Методы анализа и синтеза когерентных световых полей: исследование фазовой проблемы и развитие оптики гауссовых пучков тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

Яа правах рукописи

Г\

.* . О'

о-. §

/ * 03 /

ВОЛОСТНИКОВ ВЛАДР1МИР ГЕННАДЬЕВИЧ

МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА КОГЕРЕНТНЫХ СВЕТОВЫХ ПОЛЕЙ: ИССЛЕДОВАНИЕ ФАЗОВОЙ ПРОБЛЕМЫ И

РАЗВИТИЕ ОПТИКИ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ

Специальность '11.04.05 - оттека

Автореферат диссертации на соискание ученой степени локтора физико-математических наук

Работа выполнена в Самарском филиале Физического института им.П.Н.Ле-бедева Российской Академии Наук.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ораевский А.Н.

доктор физико-математических наук, профессор Мельников Л.А.

доктор физико-математических наук, Хлебцов Н.Г.

Ведущая организация:

Московский государственный университет им.М.В .Ломоносова

Защита диссертации состоится ' 10 (Л^ОЬ^К 1997 года в ¡Ъ на заседании диссертационного совета Д 063.74.01 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук при Саратовском государственном университете им.Н.Г.Чернышевского по адресу: 410026, г.Саратов, ул.Астра-ханская, 83.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Университета. Автореферат разослан " & ^ 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент

Аникин В.М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Методы и средства анализа световых полей по измерениям интенсивности составляют основу оптических приборов, и с физической точки зрения решение любой задачи оптического измерения есть установление связи между энергетическими и структурными параметрами оптического излучения.

3 силу специфики оптического диапазона регистрации поддается не комплексная амплитуда оптического сигнала, а лишь его интенсивность, которая в общем случае не является полной характеристикой светового поля. Традиционные методы интенферометр;пт дагот принципиальную зозмоя-сность косвенных фазовых измерений, однако з ряде задач невозможно пли трудно реализовать интерферометрическип принцип получения информации о комплексной амплитуде или фазе поля. Данная ситуация имеет место з астрономии, рентгеновской и адаптивной оптике. В связи с этим является актуаль-ныи поиск и исследование таких связей между интенсивность» и фазой по--г —чгооые даю" на вопрос: сколько ч с.'.--.:г: чс-з- :пг::=■•_ ;.чвногтп

зужно произвести. чтобы по ним восстановить само лоле ил:: ;го :-.->

яые хаоактеристики. С другой стороны. существует самостоятельная область исследований, где искомое поле необходимо не зосстановить. а ;:штезшэовать. Это относится к задачам фокусировки излучения з область : заданными пространственными характеристиками л знутрирезонаторного формирования пучков с заданной структурой выходного излучения. Данная проблема является родственной задаче анализа световых поле;!: обе связаны с получением информации о поле по его энергетическим характеристикам. Легко видеть, однако, и их существенное различие: физическая реализуемость поля с анализируемой интенсивностью заложена в самой постановке задачи анализа, тогда как для задачи синтеза вопрос о существовании поля с заданной интенсивностью является одним из центральных. Это делает актуальным поиск закономерностей формирования и преобразования когерентных световых поле:':, критериев их физической реализуемости.

Цель работы. Развитие методов анализа и синтеза когерентных световых полей, теоретическое и экспериментальное исследование связи их энергетических и структурных характеристик.

В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи:

• исследование возможностей восстановления одно- и двумерных когерентных световых полей по измерениям интенсивности (фазовая проблема в оптике);

• разработка и исследование новых методов восстановления фазы поля по распределениям интенсивности и оптических схем, реализующих эти методы;

• теоретическое и экспериментальное исследование закономерностей преобразования лазерных пучков как структурно устойчивых при распространении световых полей;

• поиск, теоретическое и экспериментальное исследование световых полей, сохраняющих при распространении свою структуру с точностью до масштаба и вращения;

• исследование возможности синтеза лазерных пучков с заданным пространственным распределением интенсивности.

Научная новизна. Впервые решен ряд задач, относящихся к различным постановкам фазовой проблемы в оптике, а именно:

• найдена явная аналитическая связь между интенсивностью и фазой одномерного светового поля в зоне Френеля;

• получены явные аналитические зависимости фазы двумерного светового поля от его интенсивности как функции определенных параметров формирующей оптической системы;

• установлено, что векторное поле потока световой энергии содержит в общем случае потенциальную и вихревую компоненты; для безвихревых полей найдена явная аналитическая связь двумерных распределений фазы и интенсивности в зоне Френеля; показано, что вихревая компонента подчиняется закону сохранения, именно, интеграл от проекции ротора вектора потока световой энергии на направление распространения равен нулю для любой плоскости в зоне Френеля; показана связь между вихревой компонентой вектора потока световой энергии и дислокациями волнового фронта;

• показана возможность реализации оптическими средствами преобразования Габора и операции аналитического продолжения, применяемых в задачах обработки информации.

Установлен ряд новых закономерностей формирования и преобразования

световых полей, а именно:

• предложен и экспериментально реализован новый оптический элемент -вихревой аксикон - для фокусировки излучения в кольцо с нулевой интенсивностью в его центре;

» теоретически найдено и экспериментально реализовано преобразование пучков Эрмита-Гаусса в пучки Лагерра-Гаусса и, таким образом, установлена взаимнооднозначная связь посредством интегрального преобразования между двумя классами функций, широко используемых в различных областях физики и математики;

• теоретически и экспериментально установлено существование нового класса световых полей - спиральных пучков - сохраняюслх сзое распределение интенсивности при распространении с точностью до масштаба и зра-щения; разработаны основы оптики таких пучков; показано, что эти пучки являются модами специфических резонаторов с вращением поля:

• теоретически и экспериментально показана возможность синтеза струк--"тостойчивых лззеоных п,гчкоз таснседелением интенсивности в 4>ОрМ<? Пр^ЧОСАЪНей плоСК*п\ лкнчи.

Практическая значимость. Результаты работы могут служить оизнчес-

чои основой для решения следующих задач:

» восстановление волнового спронта излучения до измерениям интенсивности (датчики золнового фронта/:

• синтез оптических элементов, фокусирующих излучение з заданную ю-ласть (лазерная технология, медицина к

• внутрирезонаторное формирование излучения с заданными характеристиками (лазерное приборостроение).

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Фаза одномерного когерентного монохроматического поля аналитически выражается через его интенсивность в зоне Френеля. Задача восстановления двумерного когерентного поля в зоне Френеля по его интенсивности сводится к нахождению плоского зекторного поля потока энергии по его ротору и дивергенции, причем ротор подчиняется условию сохранения. Для безвихревых полей фаза аналитически выражается через интенсивность в зоне Френеля.

2. Найденные однозначные и аналитически явно выражаемые связи между двумерным распределением фазы когерентного монохроматического поля и

его интенсивностью как функции параметров формирующей его оптической системы позволяют предложить новые оперативные методы диагностики световых полей.

3. Световое поле, структурно устойчивое к фазовым астигматическим воздействиям вида тр(х,у)=х2-у2, преобразуется в радиально-симметричное по интенсивности поле при астигматическом воздействии вида тр{х,у)=2ху. В частности, пучки Эрмита-Гаусса преобразуются в пучки Лагерра-Гаусса.

4. Существует класс структурно устойчивых световых полей - спиральных пучков, — сохраняющих свою форму при распространении с точностью до масштаба и вращения. Спиральные пучки являются модами кольцевых резонаторов с вращением поля.

5. В классе спиральных пучков имеется множество световых полей, имеющих распределение интенсивности в форме произвольной плоской линии (замкнутой или нет). Множество распределений комплексной амплитуды этих полей совпадает с множеством волновых функций основного состояния заряженной частицы в однородном магнитном поле при симметричной калибровке вектор-потенциала.

6. Пучки в форме замкнутых кривых подчиняются закону квантования: площади областей, ограниченных кривыми, при заданном гауссовом параметре пучка могут принимать только дискретный набор значений. Количество изолированных нулей интенсивности таких пучков внутри соответствующих кривых определяется только их площадью, но не формой. Синтез спиральных пучков в форме произвольной линии можно осуществить посредством формирования одномерных амплитудно-фазовых элементов.

Личный вклад автора и публикации. По тематике, близкой к диссертации, было опубликовано 30 работ и получено 6 авторских свидетельств на изобретения. Непосредственно по материалам диссертации опубликовано 19 работ и получено 4 авторских свидетельства.

В диссертации представлены только те результаты, в получение которых автор внес решающий вклад. Во всех работах ему принадлежит постановка задачи, решающий теоретический вклад в их решение, выполнение всех экспериментов, анализ полученных результатов и выводы.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XV (г.Минск, 1983 г.), XVI (г.Долгопрудный, 1984 г.), XVII (г.Куйбышев, 1985 г.), XVIII (г.Черноголовка, 1987 г.) Всесоюзных школах по голографии и когерентной

оптике, XXIII (г.Долгопрудный, 1994 г.) и XXIV (г.Долгопрудный, 1996 г.) Российских школах по голографии и когерентной оптике, на Международной конференции "Голографические данные для неразрушающего контроля" (г.Дубровник. Югославия, 1982), на Всесоюзном совещании "Компьютерная оптика" (г.Тольятти, 1990 г.), на 5-й Международной конференции "Лазеры и их применение" (г.Шатура, 1995 г.), на 8-й Международной конференции "Оптика лазеров" (г.Санкт-Петербург, 1995 г.), на Международной хоншерен-ции по лазерам CLEO'96 (г.Гамбург, Германия, 1996), на семинарах академика А.Н.Тихонова <ВМиК МГУ'*, на семинаое лаборатории им.Г.С.Ландсберга. на семинарах ФИАН и ИОФАН.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Работа изложена яа 193 страницах, содержит 71 рисунок и список литературы из 151 наименования цитируемых источников.

Содержание работы

яцедочии показана »кт"альность гемь;. сформулированы цел;: л задачи работь;. приведены засишаемке положения.

В первом главе лан краткий анализ современного состояния одномерно;: фазовой проблемы з оптике. Отмечено отсутствие явных аналитически:; сиос-мул для связи между интенсивностью л фазой волнового поля.

Теоретически исследована задача зосстановления одномепного ¡зетового поля по измерениям интенсивности 1(х,1) и ее производной здоль распространения излучения Ь(х,1) на некоторой проскости î=!q в зоне Френеля. Известно, что поле Fix.l) з .зоне Френеля удовлетворяет квазиоптическому дифференциальному уравнению r2F cF

Подстановкой F{x, I) = ^I(x, I) ехрц<р(х, l)) я разделением зещественной :t -мнммей-чзстей из (1) получено дифференциальное уравнение для фазы <р{х):

-Lij^ j-W,=0, (2)

ах \ сх J решение которого имеет зид

Z d 1 Х d

<p(x) = <p(a)-kjj^jl,(r)dT + cj (3)

1 Xi} 2

Нахождение нетривиальной константы с требует знания ар/8х в некоторой точке ха. Показано, что для аналитического продолжения поля и интенсивности 1(г,1)=Р(г,1)Р(г,1) справедливо тождество

ог

.21к^\1(г,1) = 24-\ F(z,l)^(z,l) | (4) 81 ог{ дг

Рис.1. Пары нулей (гт,гт) аналитического продолжения интенсивности Г(гД Черным отмечены нули поля Г(г,1), для которых имеет место равенство (5).

и, как следствие,

о2 5

—г + 21к

дг2

81

= О,

(5)

где г!,22 - любая пара нулей аналитического продолжения при фикси-

рованном 1=10. Тогда инвариант (5) дает возможность выделения нулей функции Г(гДо) из пар нулей (гт,гт) аналитического продолжения интенсивности ДгДо) (см. рис.1). Использование в качестве граничной точки х0 вещественной координаты нуля аналитического продолжения £Хг,2о) позволяет получить необходимую константу с из измерений интенсивности з виде

1 51

■1 2 02

(6)

Это решает поставленную задачу и дает аналитическую формулу связи интенсивности и фазы одномерного поля в зоне Френеля. Для проверки работоспособности метода, основанного на связях (3,6) были проведены численные и натурные эксперименты восстановления модельного поля по интенсивности (см. пример на рис.2), которые показали удовлетворительное согласие с аналитическими результатами. Исследована также зависимость качества восстановления от расстояния до плоскости регистрации и уровня шумов регистрируемой интенсивности.

Во второй главе изложены основные результаты по решению двумерной

фазовой проблемы в оптике. Отмечено, что

1. основными методами, дающими практические результаты, являются к настоящему времени итерационные;

2. не вполне ясны физические аспекты различий в решении одномерной и двумерной фазовых проблем;

IFfe.0)l2 IF.teOll2 . л '

* i : wjw.

;!l Э-

Л-V i

argF^.O) o-l

argFix.O)

II 2ti

Рис.2. Молельное поле Г(г,3) (а) и результат его зосстановления |Ь) по интенсивности | и ее производной с помощью процедуры ,3.5)._I

3. отсутствуют явные аналитические формулы связи интенсивности и фазы двумерного поля общего вида.

Для выяснения различи!! ме::-:ду одномерной и двумерной постановками соазовой проблемы теооетически -г^следозан двумерный аналог задачи, исчерпывающее решение котоооп получено з глазе '. я именно задача зосстановления лзумеоного поля 7'х.у.'.) ло измерениям его интенсивности з зоне Фоенеля. Доказано, что источником основных различий з решении одномерной л двумерной фазовых проблем лвллется зпхрезой. з общем случае, ха-рактео векторного поля вектора потока световой энергии )=1Х!р.

Для безвихревых полей (т.е. V 1x^7^=0) получена явная аналитическая зависимость между интенсивностью 1{х,у,1о) и фазой (р{х,у,1$) в зоне Френеля:

у - п)

,,р =

-{у-ПГ

— didv-

а*

В общем случае выражение для градиента фазы имеет вид

с с Г

= V)

{х-д,у-7]) s [y-rj^-x) I ,„,

где скалярная функция rot0j определяется равенством

2 ди cv си cv } _ 1 .' 01 0<р Я с<р ■ шх. у) = Не F(x, у.:,) к у ох 6у су Ох) кх0х су су сх j i\x, у) = Im F(x, у, ;0J

(7)

(8)

и не находится явно через распределение интенсивности.

ь

Для ротора вектора потока световой энергии } найдено свойство сохранения:

Цго^х, у) йхйу = 0.

К2

Наиболее характерным проявлением вихревой природы вектора 3 являются изолированные невырожденные нули интенсивности. Доказано, что при обходе такого нуля (х0,у0) фаза поля меняется на 2л:

фурсг^г^епгоусхц.у,,), (9)

где Ь~ произвольный контур, охватывающий только этот нуль интенсивности.

Таким образом, устанавлена связь между вихревой природой вектора потока световой энергии и известными дислокациями волнового фронта. Как видно из (8) го^ равен нулю во всех экстремальных точках интенсивности, в которых 1(х,у,1д)*0. Если (хд,у0) - изолированный нуль интенсивности, то значение модуля ротора определяется выражением

При помощи соотношения го10л=—уравнение для нахождения вектора потока световой энергии и, следовательно, искомого поля приведено к виду где ¿а - первый интеграл из (7) и А - интегральный оператор

над

Таким образом, задача сведена к нахождению ] из векторного интегрального уравнения. Численные эксперименты показали, что для устойчивого восстановления ^ из итеративной процедуры определяющую роль играет учет значений ротора в изолированных нулях интенсивности (точнее,

значно) при построении начального приближения д0.

На примере конкретной задачи фокусировки излучения в окружность рассмотрена связь между двумерной фазовой проблемой и синтезом световых полей. Показано, что решения, полученные методом стационарной фазы, могут давать распределения интенсивности, существенно отличающиеся от требуемых. Например, при фокусировке в окружность интенсивность поля в

I

в этих точках определяется одно-

а !)

Рпс.Л. Линии уровня фазовых элементов ¡а] л Ь* -'"отзетстзу-

ющпе распределения интенсивности в плоскости фокусировки.

;е центре весьма далека от нулевой. Учет вихревой составляющей зектооа потока световой энергии позволил предложить набор новых решении задачи фокусировки з окружность и. соответственно, оптические элементы, распределение фазы которых имеет зид

= + ^ + (10)

где р,6 - полярные координаты, п) - радиус окружности, з которую фокусируется излучение, 10 - расстояние до плоскости фокусировки, тп - целое число, отличное от нуля. Известное ранее геометрооптическое решение -акспкон - соответствует случаю т=0. поэтому оптические элементы (10) при т^О были названы зихрезыми аксиконами. На рис.3 приведены картины изофазных линий для Фц(р) и Ф«(р,в) без квадратичного слагаемого -кр- "11,), а также соответствующие распределения интенсивности з плоскости фокусировки. Характерным свойством полученных новых решений язляется то. что они являются чисто волновыми, а отображение исходной области в плоскость фокусировки оказывается невырожденным. Это означает, что соответствую-

Рис.4. Осциллограмма интенсивности поля, порожденного фазовым элементом

щие оптические элементы не осуществляют фокусировки в смысле метода стационарной фазы. Более того, область максимальной интенсивности лежит в области геометрической тени. Оптические элементы были реализованы посредством синтеза полутоновых масок и их последующего экспонирования на слои дихро-мированной желатины и их проявления. Пример экспериментально зарегистрированного распределения интенсивности в плоскости фокусировки (сечение линейкой ПЗС) приведен на рис.4.

Как показано в главе II для двумерной фазовой проблемы не удается, в общем случае, получить явные аналитические выражения связи между интенсивностью и фазой в зоне Френеля. Иными словами, информация о действии оператора Ь = ■

д2 д'2 о-«, 5 дх ду

81

на интенсивность не дает результата, аналогичного одномерному случаю. Закономерно поэтому поставить вопрос: существуют ли операторы, описывающие реальные физические воздействия на световое поле и дающие решение этой задачи для двумерного волнового случая?

В соответствии с поставленным вопросом третья глава посвящена активным методам анализа световых полей и задача состоит в поиске таких целенаправленных воздействий на световое поле результат которых, выраженный в изменениях интенсивности, дает информацию о самом поле. Рассмотрен процесс формирования поля оптической системой, который описывается выражением

',,х2)=||ехр(г

"ТПГ

где ~ аберрационная функция

оптической системы и МхЛг) ~ Фурье-спектр изображения. Тогда зависимость К(хьх2) от параметров оптической системы из (11) описывается дифференциальными уравнениями

ЗР 5 Г"

- + —= 0, п=1,2, (12)

др.л дхл

дГ аТ

1——+ = п=1.2. (13)

За.,п Зх:

где (27nn=ReW^lтl, /З^^тМ^,,. Уравнения (12) соответствуют аподизации выходного зрачка пропусканием г=ехр(/?1п|п). Система (13) описывает цилиндрическую дефокусировку (или астигматизм) с г=ехр(1а2Л^). Подстановкой

7{х1,х-2)=ч 1(х. , х„) ехр| [<р(х,. г,)) 'л разделением вещественной и мнимой частей

системы уравнений (12,13) сведены к системам = о П=1 ■>

ЭРш "

¿¡а„„ За

=0. п=1.2:

<ЗХ, ;

откуда получены следующие выражения для двумерного распределения сра-ЗЫ как функции параметров оптическом системы:

- Г ^ \ :

с\х,,х„) = р\а, 31 — - -1 т.х. аг ■

1 ; !(т.х,, -1 а«.,

1 |" (¿£ . аг _ Г ат

\а. г)ат - (_:х.) I

2 1 ¡(а.:)]

т„„ ' 1(г.х„) 1 Па.:)

Нахождение константы Сг) и функции С(х-2) аналогично приведенному в главе I (см. фоомулу 16)). Таким образом, существует однозначная л аналитически явно выраженная связь между фазой двумерного поля и его интенсивностью как функцией параметров оптической системы. При этом для восстановления поля необходимы два двумерных я одно одномерное измерения интенсивности.

В соответствии с полученными теоретическими результатами предложено два практических способа оеализацпи активного анализа световых полей. Первым из них является восстановление двумерного поля в зоне Френеля при сканировании исходного поля узкой щелью, ширина которой с£ удовлетворяет условию Ы2/21«1. где к - волновое число, I - расстояние до

плоскости наблюдения. В этом случае аналитическое продолжение функции Ф(х,у,1)=Г{х,у,1)у1 2л:1/к ехр(-ку2/21) по переменной х удовлетворяет дифференциальному уравнению:

ЬФ{г,у,1) =

51 I ду

Ф{г,у,1) = 0. (16)

Действие оператора Ь на аналитическое продолжение интенсивности 1ъ(г,у,1)=Ф(г,у,1)Ф(г,у,1) имеет вид, аналогичный (4):

д ( дФ }

Ыф (г, у, I) = 2 — Ф(г, у, 1) — {г,у,1) .

дг аг )

и, таким образом, решение задачи получается подобно решению одномерной фазовой проблемы в оптике (3,6).

Найдена возможность реализации астигматических воздействий (13) на поле прямым способом посредством специфических дифракционных элементов с фазовой функцией 113 (11) в виде

Щ£„|2) = + (17)

где Т0(х) - Т-периодическая функция аргумента х, а - параметр. Фазовый элемент с профилем (17) представляется в виде ряда Фурье

ехр^(§„ ?,)) = ^ стс„ехр( итш^ + ипу ^ 1ехр( \па$1 + ту |,

где ст=ф £ехр(- ^ \тх + [Т^(х))<1х.

Такой дифракционный элемент действует как система внеосевых астигматических линз с главными фокусными расстояниями /т=л/атти, /П=п/апк в т,п-м порядке дифракции. Углы дифракции т,п-го порядка равны соответственно

т—з.гс5ш(т/./Т), агсзш(т1л/Т) и комплексная амплитуда в плоскости изображения (11) для фазовой функции (17) имеет вид:

^(х„х2) = ^]стспЦехр^х^, - 1х^2)!7(^,|2)ехрН77га^ + 1ту

т."

хехрГта£\ + ¡тг у ) с^с^ = ^ стс„Р Гх, - у т, х2 - у п\

т,п

Отсюда видно, что, если Р(хьх2,<2:21,0:22) - решение системы (13), описывающее изменение поля при астигматических воздействиях, то ?т„(хьх2) есть

» « 1

* . # щ

« * * . т- ,** ( \

> 1 . ■. - * *

- • . -Г. ■ . ■1: ■■ « •а.1«

.#• - *

* * *

Рис.5. Картина дифракции гауссова пучка на дифракционном элементе (17): без астигматизма (а), при наличии астигматизма (Ь). На кадрах слева пока-ана интенсивность, на кадрах справа - фаза (черный цвет соответствует нулевой фазе, белый - 2л).

;:зумерное сечение функции Пх^.х-^.с*^^: при а2:=тпа, а22=па. Следовательно, интенсивности 1тп=гтпГт„ (например, 1-ц.о, 1_1,о. ^о.-ч- к.-О можно использовать для построения разностного аналога уравнений (13'):

^-ц + _

2а дх,

ар

дх1.

= 0,

■I.

- + 2-

1,

схр дх,

= 0.

2 а дх2

и восстановить фазу поля по формуле (15).

На основе дифракционного элемента типа (17) разработана и создана система анализа волнового фронта, позволяющая измерять астигматизм и дефокусировку. Принцип работы системы состоит в следующем. Пусть некоторый фазовый фронт отличается от плоского на некоторое квадратичное фазовое возмущение (в общем случае астигматическое) вида ах2+Ъуг. Тогда, после дифракции на элементе (17) условие наилучшей фокусировки будет наблюдаться в том дифракционном порядке, где компенсация этого фазового возмущения будет наилучшей (см. рис.5), и задача анализа волнового фронта сведена к поиску центра тяжести максимумов дифракционных порядков.

Четвертая глава посвящена исследованию закономерностей преобразования гауссовых пучков света при квадратичных фазовых воздействиях. Даны необходимые определения и описаны свойства гауссовых пучков, в частности, структурная устойчивость при фокусировке и распространении пучков Эрмита—Гаусса

(х,у) = ехр(-х1~уг)Нп(&х)Нтфу) при п,т=0,1,... (18)

и Лагерра-Гаусса

У)=ехр(-х2-у2)(х ± 1у)тЬ™(2х2+2у2) при я,т=0,1,... (19)

Отмечено характерное для пучков Зрмита-Гаусса свойство сохранения своей структуры и при астигматическом фазовом воздействии следующего вида:

Л

ехр(-Кх£ + уг,) + ¡а(Г - т?2))^ ,т 1Д к*? = ( < х

\Р Р) 41 + аУ

. (20)

х ехр[ - Х0Р}-Х , У^ + Цп - т) ат^ор2 V 4(1+сгр)

Р*__РЬ1

2%/1 + а2р4 ' 2-уД + а2р4

Данное свойство явилось отправной точкой для исследования преобразования пучков Эрмита—Гаусса при астигматическом воздействии более общего вида у(£,г),а,а)=а[{!;2-г}2)со£2а+2£г}-$1п2а], когда оси симметрии пучка и астигматизма составляют между собой некоторый угол а. При этом получены новое соотношение между двумя классами гауссовых пучков с различными типами симметрии, а именно, показано, что астигматизм ^(£,??,1/р2,я/4)=2£)7/р2 преобразует пучки Эрмита-Гаусса в пучки Лагерра-Гаусса:

Д «р^-К*! + уг,) + ,1 ^«ъ, =

Е2

На рис.6 приведены экспериментальные результаты такого преобразования пучков гелий-неонового лазера посредством цилиндрической оптики.

Сделано обобщение преобразования (21), а именно, доказано следующее свойство световых полей, структурно устойчивых к астигматическим воздей-

ствиям. Пусть поле /(1,17) является структурно устойчивым к астигматическому воздействию 1р(Е,т],аЛ) в смысле

F(x, у. а.0) = exD. \ I j ехр/__ щ) + ^ адл r])didi] =

*i 4(1 та') J J

(22)

= GjiajGj

,2Vl + a2 ' 2л/1 + а2 У где G],G2 - некоторые функции. Тогда астигматическое воздействие 1 я/4) преобразует поле /(£,7) в поле вида F(x,y,l,n/4)=(x±iy)kf0(Tjx2 + t/2 ), обладающее радиально-симметричным распределением интенсивности. Множество структурно устойчивых к астигматическому воздействию полей F{x,y,a,0) не имеет такого наглядного вида как F{x,y,l,n/4) и представимо лишь в виде разложения по модам Зрмита-Гаусса. Однако, с помощью теории групп получено одно нетривиальное семейство световых полей: пусть /(£,??) является структурно устойчивым к астигматизму световым полем, тогда поле Д ) также обладает этой структурной устойчивостью. Данное ут-

верждение основано на том, что фазовая функция ^>(£,7/,a,0)=a(£2-J72) является инвариантом группы Лоренца се(-1Д). Как следствие, при

любом с поле /() также преобразуется в радиально-симметричное

* , < « * * '

4 * \

О о О И

abc Рис.7. Пучки Эрмита-Гаусса ■ J'"', ) ПРИ 0=4 (a), c=| (b), (с) и результаты их астигматического преобразования. Интенсивность полученных полей идентична интенсивности пучка Лагерра-Гаусса с точностью до масштабного множителя ■

;;н':ьпгивносг.. г рвзулглх;». т.-*.;. .р.ц.е: с -глтического воздейст-

вия. Рис.7 иллюстрирует данное свойство для пучкь с аргу-

ментами, преобразованными по Лоренцу.

Исследованы свойства световых полей, получающихся в результате астигматического преобразования общего вида. Показано, что преобразование имеет вид

Гпт(х, у,1,а) = Ц ехр(-Кх£ + у]) + Пр& чХсЬУ&^дЩ&П =

R2

V2 еХР1 8

хcosа + уsmа уcosа-хsmа

2V2

2ч/2

(23)

где

&п,п(х,у,а)=(-1 Э*

5(л/2[х cos а-\у sin a])" d{^Î2[x sin a + ïy cos a])

-2x!-2y!

(24)

Рис.8. Эволюция поля -й.з(х.у,а| при изменении а от 0 до .т/4 (эксперимент).

При а=0 и а=;г/4 сзетовые поля (24) совпадают с модами Эрмита-Гаусса л Лагерра-Гаусса, соответственно. Исследованы сзойстза данного параметрического семейства сзетовых полей. Установлено, что при любом а поля сохраняют многие черты пучков Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса. Во-первых, они

также являются модами свободного пространства. сохраняя :зою структуру лри распространении. Зо-зторых. подобно известным .модам, зни ортогональны:

\ [ у.тахау = у4 п'.т: о !(!.)„1. '2о>

где д - символ Кронекера.

Преобразование (23) для произвольных углоз а было реализовано экспериментально посредством комбинации сферических и цилиндрической линз, при этом зависимость от утла а рнализовывалась поворотом цилиндрической линзы относительно исходного пучка Эрмита-Гаусса. Примеры экспериментальной реализации поля ^ 3(х,у,а) при различных а показаны на рис.8.

Распространение и Фокусировка пучков, исследованные з главе IV, ассоциируются с деформациями эасщпоения—"катия: сходящиеся и расходящиеся пучки. Закономерен зопрос: существует ли некая аналогия деформации кручения з случае лучка с неоднородной расходимостью? Как показано з главе II, поток световой энергии состоит з общем случае из двух компонент: дивергентной и вихревой. В определенном смысле первая компонента соответствует деформациям растяжения-сжатия, а зторая - деформациям

кручения. Принимая во внимание вихревую компоненту вектора потока световой энергии можно расширить понятие структурной устойчивости световых полей, и пятая глава посвящена вопросу существования световых полей, сохраняющих свою структуру с точностью до масштаба и вращения. Условие структурной устойчивости при этом определено следующим образом:

„ п г,,» г (х 9(1) - у sin 9(1) X sin 9(1) + у cos 9(1)) I(x, y,l) = V(l)l J-—-,-—--

—----I, (26)

V сВД ¿(1) )'

где 9(1) - вращение интенсивности при распространении поля F(x,t/,Z), <1(1)>0 -масштабное изменение интенсивности. Установлено, что, если интенсивность поля обладает структурной устойчивостью, то само поле имеет вид:

г(х,у,г)=-^-у0(х,У)ехр(^ьагоа'(г)(хг+ у2) + \У(1)), (27)

С1\1)

где Х«У=(х+1у)ет/¿(I), й(1)=а\, 9(1)=в0а^о, у(1)=^уаа^о, о=1+2\1/кр~ и 9„,у0р -произвольные константы. При этом поле К0(Х,У) удовлетворяет уравнению

% +4iöcjV f-У Щ-AFJX1^ уо)=0.

Подстановкой в (28) разложения поля F0(X,Y) по модам Лагерра-Гаусса получено, что поле с параметром вращения в0 имеет вид

F0(X.Y) =Х cmä^(X,Y),

в,)

где множество состоит из пар индексов (п,т), удовлетворяющих урав-

нению 2n+|m|+#om+l=yo=const. Световые поля такого вида были названы спиральными пучками. Известные пучки Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса являются частными случаями спиральных пучков с параметром вращения 90=0.

Отдельно исследован случай пучков с параметром вращения При

этом /д=2М+1, М - целое. Показано, что такие пучки имеют вид

F(x, у, D Л ехр( - 2iМ arg aje" ^ (e«*/(Z)), (29)

где Z=(x+\y)/pa и f(Z) - произвольная целая аналитическая функция.

Проведено сравнение спиральных пучков с известной квантово-механи-ческой ситуацией - движением заряженной частицы в однородном магнитном поле. Показано соответствие спиральных пучков с 0о=±1 множеству волновых функций частицы в упомянутой квантово-механической задаче.

Приведены результаты численных и натурных экспериментов по реализации спиральных пучков посредством астигматического

I Рис.9. Схема экспериментальна:! установки. Мт , I преобразования многопроходных 1м2, М3, М4 - зеркала, Р - призма Довэ, О - объ-)

! ектнв. М - микроскоп. Й - экран, мод гелии-неонового лазера. 1-:-'

Исследована возможность знутрирезонаторной генерации спиральных лазерных пучков. Показано, что спиральные пучки являются модами специфических кольцевых резонаторов с вращением поля, в которых осуществляется поворот пучка на угол 0=Ч?о-агссоз((А+Д)/2). где А.О - элементы матрицы АВСЭ полного обхода резонатора. Приведены результаты экспериментальных исследований по знутрирезонаторной генерации спиральных пучков з аргоновом лазере с призмой Довэ з качестве зращателя пучка (см. рис.9). Примеры полученных пучков приведены на рис.10.

Шестая глава посвящена методам синтеза структурно устойчивых световых полей с заданной интенсивностью. В основу метода положены найден-

ные в

ве / спиральные лучки зила ¡см. форму.-1 -г" - и' .:' г - :У

Л.'! ЛИИ .4-1 I

р~а

' * ? 4* Л ь ** . Л ^ 4 > ^ * ' ***

*

Рис.10. Экспериментально зарегистрированные интенсивности спиральных пучков с параметрами вращения 60=3- (а) и 60=3- (Ь) до, в и после области перетяжки.

(Для компактности дальнейшее изложение приведено при 2=0, а= 1 и в комплексных переменных г=х+\у, г=х-\у). Использованы следующие свойства пучков, вытекающие из их структуры:

Свойство А. Если о£(г,2)=ехр(-гг/р2)/п(г/р) - некоторая совокупность спиральных пучков, то их линейная комбинация ^(2,2 )=Т.п ^^(г,?) также есть спиральный пучок.

Свойство В. Если 05(2,2 )=ехр(-гг/р2)/(г/р) - некоторый спиральный пучок, то ^(г,г )=ехр(-22 /р2)/(ге~'а/р) есть спиральный пучок, обладающий тем же распределением интенсивности, что и ), но повернутым на угол а.

Свойство С. Если с^(2,2 )=ехр(-22 /р2)/(г/р) - некоторый спиральный пучок, то

есть спиральный пучок, обладающий тем же распределением интенсивности, что и ^(2,2), но смещенным в точку г^. С помощью спиральных пучков

/ -ч ( гг- 2гг0 + 2,2, л/го(г,г) = ехр1--р-^ I,

имеющих гауссово распределение интенсивности, смещенное в точку г0, построен спиральный пучок, имеющий распределение интенсивности в виде отрезка:

<?{г, Щ-Т, Т]) = ехр^-Н. j | ехр|- у + (30)

Интенсивность, фаза и линии уровня интенсивности пучка (30) приведены на рис.11.

а Ь ■ с

Рис.11. Интенсивность (а), фаза (Ь) и линии уровня интенсивности (с) спирального пучка в форме отрезка [-Г,Г]. Видно наличие шести дислокаций волнового фронта в изолированных

нулях интенсивности.

Применением свойств А,В,С к пучкам вида (30) как базисным синтезированы световые поля в виде ломаных и предельным переходом получены спиральные пучки, интенсивность которых имеет форму произвольной плоской кривой. Комплексная амплитуда найденных пучкоз в виде кривой, заданной в комплексной параметрической форме {=[0.Т], определяется

выражением

£ а[0,Т]) =

э.хр| - —

I Р

exvt - -

о Ч

;(г)с{4) 2=С(£) . 1

Р

V I №;Г(п - ';(т)'С1т))йт

31;

:}ат.

Кривая ¿дТ) названа порождающей для спирального пучка (31).

Исследованы свойства спиральных пучков для замкнутых порождающих кривых. Установлено, что такие пучки проявляют характерные свойства квантования: во-первых, распределение интенсивности таких пучков претерпевает радикальное изменение при преобразовании подобия кривой н(£)— и обладает горной кривой лишь пртт определенных дискретных значения:-; -зо-^.'сстх. для этих :ке дискретных значении •> распределения интенсивности пучков для кривых -.,С;'г-а1 при различных а одинаковы: з-третьих. площадь 5 под кривой _({) связана с гауссовым параметром о "акого пучка :оот-.чошением:

о"=т.тр-Л'. где Л<'=1.2.... 32;

Пучки, порождающие кривые которых удовлетворяют равенству (32). названы Л/-квантованными. Пример спирального пучка, построенного для 7-кзан-тованной гипоциклоиды треугольного вида, показан на рис.12.

Для кзантово-механической аналогии - состояний заряженной частицы э однородном магнитном ' '————■>■■ поле (глава V) - условие (32) соответствует квантованному магнитному : потоку через контур I Ф={2.гГ1С/1&)1\. '

Свойства квантования распространяются и на характеристики фазы таких пучков. Показано,

Рис.12. Интенсивность (а) и фаза (Ь) спирального пучка з виде гипоциклоиды е"2;с), 1е(0,2.-г).

с

Ь

а

Рис.13. Эволюция спирального пучка «5^(2,2 |Ке",Се[0,2я]) при изменении радиуса порождающей окружности Я: интенсивность (а), фаза (Ь) и знак ротора го^ зектора потока световой энергии (с). Черный цвет соответствует отрицательным значениям ротора, белый - положительным._

что для ^-квантованного пучка циркуляция градиента его фазы вдоль контура число дислокаций волнового фронта Л/д внутри этого контура и площадь ^ области, ограниченной контуром, связаны соотношением

Таким образом, число изолированных нулей интенсивности у квантованных пучков внутри области, ограниченной порождающей кривой, определяется только площадью этой области, но не ее формой. При изменении площади области от 3=^лргЫ до 5=^лр2(Л/'+1) происходит увеличение числа нулей внутри области за счет прихода одного нуля извне. На рис.13 показана эволюция спирального пучка для порождающей кривой в виде окружности £(г)=Кеи, £е[0,2л:] при изменении радиуса окружности. Первое и последнее состояния соответствуют квантованным пучкам с N=4. N=5 и являются известными модами Лагерра-Гаусса В промежуточных состояниях видно проникновение пятого нуля внутрь контура £(£).

Осуществлена экспериментальная реализация спиральных пучков с заданным распределением интенсивности с помощью амплитудно-фазовых масок. Амплитудная маска и фотошаблон для фазовой маски изготавливались на фотоплоттере (разрешение 1024x1024, размер 10x10 мм2). Фотошаблон использовался для изготовления фазового элемента на дихромированной желатине. Комбинация амплитудной и фазовой масок давала требуемый ампли-

Рис. 14. Экспериментальное распределение интенсивности спирального пучка в форме гранитны треугольника ("см. теорети-Iческое распределение на I | рис.10)._!

тудно-фазовый элемент, который освещался пучком гелий-неонового лазера. Пример экспериментальной

а Ь

Рис.15. Амплитудно-фазовые элементы для двух спиральных пучков, построенных по 7-квантованной гипоциклоиде 3 зависимости от ее ориентации (см. левый верхний угол каждой группы .-'.адров). Полутоновые изображения представляют собой амплитуду (а) и Аазу (Ь) оаспределений еализации тоагЫки т-плитуде и

ГранИ"Ы сА«ацеРныЧ распределении Ь1ру>Г). _

тое\7голь;-шка -оказан на рис..-:. П\'чок сохранял сзою :то\,хт,*г

злровке и поворачивался на 30° при распространении лз области перетяжки з дальнюю зону.

На основе результатов главы IV был разработан метол формирования спиральных пучков, позволяющий посредством астигматической зптпки свести задачу к синтезу одномерных амплитудно-фазовых элементов. Как показано в этой главе, астигматическим воздействием можно осуществить преобразование пучков Лагерра-Гаусса л з пучки Эрмита-Гаусса и наоборот. Это преобразование может быть обобщено следующим образом:

Д ехр[-Цх; + уч) + + Щ | - - ,

/ц'ру|£)=ехр1

. | Г _ Ш.Ш, у~ш + .1} № - т™ ¡стг. (33)

а Л ! р" р" р'\

Таким образом, задача синтеза спирального пучка сзедена х синтезу одномерного по структуре поля Ыру|£) и его обратному астигматическому преобразованию. Примеры одномерных полей Ыру)£) для пучков в виде границы треугольника приведены на рис.15. Одномерная структура поля позволяет в

полной мере использовать возможности микролитографии, поэтому данный способ может быть технологически более предпочтителен, чем прямой метод амплитудно-фазовой маски. Показано также, что астигматическое преобразование одномерного поля в спиральный пучок соответствует оптической реализации операции аналитического продолжения.

С помощью предложенного метода были экспериментально реализованы пучки различного вида, сохраняющие свою структуру при распространении и фокусировке. На рис.16 показана экспериментальная реализация спирального пучка з виде регулярной решетки нулей, когда з качестве одномерной структуры была использована фазовая мультиплицирующая дифракционная решетка Даммана, дающая 17 порядков равной интенсивности.

Таким образом, найдено семейство структурно устойчивых при фокусировке и распространении световых полей - спиральных пучков, - имеющих весьма разнообразную структуру интенсивности, в частности форму произвольных линии или совокупности линий. Это дает новые возможности целенаправленного "конструирования" лазерного излучения. На рис. 17 представлен пример спирального пучка сложной формы, который является таким же естественным образованием, как пучки Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса и может быть модой соответствующего резонатора с вращением поля.

ШШзШи т Н ш

а Ь Рис.16. Экспериментальная реализация спирального пучка в форме решетки нулей: интенсивность (а) и результат интерференции между спиральным и опорным пучками (Ь).

Г» ГУ

В заключении приведены основные результаты диссертации.

Основные результаты

1. Получены точные явные формулы, связывающие интенсивность и фазу одномерного когерентного монохроматического поля з зоне Френеля. Проведено исследование метода восстановления поля по измерениям интенсивности, основанного на полученных теоретических результатах, в численном и натурном эксперименте.

2. Исследована связь между интенсивностью и фазой двумерного когерентного монохроматического поля в зоне Френеля. Установлено, что зекторное поле потока световой энергии состоит в общем случае из потенциальной и вихревой компонент. Для безвихревых полей получены явные формулы связи между фазой и интенсивностью в зоне Френеля. Показано, что для вихревой компоненты справедливо условие сохранения: интеграл от проекции ротора вектора потока световой энергии равен нулю на любой плоскости ¿=сопз: з зоне Френеля. Выявлена связь между зпхрезой кашыкгя-той и дислокациями золнового фронта. На эснсзанил проведенных исследований предложено семейство новых оптических злементоз. названных зихрезыми аксиконами. для фокусировки излучения з кольцо.

о. Найдена связь между оаспределениями фазы и. интенсивности двумерного когерентного монохроматического поля как функция параметров сформирующей оптической системы. На основании полученных результатов создана система оперативного анализа световых полей (датчик волнового фронта).

4. Показана возможность осуществления посредством астигматической оптики ряда известных преобразований, применяемых з обработке информации (Габора, операции аналитического продолжения).

5. Теоретически найдено и экспериментально реализовано взаимное преобразование пучков с разными типами симметрии - пучков Эрмита-Гаусса и пучков Лагерра-Гаусса посредством астигматической оптики. Установлено общее свойство сзетовых полей, структурно устойчивых по интенсивности к астигматическим воздействиям: поле, устойчивое к воздействию вида 1р(х,у)=хг—у2 преобразуется в радиально-симметричное по интенсивности поле при астигматическом воздействии вида гр(х.у)=2ху.

6. Теоретически найден и реализован экспериментально параметрический класс световых полей - обобщенных пучков Эрмита-Лагерра-Гаусса, описываемый полной системой ортогональных функций, зависящих от параметра, причем пучки Эрмита-Гаусса и пучки Лагерра-Гаусса являются его частными представителями.

7. Найдены новые лазерные пучки, названные спиральными, которые сохраняют структуру своей интенсивности при распространении и фокусировке с точностью до масштаба и вращения. Показано, что данные пучки могут быть модами специфических резонаторов с вращением поля. Экспериментально реализован лазер с таким резонатором и получены пучки с различными параметрами вращения при распространении. Выявлено соответствие спиральных пучков волновым функциям заряженной частицы в однородном магнитном поле.

8. Теоретически обоснована и экспериментально показана возможность синтеза сзетовых полэй с заданными пространственными хаоактеристиками и сохраняю ццкьс сеъ-л сдр-уктуру п(кд р5-«!? остра К£-к м и фокусировке. КяСГ-ден класс лазерных пучков, распределение интенсивности которых имеет форму произвольной плоской линии. Разработаны основы оптики таких пучков. Обнаружено, что пучки обладающие формой замкнутой кривой подчиняются своебразному закону квантования: площадь области, ограниченной соответствующей кривой, может принимать только дискретный набор значений. Показано, что количество изолированных нулей интенсивности таких пучков внутри области, ограниченной кривой, определяется только ее площадью, но не ее формой.

9. На основе полученных закономерностей преобразования пучков Лагерра-Гаусса в пучки Эрмита-Гаусса разработан метод синтеза лазерных пучков в форме произвольной линии посредством одномерных амплитудно-фазовых элементов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Е.Г.Абрамочкин, В.Г.Волостников, В.З.Котляр, А.Н.Малов. Решение фазовой проблемы в оптике в приближении Френеля // Краткие сообщения по физике - М., 1986, N 7, с.16-13.

2. Е.Г.Абрамочкин, В.Г.Волостников, А.Н.Малов. К вопросу о двумерной фазовой проблеме в оптике в приближении Френеля - 1987. - 14 с. - Деп. з ВИНИТИ. 18.05.87 N 3773-387.

3. Е.Г.Абрамочкин, В.Г.Волостников, З.З.Котляр, А.Н.Малов. Восстановление фазы двумерного сзетового поля. Дифференциальный подход // Краткие сообщения по физике - М., 1987, N 3. с.7-9.

4. В.Г.Волостников. Восстановление двумерного волнового поля з зоне Френеля как одномерная задача // Краткие сообщения по физике - М.. 1987. N 4, е.8-10.

5. В.Н.Белопухов, З.Г.Волостллл^з. П.Д.дач4/гов. Т.ЗДривко. -Устройство для измерения профиля отражающей поверхности Азт с&чд. M 1661571

декабря 1988 л

->. ZAbrarncchkin. V.'/oiostnikov. T'.vo-iimensionai pr.ase problem: liifersr.i'.or.-ai aoproach . / Optics Commuracatiens. 1988. voi.74. У 3.4, pp,123-l~:ï.

7. E.Abramochkm. V.Volostmkov. Relationship between two-dimensionai _nten-sity and pnase in a Fresnei diffraction zone , Cpncs Communications. 193!). vol.74. N 3.4. pp.144-143.

3. В.Г.Волостников. Фазовая проблема з оптике. /. Препринт ФИАН \т 93 -М.. 1990. 60 с.

9. В.Г.Волостников. А.Ф.Наумов. Н.Н.Досевский Датчик волнового соронта Авт. свид. N 2046382 от 16 апреля 1990 г.

Ю.В.Г.Волостников, Е.Г.Абрамочкин, Н.Н.Лосевский. Устройство для фокусировки излучения в кольцо / Авт. свид. N 1730606 от 22 мая 1990 г.

1 I.V.G. Voiostnikov. Phase problem in optics //' Journal of Soviet Laser Research. 1990, vol.11, N 6, pp.601-o26.

12.В.Г.Волостников. Преобразование пучков Эрмита з пучки Лаге'рра ■ 1991. -16 с. - Деп. в ВИНИТИ. 20.02.91 N U06-B91.

13.E.Abramochkin, V.Voiostnikov. Beam transformations and nontransformed beams // Optics Communications, 1991,vol.83, N 1,2. pp.123-135.

И.Е.Г.Абрамочкин, В.Г.Волостников. Фазовая проблема и синтез оптических полей // Компьютерная оптика - М., 1992, N 10-11, с.95-100.

15.E.Abramochkin, V.Volostnikov. Spiral-type beams // Optics Communications, 1993, vol.102, N 3,4, pp.336-350.

16.В.Г.Волостников. Диффракционные оптические элементы и фазовая проблема в оптике // Труды ФИАН т.217 - М., Наука, с.151—158.

17.А.В.Беляков, В.Г.Волостников, Т.В.Кривко, Н.Н.Лосевский. Дифракционные оптические элементы в лазерном контроле профиля поверхности // Труды ФИАН т.217 - М., Наука, с.159-161.

18.В.Г.Волостников, Е-Г.Абрамочкин. Способ формирования волновых полей / Авт. свид. N 2046382 от 20 октября 1995 г.

19.A.Naumov, N.Losevsky, V.Belopukhov, V.Volostnikov, V.Podvigin. Wave front sensor with an unharmonic grating // Proceedings of SPIE, 1996, vol.2713, pp.435-441.

20.V.N.Belopukhov, A.F.Naumov, O.A.Zajakin, V.G.Voiostnikov. Wave front senior // Proceedings of 3PTZ. '.J96. vol.277'. pp.232-236.

21.E.Abramochkin, V.Voiostnikov. Spirai-type beams: optical and quantum aspects // Optics Communications, 1996, vol.125, N 4-6, pp.302-323.

22.V.G.Voiostnikov. Spiral-type beams // Reports of the Conference on Lasers and Electrooptics Europe (CLEO'96) - Hamburg, 1996, p.172.

23.E.Abramochkin, N.Losevsky, V.Volostnikov. Generation of spiral-type laser beams // Optics Communications, 1997 (в печати).