Расчет нелинейных мод и динамики волновых пакетов в лазерно-оптических и атомных системах на основе многомерных уравнений Шредингера тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

( На правах рукописи

/

Серов Владислав Викторович

I

РАСЧЁТ НЕЛИНЕЙНЫХ МОД И ДИНАМИКИ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ В ЛАЗЕРНО-ОПТИЧЕСКИХ И АТОМНЫХ СИСТЕМАХ НА ОСНОВЕ МНОГОМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА

I

I

| 01.04.21 — Лазерная физика

' 01.04.02 — Теоретическая и математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2003

Работа выполнена на кафедре теоретической и ядерной физики Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор

Виницкий Сергей Ильич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Бабков Лев Михайлович

Защита состоится 17 июня 2003 года в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.243.05 в Саратовском государственном университете им. Н. Г. Чернышевского (410026, г. Саратов, ул. Московская, 155).

С диссертацией можно ознакомится в Научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан 16 мая 2003 г.

Учёный секретарь

доктор физико-математических наук, профессор

Дербов Владимир Леонардович

доктор физико-математических наук, профессор

Уманский Игорь Маркович

Ведущая организация: Научно-Исследовательский Институт

Ядерной Физики Московского Государственного Университета

диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

Дербов В. Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Несмотря на обилие работ, посвященных распространению лазерных пучков в нелинейных средах и волноводах, остается актуальной проблема эффективного и корректного численного решения таких задач, как расчет нелинейных мод, моделирование поведения разъюстированного пучка в волноводе, описание нестационарного распространения модулированных лазерных пучков в средах с насыщаемым резонансным поглощением. Уравнения, аналогичные уравнениям нелинейной параксиальной оптики, описывают динамику конденсата Бозе-Эйнштейна нейтральных атомов в ловушке, представляющего большой интерес в связи с многообещающими возможностями его применения в атомной оптике. Для решения указанных задач необходимо построение эффективных численных методов и использование корректных приближений.

Диссоциативная ионизация двухатомных молекул является объектом возрастающего интереса вследствие быстрого развития экспериментальных методов регистрации совпадений, которые позволяют измерить импульсы возникших фрагментов, таких как остаточные ионы и электроны, и получить при помощи подсчета совпадений многократные дифференциальные сечения, несущие точную информацию об электронной структуре, механизме фрагментации и влиянии направления молекулярной оси. Новые экспериментальные методы стимулировали интерес к фундаментальным теоретическим исследованиям таких процессов. Одна из актуальных задач в этом направлении - построить универсальное приближение для расчета сечения ионизации молекулы или атома быстрым электроном, не требующее знания волновых функций непрерывного спектра.

Значительный прогресс достигнут в последнее время в области получения атомов антиводорода в количествах, достаточных для спектроскопических исследований, что, в конечном счете, необходимо для выяснения фундаментальных различий между веществом и антивеществом. Одним из возможных путей рекомбинации атомов антиводорода в присутствии внешних полей является переход через высоковозбужденные состояния, имеющие вид обращающихся по квазиклассическим орбитам слабодиепергиру-ющих пакетов, исследование которых является актуальной задачей.

Цели диссертационной работы — разработка методов численного решения многомерных нелинейных уравнений типа Шредингера для задач оптики волноводов и атомной оптики, а также задач ионизации и рекомбинации атомно-молскулярных систем. Разработка эффективных приближений и методов анализа этих задач для обнаружения ранее не исследованных физических эффектов и новых свойств рассмотренных систем.

Для достижения этих целей решались следующие задачи:

- Разработка метода решения двухмерного эволюционного уравнения шредингеровского типа с кубической нелинейностью, описывающего распространение лазерного пучка в волноводе с керровской нелинейностью и динамику Бозе-конденсата нейтральных атомов в цилиндрической ловушке.

- Разработка метода решения нелинейного уравнения типа стационарного уравнения Шредингера для поиска нелинейных мод волноводов и стационарных состояний Бозе-конденсата.

- Разработка метода решения трехмерного нестационарного уравнения Шредингера, описывающего движение электрона в аксиально-симметричном поле.

- Разработка приближения, сводящего задачу ионизации молекулы быстрым электроном к решению трехмерной эволюционной задачи.

Научная новизна работы

Научная новизна результатов диссертации состоит как в обнаружении ранее не исследованных физических эффектов и свойств рассмотренных систем, так и в разработке оригинальных методов и подходов для их анализа.

1. Дифференциальное сечение ионизации иона молекулярного водорода быстрыми электронами вычислено при помощи нового приближения, которое позволяет свести решение исходного гаестимерного уравнения к решению трехмерной эволюционной задачи. Это приближение не требует знания волновых функций непрерывного спектра.

2. Многократное дифференциальное сечение диссоциативной ионизации Н2 ударом быстрого электрона впервые рассчитано при помощи волновой функции двухцентрового континуума, построенной из точных решений разделяющегося в сфероидальных переменных уравнения Шредингера. При малых углах рассеяния полученные результаты существенно точнее результатов распространенных приближённых ме-

тодов, что впервые продемонстрировало пределы применимости этих приближённых методов для данной задачи.

3. Путем численного решения нелинейного уравнения Гросса-Питаевско-го исследовано не изучавшееся ранее неосновное стационарное состояние Бозе-конденсата атомов в ловушке. В отличие от распространенных в литературе приближений, основанных на аналогии с линейными уравнениями квантовой механики, впервые показано, что периодическое возмущение не вызывает резонансного перехода из основного состояния в рассчитанное нами неосновное стационарное состояние.

4. На основе непрерывного аналога метода Ньютона построен новый алгоритм решения стационарного уравнения Шредингера с кубической нелинейностью, возникающего в теории распространения лазерных пучков сквозь градиентные волноводы с керровской нелинейностью, а также в теории конденсатов Бозе-Эйнштейна нейтральных атомов в ловушке.

5. Предложена новая для оптики световодов технология анализа колебаний параметров лазерного пучка при его распространении в нелинейном волноводе с помощью уравнений Боголюбова, позаимствованная из теории Бозе-конденсата.

6. Разработал новый метод численного решения полной системы уравнений Максвелла-Блоха, описывающих распространение модулированного лазерного пучка сквозь среду с насыщаемым резонансным поглощением.

7. Впервые даны оценки скорости спонтанной рекомбинации атомов в троянском состоянии из разреженной антипротон-позитронной (протон-электронной) плазмы.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту

1. Параксиальный метод расчета ионизации и возбуждения атомных и молекулярных систем ударом быстрого электрона.

2. Энергетически-угловые распределения многократного дифференциального сечения ионизации молекулярного иона электронным ударом, полученные с помощью предложенного метода и проверенные с помощью точного метода разложения по сфероидальным волнам, при малых углах рассеяния существенно точнее полученных с помощью широко используемых приближенных методов.

3. Метод расчета нелинейных мод градиентных волноводов с керровской нелинейностью и стационарных состояний Бозе-конденсата нейтральных атомов в ловушке, основанный на непрерывном аналоге метода Ньютона.

4. Частотная зависимость вероятности заселения возбужденных топологических мод Бозе-конденсата при воздействии периодического возмущения на основное состояние не имеет резонансного характера, вопреки квантовомеханической аналогии.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием строгих математических методов, тестированием общих алгоритмов по результатам, полученным другими авторами для частных случаев, сравнением с экспериментом, а также совпадением численных результатов, полученных различными методами.

Научная и практическая значимость работы

Предложенный параксиальный метод вычисления многократного дифференциального сечения ионизации молекулы ударом быстрого электрона не требует знания функций континуума в явной форме и даже их точной асимптотической формы, которая зачастую неизвестна, и поэтому может быть применён для объяснения результатов экспериментов, в которых регистрируются все частицы, возникшие при ионизации. Такие эксперименты проводятся с целью выяснения роли межэлектронных корреляций в атомах (двукратная ионизация гелия) или особенностей процесса диссоциативной ионизации двухатомных молекул. Предложенное приближение может быть также исиользовано для решения некоторых проблем ядерной физики, таких как разрушение ядерного гало быстрой частицей. С помощью волновой функции двухцентрового континуума для медленного испускаемого электрона, построенной из точных решений разделяющегося в сфероидальных переменных уравнения Шредингера, путём сравнения графиков многократного дифференциального сечения ионизации положительного иона молекулы водорода ударом быстрого электрона, оценены пределы применимости различных распространенных приближенных функций двухцентрового континуума, таких как приближение кулоновской волны на эффективном центре и двухцентровой волны плювенажевского типа. Так подобные приближенные функции применяются и при расчетах ионизации более сложных систем, определение пределов применимости представляется весьма важным и необходимым. Полученные графики многократного

дифференциального сечения для различных ориентации молекулы дают некоторое представление об оптимальных условиях для диссоциативной ионизации двухатомных мишеней.

Путем численного решения нелинейного уравнения Гросса-Питаевского показано, что невозможно вызвать резонансный переход между различными топологическими модами Бозе-конденсата атомов в ловушке под действием периодического возбуждения. Таким образом, предполагаемые эксперименты для обнаружения подобных переходов вряд ли дадут положительный результат.

Полученная аналитическая формула для вероятности спонтанной рекомбинации свободного позитрона в троянское состояние из разреженной плазмы может быть использована для подбора таких параметров внешних полей, при которых возможно использование этого состояния как промежуточного в процессе получения атомов антиводорода, и, в конечном счете, заметного увеличения числа полученных атомов антиводорода.

Предложенная численная схема на основе непрерывного аналога итерационного метода Ньютона для решения уравнений типа стационарного уравнения Шредиигера с кубической нелинейностью может найти широкое применение для расчета нелинейных мод оптических волноводов, т.е. распределений поля, не меняющихся при распространении по волноводу.

Разработанный метод численного решения нестационарного уравнения Шредингсра с помощью метода расщепления и комплексного скейлинга, показал высокую эффективность в задачах параксиального распространения световых пучков в градиентных волноводных средах, в том числе при наличии керровской нелинейности. Другой предложенный метод позволяет точно рассчитывать частоты различных типов колебаний лазерного пучка при его распространении в нелинейном волноводе с помощью решения уравнений Боголюбова, и, таким образом, может служить мощным инструментом анализа особенностей его динамики, которые сложно выделить при прямом решении параксиального уравнения. Применение этих двух методов позволило, в частности, существенно уточнить количественные критерии применимости приближенных методов описания параксиальных пучков, разработанных ранее.

Построенная численная схема решения системы уравнений Максвелла-Блоха позволяет рассчитать искажения модулированного лазерного сигнала, распространяющегося сквозь легированный резонансными поглотителями световод. Эта проблема имеет большую практическую значимость.

Личный вклад соискателя

Все основные результаты диссертации получены автором. Большая часть задач, решенных в диссертации, была предложена научными руководителями д. ф.-м. н., проф. С. И. Виницким и д. ф.-м. н., проф. В. Л. Дербовым. Проблема ионизации положительного иона молекулярного водорода, а также метод её решения с помощью разложения по сфероидальным парциальным волнам, были предложены проф. Б. Жулакяном (Institut de Physique, Laboratoire de Physique Moléculaire et des Collisions, Université de Metz, r. Мец, Франция). В разделах диссертации 1.1 и 1.3 использовались аналитические результаты обобщенного модифицированного метода моментов, нолученные А.И. Быченковым. Для расчетов в разделе 3.3 использовались подпрограммы для вычисления сфероидальных функций дискретного и непрерывного спектра, написанные Д.В. Павловым.

Апробация работы

Основные материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных конференциях: Saratov Fall Meeting (Саратов, 1999, 2000, 2001, 2002); 2nd International Conference "Modern Trends in Computational Physics", July 24-29, 2000, Dubna, Russia; International Meeting on Electron Scattering from Atoms, Nuclei, Molecules and Bulk Matter, Magdalene College, Cambridge, 16-19th December 2001; XVII Международная Конференция по Когерентной и Нелинейной Оптике (Беларусь, Минск, 2001); 10th International Laser Physics Workshop (Moscow, July 3-7, 2001); 3rd Int. Conf. on Transparent Optical Networks, Cracow, Poland, June 18-21, 2001; 4th Int. Conf. on Transparent Optical Networks, Warsaw, Poland, April 21-25,2002.

Публикации

По теме диссертации автором опубликовано 16 работ, из них 4 статьи в реферируемых изданиях.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Работа изложена на 127 страницах, содержит 40 рисунков и список литературы из 103 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обозначен предмет исследования, обоснована актуальность темы и целесообразность объединения решаемых задач в рамках одной работы, сформулированы цель и задачи исследования, основные положения, выносимые на защиту, охарактеризованы новизна полученных в диссертации результатов, их научное и практическое значение, апробация работы, публикации по ее теме, личное участие автора в выполнении работы, ее объем и структура, а также кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава диссертации посвящена методам теоретического описания и численного расчета распространения монохроматических пучков света в нелинейных средах и состоит из четырех разделов.

Распространение лазерного пучка в градиентном волноводе с керровской нелинейностью описывается параксиальным уравнением

д2 д2

,дф(х,у, г) 1 Эг

+ 9\Ф(х, у, г) I

Эх2 ду

Ф{х,У,г), (1)

где ф — комплексная огибающая электрического поля, х линейная часть диэлектрической восприимчивости, д — параметр нелинейности. В первом разделе этой главы описана конечно-разностная схема для расчета динамики асимметричных лазерных пучков в градиентном волноводе с керровской нелинейностью, основанная на методе двухциклического покоординатного расщепления. Кратко излагается метод внешнего комплексного скейлин-га, использовавшийся для корректного учёта вытекающего из волновода излучения на ограниченной области интегрирования. Приводится пример распространения разьюстированного пучка в модельном волноводе с гауссовой огибающей диэлектрической восприимчивости.

Во втором разделе излагается метод расчета нелинейных мод градиентных волноводов на основе непрерывного аналога метода Ньютона(НАМН). Под нелинейной модой подразумевается такое распределение поля, которое не меняется при распространении. НАМИ определяется задачей Коши

«*№)) ^ = -Ф (Я(т)); 2(0) = (2)

Функционал Ф(£) составлен из двух компонентов: правой части уравнения стационарного распространения, получаемого из (1) подстановкой ф(х, у, г) = е~ч'гф{р) схр(гМ<р) (где р, г - цилиндрические координаты) и правой части условия сохранения мощности пучка V/. Формальная

переменная 2 составлена из функции ф, описывающей стационарное распределение поля, и параметра /г, связанного с константой распространения.

ф(3) , ( - £ + «Р) +9Ш? V г=(ф у

(3)

Линейный оператор Ф'2 есть функциональная производная Фреше, г — искусственно введённая эволюционная переменная, Ео — начальное приближение. После ряда преобразований ур.(2) приводит к экономичной и

- начальное приближение „ . тг „ , / ч

■д№=0; (1=0-52851 Рис' 1: Нелинейные мода ф(р) вол-

■ д№=4; |1=0.95488 новода с гауссовым профилем ли-

-д\ЛМ0; (1=3.05825 нейной восприимчивости и керров-

ской нелинейностью в зависимости от расстояния до центра волновода: начальное приближение для НА-МН(снлошная линия), решение задачи при малой(штриховая линия), средней (пунктирная линия) и большой мощности(пунктирно-штриховая линия).

быстро сходящейся итерационной схеме. На рис.1 демонстрируются рассчитанные нелинейные моды модельного волновода с гауссовым профилем линейной восприимчивости для разных значений мощности.

Распространение разъюстированного параксиального лазерного пучка в нелинейном волноводе может рассматриваться как нелинейная динамическая задача, где продольная координата г играет роль времени, а поперечный профиль поля — динамическая система, эволюционирующая по г. В третьем разделе предлагается метод анализа колебаний параметров пучка, распространяющегося в нелинейном волноводе, позаимствованный из теории Бозе-конденсата и, насколько мы знаем, не применявшийся в оптике волноводов. Он базируется на представлении решения (1), близкого к нелинейной моде ф, в виде

■ф = е

к

где функции и,у и частоты и> подчиняются уравнениям Боголюбова. Продемонстрировано соответствие между квантовыми числами функций и, г> и

Рис. 2: Частота вращения пучка с удлиненным пятном (в единицах частоты осцилляции центра пучка wosa — const) как функция gW: сплошная линия — численное решение уравнений Боголюбова; штриховая линия — МОММ.

типами движения пучка. Рассчитаны частоты колебаний, пульсаций и вращения пучка в зависимости от мощности пучка. Система уравнений Боголюбова решалась численно с помощью НАМН. Эти частоты сравнивались с полученными с помощью модифицированного обобщенного метода момен-тов(МОММ) для волновода с параболическим профилем диэлектрической восприимчивости, когда МОММ работает наиболее эффективно. Результат ты, полученные двумя разными методами(рис.2), оказались близкими для всех значений мощности пучка, за исключением очень больших, приближающихся к критической мощности самофокусировки. Расхождение результатов при больших мощностях демонстрирует пределы применимости МОММ.

Четвертый раздел посвящен распространению лазерных пучков с периодической временной модуляцией сквозь резонансно-поглощающую среду с насыщением. При периоде модуляции, близком к времени релаксации, отклик среды запаздывает и необходимо решать полную систему уравнений Максвелла-Блоха. Для их решения разработана устойчивая разностная схема второго порядка точности по временному шагу с преобразованием Гаусса-Лагерра по поперечным координатам. Показано, что нелинейные возмущения модулированного сигнала, прошедшего сквозь легированный световод, малы по сравнению с возмущениями локальной поляризации и разности заселённостей.

Вторая глава диссертации посвящена динамике конденсата Бозе-Эйн-штейна (КБЭ) нейтральных атомов в ловушке. Описаны некоторые особенности коллективных мод топологической моды с одним радиальным узлом. Путем численного решения стационарного уравнения Гросса-Питаевского исследовано неосновное стационарное состояние с радиальным узлом. Обнаружено, что малые возмущения этого состояния, описываемые уравнениями Боголюбова, имеют некоторые необычные свойства по сравнению с таковыми для основного состояния. Разработана численная схема для pe-

шения нестационарного уравнения Гросса-Питаевского при больших нели-нсйностях. Проверена идея о возможности резонансного перехода между стационарными состояниями конденсата, аналогичного квантовомеханиче-ским переходам. На рис.3 демонстрируется график заселённости возбуж-

£1=Дц=1.43017

......Рис. 3: Динамика квадрата модуля про....... №¿11-0.1 -

екции волновой функции на возбужденное стационарное состояние: возбуждение периодическим потенциалом с "резонансной"частотой, равной разности энергий возбужденного и основного состояний (сплошная линия), с положительной расстройкой (штриховая линия), с отрицательной расстройкой (пунктирная линия).

денного стационарного состояния в зависимости от времени для КБЭ, первоначально находившегося в основном состоянии и подвергающегося воздействию дополнительного периодического поля с частотой £1 и амплитудой к. Видно, что а)заселённость быстро осциллирует; б)максимум ос-цилляций достигается не при частоте, равной разности энергий возбужденного и основного состояния; а из сравнения с динамикой заселённости при других амплитудах переменного поля следует, что в)после достижении предельного значения 1 заселённость перестает увеличиваться с увеличением амплитуды возбуждающего поля. Эти три признака указывают на отсутствие перехода.

Третья глава диссертации посвящена ионизации атомов и молекул ударом быстрого электрона. В первом разделе делается обзор экспериментальных и теоретических работ по данной тематике.

Во втором разделе развивается новое приближение, аналогичное параксиальному приближению оптики волноводов. Стационарное уравнение Шредингера, описывающее систему из электрона и молекулы, имеет вид

Ф(г,Я)

(4)

где к; и Е0) соответственно, импульс электрона и энергия молекулы, когда они бесконечно удалены друг от друга, оператор Но — гамильтониан молекулы, г — набор координат частиц в молекуле, И — координаты быстрого электрона, У (г, II) — потенциал взаимодействия между электроном и молекулой. Полагая, что система координат ориентирована таким образом,

что ось 2 параллельна к;, будем искать решение (4) в форме

7Г" [ (г>г) ехр(гк±К±) ¿кА

¿я №

Используя параксиальное приближение, т.е. пренебрегая второй производной ф по Е, и полагая, что амплитуда падающей волны много больше, чем амплитуда рассеянной, получим уравнение типа нестационарного уравнения Шредингера с источником

= + ^ _ ^ | + у^2)Мг)Л5)

где фи(т) — волновая функция начального состояния молекулы, к — передача импульса, и

г) = ^ ехр(гк±Кх)У(г, Я) (6)

Показывается, что условие малости амплитуды рассеянной волны эквивалентно первому борновскому приближению, так что предложенное приближение можно назвать параксиальным первым борновским(ШБ). В каче-

Рис. 4: Геометрия эксперимента по ионизации Н2 быстрым электроном и система координат. После столкновения быстрый электрон рассеивается на угол в,, молекула испускает медленный электрон в направлении, задава-

____емом углом ве (обменными эффекта-

г<1 ми пренебрегаем). Направление молекулярной оси задаётся углом вр между межядериой осью и к,

стве примера рассматривается ионизация простейшей молекулы — положительного иона молекулярного водорода Н;}", состоящей из двух протонов и одного электрона(рис.4). Предлагается численный метод для решения нестационарного неоднородного уравнения Шредингера с двухцентро-вым кулоновским потенциалом в сферических координатах, базирующийся на частичном координатном расщеплении и комплексном скейлинге. Кратко излагается метод расчета энергетического распределения вылетевших электронов с помощью временного Фурье-разложения волновой функции на границе области. Приводятся примеры энергетически-угловых распределений при малых углах рассеяния.

Рис. 5: МДС ионизации И.) в зависимости от угла рассеяния 0„ и направления молекулярной оси вр при к,, у к, т.е. при вылете электрона в направлении передачи импульса. Энергия налетающего электрона Е, = 2 КэВ, энергия испущенного электрона Е„ = 50 эВ. При к — кс (что соответствует углу рассеяния в3 = 9°) у атомарных мишеней достигается максимум МДС. Видно, что для двухатомной мишени положение максимума зависит от ориентации мишени.

Замечательной особенностью Н2 является то, что в описывающем его стационарном уравнении Шредингера можно провести разделение переменных в сфероидальных координатах. Эта возможность, однако, практически не использовалась для расчетов вероятности ударной ионизации. В

О 45 90 135 180 225 270 315 360 0. (Ф)

(а)

0 45 90 135 180 225 270 315 360 е.(Ф->

(б)

Рис. 6: Многократное дифференциальное сечение ионизации в зависимости от угла испускания выбитого из молекулы электрона 0С для малого угла рассеяния 83 = 3° и двух разных ориентаций молекулы вр — 0°(а) и 90°(б), рассчитанное разными методами: разложение по сфероидальным функциям(сплошная линия), параксиальное приближение (штриховая кривая), ДЦКЩпунктирная кривая).

третьем разделе главы для тестирования результатов предложенного метода и часто применяющихся приближенных волновых функций непрерывного спектра применяются точные волновые функции, построенные из полу-

ченных путем численного решения сфероидальных функций. Мы считаем эти функции „точными"в том смысле, что их точность можно повышать неограниченно, и при расчетах она была достаточно высокой. Результаты, полученные с помощью параксиального приближения и разложения по сфероидальным функциям, почти совпадают, а результаты расчетов с помощью приближенных волновых функций, т.н. функций двухцентрово-го континуума типа Плювенажа (ДЦКП) демонстрируют существенные отличия при малых углах рассеяния, что указывает на неприменимость функций такого типа при малой передаче импульса.

Четвертая глава диссертации посвящена выводу приближенных выражений для спонтанной и вынужденной рекомбинации разреженной анти-протон-позитронной плазмы в атомы в троянском состоянии, образующиеся во внешнем циркулярно-поляризовапном электрическом и перпендикулярном плоскости поляризации постоянном магнитном поле для проверки возможности использования таких состояний как промежуточных для ускорения процесса образования атомов антиводорода. Совместное действие электрического и магнитного поля при определённых условиях создает дополнительную потенциальную яму вдалеке от ядра, куда может захватываться электрон. Эти состояния обычно называются троянскими по аналогии с троянскими астероидами, вращающимися вокруг Солнца на орбите Юпитера в лагранжевых точках устойчивого равновесия. Волновая функция электрона в таком состоянии представляет собой гауссов пакет, удерживаемый от диссипации магнитным полем и кулоновским потенциалом. Рассмотрены функции непрерывного спектра такой системы. Показано, что однофотонный переход из континуума в основное состояние невозможен. В рамках полуклассического приближения была получена оценочная формула для скорости спонтанной рекомбинации троянского состояния

21/4^. £13/2

где Т — температура плазмы, кц — постоянная Больцмана, с — скорость спета, Р — амплитуда электрического поля, В — индукция магнитного поля (все величины — в атомных единицах), пе - концентрация электронов (позитронов), Мр — количество протонов(антипротонов). Видно, что скорость спонтанной рекомбинации растет, когда растет магнитное поле и уменьшается, когда усиливается циркулярно-поляризованное поле.

В заключении сформулированы основные результаты работы и обсуждаются возможности их использования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. При помощи параксиального приближения, сводящего проблему к решению трехмерного временного неоднородного уравнения Шрединге-ра, построена процедура вычисления многократного дифференциального сечения ионизации атомных и молекулярных систем ударом быстрого электрона, не требующая знания функций континуума в явной форме.

2. Многократное дифференциальное сечение диссоциативной ионизации Н^ ударом быстрого (2КэВ) электрона рассчитано при помощи волновой функции двухцентрового континуума, построенной из точных решений разделяющегося в сфероидальных переменных уравнения Шре-дингера для медленного (50 эВ) испускаемого электрона. Графики многократного дифференциального сечения ионизации ориентированной молекулы дают некоторое представление об оптимальных условиях для диссоциативной ионизации более сложных двухатомных мишеней.

3. Показано, что невозможно вызвать резонансный переход конденсата Бозе Эйнштейна нейтральных атомов в ловушке из основного состояния в возбужденное стационарное состояние под действием периодического возбуждения.

4. Изучены специфические состояния электрона в водородном атоме под действием постоянного магнитного поля и вращающегося электрического поля в форме недиссипирующего волнового пакета. Получена аналитическая формула для вероятности спонтанной рекомбинации свободного электрона в такое состояние.

5. Предложена эффективная численная схема на основе непрерывного аналога итерационного метода Ньютона для решения уравнений типа стационарного уравнения Шредингера с кубической нелинейностью, которые возникают в скалярном параксиальном приближении теории оптических волноводов, а также в теории конденсата Бозе-Эйнштейна нейтральных атомов в ловушке.

6. Изучено самовоздействие амплитудно-модулированного пучка в двухуровневой насыщаемой поглощающей среде. Для решения системы уравнений Максвелла-Блоха, описывающих распространение пучка в такой среде, предложена устойчивая численная схема второго порядка по временному шаху.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Дербов В.Л., Виницкий С.И., Серов В.В.,Быченков А.И. Численная схема покоординатного расщепления с комплексным скейлингом для уравнений квантовой механики и параксиальной оптики // Проблемы современной физики. К 90-летию Саратовского государственного университета и 40-летию сотрудничества ОИЯИ-СГУ. ОИЯИ, D2-99-263, Дубна, 2000. - с. 180-187.

2. Serov V.V., Bychenkov A.I., Derbov V.L., Vinitsky S.I. Numerical scheme with external complex scaling for 2D Schrodinger equation in paraxial optics // Saratov Fall Meeting '99, Workshop on Laser Physics and Photonics. International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics and Biophysics / Editors: Vladimir L.Derbov, Leonid A.Mel-nikov, Vladimir P.Ryabukho. Proc. SPIE. - 2000. - V. 4002. -- P. 79-83.

3. Serov V.V., Derbov V.L., Joulakian В., Vinitsky S.I. Numerical simulation method for 3D wave packet evolution: application to ionization of hydrogen molecular ion by fast electrons // 2nd International Conference "Modern Trends in Computational Physics". July 24-29, 2000, Book of Abstracts. - Dubna, 2000. P.56.

4. Serov V.V., Derbov V.L., Joulakian В., Vinitsky S.I. Wave packet evolution scheme to ionization of atoms and molecules by fast electrons. Preprint JINR No. E4-2000-184, JINR, Dubna, 2000. - 14 p.

5. Serov V.V., Derbov V.L., Joulakian B.B., Vinitsky S.I. Wave packet evolution approach to ionization of hydrogen molecular ion by fast electrons // Phys. Rev. A. - 2001. - V. 63. - P. 062711-8.

6. Serov V.V., Derbov V.L., Vinitsky S.I. Newton's method for evaluation of stationary modes in nonlinear waveguides and boson traps // Saratov Fall Meeting '2000. Laser Physics and Photonics, Spectroscopy and Molecular Modeling / Editors: Vladimir L.Derbov, Leonid A.Melnikov, Lev M. Bab-kov. Proc. SPIE. - 2001. - V. 4243. - P. 130-135.

7. Bychenkov A.I., Derbov V.L., Serov V.V. New approaches to modeling the dynamics of misaligned beams in nonlinear gradient waveguides // 3rd Int. Conf. on Transparent Optical Networks. Conf. Proceedings, Cracow, Poland, June 18-21, 2001. - 2001. -P. 349-352.

8. Serov V.V., Derbov V.L., Vinitsky S.I., Yukalov V.I. Nonground stationary states of Bose condensate of trapped neutral atoms // ICONO 2001. Technical digest, Th09. - 2001.

9. Serov V.V., Derbov V.L., Joulakian B.B., Rostovtsev V., Vinitsky S.I. Wave packet evolution scheme to ionization of atoms and molecules by fast electrons // Journal of Computational Methods in Sciences and Engineering. - 2002. - V.2, No. 1-2. - P.253-259.

10. Serov V.V., Joulakian B.B., Pavlov D.V., Puzynin I.V., Vinitsky S.I. (e,2e) ionization of Hj by fast electron impact: Application of the exact nonrelati-vistic two-center continuum wave // Phys. Rev. A. — 2002. — V.65. — P. 062708-7.

11. Serov V.V., Derbov V.L., Vinitsky S.I., Yukalov V.l. Nonground stationary states of Bose condensate of trapped neutral atoms // Saratov Fall Meeting 2001: Laser Physics and Photonics, Spectroscopy, and Molecular Modeling II / Editors: Vladimir L. Derbov, Leonid A. Melnikov, Lev M. Babkov. Proc. SPIE. - 2002. - V. 4706. - P.124-129.

12. Melnikov L.A., Konukhov A. I., Veshneva I.V., Derbov V.L., Serov V.V. Nonlinear Dynamics of Spatial and Temporal Patterns in Lasers and Atom Optics: Kerr-Lens Mode-Locked Laser, Zeeman Laser, and Bose-Einstein Atomic Condensate // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2002. - V. 10(3). - Р.23-40.

13. Serov V.V., Derbov V.L., Bychenkov A.I., Pavlov D.V., Vinitsky S.I. Laser-induced and spontaneous formation of Saturnian hydrogen atoms in low-density plasma // Saratov Fall Meeting 2001: Laser Physics and Photonics, Spectroscopy, and Molecular Modeling II / Editors: Vladimir L. Derbov, Leonid A.Melnikov, Lev M. Babkov. Proc. SPIE. - 2002. - V. 4706. -P. 178-186.

14. Derbov V.L., Serov V.V., Piastun I.L., Shilov S.V. Self-action of periodically modulated laser beams in doped waveguides // Proc. 4th Int. Conf. on Transparent Optical Networks, Warsaw, Poland, April 21-25, 2002. —

2002. - P. 161-164.

15. Derbov V.L., Serov V.V., Piastun I.L., Shilov S.V. Transient self-action of periodically modulated laser beams // Saratov Fall Meeting '02. Laser Physics and Photonics, Spectroscopy and Molecular Modeling / Editors: Vladimir L. Derbov, Leonid A. Melnikov, Lev M. Babkov. Proc. SPIE. —

2003. - V. 5069. - P. 13-17.

16. Derbov V.L., Serov V.V., Kaschiev M.S., Gusev A.A., Vinitsky S.I. Adaptive numerical methods for Schrodinger-type equations in laser and atomic physics // Saratov Fall Meeting '02. Laser Physics and Photonics, Spectroscopy and Molecular Modeling / Editors: Vladimir L. Derbov, Leonid A. Melnikov, Lev M. Babkov. Proc. SPIE. - 2003. - V. 5069. - P. 52-60.

Подписано в печать 15.05.03 Объём 1.0 усл. печ. л. Тираж 100

i У 1 В 8

I

Введение

1 Лазерные пучки в нелинейных волноводах

1.1 Динамика неаксиального асимметричного пучка.

1.1.1 Введение.

1.1.2 Описание численной схемы.

1.1.3 Метод комплексного скейлинга

1.1.4 Особенности распространения светового пучка в гауссовом волноводе с керровской нелинейностью.

1.2 Расчет стационарных мод нелинейных волноводов с помощью непрерывного аналога метода Ныотона.

1.2.1 Введение.

1.2.2 Основные уравнения

1.2.3 Непрерывный аналог метода Ныотона.

1.2.4 Результаты численных расчетов.

1.3 Расчет частот осцилляции пучка в керровском волноводе с помощью уравнений Боголюбова.

1.3.1 Введение.

1.3.2 Уравнения Боголюбова.

1.3.3 Коллективные моды и типы эволюции пучка.

1.3.4 Сравнение результатов метода моментов и решения уравнений Боголюбова

1.4 Самовоздействие периодически модулированных лазерных пучков в резонансной среде.

1.4.1 Введение.

1.4.2 Теория.

1.4.3 Численные расчеты.

Динамика конденсата Бозе-Эйнштейна атомов в ловушке

2.1 Введение.

2.2 Топологические и коллективные моды.

2.3 Анализ коллективных мод с помощью теории возмущений.

2.4 Топологическая мода с одним поперечным узлом.

2.5 Численная схема для решения нестационарного уравнения Гросса-Питаевского с большой нелинейностью. 2.6 Поведение Бозе-конденсата под действием переменного внешнего поля

Ударная ионизация атомов и молекул

3.1 Введение.

3.2 Применение параксиального приближения лазерной оптики для расчета ионизации атомов и молекул электронным ударом.

3.2.1 Параксиальное приближение для задачи рассеяния.

3.2.2 Вычисление углового распределения.

3.2.3 Численная схема.

3.2.4 Численные расчеты и результаты

3.3 Эффекты интерференции в задаче ионизации молекулярного иона водорода

3.3.1 Задача двух центров

3.3.2 Численное решение сфероидальных уравнений.

3.3.3 Сечение ионизации молекулярного иона водорода. ^ 3.3.4 Результаты. 4 Рекомбинация троянских состояний атома водорода

4.1 Введение.

4.2 Атом водорода во внешних полях.

4.3 Приближенные волновые функции.

4.4 Спонтанная рекомбинация сатурнианских атомов.

Актуальность темы

Постановка новых экспериментов по изучению динамики атомных систем в сильных внешних нестационарных полях требует развития непертурбативных методов решения временного уравнения Шредингера. Прямое численное интегрирование такого уравнения даже для простейшей одночастичной системы затрудняется многомерностью задачи (3 пространственных координаты плюс время). Поэтому в качестве тестовых примеров часто используют атомные модели пониженной размерности (одномерные или плоские), реализуемость которых неочевидна. Параксиальная оптика световых пучков естественным образом порождает волновые задачи пониженной размерности, описываемые уравнением Шредингера. Временное уравнение Шредингера, описывающее эволюцию квантового состояния частицы в потенциальном поле, обнаруживает фундаментальную аналогию с уравнением для скалярной амплитуды светового пучка в параксиальном приближении волновой оптики. В последнем случае роль эволюционной переменной (времени) играет продольная координата пучка, роль координат частицы — поперечные координаты пучка, а в качестве потенциала выступает поперечный профиль показателя преломления среды. В частности, задача о распространении внеосево-го (разъюстированного) пучка обобщенной гауссовой формы через волноводную среду с параболическим профилем показателя преломления полностью аналогична задаче о временном поведении двумерного гармонического осциллятора, начальная волновая функция которого задана в виде произвольного обобщенного гауссова пакета. Такие пакеты описывают когерентные состояния смещенного гармонического осциллятора в координатном представлении и являются предметом пристального внимания в квантовой оптике. Таким образом, волновые пучки в волноводных средах могут рассматриваться как классическая физическая модель эволюции квантового состояния частицы, сочетающая в себе наглядность и простоту экспериментальной реализации. При численном решении временного уравнения Шредингера особую сложность представляет одновременное рассмотрение состояний финитного и инфинитного движения, что типично, например, для задач ионизации и рекомбинации атомов. Сходная ситуация имеет место и в оптике волноводов. При возбуждении волновода с конечной глубиной рельефа показателя преломления полем, распределение которого отличается от собственной моды, часть излучения вытекает наружу, а часть, соответствующая собственным модам, продолжает распространяться в волноводном режиме. Как и в квантовой механике, в параксиальной оптике существует ряд задач, предъявляющих повышенные требования к устойчивости и точности численного решения. В частности, адекватная реальному эксперименту постановка задачи о распространении световых пучков в волноводах должна предусматривать возможность значительного влияния на динамику поля в сердцевине со'стороны эффектов, возникающих в оболочке. Волновод гауссова профиля может служить удобным примером, демонстрирующим подобные эффекты. На малых расстояниях от оси симметрии такого волновода распределение показателя преломления имеет почти параболическую форму (модель сердцевины), а на больших расстояниях экспоненциально стремится к постоянному значению (модель оболочки). Такая среда допускает не только режим устойчивого волноводного распространения пучка, но и так называемый режим вытекания излучения. Корректное численное моделирование эффектов вытекания возможно только на основе асимптотически устойчивых схем с корректной реализацией граничных условий. Таким образом, построение таких схем по прежнему остаётся актуальной задачей.

В теории линейных волноводов понятие моды — одно из основных. Моды определяются как распределения поля, которые не изменяются при распространении пучка вдоль оси волновода г с точностью до множителя ехр(—г(3г), где /3 обычно называют константой распространения. Математически вычисление мод для прозрачной среды с линейным коэффициентом преломления эквивалентно решению проблемы на собственные значения и собственные функции линейного самосопряженного оператора. Собственные функции таких операторов имеют ряд известных свойств, таких как ортогональность и полнота, что делает возможным использование их в качестве базиса. Разложение поля по модам широко используется как при расчетах, так и при интерпретации динамики поля в линейных волноводах. Для прозрачных нелинейных волноводов также можно поставить задачу поиска такого поля, поперечное распределение которого не изменяется при распространении. Такие распределения аналогичны модам линейных волноводов и обычно называются нелинейными модами. Подобные задачи возникают в теории конденсата Бозе-Эйнштейна (КБЭ) нейтральных атомов в электромагнитной ловушке. В пределе среднего поля коллективная волновая функция конденсата подчиняется уравнению Гросса-Питаевского. В случае аксиально-симметричных ловушек это уравнение полностью аналогично двумерному нелинейному уравнению Шрединге-ра(НУШ), описывающему распространение лазерного пучка сквозь градиентный световод с керровской нелинейностью. Замечательной особенностью КБЭ является то, что реальные значения константы нелинейности могут быть на много порядков больше, чем керровская константа световода. Другое отличие — ловушки обычно являются трехмерными, а не двумерными, и описывающее их НУШ также трехмерное. В настоящее время наиболее впечатляющие результаты были достигнуты в изучении солитонных решений одномерного НУШ с помощью метода обратной проблемы рассеяния. Однако, даже в одномерном случае стационарные решения НУШ не исследованы для среды с произвольным коэффициентом преломления. Нелинейные моды для двумерных (пучки в волноводах) и трехмерных (атомные Бозе-конденсаты) систем могут быть найдены только численно и должны исследоваться индивидуально в каждом отдельном случае. Один из естественных путей нахождения стационарных поперечных распределений поля в нелинейном волноводе — численное решение проблемы распространения с произвольным начальными условиями с учетом вытекания излучения из волновода. Можно ожидать, что после прохождения некоторого расстояния, когда происходит переходной процесс, пучок приобретает стационарную (¿-независимую) поперечную структуру. Такие пучки часто упоминаются как квазимоды. Однако, такой метод применим только для одномодового волновода либо для волновода, все моды которого различаются типами симметрии. Кроме того, такой способ требует больших затрат вычислительных ресурсов. Более эффективен другой подход — прямой расчет нелинейных мод, аналогичных стационарным состояниям в квантовой механике, при фиксированной величине полной мощности пучка. Стандартные квантовомеханические методы расчета стационарных состояний, например вариационный, для данной задачи применимы только для специфических типов мод, так как для поиска с их помощью произвольной моды требуется использование условия ортогональности, которое для данной задачи не выполняется. Таким образом, существует необходимость создания универсального численного метода расчета нелинейных мод.

Распространение разъюстированного параксиального лазерного пучка в нелинейном волноводе может рассматриваться как нелинейная динамическая задача, где продольная координата г играет роль времени, а поперечный профиль поля — динамическая система, эволюционирующая по г. Прямое решение уравнения распространения лазерного пучка хотя и даёт полную информацию о его динамике, но не является идеальным методом её анализа из-за того, что поле представляет собой бесконечномерную динамическую систему. Для решения этой проблемы обычно используются методы, сводящие систему к конечномерной, такие, например, как т.н. модифицированный обобщенный метод моментов, использующего гауссову пробную функцию, чьи параметры определяются с помощью принципа Галёркина на базисе небольшого числа гибких гауссовых мод. Очевидным минусом подобных методов как раз является предположение о фиксированной, в данном случае гауссовой, форме поперечного профиля поля, что накладывает суровые ограничения на профиль показателя преломления среды. Прямое численное моделирование показывает значительные негауссовы искажения пучка, вызванные керровской нелинейностью, даже в случае параболического профиля линейного показателя преломления, когда метод моментов работает лучше всего. Это приводит к необходимости использования других методов, способных дать прямую информацию о динамике пучка, например, частоты различных типов колебаний пучка в волноводе.

Резонансные самофокусировка и наведение апертуры лазерного пучка в насыщаемой поглощающей среде являлись предметом множества теоретических и экспериментальных исследований. В лазерной спектроскопии лазерные пучки обычно модулированы по амплитуде или частоте. Если период модуляции велик по сравнению с атомными временами релаксации, отклик среды, очевидно, следует за изменениями поля адиабатически, так что среда может описана с помощью нелинейной восприимчивости. Когда период модуляции приближается к времени релаксации, можно ожидать переходного поведения среды. Экспериментальные проявления нестационарной околорезонансной самофокусировки частотно-модулированных пучков были продемонстрированы для неоднородно уширенных линий поглощения в молекулярных газах. Очевидно, что в однородно уширенных системах нестационарный отклик среды должен влиять на переданный пучок таким же образом. Простое приближение нелинейной восприимчивости уже недействительно, и необходимо решать систему временных уравнений Максвелла-Блоха. Схемы, разработанные для коротких импульсов, и основанные на том, что поле ограниченно как в пространстве, так и во времени, не подходят для периодически модулированных полей. Представляется практически важным исследовать искажения и степень подавления модулированного сигнала при прохождении сквозь резонансную поглощающую среду, а для решения подобных задач необходимы более универсальные численные схемы.

Существуют системы, описывающееся уравнениями, подобными уравнениям нелинейной параксиальной оптики, но с нелинейностью много большей, чем в оптических системах. Важнейшим примером таких систем является конденсат Бозе-Эйнштейна (КБЭ) нейтральных атомов в ловушке, чья волновая функция в пределе среднего поля описывается уравнением шредингеровского типа с большим кубическим членом, пропорциональным числу атомов. Исследования динамики КБЭ является интересным в контексте его многообещающих возможностей его применения в атомной оптике. КБЭ стал объектом многочисленных и интенсивных исследований как новое состояние материи со свойствами, открывающими новые возможности для атомной оптики и близких областей. Одной из наиболее интригующих возможностей является создание атомного лазера. Уравнение Гросса-Питаевского, управляющее коллективной волновой функцией КБЭ, по форме совпадает с уравнением распространения лазерного пучка в среде £ керровской нелинейностью, но, в противоположность оптическим системам, нелинейные члены в этом уравнении обычно доминируют и не могут быть рассмотрены в качестве возмущения. В теории КБЭ различаются топологические и коллективные моды. Топологические моды представляют собой аналог стационарных состояний обычной квантовой механики и различаются симметрийными свойствами, откуда и происходит их название. Коллективные моды отвечают за колебания слабовозмущенных топологических мод. Возбуждение коллективных мод хорошо изучено как теоретически, так и экспериментально. В некоторых работах высказывалась гипотеза о возможности перехода между топологическими модами под действием резонансного возбуждения переменным полем. Однако необходимо проверить эту идею с помощью численного решения нестационарного уравнения Гросса-Питаевского.

Диссоциативная ионизация двухатомных молекул сейчас является объектом всё более возрастающего интереса вследствие быстрого развития экспериментальных методов регистрации совпадений, которые позволяют измерить импульсы возникших фрагментов, таких как остаточных ионов и электронов, и получить при помощи подсчета совпадений многократные дифференциальные сечения, изучение которых может дать точную информацию о электронной структуре, механизме фрагментации и влиянии направления молекулярной оси. Новые экспериментальные методы стимулировали интерес к фундаментальным теоретическим исследованиям диссоциативной ионизации двухатомных молекул электронным ударом. В области исследования (е,2е) столкновений, т.е. ионизации электронным ударом с детекцией совпадения двух возникших электронов, двухатомные мишени менее часто теоретически исследуются, чем одноатомные, что находится в противоречии с тем фактом, что большинство газов в природе существуют в форме двухатомных молекул. Это может быть объяснено тем, что теоретическое построение волны, описывающей свободный электрон в поле двух центров, является весьма непростой задачей. Обычно описание испущенного электрона реализуется при помощи волновых функций одноцентрового континуума в форме разложения по парциальным волнам или в форме кулоновской волны, центрированной на центре молекулы или на ядрах. Ион молекулярного водорода для данной области может рассматриваться как простейшая система, в которой удаление единственного электрона вызывает диссоциацию. Простая (е,2е) ионизация Н2 является одним из плохо изученных экспериментально процессов, также как (7,е) на Нз - В обоих этих случаях свободный электрон с волновым вектором ке находится в поле двух положительно заряженных ядер, которые можно считать неподвижными. Эта уникальная физическая ситуация может служить прекрасным тестом для различных теоретических моделей. Было сделано много попыток найти адекватное приближенное описание такого электрона. Наиболее часто для решения подобных задач используется приближенная волновая функция в форме произведения двух кулоновских функций, центрированных на ядрах, идея которой возникла из модели Плювенажа. Тот факт, что уравнение Шредингера с двумя кулоновскими центрами разделяется в сфероидальных переменных, очень редко используется для расчетов в физических ситуациях, требующих учета двухцентрового континуума. Насколько нам известно, в расчетах простой (е,2е) ионизации до сих пор никто не использовал парциальные сфероидальные волны для описания медленного испущенного электрона в поле двух неподвижных ядер. С помощью этого приближения можно достичь любой желаемой точности расчета сечения ионизации Н2. Но желательно построить более универсальное приближение для расчета сечения ионизации молекулы или атома быстрым электроном, не требующее применения волновых функций непрерывного спектра.

Недавно было показано, что водородоподобные атомы в перпендикулярных магнитном поле и вращающемся электрическом поле имеют специфический тип стационарных состояний в форме локализованного волнового пакета, вращающегося на стационарной орбите радиусом в тысячи боровских радиусов. Состояния в виде недиссипирующих волновых пакетов обычно называются троянскими по аналогии с троянскими астероидами, вращающимися вокруг Солнца на орбите Юпитера в лагранжевых точках устойчивого равновесия, а атом в таком состоянии в некоторых работах называется са-турнианским. Интенсивно изучались как с квантовой, так и классической точки зрения устойчивость периодического движения пакета по отношению к возмущениям, вероятность спонтанного разрушения сатурнианского атома и превращение его в обычный. Такие состояния представляют интерес в связи с проблемой получение антиводорода из холодной позитрон-антипротонной плазмы в ловушке. Несмотря на то, что в последнее время достигнут значительный прогресс в области получения атомов антиводорода в количествах, достаточных для спектроскопических исследований, что, в конечном счете, необходимо для выяснения фундаментальных различий между веществом и антивеществом, проблема ускорения формирования атомов остаётся актуальной. Сильное магнитное поле больше 1 Тесла и электростатическое поле являются необходимыми элементами используемых в экспериментах ловушек. Помимо этого, легко может быть приложено радиочастотное вращающееся поле, а также лазерное излучение(непрерывное или импульсное). Поэтому разумно предположить, что троянские состояния могут быть использованы как промежуточные состояния при рекомбинации антиводорода. Двух-стадийный процесс, при котором сначала происходит рекомбинация в троянское состояние, а затем переход в обычные низшие состояния атома антиводорода, может иметь большую вероятность, чем прямой переход или переход через промежуточное обычное высокое ридберговское состояние. Для проверки этой идеи желательно получить аналитические соотношения для вероятности вынужденной и спонтанной рекомбинации разряженной плазмы в сатурнианские атомы.

Цель диссертационной работы

Разработка методов численного решения многомерных нелинейных уравнений типа Шредингера для задач оптики волноводов и атомной оптики, а также задач ионизации и рекомбинации атомно-молекулярных систем. Разработка эффективных приближений и методов анализа этих задач для обнаружения ранее не исследованных физических эффектов и новых свойств рассмотренных систем.

Для достижения этих целей решались следующие основные задачи:

• Разработка метода решения двухмерного эволюционного уравнения шредингеров-ского типа с кубической нелинейностью, описывающего распространение лазерного пучка в волноводе с керровской нелинейностью и динамику Бозе-конденсата нейтральных атомов в цилиндрической ловушке.

• Разработка метода решения нелинейного уравнения типа стационарного уравнения Шредингера для поиска нелинейных мод волноводов и стационарных состояний Бозе-конденсата.

• Разработка метода решения трехмерного нестационарного уравнения Шредингера, описывающего движение электрона в аксиально-симметричном поле.

• Разработка приближения, сводящего задачу ионизации молекулы быстрым электроном к решению трехмерной эволюционной задачи.

Научная новизна работы

Научная новизна результатов диссертации состоит как в обнаружении ранее не исследованных физических эффектов и свойств рассмотренных систем, так и в разработке оригинальных методов и подходов для их анализа.

1. Дифференциальное сечение ионизации иона молекулярного водорода быстрыми электронами вычислено при помощи нового приближения, которое позволяет свести решение исходного шестимерного уравнения к решению трехмерной эволюционной задачи. Это приближение не требует знания волновых функций непрерывного спектра. При малых углах рассеяния полученные результаты имеют существенные отличия от результатов широко применяемых приближённых методов.

Многократное дифференциальное сечение диссоциативной ионизации Н2 ударом быстрого (2КэВ) электрона впервые рассчитано при помощи волновой функции двухцентрового континуума, построенной из точных решений разделяющегося в сфероидальных переменных уравнения Шредингера для медленного (50 эВ) испускаемого электрона.

Путем численного решения нелинейного уравнения Гросса-Питаевского исследовано не изучавшееся ранее неосновное стационарное состояние Бозе-конденсата атомов в ловушке. Впервые показано, в противоречии с некоторыми работами, что невозможно вызвать резонансный переход из основного состояния в неосновное стационарное состояние под действием периодического возбуждения.

На основе непрерывного аналога метода Ньютона построен новый алгоритм решения стационарного уравнения Шредингера с кубической нелинейностью, возникающего в теории распространения лазерных пучков сквозь градиентные волноводы с керровской нелинейностью, а также в теории конденсатов Бозе-Эйнштейна нейтральных атомов в ловушке.

Предложена новая для оптики световодов технология анализа колебаний параметров лазерного пучка при его распространении в нелинейном волноводе с помощью уравнений Боголюбова, позаимствованная из теории Бозе-конденсата.

Разработан новый метод численного решения полной системы уравнений Максвелла-Блоха, описывающих распространение модулированного лазерного пучка сквозь среду с насыщаемым резонансным поглощением.

7. Впервые даны оценки скорости рекомбинации разряженной антипротон-позитронной (протон-электронной) плазмы с образованием атомов в троянское состояние, возникающем под действием постоянного магнитного поля и вращающегося электрического поля в форме недиссипирующего волнового пакета с помощью простой аналитической формулы для вероятности спонтанной рекомбинации свободного электрона в троянское состояние из разряженной плазмы.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту

1. Параксиальный метод расчета ионизации и возбуждения атомных и молекулярных систем ударом быстрого электрона.

2. Энергетически-угловые распределения многократного дифференциального сечения ионизации молекулярного иона электронным ударом, полученные с помощью предложенного метода и проверенные с помощью точного метода разложения по сфероидальным волнам, при малых углах рассеяния существенно точнее полученных с помощью широко используемых приближенных методов.

3. Метод расчета нелинейных мод градиентных волноводов с керровской нелинейностью и стационарных состояний Бозе-конденсата нейтральных атомов в ловушке, основанный на непрерывном аналоге метода Ньютона.

4. Зависимость вероятности перехода Бозе-конденсата из основного в возбужденное стационарное состояния под действием не имеет резонансного характера вопреки квантовомеханической аналогии.

Достоверность результатов диссертации

Достоверность теоретических результатов, полученных в диссертации, обеспечивается использованием строгих математических методов, тестированием общих алгоритмов по результатам, полученным другими авторами для частных случаев, сравнением с экспериментом, а также совпадением численных результатов, полученных различными методами.

Научная и практическая значимость работы

Предложенный параксиальный метод вычисления многократного дифференциального сечения ионизации молекулы ударом быстрого электрона не требует знания функций континуума в явной форме и даже их точной асимптотической формы, которая зачастую неизвестна, и поэтому может быть применён для объяснения результатов экспериментов, в которых регистрируются все частицы, возникшие при ионизации. Такие эксперименты проводятся с целью выяснения роли межэлектронных корреляций в атомах, например, при двукратной ионизации гелия, или особенностей процесса диссоциативной ионизации двухатомных молекул. Предложенное приближение может быть также использовано для решения некоторых проблем ядерной физики, таких как разрушение ядерного гало быстрой частицей. С помощью волновой функции двухцентрового континуума для медленного испускаемого электрона, построенной из точных решений разделяющегося в сфероидальных переменных уравнения Шредингера, путём сравнения графиков многократного дифференциального сечения ионизации положительного иона молекулы водорода ударом быстрого электрона, оценены пределы применимости различных распространенных приближенных функций двухцентрового континуума, таких как приближение кулоновской волны на эффективном центре и двухцентровой волны плювенажевского типа. Так подобные приближенные функции применяются и при расчетах ионизации более сложных систем, определение их пределов применимости представляется весьма важным и необходимым. Полученные графики многократного дифференциального сечения для различных ориентаций молекулы дают некоторое представление об оптимальных условиях для диссоциативной ионизации двухатомных мишеней.

Путем численного решения нелинейного уравнения Гросса-Питаевского показано, что невозможно вызвать резонансный переход между различными топологическими модами Бозе-конденсата атомов в ловушке под действием периодического возбуждения. Таким образом, предполагаемые эксперименты для обнаружения подобных переходов вряд ли дадут положительный результат.

Полученная аналитическая формула для вероятности спонтанной рекомбинации свободного позитрона в троянское состояние из разряженной плазмы может быть использована для подбора таких параметров внешних полей, при которых возможно использование этого состояния как промежуточного в процессе получения атомов антиводорода, и, в конечном счете, заметное увеличения числа полученных атомов антиводорода.

Предложенная численная схема на основе непрерывного аналога итерационного метода Ньютона для решения уравнений типа стационарного уравнения Шредингера с кубической нелинейностью может найти широкое применение для расчета нелинейных мод оптических волноводов, т.е. распределений поля, не меняющиеся при распространении по волноводу. Новый алгоритм продемонстрировал простоту реализации, устойчивость по отношению к выбору начального приближения и высокую скорость сходимости.

Разработанный метод численного решения нестационарного уравнения Шредингера с помощью метода расщепления и комплексного скейлинга, показал высокую эффективность в задачах параксиального распространения световых пучков в градиентных волноводных средах, в том числе при наличии керровской нелинейности. Другой предложенный метод позволяет точно рассчитывать частоты различных типов колебаний лазерного пучка при его распространении в нелинейном волноводе с помощью решения уравнений Боголюбова, и, таким образом, может служить мощным инструментом анализа особенностей его динамики, которые сложно выделить при прямом решении параксиального уравнения. Применение этих двух методов позволило, в частности, существенно уточнить количественные критерии применимости приближенных методов описания параксиальных пучков, разработанных ранее.

Построенная численная схема решения системы уравнений Максвелла-Блоха позволяет рассчитать искажения модулированного лазерного сигнала, распространяющегося сквозь легированный резонансными поглотителями световод. Эта проблема имеет большую практическую значимость.

Личный вклад автора

Основные результаты диссертации получены автором. Большая часть задач, решенные в диссертации, была предложена моими научными руководителями д. ф.-м. н., проф. С. И. Виницким и д. ф.-м. н., проф. В. Л. Дербовым. Проблема ионизации положительного иона молекулярного водорода, а также метод её решения с помощью разложения по сфероидальным парциальным волнам, были предложены проф. Б. Жулакяном (Institut de Physique, Laboratoire de Physique Moléculaire et des Collisions, Université de Metz, г. Мец, Франция). В разделах 1.1 и 1.3 использовались аналитические результаты обобщенного модифицированного метода моментов, полученные А.И. Быченковым. Для расчетов в разделе 3.3 использовались подпрограммы для вычисления сфероидальных функций дискретного и непрерывного спектра, написанные Д.В. Павловым.

Апробация работы

Основные материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных конференциях: Saratov Fall Meeting'99/2000/2001/2002 (Russia, Saratov, 1999/2000/2001/2002); 2nd International Conference "Modern Trends in Computational Physics", July 24-29, 2000, Dubna, Russia; International Meeting on Electron Scattering from Atoms, Nuclei, Molecules and Bulk Matter, Magdalene College, Cambridge, 16-19th December 2001; XVII Международная Конференция по Когерентной и Нелинейной Оп-тике(Беларусь, Минск, 2001); 10th International Laser Physics Workshop (Moscow, July 3-7, 2001); 3rd Int. Conf. on Transparent Optical Networks, Cracow, Poland, June 18-21, 2001; 4th Int. Conf. on Transparent Optical Networks, Warsaw, Poland, April 21-25, 2002.

Публикации

По теме диссертации автором опубликовано 16 работ [1-16], из них 4 статьи опубликованы в реферируемых изданиях [5, 9, 10, 12]. Список основных публикаций приведен в конце диссертации.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Работа изложена на 128 страницах, содержит 40 рисунков и список литературы из 103 наименований.

Основные результаты проведенных исследований можно сформулировать следующим образом.

1. При помощи параксиального приближения, сводящего проблему к решению трехмерного временного неоднородного уравнения Шредингера, построена процедура вычисления многократного дифференциального сечения (е,2е) ионизации иона молекулярного водорода ударом быстрого электрона. Такой метод не требует знания функций континуума в явной форме и может быть применён для изучения ударной ионизации более сложных атомных и молекулярных систем. Подобное приближение может быть также использовано для некоторых проблем ядерной физики, таких как разрушение ядерного гало быстрой частицей.

2. Многократное дифференциальное сечение диссоциативной ионизации ударом быстрого (2КэВ) электрона рассчитано при помощи волновой функции двухцен-трового континуума, построенной из точных решений разделяющегося в сфероидальных переменных уравнения Шредингера для медленного (50 эВ) испускаемого электрона. Сравнение результатов с полученными при помощи приближенных методов, таких как кулоновской волны на эффективном центре, двухцентровой волны плювенажевского типа, а также эволюционного приближения, продемонстрировало пределы применимости этих приближенных методов. Графики семикратного дифференциального сечения, которое соответствует ионизации ориентированной молекулы, демонстрируют существенные отличия от результатов широко применяемых приближённых методов при малых углах рассеяния и дают некоторое представление об оптимальных условиях для диссоциативной ионизации более сложных двухатомных мишеней.

3. Путем численного решения нелинейного уравнения Гросса-Питаевского исследовано стационарное состояние Бозе-конденсата атомов в ловушке. Обнаружено, что малые возмущения этого состояния, описываемые уравнениями Боголюбова, имеют некоторые необычные свойства по сравнению с таковыми для основного состояния. Показано, в противоречии с некоторыми работами, что невозможно вызвать резонансный переход из основного состояния в стационарное состояние с одним узлом под действием периодического возбуждения.

4. Изучены специфические состояния электрона в водородном атоме под действием постоянного магнитного поля и вращающегося электрического поля в форме недиссипирующего волнового пакета. Эти состояния, обычно называемые троянскими по аналогии с троянскими астероидами, которые вращаются на орбите Юпитера в лагранжевых точках устойчивого равновесия, могут быть представлены как собственные состояния гамильтониана в координатной системе, вращающейся вместе с электрическим полем. Получена аналитическая формула для вероятности спонтанной рекомбинации свободного электрона в троянское состояние для разряженной плазмы. Сделан вывод о невозможности вынужденного однофотонного перехода из континуума в троянское состояние.

5. Предложена эффективная численная схема на основе непрерывного аналога итерационного метода Ньютона для решения уравнений типа стационарного уравнения Шредингера с кубической нелинейностью, которые возникают в скалярном параксиальном приближении теории оптических волноводов, а также в теории конденсата Бозе-Эйнштейна нейтральных атомов в ловушке.

6. Изучено самовоздействие амплитудно-модулированного пучка в двухуровневой насыщаемой поглощающей среде. В качестве поглощающей среды рассматривался легированный световод с параболическим профилем показателя преломления.

При периоде модуляции, близком к времени релаксации, отклик среды запаздывает, и необходимо решать полную систему уравнений Максвелла-Блоха, для чего предложена численная схема второго порядка по временному шагу с преобразованием Гаусса-Лагерра по поперечным координатам. Обнаружено, что нелинейные возмущения модулированного сигнала, прошедшего сквозь легированный световод, неожиданно малы по сравнению с возмущениями локальной поляризации и разности заселенностей.

Автор выражает искреннюю благодарность своим научным руководителям: проф. С. И. Виницкому, благодаря которому сформировался как учёный, и без которого данная работа никогда бы не была бы сделана, и проф. В. Л. Дербову, который оказывал мне неоценимую помощь во всем процессе работы, начиная от формулировки задач и заканчивая написанием и публикацией статей.

Также автор выражает благодарность проф. Б. Жулакяну за гостеприимный приём в университете г. Мец(Франция) и помощь в ходе работы.

Автор выражает признательность всем своим соавторам, в частности А. И. Бычен-кову, а также запоздалую благодарность Д. В. Павлову, недавно трагически погибшему.

Заключение и выводы

1. Serov V.V., Derbov V.L., Joulakian В., Vinitsky S.I. Wave packet evolution scheme to ionization of atoms and molecules by fast electrons. Preprint JINR No. E4-2000-184, JINR, Dubna, 2000. 14 p.

2. Serov V.V., Derbov V.L., Joulakian B.B., Vinitsky S.I. Wave packet evolution approachto ionization of hydrogen molecular ion by fast electrons // Phys. Rev. A. — 2001. — V. 63. P. 062711-8.

3. Serov V.V., Derbov V.L., Vinitsky S.I., Yukalov V.I. Nonground stationary states of Bose condensate of trapped neutral atoms // ICONO 2001. Technical digest, Th09. 2001.

4. Serov V.V., Joulakian B.B., Pavlov D.V., Puzynin I.V., Vinitsky S.I. (e,2e) ionization of H^" by fast electron impact: Application of the exact nonrelativistic two-center• continuum wave // Phys. Rev. A. — 2002. V.65. - P. 062708-7.

5. Derbov V.L., Serov V.V., Plastun I.L., Shilov S.V. Self-action of periodically modulated laser beams in doped waveguides // Proc. 4th Int. Conf. on Transparent Optical Networks, Warsaw, Poland, April 21-25, 2002. — 2002. — P. 161-164.

6. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн. — М.: Наука, 1979. 384 с.

7. Мельников JI.A., Дербов B.JL, Быченков А.И. Динамика внеосевого гауссова пучка с астигматизмом и кручением в прозрачной нелинейной волноводной среде // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 1998. — Т. 6 — С. 73-84.

8. Melnikov L.A., Derbov V.L., Bychenkov A.I. Dynamics of a misaligned astigmatic twisted Gaussian beam in a Kerr-nonlinear parabolic waveguide // Phys. Rev. E. — 1999. V.60. - P. 7490-7496.

9. Snyder A.W., Love J.D. Optical waveguide theory. — London: Chapman and Hall, 1983.

10. Самарский А.А. Теория разностных схем. — M.: Наука, 1977.

11. Goldberg A., Shore B.W. Modelling laser ionisation // J. Phys. B. — 1978. V. 11.- P. 3339-3347.

12. Heather R.W. An asymptotic wavefunction splitting procedure for propagating spatially extended wavefunctions: application to intense field photodissociation of Hj // Comput.Phys.Commun. — 1991. — V. 63. P. 446-459.

13. Boucke K., Schmitz H., Kull H.-J. Radiation conditions for the time-dependent Schrodinger equation: Application to strong-field photoionization // Phys. Rev. A.- 1997. V. 56. - P. 763-771.

14. McCurdy C.W., Stroud C.K. Eliminating wavepacket reflection from grid boundaries using complex coordinate contours // Computer Phys. Commun. — 1991. — V. 63. — P. 323-330.

15. Marburger J.H. Self-focusing: theory // Progr. Quant. Electron. — 1975. — V. 4. — P. 35-110.

16. Parkins A.S., Walls D.F. The physics of trapped dilute-gas Bose-Einstein condensates // Phys. Reports. 1998. - V. 303 - P. 1-80.

17. Dalfovo F., Giorgini S., Pitevskii L.P., Stringari S. Theory of Bose-Einstein condensation in trapped gases // Rev. Mod. Phys. — 1999. — V. 71. — P. 463-512.

18. Zakharov V.E., Shabat A.B. Exact theory of two-dimensional self-focusing and one dimensional self-modulation of waves in nonlinear media // Soviet Physics JETP. — 1972. V. 34. -P. 62-69.

19. Bekker E.V., Romanova E.A., Melnikov L.A. Conversion of LP02-niode into LPoi-mode in optical fibers with Kerr-like nonlinearity // 2nd Int. Conf. on Transparent Optical Networks. Conf. Proceedings. Gdansk, Poland, June 5-8, 2000. — 2000. — P. 69-73.

20. Vinitsky S.I., Puzynin I.V., Smirnov Yu.S. The scattering problem solution using multiparameter Newton schemes // Yad.Fiz. — 1990. V. 52, N 4(10). - P. 1176-1189.

21. Edwards M., Burnett K. Numerical solution of the nonlinear Schrodinger equation for small samples of trapped neutral atoms // Phys. Rev. A. — 1995. — V. 51. — P. 1382-1386.

22. Dalfovo F., Stringari S. Boson in anisotropic traps: Ground state and vortices // Phys. Rev. A. — 1996. V. 53. - P.2477-2485.

23. Гавурин M.K. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итерационных методов // Изв. ВУЗов, Математика. — 1958. — Т. 5(6). — С. 18-31.

24. Жидков Е.П., Пузынин И.В. Об одном методе введения параметра в решение граничных задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравненийвторого порядка // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. - Т. 7. - С. 1086.

25. Ермаков В.В., Калиткин Н.Н. Оптимальная длина шага и регуляризация метода Ньютона // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1981. Т. 21. - С. 491-497.

26. Жанлав Т., Пузынин И.В. Сходимость итераций на основе непрерывного аналога метода Ньютона // Журнал вычислительной математики и математическойфизики. — 1992. — Т. 32. С. 846-856.

27. Le Berre М., Ressaure Е., Tallet A. On-resonance self-focusing // Coherence and Quantum Opt.5: Proc.5 Rochester Conf., June 13-15, 1983. 1984. - P. 331-337.

28. Le Berre M., Ressaure E., Tallet A., Mattar F. P. Quasi-trapping of Gaussian beams in two-level systems // J. Opt. Soc. Amer. B. 1985. - P. 956-967.

29. Tai K., Gibbs H.M., Rushford M.C., Peyghambaryan N. et al. Observation of continuous-wave on-resonance "self-focusing" // Opt. Letters. — 1984. — V. 9, No. 6. P. 243-245.

30. Dowell M.L., Hart R.C., Gallagher A., Cooper J. Self-focused light propagation in a fully saturable medium: Experiment // Phys. Rev. A. — 1996. — V. 53. — P. 1775.

31. Базаров E.H., Герасимов Г.А., Губин В.П., Старостин Н.И., Фомин В.В. Динамическая самофокусировка гауссова светового пучка при насыщении неоднородно-уширенной линии поглощения // Квант, электроника. 1990. - Т. 17, .2. - С. 207210.

32. Mattar F.P., Newstein M. Self-focusing of coherent optical pulses in resonant absorbing media // Opt. Communs. 1976. - V. 18, No. 1. - P. 70-72.

33. Courteille Ph.W., Bagnato V.S., Yukalov V.I. Bose-Einstein condensation of trapped atomic gases // Laser Physics. — 2001. — V. 11, No. 6. — P. 659-800.

34. Yukalov V.I., Yukalova E.P., Bagnato V.S. Nonground State Condensates of Ultracold Trapped Atoms // Laser Physics. — 2001. — Vol. 11, No. 4. P. 455-459.

35. Yukalov V.I., Yukalova E.P., Bagnato V.S. Critical Effects in Population Dynamics of Trapped Bose Einstein Condensates // Laser Physics. — 2002. — V. 12, No. 1 — P. 231-239.

36. Wang Y.D., McGuire J.H., Rivarola R.D. Impact-parameter treatment of high-velocity electron capture from diatomic molecules at fixed orientation // Phys. Rev. A. — 1989.- V. 40. — P. 3673-3680.

37. Corchs S.E., Rivarola R.D., McGuire J.H., Wang Y.D. Distorted-wave models for single-electron capture from molecular targets by the impact of bare ions // Phys. Rev. A. 1993. - V. 47. - P. 201-207.

38. Joulakian B., Hanssen J., Rivarola R., Motassim A. Dissociative ionization of Hj byfast-electron impact: Use of a two-center continuum wave function // Phys. Rev. A. . 1996. - V. 54. - P. 1473-1479.

39. Бабиков В.В. Метод фазовых функций в квантовой механике. — М.:Наука, 1968.

40. Calogero F. Variable phase approach to potential scattering. — New York: Academic, 1967.•57. Марчук Г.И. Методы расщепления. — M.: Наука, 1988. — 382 с.

41. Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкновений. — М.: Мир, 1969. — 756 с.

42. Robicheaux F., Pindzola M.S., Plante D.R. Time-dependent quantal calculations for L = 0 models of the electron-impact ionization of hydrogen near threshold // Phys. Rev. A. 1997. - V. 55. - P. 3573-3579.

43. Ermolaev A.M., Puzynin I.V., Selin A.V., Vinitsky S.I. Integral boundary conditions for the time-dependent Schrodinger equation: Atom in a laser field // Phys. Rev. A.- 1999. V. 60. - P. 4831-4845.

44. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Квантовая механика: Нерелятивисткая теория. — М: Наука, 1974. 752 с.

45. Bugacov A., Piraux В., Pont М., Shakeshaft R. Asymmetry in ionization of oriented Rydberg states of hydrogen by a half-cycle pulse // Phys. Rev. A. — 1995. — V. 51.- P. 4877-4880.

46. Pindzola M.S., Robicheaux F. Differential cross sections in the ejected energy for an L = 0 model of the electron-impact ionization of hydrogen // Phys. Rev. A. — 1997.- V. 55. — P. 4617-4620.

47. Melezhik V.S., Baye D. Nonperturbative time-dependent approach to breakup of halo nuclei // Phys. Rev. C. 1999. - V. 59.- P. 3232-3239.

48. Lafosse A., Houver J.C., Dowek D. Vector correlations in dissociative charge transfer induced in He+-02, N2 collisions at medium energies //J. Phys. B : At. Mol. Opt. Phys. 2001. - V. 34. - P. 819-837.

49. Edwards A.K., Zheng Q. Excitation of the Q\doubly excited state of H2 by electron impact // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2001. - V. 34. - P. 1539-1548.

50. Weigold E., McCarthy I.E. (e,2e) spectroscopy // Phys. Reports. 1976. - V. 27 — P. 275-371.

51. Temkin A., Vasavada K. V. Scattering of Electrons from Hj": The Method of Polarized Single-Center Orbitals // Phys. Rev. — 1967. V. 160 - P. 109-117.

52. Burke P.G. Theory of low energy electron-molecule collisions // Advances in Atomic and Molecular Physics. 1979. - V. 15. - P. 471-507.

53. Elboudali F., Joulakian B. Two-centre partial-wave calculations for the multiply differential cross section of the simple ionization of diatomic lithium LÍ2 by fast electron impact // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2001. - V. 34. - P. 4877-4888.

54. Мессия А. Квантовая механика, том И. — М.: Наука, 1979. — 584 с.

55. Week Р., Fojon О.A., Hanssen J., Joulakian В., Rivarola R.D. Two-effective center approximation for the single ionization of molecular hydrogen by fast electron impact // Phys. Rev. A. 2001. - V. 63. - 042709-1-6.

56. Pluvinage P. Nouvelle famille de solutions approchées pour certaines equations de Schrodinger non separables. Application a l'état fondamental de l'Hélium //Le Journal De Physique Et Le Radium. — 1951. V. 12. - P. 789.

57. Комаров И.В., Пономарёв JI.И., Славянов С.Ю. Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции — Москва: Наука, 1976.

58. Takagi Н., Nakamura Н. Elastic scattering of electrons from Hj: phaseshifts, quantum defects and two-electron excited states // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. — 1980. — V. 13. P. 2619-2632.

59. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики, том II. — М.: ИЛ, 1958.

60. Zhanlav Т., Pavlov D.V., Puzynin I.V. A Numerical Solution of the Two-Center Problem. Preprint JINR No. Ell-91-138, JINR, Dubna,1991.

61. Puzynin V.I. The Miln Equation for the Calculation the Phases and Norms of Wave Functions for Continuum Spectrum of Coulomb Two-Center Problem. IHEPh, Preprint 92-119, Protvino, 1992.

62. Pavlov D.V., Puzynin I.V., Vinitsky S.I. Discrete Spectrum of the Two-Center Problem of pHe+ Atomcule. Preprint JINR No. E4-99-141, JINR, Dubna, 1999.

63. Fojon O.A., Rivarola R.D., Hanssen J., Ourdane M.A. Interference patterns in positron-Hj" collisions with the formation of positronium atoms // Phys. Rev. A. 1997. - V. 55. - P. 4613-4616.

64. Lee E.,Farrelly D.,Uzer T. A Saturnian atom // Optics Express. — 1997. — V. 1. — P. 221-228.

65. Bialynicki-Birula I., Kalinski M., Eberly I.H. Lagrange equilibrium point in celestial mechanics and nonspreading wave packets for strongly driven Rydberg electrons // Phys. Rev. Lett. 1994. — V. 73. - P. 1777-1780.

66. Farelly D., Uzer T. Ionization mechanism of Rydberg atoms in circularly polarized microwave field // Phys. Rev. Lett. — 1995. V. 74. — P. 1720-1723.

67. Lee E., Brunello A.F., Farrelly D. A Single Atom Quasi-Penning Trap // Phys. Rev. Lett. 1995. - V. 75. - P. 3641-3644.

68. Kalinski M., Eberly J.H. Trojan wave packets: Mathieu theory and generation from circular states // Phys. Rev. A. — 1996. V. 53. - P. 1715-1724.

69. Bialynicka-Birula Z., Bialynicka-Birula I. Radiative decay of Trojan wave packets // Phys. Rev. A. 1997. - V. 56. - P.3623.

70. Brunello A.F., Farrelly D., Uzer T. Nonstationary, Nondispersive Wave Packets in a Rydberg Atom // Phys. Rev. Lett. — 1996. V. 76. - P. 2874-2877.

71. Kalinski M., Eberly J.H. New states of hydrogen in a Circularly Polarized Electromagnetic Field // Phys. Rev. Lett. 1996. — V. 77. - P. 2420-2423.

72. Zakrzewski J., Delande D., Buchleitner A. Nonspreading Electronic Wave Packets and Conductance Fluctuations // Phys. Rev. Lett. — 1995. — V. 75. — P. 4015-4018.

73. Kalinski M., Eberly J.H., Bialynicka-Birula I. Numerical observation of stable field-supported Rydberg wave packets // Phys. Rev. A. — 1995. — V. 52. — P. 2460-2463.

74. Lee E., Brunello A.F., Farrelly D. Coherent states in a Rydberg atom: Classical mechanics // Phys. Rev. A. 1997. - V. 55 - P. 2203-2221.

75. Cerjan C., Lee E., Farrelly D., Uzer T. Coherent states in a Rydberg atom: Quantum mechanics // Phys. Rev. A. — 1997. V. 55. - P. 2222-2231.

76. Kochanski P., Bialynicka-Birula Z., Bialynicki-Birula I. Squeezing of electromagnetic field in a cavity by electrons in Trojan states // Phys. Rev. A. — 2001. — V. 63. — P. 013811.

77. Delande D., Zakrzewski J., Buchleitner A. A wave packet can be a stationary state // Europhys. Lett. 1995. - V. 32. - P.107-112.

78. Uzer T., Lee E.A., Farrelly D., Brunello A.F. Synthesis of a classical atom: wavepacket analogues of the Trojan asteroids // Contemp. Phys. — 2000. — V. 41. — P. 1-14.

79. Klar H. Periodic orbits in atomic hydrogen exposed to circularly polarized laser light // Mol. Clusters. 1989. - V. 11. - P. 45-52.

80. ATHENA, AD-1 Status Report, SPSC, 23 January 2001

81. Melnikov L.A., Ryabinina M.V., Derbov V.L.,Umanskii I.M., Vinitsky S.I. Laser-field-induced free-bound transitions in positron-antiproton collisions // Physics of Atomic Nuclei. 1998. - V. 61. - P. 1928-1931.

82. Любарский Г.Я. Теория групп и её приложения в физике. — М.:Физматгиз, 1958.

83. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — М.: Наука, 1973. — 504 с.