Суперсимметричная квантовая механика, факторизация и сплетание матричных гамильтонианов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1 Многочастичная ССКМ и модели типа Калоджеро.

1.1 Системы с отделимым движением центра масс.

1.2 Внутренняя структура компонент супергамильтониана.

1.3 Примеры.

1.3.1 3-частичная суперсимметричная система.

1.3.2 iV-частичные суперсимметричные системы с парным взаимодействием.

Глава 2 Операторы Данкла.

2.1 Определение операторов Данкла [86], [87] для моделей типа Калоджеро.

2.2 Локальная форма гамильтонианов.

2.3 Сплетающие операторы в локальной форме.

2.4 Операторная природа соотношений сплетания.

2.5 Связь с суперсимметричной квантовой механикой.

Глава 3 Соотношения сплетания с операторами Данкла, не сводимые к суперсимметричной квантовой механике.

3.1 Автоморфные локальные операторы Данкла.

3.2 Примеры с JV = 3.

3.3 Связь между операторами Данкла для L-образных схем Юнга и операторами Лакса.

3.4 Супероператор Лакса для модели Калоджеро в осцилляторном потенциале.

Глава 4 Операторы Данкла и форм-инвариантность.

4.1 Форм-инвариантность модели Калоджеро.

4.2 Форм-инвариантность модели Сазерленда.

4.3 Соотношения сплетания скалярных и матричных гамильтонианов типа Калоджеро.

Глава 5 Суперсимметричная квантовая механика и факторизация гамильтониана Паули.

5.1 Гамильтониан Паули как матричная компонента супергамильтониана.

5.2 Унитарный поворот.

5.3 Зависимость спектра от импульса вдоль оси Х2.

5.4 Более общий метод факторизации.

5.5 Случаи, когда диагонализуем.

Глава 6 Факторизация многомерных матричных гамильтонианов как обобщение многомерной суперсимметричной квантовой механики.

6.1 Обобщение ССКМ, использующее матричный аналог суперпотенциала.

6.2 Сохранение четности фермионного числа.

6.3 Обобщение ССКМ, использующее алгебру Клиффорда.

6.4 Примеры. . . . :.

Настоящая работа посвящена применению многомерной суперсимметричной квантовой механики (ССКМ) и ее обобщений для исследования нерелятивистских квантовых систем в многомерном пространстве, а также квантовых систем нескольких взаимодействующих частиц. Эти системы могут также иметь внутренние степени свободы (например, частицы со спином).

Нерелятивистские квантовые системы, исследуемые в настоящей работе, описываются стационарным уравнением Шредингера [1], соответствующим определенному гамильтониану. Поскольку система N взаимодействующих частиц в одномерном пространстве описывается таким же гамильтонианом, как и одна частица в пространстве N измерений в определенном потенциале, то в дальнейшем мы будем употреблять термин "многомерные квантовые системы", включая в их число также и системы нескольких частиц в одном измерении.

Некоторые из этих систем имеют известный дискретный спектр гамильтониана; такие системы называют точно решаемыми [2]. Если известна только часть спектра, то говорят, что квантовая система является квазиточно решаемой. Для других систем известны интегралы движения, находящиеся в инволюции; если число таких интегралов равно числу степеней свободы системы, то она называется интегрируемой [2].

Разумеется, основная часть многомерных квантовых систем не облада

• I ет свойствами точной решаемости или интегрируемости, и должна исследоваться различными приближенными методами; эта процедура может быть дополнительно затруднена, если частицы в системе обладают внутренними степенями свободы.

Многомерные точно решаемые модели являются инструментом проверки таких приближенных методов [3].

Целью данной работы является расширение класса (квази)точно решаемых моделей, описывающих частицы с внутренними степенями свободы, а также сведение более сложных квантовых систем к более простым, допускающим непосредственное применение приближенных методов.

Для этого в работе применяется формализм многомерной ССКМ и его обобщения. Многомерная ССКМ является обобщением [4]-[8] одномерной, которую мы кратко опишем ниже.

В стандартной одномерной ССКМ [9]-[13] рассматриваются два гамильтониана-суперпартнера, имеющие следующий факторизованный вид:

Н(о) = -d2 + {dW)2-d2W = S+S~; <9 = ^; (0.1)

1) = -d2 + (dW)2 + d2W = S~S+, (0.2) где

S± = Тд + dW; S+ = (S~)l (0.3)

Произвольная вещественная функция W{х) называется суперпотенциалом; при этом, решение уравнения Шредингера с нулевой энергией (не обязательно нормируемое) для имеет вид ф^ = е w.

Если заданы соотношения факторизации вида (0.2), то всегда можно ввести [9]—[13] операторы суперзаряда Q± и супергамильтониан Н: 0 0\ /О s+\

QsU-o); QH оН+),! (0-4)

Я*0) О \ о Ж»)' (0-5) I

Операторы S± и в таком случае называются компонентами суперзарядов и супергамильтониана, соответственно. Соотношения алгебры суперсимметрии:

Q+, Q-} = W; (Q+)2 = (Q= 0; [Q* Н] = 0 (0.6) следуют из определений (0.5) и факторизации (0.2). Последнее равенство в (0.6) эквивалентно следующим соотношениям сплетания:

H(i)s- = 5-я(0). S+H(i) = Я(0)5+ (0.7)

Собственные функции гамильтонианов Н^ переходят друг в друга под действием операторов S*:

Еп) = E~l/2S~ip(0\x-, Еп); следовательно, собственные значения этих гамильтонианов совпадают, за исключением, возможно, нулевого.

С помощью одномерной ССКМ исследовались различные проблемы, и среди них следует отметить классификацию одномерных гамильтонианов, спектры которых могут быть найдены алгебраически. Изначально такая классификация была проведена в [14] посредством метода факторизации, основанного на (0.1),(0.2). В [15]-[18] было показано, что метод факторизации эквивалентен одномерной ССКМ, а для классификации одномерных точно решаемых гамильтонианов было применено понятие форм-инвариантности потенциала: потенциалы в одномерных гамильтонианах-суперпартнерах имеют одинаковую зависимость от координаты х, но соответствуют различным численным значениям параметров, от которых зависит потенциал (т.е. суперпреобразование меняет потенциал, но сохраняет его форму). Заметим, что понятие форм-инвариантности было впервые введено в работе [19].

Связь между точно решаемыми и форм-инвариантными потенциалами исследовалась в [20], где было показано, что форм-инвариантность является достаточным, но не необходимым условием точной решаемости потенциала.

В [21] одномерная ССКМ использовалась для построения вариационного метода нахождения возбужденных состояний одномерного уравнения Шре-дингера.

Одним из возможных обобщений одномерной ССКМ является полиномиальная одномерная ССКМ [22], [23]: в ней строятся соотношения сплетания, аналогичные (0.7), в которых сплетающий оператор является полиномом степени выше первой по производным.

Весьма активно развивается матричное обобщение одномерной ССКМ, в котором суперпотенциал полагается равным некоторой квадратной матрице [24]-[32]. Это обобщение полезно прежде всего для исследования систем с сильной связью каналов [33],[34]. Интересно, что одномерная матричная ССКМ, как и скалярная, позволяет строить матричные одномерные гамильтонианы, обладающие свойством форм-инвариантности [35], [36].

Одно из наиболее естественных обобщений стандартной одномерной суперсимметричной квантовой механики описывает системы в произвольном числе измерений d [4]-[8] и носит название многомерной ССКМ.

В этом случае соотношения алгебры суперсимметрии (0.6) по-прежнему выполняются, но роль супергамильтониана играет матричный 2d х 2d блочно-диагональный оператор с d+1 компонентами на диагонали. Эти компоненты являются операторами типа Шредингера с матричными Cft1 х С^1 потенциалами (Cj4— биномиальные коэффициенты, М = 0,1 ,.,d). Суперзаряды также являются матричными 2d х 2d операторами первого порядка по производным. Из (0.6) следует, что всякие две соседние компоненты супергамильтониана сплетаются определенным матричным оператором первого порядка по производным (а именно, соответствующей компонентой суперзаряда). Отсюда следует, что спектр каждой компоненты состоит из собственных значений, которые совпадают с частью собственных значений соседних компонент супергамильтониана. Соответствующие собственные функции связывает друг с другом действие компонент суперзаряда. Такие преобразования называются также многомерными преобразованиями Дарбу1. Данный подход был успешно применен для исследования некоторых 2-х и 3-х мерных физических систем [39], [40].

В частности, в случае d = 2 супергамильтониан состоит из трех блоков на диагонали, два из которых скалярные, а один - матричный размерности

13аметим, что многомерные преобразования Дарбу допускают обобщение на случай искривленного пространства [37], [38].

2x2. Соотношения сплетания ССКМ позволяют связать спектр матричной компоненты супергамильтониана со спектрами скалярных. Таким образом, осуществляется своего рода диагонализация матричного гамильтониана; это полезно в случае, если он не может быть диагонализован посредством поворота под действием постоянной унитарной матрицы или другими тривиальными преобразованиями. Разумеется, предпочтительнее рассматривать именно диагональный оператор, поскольку для нахождения его спектра можно непосредственно примененять приближенные методы.

Одним из главных примеров матричных гамильтонианов размерности 2x2 является оператор Паули, описывающий поведение нерелятивистской частицы спина 1/2 в трехмерном пространстве в электромагнитном и некотором скалярном поле (не обязательно электростатического происхождения). В работе [40] впервые было предложено отождествить2 оператор Паули и 2 х 2 матричную компоненту супергамильтониана при d = 2. При этом рассматриваются только такие конфигурации полей в операторе Паули, которые допускают отделение одной из трех пространственных переменных. После такого отделения оператор Паули становится 2x2 матричным оператором в двумерном пространстве и может быть отождествлен с матричной компонентой супергамильтониана.

Диагонализация оператора Паули также рассматривалась в работах [41], [42], в которых была показана эквивалентность оператора Паули и некоторого нелокального диагонального оператора в случае, когда внешние поля в операторе Паули обладают определенной симметрией относительно пространственных отражений.

Заметим, что существуют и совершенно другие способы использования суперсимметричной квантовой механики для исследования операторов Паули

23аметим, что в данном подходе гиромагнитное отношение 2/i/e в операторе Паули может быть любым, и не обязательно равно 2, в отличие от работ, которые мы рассмотрим ниже. В частности, наиболее удобно рассматривать системы с е = 0, так как для них оператор Паули не содержит ковариантных производных, так же как и матричная компонента супергамильтониана.

4],[43]-[48], [36]. В этих работах оператор Паули совпадает со всем супергамильтонианом3, а не с какой-либо его компонентой. Соответственно, не ставится задача о диагонализации оператора Паули. Кроме того, гиромагнитное отношение, как правило, полагается равным 2. Тем не менее, представляет интерес вопрос о связи этих подходов к суперсимметризации оператора Паули и формализма [40].

В этой связи возникает еще один вопрос: о возможности обобщения формализма многомерной ССКМ, развитого в [5]-[8]. Одно из таких обобщений было предложено уже в [8]: по аналогии с одномерной ССКМ, можно перейти от скалярного суперпотенциала к матричному в частном случае d = 2, что могло бы позволить строить итерации многомерного преобразования Дарбу.

С другой стороны, в работе [4] рассматривались различные обобщения многомерной ССКМ с использованием алгебр Клиффорда. Связь алгебр Клиффорда и суперсимметрии была также исследована в [49].

Двумерная ССКМ, так же как и одномерная, допускает полиномиальное обобщение, при котором два скалярных двумерных гамильтониана сплетаются оператором, являющимся полиномом степени выше первой по производным [50]-[52]. В частности, в [52] построена полиномиально-суперсимметричная модель в двух измерениях, обладающая свойством форм-инвариантности. Там же показано, что длй многомерных суперсимметричных систем, в отличие от одномерных, свойство форм-инвариантности позволяет, вообще говоря, найти только часть собственных значений и функций гамильтонианов-суперпартнеров. Таким образом, из свойства форм-инвариантности гамильтониана в этом случае следует только то, что он является квазиточно решаемым.

Представляется интересным применить описанный выше формализм многомерной ССКМ к системам с другой возможной интерпретацией нескольких

3Интересно, что оператор Паули для частицы спина 1/2 в магнитном поле тонкого длинного проводника с током после разделения переменных в цилиндрических координатах переходит в одномерный матричный гамильтониан, обладающий свойством форм-инвариантности [45], [36]. степеней свободы в супергамильтониане. А именно, он кажется полезным при описании суперсимметричных систем N взаимодействующих квантовых частиц на прямой, прежде всего, точно решаемых. Для таких систем, ССКМ строится в пространстве размерности d = iV, и суперсимметричный гамильтониан обычно является обобщением точно решаемого скалярного (бозонно-го) гамильтониана.

Наиболее известные точно решаемые и интегрируемые модели N квантовых частиц на прямой приведены в [2], [53]. А именно, это модель Калоджеро [3], [54], [55], описываемая гамильтонианом

N N /2 / t=l i^j Л J J тригонометрическая 4 модель Сазерленда (ТС) [55],[57]-[59]:

N I2 -I

Я^-А + Е .О, ' (0.9) i^j sm (Xi — Xj) и модель Бете-Янга [60]-[65]:

Я = -Д+l2 J26(xi - Xj). (0.10)

Здесь Xi - координаты частиц; Д = T^fLi Для краткости будем далее называть эти модели моделями типа Калоджеро. В [2], [53] показано, что они t являются предельными случаями интегрируемой модели, гамильтониан которой записывается в терминах эллиптических функций Вейерштрасса. Однако для этой модели пока не построено суперсимметричного обобщения, так что в данной диссертации она не будет рассматриваться.

Мы также ограничимся рассмотрением моделей, соответствующих системе корней Ayv, т.е., систем частиц на прямой с парным взаимодействием. Существуют также системы типа Калоджеро, соответствующие другим системам корней, в которых взаимодействие может быть непарным [66]-[72]. отличие от гиперболической модели Сазерленда (сокращенно ГС) [56], в которой вместо синуса в знаменателе стоит гиперболический синус.

Суперсимметричное обобщение N—частичной модели Калоджеро было впервые рассмотрено в статье [73], где был также найден его спектр. В работах [74], [66] были предложены альтернативные способы нахождения спектра суперсимметричной модели Калоджеро. В работе [74] была установлена связь между суперсимметричной моделью Калоджеро и группой перестановок фер-мионных переменных. Заметим, что в работах [75]-[80] было показано, что N— частичная модель Калоджеро в осцилляторном потенциале связана преобразованием подобия с системой N осцилляторов. Аналогично, в [81] было построено преобразования подобия, связывающее суперсимметричную TV-частичную модель Калоджеро и систему N суперосцилляторов.

Суперсимметричное обобщение N—частичной модели Сазерленда было построено в [82], где была также установлена ее связь с группой перестановок фермионных переменных. Спектр этой модели был найден в [66]; см. также [83], [84], где доказана ее суперинтегрируемость.

Суперсимметричные модели Калоджеро, Сазерленда и их обобщения для произвольной системы корней подробно рассмотрены в [66], [71]. Их связь с лапласианами Ходжа рассматривалась в [85].

В работах [86]-[90] рассмотрены нелокальные обобщения моделей Калоджеро и Сазерленда, для которых свойства интегрируемости и точной решаемости доказываются с помощью формализма операторов Данкла [91]. На классе функций с определенной симметрией нелокальные гамильтонианы, соответствующие этим системам, совпадают с гамильтонианами спиновых моделей Калоджеро и Сазерленда, в которых частицы имеют внутренние степени свободы. Это позволяет [87]-[92] делать выводы о свойствах спиновых моделей, поскольку известны свойства нелокальных.

Операторы Данкла построены не только для моделей типа Калоджеро, соответствующих системе корней Д\г, но и для остальных [67]-[72].

В работе [93] была предложена (но не доказана) гипотеза, что (суперсимметричные) модели типа Калоджеро обладают свойством форм-инвариантности. В работах [54], [87], [89] было показано, что нелокальная модель Ка-лоджеро обладает свойством форм-инвариантности; при этом использовались операторы Данкла. В [89], в частности, было установлено свойство форм-инвариантности нелокальной модели Калоджеро для произвольной системы корней. Там же было высказано предположение, что тригонометрическая модель Сазерленда для произвольной системы корней обладает свойством форм-инвариантности.

Диссертация состоит из Введения, пяти глав и Заключения, в котором сформулированы основные результаты, полученные автором и выносимые на защиту. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [94]-[96].

Основные выводы диссертационной работы:

1. Установлено, что в фермионных координатах Якоби супергамильтониан для моделей с независимым движением центра масс является блочно-диагнональным оператором с 2N компонентами на диагонали. Каждая из этих компонент представляет собой матричный гамильтониан шре-дингеровского вида.

2. Развит метод построения квазиточно решаемых матричных гамильтонианов, являющихся компонентами супергамильтониана в фермионных координатах Якоби.

3. Доказано, что каждая из 2N компонент на диагонали супергамильтониана модели типа Калоджеро в фермионных переменных Якоби является матричным гамильтонианом типа Калоджеро, соответствующим определенному неприводимому представлению Sдг.

4. Показано, что соотношения алгебры суперсимметрии для многочастичных суперсимметричных моделей типа Калоджеро эквивалентны соотношениям сплетания матричных гамильтонианов типа Калоджеро.

5. Построены локальные операторы Данкла, не содержащие обменных операторов, совпадающие на бозонных функциях с обычными операторами

• Данкла. Установлено, что для произвольных матричных гамильтонианов типа Калоджеро (за исключением модели Бете-Янга) справедливы соотношения сплетания с участием локальных операторов Данкла, частным случаем которых являются соотношения сплетания ССКМ.

6. Построен класс точно решаемых операторов типа Дирака в пространстве произвольной размерности.

7. Найдена связь между локальными операторами Данкла и супероператорами Лакса. Построены супероператоры Лакса для модели Калоджеро в осцилляторном потенциале. Установлена их связь с операторами Данкла. Показано, что из соотношений сплетания локальных операторов Данкла и матричных гамильтонианов типа Калоджеро следуют соотношения сплетания с участием супергамильтонианов типа Калоджеро и соответствующих супероператоров Лакса.

8. С помощью соотношений сплетания локальных операторов Данкла и матричных гамильтонианов Калоджеро установлено свойство форм-инвариантности матричных моделей Калоджеро в осцилляторном потенциале, позволяющее найти часть их спектра.

9. Доказано свойство форм-инвариантности скалярных моделей Сазерленда, что позволило найти часть спектра тригонометрической модели. Построены соотношения сплетания между скалярными и матричными гамильтонианами Сазерленда для произвольного неприводимого представления Sn, что позволяет получить часть спектра соответствующей матричной тригонометрической модели Сазерленда.

10. Известный метод диагонализации операторов Паули посредством ССКМ [40] обобщен на случай магнитного поля, соответствующего ненулевой плотности электрического тока. Найдены конфигурации полей в операторе Паули, допускаЬщие применение этого метода. Построено его обобщение, в котором обычные производные в супергамильтониане и суперзарядах заменены ковариантными, позволяющее диагонализовать более широкий класс операторов Паули.

11. Построено обобщение ССКМ в произвольном числе измерений, использующее матричные аналоги суперпотенциала. Его частными случаями являются стандартная многомерная ССКМ и одномерная матричная ССКМ.

12. Построено обобщение ССКМ в произвольном числе измерений, в котором суперзаряд включает члены, нелинейные по элементам алгебры Клиффорда.

Заключение

1. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшитц, "Квантовая механика (нерелятивистская теория)",М., Наука, 1989.

2. M.A.Olshanetsky, A.M.Perelomov, Phys.Rep., 94(1983)6.

3. F.Calogero, Journ.Math.Phys., 12(1971)419.

4. M.de Crombrugghe, V.RAttenberg, Ann.Phys., 151(1983)99.

5. А.А.Андрианов, Н.В.Борисов, М.В.Иоффе, М.И.Эйдес, ТМФ, 61(1984)17.

6. A.A.Andrianov, N.V.Borisov, M.I.Eides, M.V.Ioffe, Phys.Lett., A109(1985)143.

7. A.A.Andrianov, N.V.Borisov, M.V.Ioffe, Phys.Lett., A105(1984)19.

8. А.А.Андрианов, Н.В.Борисов, М.В.Иоффе, ТМФ 61(1984)183.

9. E.Witten, Nucl.Phys., B188(1981)513.

10. E.Witten, Nucl.Phys., B202(1982)253.

11. A.Lahiri, P.K.Roy , B.Bagchi, Int.Journ.Mod.Phys., A5(1990)1383.i

12. F.Cooper, A.Khare, U.Sukhatme, Phys.Rep., 25(1995)268.

13. G.Junker, "Supersymmetric methods in quantum and statistical physics", Berlin, Springer, 1996.

14. L.Infeld, T.E.Hull, Rev.Mod.Phys., 23(1951)21.

15. R.Dutt, A.Khare, U.Sukhatme, Phys.Lett., B181(1986)295.

16. J.Dabrowska, A.Khare, U.Sukhatme, Journ.Phys., A21(1988)L195.

17. F.Cooper, J.N.Ginocchio, A.Wipf, Phys.Lett., A129(1988)145.

18. A.Khare, U.Sukhatme, Journ.Phys., A21(1988)L501.

19. Л.Э.Генденштейн, Письма ЖЭТФ, 38(1983)299.

20. F.Cooper, J.N.Ginocchio, A.Khare, Phys.Rev., D36(1987)2458.

21. E.Gozzi, M.Reuter, W.D.Thacker, Phys.Lett., A183(1993)29.

22. A.A.Andrianov, M.V.Ioffe, V.P.Spiridonov, Phys.Lett., A174(1993)273.

23. A.A.Andrianov, F.Cannata, J.-P.Dedonder, M.V.Ioffe, Int.Journ.Mod.Phys., A10(1995)2683.

24. R.D.Amato, F.Cannata, J.-P.Dedonder, Phys.Rev., A38(1988)3797.

25. R.D.Amato, F.Cannata, J.-P.Dedonder, Phys.Rev.Lett., 61(1988)2901.

26. R.D.Amato, F.Cannata, J.-P.Dedonder, Int.Journ.Mod.Phys., A5(1990)3401.

27. F.Cannata, M.V.Ioffe, Phys.Lett., B278(1992)399.

28. F.Cannata, M.V.Ioffe, Journ.Phys., A26(1993)L89.

29. A.A.Andrianov, F.Cannata, M.V.Ioffe, D.N.Nishnianidze, Journ.Phys., A30(1997)5037.j

30. Б.Н.Захарьев, В.М.Чабанов, ЭЧАЯ, 30(1999)277.

31. V.M.Chabanov, B.N.Zakhariev, I.V.Amirkhanov, Ann.Phys., 285(2000)1.

32. Б.Н.Захарьев, В.М.Чабанов, "Послушная квантовая механика", Институт компьютерных исследований, М., 2002.

33. J.-M.Sparenberg, D.Baye, Phys.Rev.Lett., 79(1997)3802.

34. H.Leeb, S.A.Sofianos, J.-M.Sparenberg, D.Baye, nucl-th/0008054.

35. T.Fukui, Phys.Lett., A178(1993)l.

36. R.de Lima Rodrigues, V.B.Bezerra, A.N.Vaidya, Phys.Lett., A287(2001)45.

37. А.А.Андрианов, М.В.Иоффе, Цю Чжун-пин, Вестник ЛГУ, 25(1988)3.

38. A.Gonsalez-Lopez, N.Kamran, hep-th/9612100.

39. A.A.Andrianov, N.V.Borisov, M.V.Ioffe, Phys.Lett., B181(1986)141.

40. A.A.Andrianov, M.V.Ioffe, Phys.Lett., B205(1988)507.

41. J.Niederle, A.Nikitin, Journ.Math.Phys., 40(1999)1280.

42. A.Nikitin, Int.Journ.Mod.Phys., 14(1999)885.

43. Л.Э.Генденштейн, Письма ЖЭТФ, 39(1984)234.

44. G.Levai, F.Cannata, Journ.Phys, A32(1999)3947.

45. A.I.Voronin, Phys.Rev., A43(1990)29.

46. S.M.Klishevich, M.S.Plyushchay, Nucl.Phys., B616(2001)403.

47. F.Cooper, A.Khare, R.Musto, A.Wipf, Ann.Phys., 187(1988)1.

48. T.E.Clark, S.T.Love, S.R.Nowling, Mod.Phys.Lett., A15(2000)2105.

49. C.J.L.Doran ,S.F.Gull, A.N.Lasenby, 'Spinors, twistors and Quantum Deformations"(editors: Oziewicz Z, Jancevicz B, Borowiec A), P.215, Kluwer Academic, 1993.

50. А.А.Андрианов, М.В.Иоффе, Д.Н.Нишнианидзе, ТМФ, 104(1995)463.

51. A.A.Andrianov, M.V.Ioffe, D.N.Nishnianidze, Phys.Lett., A201(1995)103.

52. F.Cannata, M.V.Ioffe, D.N.Nishnianidze, Journ.Phys., A35(2002)1389.

53. F.Calogero, Lett.Nuov.Cim., 13(1975)411.

54. L.Brink, T.H.Hansson, M.A.Vasiliev, Phys.Lett., B286(1992)109.

55. W.Ruhl, A.Turbiner, Mod.Phys.Lett., A10(1995)2213.

56. F.Calogero, O.Ragnisco, C.Marchioro, Lett.Nuov.Cim., 13(1975)383.

57. B.Sutherland, Phys.Rev., A4(1971)2019.

58. B.Sutherland, Phys.Rev., A5(1972)1372.

59. L.Lapointe, L.Vinet, Comm.Math.Phys., 178(1996)425.

60. Ф.А.Березин, Г.П.Похил, В.М.Финкельберг, Вестник МГУ, 1(1964)21.

61. H.A.Bethe, Zs.Phys., 71(1931)205.

62. E.Brezin, J.Zinn-Justin, Compt.Rend.Acad.Sci.Paris 263B, №11(1966)670.

63. E.H.Lieb, W.Liniger, Phys.Rev., 130(1963)1605.

64. C.N.Yang, Phys.Rev.Lett., 19(1967)1312.

65. C.N.Yang, Phys.Rev., 168(1968)1920.

66. L.Brink, A.Turbiner, N.Wyllard, Journ.Math.Phys., 39(1998)1285.

67. A.J.Bordner, E.Corrigan, R.Sasaki, Prog.Theor.Phys., 100(1998)1107.

68. A.J.Bordner, R.Sasaki, K.Takasaki, Prog.Theor.Phys., 101(1999)487.

69. A.J.Bordner, RSasaki, Prog.Theor.Phys., 101(1999)799.

70. S.P.Khastgir, R.Sasaki, K.Takasaki, Prog.Theor.Phys., 102(1999)749.

71. A.J.Bordner, N.S.Manton, R.Sasaki, Prog.Theor.Phys., 103(2000)463.

72. S.P.Khastgir, A.J.Pocklington, R.Sasaki, Journ.Phys., A33(2000)9033.

73. D.Z.Freedman, P.F.Mende, Nucl.Phys., B344(1990)317.

74. L.Brink, T.H.Hansson, S.E.Konstein, M.A.Vasiliev, Nucl.Phys., B401(1993)591.

75. N.Gurappa, P.K.Panigrahi, Phys.Rev., B59(1999)R2490.

76. N.Gurappa, P.K.Panigrahi, quant-ph/9710019.

77. N.Gurappa, P.K.Panigrahi, Phys.Lett., A224(1998)467.

78. H.Ujino, A.Nishino, M.Wadati, Journ.Phys.Soc.Japan, 67(1998)2658.

79. T.H.Baker, P.J.Forrester, Nucl.Phys., B492(1997)682.

80. T.Brzezinski, C.Gonera, P.Maslanka, Phys.Lett., A254(1999)185.

81. P.K.Ghosh, Nucl.Phys., B595(2001)519.

82. B.S.Shastry, B.Sutherland, Phys.Rev.Lett., 70(1993)4029.

83. P.Desrosiers, L.Lapointe, P.Mathieu, Nucl.Phys., B606(2001)547.

84. P.Desrosiers, L.Lapointe, P.Mathieu, hep-th/0210190.

85. P.Bracken, N.Kamran, Journ.Geom.Phys., 30(1999)283.

86. A.P.Polychronakos, Phys.Rev.Lett., 69(1992)703.

87. J.A.Minahan, A.P.Polychronakos, Phys.Lett., B302(1993)265.

88. V.Pasquier, hep-th/9405104.

89. P.Ghosh, A.Khare, M.Sivakumar, cond-mat/9710206.

90. V.I.Inozemtsev, R.Sasaki, hep-th/0105164.

91. C.F.Dunkl, Trans.Amer.Math.Soc., 311(1989)167.

92. B.Basu-Mallick, hep-th/9602107.

93. C.Efthimiou, H.Spector, Phys.Rev., A56(1997)208.

94. M.V.Ioffe, A.I.Neelov, Journ.Phys., A33(2000)1581.

95. M.V.Ioffe, A.I.Neelov, Journ.Phys., A35(2002)7613.

96. М.В.Иоффе, А.И.Неелов, Вестник СПбГУ, 2(1999)23.

97. M.Reed, B.Simon, "Methods of modern mathematical physics", Vol.III, Academic Press, New York, 1978.

98. A.Turbiner, Commun.Math.Phys., 118(1988)467.

99. М.Хаммермеш, "Теория групп и ее применение к физическим проблемам", М., Едиториал УРСС, 2002.

100. О.Бор, Б.Моттельсон, "Структура атомного ядра", T.l, М., Мир, 1971.I1. Q il/020'3'03