Параметрические семейства параксиальных световых полей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени П.Н. ЛЕБЕДЕВА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

Разуева Евгения Вадимовна

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА ПАРАКСИАЛЬНЫХ СВЕТОВЫХ ПОЛЕЙ

специальность 01.04.05 — оптика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 2015

005562224

Работа выполнена в Самарском филиале Физического института им. П.Н. Лебедева Российской Академии наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Крутов Александр Федорович (Самарский государственный университет)

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сазонов Сергей Владимирович (Научный исследовательский центр «Курчатовский институт», Москва)

кандидат физико-математических наук, доцент Плаченов Александр Борисович (Московский государственный университет информационных технологий, радиотехники и электроники, Москва)

Ведущая организация: Национальный исследовательский ядерный

университет «МИФИ», Москва

Защита диссертации состоится 26 октября 2015 года в 12ю на заседании диссертационного совета Д 002.023.03 при ФИАН по адресу: 119991, г.Москва, Ленинский проспект, 53.

Отзывы направлять по адресу: 119991, г.Москва, Ленинский проспект, 53.

С диссертацией и авторефератом можно ознакомиться в библиотеке ФИАН и на сайте www.lebedev.ru.

Автореферат разослан_2015 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 002.023.03 при

ФИАН, /у

доктор физико-математических наук <—^ М.А. Казарян

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена развитию методов формирования и преобразования параксиальных световых полей с заданными характеристиками.

Актуальность темы. Параксиальное уравнение в теории распространения волн и в оптике было впервые получено М.А. Леонтовичем и В.А. Фоком в 1946 г. Оно широко используется в лазерной оптике и теории резонаторов, поскольку является хорошим приближением для описания дифракции волн, в частности, для световых пучков, генерируемых лазерами, а также для собственных мод открытых резонаторов и линзовых волноводов.

Наиболее известными семействами световых полей, эволюция которых описывается параксиальным уравнением, являются пучки Эрмита-Гаусса (НС-пучки) и Лагерра-Гаусса (ЬС-пучки). Изучению теоретических и экспериментальных свойств этих пучков посвящено большое число публикаций. Особое значение НС- и ЬС-пучков оптике связано с их структурной устойчивостью (т.е. интенсивность пучков при распространении изменяется только в масштабе). Кроме того, каждое семейство образует ортогональный базис в пространстве Ь2(К2), что позволяет осуществлять разложение по ним произвольных пучков с конечной энергией.

Довольно долгое время НС- и ЬС-пучки оставались по сути единственными широко известными примерами структурно устойчивых световых полей, а возникающие в оптических экспериментах другие пучки гауссова типа, обладающие структурной устойчивостью, рассматривались просто как их линейные комбинации, которые не требуют отдельного изучения и не заслуживают собственного названия. Однако в последнее десятилетие интерес к поиску решений параксиального уравнения заметно возрос. Были найдены теоретически и реализованы экспериментально многие новые структурно или функционально устойчивые световые поля — спиральные пучки, пучки Эрмита-Ла-герра-Гаусса (НЬС-пучки), гипергеометрические пучки, пучки Эйри-Гаусса и целый ряд других.

Характерным свойством большинства решений параксиального уравнения, найденных в последнее время, является присутствие в аналитической форме записи решения одного или нескольких вещественных параметров, изменение которых позволяет непрерывно трансформировать вид решения (т.е. фактически получаются параметрические семейства решений). Например, НЬС-пучки, как результат астигматического преобразования НС-пучков, зависят от вещественного параметра, который равен углу между осями симметрии системы цилиндрических линз и осями симметрии входного НС-пучка.

Среди практических применений полученных пучков следует отметить создание высокоэффективных вихревых дифракционных фазовых элементов для формирования лазерных световых полей априорно заданного типа (спи-

ральные пучки), использование световых полей с ненулевым угловым моментом для задач микробиологии и медицины, связанных с манипулированием и управлением движением микрочастиц (спиральные пучки, пучки Эйри), формирование самоподобных световых полей солитонного типа в нелинейных средах для задач передачи информации (HLG-пучки).

Одной из задач исследования гауссовых световых пучков является описание их преобразования при прохождении различных оптических систем. Для простейшего гауссова пучка и линейных оптических систем решение задачи хорошо известно и формулируется в матричном виде (закон ABCD). Для высших гауссовых мод эта задача была решена только в простейшем случае.

Изменение понятия структурной устойчивости путём добавления ещё одной степени свободы — вращения — позволяет значительно расширить класс структурно устойчивых световых полей. Световые поля, сохраняющие при распространении структуру своей интенсивности неизменной с точностью до масштаба и вращения, получили название спиральных пучков. Угол поворота пучка при распространении от плоскости перетяжки до плоскости Фурье всегда является конечной величиной. В том случае, когда этот угол равен ±л/2, теория спиральных пучков хорошо разработана, что позволило создать высокоэффективные фазовые элементы для фокусировки лазерного излучения в априорно заданные кривые. ГЪраздо менее изученным является случай, когда интенсивность пучка поворачивается на больший угол. В последнее время такие пучки (спиральные пучки с более быстрым вращением) стали рассматриваться в области оптических микроманипуляций для трёхмерного перемещения частиц, а также в спектроскопии одиночных молекул для определения пространственного положения излучателей.

Для решения этих задач можно попробовать использовать и пучки, построенные на основе функции Эйри. Интенсивность пучков Эйри слабо меняется при распространении, сохраняя форму пятна максимальной интенсивности, которое смещается по параболе.

Пучки Эйри свободны от недостатков, присущих гауссовым пучкам: они обладают низкой дифракционной расходимостью и высокой стабильностью при распространении в неоднородной среде (свойство самовосстановления), что открывает широкие возможности их применения в таких прикладных областях как оптические средства связи и исследование атмосферы. Поэтому изучение пучков, построенных на основе функции Эйри, является актуальной задачей.

Цель диссертационной работы состоит в развитии теории параксиальных световых полей. В сответствии с целью решались следующие задачи:

1. Разработать матричный способ описания преобразования высших гауссовых мод при прохождении через линейные оптические системы.

2. Исследовать возможности построения спиральных пучков, распределение интенсивности которых вращается с большой скоростью.

3. Рассмотреть методы построения двумерных параксиальных световых пучков на основе функции Эйри.

Методы исследования. При исследовании поставленных задач применялись теоретические методы и компьютерное моделирование. В работе использованы известные результаты теории ортогональных полиномов и специальных функций математической физики. Для описания преобразования гауссовых пучков в линейных оптических системах использованы методы теории матриц, квантовой теории углового момента и функционального анализа. При разработке теории быстро вращающихся спиральных пучков используется комплексный анализ. При исследовании негауссовых пучков используются методы интегральных преобразований типа Фурье.

Научная новизна. Разработан матричный способ описания преобразования HLG-пучков при прохождении через линейные оптические системы.

Найдено интегральное представление спиральных пучков, интенсивность которых в зоне Френеля поворачивается на угол ±пп/2, где п — целое число, п > 1.

Показано, что существует двумерное световое поле, зависящее от двух непрерывных параметров и названное три-Эйри пучком, Фурье-образ которого обладает кубической фазой и радиальной интенсивностью с убыванием на бесконечности как ехр(—г3).

Теоретическая и практическая значимость. Матричный подход, использованный в главе 1 при описании преобразования HLG-пучков в линейных оптических системах, позволяет обобщить известный закон ABCD для высших гауссовых мод. Поскольку семейство HLG-пучков с фиксированным параметром обладает свойством полноты и ортогональности в пространстве этот результат может быть использован для нахождения преобразования произвольного светового поля с конечной энергией при прохождении через линейные оптические системы. Данное обстоятельство имеет практическое значение: вычисление интегральных преобразований высших гауссовых мод требует существенно больше компьютерных ресурсов, чем алгебраические операции с матрицами.

Полученные в главе 2 формулы позволяют строить спиральные пучки с произвольными целочисленными значениями параметра вращения. Предложенное интегральное преобразование более предпочтительно при построении спиральных пучков с заданным распределением интенсивности, чем известное ранее представление в виде бесконечного ряда LG-мод. В настоящее время изучается возможность использования таких пучков для определения трёхмерного положения микрочастиц и пространственных манипуляций ими.

Три-Эйри пучки, полученные и исследованные в главе 3, уже сейчас находят применение при проектировании и создании трёхмерных оптических ловушек и в задачах зондирования.

Достоверность теоретических результатов полученных в диссертационной работе, подтверждается тем, что, с одной стороны, теоретические построения основаны на современных представлениях по дифракции и распространению волновых полей и, с другой стороны, хорошим согласием результатов расчетов с экспериментами.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной конференции по оптоэлектронике и лазерам CAOL'2005 (Ялта, 2005); на 8-й конференции по лазерам и оптоволоконным сетям LFNM'2006 (Харьков, 2006); на научной сессии МИФИ «Фотоника и информационная оптика» (Москва, 2010); на конференции АРСОМ-2011 Workshop (Москва-Самара, 2011); на международных конференциях «Diffraction Days» (Санкт-Петербург) в 2011, 2012 и 2014 гг.

Личный вклад и публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ и получено 3 свидетельства о регистрации программ. В диссертации представлены только те результаты, в получение которых автор внес определяющий вклад.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Преобразование пучков Эрмита-Лагерра-Гаусса в линейных оптических системах может быть сформулировано в терминах операторов поворота в трёхмерном пространстве и позволяет провести обобщение закона

ABCD.

2. Понятие «плоскость перетяжки» можно определить для астигматического гауссова пучка. В плоскости перетяжки астигматического гауссова пучка площадь светового пятна принимает минимальное значение, а дефокусировка пучка равна нулю.

3. Спиральные пучки, распределение интенсивности которых при распространении поворачивается на угол ±пл/2 (п — целое число, п > 1), могут быть представлены в виде двумерного преобразования Фурье от произведения гауссовой функции на целую аналитическую функцию со специально подобранным аргументом.

4. Существует двумерное световое иоле в виде произведения трёх пучков Эйри, Фурье-образ которого обладает кубической фазой и радиально симметричной интенсивностью с супергауссовым убыванием.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Общий объём 104 страницы, в том числе 20 рисунков. Библиография содержит 84 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В работе рассматриваются параксиальные свстовые поля, которые являются решениями уравнения

— 2\к— - О

дх2 ду2 д1

Здесь к — волновое число, í — переменная распространения их, у — поперечные координаты.

Если в плоскости £ = 0 задано распределение комплексной амплитуды ^о(г), обладающее конечной энергией, то дальнейшая эволюция поля Р выражается через начальное распределение ^о с помощью преобразования Френеля:

^(г,£) =¥ЩР0(р)](т) = Д2ехр(||г-р|2)^0(р)а2р,

где г — (х, у) и р — г)) — двумерные векторы.

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цель и задачи исследования, указана научная новизна, приведены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе исследовано преобразование НЬв-пучков в оптических системах с астигматизмом общего вида.

В § 1 приведён краткий обзор известных результатов по матричному описанию преобразования гауссовых пучков в линейных оптических системах на основе интеграла Коллинза:

= //к2ехр(| [(р,В-1Ар)+(г,ВВ-г>-2(г,В-р)])^(р)с12р,

(1)

где (•, •) — скалярное произведение векторов.

Матрица М оптической системы состоит из четырёх блоков — (2 х 2)-матриц А, В, С, О, которые удовлетворяют соотношениям

АВТ = ВАТ, СБТ = БСТ, АБТ - ВСТ = I, АТС = СТА, ВТБ = БТВ, АтО-СтВ=1.

Здесь индекс Т означает транспонирование матрицы, I — единичная матрица.

Если определить матрицу комплексного параметра С}, которая объединяет две вещественные матрицы — матрицу кривизны волнового фронта К и матрицу ширины пучка

С}"1 = 21Г1 + j:\v~2, (2)

то результат преобразования астигматического гауссова пучка оптической системой с матрицей М можно записать в виде:

F0(r) = expOf (гМо1*)), F(г) = 1 expiar,Q^r)),

4 ' у det(A + BQq1) W }

где матрица комплексного параметра Q0 преобразуется согласно тензорному закону ABCD:

Qo —> Q = (AQo + B)(CQ0 -f D)-1. (3)

Известно, что интеграл Коллинза можно свести к интегралу Фурье с астигматическим экспоненциальным множителем

^[exp(mp2 + i&aj)(p,p))/(p)](r),

где

ПЯрШ = ¿ Д2ехр(-1(р,г})/(р)а2р

— оператор преобразования Фурье и Ч>(Р.Р) = (£2 - т]2) cos 2(3 + 2^ sin 2(3 — функция астигматического воздействия.

В §2 приведён краткий обзор известных результатов, относящихся к HLG-пучкам, которые возникают в результате преобразования HG-пучков в астигматических оптических системах:

п+т к=0

(п,т) / \

где ск (а) — некоторые полиномы от cos а и sin а степени п + пг.В частности, результат преобразования HLG-пучков в произвольной астигматической системе имеет вид

>12 \hnu{п -i ^_j^n+m

X

^АГ

x ехЧ ---—+l{n~m)y+

i(n+m-fl) п g \

^---¿arg(l+ft2-a2+2ia) )%,т(Я(-ф)5(а,6)7г(-р)г | a').

Здесь A± = 1 + (о ± bf, 7г(-ф) = ( cos(P sin(P ^

l -ЙШф СОЭф J

0

1/VST

(4)

Ф cos ф * матрица поворота

на плоскости и S(a,b) = ( ) ~~ матРиДа масштабирования.

Параметры пучка на выходе (а', ср, у) связаны с параметром пучка на входе а и параметрами оптической системы (а, 6, Р) соотношениями:

tg 2Ф = tg 2а - tg 2ß cos 2а>,

< sin 2а' = sin 2а cos 2co + cos 2a sin 2ß sin 2ш, _ ctg 2y = ctg 2cü - tg 2ß sin 2a,

где cü = I arg(l + a2 — b2 + 2\b) — вспомогательный параметр.

Как следует из (4), при фиксированных индексах (п, т) HLG-иучки образуют семейство функций, инвариантное относительно общего астигматического преобразования.

В §3 решается задача матричного описания преобразования (4). Используя явный вид матричных элементов оператора поворота 3> и d-функций Вигнера, показано, что HLG-нучки могут быть получены как результат действия оператора S на HG-пучки:

I

<Sl+mX-in{г \a)=J2 <«.("2a)Sfz+n./_„(r | 0) = 0(0, -2a, 0)^+т,,_т(г | 0),

n=—l

а результат астигматического преобразования пучка можно интерпретировать как действие оператора

- 2у, I, о)^.т(7г(-Ф)г I а') = 9(0,2а>, 2ß)^(f, o)%,m(r | a).

Явный вид оператора поворота Ol и d-функций Вигнера определяется по его действию на сферические функции.

Обобщение закона ABCD для HLG-пучков предложено в § 4. Показано, что в данном случае для исходного поля Fü(r) = Щ,.,п{г | а) результирующее поле имеет вид

F( г) = , 1 expf-i{r,R-'r)-i(n-m)Y)^,m(7e(-y)w-1r|a/),

у det(A + BQgV '

Матрица комплексного параметра преобразуется по закону ABCD — формула (3), а матрицы кривизны волнового фронта и ширины пучка могут быть найдены с помощью соотношения (2). Преобразование остальных параметров HLG-пучка определяется ещё одним соотношением, теперь уже между матрицами поворота в трёхмерном пространстве:

U (J - 2у, Ц - 2a!, 2(р) = U (о, 2со, | + 2ß) U (о, § - 2а, о).

9

Здесь, по определению,

и(а. |3, у) =

-¡а/2

О

О

е1а/2

соз(р/2) -зт(Р/2)\ /е-^/2 зт(р/2) соз(р/2) До

О ^

Интересно отметить, что каждая матрица в (5) содержит только параметры, относящиеся к одной группе. В правой части одна матрица содержит параметры оптической системы, другая - параметры входного пучка. Матрица в левой части зависит только от параметров пучка на выходе оптической системы: параметр у определяет фазовый набег пучка, параметр а' отвечает за структуру интенсивности пучка и параметр ф определяет поворот пучка в плоскости наблюдения.

В § 5 предложена интерпретация преобразования НЬС-пучков с помощью сферы Пуанкаре. Показано, что функциональное разнообразие НЬС-пучков можно представить с помощью движения по единичной сфере в трёхмерном пространстве, называемой сферой Пуанкаре орбитального углового момента. Каждому НЬС-пучку можно поставить в соответствие точку на сфере:

'х\ /соэ2фсо8 2сЛ у 1 = I вт 2ф сое 2а V эт 2а /

а е -

я я

~4' 4

енный параметр которых равен долготе, а удвоенный угол поворота — широте точки.

Ф е [0,я),

Рис. X. Сфера Пуанкаре для пучка 5?з12(7г(2ф)г|а). Полюсы соответствуют ЬС-пучкам, точки на экваторе НС-пучку Здесь а — параметр НЬС-пучка, изменение ко- Ддя разных углов поворота.

торого от а = -я/4 (южный полюс, ЬС-пучок) 0ста~г'ьные т°™ на сФеРе со" „ / ' ответствуют НЬС-пучкам, удво-

через а = 0 (экватор, НС-пучок для разных углов поворота) до а = я/4 (северный полюс, ЬС-пучок, комплексно сопряжённый ЬС-пучку южного полюса) при фиксированном ф соответствует движению по меридиану от одного полюса к

другому. Изменение параметра ф при фиксированном а, т.е. вращение распределения пучка в поперечной плоскости, соответствует движению по параллели.

Ряд частных случаев преобразования НЬС-пучков в линейных оптических системах рассмотрен в § 6. Найдены трансформации ЬС-пучка с дополнительным астигматизмом при распространении в свободном пространстве и показано, что возможен переход ЬС-пучка в НС-пучок в одной или двух плоскостях в зависимости от величины исходного астигматизма (см. рис.2). Аналитически найдено преобразование Френеля эллиптических НЬС-пучков и дробное преобразование Фурье НЬС-пучков. Исследована взаимосвязь между

Рис. 2. Распределение интенсивности астигматического LG-пучка exp(-2\/2i:i;2)_S?4i2(r) при различных i. Номер кадра N связан с плоскостью регистрации i соотношением I = = tg(3tJV/16), т.е. значения N = 0,4,8 соответствуют исходному пучку и его преобразованиям в плоскостях Рэлея и Фурье соответственно. HG-пучок получается при N = 2 и N = 6.

преобразованием Френеля и дробным преобразованием Фурье для произвольных световых полей с конечной энергией. На основе полученных соотношений предложена процедура вычисления дробного преобразования Фурье произвольных решений параксиального уравнения.

В § 7 предложено определение понятия «плоскость 2Б-перетяжки» как плоскости, в которой двумерный гауссов пучок с произвольным астигматизмом имеет минимальную площадь пятна интенсивности. Например, для пучка exp(-[az2 + 2bху + су2]), где а > 0, с > 0 и ас > Ь2, соответствующий эллипс и ограниченная им площадь имеют вид

ах2 + 2Ь ху + су2 = 1, S = К .

Vac - b2

Показано, что при распространении в свободном пространстве кругового гауссова пучка с произвольной астигматической фазой:

F0(r) = ехр(—г2 + i ar2 + ifri|>(r, 0)), (6)

плоскость 2Б-перетяжки совпадает с плоскостью, в которой зануляется де-фокусировочный параметр пучка (т.е. коэффициент при г2). Этот результат

^ЗДНППП

a b с d е

Рис. 3. (Слева) Трёхмерный профиль интенсивности астигматического гауссова пучка F(r,z) с начальным распределением (6) при а = 0, Ъ = 1.25, р = 0. (Справа) Распределение интенсивности пучка на различных расстояниях г от исходной плоскости: плоскость «/-перетяжки (а), плоскости локального минимума площади пучка (Ь) и z+ (d), плоскость ¿max (с) и плоскость ж-перетяжки (е).

остаётся справедливым и для эллиптического гауссова пучка, т.е. когда в (6) сделана замена -г2 —> — [ах2 + 2Ъху + су2].

Плоскость 2В-перетяжки совпадает с обычной плоскостью перетяжки, если последняя существует (например, для круговых гауссовых пучков). В общем случае, плоскость 20-перетяжки расположена между плоскостями перетяжки по направлениям х и у и поиск её местоположения сводится к решению кубического уравнения. Рассмотрено несколько примеров, когда решение кубического уравнения имеет сравнительно простой вид (см. рис.3).

Во второй главе исследуются световые поля, сохраняющие при распространении в свободном пространстве поперечную структуру своей интенсивности с точностью до масштаба и вращения. В литературе такие поля называются спиральными пучками. Более точно, в данной главе рассматриваются методы построения спиральных пучков, которые при распространении от исходной плоскости до плоскости Фурье поворачиваются на угол, превышающий л/2. В отличие от первой главы, где использовались безразмерные координаты, а в качестве фундаментального гауссова пучка был выбран пучок ехр(—г2/2), инвариантный к двумерному преобразованию Фурье, в данной главе удобнее использовать размерные координаты, поэтому гауссова компонента исследуемых световых полей выбрана в виде ехр(—r2/w^).

Обзор известных результатов по спиральным пучкам сделан в § 1. Вращение поперечного распределения интенсивности при распространении поля задаётся функцией вращения в(^) = во a.Tctg(2£/kw^) и зависит от параметра 0о, который задает скорость вращения пучка и может быть любым вещественным числом.

Из теории спиральных пучков следует, что световое поле является спиральным пучком с параметром вращения 9ц, если его комплексная амплитуда в начальной плоскости может быть разложена по модам Лагерра-Гаусса в ряд следующего вида:

F0(r)=5>,mJ2?B,m(j£). (7)

п.гп

Здесь Сп,т — произвольные комплексные коэффициенты, п, т — пара целочисленных индексов, удовлетворяющая условиям:

n ^ 0, m£Z, 2n + |m| + вот = 2no + |mo| + 0o)7io (8)

при произвольном выборе начальной пары (это, то). Тогда

F{v,i) = jl exp(^|^-iY0argo)Fo(X,y), Х+1У = |±|> exp(i0o arg о).

(9)

Здесь а = 1 + 2i£/fciu„, а параметр уо = 2гао + \то\ + 0o?no + 1 определяет величину фазового набега при распространении пучка.

Приводится полная классификация спиральных пучков в зависимости от параметра вращения 00, которая состоит из пяти случаев.

При 00 = -1 и выборе начальной пары (п0,т0) = (0,0) иоле (9) можно представить в виде

где л = х + \у, г = х — \у и /(г) — произвольная целая аналитическая функция порядка роста р/ < 2. Представление (10) сочетает в себе простоту аналитического выражения и разнообразие возможностей построения спиральных пучков из-за произвольности функции /(г). В частности, функцию /(г) можно выбрать так, что интенсивность спирального нучка (10) имела форму некоторой априорно заданной плоской кривой.

Подробное исследование спиральных пучков для случая 90 = — 1 оказалось возможным потому, что именно при 90 = -1 представление в виде двойного бесконечного функционального ряда (7) эквивалентно простому представлению (10). Более того, при таком переходе произошло упрощение условия существования решения в виде спирального нучка: если для формулы (7) абсо лютную произвольность коэффициентов сп,т ограничивало необходимое требование сходимости функционального ряда при всех (х, у) € К2, то для формулы (10) его эквивалентом является ограничение на порядок роста функции /(г).

Результаты обзорного § 1 естественно поднимают следующий вопрос: возможен ли переход от бесконечной последовательности коэффициентов к одной функции, {сп,т} —► /(г), для 0О Ф -1 и насколько получившееся представление будет проще, нежели исходный двойной ряд?

В § 2 решён частный случай поставленной задачи, когда параметр вращения является ненулевым целым числом: 60 = ±АТ, где N е N. (Случай 6и = 0, т.е. распространение ноля без вращения, был рассмотрен в § 1. Случаи 00 = ±1, также рассмотренные в §1, получаются в данном параграфе как следствия.) Случаи чётных и нечётных N рассмотрены по отдельности.

С помощью интегрального представления НЬв-мод показано, что для полного описания спиральных пучков достаточно рассмотреть только те варианты начальных нар (п0,т0), для которых /(г) является целой аналитической функцией. Общий ответ на поставленную задачу следующий: спиральные пучки для пары (щ,т0) = (0,0) можно представить в виде

^тй(г) =ехр(гг) + 1^2(гъи + 2ги))/(\У)йКеи)61ти;,

где г — х + \у, и) — Ц, + щ и аргумент функции / определяется величиной

(10)

Рис. 4. Интенсивности спирального пучка (верхний ряд) F(r) = ехр(—2г)(г523+с) (О0 = —4) и пучка, сформированного с помощью фазового элемента (нижний ряд), при распространении в зоне Френеля.

параметра вращения:

= -2N, = 2 N,

= —(27V + 1), = 2N +1.

Спиральные пучки для пары (по, то) ^ (0,0) выражаются через Finit (г) и в начальной плоскости имеют вид

( я \п° ( я \n°+m° г __ ]

F0(r) = exp(zz) ( ^jJ (^J |^exp(—z2:)Finit(r)J, если m0 > 0,

- i r) \n°~mo ( f) \n° Г _ 1 ^^

F0(r) = exp(zz) ( ^J |cxp(-z2)Finit(r)J, если m0 < 0,

a при распространении в свободном пространстве изменяются по формулам (9).

Показано, что при 8 = — 1 полученные формулы совпадают с известными результами теории спиральных пучков. Рассмотрено несколько частных случаев.

Как видно, спиральные пучки в каждом случае имеют примерно одинаковый вид, различаясь показателями степени множителей w и w в аргументе функции /. Функция /(г) является целой аналитической функцией, которая может быть выбрана произвольным образом, но с условием сходимости интеграла при всех (х,у) G M2. В качестве f(z) достаточно выбрать целую аналитическую функцию порядка роста р/ < Jy дЛЯ случая 0О = ±2N и Р/ < 2ДГ2+ 1 Для случая 90 = ±(2N + 1).

Степени множителей w и w — это главное отличие спиральных пучков при 9о = ±1 от спиральных пучков при 8о ±1: в первом случае получались обычные целые аналитические функции, во втором — функции, которые хоть и выражаются через целые аналитические функции, но аргумент у них — уже смесь степеней переменных w и w.

W

w2N+1^2N-l

wNwN+\

00 00 00 00

Рис. 5. Спиральный пучок ^230°(г | 4) при распространении в зоне Френеля.

Рассмотрен вопрос построения аналитических функций f(z), не нарушающих квадратичной интегрируемости функции F0(r). Если

со

/(*) = £>** к= О

- целая аналитическая функция порядка роста р/, то

N-1 оо

п=0 Лг=0

будет целой аналитической функцией порядка роста p//N. Здесь £ = — корень N-й степени из единицы.

Несмотря на то, что спиральные пучки уже были получены ранее другими авторами в виде разложения по LG-модам, найденное интегральное представление является более предпочтительным при рассмотрении задачи о построении пучков с заданным распределением интенсивности. В § 3 рассмотрены смещённые LG-моды

оо к

\ с) = г) ~ = ехр(т§(х + iy))&n,m(x - f ,у - |)

и их линейные комбинации

= = 11;2;;;-_1) (12)

где N — некоторое натуральное число, а параметры LG-мод соответствуют вершинам правильного TV-угольника, вписанного в окружность радиуса R (см. рис. 5).

Такие световые поля широко используются для создания оптических ловушек и перемещения микрочастиц в трёхмерном пространстве благодаря наличию ненулевого углового момента.

В третьей главе рассматриваются световые поля негауссова типа, построенные на основе функции Эйри. Обзор работ по одномерным пучкам Эйри приводится в § 1. Обсуждаются их взаимосвязи с дробными пучками Бесселя-Гаусса и переход к двумерным пучкам.

В § 2 показано, что негауссов пучок с конечной энергией может быть получен в виде произведения трёх пучков Эйри, аргументы которых повернуты нужным образом. А именно, поле

-Ро(г) = П ехр^^А^п + Сп),

где у > 0, йТ1 = апх + Ьпу и коэффициенты ап, Ьп, сп — вещественные числа, может быть сведено к полю

*о(г)= П АКЛп+Сп),

также обладающему конечной энергией, если коэффициенты подобраны таким образом, что

Г а\ + а-> + а-г = 0, . ,

51+52+53=0 ^ Ц+ьи^и (13)

Выбор линейных комбинаций зп = б[Ке(х + 1?/)шп], где Ь ф 0, со = = ехр(2т/3) — кубический корень из единицы, и одинаковых смещений Сп = с приводит к полю, которое было названо три-Эйри пучком:

ЪА1(г; Ь,с) = А^Ь* + с)к\(ь~х + с)М(Ъу + с). (14)

Это поле не изменяется при повороте на угол 2л:/3 и зависит от вещественных параметров масштабирования Ъ и смещения с.

Распространение три-Эйри пучка в зоне Френеля — сложная теоретическая проблема, однако его Фурье-образ удалось найти в аналитическом виде:

6, с)] (г) = ^ ехр(-21г^3ш) А;(32/3С + . (15)

Как видно из (15), результирующий пучок имеет кубическую фазу и супергауссово убывание амплитуды на бесконечности, поскольку известна асимптотика функции Эйри:

Поведение поля (15) при х — у — 0 определяется величиной параметра смещения с: поле обращается в нуль при выборе 32/3с = ап и имеет локальный

Рис. 6. Интенсивность (верхний ряд) и фаза (нижний ряд) пучка РВ^АДр; 1, с)](г), где 32/Зс = а[, при распространении в зоне Френеля, I е [0,+оо]. Размеры левого фрейма [—В, В] х [-В,В], где В = 1.2. Масштабное увеличение и дефокусировочпая фаза на последующих фреймах скомпенсированы.

шшш шшт щшм

1|||||: ; "Ь^^^^вгк IllflHMtlf ^ь^шЬя^^, ШРШЖШг-

Рис. 7. Распространение пучка FR;[tAi(p; 1,с)](г) для случая 32/Зс = а3. В = 5.0.

максимум, если 32/3с = а'п. Здесь ап и а'п - п-е нули функций АЦж) и А1'(х) соответственно (см. рис. 6 и 7).

Для численной реализации преобразования Френеля была рассмотрена аппроксимация Фурье-образа три-Эйри пучка гауссовым пучком ширины гио по методу наименьших квадратов.

В § 3 исследован более общий случай светового пучка в виде произведения трёх функций Эйри

3

ВД = П + М + Сп1

п=1

который зависит от девяти вещественных параметров ап,Ьп,с„, п = 1,2,3. и найден его Фурье-образ. Рассмотрены случаи, в которых интенсивность светового пучка в Фурье-плоскости имеет круговую кольцеобразную форму с конечным или бесконечным числом колец.

В § 4 найдена функция Вигнера три-Эйри пучка и рассмотрены некоторые её свойства.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

1. Показано, что описание преобразования HLG-иучков в оптических системах с астигматизмом общего вида допускают интерпретацию в терминах операторов поворота в трёхмерном пространстве.

2. Предложено обобщение понятия плоскости перетяжки для астигматического гауссова пучка как плоскости, в которой площадь светового пятна принимает минимальное значение. Показано, что в этой плоскости дефокусировка пучка равна нулю.

3. Показано, что для HLG-пучков можно сформулировать обобщённый закон ABCD.

4. Найдено интегральное представление произвольного спирального пучка с целочисленным параметром вращения.

5. Найдено двумерное иоле в виде произведения трёх пучков Эйри, Фурье-образ которого обладает кубической фазой и радиально симметричной интенсивностью с супергауссовым убыванием.

Содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

1. Е.Г. Абрамочкин, Е.В. Разуева и В.Г. Волостников. Обобщённые гауссовы пучки и их преобразование в оптических системах с астигматизмом // Вестник Самарского гос. университета, 2006, т. 2, с. 103-121.

2. E.G. Abramochkin, E.V. Razueva, and V.G. Volostnikov. Hermite-Laguerre-Gaussian beams in astigmatic optical systems // Proc. SPIE/Ukraine, 2006, v. 6, N 1-6, pp. 174-185.

3. E.G. Abramochkin, E.V. Razueva, and V.G. Volostnikov. Application of spiral laser beams for beam shaping problem // Proc. LFNM'2006 (Kharkov, 29.061.07.2006). pp. 275-278.

4. E. Abramochkin, E. Razueva, and V. Volostnikov. General astigmatic transform of Hermite-Laguerre-Gaussian beams // J. Opt. Soc.Am. A, 2010, v. 27, N 11, pp. 2506--2513.

5. T. Alieva, E. Abramochkin, A. Asenjo-Garcia, and E. Razueva. Rotating beams in isotropic optical system // Opt. Express, 2010, v. 18, N 4, pp. 3568-3573.

6. E. Abramochkin and E. Razueva. Product of three Airy beams // Opt. Lett., 2011, v. 36, N 19, pp. 3732-3734.

7. E. Abramochkin and E. Razueva. The Wigner distribution function of three-Airy beams // Proc. Int.Conf. "Days on Diffraction, 2014" (Saint-Petersburg, 26-30.05.2014), pp.74-75.

8. E. Razueva, A. Krutov, and E. Abramochkin. Definition of the waist plane for general astigmatic Gaussian beams// Opt. Lett., 2015, v. 40, N 9, pp. 19361939.

В работах [1,2] автору принадлежит матричная интерпретация общего астигматического преобразования мод Эрмита-Лагерра-Гаусса, в работе [3]

— разработка алгоритма расчета дифракционных фазовых элементов, в [4]

— формулы преобразования астигматического пучка Лагерра-Гаусса при распространении в свободном пространстве, в [5] — выбор примеров спиральных пучков для компьютерной и экспериментальной реализации, в [6-8] — постановка задачи и получение основных результатов. Некоторые результаты диссертационной работы — построение функционального представления спиральных пучков, распределение интенсивности которых в зоне Френеля поворачивается на угол > л/2, и вычисление функции Вигнера три-Эйри пучка — опубликованы в тезисах международной конференции "Days on Diffraction" в 2011, 2012 и 2014 гг. Автором также выполнены все компьютерные эксперименты.

Свидетельства о гос. регистрации программ, разработанных автором:

1. «Вычисление преобразования светового поля в оптических системах первого порядка» №2011611861, 28.02.2011.

2. «Программа расчета двумерного преобразования Френеля когерентных световых полей» №2012616616, 24.07.2012.

3. «Программа визуализации и преобразования двумерных световых полей с фазовыми сингулярностями» №2012616490, 18.07.2012.

Подписано в печать 06.07.2015 г. Формат 60x84/16. Заказ № 34. Тираж 50 экз. П.л 0.75. Отпечатано в РИИС ФИАН с оригинал-макета заказчика 119991 Москва, Ленинский проспект, 53. Тел. 499 783 3640