Модулированные волны в средах с квадратичной и кубичной нелинейностями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

#

На правах рукописи / УДК 534.222 •

СУХОРУКОВ Андрей Анатольевич

МОДУЛИРОВАННЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С КВАДРАТИЧНОЙ И КУБИЧНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

(01.04.06 - акустика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена на кафедре акустики физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Доктор физ.-мат. наук, профессор О. В. Руденко Доктор физ.-мат. наук, профессор В. А. Алешкевич Кандидат физ.-мат. наук, Ю. И. Скрынников Институт общей физики Российской Академии Наук

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Защита диссертации состоится 4 июня 1998 г. в 15 час. 00 мин. на заседании Специализированного Совета К 053.05.92 отделения радиофизики физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, аудитория 5-18.

Адрес: 119899, ГСП, г. Москва, Воробьевы Горы, МГУ, физический факультет, Специализированный Совет К 053.05.92 отделения радиофизики.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан 29 апреля 1998 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета К 053.05.92 кандидат физ.-мат. наук

И. В. Лебедева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современных научных и прикладных исследованиях одно из ведущих мест занимает физика нелинейных волн. В последние десятилетия сформировались такие важные направления, как нелинейная акустика, нелинейная оптика, нелинейные колебания и волны в плазме и т. д. При этом весьма часто результаты, полученные в одной из областей, переносятся на волновые явления другой физической природы. С практической точки зрения особый интерес представляют проблемы распространения модулированных во времени и пространстве волн в квадратичных и кубичных нелинейных средах. Их решению посвящено большое число работ. Однако в связи с развитием научных и прикладных исследований возникают новые постановки задач.

В акустике и оптике большие успехи достигнуты в методах генерации и 1рименения все более коротких сигналов. Так, акустические импульсы малой щштельности могут возбуждаться, к примеру, лазерным излучением, причем при распространении акустических волновых пакетов в вязкой квадратично-нелинейной :реде возникают особенности, не наблюдаемые для периодических сигналов. В свою эчередь, в оптике открываются новые возможности по генерации сверхкоротких шпульсов фемтосекундных длительностей; для описания распространения которых кобходимо учитывать высшие приближения теории дисперсии— эта задача особо истуальна для теории параметрических солитонов на квадратичной нелинейности, юзможность использования которых для передачи и обработки информации в юследнее время активно изучается.

Другая важная проблема — безинерционная самофокусировка волновых пучков а счет нелинейных свойств среды, которая наблюдается как в оптике, так и в кустике. Большой практический интерес представляет задача о расчете амофокусировки в кубично нелинейной среде при наличии нелинейного юглощения, которое в акустических полях обусловлено сильным поглощением на дарных фронтах, а в оптике наблюдается в средах с двухфотонным резонансом.

Благодаря нелинейным эффектам, проявляющимся при распространении нтенсивных ультразвуковых (УЗ) пучков в жидкости, могут возникать акустические ечения. Работающий на этом принципе акустический насос может найти применение

для перекачки агрессивных жидкостей, а также сред в труднодоступных местах. Анализ простой модели такого насоса с целью оценки его основных характеристик представляет большой практический интерес.

Целью работы является теоретическое исследование закономерностей распространения коротких сигналов и волновых пучков в нелинейных средах, а именно:

» изучение нелинейной эволюции коротких акустических импульсов, содержащих несколько осцилляции давления, в средах с вязким трением;

• построение и анализ решений для параметрических солитонов на квадратичной нелинейности с учетом дисперсии высших порядков, в том числе дисперсии нелинейного взаимодействия;

• изучение эволюции временных профилей колебательной скорости в акустическом пучке при его фокусировке на кубичной нелинейности;

• аналитическое описание явления самофокусировки с учетом дифракции, нелинейной рефракции, нелинейного поглощения;

• исследование модели акустического насоса с замыкающей трубой, использующего эффект возникновения акустических течений в поле мощных "УЗ пучков.

' Научная новизна работы заключается в следующем:

Предложено два новых класса точных аналитических решений уравнения Бюргерса для волновых пакетов, составленных из импульсов Ы- и Б-типов. Прослежены этапы их эволюции, включая образование ударных фронтов, взаимодействие составляющих волновой пакет импульсов и их слияние в один биполярный импульс. Отмечено, что свойства автомодельного импульса зависят от вида спектра: при наличии низкочастотных спектральных составляющих далее на больших расстояниях он остается нелинейной уединенной волной.

В рамках высших приближений теории дисперсии получены аналитические выражения для огибающих светлых и темных параметрических солитонов сверхмалой длительности, распространяющихся в среде с квадратичной

нелинейностью. Обнаружено, что за счет взаимной компенсации влияний линейной и нелинейной дисперсий форма найденных солитонов является симметричной. Установлена зависимость скорости распространения от амплитуд связанных волн.

В безаберрационном приближении проведено детальное исследование самофокусировки и дефокусировки оптических и акустических волновых пучков в кубично нелинейной среде при наличии нелинейного поглощения. Выявлена математическая идентичность уравнений для ширины пучка в этих двух физически разных задачах и получено его точное аналитическое решение. Определены области параметров среды и пучка, при которых реализуются режимы сильной дифракции или сильного самовоздействия при малом или значительном нелинейном поглощении.

Разработан модифицированный метод параксиального приближения для описания дифракции волновых пучков в среде с кубичной нелинейностью вплоть до образования разрывов. Полученные аналитические формулы позволили с хорошей точностью описать искажение временного профиля гармонической волны и изменение ширины пучка как при сильной, так и при слабой дифракции. Установлено, что при сильном самовоздействии в области до образования разрыва ширина пучка изменяется незначительно.

Получены оценки производительности акустического насоса, состоящего из основной и замыкающей труб, проанализирован процесс выхода течения на стационарный режим и оценено характерное время установления. Выявлено, что в основной трубе, через которую проходит интенсивный УЗ пучок, возникающее течение складывается из эккартовского "ветра" и пуазейлевского течения.

Научная и практическая значимость работы:

Выявленные особенности распространения коротких импульсов в вязкой среде позволяют впервые сформировать полную картину поведения интенсивных уединенных импульсов на всех стадиях их распространения — от формирования ударных фронтов, их нелинейно-диссипативного сглаживания — до вырождения нелинейности. Такое полное описание представляет особый интерес для приложений интенсивных акустических импульсов и ударных волн для целей промышленного «разрушающего контроля и медицинской диагностики.

Решения, найденные для параметрических солитонов с учетом дисперсии высших порядков, представляют собой принципиально новый результат в физике нелинейных волн, который может стать актуальным, например, для оптической обработки и передачи информации.

Исследования волновых профилей в кубично-нелинейных средах с учетом дифракции и нелинейного поглощения проведен впервые; полученные здесь результаты важны одновременно для нескольких разделов физики нелинейных волн (оптики, акустики и других). Найденные уникальные точные решения позволили получить простые формулы для ключевых параметров пучка. Результаты по самофокусировке пучка принципиально необходимы для определения предельных интенсивностей поля, достигаемых в нелинейной поглощающей среде.

Изучение динамики радиационно-стимулированных течений, проведенное впервые, представляет интерес для широкого круга ультразвуковых технологий. Одна из прикладных проблем — расчет ультразвукового насоса на основе эккартовского ветра (для акустической прокачки крови, агрессивных жидкостей и др.) — подробно проанализирована в диссертации.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на семинарах кафедры акустики, на Международном симпозиуме "Передовые материалы для оптики и оптоэлектроники" (Прага, Чехия, 1995), 8-й Международной конференции "Оптика лазеров" (Санкт-Петербург, 1995), V Всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (Красновидово, 1996), Международной конференции "Применение лазерных методов в биологии и охране окружающей среды" (Ираклион, Крит, 1996), Конференции молодых ученых (МГУ, Москва, 1996), Международной конференции "Лазерная обработка поверхности" (Лимож, Франция, 1997), школе НАТО "Современная фотоника с использованием квадратично-нелинейных процессов" (Созопол, Болгария, 1997), VI сессии Российского Акустического общества "Акустика на пороге XXI века" (Москва, 1997).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 17 опубликованных работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 98 наименований. Работа изложена на 106 страницах текста, включая 20 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор выбранных направлений исследований, обосновывается актуальность избранной темы, излагается общая постановка задач и описывается структура диссертации.

В первой главе диссертации исследуется распространение уединенных волн в квадратично нелинейных средах. Глава состоит из двух частей.

В первой части (1.1) рассматривается распространение коротких акустических сигналов, содержащих несколько осцилляций давления в вязкой квадратично нелинейной среде. Эта задача имеет большое практическое значение в связи с развитием методов генерации таких импульсов, в частности с помощью лазерного излучения. Формируемые сигналы могут иметь длительность всего в несколько наносекунд.

В первом параграфе П. 11) дается математическая постановка задачи. Приводится обзор различных точных и приближенных методов решения уравнения Бюргерса для нормированного профиля волны:

& 50 562

Поясняются принципиальные отличия в эволюции коротких импульсов по сравнению с периодическими возмущениями, связанные с особенностями проявления вязкого трения: 1) диссипация высокочастотных спектральных компонент определяет конечную ширину ударного фронта и темпы рассасывания фронта при последующем распространении волны и 2) диссипация низкочастотных компонент, проявляющаяся на больших расстояниях, приводит к расплыванию сигнала как целого.

Во втором параграфе П. 1.21 приводится два новых класса точных аналитических решений уравнения Бюргерса. Для их построения используется замена Хопфа-Коула, сводящая нелинейное уравнение Бюргерса к линейному диффузионному уравнению.

Полученные решения позволяют описать все стадии эволюции волновых пакетов, составленных из любого числа уединенных импульсов Б- или Ы- типов определенной формы:

В третьем и четвертом параграфах (1.1.3-4) анализируются этапы формирования и расплывания волновых пакетов, составленных соответственно из импульсов Б- и К- типов. Для простейших случаев слабого проявления нелинейности выписываются выражения, совпадающие с хорошо известными решениями. Этапы эволюции исследуется на примере волновых пакетов, составленных из трех импульсов. Приводятся выражения для автомодельных профилей сигналов, формирующихся на больших расстояниях. Оказывается, биполярный импульс Б-типа выбранной формы с медленно спадающими "хвостами" («0"\ см. формулу приведенную ранее) не переходит на линейный режим распространения даже на больших расстояниях, в отличие от импульса Ы-типа с экспоненциально спадающем со временем значением колебательной скорости.

В пятом параграфе (1.1.5) исследуется эволюция спектров рассмотренных ранее волновых пакетов. Выявлено, что разное поведение импульсов на больших расстояниях связано с отличием их спектров на низких частотах. В рассмотренном Б-импульсе присутствуют низкочастотные спектральные компоненты, а в Ы- импульсе они отсутствуют.

С целью более полного анализа данной проблемы в этой главе прослежена эволюция волновых пакетов с такими же формами огибающих, но обратньм чередованием областей сжатия и разрежения. Так как для таких сигналов не удается получить аналитические решения, было проведено численное моделирование. Сравнение полученных результатов показало, что, несмотря на одинаковые формы интенсивностей спектров, трансформация спектральных распределений протекает по-разному. Так происходит из-за различной динамики формирования ударных фронтов: в одном случае разрывы образуются быстрее и имеют большие амплитуды, чем в другом.

Проведенный анализ позволил выделить общие характерные стадии эволюции волновых пакетов, составленных из импульсов N- и S- типов: 1) образование локальных ударных фронтов у каждого из составляющих импульсов; 2) уменьшение крутизны фронтов и рассасывание более слабых составляющих импульсов, т. е. слияние их с сильным центральным импульсом; 3) образование из волнового пакета одного биполярного автомодельного импульса N- или S-тша в зависимости от начального профиля сигнала.

Во второй части (1.2) исследуются параметрические солитоны сверхмалой длительности в среде с квадратичной нелинейностью. Так как короткие сигналы обладают широким спектром, рассмотрение проводится с учетом высших приближений теории дисперсии. Отметим, что в экспериментах уже получены трехи двухлериодные импульсы фемтосекундной длительности.

В первом параграфе (1.2.1) дается обзор некоторых направлений развития теории параметрических солитонов.

Во втором параграфе (1.2.2) выписываются эволюционные уравнения для. огибающих волновых пакетов с несущими частотами СО, + Ю2 = <а3 :

ЭЛ, ЗА, д2Л,. д3А, ÔW,

—¿ + v —J- = iD -^ + Wry

dz J Ôx J dx J Ôx3 J ] 1 Ôx '

где WK2 = A3A^, exp(-iAk z), W3=AtA2 exp(;M z), Ьк - к3 - /с, - кг.

В этих уравнениях учитывается линейная дисперсия вплоть до третьего порядка, нелинейное взаимодействие на квадратичной нелинейности и дисперсия нелинейного взаимодействия. При обращении тех или иных параметров в ноль выписанная система переходит в хорошо известные и изученные ранее уравнения.

Далее в третьем параграфе (1.2.3) для приведенной системы уравнений приводятся два интеграла движения. Первый из них выражает закон сохранения энергии.

Четвертый параграф (1.2.4) посвящен поиску солитонных решений, т.е. описывающих распространение с одной скоростью параметрически связанных волновых пакетов, у которых форма огибающей остается неизменной. Оказывается, что для существования таких решений необходимо выполнение определенных

соотношений между параметрами, описывающими дисперсионные и нелинейные свойства среды.

В результате проведенного анализа находятся решения для светлых и темных (или "серых") солитонов с огибающими, пропорциональными зесЬ2(т + аг/Т) и

весь2 (т + а г/Т) - 2/3 соответственно. Здесь г и г— временная и пространственная координаты соответственно, а — поправка к скорости распространения, Т — длительность солитона. Причем возможность распространения солитонов одного или другого типа определяется характеристиками среды. Интересным фактом является то, что огибающие имеют симметричную форму, которая определяется взаимным влиянием дисперсии и нелинейности.

Амплитуды огибающих найденных параметрических солитонов обратно пропорциональны квадрату длительности. В свою очередь длительность обратно пропорциональна расстройке групповых скоростей. Отмечено, что учет дисперсии нелинейного взаимодействия приводит к зависимости скорости распространения солитона от величины его интенсивности.

Во второй главе исследуется самовоздействие волновых пучков в средах с кубичной нелинейностью, приводящее к самофокусировке или дефокусировке. В недиспергирукнцих средах самофокусировка развивается на фоне формирования ударных волн, и после формирования ударных фронтов возникает сильное

нелинейное поглощение. Аналогичная задача возникает при описании двухфотонной

»

самофокусировки оптического излучения.

Глава состоит из двух частей, в первой из которых рассматривается начальная область распространения, когда поглощением можно пренебречь, а во второй — самовоздействие на фоне нелинейного поглощения.

В первой части (2.1) для решения поставленной задачи в области до образования разрывов используется параксиальное приближение. Для более точного описания искажений профилей предлагается модифицированный подход.

В первом параграфе (2.1.1) выписывается уравнение типа Хохлова-Заболотской для среды с кубичной нелинейностью, на основе которого проводится дальнейшее рассмотрение без учета линейного поглощения. Кроме того, так как анализируется

область до образования разрывов, нелинейное поглощение не учитывается. В рамках развиваемого в работе аналитического метода учитывается влияние дифракции на искажение профиля волны и процесс ее самовоздействия. Для удобства проведения дальнейших расчетов уравнение приводится к безразмерному виду для пучков с круглым поперечным профилем:

где параметр Хохлова N, равный отношению характерных нелинейной и дифракционной дан, определяет степень проявления эффектов самовоздействия (самофокусировки или дефокусировки) на фоне дифракции пучка.

Отметим, что режим сильного самовоздействия на кубичной нелинейности может быть экспериментально исследован в резиноподобных средах. Скорость распространения сдвиговых волн в таких материалах очень мала. К примеру, в кремнийорганическом полимере полидиметилсилоксане она равна с0 и 217 см-сек. В этом полимере при интенсивности 1 = 0,01 Вт • см'1 на частоте \кГц длина образования разрыва составляет около 1 см. Путем изменения частоты, интенсивности и ширины пучка на входе можно изменять параметр N в широких пределах от сотых долей до единиц, т.е. можно реализовать режимы как слабого, так и сильного самовоздействия. В обычных твердых телах, где скорость поперечных волн составляет несколько километров в секунду, кубичные нелинейные эффекты проявляются слабее (ввиду их пропорциональности квадрату акустического числа Маха).

Во втором параграфе (2.1.2) для описания искажений профиля волны вблизи оси пучка используется параксиальное приближение, ранее примененное для анализа дифракции в квадратично-нелинейных средах. Этот метод основан на разложении поля в ряд по степеням Я2" поперечной координаты. При этом получается бесконечная система связанных уравнений.

Если ограничиться двумя первыми членами разложения, то система из двух уравнений имеет общую главную часть дифференциального оператора. Решение этой нелинейной системы записывается в параметрической форме. В работе в качестве

примера ' проанализирована эволюция исходной гармонической волны, локализовавшей в виде пучка с гауссовым поперечным профилем:

У(г = ОД Л) = ехр(- Я2)эЬ(в).

Полученное решение правильно, отражает две важные тенденции:

1) превращение исходного гармонического профиля в пилообразный с трапециевидными зубцами при достаточно сильно выраженном самовоздействии и

2) смещение нулей профиля волны, возрастающее с увеличением роли дифракции. Однако решение, полученное с использованием этого метода, хорошо описывает процессы только вблизи оси пучка и лишь на малых расстояниях.

В третьем параграфе (2.1.3') для решения поставленной задачи предлагается модифицированное параксиальное приближение, позволяющее более точно учесть набег фазы, обусловленный дифракцией и самовоздействием. С этой целью в исходном уравнении делается переход к переменным (Т = 0 - ^(г, Я); г; Я), после чего производится разложение в ряды по поперечной координате. При учете первых главных членов разложения в работе описаны искажения профилей в области до образования разрывов при значительном самовоздействии и учтено влияние нелинейности при сильной дифракции. Получено также выражение для ширины пучка. Проведенный анализ показал, что если длина дифракционного расплывания пучка меньше длины образования разрывов более чем в два раза, то временной профиль практически не искажается. При этом самовоздействие, хотя и слабое, сохраняется, в результате чего расходимость пучка отличается от расходимости в линейной среде. В противоположном случае слабой дифракции ширина пучка до образования разрыва меняется незначительно (пучок остается почти параллельным). Длина образования разрывов меняется слабо, однако заметно сдвигается положение нулей искаженной периодической волны. В промежуточном случае равенства нелинейной и дифракционной длин наблюдается как искажение профиля волны, так и значительный сдвиг нулей.

Во второй части (2.2) изучается дифракция волновых пучков при наличии самовоздействия и поглощения на кубичной нелинейности. Рассматриваются две физически разные задачи о распространении 1) интенсивных звуковых пучков, когда

нелинейное поглощение связано с образованием ударных фронтов (процесс формирования разрывов проанализирован в первой части этой главы), и 2) лазерных пучков в среде с двухфотонным поглощением, для которых значения нелинейньсх коэффициентов поглощения и показателя преломления определяются отстройкой от резонансной частоты.

В первом параграфе (2.2.1") рассматриваются особенности распространения акустических волновых пучков и лазерных пучков в нелинейных средах.

Для акустических волн характерно отсутствие дисперсии, поэтому при распространении интенсивного излучения происходит сильное искажение профиля волны, приводящее к образованию ударных фронтов. Именно их формирование и приводит к сильному нелинейному поглощению, зависящему от величины разрывов, т.е. от интенсивности звука. Причем следует отметить, что одна и та же кубичная нелинейность приводит к изменению скорости распространения волны (следствием чего является самофокусировка или дефокусировка) и к нелинейному поглощена;®).

Для оптического излучения характерна сильная дисперсия и высшие гармоники на кубичной нелинейности без принятия специальных мер не возбуждаются; волна при этом остается квазимонохроматической. При распространении лазерных пучков через пары металлов может наблюдаться двухфотонный резонанс, который ведет к изменению как действительной, так и мнимой части диэлектрической проницаемости (показателя преломления).

Во втором параграфе (2.2.2) вначале дается вывод уравнения для ширины пучка в безаберрационном приближении. Распространение акустических и оптических пучков описывается различными уравнениями: в первом случае используется модифицированное уравнение типа Хохлова-Забояотской для поля колебательной скорости, а во втором — нелинейной уравнение Шредингера для огибающей. Однако поведение безразмерной ширины пучка /(.?) подчиняется одному и тому же уравнению (в рамках сделанных приближений):

В это нелинейное интегро-дифференциальное уравнение входят параметр Хохлова N и коэффициент (3, характеризующий степень проявления нелинейного поглощения. Знак перед нелинейным членом в правой части а = ±1 определяет тип среды: самофокусирующая или дефокусирующая соответственно. Хотя это уравнение было ранее выведено для акустических пучков, оно было исследовано аналитически без учета дифракции. В диссертации найдено точное аналитическое решение полного уравнения в параметрическом виде через функции Бесселя, позволившее оценить ряд важных параметров пучка.

В третьем параграфе (2.2.3) исследуется случай самофокусирующей среды. Из найденного аналитического решения выводятся простые приближенные выражения для расходимости пучка в дальнем поле и его минимальной ширины в нелинейной перетяжке. Из сопоставления полученных формул следует, что в области за фокусом пучок распространяется практически как в линейной среде, т.е. значительная часть энергии пучка поглощается на этапе его самофокусировки.

Далее детально анализируются случаи большой мощности пучка на входе в среду, когда сильно проявляются нелинейные эффекты, и сильной дифракции, когда нелинейность приводит к некоторому уменьшению расходимости в дальнем поле. Показано, что наименьшего значения ширины перетяжки пучка можно достичь при умеренном вполне определенном значении интенсивности пучка. При дальнейшем увеличении мощности резко возрастает поглощение на начальном этапе распространения, и уменьшение ширины пучка в фокусе не наблюдается.

Параграф ("2.2.4") посвящен исследованию случая дефокусирующей среды. Анализ дефокусировки требует специального рассмотрения не только ввиду другой физической картины, но и потому что в точном решении для ширины пучка индекс входящих в него функций Бесселя становится мнимым (оставаясь реальным лишь при очень больших интенсивностях). Поэтому для вычисления расходимости пучка применяется метод ВКБ. Расчеты показывают, что при увеличении интенсивности расходимость вначале растет пропорционально квадратному корню из мощности. Затем наступает насыщение эффекта дефокусировки, когда нелинейная расходимость формируется в основном на начальном этапе распространения.

В третьей главе изучаются потоки жидкости в замкнутом объеме, возникающие под действием интенсивного звукового пучка. Глава состоит из двух частей, в первой из которых прослежена динамика установления эккартовских течений, а во второй рассмотрена модель акустического насоса с замыкающей трубой.

В первой части (3.1) изучается динамика установления эккартовских течений.

В первом параграфе (3.1.1) формулируется постановка задачи. Радиальная структура стационарного акустического течения в цилиндрической трубе, закрытой с обоих торцов, была рассчитана Эккартом. Позже в других работах было получено аналитическое решение для скорости течения в процессе его установления, при этом рассматривалась область вдали от торцов трубы, где зависимостью от продольной координаты можно пренебречь. Однако прямой анализ решения ввиду его сложности затруднен, а количественных расчетов произведено не было. Отметим, что уравнение для скорости потока имеет следующий вид:

Эг гдЛ дг) Х!

где У = Т|/р0 - кинематическая вязкость, р0К^=-6р/дх - градиент давления, •Р(г) - «сила», вызывающая акустическое течение (для простоты расчетов рассматривается пучок с равномерным по сечению распределением амплитуды: р(г) = А, 0 <г<^ и ^(г) = 0, г, <г < г0).

Во втором параграфе (3.1.2) с использованием численных расчетов анализируется процесс установления течения. На основе полученных результатов установлено, что когда акустический пучок занимает большую часть трубы, довольно долго профиль течения вблизи оси сохраняет однородность (затем он приобретает характерную параболическую форму), а противоток локализован в пристеночной области, при этом максимальные значения скорости тока и противотока оказываются близки. Напротив, в случае узкого пучка течение напоминает затопленную струю и вид радиального профиля скорости потока изначально определяется вязкостью; скорость тока жидкости на оси значительно превышает скорость тока в обратном направлении.

В третьем параграфе (3.1.3) анализируются зависимости градиента давления К({), приводящего к противотоку жидкости. Этот градиент вызывается реакцией торцевых стенок трубы, причем его значение оказывается таким, чтобы полный поток жидкости через поперечное сечение трубы был равен нулю (т.к. жидкость предполагается несжимаемой). Рассматриваются две характерные постановки задачи: 1) изменение радиуса трубы при фиксированных параметрах пучка; 2) варьирование радиуса пучка за счет его фокусировки. В обоих примерах в процессе установления градиент возрастает, однако его зависимости при росте отношения радиусов пучка и трубы оказываются различными: в первом случае наблюдается его увеличение, связанное с большим противотоком, а во втором — уменьшение, вследствие локализации прямого тока в узкой области и меньшего сопротивления противотоку.

В четвертом параграфе (3.1.4) приведен расчет потерь энергии в потоке на вязкое трение. В случаях фокусировки пучка или увеличения радиуса трубы потери возрастают, что связано с увеличением скорости потока и одновременно его локализацией в приосевой области, что хорошо следует из приведенных в этой главе данных. При уменьшении ширины пучка диафрагмой вначале также наблюдается возрастание потерь, однако затем полная мощность пучка уменьшается, течение ослабевает и соответственно потери стремятся к нулю.

Во второй части (3.2) рассматриваются акустические течения эккартовского типа, в которых полный объем перекачиваемой жидкости отличен от нуля, и анализируется модель акустического насоса.

В первом параграфе (3.2.1) ставится задачи о стационарном течении эккартовского типа в трубе с проницаемыми торцевыми перегородками. Рассмотрение основывается на тех же предположениях о структуре потока, что и в первой части этой главы. Из полученных в работе выражений следует, что поперечный профиль скорости течения складывается из эккартовского "ветра" и параболического пуазейлевского профиля.

Во втором параграфе (3.2.2) приводится схема акустического насоса, состоящего из двух соединенных друг с другом труб: основной, в которой течение вызывается проходящим через нее интенсивным УЗ пучком (поперечный профиль рассчитан в параграфе 3.2.1), и замыкающей, течение в которой определяется только разностью

давлений на концах первой трубы (поэтому профиль имеет чисто пуазейлевскую форму).

Следует отметить, что в свою очередь разность давлений на концах основной трубы легко находится как произведение градиента давления (зависимости для которого в случае замкнутой трубы детально проанализированы в первой части главы) на длину трубы (в пренебрежении пристеночными областями). Таким образом, нужно решать согласованную задачу о течении в двух трубах при условиях равенства как полных потоков через сечения труб, так и разности давлений на концах труб.

В третьем параграфе (3.2.3) рассчитывается производительность рассматриваемого акустического насоса. Так как структура стационарных течений известна, достаточно приравнять упомянутые выше параметры. После вычислений в работе получено выражение для производительности. Оценка для случая, когда пучок занимает всю основную трубу радиуса 2 см, замыкающая труба в 5 раз длиннее и в

4 раза тоньше основной, интенсивность в УЗ пучке равна 7 = 100 Вт -см'2 и коэффициент поглощения на частоте излучения 3 МГц составляет а = 0,1 см'1, дает величину производительности насоса порядка Q~ 10 г -сек'1. Подобные насосы могут представлять интерес для прокачивания агрессивных жидкостей, а также сред в труднодоступных объемах и замкнутых сосудах, где иные технические средства применить не удается.

В четвертом параграфе (3.2.4) анализируется процесс установления течения в акустическом насосе. Для этого решается система из двух уравнений, описывающих течения в основной и замыкающей трубах, при наличии упомянутых ранее условий. Получающееся в итоге аналитическое решение представляется в виде разложения в ряд по функциям Бесселя. Несмотря на громоздкость решений и сложность вычисления коэффициентов разложения, можно оценить характерное время установления по наиболее медленно спадающей собственной функции. Необходимо отметить, что, так как замыкающая труба тоньше и длиннее основной (а именно в этом случае справедливы сделанные приближения), время установления определяется главным образом параметрами основной трубы.

В заключении сформулированы основные результаты работы в виде следующих

положений:

1. В работе получены точные аналитические решения уравнения Бюргерса для волновых пакетов, составленных из импульсов Б- и типов определенной формы. Выведены формулы для профилей биполярных импульсов, получающихся на больших расстояниях. Проведенное исследование позволило выделитъ общие характерные стадии эволюции акустических волновых пакетов Ы- и Б-типов в вязкой квадратично-нелинейной среде: 1) образование локальных ударных фронтов у каждого из составляющих импульсов; 2) уменьшение крутизны фронтов и рассасывание более слабых составляющих импульсов; 3) образование из волнового пакета одного биполярного автомодельного импульса Ы- или 5-типа в зависимости от начального профиля сигнала. Особый интерес представляет формирование биполярного импульса, имеющего нечетный спектр с энергией, сосредоточенной на малых частотах. Такой импульс остается нелинейной уединенной волной Б-типа при сколь .угодно малой амплитуде сигнала.

Показано, что изменение полярности волнового пакета при неизменной форме огибающей приводит к другой динамике трансформации спектров.

2. Рассмотрена задача о распространении трех связанных волн в квадратично-нелинейной среде с учетом высших приближений теории дисперсии, необходимых для описания сверхкоротких сигналов. Для обобщенных уравнений огибающих волн получены законы сохранения, или интегралы движения. Найдены точные аналитические решения, описывающие симметричные профили огибающих параметрически связанных светлых и темных солитонов, выписаны условия их существования, проанализированы их характеристики. Установлена зависимость скорости распространения от амплитуды солитона.

3. Разработан модифицированный метод параксиального приближения для описания : дифракции волновых пучков в среде с кубичной нелинейностью вплоть до образования разрывов. Метод позволяет получить аналитические формулы, описывающие искажение временного профиля гармонической волны и изменение

ширины пучка с хорошей точностью как при сильной, так и при слабой дифракции.

4. Показано, что если длина дифракционного расплывания акустического пучка в кубично нелинейной среде меньше длины образования разрывов более чем в два раза, то временной профиль почти не искажается. Однако при этом влияние самовоздействия сохраняется, в результате чего расходимость пучка другая, чем в линейной среде.

В противоположном случае слабой дифракции ширина пучка до образования разрыва меняется незначительно (пучок остается почти параллельным). При этом длина образования разрывов меняется слабо, однако заметно сдвигается положение нулей искаженной периодической волны.

5. Проанализирована самофокусировка и дефокусировка оптических и акустических волновых пучков в безаберрационном приближении в кубично - нелинейной среде при наличии нелинейного поглощения. Выявлена математическая идентичность уравнений для ширины пучка в этих двух физически разных задачах.

6. Впервые с помощью предложенного в работе регулярного метода найдено точное аналитическое решение интегро-дифференциального уравнения для ширины пучка с учетом всех факторов, определяющих его поведение: самовоздействия, нелинейного затухания, дифракции и начальной фокусировки. Выведены аналитические формулы для нелинейной угловой расходимости в дальнем поле и минимальной ширины пучка в нелинейной перетяжке.

7. Определены области параметров среды и пучка, при которых реализуются режимы сильной дифракции или сильного самовоздействия при малом или значительном нелинейном поглощении.

Показано, что при самофокусировке поперечный размер пучка не может стать меньше величины, пропорциональной коэффициенту нелинейного поглощения (своеобразный эффект насыщения). Причем минимальное значение ширины пучка достигается при определенной мощности входного пучка, а при ее дальнейшем увеличении (уменьшении М) ширина перетяжки возрастает из-за увеличения нелинейного поглощения. Соответственно этому, нелинейная

расходимость пучка ограничена сверху.

Установлено, что вследствие значительной потери энергии пучок за нелинейной перетяжкой распространяется как в линейной среде.

8. На основе численных расчетов прослежена динамика установления эккартовского течения в отрезке трубы: проанализированы выражения для поперечных профилей скорости потока, зависимости градиента давления и потерь энергии на вязкое трение от параметров вызывающего течение интенсивного УЗ пучка и трубы. Рассмотрена задача о течении, когда полный поток жидкости через поперечное сечение не равен нулю; обнаружено, что в этом случае профиль течения слагается из эккартовского и пуазейлевского параболического распределений.

9. Детально исследована модель акустического насоса, основанная на возникновении течения в замыкающей трубе. Для этой схемы рассчитаны характеристики стационарного течения: полный поток, поперечные профили скорости, а также проанализирован процесс выхода течения на стационарный режим, оценено характерное время установления.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

1. Сухорукое А. А. Нелинейная эволюция широкополосных акустических сигналов в диссипативной среде. // Вестн. Моск. унив. Сер. физ. и астрон. 1994. Т. 49, № 3. С. 34-40.

2. Руденко О. В., Сухоруков А. А. Дифрагирующие пучки в кубично-нелинейных средах без дисперсии. // Акуст. ж. 1995. Т. 41. С. 822-827.

3. Сухоруков А. А. Эволюция спектров акустических волновых пакетов в нелинейной диссипативной среде. //Вестн. Моск. унив. Сер. физ. и астрон. 1996. Т. 51. №6. С. 98-102.

4. Руденко О. В., Сухоруков А. А. Самовоздействие световых пучков в средах с двухфотонньш поглощением. // Изв. РАН. Сер. физ. 1996. Т. 60, № 12, С. 6-15.

5. Rudenko О. V., Sukhorukov A. A. On the Focused Optical and Acoustic Beams in Media with Nonlinear Absorption. // Laser Methods for Biological Applications, SP1E Proceedings. 1996. V. 2965. P. 63-69.

6. Сухоруков А. А. К теории параметрически связанных солитонов с учетом дисперсии высших порядков. //Изв. РАН. Сер. физ. 1997. Т. 61, №12, С. 2348-2352.

7. Руденко О. В., С>хоруков А. А. Нестационарные эккартовские течения и прокачка жидкости в ультразвуковом поле. //Акуст. ж. 1998. Т. 44. №4. (в печати)

8. Karamzin Yu. N.. Potashnikov A. S., Sukhorukov A. A. Simulation of Nonlinear Propagation of Extremely Short Pulses // 8-th Int. Conf. "Laser Optics". Technical Digest. St. Petersburg, Russia. June 27 - July 1, 1995. P. 48

9. Sukhorukov A. A. "Nonlinear Propagation of Laser-Induced Acoustic Pulses with a Few Pressure Oscillations" // Int. Symp. on Adv. Materials for Optics (ALT-95). Advance Program. Prague, Czech Republic. Sept. 4-7, 1995. P. 52.

10. Rudenko О. V., Sukhorukov A. A. On the Focused Optical and Acoustic Beams in Media with Nonlinear Absorption. // Int. Conf. on Laser Methods for Biological and Environmental Applications (ALT-96). Advance Program. Heraklion, Crete, Greece. May 20-24, 1996.

11. Sukhorukov A. A. High-Order Dispersion Theory of Quadratic Nonlinear Surface Solitons. // Int. Conf. on Laser Surface Processing (ALT-97). Advance Program. Limoges, France. Sept. 8-12, 1997.

12. Sukhorukov A. A. On Parametric Coupled Solitons with High-Order Dispersion// NATO Advanced Study Institute; Advanced Photonics with Second-Order Optically Nonlinear Processes. Sozopol, Bulgaria. Sept. 21 — Oct. 3, 1997 (in press).

13. Руденко О. В., Сухоруков А. А. Самофокусировка и дефокусировка волновых пучков в диссипативных кубично-нелинейных средах. // V Всероссийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах". Московская область, Красновидово. Май 1996.

14. Сухоруков А. А. Нелинейные искажения частотных спектров уединенных импульсов в диссипагивной среде. // V Всероссийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах". Московская область, Красновидово. Май 1996.

15. Сухоруков А. А. Самовоздействие лазерных пучков при двухфотонном резонансе. // Конференция молодых ученых. МГУ, Москва. 15 октября, 1996.

16. Сухоруков А. А. К теории параметрически связанных солитонов с учетом дисперсии высших порядков. // VI Всероссийская школа-семинар "Физика и применение микроволн". Московская область, Красновидово. Май 1997.

17. Руденко О. В., Сухоруков А. А. Нестационарные акустические течения эккартоьского типа. // VI сессия Российского Акустического общества "Акустика на пороге XXI века". Москва. Октябрь 1997.

ООП Физ. ф-та МГУ Зак. 56-100-98