Обобщенные суперсимметричные модели в квантовой механике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ОБОБЩЕННЫЕ СУПЕРСИММЕТРИЧНЫЕ МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

(01.04.02 - теоретическая физика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995 г.

Работа выполнена в отделе теоретической физики Научно-исследс вательского института физики Санкт-Петербургского государственног университета.

Научные руководители:

Ведущая организация - Научно-исследовательский институт ядерно физики Московского государственного университета

те диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-матем тических наук в Санкт-Петербургском государственном университете I адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского университета.

доктор физико-математических наук кандидат физико-математических наук

А.А.Андриано! М.В.Иофф(

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук доктор физико-математических наук

М.А.Салль В.А.Николаев.

Автореферат разослан НС ^'¿/У/-1995

Ученый секретарь

диссертационного совета профессор

С.Н.Манида

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

ктуалыюсть темы. Известна фундаментальная роль, которую игра-г в физике классические алгебры Ли. С начала 70-х годов активно изу-1ются супералгебры, обобщающие понятие алгебры Ли на случай си-ем с коммутирующими и антикоммутирующими переменными. Этот шьш аппарат эффективно используется в различных областях совре-знной физики: теории струн, супергравитации, статистической физике т. д. Большой интерес вызывает простейшая суперсимметричная моль - сунерсимметричная квантовая механика (ССКМ), которую мож-) рассматривать как (0+1)-мерную теорию поля и которая позволяет хледовать ряд проблем суперсимметрии. Суперсимметричная кванто-1Я механика интересна и непосредственно с точки зрения практических лач квантовой механики, т. к. она.тесно связана с методом фактори-щпн, позволяющим устанавливать аналитическое соответствие между юктрами и волновыми функциями различных квантовых гамнльтопи-юв (преобразование Дарбу). Идея супер симметрии дала возможность злее глубоко понять, почему некоторые потенциалы являются точно ре-[аемыми, что, в свою очередь, привело к возникновению новых прибли-енных методов исследования задач квантовой механики. Обобщение реобразований Дарбу на двумерный случай можно использовать Для гшения двумерных нелинейных уравнений, кроме того, оно позволяет аходить скрытые динамические симметрии в различных моделях и стро-гь системы с заданными спектральными свойствами.

В последние годы интенсивно изучаются квантовые системы, обладаю-ше па.расуперсимметрией. Для таких систем характерно многократное ырождение уровней. Алгебра парасуперсиммстрин является дальней-гим обобщением понятия алгебры Ли: здесь генераторы удовлетворяют ерестановочным соотношениям степени, большей 2, и описывают пре-эразования, смешивающие бозонные и параферммонные поля.

Целью диссертации является:

- Построение гамильтонианов с эквивалентными спектрами в двух из мерениях при помощи преобразования Дарбу первого и второго порядк; по производным и нахождение скрытых динамических симметрии выс шего порядка.

- Исследование классического предела ССКМ и анализ двумерных кла' сических систем, имеющих интегралы движения четвертой степени п< импульсам.

- Построение многомерных квантово-механических систем, обладаю щих парасуперсимметрией, как (0+1)-мерной теории парасуперполя.

Научная новизна и практическая ценность. Дана общая класж] фикация двумерных преобразованиий Дарбу, являющихся операторам второго порядка по производным. В диссертации впервые построены двз мерные суперсимметричные модели, супералгебра которых замыкаете на операторы динамической симметрии. Разработан новый, суперсш метричный, метод нахождения классических систем, имеющих интегр; лы движения четвертого порядка. В рамках парасуперполевого подх< да построены парасуперсимметричные квантовомеханичеекме системы осцилляторным взаимодействием в произвольной размерности простра] ства.

Практическая ценность определяется значительной общностью пол; ченных результатов, которые могут быть в дальнейшем использован для построения двумерных, в т.ч. многоканальных, потенциалов с зада ным спектром связанных состояний. Исследование многомерных обобш ний преобразований Дарбу позволяют строить новые решения многоме ных нелинейных дифференциальных уравнений. Идея парасуперполев го подхода может быть развита для более сложных взаимодействий, ч( многомерное осцилляторное взаимодействие.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на на-■чшлх семинарах Университета Змгена (Германия), Института М.Планка i Штуттгарте (Германия), Института ядерной физики Орсэ (Париж) и [аучных семинарах СПбГУ.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано четыре ра-1оты.

Структура п объем диссертации. Диссертация состоит из введе-[ия, трех глав и приложения. Полный объем диссертации - 95стр., ключая список литературы из 70 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обоснование актуальности, целей и задач дис-ертации и .приводится краткое изложение ее содержания, определяется :руг вопросов, составляющих основной предмет дальнейшего рассмотре-

1ИЯ.

Первая глава имеет вводный характер, в ней изложены известные . 1езультаты по одномерной суперсимметричной квантовой механике, в добной для дальнейшего форме. В разд. 1.1 дано краткое описание яномерной стандартной ССКМ. Она порождается дифференциальными ператорами первого порядка по производным (операторами суперзаря-ia) Q±, которые вместе с гамильтонианом системы образуют обычную упералгебру:

(Ог)2 = 0, {Q\Q-} = E-e, [дМП = 0, (1)

де е - произвольная константа. Супергамильтониан состоит из двух [зоспектральных гамильтонианов, волновые функции которых связаны ператорами Q±. Преобразование, задаваемое операторами Q±) совпадет с преобразованием Дарбу. Относительное расположение спектров амильтонианов ftW и зависит от выбора функции ф(1\х,е), которая вляется решением уравнения Шредингера: Последова-

тельное применение преобразований Дарбу приводит к серии потенциалов спектр энергии и волновые функции которых строятся чере: исходные.

Существование состояний с энергией Е = е определяется только гло бальными свойствами суперпотенциала и не зависит от его конкретной вида. Если состояние с энергией Е = е существует, то оно невырождешк и сулерсимметрия не нарушена. Все состояния с энергией Е > едвукрат но вырождены и переводятся друг в друга операторами Qi. Для нахо ждения критериев спонтанного нарушения суперсимметрии Виттен BBej величину (индекс Виттена) Д^ = Nb~ Np, где Nb, Np - числа бозонны: и фермионных состояний с энергией Е — е. Условие Aiy = 0 являете; необходимым (но не достаточным) условием того, что суперсимметри: спонтанно нарушена.

В разд. 1.2 рассматривается обобщение простой суперсимметрии, осш ванное на одномерных преобразованиях Дарбу, которое осуществляете: дифференциальными операторами второго (и выше) порядка но пронз водным. Вместо линейного оператора в алгебре (1) используется диффе ренциальный оператор второго порядка по производным. Лнтикоммута тор суперзарядов превращается в квазигамильтониан, который являете диагональным дифференциальным оператором четвертого порядка и, общем случае, не имеет Шредингеровской формы. Из условия сохранени суперзаряда вытекает, что квазигамильтониан является полиномом от 1 с постоянными коэффициентами, и антикоммутатор принимает вид:

{Q+,<r} = (tf-a)a + 4 где and- произвольные константы. Потенциалы эквивалентных ге мильтонианов выражаются через произвольную вещественную функции Для отрицательных значений константы d преобразование Дарбу второг порядка можно осуществить через промежуточный гамильтониан, козч рын является суперпартнером как так и Д-2' (с обычной сунералп брой). Когда d > 0 промежуточный гамильтониан становится пеэрмнтс

гм, а ир собрало пан и я первого порядка осуществляются комплексными нерпотенцналами. В этом смысле преобразования при й > 0 можно ределить как неприводимые. Для произвольного знака (I полиномиаль-я СУСИ-алгебра более высокого порядка может быть построена как из ычных СУСИ-нрсобразований (первого порядка по производным), так из неприводимых СУСИ-преобразований второго порядка по производим:

■ +ау=п.

торая глава посвящена двумерной суперсимметричной квантовой ме-,нике. В разд. 2.1 исследованы двумерные преобразования Дарбу, 1Торые связывают двумерные эквивалентные гамильтонианы. В слу-ю, когда супергамнльтоннан и сунерзаряды удовлетворяют обычной иералгебре, компоненты сунергамильтониана являются матричными -мильтонианами, т.е. эквивалентность спектров устанавливается толь) между двумерными матричными гамильтонианами. Далее изучается >зможность построения скалярных двумерных эквивалентных гамиль-шиаиов, которые связаны между собой соотношениями сплетания д*1:

Л<1У" = 9+А(а),- = (2)

случае дифференциальных операторов д± первого порядка по произ-)дным сплетаемые гамильтонианы включают в себя только потендиа-л с разделяющимися переменными в декартовых или полярных систе-ах координат, и поэтому не представляют особого интереса. Однако, отличие от одномерного случая, алгебра супер си мметрнн замыкается г диагональный матричный оператор второго порядка по производным, ггорый является оператором симметрии сунергамильтониана.

Следующим шагом построения эквивалентных двумерных скалярных гмилътонианов является использование оператора суперпреобразования горого порядка по производным.

Сначала такое преобразование построено из ранее известных изоспе тральных матричных гамильтонианов по аналогии с одномерной схемо Полученные потенциалы представляют собой обобщенный гармонич ский осциллятор с блочной эквивалентностью уровней.

После этого рассматриваются соотношения сплетания (2) с сунерз рядом общего вида:

7+ = h2glk{S)d,d, + hC,(x)d, + B{z).

где h - постоянная Планка, а все коэффициентные функции вещественн] Уравнения сплетания полностью определяют допустимую форму м трики gik(x), и, по вторым производным мы различаем четыре клас преобразований:

qW+ =уА + CA + В\

= äPl + 7Д + CA + В\ g<3>+ = 5{ J, A} + 7А + CA + B-, g(4)+ = äJ2 + ßPl + 7Д + CA + B.

где J, P- генераторы вращений и трансляций, соответственно, а а =4 О Три коэффициентные функции в операторе суперзаряда и два поте циала удовлетворяют системе нелинейных дифференциальных уравнен: (уравнения согласования), состоящей из шести уравнений. В общем в де решение этой системы неизвестно. В следующих параграфах дают решения для преобразований с постоянной метрикой.

Обобщенная супералгебра приводит к появлению оператора сим!^ трии R для гамильтониана Я:

{Q+,Q-} = R-, [R,E] = 0.

Этот оператор определяет динамическую симметрию высшего пор* ка, которая, в общем случае, не может быть представлена в виде полш ма от гамильтониана Н и оператора симметрии второго порядка. Кс

поленты диагонального оператора В. являются скалярными операторами симметрии для скалярных двумерных гамильтонианов.

В разд. 2.2 в случае единичной метрики да получены общие решения уравнений согласования в переменных (Л = 1)

Г ¿г Г ¿г . г в.г [ ¿г

п = Ус+Уё; 17-2 = У "С " У ~С'

С5 = (С! + ¿С2) = аг7 + 8/Зг + 7; 2 = гх + ¿х2, (4)

где а-вещественная константа. Переменные тх, т% связаны с обычными параболическими, эллиптическими или полярными координатами. Показано, что оператор Я может быть представлен как полином от гамильтониана системы и оператора динамической симметрии второго порядка Я:

Я = Я2 + 1г)Е + Л,

где 1] - вещественная константа. Как следствие, динамические системы, допускающие симметрию такого типа, являются интегрируемыми, и спектральные проблемы для них могут быть решены обобщенным методом разделения переменных. Кроме того, собственные функции гамильтонианов и связанные преобразованием Дарбу, соответствуют состояниям с одинаковой энергией и с одинаковым собственным значением операторов симметрии. Нормированные волновые функции связаны соотношениями:

фО) = 1 гт+Ч'т- ФИ = 1

где г„- собственные значения оператора симметрии.

Для разных значений констант в уравнении (4) потенциалы и операторы симметрии имеют разный вид. В случае а = 0,/? ф 0 получено, Ч1с:

им _ Н)'2т-1 + №*1+ _

-Йг[((-1 )''2r, + - t1F(T2)} -

Tl + ~7

Когда p = 0, a > 0, находим, что:

yW =

К-ФП + ^ + Пп)}-*

1

2(Л + Si)

где

] / kP 4

/i = -(aexp(v/a- Ti) + — exp(-v/a- n)J;

/2 = ^(lexpOVa ' Ti) + 7cxp(~i'V« • r2)V

В обоих случаях ^^-произвольная вещественная функция. Анализ случая /? = 0, a < 0 аналогичен.

Для специального выбора а>0,/? = 7 = 0 супсрзаряд факторизуст-ся на произведение двух обычных супероператоров, что соответствует разделению переменных в полярных координатах.

Показано, что, в зависимости от значений констант а,/?,7, суперзаряды для данной метрики или не имеют нормированных нуль-мод, т.е. спектры связанных состояний гамильтонианов h^ и h^ полностью совпадают, или только один из них имеет нуль-моду, и каждому состоянию с данной энергией соответствует одна нуль-мода.

В разд. 2.3 рассмотрено преобразование второго порядка для Лорен-цевой метрики д = diag( 1,-1). В данном случае оператор симметрии имеет четвертый порядок и метод разделения переменных неприменим. Поэтому аналитические решения уравнений согласования, оказывается, найти труднее. Тем не менее, в некоторых частных случаях удается найти решения в аналитической форме:

VW = :

F± = о± ехр(\/Л • i±) + 6-ь ехр(-\/Х • х±); х± = xi ± х2,

где Л, 7, и±, (т±, 5±- произвольные вещественные постоянные, но при А < О должно выполняться условие сг± = <5^. Часть найденных таким образом потенциалов была получена ранее квантовым методом обратной задачи.

В разд. 2.4 изучается случай вырожденной метрики д = й1ад{ 1,0). Потенциалы обоих эквивалентных гамильтонианов могут быть записаны в виде:

х2(Г101у + К1(х1) + К2(х1),

где ^(з^),01(2:1), /^(х^-функции только от 21, а К^х-г) является полиномом четвертой степени по Х2 с постоянными коэффициентами. Эти четыре функции удовлетворяют системе нелинейных дифференциальных уравнений. Получены все решения, которые могут быть выражены через аналитические функции. Потенциалы являются полиномами разной степени по ж!,ж2 с постоянными коэффициентами и обладают операторами динамической симметрии четвертого порядка. Они сингулярны на оси 0х'2- По этой причине отдельно дается анализ волновых функций в точках сингулярности. Доказано, что действие оператора суперпреобразовапия не меняет асимптотическое поведение волновых функций, а эти асимптотики таковы, что нормы волновых функций сходятся в точке т.\ —► 0 (за исключением одного случая).

В разд. 2.5 проводится переход к классическому пределу Л —► 0 для систем из класса 2. Квантовые динамические симметрии, найденные методом сплетания, имеют естественные аналоги - интегралы движения - в соо тветствующих классических системах. Выписаны двумерные классические системы, которые получаются в классическом пределе из класса 2 п, следовательно, обладают дополнительным интегралом движения четвертой степени но импульсам. При этом, в случае Лоренцевой метрики, найденный классический гамильтониан

/1с! = 2(р5.+р1) + Ке1, 11

где Vci-потенциал (5) при h = 0, имеет интеграл движения четвертого порядка:

1 = 16р_р+ +-F2 т р_ +-—-р+ - 2F-F+p-p+ +

Эти классические системы являются частными решениями определенного функционально - дифференциального уравнения для потенциалов в известном методе Лакса. Предложенный здесь метод позволил, независимо от суперснмметрни, построить некоторые новые решения этого уравнения с интегралами движения четвертого порядка по импульсам.

В конце параграфа выписаны потенциалы и соответствующие интегралы движения, полученные в классическом пределе в случае вырожденной метрики и известные в литературе.

В третьей главе обсуждается построение парасуперсимметричной квантовой механики как (0+1)-мерной теории парасуперполя. В последние годы в ряде работ исследовалось обобщение суперсимметричной квантовой механики, для которого характерно 3-кратное вырождение энергетического спектра системы. Было показало, что операторы, связывающие состояния с одинаковыми значениями энергии, удовлетворяют алгебре парасуперсимметричной квантовой механики (ПССКМ):

[я,д*] = о, (^ = 0, (3*4*$* = 8д*я,

(Q^fQ* + = 8Ц*Я. (6)

Учитывая эффективность методов ССКМ в построении и исследовании ПССКМ-моделей, представляется перспективным обобщение суперполевого метода на случай алгебры (6).

В разд. 3.1 данной главы построен классический функционал действия (О-Ы)-мерной теории скалярного парасуперполя, обладающий по построению парасуперинвариантностью. В качестве основного элемента теории выбрано d-компонентное вещественное скалярное парасуперполе,

при разложении которого в ряд по Гриновским компонентам возникают поля различной природы: одни из которых ведут себя как неременные типа а, а, другие как /5,/3, а третьи обладают необычными свойствами - они коммутируют между собой, но антикоммутируют как с а, а, так и с ¡3, р.

Построен дифференциальный оператор в парасуперпространстве, генерирующий парасуперпреобразования. Закон преобразования компонентных полей получен как следствие скалярности парасуперполя. После введения парасуперковариантной производной построен парасуперинва-риантный функционал классического действия с произвольным парасу-перпотенцлалом. Интегрирование по Гриновским компонентам дает лагранжиан как функционал компонентных полей в разложении парасуперполя. Для многомерного (¿-мерного йсцилляторного парасупернотенциала удается исключить все нединамические степени свободы и получить лагранжиан, включающий в себя 1 бозонное вещественное ¿-компонентное поле, 2-грассмаповых комплексных ¿-компонентных поля и 1 комплексное ¿-компонентное поле смешанной природы. В конце параграфа приведены выражения для классических генераторов парасуперпреобразований в терминах их компонент Грина.

В разд. 3.2 проведено каноническое квантование этой модели. Переход к новым переменным дает возможность представить лагранжиан в виде, который допускает каноническое квантование. Приведены квантовые перестановочные соотношения для операторов, через которые записываются квантовый гамильтониан и квантовые суперзаряды. Даются выражения гамильтониана и суперзарядов, удовлетворяющие алгебре (6):

1-2 Ы1 л7 (л)^"-

Ы = 2Р +ЗГ +8[Ф,Ф]+4#'

<§+ = шх)^ +

ОТ = ¿шг)1? + Иу/йЪф,

где Ф,Ф-парафермионные поля, удовлетворяющие трилинейным соотно-

шениям, поля ф, ф антикоммутируют между собой и коммутируют с полями Ф,Ф. •

В приложении доказывается, что оператор Л (3) в нетривиальных случаях (за исключенном преобразовании из класса 1) не представляется в виде полинома от гамильтониана Я и оператора симметрии второго порядка Я.

На защиту выдвигаются следующие результаты:

1. Построена классификация двумерных моделей суперсимметричной квантовой механики с суиергенераторамн второго порядка по производным. Доказано, что обобщенная супералгебра порождает динамическую симметрию четвертого порядка.

2. Найдены общие выражения для эквивалентных двумерных потенциалов в случае супергенераторов с евклидовой метрикой. Показано, что для этой метрики оператор динамической симметрии является оператором симметрии второго порядка.

3. Построено семейство эквивалентных скалярных гамильтонианов для супергенераторов с лоренцсвой метрикой. В случае вырожденной метрики найдены все эквивалентные потенциалы, прсдставимыс в •терминах элементарных функций..

4. Предложен суперсимметричныи метод построения классических двумерных систем, имеющих интегралы движения четвертого порядка но импульсам.

5. В рамках супернолевого подхода построены парасуперсимметрич-ные квантовомехапические модели с оецнлляторным взаимодействием в произвольной размерности.

Результаты диссертации опубликованы в работах:

1. М.В.Иоффе, Д.Н.Нишнианндзе,"Пи.расуиерсимметричная квантовав механика как (0+1)-мерпая теория парасупсрноля", Вестник СГ16ГУ, 1993, N18, 8.

2. A.A.Andrianov, M.V.Ioffe, D.N.Nishnianidze, "Polynomial SUSY in Quantum Mechanics and Second Derivative Darboux Transformations", Phys. Lett., A201(1995)103.

3. А.А.Андрианов, М.В.Иоффе, Д.Н.Нишнианидзе, "Полиномиальная суперсимметрия и динамические симметрии в квантовой механике", ТМФ, 104(1995)463.

4. А.А.Андрианов, М.В.Иоффе, Д.Н.Нишнианидзе, "Суперсимметрия высших порядков в квантовой механике и интегрируемость двумерных гамильтонианов", Записки научных семинаров ПОМИ РАН, 224(1995)68.

Подписано к печати 22.11.95 г. Заказ 027. Тираж 100 экз. Объем 1,5 п.л. Множ.лаб. НИИХ СПбГУ. 198904, Санкт-Петербург, Ст.Петергоф, Университетский пр.2.