Нестационарные и каскадные процессы в СВЧ излучателях на релятивистских электронных пучках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

МОСКОВСКИМ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М. В. Ломоносова Физический факультет, кафедра физической электроники

На правах рукописи

1 Г Б ОД

1

5 ДЬК 139Б

Красильников Михаил Александрович

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ И КАСКАДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СВЧ ИЗЛУЧАТЕЛЯХ НА РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКАХ

Специальность 01.04.08 - физика и химия плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

Диссертация выполнена на кафедре физической электроники физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор М.В.Кузеле] доктор физико-математических наук, профессор А. А.Рухадз<

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук А.М.Игнатов, кандидат физико-математических наук А.Н.Сандалов.

Ведущая организация: Физический институт Российской академии наук им. П.Н.Лебедева.

Зашита диссертации состоится 1996 г. в

<1.5... часов на заседании Диссертационного Совета К 053.05.22 физического факультета МГУ им. М.В. ЛомоНосова на физическом факультете МГУ,в аудитории

Адрес: 117234 Москва, Лениниские горы, МГУ, Физический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета К 053.05.22

к

В.А.Кубарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена теоретическому исследованию и численному моделировали» нестационарных н переходных процессов излучения волн электронным пучком в плазменных волноводах конечной длины и ондуляторах.

Актуальность темы определяется прежде всего тем, что имеющихся теоретических результатов не вполне достаточно для объяснения результатов экспериментов в области плазменной СВЧ электроники. В большинстве имеющихся теоретических разработок рассматриваются вопросы стационарного усиления волн и волновых пакетов в плаоменно-пучковых волноводах сложной поперечной геометрии. Развита линейная и нелинейная стационарная теория пучково-плазменных систем. Однако ряда реальных экспериментальных особенностей эти работы не учитывают. Важной особенностью экспериментальной установки является конечность ее длины - наличие выходного рупора, от которого частично отражаются возбужденные пучком плазменные волны. Это отражение может приводить к самовозбуждению плазменного СВЧ генератора и развитию различных нестационарных процессов. Кроме того, само возбуждение пучхово-плазменной системы в реальном эксперименте часто обусловлено прохождением фронта пучка, что, очевидно, является также нестационарным процессом. Помимо этого, фактически не изучен вопрос о возможности рассеяния возбуждаемых при черенков-ской пучковой неустойчивости плазменных волн на самом электронном пучке и о влиянии этого рассеяния на спектр и динамику черенковской неустойчивости. Разработке такой нестационарной теории, учитывающей продольно-поперечную ограниченность и неоднородность области пучково-плаоменного взаимодействия, возможность выхода из этой области электромагнитного излучения, наличие фронтов пучка, посвящена настоя-

щая работа. Особое внимание в работе уделяется также проведению численных расчетов важнейших характеристик нестационарных пучково-пяаоменных систем, параметры которых брались непосредственно из известных экспериментов по усилению и генерации электромагнитных волн в пучково-плазменных резонаторах.

Научная новизна работы состоит в рассмотрении нестационарных процессов в плазменном волноводе, возникающих при пнжекции электронного пучка. Исследована возможность возникновения в плазменном резонаторе помимо плазменной волны, вызванной черенковской неустойчивостью, других волн системы. При этом изучается роль отражения от излучающего рупора и фронта пучка в возбуждении плазменного СВЧ генератора, а так же зависимость характера нестационарных процессов от геометрии пучково-ппазменной системы. Постановка задачи, учитывающая конечную длину плазменного волновода и другие особенности реальных экспериментальных установок, позволяет при численном моделировании проследить динамику выходного излучения и степень его нестабильности. Примененный аппарат метода медленно меняющихся амплитуд и трехвол-нового приближения для нелинейно взаимодействующих волн позволяет избежать некоторых трудностей подхода, основанного на прямом численном решении уравнений Максвелла-Власова. Численное моделирование, основанное на предложенных методах решения, позволяет рассчитывать характеристики реальных экспериментальных установок.

Практическая ценность работы состоит в развитии теоретической модели пучково-плазменной системы с поперечно-неоднородным заполнением, учитывающей конечность длины волново-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена теоретическому исследованию и численному моделированию нестационарных и переходных процессов излучения волн электронным пучком в плазменных волноводах конечной длины и ондуляторах.

Актуальность темы определяется прежде всего тем, что имеющихся теоретических результатов не вполне достаточно для объяснения результатов экспериментов в области плазменной СВЧ электроники. В большинстве имеющихся теоретических разработок рассматриваются вопросы стационарного усиления волн и волновых пакетов в плазменно-пучковых волноводах сложной поперечной геометрии. Развита линейная и нелинейная стационарная теория пучково-плазменных систем. Однако ряда реальных экспериментальных особенностей эти работы не учитывают. Важной особенностью экспериментальной установки является конечность ее длины - наличие выходного рупора, от которого частично отражаются возбужденные пучком плазменные волны. Это отражение может приводить к самовозбуждению плазменного СВЧ генератора и развитию различных нестационарных процессов. Кроме того, само возбуждение пучково-плазменной системы в реальном эксперименте часто обусловлено прохождением фронта пучка, что, очевидно, является также нестационарным процессом. Помимо этого, фактически не изучен вопрос о возможности рассеяния возбуждаемых при черенков-ской пучковой неустойчивости плазменных волн на самом электронном пучке и о влиянии этого рассеяния на спектр и динамику черенковской неустойчивости. Разработке такой нестационарной теории, учитывающей продольно-поперечную ограниченность й неоднородность области пучково-плазменного взаимодействия, возможность выхода из этой области электромагнитного излучения, наличие фронтов пучка, посвящена настоя-

щая работа. Особое внимание в работе уделяется также проведению численных расчетов важнейших характеристик нестационарных пучково-плазменных систем, параметры которых брались непосредственно из известных экспериментов по усилению и генерации электромагнитных волн в пучково-плазменных резонаторах.

Научная новизна работы состоит в рассмотрении нестационарных процессов в плазменном волноводе, возникающих при ннжекции электронного пучка. Исследована возможность возникновения в плазменном резонаторе помимо плазменной волны, вызванной черенковской неустойчивостью, других волн системы. При этом изучается роль отражения от излучающего рупора и фронта пучка в возбуждении плазменного СВЧ генератора, а так же зависимость характера нестационарных процессов от геометрии пучково-плазменной системы. Постановка задачи, учитывающая конечную длину плазменного волновода и другие особенности реальных экспериментальных установок, позволяет при численном моделировании проследить динамику выходного излучения и степень его нестабильности. Примененный аппарат метода медленно меняющихся амплитуд и трехвол-нового приближения для нелинейно взаимодействующих волн позволяет избежать некоторых трудностей подхода, основанного на прямом численном решении уравнений Максвелла-Власова. Численное моделирование, основанное на предложенных методах решения, позволяет рассчитывать характеристики реальных экспериментальных установок.

Практическая ценность работы состоит в развитии теоретической модели пучково-плазменной системы с поперечно-неоднородным заполнением, учитывающей конечность длины волново-

да и отражение от излучающего рупора, возможность рассеяния отраженной волны на электронах пучка и излучения других волн в системе. Предложенная модель и результаты численного моделирования, основанные на ее применении, могут быть использованы при интерпретации проведенных и постановке новых экспериментов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения и списка литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко изложено состояние изучаемой проблемы, рассмотрена актуальность темы, приведено основное содержание работы и основные результаты.

Первая глава посвящена исследованию нестационарных процессов черенковского вынужденного излучения в поперечно-однородном плазменном волноводе конечной длины. Рассмотрен механизм возбуждения системы достаточно резким фронтом тонкого электронного пучка, инжектируемого на вход в систему.

В §1 дается краткое изложение вывода нелинейных уравнений, описывающих нестационарную динамику процессов в плазменном: волноводе конечной длины с отражением на концах. Основным предположением является малость ширины спектра излучения по сравнению со средней частотой плазменной волны. Ток электронного пучка при этом малым не предполагается, и полученные уравнения справедливы для практически важного случая сильноточного пучка. Электроны плазмы описываются в линейном приближении, что позволяет использовать для описания процессов в плааме уравнения холодной гидродинамики. Для моделирования тонкого электронного пучка используется метод

крупных частиц, траектории которых находятся из характеристической системы уравнений Власова. Рассматривалось возбуждение резонансной поперечной гармоники плазменной волны, нерезонансные поперечные гармоники учитывались по теории возмущений. Учет всех поперечных гармоник возбуждаемой плазменной волны приводит к появлению в уравнениях членов, отвечающих за искажение поперечной структуры поля плазменной волны электронным пучком.

Во втором параграфе первой главы рассмотрены вопросы линейной теории плазменного СВЧ генератора. На основе решения граничной задачи доя системы конечной длины с отражением на концах получено выражение для стартовых значений параметров генератора. Получена зависимость тока пучка и длины волновода от коэффициента отражения от излучающего рупора, при которых начинается самовозбуждение генератора.

В §3 приведены результаты численного моделирования нелинейной динамики в системе с поперечно-однородным плазменным заполнением. Обсуждаются вопросы применимости математической модели и сходимости численных методов, используемых при расчетах. Численно исследовалось возбуждение плазменного СВЧ генератора достаточно резким фронтом пучка. При проведении расчетов прослеживалась динамика мощности выходного излучения плазменной волны при увеличении тока пучка и фиксированных остальных параметрах.

В результате численного моделирования подтверждены выводы линейной теории о существовании стартовых параметров системы. Обнаружено существование оптимальных по уровню выходного сигнала и его стабильности режимов генерации. Показано, что при слабо надстартовых токах пучка на выходе из системы устанавливается максимум амплитуды плазменной попутной волны, и там же (вблизи излучающего устройства) нахо-

дится точка, соответствующая механизму стабилизации черен-ковской неустойчивости. В случае поперечно-однородного плазменного заполнения взаимодействие электронов пучка и плазменной волны является сильным, и реализуется одночастичный режим черенковской неустойчивости, при котором стабилизация происходит за счет захвата электронов пучка плазменной волной. Дальнейшее увеличение надстартовых токов пучка приводит к боцее интенсивному взаимодействию пучка и плазменной волны. При этом стабилизация происходит существенно внутри системы, процессы носят сильно нестационарный характер, что приводит к хаотизацип выходного излучения и упшреншо его спектра. Получены зависимости времени установления стационара и его уровня от тока электронного пучка.

Во второй главе исследуется возможность возбуждения тонким электронным пучком в волноводе с поперечно-однородным плазменным заполнением помимо черенковской плазменной волны других волн. В резонаторе конечной длины за счет частичного отражения попутной плазменной волны от излучающего рупора появляется встречная волна, которая может находиться в комбинационном резонансе с другой волноводной модой системы. Рассеиваясь на электронах пучка, эти волны могут влиять на режимы работы черенковского плазменного СВЧ генератора. Таким образом, в системе присутствуют три волноводные моды: попутная плазменная, встречная плазменная и еще одна собственная волна плазменного волновода с частотой и>а и продольным волновым числом кга. В качестве третьей волны может выступать как одна из высокочастотных волноводных мод, так и сильно потенциальная плазменная волна, а так же все эти волны одновременно.

В §1 второй главы рассмотрены различные условия резонан-

са в системе, проведена классификация процессов нелинейного взаимодействия встречной плазменной волны и другой моды системы. В зависимости от частоты плазменных колебаний пучка Г2(, эти процессы могут носить как одночастичный (комптонов-ский), так и коллективный (рамановский) характер. В первом случае неустойчивость, связанная с нелинейным взаимодействием волн, развивается за время меньшее характерного времени колебаний пучка, во втором - соотношение времен противоположное.

В §2 приведен краткий вывод нелинейных уравнений, описывающих как возбуждение за счет вынужденного черенковского излучения попутной плазменной волны, так и нелинейное взаимодействие встречной волны (появившейся первоначально за счет частичного отражения попутной от излучающего рупора) и волны (иа, к2а). Полученные уравнения учитывают нелинейные сдвиги частот как полноводных мод, так и волны плотности пространственного заряда пучка.

§4 второй главы посвящен результатам численного моделирования процессов в системе с участием квазипотенциальной плазменной волны, находящейся в комбинационном резонансе со встречной плазменной волной. Установлено, что черепковская неустойчивость в волноводе развивается значительно раньше неустойчивости, связанной с вынужденным рассеянием встречной и квазипотенциальной волн на электронах пучка. При расчетах прослежизались те изменения, которые вносит нелинейное взаимодействие указанных волн в динамику излучения в плазменном генераторе. Путем численного моделирования установлено, что рассеяние встречной волны на электронах пучка может приводить к накоплению сильно потенциальных плазменных колебаний, запертых внутри резонатора, и снижению эффективности генерации попутной плазменной волны.

Третья глава посвящена задаче возбуждения плазменного СВЧ генератора с поперечно-неоднородным плазменным заполнением в виде тонких пучка и плазмы. Изменение взаимного расположения тонких пучка и плазмы позволяет исследовать процессы в системе как в комптоновском, так и в рамановском режиме.

В §1 третьей главы рассмотрены особенности дисперсии поверхностных волн в плазменном волноводе с тонкой плазмой. Указаны пределы применимости модели бесконечно тонкой плазмы и отмечено, что при возбуждении релятивистским электронным пучком волновода с тонкой плазмой возбуждается сильно непотенциальная поверхностная волна, сравнительно легко выводимая из системы.

Второй параграф третьей главы посвящен получению нелинейных уравнений, отвечающих нестационарной задаче возбуждения плазменной поверхностной волны в волноводе конечной длины с отражением на концах. Используемая полуфеноменологическая формула для коэффициента отражения плазменной волны от излучающего рупора учитывает его зависимость от частоты волны и радиуса плазменной трубки. Встречная волна для выбранной модели имеет также поверхностную структуру и в среднем с электронами пучка не взаимодействует. При получении уравнений учитывалось, что ввиду сильной неоднородности плазмы и пучка в поперечном направлении все поперечные гармоники вносят вклад в поверхностную плазменную волну. Тот факт, что ширина спектра излучения много меньше средней частоты поверхностной плазменной волны, возбуждаемой в системе, позволяет использовать разложение уравнений по малому параметру.

§3 посвящен анализу данной системы в линейном приближении. Дисперсионное уравнение волновода с тонкими пучком и

плазмой по форме является дисперсионным уравнением связанных колебательных систем: плазменной и пучковой. Коэффициент связи, зависящий как от плотности электронов пучка и плазмы, гак и от геометрии системы, определяет характер процессов в системе. При сильном взаимодействии (близко расположенных в пространстве пучке и плазме) имеет место комптоновский режим генерации. При слабой связи (пучок и плазма разведены в пространстве) реализуется рамановский режим.

В §4 приведены результаты численного моделирования нестационарных процессов в волноводе конечной длины с тонкими плазмой и пучком. При этом рассматривалась задача возбуждения плазменного СВЧ генератора релятивистским электронным импульсным пучком с длительностью и временным профилем, близкими £ параметрам реального эксперимента. При проведении расчетов варьировались длина системы Ь и радиус плазмы гр, остальные параметры пучково-плазменной системы для определенности полагались фиксированными. Отмечено существование оптимальных для каждой длины системы значений плазменного радиуса, отвечающих максимальной эффективности генератора. Установлено, что конечная длительность импульса электронного пучка при разнесенных в пространстве пучке и плазме, то есть в области параметров, соответствующих рамановскому механизму пучково-плазменной неустойчивости, повышает порог генерации. Падение эффективности генератора с уменьшением расстояния между пучком и плазмой связано, как и в случае однородного плазменного заполнения, рассмотренного в первой главе, со смещением точки захвата электронов пучка плазменной волной внутри резонатора при компгоновском механизме стабилизации пучково-плазменной неустойчивости.

В четвертой главе показана возможность параметрического взаимодействия высокочастотной и низкочастотной волн, излучаемых в электродинамической системе ондулятора.

В §1 четвертой главы рассмотрены условия резонанса в системе. При выполнении условий черенковского излучения в периодической структуре электронный пучок возбуждает в ондуляторе высокочастотную и низкочастотную электромагнитные волны. Если для этих волн выполнены условия комбинационного резонанса, то возможно их параметрическое взаимодействие. Причем ондуляторные процессы и нелинейное взаимодействие волн может носить как одночастичный, так и коллективный характер.

В §2 получены нелинейные уравнения для взаимодействующих ондуляторных высокочастотной и низкочастотной волн в постановке начальной задачи.

В §3 путем разложения по степеням поля получены уравнения, учитывающие квадратичную нелинейность. Приведены результаты численного моделирования процессов в системе с квадратичной нелинейностью. В зависимости от параметров системы и выполнения различных условий резонанса наблюдались различные процессы. В частности установлено повышение эффективности высокочастотного ондуляторного излучения за счет параметрического отбора энергии у низкочастотной волны накачки.

В §4 получены уравнения, учитывающие кубическую нелинейность в разложении по степеням поля. Численное решение этих уравнений показало, что учет кубических по амплитуде взаимодействующих волн не изменяет характер процессов в системе, но позволяет определить уровни нелинейной стабилизации не-устойчивостей.

В приложении рассмотрено влияние магнитного поля и диэлектрического включения на спектры плазменного волновода. Установлено, что внешнее продольное магнитное поле слабо влияет на условия возбуждения электронным пучком основной поверхностной моды волновода с тонкой плазмой. При увеличении толщины плазмы зависимость от магнитного поля становится существенной. Также проведено исследование влияния диэлектрического кольцевого слоя в плазменном волноводе на дисперсионные характеристики и структуру полей. Введение диэлектрика в замедляющую структуру волновода делает возможным возбуждение за счет эффекта Черенхова в системе высокочастотных электромагнитных волн. Показано, что варьируя параметры плазмы и диэлектрика, можно влиять на поперечное распределение мощности плазменной волны, возбуждаемой релятивистским электронным пучком.

В заключении сформулированы основные результаты работы и выводы, выносимые на защиту.

1. В несильно надстартовой области параметров пучково-плазменной системы конечной длины с отражением на концах п возбуждаемой фронтом пучка обнаружено существование режимов работы генератора, оптимальных по стабильности и эффективности преобразования энергии электронного пучка в энергию излучения плазменной волны (оптимум достигается при токе пучка в полтора раза превышающем стартовый ток). Показано, что дальнейшее продвижение в надстартовую область параметров приводит к хаотизации (уширению спектра) выходного излучения и снижению эффективности. Получены зависимости времени включения генератора и эффективности генерации от тока электронного пучка.

2. Рассмотрено явление резонансного возбуждения помимо

попутной черепковской и встречной плазменных волн других волн в плазменном волноводе конечной длины. Показано, что механизмом возбуждения этих волн является рассеяние встречной волны на электронах пучка. Установлено снижение уровня выходного излучения (более чем вдвое по мощности) за счет накопления запертых в объеме плазмы сильно потенциальных плазменных колебаний.

3. Исследована динамика возбуждения плазменного генератора конечной длины с сильно неоднородным поперечным пучко-во-плазменным заполнением импульсным релятивистским электронным пучком. Обнаружено существование оптимальных по уровню излучения режимов генерации в условиях как компто-новского, так и рамановского механизма пучково-плазменной неустойчивости. Показано, что для каждой длины резонатора существует оптимальное взаимное расположение пучка и плазмы, отвечающее наиболее эффективному преобразованию энергии поступательного движения электронов пучка в энергию излучения.

4. Исследовано нелинейное взаимодействие возбуждаемых в электродинамической системе ондулятора высокочастотной и низкочастотной волн. Показано, что учет параметрического взаимодействия излучаемых пучком в периодической структуре волн приводит к перераспределению энергии между этими волнами. В частности обнаружен эффект увеличения интенсивности высокочастотного ондуляторного излучения за счет энергии низкочастотной волны накачки.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Красильников М.А., Кузелев М.В. Нелинейное взаимодействие попутной и встречной волн, излучаемых электронным

пучком в электродинамической системе ондулятора. - Физика плазмы, 1994, 2Q, Na 5, с. 466-474.

2. Красильников М.А., Кузелев М.В., Панин В.А, Филиппы-чев Д.С. Теория усилителя на релятивистском электронном пучке с диэлектрико-плазменным заполнением. - Физика плазмы, 1993,12, N2 8, с. 1061-1068.

3. Красильников М.А., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. К вопросу о возбуждении электронным пучком поперечно-неоднородного плазменного волновода в конечном магнитном поле. - Кр. со-общ. по физике, 1991, №• 4, с. 7-11.

4. Красильников М.А., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Нелинейная динамика резонансного вынужденного черенковского излучения в пространственно ограниченной плазме. - ЖЭТФ, 1995, 108, № 2(8), с. 521-530.

5. Красильников М.А., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Об установившихся режимах плазменного генератора,- Кр. сообщ. по физике, 1996, Na 7-8, с.22.

6. Krasilnikov М.А., Kuzelev M.V., Rukhadze А.А. Dependence of Microwave Generation on Beam-Plasma System length -Proceedings of the 11th International Conference on High Power Particle Beams, June 10-14, 1996, Prague.

попутной черенковской и встречной плазменных волн других волн в плазменном волноводе конечной длины. Показало, что механизмом возбуждения этих волн является рассеяние встречной волны на электронах лучка. Установлено снижение уровня выходного излучения (более чем вдвое по мощности) за счет накопления запертых в объеме плазмы сильно потенциальных плазменных колебаний.

3. Исследована динамика возбуждения плазменного генератора конечной длины с сильно неоднородным поперечным пучко-во-плазменным заполнением импульсным релятивистским электронным пучком. Обнаружено существование оптимальных по уровню излучения режимов генерации в условиях как компто-новского, так и рамановсхого механизма пучково-плазменной неустойчивости. Показано, что для каждой длины резонатора существует оптимальное взаимное расположение пучка и плазмы, отвечающее наиболее эффективному преобразованию энергии поступательного движения электронов пучка в энергию излучения.

4. Исследовано нелинейное взаимодействие возбуждаемых в электродинамической системе ондулятора высокочастотной и низкочастотной волн. Показало, что учет параметрического взаимодействия излучаемых пучком в периодической структуре волн приводит к перераспределению энергии между этими волнами. В частности,обнаружен эффект увеличения интенсивности высокочастотного ондуляторного излучения за счет энергии низкочастотной волны накачки.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Красильников М.А., Кузелев М.В. Нелинейное взаимодействие попутной и встречной волн, излучаемых электронным

пучком в электродинамической системе ондулятора. - Физика плазмы, 1994, 2Q, N15, с. 466-474.

2. Красильников М.А., Кузелев М.В., Панин В.А, Филшшы-чев Д.С. Теория усилителя на релятивистском электронном пучке с диэлектрихо-плазменным заполнением. - Физика плазмы, 1993, И, Nfi 8, с. 1061-1068.

3. Красильников М.А., Куоелев М.В., Рухадзе А.А. К вопросу о возбуждении электронным пучком поперечно-неоднородного плазменного волновода в конечном магнитном поле. - Кр. со-общ. по физике, 1991, № 4, с. 7-11.

4. Красильников М.А., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Нелинейная динамика резонансного вынужденного черенковского излучения в пространственно ограниченной плазме. - ЖЭТФ, 1995, lM,Nfl2(8), с. 521-530.

5. Красильников М.А., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Об установившихся режимах плазменного генератора,- Кр. сообщ. по физике, 1996, № 7-8, с.22.

6. Krasilnikov М.А., Kuzelev M.V., Rukhadze А.А. Dependence of Microwave Generation on Beam-Plasma System length -Proceedings of the 11th International Conference on High Power Particle Beams, June 10-14, 1996, Prague.