводы по главе

Глава 2 Скалярная параксиальная дифракция световых полей на спиральном аксиконе (СА)

2.1 Дифракция неограниченной плоской волны на СА

2.1.1. Дифракция Фраунгофера конической волны на СФП

2.1.2. Экспериментальные исследования дифракции света на СФП и СА

2.2 Дифракция ограниченной плоской волны на С А

2.2.1. Описание дифракции Фраунгофера на СА с помощью гипергеометрических функций

2.2.2. Описание дифракции Фраунгофера на СА с помощью ряда из функций Бесселя

2.2.3. Описание дифракции Фраунгофера на СФП с помощью конечных сумм функций Бесселя

2.2.4. Сравнение теории и эксперимента

2.3 Дифракция Гауссова пучка на С А

2.3.1. Аналитические выражения

2.3.2. Численное моделирование

2.3.3. Результаты эксперимента

2.4 Свойство СА подавлять боковые лепестки оптических вихрей 94 . Выводы по главе

Глава 3 Векторная непараксиальная дифракция света на СФП

3.1 Векторная дифракция ограниченной плоской волны на СФП

3.1.2. Численное моделирование

3.2 Дифракция Гауссова пучка с эллиптической поляризацией на СФП

3.2.1. Интегральные преобразования, описывающие распространение вихревых лазерных пучков в свободном пространстве

3.2.2. Аналитические выражения для векторной дифракции Гауссова пучка на СФП

3.2.3. Численное моделирование

3.3 Дифракция Гауссова пучка с начальной радиальной поляризацией на

3.3.1. Интегральные преобразования для описания распространения радиально и азимутально поляризованных лазерных пучков в свободном пространстве

3.3.2. Распространение радиально поляризованных оптических вихрей

3.3.3. Выражения для продольной составляющей

3.3.4. Интерференция Гауссовых вихрей с круговой поляризацией

3.3.5. Численное моделирование

Выводы по главе

Глава 4 Параксиальная дифракция света на квантованных СФП

4.1 Дифракция Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП

4.1.1. Уравнение полигональной апертуры

4.1.2. Дифракция Фраунгофера плоской волны на ДОЭ с формой правильного многоугольника и кусочно-постоянным микрорельефом

4.1.3. Численное моделирование

4.2 Трех- и четырехуровневые спиральные фазовые пластинки 143 4.2.1. Малоуровневые СФП 143 4.2.3. Трехуровневая СФП, состоящая из трех субапертур

Выводы по главе

Глава 5 Гипергеометрические лазерные пучки

5.1 Параксиальная теория гипергеометрических лазерных пучков (ГГ-пучки) 153 5.1.1. Гипергеометрические лазерные пучки общего вида

5.2 Гипергеометрические моды

5.2.1 Гипергеометрические моды при у =

5.2.2 Обобщенные гипергеометрические моды

5.2.3 Численное моделирование

5.3 Частные случаи ГГ-пучков

5.3.1 Гауссовы гипергеометрические пучки

5.3.2 Модифицированные квадратичные пучки Бесселя-Гаусса

5.3.3 Гауссовы оптические вихри

5.3.4 Полые Гауссовы оптические вихри

5.3.5 Модифицированные элегантные пучки Лагерра-Гаусса

5.3.6 Гамма-гипергеометрические пучки

5.4 Непараксиальная теория ГГ-пучков

5.4.1. Угловой спектр плоских волн для непараксиальных гипергеометрических мод

5.4.2. Прямые и обратные непараксиальные гипергеометрические моды

5.4.3. Численное моделирование

5.5 Экспериментальное формирование гипергеометрических лазерных пучков

Выводы по главе

Глава 6 Дифракция света на логарифмическом аксиконе (ЛА) и преодоление дифракционного предела

6.1 Самофокусировка векторного гипергеометрического пучка

6.1.1. Непараксиальное векторное распространение гипергеометрического лазерного пучка с эллиптической поляризацией

6.1.2. Самофокусировка ГГ-пучков при п =

6.1.3. Самофокусировка ГГ-пучков при п —

6.1.4. Результаты моделирования

6.2 Дифракция Гауссова пучка на ЛА: преодоление дифракционного предела

6.2.1. Общее выражение для амплитуды

6.2.2. Осевая интенсивность

6.2.3. Фазовая радиальная сингулярность в центре

6.2.4. Радиус поперечного распределения интенсивности

6.2.5. Моделирование FDTD-методом

6.3 Моды градиентного гиперболического секансного волновода

6.3.1. ТЕ-моды планарного ГС-волновода

6.3.2. ТЕ-моды ГС-волновода с «пьедесталом»

6.3.3. ТМ-моды ГС-волновода

6.3.4. ТЕ-моды ограниченного ГС-волновода

6.3.5. Моделирование прохождения ТЕ-мод в ГС-волноводе

Выводы по главе

В диссертации теоретически исследуется дифракция (параксиальная, непараксиальная и векторная) когерентного света на спиральной фазовой пластинке, спиральном аксиконе и логарифмическом спиральном аксиконе.

Актуальность темы

Объекты с вихревой структурой существуют в самых разнообразных сферах материального мира, в макромире (спиральная форма галактик и туманностей), в микромире (элементарные частицы, световые поля) и в нашей повседневной жизни (циклоны и антициклоны, торнадо и тайфуны). Их структуры и поведение до сих пор ещё исчерпывающе не изучены и представляют собой обширное поле для исследований. Так, в последние несколько лет происходит выделение в отдельный раздел («сингулярная оптика») раздела оптики, занимающейся исследованием световых пучков с фазовыми особенностями. Частным случаем таких пучков являются вихревые лазерные пучки, обладающие орбитальным угловым моментом, и формируемые, например, при прохождении света через спиральную фазовую пластинку [1]. В точке сингулярности такого пучка интенсивность светового поля обращается?в нуль, а значение фазы не определено. В окрестности такой точки происходят резкие фазовые изменения.

Сингулярные особенности в световых полях могут появляться при их прохождении через случайно-неоднородные и нелинейные среды. Также возможно возбуждение вихревых полей в лазерных резонаторах и многомодовых волоконных световодах. Наиболее простым и управляемым способом формирования вихревых полей является использование спиральных дифракционных оптических элементов (ДОЭ), а также динамических жидкокристаллических транспарантов. Простейшими такими ДОЭ являются спиральная фазовая пластинка (СФП) и спиральный аксикон (СА).

Вихревым лазерным пучкам посвящены многочисленные исследования и публикации как российских учёных-оптиков, так и их зарубежных коллег. В последнее время активно изучаются свойства подобных пучков на основе мод Бесселя, Лагерра-Гаусса (ЛГ), Эрмита-Гаусса (ГЭ) и других [2-4].

Область применения оптических вихрей постоянно расширяется. В частности, в задачах нанофотоники их предлагается использовать для манипулирования микро- и нанообъектами. Например, недавно в работе [5] исследовалось движение золотых наночастиц (от 100 нм до 250 нм), захваченных в центральной части оптического вихря. Также все больше уделяется внимание исследованию возможностей использования плазмонных эффектов в качестве нано-пинцетов [6, 7].

Использование оптических вихрей в фотолитографии позволяет достичь разрешения X/ 10 (X — длина-волны, света). При-этом возможно эффективное использование спиральных оптических структур даже с малым числом уровней квантования' [8].

К числу других применений оптических вихрей относится, например, интерферометрия: с помощью СФП, помещенной в плоскость пространственного спектра ^оптической системы (/ - фокусное расстояние сферической линзы) предложен способ получения спиральных интерферограмм, используя которые легко различать выпуклые-и вогнутые участки волнового фронта-[9].

С помощью спиральных фильтров выполняется контрастирование и рельефное изображение фазовых объектов нанометрового размера. [10].

СФП используется также в звездном коронографе, в котором свет от яркой звезды преобразуется в кольцо и диафрагмируется, а слабый свет от планет этой звезды проходит через диафрагму и регистрируется. Известно, что вихревые волны в когерентной системе имеют хорошо определенную фазу, которая, однако, плохо определена в частично-когерентной системе. В пределе, для полностью некогерентного случая, ни винтовая фаза, ни нулевая интенсивность не наблюдается. Это позволяет использовать оптические вихри для исключения из области наблюдения когерентного излучения с целью усиления некогерентного сигнала, именно этот эффект используется в коронографе [11, 12].

СФП также применяется для оптического выполнения радиального преобразования Гильберта [13]. Гильберт-оптика, а также близкая по преобразованиям в частотной области теневая оптика, успешно используются для предобработки изображений и фазового анализа. Гильберт-спектроскопия позволяет достигать наноразрешения при Фурье-спектральном анализе. Использование радиального преобразования Гильберта, в том числе дробного, на основе СФП открывает новые возможности в решении упомянутых выше задач.

Фазовые дислокации с нулевой интенсивностью, представляют собой перспективное средство в метрологии. Так как точность определения положения дислокации не ограничена классическим дифракционным пределом (градиент изменения фазы в этом случае теоретически неограниченно возрастает), а лишь отношением сигнал/шум, то геометрия объекта при условии наличия априорной информации об объекте может быть определена с очень высокой -точностью [14]. На этом подходе основывается« метод оптико-вихревой метрологии [15], успешно примененный в оптико-вихревом интерферометре, позволяющем отслеживать смещение объектов с нанометрической точностью [16].

Чувствительность сингулярных пучков к изменениям волнового фронта и различного рода дефектам может использоваться для бесконтактного* тестирования поверхностей [17] и анализа оптических систем [18].

С помощью оптико-вихревых интерферометров, в основе которых лежит генерация световых полей, представляющих собой регулярные решетки или сетки оптических вихрей [19, 20] (т.е. измерения ведутся по положению узлов не с максимальной световой интенсивностью, а минимальной - нулевой), можно определять углы поворота волнового фронта с точностью 0,03 угловых секунды [21] и измерять углы наклона волнового фронта с точностью 0,2 угловых секунды [22].

В нелинейных оптических средах оптические вихри могут использоваться для формирования волноводных структур [23] и «лабиринтов» [24], а также для исследования различных физических явлений [25, 26].

1. Впервые СФП была рассмотрена в 1984 году [1] как элемент Бессель-оптики. В 1992 году СФП была изготовлена как амплитудная решетка с «вилкой» [27], как радиально-спиральная амплитудная решетка [28]. Без несущей пространственной частоты СФП была изготовлена и исследована в [29], а название свое получила после работы [30]. Заметим, что в [29] СФП использовалась для оптического выполнения радиального преобразования Гильберта. Ранее теоретически рассматривалась дифракция неограниченной плоской волны на СФП [31]. В [32] рассматривалась СФП с дробным топологическим зарядом. В [33] получено выражение для скалярной дифракции Гауссова,пучка на СФП.

Однако дифракция плоской волны, ограниченной круглой диафрагмой, на СФП не была рассмотрена. Также не было показано, что комплексная, амплитуда света при дифракции на СФП выражается через гипергеометрические функции.

2. Аксикон известен с 1954 года [34]. Это» стеклянный конус, который освещается со стороны основания, а оптическая ось проходит вдоль высоты конуса. Он, как- правило, используется в оптике для создания узкого «бездифракционного» лазерного пучка [35, 36] или совместно с линзой для формирования узкого кольцевого распределения интенсивности света [37-39], а также для увеличения глубины резкости микроскопов [40-42]. При совмещении аксикона со спиральной фазовой пластинкой получается оптический, элемент, называемый спиральным аксиконом. Впервые дифракционный спиральный аксикон (СА) [43] был изготовлен по технологии фотолитографии и экспериментально использован для формирования Бесселевых пучков высших порядков в 1992 году. СА в комбинации со сферической линзой был изготовлен немного ранее с помощью отбеливания на желатине и был использован для фокусировки в кольцо с устранением центрального максимума [44].

В некоторых работах предприняты попытки математически описать дифракцию света на аксиконе. В [45] получена приближенная формула для распределения интенсивности в окрестности фокуса. Однако аксикон в этой работе исследовался не спиральный. В [46] получено выражение для описания изображения, формируемого ^системой с аксиконом в качестве пространственного фильтра. Однако аксикон использовался неспиральный и выражение получено для двумерного случая и эмпирическим путем, поэтому не точно описывает формируемое поле.

Явных аналитических выражений, описывающих дифракцию когерентного света на СА получено не было.

3. Лазерные пучки с радиальной поляризацией используются для острой субволновой фокусировки. Распространение радиально-поляризованных пучков рассматривается в [47—49]. В [47] не была изучена продольная компонента поля, которая дает заметный вклад в общую интенсивность в случае острой фокусировки света. В [48] исследована непараксиальная дифракция, но рассматривалось поле без оптических вихрей. В [49] рассмотрена дифракция Гауссова пучка с радиальной поляризацией, но в рамках параксиальной теории и также без оптических вихрей. Острая (непараксиальная) фокусировка невихревых лазерных пучков с радиальной поляризацией и вихревых пучков с эллиптической поляризацией рассматривалась соответственно в [50] и [51]. В1 основе рассмотрения в [50, 51] были приближенные теории Дебая и Ричардса-Вольфа.

Однако не были получены явные аналитические выражения для радиальной, азимутальной и осевой проекций вектора напряженности электрического поля, описывающие непараксиальную дифракцию Гауссовых оптических вихрей (вихревых лазерных пучков) с начальной радиальной и азимутальной поляризациями.

4. При изготовлении СФП, как и любого другого дифракционного оптического элемента, по технологии литографии получается ступенчатый микрорельеф. В результате СФП получаются многоуровневыми (квантованными). Многоуровневые СФП исследовались в [52, 53]. В [52] теоретически рассчитано, с какой эффективностью преобразует ступенчатая СФП Гауссов пучок в моду Лагерра-Гаусса (0, 1), а также проведен эксперимент с 16-уровневой СФП, изготовленной по технологии фотолитографии. В [53] теоретически найдены минимальные числа уровней фазы СФП (для номеров п < 8), при которых конечно-уровневые СФП слабо отличаются от непрерывной СФП. С помощью конечно-уровневой СФП, реализованной на основе жидко-кристаллической ячейки, в [53] сформированы вихревые лазерные пучки с номерами сингулярности до 6. В [54, 55] рассматривается ахроматическая СФП, которая формирует почти одинаковые вихревые поля, если длина волны освещающего излучения меняется в достаточно широком диапазоне (140 нм). В этих работах [52-55] СФП анализируется с помощью разложения в ряд по угловым гармоникам.

Однако не было получено аналитического выражения (не в виде ряда) для описания дифракции Фраунгофера плоской волны на многоуровневой (квантованной) СФП.

5. В современных научных исследованиях интерес к различным типам лазерных пучков заметно возрос. Продолжаются исследования хорошо известных мод Лагерра-Гаусса [56]. В [57] с помощью функции Вигнера рассмотрены непараксиальные моды Лагерра-Гаусса. Продолжают исследоваться элегантные пучки Лагерра-Гаусса [58] и Эрмита-Гаусса [59]. Эти пучки описываются соответствующими полиномами с комплексными аргументами. В [60, 61] исследовались разными методами эллиптические пучки Лагерра-Гаусса. В работах [62, 63] рассматривалось новое семейство параксиальных лазерных пучков — гипергеометрические моды. Эти моды близки к известным модам Бесселя [64, 65]. Они также обладают бесконечной энергией и могут быть сформированы с помощью ДОЭ только приближенно.

Однако теоретически не было сделано обобщение гипергеометрических мод и не были получены гипергеометрические лазерные пучки.

6. В последнее время возрос интерес к точным решениям параксиального уравнения типа Шредингера в цилиндрической системе координат. Недавно были открыты гипергеометрические-гауссовые пучки [66], круговые пучки [67]. В [67] указано, что частными случаями круговых пучков являются многие известные световые пучки, например, стандартные [68] и элегантные [69] моды Лагерра-Гаусса, квадратичные Бессель-Гауссовы пучки [70], Гауссовы оптические вихри [31, 71].

Однако аналогичных непараксиальных гипергеометрических лазерных пучков, которые получаются как решения уравнения Гельмгольца, получено не было.

7. Известны работы, в которых показана самофокусировка кольцевых лазерных пучков. Так, в [72] исследуется распространение в пространстве мод ЬР(п и ЬР„ полого волокна. Показано, что на некотором расстоянии кольцевая мода ЬРо1 самофокусируется, а у моды ЬРц уменьшается радиус кольца, хотя само кольцо не переходит в фокус. В [73] исследуется самофокусировка кольцевого Гауссова пучка: получена зависимость интенсивности пучка на оси и формула для фокусного расстояния такого пучка. В' работах [74] и [75] получены, соотношения* для ширины кольцевого пучка (второй момент интенсивности) в зависимости от расстояния вдоль оси; г. Эти соотношения получены для* пучков Уиттекера-Гаусса. Численно показано, что при действительном параметре* (первый' параметр в функции Уиттекера) радиус пучка, при распространении» уменьшается, причем чем больше параметр //, тем дальше перетяжка (фокус) от начала координат г = 0.

Но не было показано, что непараксиальные векторные гипергеометрические лазерные пучки с топологическим, зарядом п = 0, 1 также обладают свойством самофокусировки (то есть смещением перетяжки от начальной плоскости).

8. Интерес к фокусировке лазерного света в продольный осевой отрезок, в том числе с субволновым диаметром, не ослабевает. В [76] с помощью фемто-секундного лазерного импульса с длиной волны X = 800 нм экспериментально с помощью аксикона сформирован пучок Бесселя, который проделал в стекле на-ноканал диаметром 200 нм = 0,25А, и длиной 30 мкм. В [77],экспериментально с помощью сужающейся трубки (фактически это полый аксикон) из стекла сформировали на расстоянии 2,2Х фокусное пятно с диаметром по полуспаду интенсивности, близким к дифракционному пределу Р1\\^НМ = 435 нм = 0,65Х, А, = 671 нм. В [78] численно показано, что вблизи вершины стеклянного аксикона при определенных параметрах может возникнуть субволновое фокусное пятно диаметром = 0,3 0А,. В [79] впервые рассмотрен ЛА с квадратичл ной зависимостью фазы от радиальной координаты £(г) = у 1п(а+Ьг ), который был реализован с помощью цифровой голограммы и фокусировал свет в осевой отрезок. В [80] проведено моделирование ЛА и показано, что осевая интенсивность вдоль отрезка в среднем более постоянная, в отличие от конического линейного аксикона [81], у которого средняя интенсивность-растет вдоль осевого отрезка.

Но не были получены аналитические выражения для параксиальной комплексной амплитуды дифракции Гауссова пучка на логарифмическом аксиконе.

9. В последнее время возрос интерес к планарным градиентным и фотонно-кристаллическим линзам, которые способны обеспечить субволновую фокусировку лазерного света [82—85] и применяются для ультра-компактного сопряжения планарных волноводов разной ширины [86*, 87*]. Часто в качестве пла-нарной градиентной линзы используется линза, показатель преломления которой зависит от поперечной координаты как гиперболический секанс. Гиперболическая секансная (ГС) линза имеет свою долгую^ историю. Еще в 1930 году П.С. Эпштейн [88] рассмотрел задачу расчета мод для градиентного волновода со сложным показателем преломления, обобщающим ГС-профиль. В 1951 году А.Л. Микаэлян [89] нашел, что ГС-профиль показателя преломления является оптимальным для фокусировки света. Поэтому ГС-линза Микаэляна является частным случаем градиентного волновода Эпштейна. Далее задача распространения света в ГС-волноводе и ГС-линзе решалась в геометрооптическом [90, 91], квазиоптическом [92] и волновом [93-96] приближениях. В [97, 98] описаны экспериментальные результаты по фокусировке света с помощью ГС-линзы. В [99] ГС-линза используется для сверхразрешения совместно с рефракционной и дифракционной линзами.

Однако не было показано, что моды планарного ГС-волновода могут быть выражены через многочлены Якоби, и что любая- композиция ТЕ-мод ГС-волновода периодически повторяется при распространении.

Из приведенного обзора научных работ и сформулированных нерешенных задач следует цель диссертации.

Цель диссертационной работы

Теоретическое исследование дифракции когерентного света на спиральной фазовой пластинке, спиральном аксиконе и логарифмическом спиральном ак-сиконе.

Для достижения поставленной цели требовалось решить следующие задачи:

1. Получить явные аналитические выражения для описания скалярной дифракции плоской волны на СФП, а также установить свойства формирующейся дифракционной картины.

2. Получить явные аналитические выражения для описания скалярной дифракции плоской волны на СА. Исследовать влияние аксикона на картину дифракции на СФП.

3. Получить явные аналитические выражения для векторной дифракции Гауссова пучка с различным состоянием поляризации на СФП. Исследовать фокусировку радиально поляризованных Гауссовых пучков.

4. Получить явные аналитические выражения для описания дифракции Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП. Установить свойства оптических вихрей, формирующихся при дифракции на СФП с малым числом уровней квантования.

5. Получить явные аналитические выражения для описания скалярной параксиальной дифракции Френеля и установить свойства гипергеометрических лазерных пучков и мод, формирующихся при прохождении Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей через спиральный логарифмический ак-сикон.

6. Получить явное выражение для непараксиальной дифракции гипергеометрических лазерных пучков в свободном пространстве.

7. Получить явные аналитические выражения для трех проекций вектора напряженности электрического поля гипергеометрического лазерного пучка в слабом непараксиальном приближении. Исследовать фокусировку гипергеометрических пучков.

8. Получить выражение для дифракции Френеля Гауссова пучка на спиральном логарифмическом аксиконе (ЛА), а также для эффективного радиуса картины дифракции. Исследовать возможность преодоления дифракционного предела с помощью ЛА.

9. Получить явные выражения для мод планарного гиперболического се-кансного (ГС) волновода. Определить величину периода Тальбота. Установить изображающие свойства отрезка ГС-волновода.

Научная новизна работы

В диссертационной работе впервые получены следующие результаты:

1. Получены явные аналитические выражения для комплексной амплитуды света, описывающей скалярную дифракцию на спиральной фазовой пластинке (СФП). В случае освещения СФП плоской волной учтена ее ограниченность круглой диафрагмой (раньше это учитывалось только для^ СФП первого порядка). В случае освещения Гауссовым пучком комплексная амплитуда выражена через гипергеометрическую функцию, что позволило рассмотреть дифракцию Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей и обобщить известные выражения для оптических вихрей.

2. Получены явные аналитические выражения для комплексной амплитуды света, описывающей скалярную дифракцию плоской неограниченной и ограниченной круглой диафрагмой волн на спиральном аксиконе. Использование спирального аксикона позволило управлять контрастом периферийных колец на дифракционной картине оптического вихря, изменяя параметр аксикона.

3. С помощью вычисления интегралов Рэлея-Зоммерфельда в слабом непараксиальном приближении получены явные аналитические выражения для амплитуды трех компонент вектора напряженности электрического поля, описывающей дифракцию Гауссова пучка на СФП с произвольным целым топологическим зарядом п. Рассмотрено прохождение через СФП Гауссова пучка с радиальной и азимутальной начальной поляризацией (ранее радиально поляризованные Гауссовы пучки рассматривались в свободном пространстве без СФП). Полученные выражения позволили обосновать формирование радиально и азимутально поляризованных световых пучков при интерференции Гауссовых оптических вихрей с правой круговой поляризацией и п = — 1 и левой круговой поляризацией и п = +1, а также необходимость использования СФП с единичным топологическим зарядом для фокусировки в пятно, а не кольцо.

4. Получены явные аналитические выражения для комплексной амплитуды света, описывающей скалярную параксиальную дифракцию Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП. Новизна состоит в том, что рассматривалась СФП в форме правильного многоугольника, состоящего из конечного числа треугольных секторов с постоянной' фазой в каждом из них. Это позволило показать, что оптические вихри можно сформировать при прохождении плоской волны света через СФП всего с тремя или четырьмя уровнями квантования, которая является более простой в изготовлении по сравнению с непрерывной СФП.

5. Рассмотрено трехпараметрическое семейство гипергеометрических лазерных пучков, комплексная амплитуда которых является решением параксиального уравнения Гельмгольца и пропорциональна функции Куммера. Гипергеометрические лазерные пучки формируются при прохождении Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей через логарифмический аксикон, совмещенный с СФП.

6. Найдено решение уравнения Гельмгольца, которое описывает распространение гипергеометрических лазерных пучков в свободном пространстве без использования параксиального приближения. Это семейство решений выражается через произведения двух линейно-независимых решений уравнения Куммера, и описывает световые поля, распространяющиеся как в прямом, так и в обратном направлении вдоль оптической оси. Эти пучки являются еще одним примером непараксиальных оптических вихрей или сингулярных световых полей с радиальной симметрией поперечной интенсивности и винтовой (спиральной) фазой.

7. Рассмотрены векторные гипергеометрические лазерные пучки, для которых получены аналитические выражения для амплитуд трех проекций вектора напряженности электрического поля. Также получены формулы для осевой интенсивности таких пучков с нулевым и единичным топологическим зарядом. Эти формулы позволили обнаружить смещение положения перетяжки пучка от начальной плоскости и определить величину этого смещения.

8. Получено явное аналитическое выражение для комплексной амплитуды света, описывающей дифракцию Френеля Гауссова пучка на спиральном логарифмическом аксиконе. Это позволило ^оценить эффективный радиус картины дифракции, обосновать уменьшение этого радиуса с ростом модуля отрицательного параметра аксикона, и показать с помощью моделирования: возможность формирования субволнового фокусного пятна с диаметром, равным одной пятой длины волны.

9. Получены явные выражения для комплексных амплитуд ТЕ и ТМ мод планарного гиперболического' секансного (ГС) волновода. Новизна состоит в выражении амплитуды ТЕ мод через полиномы Якоби, а также в том, что показано наличие периода Тальбота для ТЕ-поляризованного излучения и отсутствие такового для ТМ-поляризованного. Отрезок ГС-волновода (ГС-линза) рассмотрен в качестве изображающей системы с субволновым разрешением и предложено для увеличения разрешения вместо интенсивности регистрировать проекцию вектора Умова-Пойнтинга на оптическую ось.

Практическая значимость

Полученные в диссертационной работе результаты имеют также и прикладное значение. Полученные в диссертации аналитические выражения могут применяться при расчетах и моделировании в таких оптических задачах, как создание оптических ловушек, в которых осуществляется захват диэлектрических микрочастиц в световое кольцо и вращение по нему; создание устройств оптической обработки изображений, в котором спиральный оптический элемент может использоваться в качестве пространственного фильтра для подчеркивания контуров на оптическом изображении; субволновая фокусировка лазерного излучения с помощью логарифмического аксикона или гиперболической секансной линзы.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается соответствием экспериментальным данным, или переходом в предельных случаях в, ранее известные результаты, других исследователей, а также прямой проверкой-с помощью программы МаЙаЬ равенства левой'и правой частей всех полученных аналитических выражений.

Положения, выносимые на;защиту

1. При скалярной дифракции на спиральной; фазовой пластинке (СФП) с целым топологическим зарядом п формируется световое поле, комплексная амплитуда которого описывается* гипергеометрической функцией при дифракции плоской волны и функцией Куммера при дифракции Гауссова пучка. В.случае дифракции Фраунгофера на СФП ограниченной плоской волны. комплексная амплитуда оптического вихря также пропорциональна конечной сумме- функций Бесселя, а в случае дифракции Френеля Гауссова пучка — сумме двух модифицированных функций Бесселя.

2. В случае дифракции Фраунгофера плоской волны, ограниченной круглой диафрагмой, на спиральном аксиконе (СА) комплексная амплитуда света описывается рядом из гипергеометрических функций 1-Р2(<я, Ь, с, г). При дифракции Френеля Гауссова пучка на СА комплексная амплитуда описывается рядом из функций Куммера ^ (а, Ь, г) (вырожденных гипергеометрических функций). Использование аксикона совместно с СФП позволяет сформировать дифракционную картину с низким контрастом периферийных колец.

3. При векторной дифракции света на СФП комплексная амплитуда описывается конечной суммой из функций Бесселя (в случае параксиальной дифракции Фраунгофера плоской волны с эллиптической поляризацией) и линейной комбинацией двух модифицированных функций Бесселя (для дифракции Гауссова пучка как с эллиптической, так и с радиальной поляризацией). В случае начальной радиальной поляризации Гауссова пучка положение фокуса оказывается смещенным от геометрического в сторону перетяжки.

4. При дифракции Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП в форме правильного многоугольника световое поле описывается конечной суммой плоских волн. В случае треугольной или квадратной СФП с тремя или четырьмя уровнями фазы в центре дифракционной картины в области размером, равным диску Эйри, формируется оптический вихрь с единичным топологическим зарядом.

5. При прохождении Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей через спиральный логарифмический аксикон-формируется световой пучок, комплексная амплитуда которого в зоне дифракции Френеля описывается функцией Куммера (вырожденной гипергеометрической функцией). При наличии амплитудной особенности в начале координат эти световые пучки переходят в гипергеометрические моды, сохраняющие при распространении вид кольцевой интенсивности в поперечном сечении, меняясь только масштабно. Пространственная частота светлых колец на дифракционной картине линейно возрастает при удалении от оптической оси.

6. Комплексная амплитуда гипергеометрического лазерного пучка в непараксиальном приближении описывается произведением двух линейно-независимых решений уравнения Куммера.

7. В слабом непараксиальном приближении амплитуды трех проекции вектора напряженности гипергеометрического лазерного пучка описываются функциями Куммера. При распространении такого пучка с нулевым или единичным топологическими зарядами в свободном пространстве происходит самофокусировка, заключающаяся в смещении перетяжки пучка (области с максимальной осевой интенсивностью) от начальной плоскости.

8. При дифракции Френеля Гауссова пучка на спиральном логарифмическом аксиконе размер формируемого светового пятна находится в обратной зависимости от параметра аксикона. С помощью логарифмического аксикона может быть осуществлена субволновая фокусировка Гауссова пучка сразу за аксиконом.

9. Комплексная амплитуда ТЕ и ТМ мод планарного гиперболического се-кансного волновода описывается- соответственно полиномами Якоби и Гауссовыми-гипергеометрическими функциями. Для ТЕ мод существует период Таль-бота, через который дифракционная картина самовоспроизводится. Планарная гиперболическая секансная линза, являющаяся отрезком гиперболического се-кансного волновода, позволяет разрешить по критерию Рэлея два когерентных точечных источника, разделенных расстоянием равным 0;15 длины волны света.

Личный вклад автора

Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Также автор самостоятельно проводил моделирование и сравнение экспериментальных данных с результатами моделирования. Постановка задач и обсуждение результатов проводились совместно с научным консультантом.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из Введения, шести глав, Заключения, списка цитированной литературы и содержит 249 страниц текста, включая 98 рисунков и 5 таблиц. Список литературы состоит из 201 наименований.

Выводы по главе 3

1.При фокусировке в пятно радиально поляризованного Гауссова пучка следует использовать линзу совместно с СФП порядка п — ± 1. Вклад в формирование фокального пятна дает, в основном, продольная составляющая электрического поля. В отсутствии СФП происходит фокусировка в кольцо.

2 При дифракции Гауссова пучка с начальной радиальной поляризацией на СФП с топологическим зарядом п = ±1 на оптической оси фазовая и поляризационная сингулярности компенсируют друг друга, комплексная амплитуда не равна нулю, а поле обладает круговой поляризацией.

3. При интерференции Гауссовых вихрей с топологическими зарядами п = 1 с левой круговой поляризацией и п = -1 с правой круговой поляризацией формируется радиально или азимутально поляризованный световой пучок. В случае азимутальной поляризации продольная составляющая будет отсутствовать.

4 При фокусировке векторного Гауссова пучка с начальной радиальной поляризацией дифракционное фокусное пятно по полуспаду интенсивности может быть меньше, чем предсказывается скалярной теорией (при моделировании было получено пятно диаметром по полуспаду интенсивности 1,4 от длины волны вместо 2,06).

5 При дифракции на СФП Гауссова пучка с начальной радиальной поляризацией происходит осевое смещение фокуса от геометрического (при численном моделировании РОПЗ-методом получено смещение фокуса почти 50%).

Глава 4

Параксиальная дифракция света на квантованных СФП 4.1 Дифракция Фраунгофера плоской волны на квантованной

Существует множество способов-изготовления СФП, например путем многоступенчатого травления кремния [165] или с помощью абляции эксимерным лазером полиамидной подложки [166]. Микрорельеф формируемой СФП.получается ступенчатым или квантованным.

Многоуровневые СФП исследовались в [52, 53]. В [52] теоретически посчитано, с какой эффективностью преобразует ступенчатая СФП Гауссов пучок в моду Лагерра-Гаусса (0, 1), а также проведен эксперимент с 16-уровневой СФП, изготовленной по технологии фотолитографии.

В [53] теоретически найдены СФП с минимальным числом уровней фазы (для номеров п < 8), которые слабо отличаются от непрерывных СФП. С помощью конечно-уровневой СФП, реализованной на основе жидкокристаллической ячейки, в [53] сформированы вихревые лазерные пучки с номерами сингулярности до 6.

В [54, 55] рассматривается ахроматическая СФП, которая формирует почти одинаковые вихревые поля, если длина волны освещающего излучения меняется в достаточно широком диапазоне (140 нм). В этих работах [52—55] СФП анализируется с помощью разложения в ряд по угловым гармоникам: где шос!(.) - целое число, Р - общее число уровней фазы СФП, (р - азимутальный угол полярной системы координат, п - номер СФП, Ст - комплексные ко

СФП

4.1) эффициенты, ехр{гт(р) — угловые гармоники, описывающие пропускание непрерывной СФП с номером т.

В этой главе рассматривается конечно-уровневая СФП, ограниченная полигональной апертурой. Причем число уровней квантования фазы СФП равно числу сторон правильного многоугольника, ограничивающего апертуру СФП. В этом случае удалось получить аналитическое выражение в виде конечной суммы плоских волн для комплексной амплитуды, описывающей дифракцию Фраунгофера плоской волны на конечно-уровневой СФП, ограниченной правильным многоугольником.

Заметим, что ранее уже рассматривалась возможность формирования вихревых полей с помощью неспиральных фазовых пластинок [167]. В нашем случае, в отличие от [167], при увеличении числа уровней квантования фазы (или числа сторон многоугольника), картина дифракции в дальней зоне стремится к картине дифракции, сформированной непрерывной СФП с круглой апертурой.

4.1.1. Уравнение полигональной апертуры

Пусть О - многоугольник, заданный координатами своих вершин Ар(хр, ур), р = 0,Р-1, где Р — число вершин (рис. 4.1).

Пусть уравнение стороны многоугольника, соединяющей р-ю и (р+1)-ю вершины, имеет вид: у = арх + Ьр. (4.2)

Рис. 4.1. ДОЭ с многоугольной апертурой а

Пусть Дх, у) - функция двух переменных, определенная в Я следующим образом:

А*,у)=

1,(х5<у)єП,

4.3)

Известно, что преобразование Фурье от такой функции Ах, у) вычисляется с помощью уравнения полигональной апертуры [168]:

А [±і{,Хр+І1Ур)], (4.4) -хр)+т}(ур+1 -уР)Ц£(хр - V )+ті(Ур-Ур-1)] где под индексами р подразумеваются значения тос!(/?, Р), т.е. (х^, уР) = (х0, .Уо), (хь у-і) = (хРь уР-\) и т.д.

Тогда комплексная амплитуда, описывающая дифракцию Фраунгофера на полигональной апертуре (рис. 4.1) плоской волны с длиной волны X при фокусном расстоянии сферической линзы, равномимеет вид:

2як ,=І [ф^, -Хр) + 1][урА-ур)][е(хр-хр,) + л{уР "V.)] (4.5) где к = 2%!Х — волновое число.

4.1.2. Дифракция Фраунгофера плоской волны на ДОЭ с формой правильного многоугольника и кусочно-постоянным микрорельефом

Рассмотрим дифракционный оптический элемент, имеющий форму правильного многоугольника £2= АоАі.АР\, вписанного в окружность радиуса Я и р-1 содержащего начало координат О. Тогда Г2 = , где 0.р — треугольники

Р=о

ОАрАр+1, а каждая вершина Ар имеет координаты (рис. 4.2) хр =Ясоб у=Ябіп ^

V -О Ґ -\ р->

71

Р~~Р

4.6)

Р*

7Г

Пусть внутри каждого треугольника Ор глубина микрорельефа имеет постоянное значение, тогда внутри 0.р и функция комплексного пропускания ДОЭ будет постоянна:

4.7)

У '

1 о \ у^о(хо>Уо)

Лр-і(хр-і>Ур.\)

Рис. 4.2. ДОЭ с апертурой в виде правильного многоугольника

Тогда, пользуясь уравнением для полигональной апертуры (4.4), можно получить выражение для комплексной амплитуды, описывающей дифракцию Фраунгофера плоской волны на таком ДОЭ (рис. 4.2):

2жк + + ЧУр )

У о2

2 як

Гб іп ехр(/Ч^)ехр -і^Хр + г}Ур)

-Е- 1 1 г>2

2 як

Гбіп

Р ) р=0 (хр+1 - ) + 7] (- ^ )](%хр + цур ) р=^Хр+1+Г]Ур+1)у(хр+1 -хр) + 7] (ур+1 -ур)~\

4.8)

При переходе к полярным координатам вместо (4.8) получается следующее выражение:

2лл р~х

2 пкр ехр(іЧ'р)

V Р у Р=о л Л ( 7г л

СОБ (ОпЛ---в СОБ <7?---в

Гр р II ГР р 2пкрг р-1 р=о ехр(/Ур) ехр(^р,)

БІП {(рр-0) ехр

Жр

-I-— СОБ со *}Фр~-в

4.9)

В случае СФП, т.е. = п(рр, из (4.9) получим [169*]:

•г п сое — ехр(/Тр)

2лкр р=0

БИТ созар совог^,

2віпбіл — + соеоср+і ехр^-/ ^^ соъар СОЭ ССр ехр

Жр

-I-соб ОС р* 1

4.10)

--л где %=-п(рр, рр = {2п/Р)р, р = 0,Р-1, ар=(рр- — -6,Р>Ъ.

1. Берсзный, А.Е. Бессель-оптика / А.Е. Березный, A.M. Прохоров, И.Н. Сисакян, В:А. Сойфер // Доклады АН СССР. 1984. - Т. 274. - № 4. - С. 802-804.

2. Litvin, LA. A conical wave approach to calculating Bessel-Gauss beam reconstruction after complex obstacles / I.A. Litvin, M.G. McLaren, A. Forbes // Opt. Gommun. — 2009. — Vol. 282.-P: 1078-1082.

3. Sato, S. Hollow vortex beams / S. Sato, Y. Kozawa // J. Opt. Soc. Am. A; 2009. - Vol. 26. -No. 1.- P. 142-146.

4. An and, S. Generation of a hollow Gaussian beam and its anomalous behavior / S. An and // Opt. Commun.-2009. -Vol. 282.-P. 1335-1339.

5. Dienerowitz, M. Optical vortex trap for: resonant confinement of metal, nanoparticles / Mi Dienerowitz, M. Mazilu, P.J; Reece, T.F. Krauss, K. Dholakia // Opt. Express: 2008. -Vol. 16.-No. 7.-P. 4991-4999.

6. Zelenina, A. Tunable optical;sorting and manipulation of nanoparticles via plasmon excita-.-tion / A. Zelenina, R- Quidant, M: Nieto-Vesperinas // Opt; Lett; 2006: - Vol; 311 - P.* 2054-2056.

7. Burresi, M. Observation of Polarization Singularities» at the: Nanoscale- / M. Burresi, R.J.P. Engelen,.A. Opheij, D. van Oosten, D. Mori, T. Baba, L. Kuipers// Phys. Rev. Lett. -2009;-Vol. 102.-P. 033902.

8. Levenson, M. The vortex via process: analysis and mask fabrication for; contact CDs < 80nm / M. Levenson, S.M. Tan, G; Dai, Y. Morikawa, N. Ilayashi, T. Ebihara // Proc. SPIE. 2003. • Vol. 5040. - P. 344-370.

9. Jesacher, A. Spiral ;interferogram analysis / A. Jesacher, S. Furhapter, S. Bernet, M. Ritsch-Marte // J. Opt: Soc. Am; A; 2006. - Vol. 231 - No. 6; - P; 1400-1409.

10. Bernet, S. Quantitative imaging of complex samples by spiral phase contrast microscopy / S. Bernet, A. Jesacher, S. Furhapter, C. Maurer, M. Ritsch-Marte // Opt. Express: — 2006. -Vol. 14.- No. 9. P: 3792-3805.

11. Van Dijk, T. Evolution of singularities in a partially coherent vortex beam / T. van: Dijk, T.D. Visser // J. Opt. Soc. Am: A. 2009. - Vol. 26. - No. 4. - P. 741-744.

12. Davis, J.A. Fractional derivatives—analysis and experimental implementation / J.A. Davis, D.A. Smith, D.E. McNamara, D.M. Cottrell, J. Campos // Appl. Opt. 2001. - Vol. 40. -No. 32.-P. 5943-5948.14.17,18,19,20,21,22,23,24.25,26.