Бездифракционные свойства гипергеометрических пучков, формируемых фазовыми дифракционными оптическими элементами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

0046 1730

На правах рукописи

БАЛАЛАЕВ Сергей Анатольевич

Бездифракционные свойства гипергеометрических пучков, формируемых фазовыми дифракционными оптическими

элементами

Специальность 01.04.05 - Оптика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 8 ОКТ 2010

САМАРА - 2010

004611730

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)» и Учреждении Российской академии наук Институт систем обработки изображений РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Хонина Светлана Николаевна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Волостников Владимир Геннадиевич,

кандидат физико-математических наук, доцент Курушина Светлана Евгеньевна

Ведущая организация: Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный университет», г. Самара

Защита состоится «22» октября 2010 г. в 13 00 на заседании диссертационного совета Д.212.215.01 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)», по адресу: 443086, г. Самара, Московское шоссе, д. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)».

Автореферат разослан 20 сентября 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета — В.Г. Шахов

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена изучению бездифракционных свойств гипергеометрических пучков, которые являются новым классом решений параксиального волнового уравнения в цилиндрической системе координат, а так же сравнению различных типов дифракционных оптических элементов, с помощью которых можно формировать данные пучки.

Актуальность темы. Существует семейство световых полей, которые сохраняют свою структуру, изменяясь только масштабно. Оно является еще одним решением с разделенными переменными параксиального волнового уравнения в цилиндрической системе координат. Функции, описывающие эти моды, содержат вырожденную гипергеометрическую функцию, поэтому называются гипергеометрическими. Они были рассмотрены впервые в 2007 году (В.В. Котляром, С.Н. Хониной, В.А. Сойфером и Р.В. Скидановым).

Гипергеометрические моды отличаются от известных параксиальных мод тем, что их основной радиус увеличивается как zm. Следовательно, они обладают наименьшей расходимостью, среди всех известных параксиальных мод, в том числе расходятся меньше, чем параксиальный бесселевый пучок, формируемый с помощью линзы и узкой кольцевой диафрагмы в непрозрачном экране (J. Durnin, J.J. Miceli, J.H. Eberly, 1978г.).

Похожее по структуре, но более компактное, чем у бесселевых мод, распределение энергии (за счет уменьшающегося периода колец) позволяет гипергеометрическим модам дольше сопротивляться дифракционным искажениям, связанным с необходимостью обрезать моду до некоторого радиуса.

У любой гипергеометрической моды при п*0 (целочисленный параметр моды) всегда (кроме начальной плоскости) в центре (на оптической оси) имеется нуль интенсивности, характерный для оптических вихрей (M.S. Soskin, U.N. Gorshkov, M.V. Vasnetsov, 1997). Кроме этого гипергеометрические моды в начальной плоскости (z=0) при г=0 имеют гиперболическую особенность амплитуды 1/г и фазовую неустойчивость log(r/w). Поэтому физическая реализация гипергеометрических мод имеет дополнительные сложности: необходимо вырезать или аппроксимировать неоднозначную центральную область совместно с ограничением апертурой.

Вместо ограничения кольцевой апертурой при получении гипергеометрических пучков прибегают к добавлению Гауссовой составляющей. Таким образом вводится понятие гипергеометрических пучков (V.V. Kotlyar, А.А. Kovalev, 2008г.), энергия которых ограничена, но сами пучки теряют модовые свойства, сохраняя винтовую фазовую сингулярность.

В работах зарубежных авторов (Е. Karimi, G. Zito, В. Piccirillo, L. Marrucci, E. Santamato, M.A. Bandres, J.C. Gutiérrez-Vega, 2007-2009гг) демонстрируются преимущества гауссовых гипергеометрических пучков перед остальными параксиальными модами с гауссовой составляющей, однако отсутствует очень важное сравнение дифракционных свойств гауссовых гипергеометрических с гипергеометрическими пучками, так как введение гауссовой составляющей

может приводить к бильной расходимости пучка при распространении и к значительному влиянию дифракции на структуру пучка.

Ранее аналитически были рассмотрены непараксиальные гипергеометрические пучки, полезные в задачах субволновой локализации светового излучения, однако оценки размера центрального светового пятна сделаны только для случая отсутствия логарифмической фазовой сингулярности. Использование же амплитудной сингулярности энергетически неэффективно.

Для улучшения характеристик гипергеометрических пучков - равномерности интенсивности, размера светового пятна или протяженности - используются как аналитические (J. Sochacki, 1993, G. Mikuta, 2007), так и численные (Котляр В.В., Сойфер В.А., Хонина С.Н., 1991) методы расчета фазы оптических элементов. В последнем случае, как правило, реализовать рассчитанный оптический рельеф можно только методами литографии, т.е. речь идет о дифракционных оптических элементах (ДОЭ) (1. Turunen, A. Vasara, and А.Т. Friberg, 1988, S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, V.A. Soifer, 1992), или с помощью жидкокристаллического пространственного модулятора света (N. Chattrapiban, Е.А. Rogers, D. Cofield, W.T. Hill, III, R. Roy, 2003). С помощью логарифмического аксикона можно воспроизводить гипергеометрические пучки, бездифракционные свойства которых должны быть лучше Бесселевых, но этот вопрос не исследован.

Гипергеометрические моды как и Бесселевы моды находят применение в задачах оптических микроманипуляторов (К. Dholakia, 2001) (для перемещения и вращения микробиологических препаратов, для сборки микромеханических систем), а также в системах передачи момента движения микромеханическим системам. С помощью жидкокристаллического микродисплея были сформированы гипергеометрические моды, предназначенные для задачи вращения микрообъектов.

Цель работы. Исследование различных методов синтеза ДОЭ, формирующих гипергеометрические пучки с наилучшими бездифракционными свойствами и высокой дифракционной эффективностью.

Задачи диссертации:

1. Изучение влияния ограничения кольцевой диафрагмой бесконечных гипергеометрических мод на их модовые свойства.

2. Численное сравнение бездифракционных свойств гипергеометрических и бесселевых пучков, сформированных с помощью ДОЭ различного типа.

3. Исследование формирования гипергеометрических пучков в ближней зоне дифракции.

4. Разработка и реализация методологии оценки качества изготовленных фазовых ДОЭ, формирующих гипергеометрические пучки на основе моделирования действия оцифрованного микрорельефа и сравнения экспериментально полученных результатов с численными.

5. Поиск наилучшего решения в изготовлении фазового ДОЭ, формирующего гипергеометрический пучок с наилучшей дифракционной эффективностью и минимальным расхождением от аналитической моды.

Научная новизна работы:

1. На основе параксиального численного моделирования определены зависимости радиусов кольцевой диафрагмы, пространственно ограничивающей бесконечные гипергеометрические моды при их физической реализации, которые обеспечивают минимальную погрешность их формирования на заданном расстоянии.

2. Численно показано, что ограниченные кольцевой диафрагмой гипергеометрические моды при распространении в свободном пространстве сохраняют модовые свойства на расстоянии в 2-3 раза больше, чем моды Бесселя, так же ограниченные диафрагмой.

3. При помощи непараксиального оператора распространения показано, что нормированные распределения интенсивности гипергеометрических пучков, сформированные с помощью амплитудно-фазового и фазового входных распределений комплексной амплитуды отличаются менее чем на 5%.

4. Разработана методология и реализовано программное обеспечение для аттестации изготовленных оптических элементов, формирующих гипергеометрические пучки, по оцифрованному рельефу и экспериментально полученным распределениям интенсивности. Показано преимущество бинарных фазовых ДОЭ, формирующих гипергеометрические пучки над многоуровневыми по устойчивости к погрешностям изготовления.

5. С помощью бинарного фазового ДОЭ, рассчитанного методом частичного кодирования и изготовленного по технологии электронной литографии, была экспериментально сформирована пара комплексно-сопряженных гипергеометрических мод с погрешностью менее 13%.

На защиту выносятся:

¡.Эмпирические зависимости радиусов кольцевой диафрагмы, пространственно ограничивающей гипергеометрические моды при их физической реализации от расстояния распространения, на котором отклонение формируемого распределения интенсивности от аналитического решения минимально.

2. Результаты сравнения дифракционных свойств бесселевых и гипергеометрических пучков, ограниченных кольцевой диафрагмой, демонстрирующие преимущество последних в сохранении бездифракционных свойств на больших (в 2-3 раза) расстояниях, чем первые при распространении в свободном пространстве.

3. Результаты непараксиального моделирования фазового ДОЭ, формирующего гипергеометрический пучок в ближней зоне дифракции.

4. Методология оценки качества изготовленных ДОЭ с использованием оцифрованного микрорельефа и экспериментально полученных распределений интенсивности гипергеометрических пучков, с помощью которой показана конкурентоспособность бинарных ДОЭ по сравнению с многоуровневыми в устойчивости к погрешностям изготовления.

5. Анализ экспериментальных результатов по точности и эффективности формирования гипергеометрических мод, полученных с помощью фазовых ДОЭ 4-х типов: многоуровневый, бинарный с кодированием амплитуды и фазы,

бинарный с кодированием только фазы и бинарный, полученный методом частичного кодирования.

Практическая ценность работы:

• Обладая большей протяженностью фокальной линии (в 2-3 раза большей, чем у бесселевых и гауссовых пучков) гипергеометрические пучки могут использоваться в задачах юстировки.

• Метод оценки качества микрорельефа изготовленного ДОЭ вместе с методом численной оценки экспериментальных результатов могут быть использованы для анализа качества изготовления ДОЭ, формирующие другие типы пучков.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были изложены в докладах, представленных на 3-ем международном форуме «Голография ЭКСГЮ-2006» (Москва, сентябрь 2006), на 8-ой международной научно-технической конференции «Компьютерное моделирование 2007» (Санкт-Петербург, июнь 2007), на 5-ой международной конференции молодых ученых и специалистов «0птика-2007» (Санкт-Петербург, октябрь 2007), на 6-ой летней школе молодых ученых по дифракционной оптике и обработке изображений (Самара, июнь 2008), на 5-ой международной конференции Optoinformatics'2008 (Санкт-Петербург, сентябрь 2008).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 17 печатных работ, из них 9 статей - в журналах рекомендуемых ВАК, 2 статьи в зарубежных журналах, 5 тезисов докладов конференций и одно свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы (100 наименований), одного приложения, изложенных на 155 страницах, содержит 91 рисунков и 8 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертации. Сформулированы цели и задачи, сделан обзор научных работ по рассматриваемым вопросам. Изложена научная новизна, практическая значимость, защищаемые положения, описаны содержание и структура диссертации.

В первой главе рассмотрено теоретически и экспериментально новое семейство оптических вихрей, названных гипергеометрическими модами, которые удовлетворяют параксиальному уравнению типа Шредингера:

' д д2 1 д 1 Эп

2 ik— + —j +--+ —г—-

ел дг г дг г <3ф

£(г,<м) = 0, (1)

/

где (г, <р) - поперечные полярные координаты, 1 - координата, направленная вдоль оптической оси, к=2п/Л - волновое число света с длинной волны А.

Аналитически полученное решение уравнения (1) в виде гипергеометрических мод имеет вид:

Ег,

(\п\ + ¡У + 1

Г \_L_i—

кг^Г

2г )

х

'\п\ + 1у + \\ (\п\+\-1у

Г г 1 I

ехр (¡п<р),

где п - целое число (порядок вихревой фазовой сингулярности, топологический заряд), у — комплексное число, являющееся вторым индексом гипергеометрической моды; - вещественный параметр, задающий масштаб формируемого пучка, аналогичен радиусу перетяжки гауссового пучка, однако имеет другой смысл (в данном разделе будут смотрены пучки для которых м>=1); Г(х) - гамма функция; ^(а,Ь;х) - вырожденная (или конфлюэнтная) гипергеометрическая функция.

Для расчета (2) реализованы различные методы вычисления вырожденной гипергеометрической функции и гамма функции. Проведено сравнение реализации гипергеометрических функций через полиномиальное представление и интегральное. Показано, что интегральное является более устойчивым к росту значения аргумента. Произведена оптимизация алгоритма вычисления выражения (2) (ускорение работы в 8 раз) за счет радиально-симметричного характера составляющей этого выражения.

Выполнено сравнение аналитического решения (2), которое получено для бесконечной гипергеометрической моды, и полученного при моделировании ограниченного поля с помощью параксиального оператора распространения функции комплексного пропускания:

Установлено, что ограниченная гипергеометрическая мода демонстрирует

1/2

такую же расходимость, как и аналитическая - пропорционально 2 , однако ограниченный бесселевый пучок имеет расходимость, среднюю между непараксиальным и параксиальным своим аналитическим решением.

Проведенный анализ пространственного изменения картин дифракции показал, что в отличие от бесселевых у гипергеометрических мод ширина колец сужается, линейно увеличивая свою пространственную частоту, с ростом радиальной координаты пучка, это видно на рисунке 1а.

В таблице 1 получены зависимости радиусов апертуры и Я2, ограничивающие гипергеометрические моды при распространении на определенных расстояниях г с наименьшей погрешностью.

На рисунке 16 показано численно, что гипергеометрические моды, ограниченные круглой диафрагмой, сохраняют свои модовые свойства на расстоянии в 2-3 раза большем, чем аналогичные бездифракционные моды Бесселя, ограниченные круглой диафрагмой того же радиуса. В частности показано, что гипергеометрическая мода с параметрами у= -10, п = 4, ограниченная диафрагмой радиусом 0,95 мм при длине волны X = 633 нм, отклонится не более чем на 8% от аналитического решения на расстоянии 400 мм от входной плоскости, в то

(4)

время как Бесселевый пучок с согласованными по размеру центрального кольца параметрами (мода и =4, а = 32) сохраняется с такой же погрешностью лишь на расстоянии 180 мм.

Таблица 1 - Подбор параметров Rj и Я; для гипергеометрической моды (и = 4, у= -10)

Z, мм Дь мм R2, мм 6, %

100 0,05 0,99 0,28

200 0,12 0,96 1,36

400 0,23 1,00 8,36

///«, Л о

6, %

0,5

1 1 1

Гипергеометрическая мода

Jr

l™t Мода Бесселя АА

0.4

0,А' 1.2

(а.)

Лб

2.0 /", .«Л!

Мода

Бессе.тя

Гипергеометрическая мода

600 (б)

1 000 I, .тем

Рисунок 1 - а) Согласование интенсивности гипергеометрической и бесселевой моды по центральному кольцу на заданном расстоянии, б) среднеквадратичное отклонение от аналитического решения для бесселевой и гипергеометрической моды

Во второй главе приведен быстрый алгоритм вычисления непараксиального интегрального оператора распространения лазерных полей в свободном пространстве Релея-Зомерфельда первого типа:

Е{х,у,2) = -. (5)

Алгоритм основан на использовании радиальной симметрии ядра интегрального преобразования (5) и табулировании его значений:

<б)

При этом повышение точности вычисления интеграла достигается не за счет увеличения числа отсчетов входной функции, а за счет разбиения на дополнительные отсчеты быстро осциллирующего ядра преобразования (6) (для получения более точного интегрального значения), что существенно снижает вычислительную нагрузку.

С использованием данного алгоритма было проведено моделирование распространения ограниченных апертурой бесселевых пучков и сравнение модовых свойств этих пучков с известным аналитическим соотношением для скалярных бездифракционных бесселевых пучков в ближней зоне дифракции. Таким образом, алгоритм был опробован на хорошо изученном решении.

Рассмотрим дифракцию ограниченной гипергеометрической моды (4) при следующих параметрах: /=-10, и=0, длина волны освещающего пучка

Д=633нм, внутренний и внешний радиусы ограничивающей кольцевой диа-

фрагмы Л] = 0,03Л, К2 = ЗД, число отсчетов по радиусу равно 100 (т.е. ~30 точек на длину волны). Результаты моделирования представлены на рисунке 2.

Шо 1/1о

\ v \ \

\

1

0 1.0 2.0 3,0 1 °о ^ 20" Л

(а) (б)

Рисунок 2 - Радиальные распределения интенсивности, соответствующие распространению ограниченной идеальной гипергеометрической моды ?*=-10, m=0 (темная пунктирная) и сформированной с помощью фазового ДОЭ (светлая), освещенного плоской волной в ближней зоне дифракции на расстоянии a) XÍ2 б) 5А

В рамках скалярной непараксиальной теории дифракции численно проведены исследования преобразования особенностей гипергеометрических мод при их распространении в ближней зоне (несколько длин волн). Показана возможность субволновой локализации светового излучения (ширина по полуспаду интенсивности: 300 нм « 0,47Х) на расстояниях, превышающих длину волны, т.е. в области распространяющихся волн (см. рисунок 2). Данный эффект достигается за счет потери энергии, уходящий из центральной части пучка.

Важно, что такой эффект можно получить с помощью чисто фазового дифракционного логарифмического аксикона, т.е. без использования амплитудной сингулярности, приводящей к большим потерям энергии. На рисунке 2 демонстрируется неплохое согласование результатов моделирования распространения гипергеометрических пучков, полученных для амплитудно-фазовой и фазовой с равномерным начальным распределением интенсивности функциями пропускания, при этом на расстоянии 5Л среднеквадратичное отклонение (СКО) второго относительно первого решения составляет всего лишь 4,6%.

Также в ходе вычислительного эксперимента обнаружено, что параксиальный интегральный оператор позволяет получать корректные результаты значительно раньше, чем предсказывает условие параксиальности. Данный факт объяснен на основе представления фазовой функции логарифмического аксикона (4) как набора линейных кольцевых аксиконов.

В третьей главе исследуется возможность формирования гипергеометрических мод с помощью ДОЭ. Определяется зависимость между параметрами мод и расстоянием сохранения бездифракционных свойств пучков, ограниченных апертурой. Таким образом, эмпирически получена оценка расстояния, на котором сохраняется четко выраженное центральное кольцо гипергеометрической моды (при небольших значениях входной апертуры R2):

\сгкЯг2/\у\а\ у <0, где а\ » 0.5, С\ « 0.25, а2 « 2.3, с2 » 25.

Отмечено, что гипергеометрические моды, имеющие противоположные знаки параметра у, имеют различные диаметры центральных колец в зоне дифракции Френеля, которые, однако, в дальней зоне дифракции становятся совершенно одинаковыми.

В данной главе рассматривается обобщенное решение гипергеометрических пучков, имеющее аналитический вид:

НУ

2яп\

Щ

-¡2а м>д

т+Ц ,

кар

ехр

2г

хГ

п + т + 2 + ¡у

А

п + т + 2 + 1у

,« + 1,-

кар у/2дг

(7)

ех]

р(тв).

Так же как (4) является решением (2) при г=0, для (7) можно получить аналогичную функцию для плоскости перетяжки ДОЭ, формирующий ограниченный аналог обобщенного гипергеометрического пучка:

Лг,<Р) =

2 71 \м>

ехр

2(7

ехр ¡у\п— + т<р

(8)

Заметим, что при и т = -\ выражение (8) сводится к гипергеомет-

рическим модам (4) в плоскости перетяжки. Если же ег—> со и т = 0, то амплитудная функция переходит в постоянную величину и в плоскости перетяжки в комплексном распределении гипергеометрического пучка остается только особенность, связанная с логарифмической фазовой функцией.

На рисунке 3 видно, что гауссовый гипергеометрический пучок, согласованный по параметрам с гипергеометрической модой одинакового радиуса апертуры в плоскости перетяжки Я2 = 1 мм сохраняет свою структуру на значительно меньшем расстоянии. Однако дополнительный параметр т позволяет варьировать концентрацию энергии таких пучков в центральной части. К тому же распространение гауссовых гипергеометрических пучков более предсказуемо с помощью аналитического выражения (7), поскольку является таким же ограниченным гауссовым начальным распределением интенсивности, как и при моделировании (8) (см. СКО на рисунке 3).

Далее были рассмотрены линейные и логарифмические дифракционные аксиконы, в том числе имеющие вихревую составляющую, как рассеивающую, так и собирающую свет.

Для фиксированного размера апертуры параметр аксикона а (соответствующий внутреннему углу рефракционного аксикона) связывает фокальную глубину и размер фокального пятна соотношением неопределенности: уменьшение фокального пятна достигается увеличением а, что одновременно приводит к уменьшению фокальной длины. Однако безгранично увеличить глубину фокуса уменьшением а, невозможно, так как при |а|<2я7Л формируемый пучок превращается в гауссовый и сохраняет свою структуру на расстоянии Рэ-лея, которое не зависит от параметра а. Кроме того, в этом случае формирова-

ние центрального светового пятна начинается на некотором расстоянии от плоскости оптического элемента.

2=1000 мм 1 1 2=2000 мм 2=5000 мм 2=10000 мм

Гипергсометричеаиымпаа {% т: (-10. 4)

§■ а

I |

С* <ц

^ г

5,%

16,2

18,8

О

О

к

о!

5- § £ =

и а

8,%

1,6

а

0,3

0,08

0,15

Рисунок 3 - Моделирование распространения обобщенных гипергеометрических пучков с помощью параксиального оператора распространения

Численные эксперименты показали, что для логарифмических аксиконов таких ограничений не имеется: независимо от малости модуля параметра акси-кона формирование фокального пятна для собирающих аксиконов происходит сразу на небольшом расстоянии от оптического элемента. Также распределение энергии вдоль оптической оси более равномерное.

На согласованных по характеристикам пучков примерах показано, что логарифмический аксикон формирует более глубокий фокус как для вихревых, так и не имеющих вихревой составляющей пучков. Таким образом, подтверждены преимущества логарифмического аксикона перед линейным не только по равномерности распределения интенсивности вдоль оптической оси, но и в существенном удлинении фокальной зоны.

В четвертой главе рассматриваются результаты, полученные в ходе экспериментов над изготовленными фазовыми ДОЭ четырех типов: многоуровневый, бинарный с кодированием амплитуды и фазы, с кодированием только фазы и полученный методом частичного кодирования. Показано, что бинарные элементы, при потере эффективности (40% дифракционной эффективности приходится на каждую из сопряженных мод) обеспечивают точность формирования пучков, сравнимую с многоуровневыми элементами. В связи со сложностью изготовления многоуровневых элементов это делает бинарные элементы конкурентоспособными для определенного круга задач.

Погрешность изготовления рассмотренных фазовых ДОЭ по высоте микрорельефа у всех элементов была примерно одинаковая (у бинарных - 2%, у многоуровневого - 6%), однако у многоуровневого имеет место дополнительная погрешность в структуре (см. рисунок 4). Это связано с нелинейностью процесса травления, которым трудно управлять при изготовлении полутонового рельефа, показанного на рисунке 5а. Поэтому многоуровневый элемент в эксперименте не позволил сформировать ожидаемой гипергеометрической моды, показанной на рисунке 56.

При моделировании действия ДОЭ, фаза которого была получена из оцифрованного рельефа (см. рисунок 5а), было сформировано распределение, показанное на рисунке 5в, и оно хорошо согласуется с экспериментальным результатом, приведенном на рисунке 5г. Визуально видно существенное отличие от аналитического вида, приведенного на рисунке 56, следовательно такой ДОЭ не пригоден к формированию гипергеометрических мод.

Идеальный микрорельеф

Оцифрованный микрорельеф

Г_V

6 = 65%

о

>8 а

3 о

ж о.

о. к

(в ч

X о

х а Ш

|и:П!г

5 = 65%

«

3 •е-

I

о.

3 Ч

к §

[-0 *

5 = 48%

Рисунок 4 - Сравнения оцифрованных интерферометром микрорельефов с идеальными микрорельефами для многоуровнего и бинарных фазовых ДОЭ

(а) (6) (в) (г)

Рисунок 5 - Исследование качества изготовления полутонового дифракционного оптического элемента

Для анализа экспериментальных результатов формирования гипергеометрических мод был разработан метод численной оценки:

1. Выделение области, содержащей распределение интенсивности только одного из гипергеометрических пучков.

2. Вычисление центра пучка в первом приближении по формулам:

хс=^ JjW*: y)xdxdy ,yc=j; JJ/(x, y)ydxdy, где С = y)dxdy.

D D D

3. Вычисление усредненных координат локальных максимумов (соответствующих первому кольцу) и коррекция координат центра с учетом этой информации:

v _ *^"max 1 Хтах2 _ -Ушах 1 У mm 7 c 2 ' У'~ 2

4. Перевод распределения интенсивности в полярную систему координат 1{г, ср).

5. Формирование радиального сечения с помощью формулы:

2 яг I

при г>0, ДО) —>1(0,0).

6. Снижение яркости интенсивности по формуле:

1(г) = Л г) - min |7(г )1.

7. Нормализация по уровню интенсивности, рассчитанная по формуле:

'">—ТТЛ-

max /(/•)

0<r<R 1

Сравнение экспериментальных результатов с численными для пучков, сформированных бинарным ДОЭ с кодированием только фазы на расстоянии 3000 мм от плоскости ДОЭ (диаметром 5 мм) при помощи приведенного метода показало существенное СКО интенсивности формируемых пучков от идеальных (около 15%). Однако хорошо выраженная кольцевая структура при этом сохраняется, и основной вклад в погрешность вносят затухающие периферийные кольца.

В работе было отмечено, что кодирование с учетом амплитуды при использовании несущей пространственной частоты в суперпозиции комплексно-сопряженных функций, является избыточным. В этом случае улучшение точности очень незначительно по сравнению с дополнительной потерей эффективности.

Рассмотренная аподизация амплитудной информации гауссовым освещающим пучком дает преимущества перед плоским пучком только до некоторого расстояния, на более дальних расстояниях использование плоского пучка позволяет лучше сохранить структуру.

С помощью метода частичного кодирования был рассчитан бинарный ДОЭ диаметром 4,5 мм (1500x1500 отсчетов), который был изготовлен по технологии прямой записи электронным лучом на резисте (с шагом 3 (хш) и использо-

ван для формирования двух лазерных- пучков, близких к гипергеометрическим модам с параметрами -3, п=3 и у=Ъ, п= -3. Сравнение экспериментальных данных с численными на расстоянии 230 мм от плоскости ДОЭ представлено на рисунке 6а (условия аналогичны исследованию ,орма). Среднеквадратичное отклонение экспериментальных данных относительно идеальной моды составляет 13,2%, а относительно пучка, полученного при моделировании того же ДОЭ, составляет 7,3%.

На рисунке 66 показано, что повышение точности относительно идеальной моды для ДОЭ, рассчитанного методом частичного кодирования (СКО 9,8%) по сравнению с элементом, в котором кодировалась только фаза (СКО 45,7%) было достигнуто за счет понижения дифракционной эффективности с 40,4% до

Рисунок 6 - Сравнение радиальных сечений интенсивности (а) на расстоянии г=230мм: (1)-идеальнои~моды, (2)-моделирование действия ДОЭ и (З)-экспериментальные данные для метода частичного кодирования; (б) на г=100мм?^ полученных при моделировании (1) - ДОЭ с кодированной фазой и (2) - ДОЭ, рассчитанного методом частичного кодирования в сравнении с (3) - идеальной модой

Заключение.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Получены эмпирические зависимости радиусов кольцевой диафрагмы, пространственно ограничивающей гипергеометрические моды при их физической реализации, которые обеспечивают минимальную погрешность их формирования на заданном расстоянии.

2. Численно показано, что ограниченные кольцевой диафрагмой гипергеометрические моды при распространении в свободном пространстве сохраняют модовые свойства (неизменность поперечного распределения интенсивности) на расстоянии в 2-3 раза больше, чем моды Бесселя, также ограниченные диафрагмой.

3. На основе непараксиального численного моделирования показано, что различие между гипергеометрическими пучками, сформированными с помощью амплитудно-фазового и фазового входных распределений комплексной амплитуды, различаются по интенсивности, нормированной на максимальное значение, менее чем на 5%.

4. Разработана методология и реализовано программное обеспечение для аттестации изготовленных оптических элементов, формирующих гипергеомет-

3,8%.

(а)

(б)

рические пучки, по оцифрованному рельефу и экспериментально полученным распределениям интенсивности.

5. С помощью бинарного фазового ДОЭ, рассчитанного методом частичного кодирования и изготовленного по технологии электронной литографии, была экспериментально сформирована пара комплексно-сопряженных гипергеометрических мод с погрешностью менее 13%.

В приложении А кратко описан программный пакет СААМ, с помощью которого производились численное моделирование и численные эксперименты, а так же сравнение его с известным аналогичным программным обеспечением.

Основные положения работы отражены в следующих публикациях:

в ведущих рецензируемых научных изданиях, рекомендуемых Высшей аттестационной комиссией Минобрнауки России:

1. Котляр, В.В. Гипергеометрические моды [Текст] / В.В. Котляр, Р.В. Скиданов, С.Н. Хонина, С.А. Балалаев // Компьютерная оптика. -

2006.-Т. 30.-С. 16-22.

2. Балалаев, С.А. Реализация быстрого алгоритма преобразования Кирхгофа на примере бесселевых пучков [Текст] / С.А. Балалаев, С.Н. Хонина // Компьютерная оптика. - 2006. - Т. 30. - С. 69-73.

3. Балалаев, С.А. Непараксиальное моделирование распространения Бесселевых пучков [Текст] / С.А. Балалаев, С.Н. Хонина // Известия Самарского научного центра РАН. - 2006. - Т. 8, № 4 - С. 1204-1210.

4. Балалаев, С.А. Расчет гипергеометрических мод [Текст] / С.А. Балалаев, С.Н. Хонина, В.В. Котляр // Известия Самарского научного центра РАН. -

2007.-Т. 9,№3,-С. 584-591.

5. Балалаев, С.А. Сравнение свойств гипергеометриче-ских мод и мод Бесселя [Текст] / С.А. Балалаев, С.Н. Хонина // Компьютерная оптика. - 2007. -Т. 31,№4.-С. 23-28.

6. Балалаев, С.А. Исследование возможности формирования гипергеометрических лазерных пучков методами дифракционной оптики [Текст] / С.А. Балалаев, С.Н. Хонина, Р.В. Скиданов // Известия Самарского научного центра РАН. - 2008. - Т. 10, № 3. - С. 694-706.

7. Хонина, С.Н. Исследование свойств ограниченных гипергеометрических лазерных пучков [Текст] / С.Н. Хонина, С.А. Балалаев // Компьютерная оптика. - 2008. - Т. 32, № 3. - С. 226-233.

8. Хонина, С.Н. Сравнительный анализ распределений интенсивности, формируемых дифракционным аксиконом и дифракционным логарифмическим аксиконом [Текст] / С.Н. Хонина, С.А. Балалаев // Компьютерная оптика. - 2009. - Т. 33, № 2. - С. 162-174.

9. Хонина, С.Н. Гипергеометрические пучки в ближней зоне дифракции в рамках скалярной модели [Текст] / С.Н. Хонина, С.А. Балалаев // Компьютерная оптика. - 2009. - Т. 33, № 4. - С. 427-435.

в других изданиях:

10. Балалаев, С.А. Восстановление искаженных бесселевых пучков [Текст] / С.А. Балалаев, С.Н. Хонина // Третий Международный форум «Голография ЭКСГ10-2006»: сб. науч. тр. / ООО «Голография-Сервис». - Москва, 2006. -С. 110-111.

11. Балалаев, С.А. Комплекс автоматизированного аналогового моделирования и программирования математических моделей [Текст] / С.А. Балалаев, А.Н. Балалаев // VIII-я научно-техническая конференция «Компьютерное моделирование 2007»: сб. науч. тр. / Изд-во Политехнического университета. - Санкт-Петербург, 2007. - С. 169-170.

12. Балалаев, С.А. Сравнение свойств гипергеометрических мод и мод Бесселя [Текст] / С.А. Балалаев, С.Н. Хонина // Пятая международная конференция молодых ученых и специалистов «0птика-2007»: сб. науч. тр. / Оптическое общество им. Д.С. Рождественского, Санкт-Петербургский гос. ун-т информационных технологий, механики и оптики. - Санкт-Петербург, 2007. -С. 140.

13. Balalayev, S.A. Calculation of Hyper-Geometric Modes [Text] / S.A. Balalayev, S.N. Khonina // Optical Memory & Neural Networks (Information Optics). - 2008. - Vol. 17, N. 2. - P. 75-83.

14. Balalayev, S.A. Possibilities of generating hypergeometric laser beams with dif-fractive optics methods [Text] / S.A. Balalayev, S.N. Khonina // Proceedings of the topical meeting on optoinformatics'2008, St. Petersburg State University for Information Technologies, Mechanics and Optics - St. Petersburg, Russia, 2008. -P. 260-263.

15. Балалаев, С.А. Моделирование распространения гипергеометрических лазерных пучков с использованием параллельных вычислений на многоядерных архитектурах [Текст] / С.А. Балалаев // Вестник СГАУ. - 2008. - Т. 15, №2 .-С. 94-100.

16. Khonina, S. N. Encoded binary diffractive element to form hyper-geometric laser beams [Text] / Khonina S. N., Balalayev S. A., Skidanov R. V., Kotlyar V. V., Paivanranta В., Turunen J. // J. Opt. A: Pure Appl. Opt.. - 2009. - Vol. 11, N. 6. - P. 65702-65708.

17. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ. Комплекс автоматизированного программирования математических моделей компьютерной оптики [Текст] / С.А. Балалаев; заявитель и правообладатель С.А. Балалаев - №2005610469; заявл. 23.12.2004 ; опубл. 18.02.2005, Реестр программ для ЭВМ.

Подписано в печать 01.09.2010 г. Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в СГАУ 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34

Основные обозначения и сокращения.

Введение.

Глава 1. СРАВНИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ БЕЗДИФРАКЦИОННЫХ СВОЙСТВ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ И БЕССЕЛЕВЫХ МОД.

1.1. Расчет гипергеометрических мод.

1.1.1. Гипергеометрические моды.

1.1.2. Алгоритм расчета ГТ мод.

1.1.3. Оптимизация алгоритма расчета ГТ мод.

1.1.4. Моделирование распространения ограниченных апертурой гипергеометрических мод.

1.2. Сравнение свойств Гипергеометрических мод и мод Бесселя.

1.2.1. Решение уравнения Шредингера в различных системах координат, моды Бесселя.

1.2.2. Численное моделирование ГГ мод и мод Бесселя с ограниченной и бесконечной апертурой.

Выводы к главе 1.

Глава 2. НЕПАРАКСИАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ' ГГ-ПУЧКОВ

2.1. Реализация быстрого алгоритма преобразования Кирхгофа для моделирования непараксиального распространения бесселевых пучков.

2.1.1. Интеграл Кирхгофа.

2.1.2. Реализация алгоритма.

2.1.3. Верификация разработанного алгоритма на примере Бесселевых мод

2.1.4. Сравнение с аналитическим решением непараксиального бесселевого пучка.

2.2. Гипергеометрические пучки в ближней зоне дифракции в рамках скалярной модели.

2.2.1. Обобщенные гипергеометрические моды.

2.2.2. Численные эксперименты.

2.2.3. Анализ результатов.

Выводы к главе 2.

Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ МЕТОДАМИ ДИФРАКЦИОННОЙ ОПТИКИ.

3.1. Обобщенные гипергеометрические пучки и их свойства.

3.1.1. Аналитическое решение в виде обобщенных гипергеометрических мод.

3.1.2. Исследование сохранения модовых свойств ГГ-пучков, формируемых с помощью ДОЭ.

3.1.3. Определение зависимости сохранения модовых свойств от расстояния распространения гипергеометрического пучка.

3.1.4. Сравнение дифракционных свойств ограниченных ГТ-мод и ОГГ-пучков.

3.2. Сравнительный анализ распределений интенсивности, формируемых дифракционным аксиконом, и дифракционным логарифмическим аксиконом.

3.2.1. Дифракционный аксикон.

3.2.2. Дифракционный логарифмический аксикон.

3.2.3. Сравнение двух типов дифракционных аксиконов.

Выводы к главе 3.

Глава 4. ЭКСПЕРЕМЕНТАЛЬНОЕ ФОРМИРОВАНИЕ ГГ-ПУЧКОВ И

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ.

4.1. Дифракционные оптические элементы, формирющие ГТ модьь и обобщенные ГТ-пучки.

4.1.1. Формирование ГГ-пучков с помощью фазовых ДОЭ.

4.1.2. Анализ различных типов фазовых ДОЭ,- предназначенных для формированияГГ-пучков.

4.1.3. Экспериментальное формирование ГГ-пучков с помощью фазовых ДОЭ.

4.1.4. Анализ экспериментальных результатов.

4.2. Кодированные ДОЭ для формирования ГГ-мод.

4.2.1. Метод частичного кодирования.

4.2.2. Расчет ДОЭ для формирования ГГ-пучков.

4.2.3. Экспериментальное формирование ГГ-пучков с помощью кодированного бинарного фазового ДОЭ.

4.3. Сравнение ГГ-мод, сформированных с помощью ДОЭ с кодированием фазы и ДОЭ, полученого методом частичного кодирования

Выводы к главе 4.

Диссертационная работа посвящена изучению бездифракционных свойств гипергеометрических пучков, являющихся новым классом решений параксиального волнового уравнения в цилиндрической системе координат, а так же сравнению различных типов дифракционных оптических элементов, с помощью которых можно формировать данные пучки.

Актуальность исследования: Уравнение Гельмгольца, описывающее распространение непараксиального' монохроматического светового пучка в однородном пространстве, допускает решения с разделяющимися, переменными в 11 различных системах координат [1]. Это означает, что существуют световые поля;,распространяющиеся вдоль оптической оси без изменения своей структуры. в< поперечной плоскости. Примером являются хорошо известные моды Бесселя [2]. Параксиальный аналог уравнения Еельмгольца — это параболическое уравнение типа Шредингера, которое: описывает распространение параксиальных световых прлей. Это уравнение допускает решения с разделяющимися переменными в 17 системах координат [1].

В: последнее время резко увеличилось количество-работ, в-которых решения- с разделяющимися, переменными для уравнения; Гельмгольца и Шредингера используются, в оптике [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10] , [11]. Новые непараксиальные световые; пучки, сохраняющие свою структуру при распространении, рассматривались в [3], [4], [5]. Это параболические пучки [3], волны Гельмгольца-Гаусса [4] и Лапласа-Гаусса [5].

Существует еще одно семейство лазерных мод, являющееся решением с разделенными переменными параксиального волнового уравнения в цилиндрической : системе координат. Эти решения описывают семейство световых полей; которые сохраняют свою структуру, изменяясь только масштабно. Так как функции-, описывающие эти моды,; содержат вырожденную гипергеометрическую функцию, то их называют гипергеометрическими; (ГГ) модами; Они были рассмотрены впервые В.В. Котляром с соавторами [12],[13],[14]. Свойства нового типа мод интенсивно рассматривались как той же группой авторов [15],[16],[17],[18],[19],[20],[21], так и другими учеными [22],[23],[24]. Ранее были исследованы такие решения параксиального волнового уравнения [6], [7]', [9], [10]: в декартовой системе координат - моды Эрмита-Гаусса [25], в цилиндрической системе координат - моды Лагерра-Гаусса [1] и моды Бесселя [2], а также в эллиптической системе координат - моды Айнса-Гаусса [6], элегантные пучки Айнса-Гаусса [7], названные так, поскольку их решение получается в виде произведения гауссовой функции на многочлены Айн-са [6],[7],[8],[26],[27]. Известны также моды Эрмита-Лагерра-Гаусса [9], которые в зависимости от некоторого параметра могут переходить в моды Эрмита-Гаусса или Лагерра-Гаусса [25], а так же чистые оптические вихри [10]. Некоторые из этих пучков были получены в лазерных резонаторах [8], [9], а так же с помощью дифракционных оптических элементов [10]> и жидкокристаллических дисплеев [11].

ГГ моды отличаются от известных параксиальных мод тем, что их основной радиус увеличивается как 2 Следовательно, они обладают наименьшей расходимостью, среди всех известных параксиальных мод, в том числе расходятся меньше, чем параксиальный бесселевый пучок, формируемый с помощью линзы и узкой кольцевой диафрагмы в непрозрачном экране И

Параксиальные ГГ моды как и параксиальные моды Бесселя обладают бесконечной поперечной протяженностью и энергией. На практике из-за поперечного ограничения их можно сформировать только приближенно и на конечном отрезке вдоль оптической оси, с помощью спиральной фазовой пластины [28],[29],[30], освещенной плоской волной. Похожее по структуре, но более компактное, чем у бесселевых мод, распределение энергии (за счет уменьшающегося периода колец) позволяет ГГ модам дольше сопротивляться дифракционным искажениям, связанным с необходимостью обрезать моду до некоторого радиуса.

У любой ГГ моды при пФ0 (целочисленный параметр моды) всегда (кроме начальной плоскости) в центре (на оптической оси) имеется нуль интенсивности, характерный для оптических вихрей. [31].- Кроме этого ГГ моды, в начальной плоскости (г=0) при /=0 имеют гиперболическую особенность амплитуды 1/г и фазовую неустойчивость 1о§(г/-ц>). Поэтому физическая реализация ГТ мод имеет дополнительные сложности: необходимо вырезать или аппроксимировать неоднозначную центральную область совместно с.ограничением апертурой. Также резкий спад амплитудной функции при; росте радиуса затрудняет применение методов кодирования амплитудной информации в фазовую - периферийная часть прописывается очень плохо даже при болыном числе уровней квантования.

Вместо ограничения кольцевой апертурой при получении ГГ пучков прибегают к добавлению Гауссовой составляющей. Обобщение ГГ мод с добавлением гауссовой составляющей рассмотрено в работах [22],[32]. Таким-образом вводится; понятие ГГ пучков [32], энергия которых ограничена, но сами пучки теряют модовые свойства,, сохраняя винтовую фазовую сингулярность.

Пучки с винтовой: фазовой сингулярностью часто используют для передачи орбитального углового момента микрочастицам, при? оптическом* манипулировании [33],[34],[35],[36]. При этом, как правило, используются>классические моды Гаусса-Лагерра, Бесселевы моды- и чистые оптические, вихри: Трехпараметрическое семейство ГГ пучков [32] в отличие от указанных мод имеет больше параметров, позволяющих варьировать распределение интенсивности пучка в соответствии с нуждами микроманипулирования [37].

В-работах зарубежных авторов [22], [23], [24] так же проводились г исследования формирования различных пучков в основе которых лежали ГГ моды [14]. Исследования- ГГ мод с гауссовой составляющей (ГГГ) в [22] ограничивалось кратким рассмотрением их некоторых подсемейств^ таких: как модифицированные моды Бесселя-Гаусса,, модифицированные экспоненци-• альные Гаусовые моды и модифицированные моды; Лагера- Гаусса, а так же исследованиям ГГГ, полученных в ходе экспериментов. 111 пучки в отличие отГГ пучков, введенных в [14] являются ограниченными энергетически, еледовательно могут быть сформированы физически, что и было проделано авторами [22], с помощью пространственного светового модулятора на жидких кристалах.

В [23] представлено широкое обобщение классов решения параксиального волнового уравнения в круговых цилиндрических координатах, называемое «круговыми пучками», которое соответствует трехпараметрическим модам, содержащим функции Уиттекера [38] или гипергеометрические функции [39]. В [23] подробно изучено распространение таких пучков в свободном пространстве и через оптические системы на основе АВСО-метода с помощью параксиального дифракционного интеграла Гюйгенса-Френеля- в цилиндрической системе координат [25]. «Круговые пучки» сводятся к таким решениям, как стандартные элегантные и обобщенные моды Лагера-Гаусса (ЛГ), моды Бесселя-Гаусса (БГ), ГГ и ГГГ моды, квадратичные БГ, оптические чистые вихри и элегантные ЛГ с вещественным порядком.

В" [24] показано, еще одно решение параксиального волнового уравне ния в виде ГГГ мод второго типа,(ГГТ-2). В отличие от ГГ и ГГГ мод такое решение не имеет никаких особенностей для плоскости формирования (г=0), в остальном они подобны ГГГ модам. Это семейство пучков может быть так же выделено в качестве предельного случая «Круговых пучков», описанных в [23]. В [24] изучены свойства ГГГ-2 мод в фокусе высокоапертурной линзы с помощью векторного дебаевского дифракционного интеграла [40]. Показана возможность субволновой локализации после соответствующей фокусировки (формирование «световой иглы»), которая, по мнению авторов, может быть полезна в качестве приложения в оптике ближнего поля.

Данные работы [22], [23], [24] демонстрируют преимущества ГГГ мод перед остальными параксиальными модами с гауссовой составляющей, однако отсутствует очень важное сравнение дифракционных свойств-ГГГ с ГГ пучками; так как введение гауссовой составляющей может приводить к сильной; расходимости'пучка при распространении и к значительному влиянию дифракции на структуру пучка. В [15] сказано, что у ГГГ пучков наблюдается неограниченное увеличение пространственной частоты картины дифракции в отличие от ГТ пучков, однако изучение этого вопроса ограничивалось теорией.

Амплитудная и фазовая особенности распределения ГТ-мод в центре начальной плоскости (в центре перетяжки) с одной стороны затрудняют физическую реализацию этих мод, а с другой являются причиной неограниченного роста пространственной частоты [15]. Данный факт позволяет рассматривать ГГ-моды в качестве аналога так называемых суперосциллирующих функций [41], [42], используемых для сверхразрешения [43].

Исследования преобразования особенностей ГГ-мод при их распространении в ближней зоне (несколько длин волн) были бы полезны в решении задачи субволновой локализации светового излучения.

В работе [21] были аналитически рассмотрены непараксиальные гипергеометрические пучки, однако оценки размера центрального светового пятна сделаны только для случая отсутствия логарифмической фазовой сингулярности. Использование же амплитудной сингулярности энергетически неэффективно.

С помощью аксиконов [44] формируются бесселевые пучки, представляющие собой длинные тонкие световые фокальные линии, расположенные вдоль оптической оси. Узкий длинный фокус бесселевых пучков весьма полезен в таких приложениях как юстировка, выравнивание и тестирование протяженных объектов, захват и манипулирование микрочастицами, в метрологии и томографии.

Для улучшения характеристик таких пучков - равномерности интенсивности, размера светового пятна или протяженности - используются как аналитические [45], [46], так и численные [47] методы расчета фазы оптических элементов: В последнем случае, как правило, реализовать рассчитанный оптический рельеф можно только методами литографии, т.е. речь идет о дифракционных оптических элементах (ДОЭ) [48], [28], или с помощью жидкокристаллического пространственного модулятора света [49].

С помощью логарифмического аксикона можно воспроизводить ГТ пучки, бездифракционные свойства которых должны быть лучше Бесселевых, но этот вопрос не исследован.

ГГ моды как и Бесселевы моды находят применение в задачах оптических микроманипуляторов [35] (для перемещения и вращения микробиологических препаратов, для сборки микромеханических систем), а также в системах передачи момента движения микромеханическим системам [18] [37]. С помощью жидкокристаллического микродисплея были сформированы гипергеометрические моды, предназначенные для задачи вращения микрообъектов [50].

Цель работы: •

Исследование различных методов синтеза ДОЭ, формирующих ГГ пучки с наилучшими бездифракционными свойствами и высокой дифракционной эффективностью.

Задачи диссертации:

1. Изучение влияния ограничения кольцевой диафрагмой бесконечных ГГ мод на их модовые свойства.

2. Численное сравнение бездифракционных свойств ГГ и бесселевых пучков" сформированных с помощью ДОЭ различного типа.

3. Исследование бездифракционных свойств ГГ пучков в ближней зоне дифракции.

4. Разработка и реализация методологии оценки качества изготовленных фазовых' ДОЭ, формирующих гипергеометрические пучки на основе моделирования действия оцифрованного микрорельефа и сравнения экспериментально полученных результатов с численными.

5. Поиск наилучшего решения в изготовлении фазового ДОЭ, формирующего ГГ пучок с наилучшей, дифракционной эффективностью и минимальным расхождением от аналитической моды.

Научная новизна работы:

1. На основе параксиального численного моделирования определены зависимости радиусов кольцевой диафрагмы, пространственно ограничивающей бесконечные ГГ моды при их физической реализации, которые обеспечивают минимальную погрешность их формирования на заданном расстоянии.

2. Численно показано, что ограниченные кольцевой диафрагмой ГТ моды при распространении в свободном пространстве сохраняют модовые свойства на расстоянии в 2-3-раза большем, чем моды Бесселя, так же ограниченные диафрагмой.

3. При помощи непараксиального оператора-распространения показано, что нормированные распределения интенсивности ГГ пучков, сформированные с-помощью амплитудно-фазового и фазового входных распределений комплексной амплитуды отличаются менее чем на 5%.

4. Разработана методология и реализовано программное обеспечение для аттестации изготовленных оптических элементов, формирующих ГТ пучкщ по( оцифрованному рельефу и экспериментально полученным распределениям интенсивности: Показано преимущество бинарных фазовых ДОЭ, формирующих ГГ пучки над-многоуровневыми, по устойчивости к погрешностям изготовления.

5. С помощью бинарного фазового ДОЭ, рассчитанного методом частичного кодирования и изготовленного по технологии электронной литографии, была экспериментально сформирована пара комплексно-сопряженных ГГ мод с погрешностью менее 13%.

На защиту выносятся:

1. Эмпирические зависимости радиусов кольцевой диафрагмы, пространственно ограничивающей ГГ моды при-их физической реализации от расстояния распространения, на котором отклонение формируемого распределения интенсивности от аналитического решения минимально.

2. Результаты сравнения дифракционных свойств бесселевых и ГГ пучков, ограниченных кольцевой диафрагмой, демонстрирующие преимущество последних в сохранении бездифракционных свойств на больших (в 2-3 раза) расстояниях, чем первые при распространении в свободном пространстве.

3. Результаты непараксиального моделирования фазового ДОЭ, формирующего ГГ пучок в ближней зоне дифракции.

4. Методология оценки качества изготовленных ДОЭ с использованием оцифрованного микрорельефа и экспериментально полученных распределений интенсивности ГГ пучков, с помощью которой показана конкурентоспособность бинарных ДОЭ по сравнению с многоуровневыми в устойчивости к погрешностям изготовления.

5. Анализ экспериментальных результатов по точности и эффективности формирования ГГ мод, полученных с помощью фазовых ДОЭ 4-х типов: многоуровневый, бинарный с кодированием амплитуды и фазы, бинарный с кодированием только фазы и бинарный, полученный* методом частичного кодирования.

Практическая ценность работы:

1. Обладая большей протяженностью фокальной линии (в 2-3 раза большей, чем у бесселевых и гауссовых пучков) ГГ пучки могут использоваться в задачах юстировки.

2. Метод оценки качества микрорельефа изготовленного ДОЭ вместе с методом'численной оценки экспериментальных результатов могут быть использованы для анализа качества изготовления ДОЭ, формирующие другие типы пучков.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были изложены в докладах, представленных на 3-ем международном форуме «Голография ЭКСПО-2006» (Москва, сентябрь 2006), на 8-ой международI ной научно-технической конференции «Компьютерное моделирование 2007» (Санкт-Петербург, июнь 2007), на 5-ой международной конференции молодых ученых и специалистов «0птика-2007» (Санкт-Петербург, октябрь 2007), на 6-ой летней школе молодых ученых по дифракционной оптике и обработке изображений (Самара, июнь 2008), на 5-ой международной конференции С^отйшпайс^ООЗ (Санкт-Петербург, сентябрь 2008).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 17 печатных работ. Из них 9 - статьи в журналах, рекомендуемых ВАК, 2 статьи в зарубежных журналах, 5 тезисов докладов конференций и одно свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и,объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Заключения,- списка цитируемой литературы (100 наименований), одного приложения, изложенных на 155 страницах, содержит 91 рисункок и 8 таблиц.

Выводы к главе 4

В данной главе проведено исследование формирования ГГ пучков с использованием различных типов ДОЭ. Показано, что бинарные элементы, при потере эффективности (которая, однако компенсируется, если имеется целесообразность формирования дополнительного сопряженного пучка) обеспечивают точность формирования пучков, сравнимую с многоуровневыми элементами. В связи со сложностью изготовления многоуровневых элементов это делает их конкурентоспособными для определенного круга задач.

Также показано, что кодирование с учетом амплитуды при использовании несущей пространственной частоты в суперпозиции комплексно-сопряженных функций, является избыточным. В этом случае улучшение точности очень незначительно по сравнению с дополнительной потерей эффективности.

Рассмотренная аподизация амплитудной информации гауссовым освещающим пучком дает преимущества перед плоским пучком только до некоторого расстояния, на более дальних расстояниях использование плоского пучка позволяет лучше сохранить структуру.

Сравнение экспериментальных результатов с численными показало существенное среднеквадратичное отклонение интенсивности формируемых пучков от идеальных, однако, хорошо выраженная кольцевая структура при этом сохраняется, и основной вклад в погрешность вносят затухающие периферийные кольца.

С помощью метода частичного кодирования был рассчитан бинарный ДОЭ диаметром 4.5 мм (1500x1500 отсчетов), который был изготовлен по технологии прямой записи электронным лучом на резисте (с шагом 3 |Л.т) и использован для формирования двух лазерных пучков, близких к ГГ-модам с номерами у=-Ъ, п=3 и у= 3, п= -3. Дифракционная эффективность ДОЭ при формировании этих пучков около 10%, а среднеквадратичное отклонение от идеальной моды около 13%.

При моделировании распространения ГГ-мод с помощью бинарного фазового ДОЭ, полученного методом частичного кодирования показано, что повышение точности (в 3-5 раз) по сравнению с ДОЭ, полученного при кодировании фазы было достигнуто за счет понижения дифракционной эффективности (в 10 раз).

Заключение по работе

В работе получены следующие основные результаты:

1. Получены эмпирические зависимости радиусов кольцевой диафрагмы, пространственно ограничивающей ГГ моды при их физической реализации, которые обеспечивают минимальную погрешность их формирования на заданном расстоянии.

2. Численно показано, что ограниченные кольцевой диафрагмой ГГ моды при распространении в свободном пространстве сохраняют модовые свойства (неизменность поперечного распределения интенсивности) на расстоянии в 2-3 раза большем, чем моды Бесселя, также ограниченные диафрагмой.

3. На основе непараксиального численного моделирования показано, что различие между ГГ пучками, сформированными с помощью амплитудно-фазового и фазового входных распределений комплексной амплитуды, различаются по интенсивности, нормированной на максимальное значение, менее чем на 5%.

4. Разработана методология и реализовано программное обеспечение для аттестации изготовленных оптических элементов, формирующих ГГ пучки, по оцифрованному рельефу и экспериментально полученным распределениям интенсивности.

5. С помощью бинарного фазового ДОЭ, рассчитанного методом частичного кодирования и изготовленного по технологии электронной литографии, была экспериментально сформирована пара комплексно-сопряженных ГГ мод с погрешностью менее 13%.

6. При моделировании распространения ГТ-мод с помощью бинарного фазового ДОЭ, полученного методом частичного кодирования показано, что повышение точности (в 3-5 раз), по. сравнению с ДОЭ, полученного при кодировании только, фазы было достигнуто за счет понижения дифракционной эффективности (в 10 раз).

1. Miller, W.Jr. Symmetry and Separation of Variables. With a foreword by Richard Askey Text. / Miller W.Jr. - Addison-Wesley Pub., MA, 1977.

2. Durnin, J. Diffraction-free beams Text. / Durnin J., Miceli J.J., Eberly J.H. // Phys. Rev. Lett. 58. 1987. - V. 58. - P. 1499-1501.

3. Bandres, M.A. Parabolic nondiffracting optical wave fields Text. /

4. M.A. Bandres, J.C. Gutierrez-Vega, S. Chavez-Cedra // Opt. Lett. 2004. -V. 29, N. 1.-P. 44-46.

5. Gutierrez-Vega, J.C. Helmholtz-Gauss waves Text. /J.C. Gutierrez-Vega, M.A. Bandres // J. Opt. Soc. Am A. 2005. - V. 22, N. 2. - P. 289-298.

6. Bandres, M.A. Vector Helmholtz-Gauss and vector Laplace-Gauss beams Text. / M.A. Bandres, J.C. Gutierrez-Vega, S. Chavez-Cedra // Opt. Lett:. -2005.-V. 30,N. 16.-P. 2155-2157.

7. Bandres, M.A. Ince-Gaussian beams Text. / Bandres M.A., Gutierrez-Vega J. // Opt. Lett. 2004. - V. 29, N. 2. - P. 144-146.

8. Bandres, M.A. Elegant Ince-Gaussian beams Text. / Bandres M.A. // Opt. Lett. 2004. - V. 29, N. 15. - P. 1724-1726.

9. Schwarz, U.T. Observatiob of Ince-Gaussian modes in stable resonators Text. / Schwarz U.T., Bandres M.A., Gutierrez-Vega J. // Opt. Lett. 2004. - V. 29, N. 16.-P. 1870-1872.

10. Abramochkin, E.G. Generalized Gaussian beamsText. / Abramochkin E.G., Volostnikov V.G. // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2004. - V. 6. - P. 51575161.

11. Bentley, J.B. Generation of helical Ince-Gaussian beams with a liquid-crystal display Text. / J.B. Bentley, J.A. Devis, M.A. Bandres, J.C. Gutierrez-Vega

12. Opt. Lett. 2006. - V. 31, N. 5. - P. 649-651.

13. Kotlyar, V.V. Hypergeometric modes Text. / Kotlyar V.V., Skidanov R.V., Khonina S.N., and Soifer V.A. // Opt. Lett. 2007. - V. 32 - P. 742-744.

14. Котляр, В.В. Непараксиальные гипергеометрические моды Текст. / Кот-ляр В.В., Ковалев А.А. // Компьютерная оптика. 2008. - Т. 32, № 3.1. С. 222-225.

15. Ebrahim Karimi Hypergeometric-Gaussian modes Text. / Ebrahim Karimi, Gianluigi Zito, Bruno Piccirillo, Lorenzo Marrucci, and Enrico Santamato // Optics Letters. 2007. - V. 32, N. 21. - P. 3053- 3055.

16. Miguel A. Circular beams Text. / Miguel A. Bandres and Julio C. Gutiérrez-Vega // Optics Letters. 2008. - V .33, N. 2. - P. 177-179.

17. Ebrahim Karimi Improved focusing with Hypergeometric-Gaussian type-II optical modes Text. / Ebrahim Karimi, Bruno Piccirillo, Lorenzo Marrucci, and Enrico Santamato // Opt. Express. 2008. - V .16, N .25. - P. 2106921075.

18. Siegman, A. E. Lasers Text. / A. E. Siegman University Science, Mill Valley, Calif, 1986.

19. Bandres, M.A. Ince-Gaussian modes of the paraxial wave equation and stable resonators Text. / Bandres M.A., Gutierrez-Vega J. // J. Opt. Soc. Am. A. -2004. V. 21, N. 5. - P. 873-880.

20. Bandres, M.A. Higher-order complex source for elegant Laguerre-Gaussian waves Text. / Bandres M.A., Gutierrez-Vega J. // Opt. Lett. 2004. - V. 29, N. 19.-P. 2213-2215.

21. Khonina, S.N. The phase rotor filter Text. / Khonina S.N., Kotlyar V.V., Shinkaryev M.V., Soifer V.A., Uspleniev G.V. // J. Mod. Opt. 1992. -V. 39,N. 5.-P. 1147-1154.

22. Beijersbergen, M.W. Helical-wave front laser beams produced with a spiral phase plate Text. / Beijersbergen M. W., Coerwinkel R.P.C., Kristiensen M., Woerdman LP. // Opt. Commun. 1994. - V. 112. - P. 321-327.

23. Soskin, M.S. Topological charge and anguliar momentum of light beams carrying optical vortices Text. / Soskin M.S., Gorshkov U.N., Vasnetsov M.V. // Phys. Rev. A. 1997. - V.56, N.5. - P. 4064-4075.

24. Kotlyar, V.V. Family of hypergeometric. laser beams Text. / Kotlyar V.V. and Kovalev A.A. // J. Opt. Soc. Am. 2008. - V. 25, N. 1. - P. 262-270.

25. He, H. Optical particle trapping with higher order doughnut beams produced using high efficiency computer generated phase holograms Text. / He H., Heckenberg N: R., Rubinsztein-Dunlop H: // J. Mod: Opt:. 1995. - V. 42, N. 1. - P. 217-223. t : .

26. Gahagan, К. T. Optical vortex trapping of particles Text. / Gahagan К. Т., Swartzlander G. A. // Opt. Letters. 1996. - V. 21, N. 11.-P. 827-829:

27. Weisstein, Eric W. "Hypergeometric Function." From Math World—A Wolfram Web Resource Internet-Link.http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction.html.

28. Richards, B. Electromagnetic diffraction in optical systems II. Structure of the image field in an aplanatic system Text. / B. Richards, and E. Wolf //

29. Proc. R. Soc. London. 1959. - V. 253. - P. 358-379.

30. Berry, M.V. Evolution of quantum superoscillations and optical superresolution without evanescent waves Text. / M.V. Berry and S. Popescu //

31. J. Phys. A: Math. Gen. 2006. - V. 39. - P. 6965-6977.

32. Ferreira, P. J. S. G. Superoscillations: faster than the Nyquist rate Text. / P.J.S.G. Ferreira, and A. Kempf// IEEE transactions on signal processing. -2006. V. 54, N. 10. - P. 3732-3740.

33. Huang, F.M. Super-Resolution without Evanescent Waves Text. / Fu Min Huang and Nikolay I.Zheludev // Nano Lett. 2009. - V. 9, N. 3. - P. 12491254.

34. McLeod, J.H. The axicon: a new type of optical element Text. / McLeod J.H. // J. Opt. Soc. Am. 1954. - V. 44. - P. 592-597.

35. Sochacki, Jacek Annular-aperture logarithmic axicon Text. / Jacek Sochacki, Zbigniew Jaroszewicz, Leszek Rafal Staroiski, Andrzej Kolodziejczyk //

36. J. Opt. Soc. Am. 1993. - V. 10, N. 8. - P. 1765-1768.

37. Mikula, G. Imaging with extended focal depth by means of lenses with radial and angular modulation Text. / G. Mikula, Z. Jaroszewicz, A. Kolodziejczyk, K. Petelczyc, and M. Sypek // Opt. Express. 2007. - V. 15, N. 15.1. P. 9184-9193.

38. Котляр, B.B. Дифракционный расчет фокусаторов в продольный отрезок Текст. / Котляр В.В., Сойфер В.А., Хонина С.Н. // Письма в ЖТФ. -1991.-Т. 17, №24.-С. 63-66.

39. Turunen, J. Holographic generation of diffraction-free beams Text. / J. Tu-runen, A. Vasara, and A. T. Friberg // J. Appl. Opt. 1988. - V. 27, N. 19. -P. 3959-3962.

40. Chattrapiban, N. Generation of nondiffracting Bessel beams by use of a spatial light modulator Text. / Narupon Chattrapiban, Elizabeth A. Rogers, David Cofield, Wendell T. Hill, III, Rajarshi Roy // Opt. Lett. 2003.

41. V. 28,N. 22.-P. 2183-2185.

42. Abramovitz, M! Handbook of mathematical function Text. / M. Abramovitz, I.A. Stegun NBS, Appl. Math. Ser. 55, 1964. - 1046 P.

43. Hart, J.F., et al., Computer Approximations Text. / Hart, J.F., et al. Krieger Publishing Co., Inc. Melbourne, FL, USA, 1978. - 352 P.

44. Luke, Y.L. Mathematical Functions and Their Approximations Text. / Luke Y.L. New York: Academic Press, 1975. - 584 P.

45. Hastings, C., Approximations for Digital Computers, assisted by J. T. Haward and J. P. Wong Text. / C. Hastings, J. T. Haward and J. P. Wong Princeton: Princeton University Press, 1955. - 8+201 P.

46. Вырожденная гипергеометрическая функция Интернет ссылка. -http://dic.academic.rU/dic.nsf/encmathematics/919/ ВЫРОЖДЕННАЯ

47. Сойфер; В.А. Дифракционная Компьютерная Оптика. Под редакцией

48. B.А. Сойфера Текст. / Д.Л. Головашкин, JI.JT. Досколович,

49. Н.Л. Казанский, В.В. Котляр, B.C. Павельев, Р.В. Скиданов, В.А. Софер,

50. C.Н. Хонина. М.: «Физматлит», 2006. - 736 С.

51. Виноградова, М.Б. Теория волн Текст. / М.Б. Виноградова О.В. Руден-ко, А. П. Сухоруков М.: Наука, 1979. - 383 С.,

52. MacDonald, М.Р. Creation and manipulation of three-dimensional* optically trapped structures Text. / M.P. MacDonald, L. Paterson, K. Volke-Sepulveda, J; Arlt, W. Sibbett, K. Dholakia // Science. 2002. - V. 296;1. N. 5570 P. 1101-1103:

53. Garces-Chavez, V. Simultaneous micromanipulation in:multiple planes using a self-reconstructing light beam Text. / V. iGarces-Chavez, D. McGloin,

54. H. Melville, W. Sibbett, K. Dholakia // Nature: 2002. V.419.- P. 145-147.

55. Khonina^ S: N: Rotating microobjects using a DOE-generatedilaser. Besselbeam Text. / S. N. Khonina, R.V. Skidanov, V. V. Kotlyar, V, A. Soifer// Proceedings of SPIH. 2004. - V.5456. - P. 244-255.

56. Schneider, J. B. FDTD dispersion revisited: Faster-than-light propagation

57. Бахвалов, Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения) Текст. / Н.С. Бахвалов М.: Наука, 1975. -630с.

58. Полуширина (англ. FWHM) Internet-Link.http://ru.wikipedia.org/wiki/Пoлнaяшиpинaнaпoлoвинe высоты.

59. Totzeck, М. Validity of the scalar Kirchhoff and Rayleigh-Sommerfeld diffraction theories in the near field of small phase objects Text. / M. Totzeck // J. Opt. Soc; Am. A. 1991. - V. 8, N. 1. - P. 27-32.

60. Tsoy, V.I. The use of Kirchhoff approach for the calculation of the near field amplitudes of electromagnetic field Text. / V.I. Tsoy, L.A. Melnikov // Optics Communications.-2005. V, 256, N. 1-3. - P. 1-9.

61. Сивухин, Д.В. Общий курс физики (том 4). Оптика Текст. / Сиву-хин Д.В. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1980. - 768 С.

62. Хонина, С.Н. Фраксикон дифракционный оптический элемент с переменным радиусом фокального пятна Текст./Хонина С.Н:, Волотов-ский С.Г. // Компьютерная»оптика. - 2009. - Т. 33; № 4. - С. 23-28.

63. Ковалев, А.А. Гипергеометрические лазерные пучки общего вида и их известные частные случаи Текст. / А.А. Ковалев, В.В. Котляр // Компьютерная оптика. 2007: - Т. 31;, № 4. - С. 29-32.

64. Абрамовиц М. Справочник по специальным функциям Текст. / Под ред. М. Абрамовича, И. Стигана М.: Наука, 1979. - 830 С.

65. Rozas, D. Propagation dynamics of optical vortices Text. / D. Rozas, C.T. Law, and G.A.,Swartzlander, Jr //.J. Opt. Soc. Am. B. 1997. - V. 14,1. N. 11.- P. 3054-3065. ■

66. Hennan, R. M. Production and uses of diffractionless beams Text. /

67. R.M. Herman and T.A. Wiggins // J. Opt. Soc. Am. A.-1991.-V. 8, N; 6.-P. 932-942. \ \ •

68. Davidson, N. Holographic axilens: high resolution and long focal depth Text. /N. Davidson, A. A. Friesem, and E. Hasman // Opt. Lett. 1991. - V. 16, N. 7.-P. 523-525.

69. Jie Lin Design of microlenses with long focal depth based on the general focal length function Text. / Jie Lin, Jianlong Liu, Jiasheng Ye, and Shutian Liu // J. Opt. Soc. Am. A. 2007. - V. 24, N. 6. - P. 1747-1751.

70. Burvall, A. Axicon imaging by scalar diffraction theory Text. / A. Burvall // PhD thesis / Stockholm, 2004. P.3-78.

71. Parigger, C. Spherical aberration effects in lens-axicon doublets: theoretical study Text. / Christian Parigger, Y. Tang, D. H. Plemmons, and

72. J.W.L. Lewis // Appl. Opt. 1997. - V. 36, N. 31. - P. 8214-8221.

73. Kotlyar, V.V. Generating hypergeometric laser beams with a diffractive optical element Text. / Kotlyar V.V., Kovalev A.A., Skidanov R.V., Khonina S.N., and Turunen J. // Appl. Opt. 2008. - V. 47, N. 32. - P. 61246133.

74. Indebetouw, G. Nondiffracting optical fields: some remarks on their analysis and synthesis Text. / G. Indebetouw // J. Opt. Soc. Am. A. 1989. - V. 6, N. l.-P. 150-152.

75. Durnin, J. Exact solutions for nondiffracting beams. I. The scalar theory Text. / Durnin J. // J. Opt. Soc. Am. A. 1987. - P. 4, N. 4. - P. 651- 654.

76. Lesem, L.B. The kinoform: a new wavefront recon-struction device Text. / Lesern L.B., Hirsh P.M., Jordan J.A. // IBM J. Res. Develop. 1969. - Y.13, N. 3. - P.150-155.

77. Kotlyar, V.V. Fractional encoding method for spatial filters computation Text. / Kotlyar V.V., Khonina S.N., Melekhin A.S., Soifer V.A. // Asian Journal of Physics. 1999. - V. 8, N. 3. - P. 273-286.

78. Khonina, S.N. Phase diffractive filter to analyze an output step-index fiber beam Text. / Khonina S.N., Skidanov R.V., Kotlyar V.V., Jefimovs K., Turunen J.' // Optical Memory and Neural Networks (Allerton Press). 2003. -V. 12, N. 4.-P. 317-324.

79. Soifer, V.A. Iterative methods for diffractive optical elements computtion Text. / Soifer V.A., Kotlyar V.V., Doskolovich L.L. London: Taylor & Francis, 1997.-244 P.

80. Kirk, J.P. Phase-only complex-valued spatial filters Text. / Kirk J.P., Jones A.L.//J.OptSoc.Am. 1971.- V. 61, N. 8.-P. 1023-1028.

81. Haskell, R.F. New coding technique for computer-generated holograms Text. / Haskell R.F., Culver B.C. // Appl. Opt. 1972. - V. 11, N. 11. -P. 2712-2714.

82. Chu, D:C. Recent approach to computer-generated holograms Text. / Chu D.C., Fienup J.R.// Opt. Eng.- 1974.- V. 13, N. 3.-P. 189-195.

83. Zhon, M. Design of diffractive optical elements based on several simple formulas Text. / Zhon M., Lin D., Cui Z., Prenett D.P., Guo L., Guo Y. // Opt. Eng. 1998. -V. 37, N. 5. - P. 1488-1493.

84. Allen, L. Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser modes Text. / L. Allen, M.W. Beijersbergen, R.J.C. Spreeuw, J.P. Woerdman // Phys. Rev. A. 1992. - V. 45, N. 11. -P. 8185-8189.

85. Khonina, S.N. Generating a couple of rotating nondiffarcting beams using a binary-phase DOE Text. / Khonina S.N., Kotlyar V.V., Soifer V.A., Lauta-nen J., Honkanen M., Turunen J. // Optik. 1999. - V. 110, N. 3. - P. 137144.

86. Lopez-Mariscal, C. The generation of nondiffracting beams using inexpensive computergenerated holograms Text. / Lopez-Mariscal C. and Gutierrez-Vega J. C. // Am. Jl'Phys. 2007. - V. 75; N. 1. - P. 36-42.

87. Комплекс автоматизированного аналогового моделирования (СААМ) Интернет-ссылка. http://byterix.net/developments.html.

88. Черных, И.В. 81ти1тк: Инструмент моделирования динамических систем Интернет-ссылка. http://matlab.exponenta.ru/simulink/bookl/15.php.

89. Комплекс автоматизированного аналогового моделирования Интернет-ссылка. http://byterix.net/download.html.

90. СААМ Документация Интернет-ссылка. -http://byterix.net/caam/Russian/.