Теоретическое исследование динамики акустических пучков в средах с квадратично-кубической нелинейностью тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 "Уравнения состояния, вириальное разложение и параметры акустического возмущения

1.1 Уравнения состояния, связь микроскопических и макроскопических параметров среды.

1.2 Уравнение адиабаты и адиабатической скорости звука для произвольных уравнений состояния

2 Уравнение Хохлова — Заболотской с квадратично-кубической нелинейностью и вычисление третьего вириального коэффициента

2.1 Вывод уравнения Хохлова - Заболотской - Кузнецова с комбинированной квадратично - кубической нелинейностью.

2.2 Амплитуды гармоник решения уравнения ХЗК с комбинированной нелинейностью.

2.3 Вычисление значения нелинейного параметра и третьего вириального коэффициента для воды.

3 Исследование влияния взаимодействия пространственных мод

Характер распространения звуковых пучков определяется балансом между механизмами нелинейности, дифракции и поглощения. При рассмотрении задач нелинейной акустики обычно используют хорошо известные модельные уравнения второго порядка, описывающие медленные изменения профиля волны вследствие квадратичной нелинейности. Это уравнение Бюргер-са, обобщенное уравнение Бюргерса, уравнение Хохлова - Заболотской (ХЗ), уравнение Хохлова - Заболотской - Кузнецова (ХЗК) (см. например, [1, 2, 3]). В 90-х годах стали появляться работы, учитывающие кубическую нелинейность для стандартных модельных уравнений. В [4] отмечено, что в модельных уравнениях, содержащих члены второго порядка относительно малого амплитудного параметра погрешность правой нелинейной части уравнения 0(/i3). Решение модельных уравнений имеет равномерную погрешность порядка 0(/х2) на масштабах времени ^Г1. Поэтому использовать подобные решения при изучении средних величин звукового поля следует осторожно. В [4] уравнения третьего порядка применяются для прямого вычисления средних по времени величин звукового поля, в основном внимание уделяется радиационному давлению. Рассмотрение проводится для идеального газа. Для плоских волн анализ основан на модифицированном уравнении Бюргерса. В работе не ставится задача учета эффектов дифракции и нелинейной рефракции, приводящих к самофокусировке и самодефокусировке. В [5] проведены расчеты плотности акустической энергии, плотности потока акустической энергии (интенсивность звука) и тензора напряжений акустического излучения с учетом слагаемых третьего и четвертого порядка малости. Показано, что в диапазоне амплитуд, соответствующих используемому ультразвуковому медицинскому оборудованию, отношение вкладов третьего и четвертого порядка по отношению ко второму около 1%.

Экспериментальное изучение распространения звуковых пучков высокой интенсивности от плоского излучателя рассмотрено в [6, 7, 8], в том числе с учетом размеров приемника [9]. В работе [6] представлены экспериментальные результаты для пяти гармоник и проводится сравнение с результатами численного анализа, рассматривающего в качестве модельного уравнения -уравнение ХЗК. Теория предсказывает более низкий уровень для компонент высших гармоник, чем наблюдается в эксперименте. Авторы работы [6] полагают, что отличие возникает из-за того, что в теоретической модели эффекты вязкости и теплопроводности учитываются только в линейном приближении. Возникновение акустических течений (acoustic streaming) наблюдаемых в эксперименте, в работе не рассматривалось. Кубические слагаемые и слагаемые более высокого порядка в уравнениях не учитывались, но авторы отмечают, что учет их может быть сделан. В работе приводится коэффициент перед слагаемым, соответствующим кубической нелинейности. К сожалению, в указанной работе не сообщается, как проводился вывод уравнения, учитывающего слагаемые старших порядков. Следующая работа этих авторов [10] посвящена высшим порядкам нелинейности при распространении ультразвукового пучка. Рассматривается диссипативная среда с кубической нелинейностью. Авторы используют потенциал скорости, то есть изначала считают движение потенциальным. Это противоречит тому факту, что непосредственное вычисление ротора скорости с учетом слагаемых порядка /л2 показывает, что он отличен от нуля. К такому результату приводит, например, прямой расчет ротора, проведенный в [И]. Численный анализ, проведенный в [10], показал, что с увеличением уровня значений давления на источнике и увеличением шага, влияние кубического слагаемого становится заметным, особенно в фокальной плоскости. Эти слагаемые ведут к увеличению амплитуды, причем, чем больше номер гармоники, тем больше относительное увеличение.

Успехи ультразвуковой диагностики в медицине и создание ультразвуковых аппаратов, разрушающих камни в почках и желчном пузыре, возобновили интерес к задачам, описывающим эффекты в сфокусированных звуковых пучках [12]. Впервые теоретический анализ нелинейных эффектов в сфокусированных звуковых пучках был сделан в [13]. В 80 - 90-х годах появилось большое количество работ, посвященных этому вопросу. Можно отметить также работу [14], рассматривающую линейное распространение пульсирующего звукового пучка от плоского и сфокусированного источника. Работа [15] рассматривает модельное уравнение и граничные условия для высокочастотных, сильно искривленных излучателей с высокой интенсивностью. Приведено численное решение для сильно искривленного сфокусированного источника [16], основанное на методике, рассмотренной в предыдущей работе этих авторов [17]. Построено описание распространения звуковых пучков в жидкости с использованием сплющенной у полюсов сферической системы координат. Все эти работы рассматривают уравнения, учитывающие квадратичную нелинейность. Фокусировка в этом случае происходит из-за кривизны излучателя. Экспериментальное и численное исследование образования ударных волн в пост фокальной области от сфокусированного источника представлено в [18].

Имеется ряд практических задач: задача распространения импульсов звукового удара от сверхзвуковых самолетов, взрывных волн в атмосфере и океане, непрерывного акустического излучения мощного источника звука, которые вызывают интерес к исследованиям по интенсивным волнам в неоднородных средах [19], в том числе в стратифицированных средах [20, 21, 22, 23]. Большой интерес вызывают и работы, посвященные распространению волн, имеющих особенность типа "разрыв"(слабая ударная волна) [24, 25, 26]. В частности, в [26] найдено автомодельное решение уравнения Хохлова - Заболотской в виде ударной волны. В работе представлены аналитические аргументы существования стационарных по форме, но с изменяющимся пиковым значением, решений уравнения ХЗ. Автор утверждает, что именно нелинейность (без влияния дифракции) определяет существование автомодельных решений. Наряду с гладким участком профиля нелинейность формирует ударные фронты, которые "запирают"и "держат"гладкий кусок квазистационарного профиля. Роль дифракции проявляется в совместном с нелинейностью формировании характерного вида гладкой части квазистационарного профиля. Квазистационарные решения нелинейных бездисперсионных уравнений играют такую же существенную роль, как солитонные решения нелинейных уравнений с дисперсией, но механизм их образования и существования различный.

Начиная с 70-х годов для поиска аналитических решений уравнений ХЗ и ХЗК применялись методы нелинейной геометрической акустики для высокочастотных источников [2]. Применяемый подход к решениям позволял описывать эволюцию акустического возмущения вплоть до фокальной области. Однако, в околофокальной области решения теряло смысл из-за возникновения в формулах сингулярности.

Наряду с методами нелинейной геометрической акустики, в оптике развито и успешно применяется параксиальное приближение, которое дает хорошие результаты в нелинейной оптике и лазерной физике при описании явления самофокусировки светового пучка. Успешное применение параксиального подхода связано с рассмотрением узкополосных квазигармонических сигналов и, следовательно, с возможностью независимого выделения амплитуды и эйконала [2]. Однако особенности поведения акустических пучков приводят к тому, что при использовании параксиального приближения в задачах нелинейной акустики накладываются серьезные ограничения на область применимости полученных результатов. Получаемые решения достаточно хорошо описывают поведение сигнала вблизи оси пучка, но только на малых расстояниях от излучателя. Это, прежде всего, связано с тем, что акустический сигнал нельзя рассматривать как квазигармонический и при нахождении полного поля акустического давления его приходится раскладывать в ряд по малому параметру. Учет поправок старшего порядка приводит к заведомо некорректным результатам, что в итоге не позволяет в рамках указанного подхода описать наиболее интересную область, в которой происходит фокусировка звукового пучка конечной амплитуды. Впервые параксиальный подход в акустике с учетом всех оговоренных выше ограничений был применен в [27].

Недавно [28, 29, 30] был предложен аналитический метод для описания пучка в параксиальной области, который позволяет корректно описать особенности поведения акустического сигнала в фокальной плоскости, основанный на введении фазовой функции и независимом разложении в ряды, как полевой переменной, так и эйконала. Кроме того, в работе [31] построены численные решения уравнения ХЗ, которые демонстрируют особенности поведения решений в том числе и в околофокальной области. Дополнение метода нелинейной геометрической акустики параксиальным приближением, которое позволяет учесть дифракционные эффекты, создает хорошую основу для изучения фокусировки интенсивных акустических пучков. Интерес к таким решениям определяется большим числом технологических и медицинских приложений.

В 1966 году был предсказан эффект самофокусировки для интенсивных акустических пучков [32]. В работе проведены оценки возможности самофокусировки звукового пучка вследствие нагрева среды. Тепловая самофокусировка квазигармонических звуковых волн проанализирована с использованием аналогии с оптической тепловой самофокусировкой [33]. Мощная звуковая волна при распространении из синусоидальной превращается в пилообразную, при этом поглощение волны становится чисто нелинейным и не зависит от вязкости и теплопроводности. В [34] детально исследован процесс самофокусировки с учетом нелинейного поглощения, отмечается необходимость учета самовоздействия. Как отмечают авторы, аналогия с оптической самофокусировкой не всегда верна. Так при оптической самофокусировке при уменьшении коэффициента линейного поглощения эффект тепловой самофокусировки ослабляется и, когда коэффициент линейного поглощения стремится к нулю, исчезает вовсе. Интенсивные акустические волны при распространении испытывают сильное нелинейное искажение, образуются разрывы. При этом происходит эффективная нелинейная диссипация энергии волны (даже при малом коэффициенте поглощения), среда нагревается, нагрев начинает влиять на распространяющуюся волну (проявляется тепловое самовоздействие). Эффект самофокусировки - наглядный пример самовоздействия волновых пучков. Для учета этого эффекта необходимо рассматривать волновые пучки в средах с кубической нелинейностью [35]. В средах с сильной дисперсией применяют кубическое уравнение Шредингера [2, 36]. В средах без дисперсии обычно используется уравнение ХЗК. В [35] рассматривается уравнение с отличающимся от традиционного типом нелинейности - присутствует кубическая, но отсутствует квадратичная нелинейность. Показано, что в таких средах формируются, трапецевидные пилообразные волны, самовоздействие которых сопровождается нелинейной диссипацией энергии на ударных фронтах. При этом наблюдается заметное сужение пучка в самофокусирующей среде, однако, амплитуда в фокальной области увеличивается незначительно.

На основе симметрий, найденных в работе [37], авторы работы [38] решают задачу нахождения точных решений и законов сохранения обобщенного урав

0U нения ХЗ - уравнения диссипации с нелинейностью вида P(UВ работе показано, что обобщенное уравнение ХЗ с произвольной нелинейностью может быть представлено в лагранжевой форме. В работе [39] для обобщенного уравнения ХЗ с произвольной степенной нелинейностью исследовано поведение усредненных характеристик (моментов) уравнения. В работе [30] дан анализ искажения площади исходного гармонического сигнала в кубическо-нелинейной среде с учетом дифракционных эффектов и самовоздействия в параксиальной области волнового пучка.

Метод вывода нелинейных уравнений, учитывающих взаимное влияние различных мод друг на друга и самовоздействие распространяющейся акустической волны, основанный на технике операторов проектирования рассмотрен в работах [40, 41, 42]

Все более глубокое понимание механизмов действия нелинейности, возросшие возможности экспериментального исследования, появление мощных пакетов аналитических вычислений таких, как MAPLE, MATHEMATICA и других, позволяют поставить вопрос о выводе более точных уравнений нелинейной акустики, не использующих традиционные в этих задачах гипотезы и ограничения. К этим уравнениям предъявляются следующие требования: во-первых, они не должны опираться на гипотезу потенциальности акустических возмущений, которая выполняется в линейной теории, но, как теперь становится ясно, нарушается в нелинейной. Во-вторых, они должны учитывать влияние взаимодействия распространяющегося сигнала со встречной волной и тепловой модой, а также самовоздействие нелинейной акустической волны. Именно, последовательный учет этих эффектов дает ключ к корректному описанию таких принципиально нелинейных явлений как фокусировка и самофокусировка (самодефокусировка) акустического пучка.

Именно нелинейность исходных эволюционных уравнений и уравнений состояния среды приводит к появлению описанных выше и других специфических нелинейных эффектов. Особенности проявления нелинейных эффектов, наблюдаемых при распространении акустических волн, во многом определяются нелинейными свойствами среды, которые, в свою очередь, определяются параметрами уравнения состояния. В качестве, которого в задачах нелинейной акустики традиционно используется вириальное разложение в адиабатическом приближении. Отсюда ясно, что одной из важнейших задач при описании распространении акустических пучков является задача максимально точного определения вириальных коэффициентов. В настоящее время имеется большое количество экспериментальных данных [43, 44, 45] по измерению поля акустического давления для гармоник волны. Это позволило достаточно надежно определить значение второго вириального коэффициента [43, 44] (см. также обзор [46, 47, 48]). Задача вычисления третьего вириального коэффициента, путем сопоставления аналитических результатов и экспериментальных данных более сложен и впервые был поставлен в работах [49, 50].

Целью настоящей диссертационной работы является исследование закономерностей распространения волновых пучков в средах с комбинированной квадратичной и кубической нелинейностью.

В первой главе обсуждается связь между термодинамическими и акустическими параметрами среды путем анализа уравнений состояния вблизи адиабаты. Выведены формулы для скорости звука и адиабаты для произвольного уравнения состояния. Проведен анализ зависимости скорости звука от давления и температуры для некоторых конкретных уравнений состояния.

Во второй главе выводится уравнение, описывающее распространение ограниченных однонаправленных акустических пучков в средах с комбинированной квадратично-кубической нелинейностью. При выводе уравнения не вводится, обычно используемое другими авторами упрощающее предположение о потенциальности течения. Вычислено значение второго и третьего вириальных коэффициентов, путем сравнения полученных в работе аналитических результатов интегрирования уравнения ХЗК для описания поведения гармоник акустической волны с экспериментальными данными. Значение второго коэффициента находится в хорошем согласии с многочисленными результатами других исследователей по экспериментальному измерению этого параметра. Значение для третьего вириального коэффициента, в рамках сделанных физических предположений, получено впервые.

В третьей главе развит метод проекционных операторов для вывода системы уравнений, учитывающей взаимное влияние различных мод друг на друга и самовоздействие акустического пучка. Сделанный в работе вывод уточненного уравнения Хохлова - Заболотской - Кузнецова (ХЗК) с нелинейностью второго и третьего порядков по малому амплитудному параметру также не использует предположения о потенциальности течения. Обобщен метод нелинейной геометрической акустики в комбинации с параксиальным приближением, для построения решений уравнения ХЗК с квадратично-кубической нелинейностью. Построены решения для гармоник акустической волны, генерируемой плоским круговым источником, в слабодиссипативной среде с квадратично - кубической нелинейностью. Проведен анализ полученных решений. Изучена эволюция временных профилей пучка с учетом самовоздействия и влияния других мод при фокусировке пучка в средах с комбинированной нелинейностью.

Заключение

В заключение коротко перечислим основные результаты работы.

Выведено уравнение Хохлова - Заболотской - Кузнецова с комбинированной квадратичной и кубической нелинейностью. При выводе уравнения не используется (принимаемая в работах других авторов) упрощающая гипотеза о потенциальности движений среды. Коэффициент перед слагаемым, учитывающим кубическую нелинейность, отличается от соответствующего выражения в недавней работе группы авторов: С. Начеф, Д. Катиньел, Ж. Тьотта, А. Берг, С. Тьотта, полученного в рамках упомянутого предположения о безвихревом характере течения.

Для выведенного уравнения получены явные решения для гармоник акустического пучка, генерируемого плоским круговым источником, в слабо-диссипативной среде с комбинированной квадратично-кубической нелинейностью. Построены профили амплитуд первых трех гармоник.

Путем сравнения полученных в работе аналитических результатов по поведению гармоник акустической волны с экспериментальными данными вычислено значение второго и третьего вириальных коэффициентов. Значение второго коэффициента находится в хорошем согласии с многочисленными результатами других исследователей по экспериментальному измерению этого параметра. Значение для третьего вириального коэффициента получено впервые (в рамках сделанных физических предположений) и согласуется с приближенными оценками других авторов, полученными с помощью термодинамических соотношений.

Предложена методика последовательного вывода системы зацепляющихся уравнений, описывающей взаимодействие направленных волн и квазистационарной (тепловой) моды. При условии первоначально доминирующего направленного пучка учет взаимодействия приводит к модифицированному уравнению ХЗК с квадратичной и кубической нелинейностью.

Предложено развитие метода нелинейной геометрической акустики в сочетании с параксиальным приближением для описания дифракции и самофокусировки волновых пучков в средах с комбинированной нелинейностью вплоть до образования разрывов. Полученные аналитические формулы с хорошей точностью описывают изменение диаметра пучка и искажение временного профиля гармонической волны как при слабой, так и при сильной дифракции.

Выведено термодинамическое соотношение, позволяющее исследовать зависимость адиабатической скорости звука от давления и температуры при произвольном термическом уравнении состояния. Изучено поведение скорости звука в средах, поведение которых определяется наиболее известными уравнениями состояния, для которых ранее такие зависимости не изучались.

Исследование волновых профилей в средах с квадратично-кубической нелинейностью проведено впервые. Полученные в работе аналитические результаты по описанию искажения волновых профилей с учетом дифракции и нелинейного поглощения могут найти применение в самых разных разделах физики нелинейных волн (оптики, акустики, физики плазмы и других). Результаты по распространению отдельных гармоник акустического пучка позволяют провести детальное сравнение с результатами экспериментальных исследований. Проведенное сравнение позволило предложить методику вычисления значений вириальных коэффициентов. Знание точных значений нелинейных параметров и их зависимости от температуры оказывается важным и в ме

105 дицинской физике, например, при целенаправленном воздействии на какие-либо внутренние органы. Особенно проблема вычисления точных значений указанных параметров стала актуальной в свете тех значительных успехов, которые в последнее время достигла техника ультразвуковой диагностики в медицине и создание новых ультразвуковых аппаратов.

Расчет значений коэффициентов вириального разложения позволяет уточнить уравнение состояния. При этом появляется возможность установления параметров этого уравнения по акустическим измерениям. Например, возможен учет зависимости коэффициентов вириального разложения от температуры. В том числе, определение микроскопических параметров (потенциала взаимодействия) по акустическим измерениям.

1. Руденко О. В., Солу ян С. И. Теоретические основы нелинейной акустики // М., Наука. 1975. 287с.

2. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн //М.: Наука, 1990. 432 с.

3. Зарембо Л.К., Красилъников В.А. Введение в нелинейную акустику // М., Наука. 1966. 520 с.

4. Макаров С.Н., Бурнусенко Е.Н. Уравнения нелинейной акустики третьего приближения и их приложения // труды Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошной среды". Новосибирск. 1992. С.114-120.

5. Beissner К., Makarov S.N. Acoustic energy quantities and radiation force in higher approximation //J. Acoust. Soc. Am. 1995. V.97. P.898-905.

6. Nachef S., Cathignol D., Tj0tta J.N., Berg A.M., Tj0tta S. Investigation of a high intensity sound beam from a plane transducer. Experimental and theoretical results // J. Acoust. Soc. Am. 1995. V.98. P.2303-2323.

7. Baker А.С., Anastasiadis К., Humphrey V. F. The nonlinearity pressure field of a plane circular piston: Theory and experiment //J. Acoust. Soc. Am. 1988. V.84. N4. P.1483-1487.

8. Baker A.C., Ward В., Humphrey V.F. The effect of receive size on nonlinearity pressure field measurements //J. Acoust. Soc. Am. 1996. V.100. N4. P.2062-2069.

9. Berg A., Tj0ttaS. Higher order nonlinearity in ultrasound beam propagation //in 20-th Scandinavian Symposium on Physical Acoustics, Ustaoset. 1997. P.5-7.

10. Leble S.B., Vereshchagina I.S. Khokhlov Zabolotskaya - Kuznetsov equation with cubic term and virial coefficients // Acta Acustica. 1999. V.85. P.685-690.

11. Timothy S. Hart, Mark F. Hamilton Nonlinear effects in focused sound beams //J. Acoust. Soc. Am. 1988. V.84. N4. P. 1488-1496.

12. Наугольных К.А., Романенко E.B. //Акуст. жур. 1959. 5.191-195.

13. Fr0ysa К., Tj0tta J., Tj0tta S. Linear propagation of a pulsed sound beam from a plane or focusing source //J. Acoust. Soc. Am. 1995. V.93. P.80-92.

14. J.N. Tj0tta, S. Tj0tta Model equation and boundary condition for the sound field from a high frequency, strongly curved and highly intense transducer. //Acta Acustica. 1993. N1. P. 69-87.

15. Ystad B. ,Berntsen J. Numerical solution of parabolic equations for strongly curved focusing sources //Acta Acustica. 1996. V.82. P.698-706108

16. Hobddk Н., Yastad В. Experimental and numerical investigation of shock wave propagation in the post focal region of a focused sound field //Acta Acustica. 1997. V.83 P.978-986.

17. Руденко О.В., Сухорукова А.К., Сухорукое А.П. Уравнения высокочастотной нелинейной акустики неоднородных сред / /Акустический журнал. 1994. Т.40. №2. С.290-294.

18. Руденко О.В., Сухорукова А.К., Сухорукое А.П. Двумерные нелинейные волны с разрывами в стратифицированных средах // Акустический журнал. 1995. Т.41. №2. С.291-295.

19. Руденко О.В., Сухорукова А.К., Сухорукое А.П. Полные решения уравнения геометрической акустики в движущихся стратифицированных средах // Акустический журнал. 1997. Т.43. №3. С.396-401.

20. Perelomova A.A. Nonlinear dynamics of vertically propagating acoustic waves in a stratified atmosphere //Acta Acustica 1998. V.84. №6. P.1002-1006.

21. Perelomova A.A. Nonlinear dynamics of directed acoustic waves in stratified and homogeneous gases and liquids with arbitrary equation of state //Archives of Acoustics. 2000. V.3.

22. Пищальников Ю.А., Сапожников О.А., Хохлова В.А. Модификация спектрального подхода к описанию нелинейных акустических волн с разрывами // Акустический журнал. 1996. Т.42. N3. С.412-417.

23. Маков Ю.Н. Об универсальном автомодельном решении уравнения Хохлова-Заболотской для волн с ударными фронтами //Акустический журнал. 1997. Т.43. N6. С.828-833.

24. Руденко О.В., Солуян С.И., Хохлов Р.В. К нелинейной теории параксиальных звуковых пучков //Докл. АН СССР, 1975. Т.225. №.5. С. 10531055.

25. Hamilton M.F., Khokhlova V.A., Rudenko O.V. Analytical method for describing the paraxial region of finite amplitude sound beams //J. Acoust. Soc. Am. 1997. V.101. ЖЗ. P.1298-1308.

26. Гамильтон М.Ф., Руденко О.В., Хохлова В.А. Новый метод расчета параксиальной области интенсивных акустических пучков //Акуст.журн. 1997. Т.43. Ж1. С.48-53.

27. Руденко О.В., Сухорукое А.А. Дифрагирующие пучки в кубично нелинейных средах без дисперсии // Акуст. Журнал. 1995. Т.41. №5. С.822-827.

28. Tjotta J.N., Tjotta S., Vefring E.H. Propagation and interaction of two collimated finite amplitude sound beams //J. Acoust. Soc. Am. 1990. V.88. P.2859-2870.

29. Аскаръян Г.А. Самофокусировка и фокусировка ультра и гиперзвука. // Письма в ЖЭТФ. 1966 Т.4. С. 144-147.

30. Бахвалов B.C., Жилейкин Я.М., Заболотская Е.А. Нелинейная теория звуковых пучков. //М.; Наука. 1982. С.176.110

31. Руденко О.В., Сапожников О.А. Волновые пучки в кубично нелинейных средах без дисперсии // ЖЭТФ. 1994. Т.106. С.395-413.

32. Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны. //М.; Наука. Физматлит. 1997. 496 с.

33. Кудрявцев А.Г., Сапожников О.А. Симметрии обобщенного уравнения Хохлова Заболотской // Акуст. Журнал. 1998. Т.44. №5. С.628-633.

34. Кудрявцев А.Г., Сапожников О.А. Некоторые свойства интенсивных звуковых пучков, описываемых обобщенным уравнением Хохлова Заболотской // Акуст. Журнал. 1998. Т.44. №6. С.808-813.

35. Маков Ю.Н.,Сапожников О.А. Усредненные характеристики (моменты) обобщенного уравнения Хохлова Заболотской // Акуст. Журнал. 1994. Т.40. №6. С.1003-1005.

36. Perelomova A.A. Projectors in Nonlinear Evolution Problems: Acoustic Soli-tons of Bubbly Liquids // AML. 2000. V.13. P.93-98.

37. Perelomova A.A. Directed Acoustic Beams Interacting with Heat Mode: Coupled Nonlinear Equations and the Modified KZK Equations // Acta Acustica. 2001. V.87. P.176-183.

38. Верещагина И.С., Переломова А.А. Исследование влияния взаимодействия пространственных мод на нелинейную динамику звуковых пучков // Акуст. журн. 2002. Т.48. №.2. (в печати)

39. Coppens А.В., Beyer R.T., Seiden М.В., Donohue J., Guepin F., Holdson R.H., Townsend C. Parameter of nonlinearity in fluids. II // J. Acoust. Soc. Am. 1967. V.38. P.797-804.

40. Coppens А.В., Beyer R.T., Ballou J. Parameter of nonlinearity in fluids. Ill Values of sound velosity in liquids metals //J. Acoust. Soc. Am. 1967. V.41. P. 1443-1448.

41. Zachariasz K. The acoustic method for measurement of the nonlinearity parameter B/A of the liquid using parabolic model //in Proceedings of the XV-th Symposium on Hydroacoustics, Gdansk Jurata. 1998. P. 169-181.

42. Makarov S.N., Ochmann M. Nonlinear and Thermoviscous phenomena in acoustic. Part I // Acta Acoustica. 1996. V,82. P.579-606.

43. Makarov S.N., Ochmann M. Nonlinear and Thermoviscous phenomena in acoustic. Part II // Acta Acoustica. 1997. V.83. P. 197-222.

44. Makarov S.N., Ochmann M. Nonlinear and Thermoviscous phenomena in acoustic. Part III // Acta Acoustica. 1997. V.83. P.827-846.

45. Leble S.B., Veeshchagina I.S. Virial Coefficients from Cubic KZK // Proc. of the 2-th EAA International Symposium on Hydroacoustics. Gdansk Jarata. 1999. P.103-108.

46. Ландау JI.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Теоретическая физика. Т.VI. //М., Наука. 1988. 736 с.

47. Лойцанский Л.Г. Механика жидкостей и газов // М., Наука. 1987. 840 с.112

48. Полторак О.М. Термодинамика в физической химии //М., Высшая школа, 1991. 319 с.

49. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Теоретическая физика. T.V. //М., Наука. 1973. 567 с.

50. Фейман Р. Статистическая механика //М., Мир. 1978. 407 с.

51. Василевский А. С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика //М.,: Просвещение. 1985. 255 с.

52. Валеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т. 1 //М.: Мир, 1978. 405 с.

53. Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений //М.: Мир, 1974. 371 с.

54. Резибуа П., Де Ленер М. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов //М.: Мир, 1980. 423 с.

55. Poole Р.Н., Sciortino F., Grande Т., Stanley H.E., Angell C.A. // Phys. Rev. Lett. 1994. V.73. P.1632.

56. Ассман В.А., Вункин Ф.В., Верник А.В., Ляхов Г.А., Шипилов К.Ф. Наблюдение теплового самовоздействия звукового пучка в жидкости // Письма в ЖЭТФ. 1985. Т.41. №4. С.148-150.

57. Андреев В.Г., Карабутов А.А., Руденко О.В., Сапожников О.А. Наблюдение самофокусировки звука // Письма в ЖЭТФ. 1985. Т.41. №9. С.381-384.113

58. Flugge S. Encyclopedia of Physics. V. XI/1. Acoustics I // Springer Verlag. Berlin - Gottingen - Heidelberg. 1961. P. 338-353.

59. Таблицы физических величин // под ред. И.К. Кикоина / М., Атомиз-дат. 1976. 1006 с.

60. Leble S.B., Perelomova A.A., Kusmirek М. Nonlinear Parameters and Sound Speed in Acoustics and its Evaluation for Real Gases and Liquids //Hydroacoustics. 2001. V.4. P.139-142.

61. Рахматулин X.A., Сагомонян А.Я., Бунимович А.И., Зверев И.Н. Газовая динамика // М., Высшая школа. 1965. 723 с.

62. Barker J.A., Leonard P. J., Ротре A. // J. Chem. Phys. 1966. V.44. P.4206.

63. Еремин E.H. Основы химической термодинамики // M., Высшая школа. 1974. 341 с.

64. Базаров И.П., Геворкян Э.В., Николаев П.Н. Задачи по термодинамике и статистической физике // М., Высшая школа. 1997. 352 с.

65. Заболотская Е.А., Хохлов Р.В. Квазиплоские волны в нелинейной акустике ограниченных пучков //Акуст. журн. 1969. Т.1. С.40-47.

66. Куницын И. Е., Руденко О. В. Генерация второй гармоники в поле поршневого излучателя // Акуст. журн. 1978. Т.24. С.549-555.

67. Кшевецкий С.П., Лебле С.Б. Математические методы теоретической физики: Учебное пособие // Калининград, изд-во КалГУ. 1995. 90 с.

68. Шахов Д.В., Верещагин Д.А. Вертикальное распространение одномерных волновых возмущений в неоднородном газе при произвольных плотностях //в сб. тезисов ВНКСФ-6. Екатеринбург Томск. 2000 г. С.241-243.

69. Cobb W.N. Finite amplitude method for the determination of the acoustic nonlinearity parameter B/A //J. Acoust. Soc. Am. 1983. V.73. №5. P.1525-1531.

70. Everbach E.C., Apfel R.E. An interferometric technique for B/A measurement //J. Acoust. Soc. Am. 1995. V.98. №6 P.3428-3437.

71. Leble S.B., Zachariasz K. Multiple frequencies contributions of nearfield sound diffraction from uniformly excited piston //in Proceedings of the XIII-th Symposium on Hydroacoustics, Gdansk Jurata. 1996. P. 165-172.

72. Filipczinski L., Grabovska A. Deviation of the acoustic pressure to particle velocity ratio from c/p value in liquids and solida at high pressures //Archives of Acoustic. 1989. V.14. P.173-179.

73. Bjorno L., Black K. Higherv order acoustic nonlinearity parameters of fluids //in : Nonlinear deformation waves/ eds. U. Nigul, J. Engelbrecht. Springer, Berlin. 1983. 355 p.

74. Boa Teh-Chu, Kovasznay L.S. Non-linear interactions in a viscous heat-conducting gas //J. Fluids Mech. 1958. V.3. P.494.

75. Кузнецов В.П. Уравнения нелинейной акустики //Акуст. журн. 1971. Т.16. №.4. С.467-470.

76. Кшевецкий С.П., Лебле С.Б. Нелинейная дисперсия длинных внутренних волн //Изв. АН ССР. Мех. жидк. и газа. 1988. Т.З. С.1169-1174.