Параметрические каскадные и гибридные взаимодействия волновых пучков тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

На правах рукописи УДК 621.372; 621.373

Лобанов Валерий Евгеньевич ^^¿¿Г

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КАСКАДНЫЕ И ГИБРИДНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЛНОВЫХ

ПУЧКОВ

Специальность 01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на кафедре радиофизики физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук, профессор А. П. Сухорукое

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор В. А. Алешкевич

Доктор физико-математических наук, профессор А. И. Маймистов

Ведущая организация:

Институт радиотехники и электроники РАН

Защита диссертации состоится «У& » /ДйЛ- 2006 года в 15.00 часов на заседании Специализированного Совета Д.501.001.67 в МГУ им.М.В. Ломоносова по адресу: 119992, г.Москва, ГСП, Ленинские Горы, МГУ, физический факультет, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан «-¿^ » 2006 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета Д.501.001.6, кандидат физико-математических наук

А. Ф. Королев

А££££

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В последнее время большое внимание привлекают каскадные и гибридные взаимодействия нескольких волн в квадратично-нелинейных средах. В каскадных процессах возбуждаемые несинхронно волны могут приводить к параметрическому самовоздействию и нелинейной фазовой модуляции [1]. Гибридные процессы объединяют два или более типа параметрических взаимодействий, например генерацию второй гармоники и сложение частот [2, 3]. При использовании волновых пучков эти два процесса приобретают принципиально новые черты, благодаря которым возникают необычные механизмы параметрической локализации и переключения волн в пространстве.

Управление волновыми пучками является одной из важнейших проблем современной физики. Например, в бурно развивающейся фотонике изучаются различные методы контроля света с помощью света в квадратично-нелинейных средах. Один из известных способов основан на использовании взаимодействия узких пространственных параметрических солитонов [4]. При таком подходе требуются достаточно большие мощности для формирования солитонов, а также тщательный контроль относительных фаз взаимодействующих пучков, что представляет определенные трудности. Поэтому в диссертации проведен поиск новых механизмов переключения волн без генерации квадратичных солитонов.

Ранее было изучено параметрическое переключение посредством синхронного неколлинеарного взаимодействия пучков в системе дискретных нелинейных волноводов [5] и в однородном кристалле [6] с преобразованием частоты вверх или вниз. Однако оставались неясными возможности применения несинхронных каскадных процессов для управления волновыми пучками. Необходимо было изучить также особенности непланарного

взаимодействия пучков.

Необычные свойства открылись при исследовании гибридных волновых взаимодействий, основанных на одновременном протекании двух или большего числа параметрических процессов в одном квадратично-нелинейном кристалле [7]. Достижение фазового синхронизма сразу для нескольких взаимодействий стало возможным лишь недавно благодаря современным технологиям роста квадратичных кристаллов с периодически инвертированными доменами, хотя идея применения квазисинхронных взаимодействий была высказана Н. Бломбергеном еще в 1962 г [8]. Для описания подобных процессов наиболее часто используется метод вторичного упрощения, позволяющий свести периодически неоднородную среду к однородной квадратичной среде с усреднёнными коэффициентами нелинейности [9]. Позднее в [10] было показано, что благодаря несинхронному каскадному взаимодействию высших пространственных гармоник появляются эффекты, ассоциирующиеся с эффективной кубичной нелинейностью. Поэтому квазисинхронизм приводит иногда к качественным изменениям динамики преобразования частоты по сравнению с синхронными процессами в однородных квадратично-нелинейных средах.

Использование гибридных взаимодействий открывает уникальные возможности в фотонике на основе их применения с участием волновых пучков в квадратичных средах. Одним из наиболее интересных объектов изучения стали многокомпонентные гибридные пространственные солитоны [11], обладающие иными свойствами и более богатой динамикой по сравнению с обычными параметрическими солитонами.

Цель работы.

Целью настоящей работы является разработка нового метода управления направлением распространения волновых пучков, основанного на каскадном неколлинеарном трёхволновом параметрическом взаимодействии, а также развитие теоретических методов описания гибридных квазисинхронных взаимодействий одномерных волн и волновых пучков.

В соответствии с этим решались следующие задачи:

- разработка теории явлений параметрической рефракции и отражения при несинхронном неколлинеарном трёхчастотном взаимодействии;

- изучение особенностей гибридных параметрических взаимодействий трех волновых пучков, имеющих кратные частоты, в кристаллах с периодической модуляцией квадратичной нелинейности;

- вывод и численное решение уравнений, описывающих квазисинхронные гибридные параметрические взаимодействия волн на кратных частотах;

- исследование динамики и свойств трёхчастотных гибридных солитонов в квадратичных кристаллах с периодически инвертированными доменами с помощью разных моделей среды.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- Впервые развита теория параметрической рефракции, возникающей в поле мощного пучка накачки при неколлинеарном несинхронном трёхчастотном взаимодействии.

- Предсказан и детально описан эффект полного параметрического отражения без преобразования частоты. Выведены и решены уравнения для двумерных и трёхмерных траекторий отраженного пучка.

- Впервые гибридные квазисинхронные взаимодействия волновых пучков на трех кратных частотах рассмотрены на основе уравнений для средних амплитуд. Показано, что несинхронный вклад высших пространственных гармоник приводит к появлению наведенной кубичной нелинейности, снижающей эффективность дробного и кратного преобразования частоты.

- Найдены условия захвата волновых пучков в гибридные трёхчастотные пространственные солитоны. Изучены их свойства, включая устойчивость, с помощью метода усреднения и вариационного метода. Показано слабое влияние наведенной кубичной нелинейности на характеристики солитонов.

Достоверность результатов диссертации обеспечена корректностью постановок задач, использованием обоснованных методов расчета, а также

5

хорошим совпадением аналитических результатов с данными проведенного автором численного моделирования.

Научная и практическая значимость работы:

- Эффект несинхронного параметрического отражения может быть использован для оптического переключения световых пучков.

- Метод усреднения амплитуд в квадратичном кристалле с периодически инвертированными доменами позволяет с хорошей точностью описать динамику гибридных трёхчастотных квазисинхронных взаимодействий.

- Описаны свойства нового вида трёхчастотных пространственных солитонов, которые могут быть использованы как для полностью оптического переключения, так и в качестве носителей информации.

Полученные результаты могут быть использованы в других областях волновой физики.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Явление параметрической рефракции при несинхронном векторном взаимодействии сигнальной волны с мощным пучком накачки в квадратично-нелинейной среде.

2. Полное отражение волнового пучка без преобразования частоты благодаря параметрической рефракции. Расчет траектории сигнального пучка.

3. Эффект выпуклого «зеркала» при параметрическом отражении - влияние формы пучка накачки на угловую расходимость отраженного сигнала.

4. Метод усреднения в теории гибридных квазисинхронных процессов в квадратично-нелинейных средах с периодической доменной структурой при учете каскадного возбуждения высших пространственных гармоник.

5. Дифракционная теория гибридных взаимодействий волновых пучков на кратных частотах, объединяющих процессы удвоения и генерации суммарной частоты в среде с периодически инвертированными доменами.

6. Формирование, свойства и условия устойчивости трёхчастотных пространственных гибридных солитонов; расчет высокочастотных осцилляции амплитуд компонент солитона в условиях квазисинхронизма.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на IX и X Всероссийских школах-семинарах "Физика и применение микроволн" (Московская область, 2003, 2005 гг.), VIII и IX Всероссийских школах-семинарах "Волновые явления в неоднородных средах" (Московская область, 2002, 2004 гг.), V Международной конференции по математическому моделированию (Дубна, 2002), 56-й летней школе шотландских университетов по физике "Сверхбыстрая фотоника" (Сэнт-Эндрюс, Великобритания, 2002), XII, XIII, XIV Международных симпозиумах по лазерной физике (Гамбург, Германия, 2003, Триест, Италия, 2004 и Киото, Япония, 2005), XI конференции по лазерной оптике (Санкт-Петербург, 2003), II Международной конференции по лазерной оптике для молодых учёных (Санкт-Петербург, 2003), III Международной конференции молодых ученых и специалистов "Оптика - 2003" (Санкт-Петербург, 2003), Международных конференциях "Нелинейные управляемые волны и их применения" (NLGW-2004, 2005) (Торонто, Канада, 2004 и Дрезден, Германия, 2005), летней школе "Новые принципы в фотонике и оптических коммуникациях" (Дижон, Франция, 2004), Международном оптическом конгрессе "Оптика XXI век" (Санкт-Петербург, 2004), Международном конгрессе по оптике и оптоэлектронике (Варшава, Польша, 2005), V Международной конференции по фотонике, устройствам и системам (Прага, Чехия, 2005), VIII Международном симпозиуме по фотонному эху и когерентной спектроскопии ФЭКС'2005 (Калининград (Светлогорск), 2005), IX Международной научной школе "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" (Казань, 2005), Научной конференции «Ломоносовские чтения - 2006, Секция физики» (Москва, 2006).

Материал диссертации докладывался и обсуждался на семинарах кафедры радиофизики физического факультета МГУ.

Публикации.

Основные результаты диссертации изложены в 42 опубликованных работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 170 наименований. Общий объем работы составляет 119 страницы, включая 43 рисунка и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор литературы, обосновывается актуальность избранной темы, формулируются цель работы, защищаемые положения, научная новизна и практическая значимость, излагается общая постановка задач и описывается структура диссертации.

В первой главе изучается новый метод управления направлением распространения волновых пучков, основанный на неколлинеарном трёхчастотном параметрическом взаимодействии. Обсуждаются предсказанные автором эффекты параметрической рефракции и полного отражения при несинхронном неколлинеарном взаимодействии.

В первом параграфе рассматривается неколлинеарное взаимодействие мощного пучка накачки и слабого сигнального пучка в пленарной геометрии. Приводятся основные уравнения трёхчастотного параметрического взаимодействия:

дА. , д7 А. . дА, д2А,

a z дх az дх

ЗА, , д2А,

~ + 'd3-^- = iMmA3-iy,AlA2, (1)

где Aj - огибающая пучка, dJ = (2^)"' - коэффициент дифракции, yj =2nelxme2e3coJ/{cnJ) - коэффициент нелинейности, х(2> - тензор квадратично нелинейной восприимчивости, nf - линейный показатель

преломления; Акт = к, + к2 -къ - дисперсионная расстройка. При численном моделировании используются безразмерные величины: А1=А/ЕЬ, г = г//, х = х\у/, у;=уу£0/, Дк = Ак1, З^с!^/™2, где Е0 - максимальная начальная амплитуда, - начальная ширина пучка накачки, / - характерная длина, например, длина среды. Влиянием волны на разностной частоте можно пренебречь из-за малой эффективности генерации и большой волновой расстройки.

При несинхронном неколлинеарном параметрическом взаимодействии волна на суммарной частоте А, через каскадный механизм (А3 =(уэ/Лк)А1(х,г)А1, меняет показатель преломления на

сигнальной частоте Аг.

Профиль индуцированной неоднородности повторяет распределение интенсивности пучка накачки. В результате сигнальный пучок при входе в область накачки испытывает рефракцию, которая приводит к искривлению траектории. Исходная задача (1) сводится к анализу и решению только одного уравнения (2), в которое входит индуцированная неоднородность «„,(*, г).

Эффект параметрической рефракции наиболее четко проявляется, когда Акт=0 и волновая расстройка обусловлена только наклоном сигнального пучка: Ак = Ак: = к: +£]созв2 -к3со5в2 где 92 - начальный угол

наклона. В приближении геометрической оптики для планарного случая получено дифференциальное уравнение для траектории сигнального пучка:

Во втором параграфе изучается эффект несинхронного параметрического отражения. Показано, что при выполнении определенных соотношений между углом падения и характеристиками неоднородной среды в результате

8А

—-2- +1 с!г А±А 2= / кЛ(х,г)Л 2,пы= -(у2 Уз /(£2Д*))|Л,(*,г)|\ (2)

(3)

параметрической рефракции может произойти отражение сигнала от волны накачки. Этот эффект продемонстрирован путем численного моделирования (рис.1). Получено аналитическое выражение для предельного угла параметрического отражения, то есть для максимального начального угла между пучками сигнала и накачки, при котором отражение ещё возможно:

е„/ел# = с{к,к\у2 Гз *?Г • (4)

где 9Л#=2/(А, м>) - дифракционная расходимость волны накачки, =шах|4(х)|, С - коэффициент, зависящий от формы пучков. Правильность выражения (4) подтверждена численным моделированием при соотношении частот со2 = 2а>,, ш3 = Зсо, (см. рис. 2).

Ж

1...............-....................Н

Роо 2 00 4 00 6 00 8 00 10 00 12 00 14 00

30

25

* 20

15

10

5

0

20 30 40 50

(у у )1/2Е

и2'3' 1 лих

Рис. 1. Численное моделирование Рис. 2. Зависимость предельного угла

параметрического отражения сигнального параметрического отражения от амплитуды

пучка (со,) от пучка накачки (га,) С накачки, полученная аналитически по формуле

участием суммарной волны ((0)) ' при (4) Для С = 0.75 (сплошная кривая) и численно

(квадратики) при <о, =2ю., ш, =3ю., = 0.025, ш2=2«,„ в,-*»,, ¿,=0.025, \ адН 1 " 1

Д кт = 0.

Д*.=о, е,/е«, = ю.

В третьем параграфе описанные выше эффекты рассматриваются в непланарной (трёхмерной) геометрии, когда на входе в среду волновой вектор сигнального пучка направлен мимо оси пучка накачки (рис. 3). В отличие от

планарного взаимодействия характер нецентрального соударения зависит не только от угла между пучками сигнала и накачки 62, но и от параметра р = гй sin \|/, который по аналогии с задачами о рассеянии частиц можно назвать прицельным расстоянием. Для осесимметричной накачки уравнения траектории сигнального пучка имею следующий вид:

| = ±V^lVA2)-2«>)+2„>0), f = 02pAj- (5)

Для центрального столкновения пучков (р = 0) первое из уравнений (5) совпадает с уравнением для планарной геометрии (3) и для предельного угла параметрического отражения справедливо выражение (4). В работе изучается влияние прицельного параметра р на динамику процесса. Если он мал, то происходит отражение назад, то есть угол распространения пучка меняется почти на 180°. При увеличении прицельного расстояния угол рассеяния уменьшается. Наконец, когда оно превышает некоторую критическую величину, взаимодействие практически не происходит, и направление распространения сигнального пучка почти не меняется.

Далее анализируется весьма интересный эффект влияния формы поперечного сечения пучка накачки на угловую расходимость отраженного сигнала. Если пучок накачки обладает осевой симметрией и его ширина сравнима с шириной сигнального пучка, то параметрическая неоднородность пы (г) имеет значительную кривизну и сигнальный пучок отражается как бы от выпуклого параметрического зеркала. Отраженный пучок в этом случае становится расходящимся. На рисунке 4 представлены профили пучков до и после отражения. После отражения первоначально гауссов пучок приобретает форму полумесяца. Если пучок накачки много шире сигнальной волны, то

Пучох н&к&чки

Сигнальный пучок

Рис. 3. Схема нецентрального соударения пучков в цилиндрических координатах.

кривизна индуцированной неоднородности практически не сказывается и поперечное сечение отраженного пучка повторяет исходное.

Рис. 4. Поперечные сечения пучков до (слева) и после (справа) взаимодействия.

В четвёртом параграфе обсуждаются условия, при которых эффекты параметрического отражения проявляются наиболее ярко. В частности, показана необходимость разнесения пучков на вполне определенное расстояние, превышающее ширину пучка накачки. Получено выражение для предельного угла отражения при наличии дисперсионной расстройки Акт. В работе также изучен важный вопрос о влиянии несинхронной генерации разностной частоты на динамику отражения. Показано, что обычно вкладом этого побочного процесса можно пренебречь.

В пятом параграфе исследуется синхронное неколлинеарное взаимодействие пучков сигнала и накачки, когда дисперсионная волновая расстройка компенсируется взаимным наклоном пучков. В этом случае возможна эффективная перекачка энергии в волну на суммарной частоте. Численное моделирование показало, что направление распространения генерируемой волны зависит от интенсивности накачки. До определенной величины амплитуды накачки суммарная волна распространяется в

направлении, определяемом условиями векторного синхронизма. При превышении этой величины значительную роль начинает играть механизм параметрической рефракции и имеет место параметрическое отражение с преобразованием частоты вверх.

В шестом параграфе рассматриваются методы оптического переключения волновых пучков в пространстве, базирующиеся на эффекте параметрического отражения. Отмечается важная особенность параметрического переключения: путем изменения интенсивности накачки и расстояния между пучками можно эффективно управлять положением сигнала на выходе из нелинейного кристалла. Описывается параметрический волновод, состоящий из двух пучков накачки, между которыми распространяется слабый сигнал, поочередно от них отражающийся.

Вторая глава посвящена исследованию квазисинхронного гибридного параметрического взаимодействия плоских волн на кратных частотах.

В первом параграфе с помощью численного моделирования проводится сравнение процессов дробного и кратного преобразования частоты при фазовом синхронизме в однородных квадратично-нелинейных средах и при квазисинхронизме в кристаллах с периодической модуляцией нелинейной восприимчивости. Показано, что при увеличении интенсивности волны динамика процесса в этих средах может сильно различаться (рис. 5, 6). Особенно это заметно для процессов, для которых важно строгое соблюдение фазовых соотношений. Такое поведение волн объясняется тем, что в квадратичных фотонных кристаллах внутри инвертированных слоев волновой синхронизм не выполняется строго.

nr

Однородная среда

-Зсо •2(о

Квазисинхронный кристалл

и

-Зш

---2ш

О 2 4 б 8 10

Z

Рис. 5. Зависимость интенсивности второй и Рис. 6. Зависимость интенсивности второй и

третьей гармоник от расстояния в третьей гармоник от расстояния в

однородной среде при Р2 = 7.675, рз = 5, квазисинхронном кристалле при р2 = 7.675,

Ц(0^ = 1,|Л,(0^ = 0,М,3=0. Р,=5, |4(0)| = 1. И,,(0)Н, ¿*z3 =20071,

Л = 0.01.

Во втором параграфе рассматриваются методы анализа квазисинхронных процессов. Изначально система уравнений для медленно меняющихся амплитуд имеет вид

^^ = -ip(z) P3^3^jexp(- iAk3z)-ip(z) ^2A1A'¡exp(-iAk:iz), dz

dA2 dz dA dz

= -2i p(z) p3 Л з Л i ехр{-/Д£3 z) - ip(z) $2A*exp(iAk2z),

(6)

- = -3ip(z)^3A¡A2exp(iAk3z),

где А1 - комплексная амплитуда, р(г) - функция модуляции квадратичной восприимчивости, Акг =къ-к2-к„ Ак2 = к2-1к{ - расстройки волновых

2л(ое,хт е2е. . 2я со еЛт е2е, векторов, Р2 =-———, Рз =-——— - коэффициенты квадратичной

СП СП

нелинейности, отвечающие за двухчастотное и трехчастотное взаимодействия соответственно. При численном моделировании нормировка в (6) аналогична использовавшейся в уравнениях (1) первой главы.

Функцию модуляции коэффициентов квадратичной нелинейности р(г)

можно разложить в ряд Фурье: р(г) = £р„ехр(/л.Кг), где К = 2п/А, Л -период

модуляции. Полагая в (6), что Ак2-К = 0, Ысг-тК = 0, где т - целое число, и отбрасывая осциллирующие члены, получаем уравнения для гибридных процессов в однородной квадратичной среде с усреднёнными коэффициентами нелинейности:

с1А йА

—- = -1Р[ МХ-'А, МзЛ'.-у^=-*>-, Р:Л2-2¡Р. МЗЛ,'> (7)

¿г <22

И А

Этот метод получил название метода вторичного упрощения.

Более точный метод усреднения принимает во внимание высшие пространственные гармоники:

А = ¿¿¡„ехрОпКг), Аг = ¿а2„ехр(;пКг), Аъ = ¿а3„ехр(1п£г). (8)

№-« МИС

Считая, что парциальные амплитуды а)п медленно меняются по сравнению с быстро осциллирующим множителем ехр(; К г) и амплитуды высших гармоник являются величинами порядка \/К (К>>\) по сравнению с а/0, получаем уравнения для средних амплитуд а/0:

= М2<Ао*-'>„ Рз«зо«2о* +^,о(/,К„!2 +2/5К„[2 +/3|а10|2 +3/4|а20|2)+ + 3;/4азоа10'а10' + г/2а202аи',

р^,»2-2¡р„ р3«зо^.о*+^о(2у;кГ+2/,кГ +6ЛКГ)+ (9)

+ 41/2й30а20*аш, "ГЖ = Рз а20°

10 + ,азо

где ^ - константы, определяемые функцией модуляции коэффициента квадратичной нелинейности. В силу того, что уравнения (9) содержат кубичные по полю члены, появляющиеся за счёт несинхронного возбуждения высших пространственных гармоник, этот эффект получил название индуцированной (наведённой) кубичной нелинейности.

Метод усреднения используется в третьем параграфе при исследовании квазисинхронных гибридных процессов в средах с модуляцией квадратичной восприимчивости двух типов: знакопеременной ступенчатой функцией, используемой для описания кристаллов с регулярной доменной структурой (РДС-кристаллов), и по гармоническому закону. Сравнение численных решений уравнений (6), (7) и (9) показало, что метод усреднения описывает динамику гибридных квазисинхронных процессов точнее метода вторичного упрощения. Отмечено, что при использовании метода усреднения необходимо производить пересчет граничных условий.

В четвертом параграфе метод усреднения применен при анализе распространения квазистационарных волн в РДС-кристаллах. Сначала нелинейные моды были найдены с помощью метода вторичного упрощения, то есть в однородной среде. Найденные амплитуды были использованы в качестве граничных условий при численном моделировании реальной периодической структуры. Возникающие из-за квазисинхронизма пространственные осцилляции составили несколько процентов. Расчет квазистационарных мод с помощью метода усреднения с пересчетом граничных условий позволил снизить уровень осцилляций до десятых долей процента.

В третьей главе численными и аналитическими методами развита дифракционная теория гибридных квазисинхронных взаимодействий волновых пучков в квадратично-нелинейных кристаллах с периодически инвертированными доменами. Исследуется динамика локализации пучков в виде пространственных гибридных солитонов, их свойства и устойчивость.

В первом параграфе приводятся результаты численного моделирования процесса формирования гибридных трёхчастотных солитонов при накачке на первой гармонике. Показано, что динамика захвата солитона зависит от соотношения коэффициентов нелинейности, отвечающих за генерацию второй гармоники и трёхволновое смешение.

Во втором параграфе проанализированы особенности подобных солитонов в квазисинхронных кристаллах. Показано, что из-за наличия в среде большой дисперсионной расстройки солитон разрушается при переходе из среды с квазисинхронизмом в однородную квадратичную среду. Интенсивности захваченных в солитон гармоник осциллируют около средних значений с периодом, равным половине периода модуляции. Для объяснения осцилляций интенсивности был использован метод усреднения и получены следующие соотношения для интенсивности компонент солитона в РДС-кристалле:

, .2 8р, . . 2у^сов(21Кг) 83, . „ „ Лсоз(21Кг)

.2 86, „ « 2^со5(2/АГг) 160,. . . ^,соз(2/АГг) Л.*«» -¿"А 2, (4/-1) +"^~д30а20аю2,-*--

1г-т*У

(10)

. . 2 24р, „ „ „ Лео 8(21 К г)

пК

где о,0, а20, ам - усреднённые действительные огибающие частотных компонент солитона. Выражения (10) были подтверждены результатами численного моделирования (рис. 6, 7).

Ч о

200 400 600 800

Пространственная частота/

Рис. 6. Зависимость интенсивности третьей Рис. 7. Спектр пространственных гармоники на оси гибридного солитона от осцилляций интенсивности третьей расстояния. Пространственная частота гармоники на оси гибридного солитона. модуляции квадратичной восприимчивости /л=1/Л = Л:/271 = 100.

В третьем параграфе огибающие трех компонент гибридного солитона исследуются в модели однородной среды с помощью вариационного метода при задании пробных гауссовых функций. Величины амплитуд и ширин солитона, найденные путем минимизации величины лагранжиана, сравнивались с точными решениями солитонных уравнений для широкого набора параметров. В случае планарных солитонов вариационный метод позволяет рассчитать амплитуды компонент с ошибкой менее 5%. При этом интегралы движения системы, такие как энергия и гамильтониан, оцениваются с ошибкой, не превышающей 2%. Для (2+1 )Б солитонов погрешность вариационного метода составляет менее 9% для амплитуд и менее 4% для интегралов движения.

В четвёртом параграфе проводится численный анализ влияния наведенной кубичной нелинейности, появляющейся в РДС-кристаллах (см. (9)), на характеристики огибающей гибридных солитонов. Полученные результаты показали, что для достаточно широкой области параметров кубичными по полю поправками можно пренебречь и, следовательно, оценивать средние параметры квазисинхронных солитонов можно так же, как в модели однородного квадратичного кристалла, используя, например, вариационный метод.

В пятом параграфе изучается устойчивость гибридных солитонов с помощью критерия Вахитова-Колоколова. По этому критерию солитон устойчив, если производная от полной мощности Р по собственному значению д, имеющему смысл нелинейной добавки к волновому числу, имеет положительную величину:

¿Р/аТ?>0. (11)

Для анализа использовались характеристики пучков, рассчитанные вариационным методом. Найдены области неустойчивости планарных и осесимметричных пространственных гибридных солитонов.

В заключении сформулированы основные положения и выводы диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Обнаружено явление параметрической рефракции при неколлинеарном несинхронном взаимодействии в квадратично-нелинейной среде. Развитая оригинальная теория показала, что профиль индуцированной благодаря каскадному взаимодействию оптической неоднородности на сигнальной частоте повторяет распределение интенсивности накачки в среде.

2. Предсказан и изчучен эффект отражения волновых пучков без потери энергии. Выведены и решены уравнения для траектории сигнала. Получено выражение для предельного угла параметрического отражения при центральном соударении пучков.

3. Установлен эффект выпуклого параметрического «зеркала» - влияние формы пучка накачки на угловую расходимость отраженного сигнала. Рассмотрены особенности нецентрального взаимодействия пучков.

4. Параметрическое отражение может быть использовано для управления направлением распространения волновых пучков и пленения волн в параметрическом волноводе, стенками которого служат два пучка накачки.

5. Получены уравнения для средних амплитуд, описывающие квазисинхронные гибридные взаимодействия волн на кратных частотах с учетом возбуждения высших пространственных гармоник.

6. Установлены отличия свойств параметрически связанных квазистационарных мод и динамики дробного и кратного преобразования частоты в модели однородной квадратичной среды, модели среднего поля и при квазисинхронизме в реальных средах с периодической модуляцией квадратичной нелинейности.

7. Впервые описано явление захвата трёх гармоник в гибридный солитон в среде с периодической модуляцией квадратичной нелинейности при накачке на первой гармонике. С помощью метода усреднения получены выражения для пространственных осцилляций интенсивности частотных компонент квазисинхронных солитонов.

8. Вариационный метод адаптирован для расчета усредненных параметров огибающих трех компонент гибридных солитонов с высокой точностью. Найдены области устойчивости трёхчастотных гибридных солитонов.

ЛИТЕРАТУРА

1. G.I. Stegeman. "¿2) cascading phenomena and their applications to all-optical signal processing, mode-locking, pulse compression and solitons // Optical and Quantum Electronics. 1996. Vol. 28. P. 1691.

2. M.B. Комиссарова, А.П. Сухоруков. О свойствах параметрического усилителя света при кратном соотношении частот // Квантовая электроника. 1993. Т. 20. № 10. С. 1025.

3. А.С. Чиркин, В.В. Волков, Г.Д. Лаптев, Е.Ю. Морозов. Последовательные трёхчастотные волновые взаимодействия в нелинейной оптике периодически-неоднородных сред // Квантовая электроника. 2002. Т. 30. № 10. С. 847.

4. A.V. Buryak, P. Di Trapani, D.V. Skryabin, S. Trillo. Optical solitons due to quadratic nonlinearities: from basic physics to futuristic applications // Physics Reports. 2002. Vol. 370. P. 63.

5. T. Pertsch, U. Peschel, F. Lederer. All-optical switching in quadratically nonlinear waveguide arrays // Opt. Lett. 2003. Vol. 28. № 2. P. 102.

6. A.K. Сухорукова, А.П. Сухоруков. Оптическое переключение пучков при параметрическом преобразовании частоты вверх // Изв. РАН. Сер. Физ. 2004. Т. 68. №12. С. 1720.

7. S.M. Saltiel, А.А. Sukhorukov, Yu.S. Kivshar. Multistep parametric processes in nonlinear optics // Progress in Optics. 2005. Vol. 47. P. 1.

8. J.A. Armstrong, N. Bloembergen, J. Ducuing, P.S. Pershan. Interactions between light waves in a nonlinear dielectric // Phys. Rev. 1962. Vol. 127. № 6. P. 1918.

9. А.С. Чиркин, Д.Б. Юсупов. Квазисинхронные параметрические взаимодействия оптических волн при равенстве групповых скоростей // Квантовая электроника. 1982. Т. 9. № 8. С. 1625.

20

10. C.B. Clausen, О. Bang, and Yu.S. Kivshar. Spatial solitons and induced Ken-effects in quasi-phase-matched quadratic media // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78. № 25. P. 4749.

11. Ю.С. Кившарь, Г.П. Агравал. Оптические солитоны. От волоконных световодов до фотонных кристаллов // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.648 с.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. В.Е. Лобанов, А.П. Сухоруков. Динамика захвата трех гармоник в пространственный солитон в квадратичных кристаллах с периодически инвертированными доменами // Известия РАН. Сер. физическая. 2002. Т. 66. С. 1783.

2. V.E. Lobanov, А.Р. Sukhorukov, I.G. Zakharova. Modeling of trapping three harmonics into spatial solitons in quadratic periodically poled crystals // Book of abstracts of V International conference on mathematical modeling. Dubna, Russia. 2002. Vol. 1. P. 204.

3. V.E. Lobanov. Trapping of spatial QPM solitons with third harmonic multistep cascading // SUSSP 56 - Ultrafast Photonics, Scotland, St. Andrews, University of St. Andrews, School of Physics and Astronomy, 1-14 September 2002. Poster section. P 11.

4. V.E. Lobanov, A.P. Sukhorukov. Trapping of spatial QPM solitons with third harmonic multistep cascading // Technical Digest of 2002 OSA Annual Meeting/LS-XVIII, USA, Orlando. ThH5.

5. B.E. Лобанов, А.П. Сухоруков. Динамика захвата трех гармоник в пространственный солитон в квадратичных кристаллах с периодически инвертированными доменами // Труды VIII всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах", Красновидово, 2002. Ч. 1. С. 41.

6. В.Е. Лобанов. Трехволновое взаимодействие дифрагирующих пучков в квазисинхронных квадратичных средах // Сборник тезисов Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов - 2002», МГУ, Москва, 2002. С. 132.

21

7. В.Е. Лобанов, А.ГТ. Сухоруков. Гибридные параметрические солитоны в нелинейных фотонных кристаллах // Известия вузов. Радиофизика. 2003. Т. XLVI. № 5-6. С. 407.

8. В.Е. Лобанов, А.П. Сухоруков Метод усреднения в теории каскадных квазисинхронных взаимодействий // Известия РАН. Сер. физ. 2003. Т. 67. С. 1729.

9. V.E. Lobanov, А.Р. Sukhorukov. Trapping of three-colour spatial solitons with QPM multistep cascading // Advance Programme of CLEO®/Europe - EQEC 2003, Munich, Germany, 22 - 27 June 2003. P. 99.

10. A.P. Sukhorukov, V.E. Lobanov. Interactions of optical beams in quadratic photonic crystals // Book of Abstracts of 12th International Laser Physics Workshop, Hamburg, Germany, 25 - 29 August, 2003. P. 274.

11. A.P. Sukhorukov, V.E. Lobanov. Hybrid parametric solitons in quadratic photonic crystals // Technical Digest of International Conference and Symposium ILLA / LTL '2003, Plovdiv - Smolyan, Bulgaria, September 27 - October 1,2003. P. 145.

12. A.P. Sukhorukov, V.E. Lobanov. Hybrid quadratic solitons in photonic crystals // Technical Program of XI Conference on Laser Optics, St. Petersburg, Russia, June 30 - July 4, 2003. P. 26.

13. V.E. Lobanov, A.P. Sukhorukov. Generation and trapping of optical beams in quadratic photonic crystals // Technical Digest of Second International Conference on Laser Optics for Young Scientists, St. Petersburg, Russia, June 30 - July 4, 2003. P. 82.

14. А.П. Сухоруков, В.Е. Лобанов. Нелинейная оптика квадратичных фотонных кристаллов // Тезисы международной конференции "Лазерная физика и применение лазеров", Минск, Белоруссия, 14-16 мая 2003. С. II - 10у.

15. В.Е. Лобанов, А.П. Сухоруков. Каскадные трёхчастотные солитоны // Труды IX Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн", Звенигород, 26-30 мая 2003. Часть 2. С. 104.

16. В.Е. Лобанов, А.П. Сухоруков. Метод усреднения в теории трехволновых взаимодействий при двойном квазисинхронизме // Труды IX Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн", Звенигород, 26-30 мая 2003. Часть 2. С. 102.

17. В.Е. Лобанов, А.П. Сухорукое. Метод среднего поля в теории гибридных квазисинхронных процессов // Сборник трудов III Международной конференции молодых ученых и специалистов "Оптика - 2003", Санкт-Петербург, 20-23 октября 2003. С. 49.

18. V.E. Lobanov and А.Р. Sukhorukov. Hybrid three-frequency parametric solitons in quadratic photonic crystals // Laser Physics. 2004. Vol. 14. № 5. P. 669.

19. C.B. Ермакова, В.Е. Лобанов, А.П. Сухорукое. Амплитудные осцилляции квазистационарных волн в среде с периодической модуляцией квадратичной нелинейности // Известия РАН. Сер. физ. 2004. Т. 68. С. 1744.

20. В.Е. Лобанов, А.П. Сухоруков. Анализ свойств гибридных солитонов // Известия РАН. Сер. физ. 2004. Т. 68. С. 1748.

21. А.Р. Sukhorukov, V.E. Lobanov. Hybrid quadratic soliton in periodically poled crystals // Technical Digest of "Nonlinear Guided Waves and Their Applications", Westin Harbor Castle, Toronto, Canada, March 28-31, 2004. P. MC26.

22. V.E. Lobanov, A.P. Sukhorukov. Three-frequency parametric solitons in quadratic photonic crystals // Abstracts of II International Conference "Frontiers Of Nonlinear Physics", Nizhny Novgorod - St. Petersburg, Russia, July 5 - 12, 2004. P. 35.

23. V.E. Lobanov and A.P. Sukhorukov. Characterization of three-wave spatial solitons // Book of Abstracts of 13th Int. Laser Physics Workshop (LPHYS'04). Trieste, Italy, July 12-16,2004. P. 290.

24. V.E. Lobanov. Characterization of the hybrid three-wave spatial solitons // Abstracts of Summer School "New Concepts in Photonics and Optical Communications", Dijon, France, June 21-25,2004. P. 5.

25. V.E. Lobanov. Characterization of the hybrid three-wave spatial solitons // Program of 12th International School-Conference "Foundations and Advances in Nonlinear Science", Minsk, Belarus, September, 27-30,2004. P. 2.

26. B.E. Лобанов, А.П. Сухоруков. Исследование свойств трехчастотных гибридных солитонов // Сборник трудов Международный конференции "Фундаментальные проблемы оптики - 2004", Санкт-Петербург, 18-22 октября 2004 года. С. 86.

27. C.B. Ермакова, В.Е. Лобанов, А.П. Сухоруков. Теория квазистационарных трехчастотных параметрически связанных волн в квадратичном фотонном кристалле // Сборник трудов Международный конференции "Фундаментальные проблемы оптики - 2004", Санкт-Петербург, 18-22 октября 2004 года. С. 237.

28. В.Е. Лобанов, А.П. Сухоруков. Исследование свойств трёхчастотных каскадных солитонов // Труды IX Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах", Звенигород, 24-29 мая 2004. Секция 2 "Оптика неоднородных и нелинейных сред". С. 31.

29. C.B. Ермакова, В.Е. Лобанов, А.П. Сухоруков. Исследование распространения стационарных плоских волн в среде с периодической модуляцией квадратичной нелинейности // Труды IX Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах", Звенигород, 24-29 мая 2004. Секция 2 "Оптика неоднородных и нелинейных сред". С. 13.

30. В.Е. Лобанов, А.П. Сухоруков. Области устойчивости гибридных параметрических солитонов // Известия РАН. Серия физическая. 2005. Т. 69. № 8. С. 1158.

31. В.Е. Лобанов, А.П. Сухоруков Параметрическое отражение волновых пучков при несинхронном трёхчастотном взаимодействии // Известия РАН. Серия физическая. 2005. Т. 69. № 12. С. 1775.

32. А.Р. Sukhorukov, V.E. Lobanov. All-optical switching via vector parametric interaction // Technical Digest of "Nonlinear Guided Waves and Their Applications", Dresden, Germany, 6-9 September, 2005. P. ThB17.

33. A.P. Sukhorukov, V.E. Lobanov. Parametric refraction and reflection // Int. Congress on Optics and Optoelectronics, Warsaw, Poland, 28 Aug. - 2 Sept., 2005. P. 5949-47.

34. V.E. Lobanov, A.P. Sukhorukov and A.K. Sukhorukova. All-optical switching with parametric refraction and reflection // Book of Abstracts of 14th Int. Laser Physics Workshop, Kyoto, Japan, July 4-8,2005. P. 292.

35. B.E. Лобанов, А.П. Сухоруков. Параметрическое отражение волновых пучков при несинхронном трёхчастотном взаимодействии // Труды X Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн", Звенигород, 23-28 мая 2005. Секция 4 "Когерентные и нелинейные явления". С. 13.

36. Valeiy Lobanov, Anatoly Sukhorukov. Parametric refraction and reflection of tilted optical beams in quadratic media // Book of Abstracts of the 5th International Conference on Photonics, Devices and Systems, June 8-11, 2005, Prague, Czech Republic. P. 71.

37. B.E. Лобанов. Параметрическая рефракция в квадратично-нелинейных кристаллах // VIII Международный Симпозиум по фотонному эху и когерентной спектроскопии (ФЭКС'2005), Калининград (Светлогорск), Россия, 18-25 сентября 2005. С. 10.

38. V.E. Lobanov, A.P. Sukhorukov, A.K. Sukhorukova. Parametric spatial switching: new effects and applications // Advance Programme of CLEO®/Europe -EQEC 2005, Munich, Germany, 12 -17 June 2005. P. 53.

39. V.E. Lobanov, A.P. Sukhorukov, A.K. Sukhorukova Parametric reflection of inclined beams // Technical Digest of International Conference on Coherent and Nonlinear Optics (ICONO) 2005), St. Petersburg, Russia, May 11-15,2005. IThS47.

40. B.E. Лобанов Нелинейное взаимодействие неколлинеарных оптических пучков // Сборник статей IX Международной молодежной научной школы "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия". КФТИ, Казань, 27 ноября -29 ноября, 2005. С. 153.

41. A.P. Sukhorukov, V.E. Lobanov, S.V. Ermakova. Mismatched three-wave interaction of optical noncollinear beams in nonlinear media // Proceedings of SPIE. 2006. Vol. 6181. P. 236.

42. B.E. Лобанов. Упругие соударения волновых пучков в квадратично-нелинейных средах // Труды Научной конференции Ломоносовские чтения -2006. Секция физики. Подсекция N 2 - Радиофизика, физическая электроника и акустика. Москва, 2006.

I

к»

Подписано к печати Тираж /СР Заказ

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

¿ÛÛ6A fJLSZ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ РЕФРАКЦИЯ И ОТРАЖЕНИЕ ВОЛНОВЫХ ПУЧКОВ ПРИ НЕКОЛЛИНЕАРНОМ ТРЁХЧАСТОТНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ.

1.1. Параметрическая рефракция при несинхронном трёхчастотном взаимодействии.

1.2. Отражение волновых пучков.

1.3. Динамика трёхмерного взаимодействия пучков.

1.4. Условия эффективного отражения.

1.5. Синхронное отражение с преобразованием частоты.

1.6. Оптическое переключение и параметрический волновод.

ГЛАВА 2. ГИБРИДНОЕ ТРЁХЧАСТОТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ПЕРИОДИЧЕСКИ-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ.

2.1. Дробное и кратное преобразование частоты при фазовом синхронизме и квазисинхронизме.

2.2. Приближенные методы анализа квазисинхронных взаимодействий.

2.3. Исследование гибридных квазисинхронных взаимодействий с помощью метода усреднения.

2.3.1. Знакопеременная модуляция квадратичной восприимчивости.

2.3.2. Гармоническая модуляция восприимчивости.

2.4. Амплитудные осцилляции квазистационарных волн в среде с периодической модуляцией квадратичной нелинейности.

ГЛАВА 3. ГИБРИДНЫЕ ТРЁХЧАСТОТНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СОЛИТОНЫ.

3.1. Генерация гибридного трёхчастотного пространственного солитона.

3.2. Осциллирующий солитон при квазисинхронизме.

3.3. Вариационный метод расчета параметров огибающей.

3.4. Исследование влияния индуцированной кубичной нелинейности на характеристики солитона.

3.5. Анализ устойчивости гибридных трёхчастотных пространственных солитонов.

В последнее время большое внимание привлекают каскадные и гибридные взаимодействия нескольких волн в квадратично-нелинейных средах. В каскадных процессах возбуждаемые несинхронно волны могут приводить к параметрическому самовоздействию и нелинейной фазовой модуляции. Гибридные процессы объединяют два или более типа параметрических взаимодействий, например генерацию второй гармоники и сложение частот. При использовании волновых пучков эти два процесса приобретают принципиально новые черты, благодаря которым возникают необычные механизмы параметрической локализации и переключения волн в пространстве.

Одной из наиболее интересных проблем оптики является возможность управления световыми пучками. Долгое время для этого использовались оптоэлектронные устройства, обладающие сравнительно малым быстродействием. В последнее время бурно развивается фотоника, изучающая и применяющая различные методы управления светом с помощью света [1-3]. Такой подход позволяет уменьшить размеры телекоммуникационных устройств, повысить их быстродействие. Один из методов чисто оптического переключения основан на использовании характерных свойств и взаимодействия узких пространственных солитонов [4-15]. Солитон распространяется в нелинейной среде без искажения формы, а значит, его можно рассматривать как естественный "бит" информации. Взаимодействие солитонов может быть использовано для реализации логических операций и, в дальнейшем, для создания чисто оптических компьютеров. В работах [16-20] для этих целей рассматривались столкновения векторных, то есть состоящих более чем из одной компонент поля, солитонов в кубичных средах. В кубично-нелинейной среде свет высокой интенсивности вызывает увеличение локального показателя преломления и, таким образом, сам приводит к образованию волновода в однородной среде - образовавшийся пространственный солитон может служить волноводом для более слабого пучка. Сталкивающиеся солитоны образуют сложную перекрещивающуюся волноводную структуру, которая может использоваться, например, как X

Ф ответвитель или (NxN) - переключатель. Пробный луч, имеющий ту же частоту, что и накачка, распространяющийся в одном из каналов, не имеет отраженного компонента. Он проходит сквозь область взаимодействия солитонов, и его энергия полностью распределяется между выходными каналами. Это одно из наиболее важных свойств (NxN) - переключателей. К настоящему времени предложены и изучены различные виды таких устройств [21-24].

Система уравнений для огибающих волновых пучков в квадратичнонелинейной среде относится к классу неинтегрируемых систем, и это приводит к появлению новых эффектов, отсутствующих в классических моделях НУШ. Среди них — неупругое взаимодействие солитонов, всегда сопровождаемое излучением части мощности, эффект слияния нескольких солитонов в один и пр. [25-29]. Уникальный характер взаимодействия квадратичных солитонов создает основу для чисто-оптического пространственного переключения световых пучков. Рассматривая их трехмерные взаимодействия [30-37], в определенном смысле можно говорить о траекториях, описываемых центрами поперечных сечений пучков. В зависимости от типа взаимодействия (притяжение или отталкивание) и начальных условий (расстояние между пучками, углы наклона осей) траектории могут иметь самый разнообразный вид. Среди разных типов непланарных взаимодействий можно выделить, например, эффект закручивания пространственных солитонов в спираль: если два притягивающих друг друга солитона наклонены так, что их волновые вектора лежат в параллельных плоскостях и наклонены в разные стороны под определенным углом, то пучки образуют структуру, напоминающую двойную спираль ДНК [38-39].

Однако, при использовании солитонов требуются достаточно большие мощности для их генерации, и строгий контроль относительных фаз взаимодействующих пучков, что представляет определенные трудности.

В последнее время появились работы, в которых описываются новые механизмы, позволяющие управлять оптическими пучками без генерации солитонов в квадратично-нелинейных кристаллах. В работах [40-43] описывается чисто оптическое переключение в пространстве посредством трехчастотного неколлинеарного синхронного взаимодействия в поле высокоинтенсивной волны накачки в однородном кристалле и в системе дискретных нелинейных волноводов. При векторном синхронизме сигнальный пучок пересекает пучок накачки под некоторым углом и возбуждает холостую волну, идущую во встречном направлении. Другими словами, сигнальная и холостая волны выходят по разные стороны от пучка накачки. Таким образом, отраженная волна приобретает частоту холостой волны: суммарную, в случае низкочастотной накачки [40] и разностную, в случае высокочастотной [41]. Коэффициент отражения зависит от величины амплитуды накачки. В [42-43] экспериментально показано, что для переключения направления распространения пучков достаточно мощности накачки в несколько ватт, а мощность сигнальной волны может составлять всего лишь несколько милливатт. Все вышеописанные процессы протекают в синхронном режиме, так их целью является эффективный перенос энергии от волны на одной частоте к волне на другой частоте. Однако есть методы, не требующие фазового согласования. Некоторые из них базируются на каскадном механизме параметрического взаимодействия [44-45]. Вдали от синхронизма при генерации второй гармоники волна на основной частоте практически не ослабевает. Однако благодаря каскаду из двух процессов, генерации второй гармоники и генерации разностной частоты, она приобретает дополнительный фазовый набег, обратно пропорциональный расстройке волновых векторов. Этот эффект, впервые описанный ещё в 1967, напоминает самовоздействие в кубично-нелинейных кристаллах [46-47]. Для больших расстроек зависимость сдвига фазы первой гармоники от входной мощности при каскадном взаимодействии практически линейна, как и в кубичных средах. Для меньших расстроек зависимость является более сложной, ступенчатой. Каскадный механизм генерации большого, зависящего от интенсивности излучения, сдвига фазы нашёл применение для оптического переключения, сжатия импульсов, синхронизации мод.

Большой интерес представляют гибридные параметрические взаимодействия, основанные на одновременном протекании двух или нескольких параметрических процессов в одном квадратично-нелинейном кристалле. К ним мы относим, например, следующие взаимодействия: со + со = 2а> и 2<х> + со = За> или со + со = 2со и 2со + 2со = 4со. В отечественной литературе их иногда называют последовательными [48-49], а в зарубежной -многоступечатыми каскадными [50]. Использование гибридных взаимодействий открывает широкие возможности для создания разнообразных оптических переключателей и делает возможной одновременную генерацию двух и более оптических гармоник или суммарных и разностных частот в одном нелинейном кристалле [51]. Данные процессы уже достаточно хорошо изучены теоретически. В [48, 51-57] проведен анализ трёхволнового гибридного взаимодействия на кратных частотах и найдены условия для осуществления дробного и кратного преобразования частоты со 100% эффективностью по энергии, в том числе и гибридного утроения частоты. В частности, было показано, что эффективное утроение частоты в квадратичном кристалле возможно только при определенном соотношении коэффициентов нелинейности, отвечающих за вырожденное и невырожденное трёхчастотное взаимодействие. Генерация четвертой и пятой гармоник была подробно исследована в работах [50, 58-60]. Как оказалось, при достижении точного синхронизма высокоэффективная гибридная генерация четвёртой гармоники возможна при любых отношениях соответствующих коэффициентов нелинейности, а генерация пятой гармоники - только при определенном отношении. При каскадировании ГВГ первого и второго типов возможна генерация волны с ортогональной поляризацией, что позволяет построить устройство для нелинейного вращения поляризации [61-62]. Реализуя каскад из процессов ГВГ или генерации суммарной частоты и генерации разностной частоты, можно осуществлять сдвиг частоты (сор + о>р = 2<ор и юс = 2ыр -со5) и использовать этот процесс для мультиплексирования и демультиплексирования [63-66]. Основная сложность при реализации процессов такого типа заключается в достижении одновременного синхронизма по всем каналам взаимодействия, поэтому долгое время такие процессы изучались только теоретически. Выполнение условий синхронизма в прозрачных изотропных диспергирующих нелинейных кристаллах невозможно в силу наличия нормальной дисперсии [67-69]. Использование эффекта аномальной дисперсии в области поглощения вызывает значительные трудности вследствие больших потерь либо лазерного излучения, либо излучения второй гармоники и нагрева кристалла.

Классический метод фазового согласования был предложен в 1962 году Джордмэйном. В своей работе [70] он показал, что в анизотропных кристаллах дисперсионную разницу фазовых скоростей можно скомпенсировать за счет различия в условиях распространения волн различной поляризации (обыкновенные и необыкновенные волны). Этот подход был экспериментально реализован уже в начале 60-х годов и широко используется до сих пор. Однако этот метод не лишён недостатков. Во-первых, может происходить снос энергии из области взаимодействия за счет двулучепреломления. Во-вторых, эффективные коэффициенты нелинейности малы из-за несовпадения направлений синхронизма и максимальной величины нелинейности. Также в процессе развития нелинейной оптики выявились дополнительные требования к свойствам кристаллов, важные с точки зрения достижения фазового синхронизма. Среди них отметим большие значения угловой, температурной и спектральной ширин синхронизма, малые потери, слабое влияние конкурирующих процессов (например, вынужденного комбинационного рассеяния), неподверженность к появлению центров окраски под действием УФ и более коротковолнового излучения, отсутствие фоторефрактивного эффекта и нелинейного поглощения, специальной ориентации и специальной геометрической формы кристаллического образца. Как оказалось, полный фазовый синхронизм за счет двулучепреломления достигается в ограниченных классах кристаллов и только в определенных частотных диапазонах.

Решение проблемы наметилось в 1962 г., когда А. Армстронг и Н. Бломберген с сотрудниками предложили сразу 3 способа осуществления фазового синхронизма [71]. В первом способе синхронизм осуществлялся за счет использования стопы тонких пластинок из нелинейно-оптического материала, направление оптической оси которых периодически (от пластины к пластине) меняет свой знак. Во втором способе предлагалось использовать оптический волновод из нелинейно-оптического материала, сконструированный таким образом, что обобщённая фаза при полном внутреннем отражении от стенок волновода изменяется на п. Третий способ заключался в использовании интерферометра, заполненного нелинейной средой и настроенный на волну второй гармоники. Общим во всех этих способах являлось то, что толщина каждой пластины, или величина пути одного прохода света между стенками волновода, или толщина интерферометра должны быть равны когерентной длине при генерации второй гармоники, на которой (даже при весьма больших расстройках) амплитуда второй гармоники не убывает. Перескок обобщенной фазы на п во всех этих случаях позволяет волне второй гармоники продолжить нарастание амплитуды на следующей пластине, или на следующем проходе между стенками волновода, или на следующем проходе резонатора интерферометра. Фазовый синхронизм такого дискретного типа в дальнейшем получил название квазисинхронизм.

Высказанные ещё в начале 60-х годов, идеи Н. Бломбергена по реализации квазисинхронизма многие годы не находили применения и только в течение 90-х годов экспериментальные трудности были преодолены при использовании таких методов как инверсия доменов в сегнетоэлектрических материалах, протонный обмен и травление с последующим покрытием. Наибольшее распространение приобрели полидоменные кристалы, получившие название кристаллов с регулярной доменной структурой, или РДС-кристаллов, английский термин: periodically poled nonlinear crystals (PPNC). В целом, техника формирования периодических структур в нелинейных кристаллах LiNb03, LiTa03, KTi0P04, RbTi0As04 хорошо развита и позволяет осуществлять практически любые нелинейные взаимодействия на низких порядках квазисинхронизма, за счет компенсации волновых расстроек обратным вектором пространственной решетки нелинейной восприимчивости [72-76].

Одним из преимуществ РДС-кристаллов является возможность использования нелинейных сред, не обладающих традиционным синхронизмом (оптически изотропные материалы). Другим важным свойством РДС-кристаллов является снятие любых ограничений на поляризации взаимодействующих волн. За счет этого, в частности, стало возможным использование компонент тензора квадратичной поляризуемости, которые не могли быть использованы при ГВГ в однородном кристалле с традиционным синхронизмом и которые, как правило, существенно больше, чем традиционно используемые компоненты. Например, в периодически поляризованном кристалле ниобата лития (LiNb03) стало возможным ее-е взаимодействие (все волны необыкновенные), за которое ответственна компонента нелинейной восприимчивости з, превышающая на порядок другие компоненты этого кристалла.

Использование сред с квазисинхронизмом позволило реализовать и гибридные процессы. Для реализации «многочастотной» генерации необходимо выбрать длину домена РДС-кристалла такой, чтобы она была равна нечетному числу когерентных длин для всех процессов, участвующих во взаимодействии волн; в общем случае эти нечетные числа (называемые порядком квазисинхронизма) будут различными для каждого вида процесса. В работах [59, 69, 77-78] найдены параметры РДС-кристаллов для генерации третьей и четвертой гармоник для различных длин волн. В [79] описан эксперимент по каскадной генерации третьей гармоники излучения Nd:YAG-лазера (Х=1.064 мкм) с модуляцией добротности в периодически поляризованном вдоль оси z кристалле LiNb03:Y. Период модуляции нелинейной восприимчивости составлял 60 мкм. Вторая и третья гармоники излучения одновременно генерировались на 9-м и 33-м порядках квазисинхронизма соответственно. Использование таких высоких порядков квазисинхронизма существенно понизило эффективность генерации. В экспериментах, описываемых в [80-81], утраивалось излучение Nd:YV04 лазера на длине волны 1.342 мкм в периодически модулированном ЫТаОз (в первом порядке для ГВГ и третьем для ГСЧ, период модуляции равен 14.778 мкм). Эффективность преобразования составила 19.2%. В работах [82-83] показано гибридное преобразование частоты за счёт процессов генерации суммарной и разностной частот.

Следует заметить, что в структурах с периодической модуляцией гибридные процессы могут быть реализованы для достаточно узкого набора длин волн. Использование неколлинеарной геометрии взаимодействия позволяет увеличить число пригодных длин волн, однако такой процесс будет эффективен на расстояниях, соответствующих перекрытию взаимодействующих пучков [84]. Расширить диапазон частот можно, нарушив периодичность, варьируя период или фазу нелинейной решетки. С этой целью в последнее время активно создаются и исследуются квазипериодические (например, сверхрешетки Фибоначчи) [85-90], апериодические [91-95] и непериодические оптические сверхрешетки [96]. Использование подобных структур позволяет существенно увеличить количество необходимых для достижения квазисинхронизма обратных векторов, сделав принципиально возможными множественные квазисинхронные процессы. Именно в двухкомпонентной квазипериодической сверхрешетке достигнута наибольшая эффективность генерации третьей гармоники - 27% [97]. Также, интересные возможности открывают среды с двумерной модуляцией квадратичной нелинейности [98].

Развитие техники реализации квазисинхронных процессов открыло также дорогу для более тщательного исследования пространственных солитонов в квадратичных средах. Предсказанные ещё в 1974 Карамзиным и Сухоруковым

99], до 1995 года они изучались только теоретически, так как их экспериментальное исследование было затруднено требованием достаточно больших мощностей (порядка 10 ГВт/см для пучка радиуса 20 мкм, так как нелинейности второго порядка обычно ~ 1 пм/В), необходимых для возбуждения [100]. Долгое время оставался открытым вопрос о возможности формирования пространственных солитонов в квазисинхронных кристаллах, пока в 1997 году в [101] не было доказано их существование путем численного моделирования. Там же продемонстрировано, что в отличие от квадратичных солитонов в однородных средах, так называемые QPM-солитоны (от quasi-phase-matched, что означает квазисинхронный) имеют амплитуды, быстро осциллирующие около некоторых средних значений из-за наличия больших фазовых расстроек внутри каждого слоя. В 1999 году был проведен эксперимент [102] по генерации квадратичного солитона на длине волны 1.064 мкм в периодически модулированном ниобате лития, и было установлено, что для пучка радиуса 22 мкм порог возбуждения солитона составляет 1.35 ГВт/см . Такое значительное снижение пороговой интенсивности дало новый импульс исследованиям квадратичных пространственных солитонов. Одним из наиболее интересных объектов изучения стали многокомпонентные гибридные пространственные солитоны, обладающие иными свойствами и более богатой динамикой по сравнению с обычными параметрическими [103, 104]. В частности, были описаны трёхцветные солитоны (со, 2со, 4со), формирующиеся в результате процесса генерации четвёртой гармоники [50], и пятицветные (со,,со2, 2со,, 2со2, cDj +со2), образующиеся при удвоении и сложении частот в случае двухчастотной накачки [105]. Следует отметить, что в основном подобные солитоны были исследованы в приближении однородной среды, хотя ясно, что их генерация возможна лишь с помощью квазисинхронных взаимодействий.

Итак, с развитием техники квазисинхронных процессов существенно возросло число способов применений квадратично-нелинейных материалов, и поэтому на повестку дня встал вопрос о более точных моделях для описания нелинейных взаимодействий в средах с периодической модуляцией нелинейной восприимчивости. Целый ряд аналитических выражений, описывающих процесс генерации второй гармоники в РДС-кристаллах, был получен ещё в основополагающих работах Н. Бломбергена с сотрудниками (см. также обзор [72]). В [106] квазистационарные параметрические взаимодействия в слоистых нелинейных средах были рассмотрены в приближении заданного поля и была уточнена формула для амплитуды второй гармоники в РДС-кристаллах. В работе [107] это выражение было обобщено для нелинейного режима преобразования, но для случая точного выполнения квазисинхронизма. В [108109] А.С. Чиркин с коллегами разработал метод вторичного упрощения, позволяющий свести уравнения взаимодействия в периодически неоднородных средах к уравнениям в однородных средах с усреднёнными коэффициентами нелинейности. Такой подход существенно упростил анализ квазисинхронных взаимодействий и широко применяется до сих пор. Следует заметить, что уже в этих работах было замечено, что приближенные аналитические методы не описывают правильно поведение фазовых соотношений между взаимодействующими волнами в РДС-кристаллах. В последних имеет место осцилляторный характер изменения фазовых соотношений, тогда как в однородных нелинейных средах фазы этих волн изменяются монотонно. Фазовые соотношения, оптимальные на входе слоистой нелинейной среды, медленно меняются с расстоянием. Позднее в работе [110] путём анализа разностных уравнений также было показано, что уравнения процесса генерации второй гармоники в РДС-кристаллах, при определенных, но достаточно хорошо выполняющихся на практике предположениях, аналогичны таковым для традиционных (однородных) кристаллов. Благодаря указанной аналогии было получено выражение для амплитуды второй гармоники в случае неточного квазисинхронного взаимодействия. В работе [111] было получено выражение для когерентной длины при больших волновых расстройках и выведены более точные (учитывающие следующий порядок малости) уравнения. Позднее в [69, 112] было показано, что достижение истинного (точного) квазисинхронизма в

РДС-кристалле с равными по длине доменами невозможно. Даже при точном выполнении условий квазисинхронизма, когда длина одного домена равна когерентной длине, зависимость амплитуды второй гармоники от расстояния напоминает эллиптический синус, то есть является периодической функцией. Следовательно, существует оптимальная общая длина РДС-кристалла, на которой достигается максимум эффективного преобразования. Заметим, что при фазовом синхронизме в однородной среде реализуется гиперболический тангенс, асимптотически стремящийся к 100% перекачке с ростом длины кристалла.

Новый этап в исследовании квазисинхронных взаимодействий начался в 1997 году. В работе [101] при исследовании двухчастотных пространственных солитонов в среде с периодически инвертированными доменами было численно показано, что благодаря несинхронному взаимодействию высших пространственных гармоник, возбуждаемых в слоистой среде, появляются эффекты, ассоциирующиеся с кубичной нелинейностью. Это явление получило название наведенной (индуцированной) асимметричной кубичной нелинейности [113]. Появляющаяся за счет любых несинхронных взаимодействий в квадратичных средах, она может быть как фокусирующей, так и дефокусирующей, в зависимости от знака волновой расстройки. Её влияние может быть усилено дополнительной модуляцией нелинейной решетки [114]. Наличие кубичных по полю эффектов в квазисинхронных процессах было подтверждено в [115] методом многомасштабного разложения.

В работе [116-117] при исследовании квазисинхронного процесса ГВГ первого типа было показано, что существует критическая интенсивность, превышение которой приводит к изменению набега фазы первой гармоники на длине одного периода модуляции на п. Метод вторичного упрощения этот эффект объяснить не может. Решить эту проблему можно, полагая, что асимметричная кубичная нелинейность индуцирует зависящую от интенсивности фазовую расстройку, что и приводит к появлению критического значения.

Ярким примером является случай, когда конкуренция между линейной и нелинейной решетками приводит к исчезновению эффективной квадратичной нелинейности. Хотя на первый взгляд в этом случае солитоны не должны существовать, расчеты показали наличие темных и светлых солитонов в подобных средах [118]. Этот парадокс элегантно объясняется включением в модель асимметричной кубичной нелинейности, которая и поддерживает нелинейные солитоны, присущие кубичному уравнению Шредингера. Необходимость учета кубичных эффектов показана при исследовании модуляционной неустойчивости в средах, в которых нелинейная решетка имеет постоянную составляющую, а также в кристаллах, где периодически меняется и коэффициент нелинейности и линейный показатель преломления [119]. В последнее время методы, учитывающие влияние индуцированной кубичной нелинейности, часто применяются для анализа свойств солитонов в нелинейных периодических структурах различного вида [120-122].

Все эти эффекты были подтверждены численно и, следовательно, большое количество теоретических результатов говорит в пользу существования индуцированной кубичной нелинейности. В [123] наличие асимметричной кубичной нелинейности было показано экспериментально в результате сравнения несинхронных процессов генерации второй гармоники и генерации разностной частоты. Тот факт, что многие предсказанные кубичные эффекты не были найдены экспериментально, можно объяснить одной из следующих причин. Во-первых, слишком малая интенсивность излучения; во-вторых, индуцированная и собственная кубичные нелинейности компенсируют друг друга. Здесь следует отметить, что обычные квадратичные материалы являются самофокусирующими и имеют нормальную дисперсию. Следовательно, коэффициенты индуцированной и собственной кубичной нелинейности имеют разные знаки.

Итак, использование сред с периодической модуляцией нелинейной восприимчивости не только ведет к возможности осуществления параметрических процессов, экспериментальная реализация которых зачастую невозможна в однородных средах, но выявляет новые эффекты в ранее изученных процессах.

Данная диссертационная работа была выполнена для решения ряда новых задач в теории параметрических каскадных и гибридных взаимодействий волновых пучков. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 170 наименований. Общий объем работы составляет 119 страниц, включая 43 рисунка и 2 таблицы.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть сформулированы следующим образом:

1. Обнаружено явление параметрической рефракции при неколлинеарном несинхронном взаимодействии в квадратично-нелинейной среде. Развитая оригинальная теория показала, что профиль индуцированной, благодаря каскадному взаимодействию, оптической неоднородности на сигнальной частоте повторяет распределение интенсивности накачки в среде.

2. Предсказан и изучен эффект отражения волновых пучков без потери энергии. Выведены и решены уравнения для траектории сигнала. Получено выражение для предельного угла параметрического отражения при центральном соударении пучков.

3. Установлен эффект выпуклого параметрического «зеркала» - влияние формы пучка накачки на угловую расходимость отраженного сигнала. Рассмотрены особенности нецентрального взаимодействия пучков.

4. Параметрическое отражение может быть использовано для управления направлением распространения волновых пучков и пленения волн в параметрическом волноводе, стенками которого служат два пучка накачки.

5. Получены уравнения для средних амплитуд, описывающие квазисинхронные гибридные взаимодействия волн на кратных частотах с учетом возбуждения высших пространственных гармоник.

6. Установлены отличия свойств параметрически связанных квазистационарных мод и динамики дробного и кратного преобразования частоты в модели однородной квадратичной среды, модели среднего поля и при квазисинхронизме в реальных средах с периодической модуляцией квадратичной нелинейности.

7. Впервые описано явление захвата трёх гармоник в гибридный солитон в среде с периодической модуляцией квадратичной нелинейности при накачке на первой гармонике. С помощью метода усреднения получены выражения для • пространственных осцилляций интенсивности частотных компонент квазисинхронных солитонов.

8. Вариационный метод адаптирован для расчета усредненных параметров огибающих трех компонент гибридных солитонов с высокой точностью. Найдены области устойчивости трёхчастотных гибридных солитонов.

В заключение, прежде всего, хочу выразить глубокую благодарность моему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Петровичу Сухорукову, за интересные предложенные темы, прекрасное руководство на протяжении многих лет, незаменимую профессиональную поддержку в научной работе. Также хочу поблагодарить всех сотрудников лаборатории физики нелинейных волн за помощь в научной работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Advanced Photonics with Second-order Optically Nonlinear Processes. Eds. A.D. Boardman, L. Pavlov, S. Tanev. NATO Science Series. Dordrecht / Boston / London: Kluwer Acad Publ. 1998. 486 p.

2. Soliton Driven Photonics. Eds. A.D. Boardman, A.P. Sukhorukov. NATO Science Series. Dordrecht / Boston / London: Kluwer Acad Publ. 2001. 525 p.

3. Ultrafast Photonics. Eds. A. Miller, D.T. Reid, D.M. Finlayson. SUSSP proceedings. Vol. 56. Bristol : SUSSP Publications & Institute of Physics Publishing. 2004. 356 p.

4. M.N. Islam. Ultrafast all-optical logic gates based on soliton trapping in fibers II Opt. Lett. 1989. V. 14. P. 1257.

5. T. Shi and S.Chi. Nonlinear photonic switching by using the spatial soliton collision И Opt. Lett. 1990. V. 15. P. 1123.

6. А.И. Маймистов. Обратимые логические элементы новая область применения оптических солитонов II Квант, электр. 1995. Т. 22. № 10. С. 1044.

7. Н.А. Haus and W.S. Wong. Solitons in optical communications II Rev. Mod. Phys. 1996. V. 68. P. 423.

8. А. Десятников, А.И. Маймистов. Взаимодействие двух пространственно разделенных пучков света в нелинейной керровской среде II ЖЭТФ. 1998. Т. 113. №6. С. 2011.

9. G. I. Stegeman and М. Segev. Optical spatial solitons and their interactions: universality and diversity I I Science. 1999. V. 286. P. 1518.

10. B.A. Алешкевич, B.A. Выслоух, Я.В. Карташов. Формирование и взаимодействие пространственных солитонов в фоторефрактивной среде с дрейфовой и диффузионной компонентами нелинейного отклика II Квант, электр. 1999. Т. 28. № 7. С. 64.

11. G.I. Stegeman, D.N. Christodoulides and M. Segev. Optical Spatial Solitons: Historical Perspectives II IEEE J. on Sel. Top. in Quant. Electr. 2000. V. 6. № 6. P. 1419.

12. M. Peccianti, C. Conti, and G. Assanto, A. De Luca and C. Umeton. All-optical switching and logic gating with spatial solitons in liquid crystals II Appl. Phys. Lett. 2002. V. 81. Is. 18. P. 3335.

13. Y.D. Wu, B.X. Huang. All-optical switching device by using the interaction of spatial solitons I I Optics and Photonics Taiwan. 2003. P. 164.

14. E.A. Ultanir, G.I. Stegeman, C.H. Lange, and F. Lederer. Interactions of dissipative spatial solitons II Opt. Lett. 2004. V. 29. P. 283.

15. Y. Wu. New all-optical wavelength auto-router based on spatial solitons И Opt. Express. 2004. V. 12. 12. P. 4172.

16. M.H. Jakubowski, K. Steiglitz, R. Squier. Information transfer between solitary waves in the saturable Schrddinger equation II Phys. Rev. E. 1997. V. 56. № 6. P. 7267.

17. C. Anastassiou, M. Segev, K. Steiglitz, J. A. Giordmaine, M. Mitchell, M. Shih, S. Lan, J. Martin. Energy-exchange interactions between colliding vector solitons II Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. № 12. P. 2332.

18. K. Steiglitz. Time-gated Manakov spatial solitons are computationally universal II Phys. Rev. E. 2001. V. 63. P. 016608.

19. K. Steiglitz. Multistable collision cycles of Manakov spatial solitons И Phys. Rev. E. 2001. V. 63. P. 046607.

20. C. Anastassiou, J.W. Fleischer, T. Carmon, M. Segev, K. Steiglitz. Information transfer via cascaded collisions of vector solitons II Opt. Lett. 2001. V. 26. № 19. P. 1498.

21. N. Akhmediev, A. Ankievicz. Novel soliton states and bifurcation phenomena in nonlinear fibre couplers II Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. № 16. P. 2395 .

22. N. Akhmediev, A. Ankievicz. Spatial soliton X-junctions and couplers // Opt. Comm. 1993. V. 100. P. 186.

23. В. Luther-Davies, X. Yang. Waveguides and Y-junctions formed in bulk media • by using dark spatial solitons //Opt. Lett. 1993. V. 17. № 7. P. 496.

24. P.D. Miller, N.N. Akhmediev. Transfer matrices for multiport devices made from solitons И Phys. Rev. E. 1996. V. 76. № 4. P. 4098.

25. G.I. Stegeman, R.A. Fuerst, R. Malendevich, R. Schiek, Y. Baek, I. Baumann, W. Sohler, G. Leo, G. Assanto, Ch. Bosshard. Unique properties of quadratic solitons II Acta Phys. Pol. 1999. V. 95. № 5. P. 691.

26. A.V. Buryaka, P. Di Trapani, D.V. Skryabin, S. Trillo. Optical solitons due toЩquadratic nonlinearities: from basic physics to futuristic applications II Phys. Rep. 2002. V. 370. P. 63.

27. G. Assanto, G.I. Stegeman. Simple physics of quadratic spatial solitons II Opt. Express. 2002. V. 10. № 9. P.388.

28. L. Torner, A. Barthelemy. Quadratic Solitons: Recent Developments II IEEE J. of Quant. El. 2003. V. 39. № 1. P. 22.

29. L. Jankovic, H. Kim, S. Polyakov, G. I. Stegeman, Ch. Bosshard and P. Gunter. ^ Soliton birth in quadratic spatial soliton collisions II Opt. Lett. 2003. V. 28. P.1037.

30. D.-M. Baboiu, G.I. Stegeman and L. Torner. Collision of solitary waves in quadratic media II Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 2282.

31. C. Etrich, U. Peschel, F. Lederer and B. Malomed. Collisions of solitary waves in media with a second order nonlinearity II Phys. Rev. B. 1995. V.52. P. R3444.

32. D.M. Baboiu and G.I. Stegeman. Solitary-wave interactions in quadratic media near type I phase-matching conditions II J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. P. 3143.

33. B. Constantini, C. De Angelis, A. Barthelemy, B. Bourliaguet and V. Kermene. Collisions between type-II two dimensional quadratic solitons II Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 424.

34. A. Buryak and V. Steblina. Soliton collisions in bulk quadratic media: comprehensive analytical and numerical study II J. Opt. Soc. Am. B. 1999. V. 16. P. 245.

35. C. Simos, V. Couderc, A. Barthelemy, A. V. Buryak. Phase-dependent interactions between three-wave spatial solitons in bulk quadratic media II J. Opt. Soc. Am. B. 2003. V. 20. P. 2133.

36. L. Jankovic, P. Aboussouan, M. Affolter, G. Stegeman, and M. Katz. Quadratic soliton collisions И Opt. Express. 2004. V. 12. P. 5562.

37. A.K. Сухорукова, А.П. Сухоруков. Динамика соударений нескольких квадратичных пространственных солитонов II Изв. РАН. Сер. Физ. 2003. Т. 67. № 12. С. 1737.

38. V.V. Steblina, Yu.S. Kivshar, A.V. Buryak. Scattering and spiralling of solitons in a bulk quadratic medium II Opt.Lett. 1998. V. 23. № 3. P. 156.

39. C. Jly, А.П. Сухоруков, Д.А. Чупраков. Спиральное вращение пространственных солитонов в квадратично-нелинейной среде И Изв. РАН Сер. физ. 1998. Т. 62. № 12. С. 2319.

40. А.К. Сухорукова, А.П. Сухоруков. Оптическое переключение пучков при параметрическом преобразовании частоты вверх II Изв. РАН. Сер. Физ.2004. Т. 68. № 12. С. 1720.

41. А.К. Сухорукова, А.П. Сухоруков. Параметрическое отражение и захват мод при синхронном преобразовании частоты вниз II Изв. РАН. Сер. Физ.2005. Т. 69. № 12. С. 1779.

42. Т. Pertsch, U. Peschel, F. Lederer. All-optical switching in quadratically nonlinear waveguide arrays II Opt. Lett. 2003. V. 28. № 2. P. 102.

43. T. Pertsch, R. Iwanow, R. Schiek, G.I. Stegeman, U. Peschel and F. Lederer, Y.H. Min and W. Sohler. Spatial ultrafast switching and frequency conversion in lithium niobate waveguide arrays II Opt. Lett. 2005. V. 30. № 2. P. 177.

44. G.I. Stegeman. cascading phenomena and their applications to all-optical signal processing, mode-locking, pulse compression and solitons II Optical and Quantum Electronics. 1996. V. 28. P. 1691.

45. G.I. Stegeman. y2) cascading: nonlinear phase shifts II Quant. Semiclass. Opt. 1997. V. 9. P. 139.

46. JI.A. Островский. О самовоздействии света в кристаллах II Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 5. № 9. С. 331.

47. N.R. Belashenkov, S.V. Gagarskii, and M.V. Inochkin. Nonlinear refraction of light on second-harmonic generation II Optics and Spectroscopy. 1989. V. 66. № 6. P. 806.

48. B.B. Волков, A.C. Чиркин. Последовательные встречные взаимодействия световых волн II Квант, электр. 1999. Т. 26. № 1. С. 82.

49. А.С. Чиркин, В.В. Волков, Г.Д. Лаптев, Е.Ю. Морозов. Последовательные трехчастотные волновые взаимодействия в нелинейной оптике периодически-неоднородных сред II Квант, электр. 2000. Т. 30. № 10. С. 847.

50. А.А. Sukhorukov, T.J. Alexander, Y.S. Kivshar, S. Saltiel. Multistep cascading and fourth-harmonic generation //Phys. Rev. A. 2001. V. 281. P. 34.

51. S.M. Saltiel, A.A. Sukhorukov, and Yu.S. Kivshar. Multistep parametric processes in nonlinear optics II Progress in Optics. 2005. V. 47. E. Wolf, ed. (North-Holland, 2005). P. 1.

52. M.B. Комиссарова, А.П. Сухоруков. О свойствах параметрического усилителя света при кратном соотношении частот II Квантовая электроника. 1993. Т. 20. № 10. С. 1025.

53. М.В. Комиссарова, А.П. Сухоруков, В.А. Терешков. О параметрическом усилении бегущих волн с кратными частотами II Изв. РАН. Сер. физ. 1997. Т. 61. №12. С. 2298.

54. О. А. Егоров, А.П. Сухоруков. Новые физические явления при трехволновых взаимодействиях на кратных частотах: полная взаимная перекачка энергии волн II Изв. РАН. Сер. физ. 1998. Т. 62. № 12. С. 2345.

55. В.В. Волков, А.С. Чиркин. Квазисинхронное параметрическое усиление волн при низкочастотной накачке II Квант. Электрон. 1998. Т. 25. № 2. С. 101.

56. Chao Zhang et al. Crucial effects of coupling coefficients on quasi-phase-matched harmonic generation in an optical superlattice II Optics Letts. 2000 V. 25. P. 436.

57. R. Ivanov, K. Koynov and S. Saltiel. Effect of focusing on third harmonic generation in single quadratic crystal II Opt. Comm. 2002. V. 212. P. 397.

58. C. Zhang, Y. Zhu, S. Zhu and N. Ming. Coupled quasi-phase-matched high-order harmonic generation I I J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2001. Vol. 3. P. 317.

59. X. Chen, Y. Chen, and Y. Xia. Direct quasi-phase-matched fourth-harmonic generation И Appl. Opt. 2005 Vol. 44. № 6. P. 1028.

60. R. Ivanov and S. Saltiel. Cascaded fourth-harmonic generation in a single nonlinear crystal I I J. Opt. Soc. Am. B. 2005. Vol. 22. № 8. P. 1691.

61. S. Saltiel, Y. Deyanova. Polarization switching as a result of cascading of two simultaneously phase-matched quadratic processes II Opt. Lett. 1999. V. 24. №. 18. P. 1296.

62. G. Petrov, O. Albert, N. Minkovski, J. Etchepare, S. Saltiel. Experimental and theoretical investigation of sross-polarized wave by cascading of two different second-order processes II J. Opt. Soc. Am. B. 2002. V. 19. № 2. P. 268.

63. G.P. Banfl, P.K. Datta, V. Degiorgio, D. Fortusini. Wavelength shifting and amplification of optical pulses through cascaded second order processes in periodically poled lithium niobate II Appl. Phys. Lett. 1998. V. 7. P. 136.

64. C. Liberale, II. Cristiani, L. Razzari, V. Degiorgio. Numerical study of cascaded wavelength conversion in quadratic media II J. Opt. A.: Pure Appl. Opt. 2002. V. 4. P. 457.

65. X. Zeng, X. Chen, Y. Chen, Y. Xia, Y. Chen. Observation of all-optical wavelength conversion based on cascaded effect in periodically poled lithium niobate waveguide II Optics & Laser Technology. 2003. V. 35. P. 187.

66. B. Chen, C.Q. Xu. Analysis of novel cascaded /2 SFG+DFG wavelength convesion in quasi-phase-matched waveguides II IEEE J. Quant. Electr. 2004. V. 40. P. 256.

67. М.Б. Виноградова, О.В. Руденко, А.П. Сухоруков. Теория волн. М.: "Наука", 1990.432 с.

68. Г.Г. Гурзадян, В.Г. Дмитриев, Д.Н. Никогосян. Нелинейно-оптические кристаллы. М.: «Радио и связь», 1991. 160 с.

69. В.Г. Дмитриев, JI.B. Тарасов. Прикладная нелинейная оптика. М.: Физматлит, 2004. 512 с.

70. J. Giordmaine. Mixing of light beams in crystals II Phys. Rev. Lett. 1962. V. 8. P. 19.

71. J.A. Armstrong, N. Blombergen, J. Ducuing, P.S. Pershan. Interaction between Light Waves in a Nonlinear Dielectric II Phys. Rev. 1962. V. 127. P. 1918.

72. M.M. Fejer, G.A. Magel, D.H. Jundt, and R.L. Byer. Quasi-phase-matched second harmonic generation: tuning and tolerances II IEEE J. Quantum Electron. 1992. V. 28. P. 2631.

73. Yong Yuan Zhu, Nai - Ben Ming. Dielectric superlattices for nonlinear optical effects И Opt. and Quant. El. 1999. V. 31. P. 1093.

74. K. Mizuuchi, K. Yamamoto. First-order quasi-phase-matched second-harmonic generation in a LiTa03 waveguide // Applied Optics. 1994. V. 33. № 10. P. 1812.

75. G. D. Miller, R. G. Batchko, W. M. Tulloch, D. R. Weise, M. M. Fijer, R. L. Byer. 42%-efficient single-pass cw second-harmonic generation in periodically poled lithium niobate И Optics Lett. 1997. V. 22. № 24. P. 1834.

76. E.U. Rafailov, P. Loza-Alvarez. Second-harmonic generation from a first-order quasi-phase-matched GaAs/AlGaAs waveguide crystal // Opt. Lett. 2001. V. 26. №24. P. 1984.

77. С.Г. Гречин, В.Г. Дмитриев. Условия квазисинхронизма при одновременной генерации нескольких гармоник лазерного излучения в кристаллах с регулярной доменной структурой II Квант, электр. 2001. Т. 31. № 10. С. 933.

78. О. Pfister, et al. Continuous-wave frequency tripling and quadrupling by simultaneous three-wave mixing in periodically poled crystals: application to atwo-step 1.19-10.71-jum frequency bridge II Opt. Lett. 1997. Vol. 22. № 16. P. 1211.

79. G.Z. Luo, S.N. Zhu, J.L. He, Y.Y. Zhu, H.T.Wang, Z.W. Liu, C. Zhang, N.B. Ming. Simultaneously efficient blue and red light generations in a periodically poledLiTa03//App\. Phys. Lett. 2001. Vol. 78. P. 3006.

80. H. Jing-Liang, L. Jie, L. Guo-Zhen, J. Yu-Lei, D. Jian-Xin, G. Cheng-Shan and Zhu Shi-Ning. Blue generation in a periodically poled ЫТаОз by frequency tripling an 1342 nm Nd:YV04 laser // Chin. Phys. Lett. 2002. Vol. 19. № 7. P. 944

81. J. Wang, J. Sun, C. Luo, Q. Sun. Experimental demonstration of wavelength conversion between ps-pulses based on cascaded sum- and difference frequency generation (SFG+DFG) in LiNbOj waveguides И Opt. Exp. 2005. V. 13. № 19. P. 7405.

82. S. Saltiel, Y. S. Kivshar. Phase-matching for nonlinear optical parametric processes with multistep cascading I I Bulg. J. of Phys. 2000. V. 27. № 1. P. 57.

83. F. Xu et al. Simultaneous high-efficiency and equal-level second- and third-harmonic generation achieved by controllable linear gratings in a quasiperiodic optical superlattice II Phys. Rev. A. 2003. V. 6. P. 053803.

84. X. Cai. Optical harmonic generation in the Cantor-type dielectric superlattice II J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2003. V. 5. P. 323.

85. Z.W. Liu et al. Quasi-cw ultraviolet generation in a dual-periodic ЫТаОз superlattice by frequency tripling И Jpn. J. Appl. Phys. 2001. V. 40. P. 6841.

86. G. -D. Xu, Y. -H. Wang, Y. -Y. Zhu, S. -N. Zhu, and N. -B. Ming. Third-harmonic generation in a LiNbO3 channel waveguide with a quasi-periodic grating Hi. Opt. Soc. Am. B. 2004. V. 21. P. 568.

87. Z. Liu, et al. Engineering of dual-periodic optical superlattice used in a coupled optical parametric interaction II J. Opt. Soc. Am. B. 2002. V. 19. № 7. P. 1676.

88. S. Zhu, Y. Zhu, N. Ming. Quasi-phase-matched third-harmonic-generation in a quasi-periodic optical superlattice II Science. 1997. V. 278. P. 843.

89. Y.W. Lee, F.C. Fan, Y.C. Huang, B.Y. Gu, B.Z. Dong, and M.H. Chou. Nonlinear multiwavelength conversion based on an aperiodic optical superlattice in lithium niobate II Opt. Lett. 2002. V. 27. P. 2191.

90. J. He et al. Simultaneous cw red, yellow, and green light generation, "traffic signal lights," by frequency doubling and sum-frequency mixing in an aperiodically poled LiTa03 II Appl. Phys. Lett. 2003. V. 83. P. 228.

91. J. Liao et al. Simultaneous generation of red, green, and blue quasi-continuous-wave coherent radiation based on multiple quasi-phase-matched interactions from a single, aperiodically-poled ПТаОз II Appl. Phys. Lett. 2003. V. 82. P. 3159.

92. T. Kartaloglu, Z. Gurkan Figen, and O. Ayttir. Simultaneous phase matching of optical parametric oscillation and second-harmonic generation in aperiodically poled lithium niobate//}. Opt. Soc. Am. B. 2003. V. 20. P. 343.

93. J. Liao, J.L. He, H. Liu, J. Du, F. Xu, H.T. Wang, S.N. Zhu, Y.Y. Zhu, N.B. Ming. Red, yellow, green and blue four-color light from a single, aperiodically poledLiTa03 crystal II Appl. Phys. B. 2004. V. 78. P. 265.

94. X. Chen, F. Wu, X. Zeng, Y. Chen, Y. Xia and Y. Chen. Multiple quasi-phase-matching in a nonperiodic domain-inverted optical superlattice II Phys. Rev. A. 2004. V. 69. P. 013818.

95. C. Zhang, H. Wei, Y.-Y. Zhu, H.-T. Wang, S.-N. Zhu, and N.-B. Ming. Third-harmonic generation in a general two-component quasi-periodic optical superlatticeIIOpt. Lett. 200l.V. 26. № 12. P. 899.

96. S. Saltiel, Y. S. Kivshar. Phase matching in nonlinear X photonic crystals // Opt. Lett. 2000. V. 25. № 16. P. 1204.

97. Ю.Н. Карамзин, А.П. Сухоруков. Нелинейное взаимодействие дифрагирующих световых пучков в среде с квадратичной нелинейностью; взаимофокусировка пучков и ограничение эффективности оптических преобразователей частоты II Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 20. С. 734.

98. W.E. Torruellas, Z. Wang, D.J. Hagan, E.W. VanStryland, G.I. Stegeman, L. Tomer, C.R. Menyuk. Observation of two-dimensional spatial solitary waves in a quadratic medium II Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. № 25. P. 5036.

99. C.B. Clausen, Ole Bang, Y.S. Kivshar. Spatial Solitons and Induced Kerr Effect in Quasi-Phase-Matched Quadratic Media II Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. № 25. P. 4749.

100. B. Bourliaguet, V. Couderc, A. Barthelemy, G. W. Ross, P. G. R. Smith, D. C. Hanna, C. De Angelis. Observation of quadratic spatial soliton in periodically poled lithium niobate II Opt. Lett. 1999. V. 24. P. 1410.

101. Y.S. Kivshar, A.A. Sukhorukov, E.A. Ostrovskaya, T.J. Alexander, O. Bang, S. M. Saltiel, C.B. Clausen, P.L. Christiansen. Multi-component optical solitary waves II Physica A. 2000. V. 288. P. 152.

102. Y. S. Kivshar, T. J. Alexander, S. Saltiel. Spatial optical solitons resulting from multistep cascading //Opt. Lett. 1999. V. 24. № 11. P. 759.

103. I.N. Towers, B.A. Malomed. Polychromatic solitons in quadratic medium II Phys. Rev. E. V. 66. Is. 4. P. 046620.

104. J.D. McMullen. Optical parametric oscillations in isotropic materials using a phase-corrected stacks of nonlinear dielectric plates II J. Appl. Phys. 1975. V. 46. P. 3076.

105. K.C. Rustagi, S.C. Mehendale, S. Meenakshi. Optical frequency conversion in quasi-phase-matched second harmonic generation stacks of nonlinear crystals II IEEE J. Ouant. Electron. 1982. V. 18. P. 1029.

106. А.С. Чиркин, Д.Б. Юсупов. О нелинейных оптических процессах в слоистых средах II Изв. АН СССР. Сер. физ. 1981. Т. 45. С. 929.

107. А.С. Чиркин, Д.Б. Юсупов. Квазисинхронные параметрические взаимодействия оптических волн при равенстве групповых скоростей II Квант. Электр. 1982. Т. 9. № 8. С. 1625.

108. В.Г. Дмитриев, С.Г. Гречин. Уравнения для ГВГ при квазисинхронном взаимодействии в нелинейных кристаллах с регулярной доменной структурой II Квант. Электр. 1998. Т. 25. № 11. С. 1033.

109. В.Г. Дмитриев, Ю.В. Юрьев. Когерентная длина и уточненные уравнения для ГВГ в нелинейных кристаллах с регулярной доменной структурой П Квант. Электр. 2004. Т. 34. № 1. С. 76.

110. В.Г. Дмитриев, Р. Сингх. К расчету процесса ГВГ в РДС-кристаллах методом задания пространственно-периодической зависимости квадратичной нелинейности в монодоменном кристалле. Квант. Электр. 2004. Т. 34. № 10. С. 933.

111. Ole Bang, J.F. Corney. Asymmetric induced cubic nonlinearities in homogeneous and quasi-phase-matched quadratic materials: signature and importance IIOPN. 2001. № 12. P. 42.

112. Ole Bang, C.B. Clausen, P.L. Christiansen. Engineering competing nonlinearities II Opt. Lett. 1999. V. 24. № 20. P. 1413.

113. Ole Bang, T.W. Graversen, J.F. Corney. Accurate switching intensities and length scales in quasi-phase-matched materials I I Opt. Lett. 2001. V. 26. № 13. P. 1007.

114. J.F. Corney, Ole Bang. Soliton in quadratic nonlinear photonic crystals //Phys. Rev. E. 2001. V. 64. P. 047601.

115. J.F. Corney, Ole Bang. Modulational instability in periodic quadratic nonlinear marerials //Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. № 13. P. 133901.

116. N.-C. Panoiu, D. Mihalache, Hongling Rao, and R. M. Osgood, Jr. Spatial solitons in type II quasiphase-matched slab waveguides II Phys. Rev. E. 2003. V. 68. P. 065603.

117. N.-C. Panoiu, D. Mihalache, D. Mazilu, F. Lederer, and R. M. Osgood, Jr. Two-dimensional solitons in quasi-phase-matched quadratic crystals II Phys. Rev. E. 2003. V. 68. P. 016608.

118. N.-C. Panoiu, D. Mihalache, D. Mazilu, F. Lederer and R.M. Osgood Jr. Vectorial spatial solitons in bulk periodic quadratically nonlinear media II J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 2004. № 6. P. S351.

119. P. Di Trapani, et al. Focusing versus defocusing nonlinearities due to parametric wave mixing //Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. № 18. P. 183902.

120. И.И. Ольховский. Курс теоретической механики для физиков. М.: Наука, 1970. 447 с.

121. Chris J Lee. A new method for inducing quasi-phase-matched interactions I I J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2004. V. 6. P. 749.

122. V. Steblina, Y. S. Kivshar, M. Lisak, B. A. Malomed. Self-guided beams in a dijfractive y2) medium: variational approach // Opt. Comm. 1995. V. 118. P. 345.

123. S. V. Polyakov and G. I. Stegeman. Existence and properties of quadratic solitons in anisotropic media: Variational approach II Phys. Rev. E. 2002. V. 66. P. 046622.

124. Н.Г. Вахитов, А.А. Колоколов. Стационарные решения волнового уравнения в среде с насыщением нелинейности II Изв. Вузов. Радиофизика. 1973. Т. 16. №7. С. 1020.

125. Ю.С. Кившарь, Г.П. Агравал. Оптические солитоны. М.: Физматлит, 2005. 647 с.

126. В.Е. Лобанов, А.П. Сухоруков. Динамика захвата трех гармоник в пространственный солитон в квадратичных кристаллах с периодическиинвертированными доменами II Известия РАН. Сер. физическая. 2002. Т. 66. С. 1783.

127. В.Е. Лобанов, А.П. Сухоруков. Гибридные параметрические солитоны в нелинейных фотонных кристаллах II Известия вузов. Радиофизика. 2003. Т. XLVI. № 5-6. С. 407.

128. В.Е. Лобанов, А.П. Сухоруков. Метод усреднения в теории каскадных квазисинхронных взаимодействий II Известия РАН. Сер. физическая. 2003. Т. 67. С. 1729.

129. V.E. Lobanov and А.Р. Sukhorukov. Hybrid three-frequency parametric solitons in quadratic photonic crystals II Laser Physics. 2004. Vol. 14. № 5. P. 669.

130. C.B. Ермакова, В.Е. Лобанов, А.П. Сухоруков. Амплитудные осцилляции квазистационарных волн в среде с периодической модуляцией квадратичной нелинейности II Известия РАН. Сер. физ. 2004. Т. 68. С. 1744.

131. В.Е. Лобанов, А.П. Сухоруков. Анализ свойств гибридных солитонов П Известия РАН. Сер. физ. 2004. Т. 68. С. 1748.

132. В.Е. Лобанов, А.П. Сухоруков. Области устойчивости гибридных параметрических солитонов II Известия РАН. Серия физическая. 2005. Т. 69. №8. С. 1158.

133. В.Е. Лобанов, А.П. Сухоруков Параметрическое отражение волновых пучков при несинхронном трёхчастотном взаимодействии II Известия РАН. Серия физическая. 2005. Т. 69. № 12. С. 1775.

134. В.Е. Лобанов. Нелинейное взаимодействие неколлинеарных оптических пучков II Сборник статей IX Международной молодежной научной школы "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия". КФТИ, Казань, 27 ноября 29 ноября 2005 г. С.153.

135. А.Р. Sukhorukov, V.E. Lobanov, S.V. Ermakova. Mismatched three-wave interaction of optical noncollinear beams in nonlinear media // Proceedings of SPIE. 2006. V. 6181. P. 236.

136. V.E. Lobanov. Trapping of spatial QPM solitons with third harmonic multistep cascading II SUSSP 56 Ultrafast Photonics, Scotland, St. Andrews, University of St. Andrews, School of Physics and Astronomy, 1-14 September 2002. Poster section. P 11.

137. V.E. Lobanov, A.P. Sukhorukov. Trapping of spatial QPM solitons with third harmonic multistep cascading II Technical Digest of 2002 OSA Annual Meeting/LS-XVIII, USA, Orlando. ThH5.

138. B.E. Лобанов. Трехволновое взаимодействие дифрагирующих пучков в квазисинхронных квадратичных средах II Сборник тезисов Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов 2002», МГУ, Москва, 2002. С. 132.

139. V.E. Lobanov, A.P. Sukhorukov. Trapping of three-colour spatial solitons with QPM multistep cascading И Advance Programme of CLEO®/Europe EQEC2003, Munich, Germany, 22 27 June 2003. P. 99.

140. A.P. Sukhorukov, V.E. Lobanov. Interactions of optical beams in quadratic photonic crystals I I Book of Abstracts of 12 International Laser Physics Workshop, Hamburg, Germany, 25 29 August, 2003. P. 274.

141. A.P. Sukhorukov, V.E. Lobanov. Hybrid parametric solitons in quadratic photonic crystals // Technical Digest of International Conference and Symposium ILLA / LTL '2003, Plovdiv Smolyan, Bulgaria, September 27 -October 1, 2003. P. 145.

142. A.P. Sukhorukov, V.E. Lobanov. Hybrid quadratic solitons in photonic crystals II Technical Program of XI Conference on Laser Optics, St. Petersburg, Russia, June 30 July 4, 2003. P. 26.

143. V.E. Lobanov, A.P. Sukhorukov. Generation and trapping of optical beams in quadratic photonic crystals II Technical Digest of Second International Conference on Laser Optics for Young Scientists, St. Petersburg, Russia, June 30-July 4, 2003. P. 82.

144. А.П. Сухоруков, B.E. Лобанов. Нелинейная оптика квадратичных фотонных кристаллов II Тезисы международной конференции "Лазерная физика и применение лазеров", Минск, Белоруссия, 14-16 мая 2003. С. II -10у.

145. В.Е. Лобанов, А.П. Сухоруков. Каскадные трёхчастотные солитоны И Труды IX Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн", Звенигород, 26-30 мая 2003. Часть 2. С. 104.

146. В.Е. Лобанов, А.П. Сухоруков. Метод усреднения в теории трехволновых взаимодействий при двойном квазисинхронизме И Труды IX Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн", Звенигород, 26-30 мая 2003. Часть 2. С. 102.

147. В.Е. Лобанов, А.П. Сухоруков. Метод среднего поля в теории гибридных квазисинхронных процессов II Сборник трудов III Международной конференции молодых ученых и специалистов "Оптика 2003", Санкт-Петербург, 20-23 октября 2003. С. 49.

148. A.P. Sukhorukov, V.E. Lobanov. Hybrid quadratic soliton in periodically poled crystals II Technical Digest of "Nonlinear Guided Waves and Their Applications", Westin Harbor Castle, Toronto, Canada, March 28-31, 2004. P. MC26.

149. V.E. Lobanov, A.P. Sukhorukov. Three-frequency parametric solitons in quadratic photonic crystals // Abstracts of II International Conference "Frontiers Of Nonlinear Physics", Nizhny Novgorod St. Petersburg, Russia, July 5-12, 2004. P. 35-36.

150. V.E. Lobanov and A.P. Sukhorukov. Characterization of three-wave spatial solitons II Book of Abstracts of 13th Int. Laser Physics Workshop (LPHYS'04). Trieste, Italy, July 12-16, 2004. P. 290.

151. V.E. Lobanov. Characterization of the hybrid three-wave spatial solitons II Abstracts of Summer School "New Concepts in Photonics and Optical Communications", Dijon, France, June 21-25, 2004. P. 5-6.

152. V.E. Lobanov. Characterization of the hybrid three-wave spatial solitons II Program of 12th International School-Conference "Foundations and Advances in Nonlinear Science", Minsk, Belarus, September, 27-30, 2004. P. 2.

153. B.E. Лобанов, А.П. Сухоруков. Исследование свойств трехчастотных гибридных солитонов // Сборник трудов Международный конференции "Фундаментальные проблемы оптики 2004", Санкт-Петербург, 18-22 октября 2004 года. С. 86-87.

154. A.P. Sukhorukov, V.E. Lobanov. All-optical switching via vector parametric T> interaction II Technical Digest of "Nonlinear Guided Waves and Their

155. Applications", Dresden, Germany, 6-9 September, 2005. P. ThB17.

156. A.P. Sukhorukov, V.E. Lobanov. Parametric refraction and reflection I I Int. Congress on Optics and Optoelectronics, Warsaw, Poland, 28 Aug. 2 Sept., 2005. P. 5949-47.

157. V.E. Lobanov, A.P. Sukhorukov and A.K. Sukhorukova. All-optical switching with parametric refraction and reflection II Book of Abstracts of 14th Int. Laser

158. Physics Workshop, Kyoto, Japan, July 4-8,2005. P. 292.

159. B.E. Лобанов. Параметрическая рефракция в квадратично-нелинейных кристаллах II VIII Международный Симпозиум по фотонному эху и когерентной спектроскопии (ФЭКС'2005), Калининград (Светлогорск), Россия, 18-25 сентября 2005. С. 10.

160. V.E. Lobanov, A.P. Sukhorukov, A.K. Sukhorukova. Parametric spatial ^ switching: new effects and applications II Advance Programme of

161. CLEO®/Europe EQEC 2005, Munich, Germany, 12-17 June 2005. P. 53.

162. V.E. Lobanov, A.P. Sukhorukov, A.K. Sukhorukova. Parametric reflection of inclined beams II Technical Digest of International Conference on Coherent and Nonlinear Optics (ICONO) 2005), St. Petersburg, Russia, May 11-15, 2005.