Квантовая механика с нелинейной суперсимметрией для одномерных эрмитовых и неэрмитовых гамильтонианов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Соколов Андрей Владимирович

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА С НЕЛИНЕИНОИ СУПЕРСИММЕТРИЕЙ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ЭРМИТОВЫХ И НЕЭРМИТОВЫХ ГАМИЛЬТОНИАНОВ

Специальность 01 04 02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2008

«Л

ПЧТ

003448448

Работа выполнена па кафедре физики высоких энергий и элементарных частиц Санкт-Петербургского государственного университета

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ

доктор физ -мат наук, профессор Андрианов Александр Андреевич

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

доктор физ -мат наук, профессор Самсонов Борис Федорович

доктор физ -мат паук, профессор Яковлев Сергей Леонидович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

Санкт-Петербургское отделение Математического института им В А Стеклова Российской академии наук

Защита состоится "30 " 2008 г в час. мин на

заседании совета Д 212 232 24 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб , 7/9, ауд

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СПбГУ.

Автореферат разослан "2£" 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета

А К. Щекин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Суперсимметричная квантовая механика хорошо зарекомендовала себя как эффективное средство, позволяющее без использования методов теории возмущений исследовать новые изоспек-тральные или почти изоспектральные квантовые системы, строить ядерные потенциалы с требуемыми свойствами, находить скрытые динамические симметрии, а также искать новые точно или почти точно решаемые задачи в квантовой механике

Конструкции суперсимметричной квантовой механики применимы как к эрмитовым гамильтонианам с вещественными потенциалами, так и к неэрмитовым гамильтонианам с комплексными потенциалами Последние обычно используются для описания открытых систем с неполной информацией о влиянии окружающей среды Такой вид эффективного описания применяется многие годы в физике конденсированных сред и квантовой оптике, а также в физике адронов и ядерной физике В последние годы интенсивно ведутся исследования по нестандартным представлениям квантовой механики, таким как РТ- с и мм етр и ч н ая квантовая механика и обобщающая ее квантовая механика псевдоэрмитовых гамильтонианов, в которых рассматриваются неэрмитовы гамильтонианы с вещественным спектром

Современное состояние проблемы. В суперсимметричной квантовой механике важную роль играет антикоммутатор суперзарядов Несколько лет назад А Аояма и др (A. Aoyama, М. Sato, Т. Tanaka, Nucí. Phys. В, 2001, V. 619(1-3), Р 105-127) доказали теорему, в соответствии с которой в случае эрмитового супергамильтониана каждый из диагональных элементов антикоммутатора суперзарядов, связанных сопряжением, представляет собой сумму многочлена от соответствующего гамильтониана и, вообще говоря, оператора симметрии меньшего порядка При этом оставался открытым вопрос, каким образом указанные операторы симметрии связаны с гамильтонианами, и какие ограничения первые накладывают на вторые Кроме того эта теорема неприменима к случаю

неэрмитового супергамильтониана, поскольку в этом случае суперзаряды не могут быть связаны сопряжением

В настоящей диссертации в обоих случаях эрмитового и неэрмитового супергамильтонианов предложено использовать суперзаряды, связанные транспонированием, а не сопряжением, и доказана теорема, утверждающая, что антикоммутатор таких суперзарядов является многочленом от супергамильтониана Кроме того показано, что любой оператор симметрии, симметричный относительно транспонирования, является многочленом от гамильтониана, и произведено детальное исследование антисимметричного относительно транспонирования оператора симметрии

В работе А А Андрианова и др (A A Andrianov, F Cannata, М V. Ioffe, DN Nishnianidze, Phys Lett A, 2000, V 266(4-6), P 341-349) было обнаружено, что для одной пары гамильтонианов могут существовать несколько операторов сплетания При этом очевидно, что, исходя из имеющихся операторов(-а) сплетания с помощью операций умножения на многочлен от гамильтониана и сложения можно строить новые операторы сплетания для той же пары гамильтонианов Возникают вопросы о существовании и свойствах базиса операторов сплетания, позволяющего получить произвольный оператор сплетания в виде суммы базисных операторов с полиномиальными по гамильтониану коэффициентами, а также о том, как узнать, допускает ли данный оператор сплетания упрощение путем отщепления от него излишнего полиномиального по гамильтониану сомножителя Ответы на эти вопросы получены в предлагаемой диссертации В статьях A.A. Андрианова и др. (А А. Андрианов, Н В Борисов, М В Иоффе, М И. Эйдес, ТМФ, 1984, Т. 61(1), С. 17-28), К В Сукумара (С V Sukumar, J Phys А Math Gen , 1985, V 18(2), L57-L62, V 18(15), P. 2917-2956), Б Ф Самсонова (В F. Samsonov, Phys Lett A, 1999, V. 263 (4-6), P. 274-280), а также других авторов описаны методы спектрального дизайна для эрмитовых гамильтонианов с помощью операторов сплетания первого, второго и третьего порядков. Настоящая работа содержит обобщение этих методов на случай операторов сплетания произвольного

порядка, причем как для эрмитовых, так и для неэрмитоных гамильто-ниаиов

В теории спектрального дизайна важное место занимает вопрос о приводимости оператора сплетания, те о возможности его представления в виде произведения операторов сплегания первого и/или второго порядков с гладкими коэффициентами, так, чтобы все промежуточные гамильтонианы имели гладкие потенциалы, причем если исходный и конечный гамильтонианы являются эрмитовыми, то потенциалы всех промежуточных гамильтонианов должны быть вещественными Если бы все операторы сплетания порядка большего двух были приводимы, то любой гамильтониан, сплетаемый с исходным гамильтонианом оператором порядка большего двух, можно было бы построить с помощью конечной последовательности простых преобразований, сводящихся на каждом шаге к сплетанию оператором первого или второго порядка

В работах А А Андрианова и др (A A Andrianov, F Cannata, J-P Dedonder, M.V Iofle, Int J Mod Phys A, 1995, V 10(18), P 2683-2702, A.A Andrianov, F Cannata, J Phys A Math Gen , 2004, V 37(43), 10297-10322) и Б Ф Самсонова (В F Samsonov, Phys Lett A, 1999, V 263(4-6), P 274-280) были высказаны две гипотезы о приводимости операторов, сплетающих эрмитовы гамильтонианы Согласно первой из них любой такой оператор является приводимым В соответствии со второй гипотезой, если оператор сплетания указанного вида умножить на подходящий многочлен от гамильтониана, то получившееся произведение будет приводимо к последовательности операторов сплетания первого порядка В предлагаемой диссертации найдены условия, при которых Э1И 1ииохезы реализуются, и доказаны соответствующие теоремы.

Цель работы. Основными целями диссертации являются исследование алгебро-дифференциальной структуры суперсимметрии высших порядков в квантовой механике, развитие и обоснование методов спектрального дизайна для эрмитовых и неэрмитовых гамильтонианов, проверка гипотез о приводимости операторов сплетания

Научная новизна. В диссертации впервые получены результаты по таким основным вопросам одномерной суперсимметричной квантовой механики, как сохранение гладкости потенциала гамильтониана при сплетаниях, взаимосвязь супергамильтониапа и антикоммутатора суперзарядов, связанных транспонированием, (не)мииимизуемость и (независимость операторов сплетания, свойства базиса суперзарядов Найдены новые свойства антисимметричною относительно транспонирования оператора симметрии и исследована его взаимосвязь со спектром гамильтониана Впервые в общем виде сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять преобразующие функции для того, чтобы построенный с их помощью гамильтониан имел заданные спектральные свойства Впервые доказаны теоремы о приводимости операторов сплетания

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты дают практическую основу для построения гамильтонианов с заданными спектральными свойствами как для замкнутых квантовых систем, так и для открытых, т.е как в случае с эрмитовыми гамильтонианами, так и в случае с неэрмитовыми Развитые в диссертации методы позволяют строить феноменологические модели для физических явлений на малых расстояниях, когда известны лишь ограниченные данные по рассеянию частиц и некоторые связанные состояния квантовой системы Такие задачи возникают в ядерной и атомной физике, а также в физике наносистем

Апробация работы. Результаты работы были представлены на 5-ои международной конференции «Симметрия в нелинейной математической физике» (Киев, Украина, 2003), на 3-ей, 6-ой и 7-ой международных конференциях «Псевдоэрмитовы гамильтонианы в квантовой физике» (Стамбул, Турция, 2005, Лондон, Великобритания, 2007 и Бенаске, Испания, 2008), а также на семинаре в Институте ядерной физики Академии наук Чешской республики (Ржеж, Чехия, 2006)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 печатных работах Список публикаций приведен в конце автореферата.

На защиту выносятся следующие

основные положения.

1 Получены результаты по ключевым вопросам одномерной супер-симметричнои квантовой механики такие как сохранение гладкости потенциала гамильтониана при сплетаниях, полиномиальный характер зависимости от супергамильтониана антикоммутатора суперзарядов, связанных транспонированием, понятие (не)миними-зуемости оператора сплетапия и критерий мипимизуемости, понятие (не)зависимости операторов сплетания и критерий зависимости, количество и соотношение порядков элементов оптимального базиса операторов сплетания

2 Доказаны теоремы о приводимости, т е. о возможности представления дифференциального оператора произвольного порядка, сплетающего гамильтонианы с гладкими вещественными потенциалами, в виде произведения операторов сплетапия первого и/или второго порядков с гладкими вещественными коэффициентами так, что все промежуточные гамильтонианы имеют гладкие вещественные потенциалы Представлена полная классификация вещественно неприводимых операторов сплетания

3 Исследованы свойства неминимизуемого оператора симметрии, антисимметричного относительно транспонирования, для случаев, когда эрмитов гамильтониан имеет непрерывный спектр и связанные состояния, и когда он содержит периодический потенциал Доказана приводимость оператора симметрии и установлены спектральные свойства соответствующих промежуточных шмильтонианов.

4 Доказана теорема об индексах, связывающая при любом значении спектрального параметра количества независимых собственных и присоединенных функций сплетаемых (неэрмитовых) гамильтонианов с количествами преобразующих функции, стремящихся при

|ж| —» +оо к нулю и к бесконечности С помощью этой теоремы найдены необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять преобразующие функции для того, чтобы построенный с их помощью гамильтониан имел при заданных значениях энергии заданные количества независимых собственных и присоединенных функций

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы Объем диссертации — 131 страница Список литературы включает 105 наименований

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор литературы по теме исследования и даётся обоснование целей и задач диссертации.

Цель главы I состоит в том, чтобы представить полученные в диссертации новые результаты по ключевым вопросам одномерной суперсимметричной квантовой механики. К этим результатам относятся сохранение гладкости потенциала гамильтониана при сплетаниях, полиномиальный характер зависимости от супергамильтониана антикоммутатора суперзарядов, связанных транспонированием, понятие о (пе)мини-мизуемости оператора сплетания и критерий минимизуемости, понятие о (не)зависимости операторов сплетания и критерий зависимости, сведения о наибольшем количестве независимых операторов сплетания и оптимальном базисе операторов сплетания; свойства ¿-антисимметричного (те антисимметричного относительно транспонирования) неминимизу-емого оператора симметрии и взаимосвязь этого оператора со спектром гамильтониана

Изложение в этой главе построено следующим образом §1 содержит основные обозначения и предположения, используемые в диссертации. В частности, в §1 введены обозначения и д^ для дифференциальных

операторов Лг-го порядка, сплетающих гамильтонианы /г+ = —£"¡¿х2 |-и /г.- = -<Р/<1х2 + У2{х)

д+И" = = Д-^,

а также обозначения

для суперзарядов, являющихся в силу приведённых выше сплетаний операторами симметрии для супергамильтониана Н.

В §2 доказана лемма, показывающая, какой гладкостью обладают потенциал одного из сплетаемых гамильтонианов И+ и и коэффициенты операторов сплетания и при заданной гладкости потенциала второго гамильтониана. В §3 показано, что, если суперзаряды и и алгебре супсрсимметрии связаны между собой транспонированием (С5 = С/), то антикоммутатор этих суперзарядов представляет собой многочлен от супергамильтониана

где I — единичная матрица, а Т^ — матрица размера N х N, описывающая действие гамильтониана на элементы какого-либо базиса в ядре (существование матрицы Т^ обеспечивается тем, что кег в силу приведенных выше сплетании является инвариантным подпространством относительно к*)

В §4 введено понятие минимизуемого оператора сплетания д'^, как оператора, который может быть представлен в виде

сМ(£1 - Т+)|Е=Н = - Т-)|в=

(N — M)/2 > О Операторы сплетания, которые не могут быть представлены в указанном виде, названы неминимизуемыми Кроме того в §4 доказан критерий минимизуемости оператора сплетания, состоящий в том, что оператор сплетания qf¡ может быть представлен в виде

где p^j — неминимизуемый оператор, сплетающий те же гамильтонианы, что и q^- (так, что = к~Рм)> тогда и только тогда, когда нормаль-

ная (жорданова) форма содержит s пар (и не более) жордановых клеток с одинаковыми собственными числами А/ и порядком наименьшей жордановой клетки 6k¡ в ¿-ой паре, I = 1, ., а

В §5 дано определение зависимых операторов сплетания, согласно которому операторы J = 1, , I порядков Ni, , N соответственно, сплетающие гамильтонианы h+ и /г , называются зависимыми, если существуют многочлены Р3(Е), j = 1, , I, причем хотя бы один из этих многочленов отличен от тождественного нуля, такие, что

о

j=o

В противном случае операторы сплетапия q% 3, J = 1, , I называются независимыми Далее в §5 приведен критерий зависимости операторов сплетания к^ (kjf = (к^У) и pf{ = (р~1{У), в соответствии с которым эти операторы зависимы тогда и только тогда, когда —

Pm^n = 0 Также в этом параграфе показано, что 1) любой ¿-симметричный оператор симметрии является многочленом от гамильтониана, 2) любые два ¿-антисимметричных оператора симметрии являются зависимыми, 3) наибольшее количество независимых операторов сплетания равно либо одному либо двум, 4) можно ввести базис операторов сплетания, состоящий из одного оператора р^ либо из двух операторов plf и к'^, имеющих порядки различной четности, так, что произвольный оператор сплетания q± можно представить в первом случае в виде = P(/i±)p^f, а во втором случае в виде f/± = Р{(Ь,-)р]г{ 4- где Р(Е), Д (Е) и

Р'>{Е) — многочлены, зависящие от представляемого оператора.

В §6 проведено исследование свойств ¿-антисимметричного немини-мизуемого оператора симметрии в случаях, когда гамильтониан имеет связанные состояния, и когда гамильтониан имеет периодическии потенциал Рассмотрена взаимосвязь между ¿-антисимметричным немини-мизуемым оператором симметрии и спектром гамильтониана Завершающий первую главу §7 посвящен вопросу о расширенной алгебре суперсимметрии

Основные результаты главы II (1) теорема об индексах, связывающая при любом значении спектрального параметра Л количества независимых собственных и присоединенных функции и г/_(А) гамильтонианов h+ и Ьг соответственно с количествами преобразующих функции, стремящихся при |х| —> | ос к нулю — п..,(А) и к бесконечности — п_(А), соотношением

y+(A)-n+(A) = I/_(A)-n_(A)> а также (2) найденые с помощью этой теоремы необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять преобразующие функции для того, чтобы построенный с их помощью гамильтониан имел при заданных значениях энергии заданные количества независимых собственных и присоединенных функций

Изложение в главе II построено следующим образом В §1 определены классы потенциалов Кп, п = 2, 3, 4, , оо, которые будут использованы в теореме об индексах Так класс Кп представляет собой множество всех потенциалов V(x) таких, что

1) V(x) е Cg,

2) существуют постоянные ño > 0 и г > 0 (/?0 и f зависят от V(x)) такие, что для любого \х\ ^ Rq имеет место неравенство Re V{x) ^ е,

3) ImV(:r)/ReV(:r) = о(1), ж ±оо,

4) функции ( f \/\V{x\)\ dxi^j (i^ + Ш) ограничены coot-

i fío

ветственно при x ^ Rq и x ^ — Ro

Кроме того в §1 определены вспомогательные более широкие классы потенциалов Кп Э Кп В §2 получены используемые в дальнейшем оценки

для потенциалов из классов К,п и для некоторых вспомогательных интегралов

Следующие §§3-7 содержат результаты, представляющие собой с одной стороны самостоятельный интерес, а с другой — лежащие в основе теоремы об индексах Так в §3 и §4 выведены асимптотики при х —> ±оо для формальных собственных и присоединенных функций гамильтонианов с потенциалами из Кп В §5 доказана инвариантность классов Кп и /Сп при сплетаниях В §6 рассмотрены свойства цепочки формальных присоединенных функций, проявляемые при действии па эту цепочку оператором сплетания В §7 доказана инвариантность некоторых числовых характеристик канонического базиса в ядре оператора сплетания относительно выбора такого базиса

В §8 доказаны лемма о взаимосвязи поведения при х —> ±оо элементов канонических базисов взаимно транспонированных операторов сплетания и теорема об индексах Кроме того, в §8 найдены необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять преобразующие функции для того, чтобы построенный с их помощью гамильтониан имел при заданных значениях энергии заданные количества независимых собственных и присоединенных функций Наконец, в §9 приведен пример построения гамильтониана с одной жордановой клеткой второго порядка с помощью двух преобразующих функций, являющихся формальными собственной и присоединенной функциями гамильтониана свободной частицы

Главный результат главы III — две теоремы о приводимости сплетающего эрмитовы гамильтонианы оператора произвольного порядка-

1) теорема о приводимости при условии вещественности спектра матрицы Тт неминимизуемого оператора сплетания q%, домноженного на подходящий многочлен от гамильтониана, к операторам сплетания первого порядка,

2) теорема о приводимости независимо от вещественности спектра матрицы Тт неминимизуемого оператора сплетания q^ к операторам

вплетания первою порядка и определяемым в §1 главы III неприводимым операторам сплетания второго порядка I, II и III рода

Изложение в главе III построено следующим образом В §1 даны определения вещественно приводимых и неприводимых операторов сплетания и представлена классификация вещественно неприводимых операторов сплетания второго порядка Цель §2 состоит в том, чтобы доказать теорему о приводимости произвольного оператора сплетания третьего порядка с вещественными коэффициентами Эта теорема будет использована в дальнейшем при доказательстве основных утверждений главы III — теорем о приводимости операторов сплетания произвольного порядка В начале §2 (пункт 2 1) получены дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют вронскианы подмножества элементов канонического базиса ядра оператора сплетания (частные вронскианы) произвольного порядка N Эти уравнения лежат в основе доказательства приводимости произвольного оператора сплетания третьего порядка, а также могут быть использованы для доказательства других утверждений о приводимости Затем (пункт 2 2 ) для случая N = 3 выведены формулы, выражающие частные вронскианы через одну параметризующую функцию G(x) Далее доказана лемма о гладкости коэффициентов операторов сплетания (пункт 2 3.) и получены параметрические формулы для этих коэффициентов (пункт 2 4) После этого выведены дополнительные соотношения между частными вронскианами и параметризующей функцией G{x) (пункт 2 5 ) и оценка снизу для этой функции (пункт 2 7) В заключительной части §2 (пункт 2 8) доказана теорема о приводимости операторов сплетания третьего порядка Далее в §3 дано определение инвариантного по отношению к преобразованиям типа Дарбу-Крама класса потенциалов RKn, представляющего собой подкласс вещественных потенциалов класса Кп, и приведен ряд утверждений, проясняющих основные свойства гамильтонианов с потенциалами из RKn. Класс RKn интересен тем, что теоремы о приводимости операторов произвольного порядка будут доказаны для операторов, спле-

тающих гамильтонианы с потенциалами именно из этого класса Затем в §4 доказаны вспомогательные леммы о частичной приводимости операторов сплетания И наконец, §5 содержит основные утверждения этой главы — теоремы о полной приводимости операторов сплетания произвольного порядка.

Общие итоги диссертации подводятся в заключении

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] A A Andrianov, А V Sokolov, Nonlinear supersymmetry in quantum mechanics algebraic properties and differential representation, Nucl Phys B, 2003, V. 660, issue 1-2, P 25-50, hep-th/0301062

[2] A.A Andrianov, A V. Sokolov, Nonlinear supersymmetry m quantum mechanics, Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, 2004, V 50, Part 2, P 539-546

[3] A.V Sokolov, A.A Andrianov, F Cannata, Non-Hermitian quantum mechanics of non-diagonalizable Hamiltonians- puzzles with self-orthogonal states, J Phys A Math Gen, 2006, V 39, issue 32, P. 10207-10227; quant-ph/0602207

[4] A.A Андрианов, А. В Соколов, Факторизация нелинейной суперсимметрии в одномерной квантовой механике I общая классификация приводимости и анализ алгебры третьего порядка, Записки научных семинаров ПОМИ, 2006, Т. 335, С. 22-49; arXiv 0710 5738

[5] A A Andrianov, F Cannata, А V. Sokolov, Non-linear supersymmetry for non-Hermitian, non-diagonalizable Hamiltonians I General properties, Nucl Phys B, 2007, V 773, issue 3[PM],P 107-136, math-ph/0610024

[6] A V Sokolov, Non-lmear supersymmetry for non-Hermitian, non-diagonalizable Hamiltonians II Rigorous results, Nucl Phys B, 2007, V 773, issue 3 [PM], P. 137-171, math-ph/0610022.

[7] А В Соколов, Факторизация нелинейной суперсимметрии в одномерной квантовой механике II доказательства теорем о приводимости, Записки научных семинаров ПОМИ, 2007, Т 347, С 214-237

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14 05.03. Подписано в печать 19 09 08 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Уел печ л. 1 Тираж 100 экз., Заказ № 859/с 198504, СПб, Ст Петергоф, ул Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

Введение

Глава I. Основные сведения о нелинейной суперсимметрии в

I Ч ' 1 < одномерной квантовой механике

§1. Основные обозначения и предположения

§2. О гладкости потенциалов и коэффициентов операторов сплетания.

§3. Соотношение между суперзарядами и супергамильтонианом в случае С} =

§4. Минимизуемые и неминимизуемые операторы сплетания. Критерий минимизуемости.

4.1. Определение (не)минимизуемости оператора сплетания

4.2. Критерий минимизуемости оператора сплетания

§5. Зависимые и независимые операторы сплетания.

5.1. Определение (не)зависимости операторов сплетания

5.2. Критерий зависимости операторов сплетания

5.3. Следствия для операторов симметрии.

5.4. Наибольшее количество независимых операторов сплетания.

5.5. Оптимальный базис операторов сплетания.

§6. Свойства ¿-антисимметричных операторов симметрии.

6.1. Случай, когда гамильтониан имеет связанные состояния

6.2. Случай, когда гамильтониан имеет периодический потенциал.

§7. Расширенная алгебра суперсимметрии.

Глава П. Теорема об индексах и спектральный дизайн для эрмитовых и неэрмитовых гамильтонианов

§1. Классы потенциалов Кп и /Сп. Основные обозначения и предположения

§2. Оценки для потенциалов из класса )Сп и для вспомогательных интегралов.

§3. Асимптотики формальных собственных функций гамильтониана

§4. Асимптотики формальных присоединённых функций гамильтониана

§5. Инвариантность классов потенциалов Кп и /Сп при сплетаниях.

§6. Действие оператора сплетания на цепочку формальных присоединённых функций.

§7. Инвариантные числовые характеристики канонического базиса ядра оператора сплетания.

§8. Теорема об индексах и спектральный дизайн.

§9. Пример недиагонализуемого гамильтониана, построенного с помощью методов суперсимметрии.

Глава III. Факторизация нелинейной суперсимметрии в одномерной квантовой механике

§1. Классификация вещественно неприводимых СУСИ преобразований

§2. Теорема о приводимости операторов сплетания третьего порядка

2.1. Вывод системы уравнений относительно частных вронскианов.

2.2. Параметрические формулы для частных вронскианов

2.3. О гладкости потенциалов и коэффициентов операторов сплетания

2.4. Параметрические формулы для коэффициентов операторов сплетания.

2.5. Соотношения между параметризующей функцией и частными вронскианами.

2.6. Оценка снизу для параметризующей функции

2.7. Теорема о приводимости операторов сплетания третьего порядка

§3. Класс потенциалов RKn.

§4. Леммы о частичной приводимости операторов сплетания

§5. Теоремы о полной приводимости операторов сплетания

Суперсимметричная квантовая механика (СУСИ КМ) возникла в задачах суперсимметричной теории поля [1] для описания таких сложных проблем как спонтанное нарушение суперсимметрии, свойства вакуума и т.д. [2, 3]. Впоследствии СУСИ КМ получила самостоятельное развитие как конструктивный метод нахождения новых квантовых систем с (почти) совпадающими спектральными характеристиками (изоспектральных систем) без использования методов теории возмущений [4] - [7] (см. также обзоры [8] - [12] и ссылки в них). В частности, алгебра суперсимметрии и её дифференциальная реализация в квантовой механике позволяют строить гамильтонианы с заданными спектром [13,14], данными рассеяния [15] - [19] или формой потенциала [20, 21], находить скрытые динамические симметрии [22] - [24], а также искать новые точно или почти точно [25, 26] решаемые задачи в квантовой механике [9] - [11], [22, 24], [27] - [32]. В последнее десятилетие значительный интерес вызвало обобщение стандартной СУСИ КМ на основе нелинейной (в частности, полиномиальной или .¿У-образной (ЛМюЫ)) алгебры суперсимметрии [33] - [45], которая является естественной формой реализации лестничной [13, 14] или цепной [46, 47] конструкций.

Одной из основных конструкций СУСИ КМ, обеспечивающей (почти) изо-спектральность рассматриваемых в СУСИ КМ квантовых систем, являются преобразования Дарбу [48], использовавшиеся поначалу в математике [49] -[52]. Разложение гамильтониана в произведение дифференциальных операторов Дарбу первого порядка, из которого очевидным образом следуют простейшие преобразования Дарбу, можно найти в работе Шрёдингера [53, 54].

Конструкции суперсимметричной квантовой механики применимы как к эрмитовым гамильтонианам с вещественными потенциалами, так и к неэрмитовым гамильтонианам с комплексными потенциалами [55, 56]. Последние обычно используются для описания открытых систем с неполной информацией о влиянии окружающей среды. Такой вид эффективного описания применяется многие годы в физике конденсированных сред и квантовой оптике, а также в физике адронов и ядерной физике [57] - [61]. В последние годы интенсивно ведутся исследования по нестандартным представлениям квантовой механики таким как РТ-симметричная квантовая механика [62] - [68] и обобщающая её квантовая механика псевдоэрмитовых гамильтонианов [69, 70], в которых рассматриваются неэрмитовы гамильтонианы с вещественным спектром. Недавно были найдены интересные примеры неэрмитовых эффективных гамильтонианов для квантовой задачи многих тел [71, 72]. Несамосопряжённые операторы и, в частности, неэрмитовы гамильтонианы изучаются также и в математике [73] - [77].

В суперсимметричной квантовой механике важную роль играет антикоммутатор суперзарядов. В [44] была доказана теорема, в соответствии с которой в случае с эрмитовым супергамильтонианом каждый из диагональных элементов антикоммутатора суперзарядов, связанных сопряжением, представляет собой сумму многочлена от соответствующего гамильтониана (причём для разных элементов многочлены могут быть разными) и, вообще говоря, оператора симметрии меньшего порядка. При этом оставалось неясным, каким образом указанные операторы симметрии зависели от гамильтонианов и какие ограничения первые накладывали на вторых. Кроме того эта теорема неприменима к случаю с неэрмитовым супергамильтонианом, поскольку в этом случае суперзаряды не могут быть связаны сопряжением.

В настоящей диссертации в обоих случаях с эрмитовым и с неэрмитовым супергамильтонианами предложено использовать суперзаряды, связанные транспонированием, а не сопряжением, и доказана теорема, утверждающая, что антикоммутатор таких суперзарядов является многочленом от супергамильтониана. Кроме того показано, что любой симметричный относительно транспонирования оператор симметрии является многочленом от гамильтониана и произведено детальное исследование антисимметричного относительно транспонирования оператора симметрии.

В [36, 46, 78] было обнаружено, что для одной пары гамильтонианов могут существовать несколько операторов сплетания. При этом очевидно, что, исходя из имеющихся операторов(-а) сплетания с помощью операций умножения на многочлен от гамильтониана и сложения можно строить новые операторы сплетания для той же пары гамильтонианов. Возникают вопросы о существовании и свойствах базиса операторов сплетания, позволяющего получить произвольный оператор сплетания в виде суммы базисных операторов с полиномиальными по гамильтониану коэффициентами, а также о том, как узнать, допускает ли данный оператор сплетания упрощение путём отщепления от него излишнего полиномиального по гамильтониану сомножителя. Ответы на эти вопросы получены в предлагаемой диссертации.

В литературе описаны (см., например, [13, 14, 79, 80]) методы спектрального дизайна для эрмитовых (главным образом) гамильтонианов с помощью операторов сплетания первого, второго и третьего порядков. Настоящая работа содержит обобщение этих методов на случай операторов сплетания произвольного порядка, причём как для эрмитовых, так и для неэрмитовых гамильтонианов.

В теории спектрального дизайна важное место занимает вопрос о приводимости оператора сплетания, т.е. о возможности его представления в виде произведения операторов сплетания первого и/или второго порядков с гладкими коэффициентами так, чтобы все промежуточные гамильтонианы имели гладкие потенциалы, причём если исходный и конечный гамильтонианы являются эрмитовыми, то потенциалы всех промежуточных гамильтонианов должны быть вещественными. Если бы все операторы сплетания порядка большего трёх были приводимы, то любой гамильтониан, сплетаемый с исходным гамильтонианом оператором порядка большего трёх, можно было бы построить с помощью конечной последовательности простых преобразований, сводящихся на каждом шаге к сплетанию оператором первого или второго порядка.

В нескольких работах были высказаны две гипотезы о приводимости операторов, сплетающих эрмитовы гамильтонианы. Согласно первой из них [79, 81] любой такой оператор является приводимым. В соответствии со второй гипотезой [82], если оператор сплетания указанного вида умножить на подходящий многочлен от гамильтониана, то получившееся произведение будет приводимо к последовательности операторов сплетания первого порядка. В предлагаемой диссертации найдены условия, при которых эти гипотезы реализуются, и доказаны соответствующие теоремы. Кроме того в настоящей работе представлена классификация неприводимых операторов сплетания второго порядка. Частные случаи таких операторов описаны в [79], [83] - [88].

Основными целями данного диссертационного исследования являются исследование алгебро-дифференциальной структуры суперсимметрии высших порядков в квантовой механике, развитие и обоснование методов спектрального дизайна для эрмитовых и неэрмитовых гамильтонианов, проверка гипотез о приводимости операторов сплетания.

На защиту выносятся следующие основные положения.

1. Получены результаты по базовым вопросам одномерной суперсимметричной квантовой механики такие как: сохранение гладкости потенциала гамильтониана при сплетаниях; полиномиальный характер зависимости антикоммутатора суперзарядов от супергамильтониана; понятие (не)минимизуемости оператора сплетания и критерий минимизуемости; понятие (не)зависимости операторов сплетания и критерий зависимости; количество и соотношение порядков элементов оптимального базиса операторов сплетания.

2. Доказаны теоремы о приводимости, т.е. о возможности представления дифференциального оператора произвольного порядка, сплетающего гамильтонианы с гладкими вещественными потенциалами, в виде произведения операторов сплетания первого и/или второго порядков с гладкими вещественными коэффициентами так, что все промежуточные гамильтонианы имеют гладкие вещественные потенциалы. Представлена полная классификация вещественно неприводимых операторов сплетания.

3. Исследованы свойства неминимизуемого оператора симметрии, антисимметричного относительно транспонирования, для случаев, когда эрмитов гамильтониан имеет непрерывный спектр и связанные состояния, и когда он содержит периодический потенциал. Доказана приводимость оператора симметрии и установлены спектральные свойства соответствующих промежуточных гамильтонианов.

4. Доказана теорема об индексах, связывающая при любом значении спектрального параметра количества независимых собственных и присоединённых функций сплетаемых (неэрмитовых) гамильтонианов с количествами преобразующих функций, стремящихся при -foo к нулю и к бесконечности. С помощью этой теоремы найдены необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять преобразующие функции для того, чтобы построенный с их помощью гамильтониан имел при заданных значениях энергии заданные количества независимых собственных и присоединённых функций.

Краткое содержание работы по главам.

Цель главы I состоит в том, чтобы представить полученные в диссертации новые результаты по базовым вопросам одномерной суперсимметричной квантовой механики. К этим результатам относятся: сохранение гладкости потенциала гамильтониана при сплетаниях; полиномиальный характер зависимости от супергамильтониана антикоммутатора суперзарядов, связанных транспонированием; понятие о (не)минимизуемости оператора сплетания и критерий минимизуемости; понятие о (не)зависимости операторов сплетания и критерий зависимости; сведения о наибольшем количестве независимых операторов сплетания и оптимальном базисе операторов сплетания; свойства ¿-антисимметричного (т.е. антисимметричного относительно транспонирования) неминимизуемого оператора симметрии и взаимосвязь этого оператора со спектром гамильтониана.

Изложение в этой главе построено следующим образом. §1 содержит основные обозначения и предположения, используемые в диссертации. В §2 доказана лемма, показывающая какой гладкостью обладают потенциал одного из сплетаемых гамильтонианов и коэффициенты (дифференциальных) операторов сплетания при заданной гладкости потенциала второго гамильтониана. В §3 показано, что если суперзаряды в алгебре суперсимметрии связаны между собой транспонированием, то антикоммутатор этих суперзарядов представляет собой многочлен от супергамильтониана. В §4 введены понятия минимизуемого и неминимизуемого операторов сплетания, а также доказан критерий минимизуемости оператора сплетания. В §5 даны определения зависимых и независимых операторов сплетания и приведён критерий зависимости операторов сплетания. Кроме того в этом параграфе показано, что: 1) любой ¿-симметричный оператор симметрии является многочленом от гамильтониана; 2) любые два ¿-антисимметричных оператора симметрии являются зависимыми; 3) наибольшее количество независимых операторов сплетания равно либо одному либо двум. Также в §5 рассмотрен вопрос об оптимальном выборе базиса операторов сплетания и показано, что если оптимальный базис состоит из двух элементов, то порядки базисных операторов сплетания имеют различную чётность. В §6 проведено исследование свойств ¿-антисимметричного неминимизуемого оператора симметрии для случаев, когда гамильтониан имеет связанные состояния, и, когда гамильтониан имеет периодический потенциал. Рассмотрена взаимосвязь между ¿-антисимметричным неминимизуемым оператором симметрии и спектром гамильтониана. Завершающий главу §7 посвящён вопросу о расширенной алгебре суперсимметрии.

Основные результаты главы II — (1) теорема об индексах, связывающая при любом значении спектрального параметра количества независимых собственных и присоединённых функций сплетаемых (неэрмитовых) гамильтонианов с количествами преобразующих функций, стремящихся при |ж| +оо к нулю и к бесконечности, а также (2) найденые с помощью этой теоремы необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять преобразующие функции для того, чтобы построенный с их помощью гамильтониан имел при заданных значениях энергии заданные количества независимых собственных и присоединённых функций.

Изложение в главе II построено следующим образом. В §1 определены классы потенциалов Кп, п = 2, 3, 4, ., со, которые будут использованы в теореме об индексах. Кроме того в этом параграфе определены вспомогательные более широкие классы потенциалов Кп I) Кп. В §2 получены используемые в дальнейшем оценки для потенциалов из классов 1Сп и для некоторых вспомогательных интегралов. Следующие §§3-7 содержат результаты, представляющие собой с одной стороны самостоятельный интерес, а с другой — лежащие в основе теоремы об индексах. Так в §3 и §4 выведены асимптотики при х —> ±оо для формальных собственных и присоединённых функций гамильтонианов с потенциалами из /Сп. В §5 доказана инвариантность классов Кп и Кп при сплетаниях. В §6 рассмотрены свойства цепочки формальных присоединённых функций, проявляемые при действии на эту цепочку оператором сплетания. В §7 доказана инвариантность некоторых числовых характеристик канонического базиса в ядре оператора сплетания относительно выбора такого базиса. В §8 доказаны лемма о взаимосвязи поведения при х —> ±оо элементов канонических базисов взаимно транспонированных операторов сплетания и теорема об индексах. Кроме того в §8 найдены необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять преобразующие функции для того, чтобы построенный с их помощью гамильтониан имел при заданных значениях энергии заданные количества независимых собственных и присоединённых функций. Наконец, в §9 приведён пример построения гамильтониана с одной жордановой клеткой второго порядка с помощью двух преобразующих функций, являющихся формальными собственной и присоединённой функциями гамильтониана свободной частицы.

Главный результат главы III — две теоремы о приводимости сплетающего эрмитовы гамильтонианы оператора произвольного порядка:

1) теорема о приводимости неминимизуемого оператора сплетания, домно-женного на подходящий многочлен от гамильтониана, к операторам сплетания первого порядка;

2) теорема о приводимости неминимизуемого оператора сплетания к операторам сплетания первого порядка и определяемым в §1 главы III неприводимым операторам сплетания второго порядка I, II и III рода.

Изложение в главе III построено следующим образом. В §1 даны определения вещественно приводимых и неприводимых операторов сплетания и представлена классификация вещественно неприводимых операторов сплетания второго порядка. Цель §2 состоит в том, чтобы доказать теорему о приводимости произвольного оператора сплетания третьего порядка с вещественными коэффициентами. Эта теорема будет использована в дальнейшем при доказательстве основных утверждений главы III — теорем о приводимости операторов сплетания произвольного порядка. В начале §2 (пункт 2.1.) получены дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют вронскианы подмножества элементов канонического базиса ядра оператора сплетания (частные вронскианы) произвольного порядка N. Эти уравнения лежат в основе доказательства приводимости произвольного оператора сплетания третьего порядка, а также могут быть использованы для доказательства других утверждений о приводимости. Затем (пункт 2.2.) для случая N = 3 выведены формулы, выражающие частные вронскианы через одну параметризующую функцию G{x). Далее доказана лемма о гладкости коэффициентов операторов сплетания (пункт 2.3.) и получены параметрические формулы для этих коэффициентов (пункт 2.4.). После этого выведены дополнительные соотношения между частными вронскианами и параметризующей функцией (пункт 2.5.) и оценка снизу для этой функции (пункт 2.7.). В заключительной части §2 (пункт 2.8.) доказана теорема о приводимости операторов сплетания третьего порядка. Далее в §3 дано определение инвариантного по отношению к преобразованиям типа Дарбу-Крама класса потенциалов ЯКп, представляющего собой подкласс вещественных потенциалов класса Кп, и приведён ряд утверждений, проясняющих основные свойства гамильтонианов с потенциалами из 11Кп. Класс 11Кп интересен тем, что теоремы о приводимости операторов произвольного порядка будут доказаны для операторов, сплетающих гамильтонианы с потенциалами именно из этого класса. Затем в §4 доказаны вспомогательные леммы о частичной приводимости операторов сплетания. И наконец, §5 содержит основные утверждения этой главы — теоремы о полной приводимости операторов сплетания произвольного порядка.

Общие итоги диссертации подводятся в заключении.

Основные результаты диссертации опубликованы в [89] - [95].

Апробация работы.

Результаты работы были представлены на 5-ой международной конференции «Симметрия в нелинейной математической физике» (Киев, Украина, 2003), на 3-ей и 6-ой международных конференциях «Псевдоэрмитовы гамильтонианы в квантовой физике» (Стамбул, Турция, 2005 и Лондон, Великобритания, 2007), а также на семинаре в Институте ядерной физики Академии наук Чешской республики (Ржеж, Чехия, 2006).

Заключение

Подведём основные итоги диссертации.

В главе I получены новые результаты по базовым вопросам одномерной суперсимметричной квантовой механики такие как: сохранение гладкости потенциала гамильтониана при сплетаниях; полиномиальный характер зависимости от супергамильтониана антикоммутатора суперзарядов, связанных транспонированием; понятие (не)минимизуемости оператора сплетания и критерий минимизуемости; понятие (не)зависимости операторов сплетания и критерий зависимости; свойства оптимального базиса операторов сплетания.

Кроме того в главе I исследованы свойства антисимметричного относительно транспонирования неминимизуемого оператора симметрии для случаев, когда гамильтониан имеет связанные состояния, и, когда гамильтониан имеет периодический потенциал. Показано, что: а) волновые функции связанных состояний и состояний, соответствующих границам непрерывного спектра, принадлежат ядру оператора симметрии; б) квадрат оператора симметрии является многочленом от гамильтониана, причём все двукратные корни этого многочлена совпадают с энергиями связанных состояний, однократные — с границами непрерывного спектра и других корней нет.

В главе II доказана теорема об индексах, связывающая при любом значении спектрального параметра количества независимых собственных и присоединённых функций сплетаемых гамильтонианов с количествами преобразующих функций, стремящихся при |ж| —»■ +оо к нулю и к бесконечности, а также с помощью этой теоремы найдены необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять преобразующие функции для того, чтобы построенный с их помощью гамильтониан имел при заданных значениях энергии заданные количества независимых собственных и присоединённых функций.

В главе III доказаны две теоремы о приводимости сплетающего эрмитовы гамильтонианы оператора произвольного порядка:

1) теорема о приводимости неминимизуемого оператора сплетания, домно-женного на подходящий многочлен от гамильтониана, к операторам сплетания первого порядка;

2) теорема о приводимости неминимизуемого оператора сплетания к операторам сплетания первого порядка и неприводимым операторам сплетания второго порядка.

Получена классификация неприводимых операторов сплетания второго порядка.

Таким образом, все поставленные во введении цели настоящей диссертации достигнуты.

Я искренне благодарю A.A. Андрианова за сотрудничество и многочисленные обсуждения физики спектрально эквивалентных систем. Я выражаю свою глубокую признательность М.А. Брауну и М.В. Иоффе за внимание и интерес к моей научной работе, а также кафедре физики высоких энергий и элементарных частиц за поддержку.

1. Н. Nicolai, J. Phys. A: Math. Gen. 9 (1976) 1497.

2. E. Witten, Nucl. Phys. В 188 (1981) 513; 202 (1982) 253.

3. P. Salomonson, J.W. van Holten, Nucl. Phys. В 196 (1982) 509.

4. F. Cooper, В. Freedman, Ann. Phys. (NY) 146 (1983) 262.

5. A.A. Андрианов, H.B. Борисов, M.B. Иоффе, Письма в ЖЭТФ 39 (1984) 93; Phys. Lett. А 105 (1984) 19; ТМФ 61 (1984) 183.

6. В. Mielnik, J. Math.Phys. 25 (1984) 3387.

7. D.J. Fernández С., Lett. Math. Phys. 8 (1984) 337 physics/0006119].

8. Л.Э. Генденштейн, И.В. Криве, УФН 28 (1985) 645.

9. A. Lahiri, P.K. Roy, В. Bagchi, Int. J. Mod. Phys. A 5 (1990) 1383.

10. F. Cooper, A. Khare, U. Sukhatme, Phys. Rept. 251 (1995) 267.

11. G. Junker, Sup er symmetric Methods in Quantum and Statistical Physics, Springer, Berlin, 1996.

12. R. de Lima Rodrigues, hep-th/0205017.

13. A.A. Андрианов, H.B. Борисов, M.B. Иоффе, М.И. Эйдес, ТМФ 61 (1985) 17; Phys. Lett. А 109 (1985) 143.

14. C.V. Sukumar, J. Phys. A: Math. Gen. 18 (1985) L57; 2917; 2937.

15. M.M. Nieto, Phys. Lett. В 145 (1984) 208.

16. A.A. Андрианов, H.B. Борисов, M.B. Иоффе, ТМФ 72 (1986) 748; Phys. Lett. В 181 (1986) 141.

17. D. Вауе, Phys. Rev. Lett. 58 (1987) 2738.

18. R.D. Amado, F. Cannata, J.-P. Dedonder, Int. J. Mod. Phys. A 5 (1990) 3401.

19. B.F. Samsonov, F. Stancu, Phys. Rev. С 66 (2002) 034001.

20. C.V. Sukumar, J. Phys. A: Math. Gen. 19 (1986) 2297.

21. C.N. Kumar, J. Phys. A: Math. Gen. 20 (1987) 5397.

22. А.А. Андрианов, М.В. Иоффе, Д.Н. Нишнианидзе, ТМФ 104 (1995) 1129; Phys. Lett. А 201 (1995) 103; J. Phys. A: Math. Gen. 32 (1999) 4641; solv-int/9605007.

23. A.A. Andrianov, F. Cannata, M.V. Ioffe, D.N. Nishnianidze, J. Phys. A: Math. Gen. 30 (1997) 5037.

24. F. Cannata, M.V. Ioffe, D.N. Nishnianidze, J. Phys. A: Math. Gen. 35 (2002) 1389.

25. A.V. Turbiner, Commun. Math. Phys. 118 (1988) 467.

26. M.A. Shifman, Int. J. Mod. Phys. A 12 (1989) 2897.

27. C.M. Bender, G.V. Dunne, J. Math. Phys. 37 (1996) 6.

28. H. Aoyama, H. Kikuchi, I. Okouchi, M. Sato, S. Wada, Nucí. Phys. В 553 (1999) 644.

29. В. Bagchi, F. Cannata, С. Quesne, Phys. Lett. A 269 (2000) 79.

30. R. Sasaki, К. Takasaki, J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001) 9533.

31. S.M. Klishevich, M.S. Plyushchay, Nucl. Phys. В 606 (2001) 583; 403.

32. P. Dorey, C. Dunning, R. Tateo, J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001) 5679; L391.

33. В.Г. Багров, Б.Ф. Самсонов, ТМФ, 104 (1995) 1051.

34. A. Gangopadhyaya, U. Sukhatme, Phys. Lett. A 224 (1996) 5.

35. B.F. Samsonov, Mod. Phys. Lett. A 11 (1996) 1563.

36. В.Г. Багров, Б.Ф. Самсонов, ЭЧАЯ 28 (1997) 374.

37. A. Das, S.A. Pernice, Mod. Phys. Lett. A 12 (1997) 581.

38. U. Sukhatme, С. Rasinariu, A. Khare, Phys. Lett. A 234 (1997) 401.

39. G. Junker, P. Roy, Ann. Phys. 270 (1998) 155.

40. J.O. Rosas-Ortiz, J. Phys. A 31 (1998) 10163.

41. B. Bagchi, A. Ganguly, D. Bhaumik, A. Mitra, Mod. Phys. Lett. A14 (1999) 27.

42. D.J. Fernández С., J. Negro, L.M. Nieto, Phys. Lett. A 275 (2000) 338.

43. M.S. Plyushchay, Int. J. Mod. Phys. A 15 (2000) 3679.

44. A. Aoyama, М. Sato, Т. Tanaka, Nucl. Phys. В 619 (2001) 105; hep-th/0212276.

45. S.M. Klishevich, M.S. Plyushchay, Nucl. Phys. В 628 (2002) 217.

46. A.P. Veselov, A.B. Shabat, Funct. Anal. Appl. 27 (1993) 81.

47. V.E. Adler, Funct. Anal. Appl. 27 (1993) 140.

48. G. Darboux, C. R. Acad. Sci. (Paris) 94 (1882) 1456 physics/9908003].

49. M.M. Crum, Quart. J. Math. (Oxford) 6 (1955) 121 physics/9908019].

50. М.Г. Крейн, ДАН СССР 113 (1957) 970.

51. Л.Д. Фаддеев, УМН, 14 (1959) 57 J. Math. Phys. 4 (1963) 72].

52. V.B. Matveev, M. Salle, Darboux transformations and solitons, Springer, Berlin, 1991.

53. E. Schrodinger, Proc. Roy. Irish Acad. A 47 (1941) 53 physics/9910003].

54. L. Infeld, Т.Е. Hull, Rev. Mod. Phys. 23 (1951) 21.

55. A.A. Andrianov, F. Cannata, J.-P. Dedonder, M.V. Ioffe, Int. J. Mod. Phys. A 14 (1999) 2675.

56. B.F. Samsonov, J. Phys. A: Math. Gen. 38 (2005) L397; quant-ph/0503075.

57. H. Feshbach, Theoretical Nuclear Theory: Nuclear Reactions, Wiley, New York, 1992.

58. P.E. Hodgson, The Nucleon Optical Potential, World Scientific, Singapore, 1995.

59. C. Itzykson, J.-M. Drouffe, Statistical Field Theory, vol. 1, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989.

60. N. Moiseyev, Phys. Rep. 302 (1998) 211.

61. J.G. Muga, J.P. Palao, B. Navarro, I.L. Egusquiza, Phys. Rep. 395 (2004) 357.

62. C.M. Bender, K.A. Milton, Phys. Rev. D 55 (1997) R3255.

63. C.M. Bender, S. Boettcher, Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 5243.

64. C. Bender, J. Brod, A. Refig, M. Reuter, J. Phys. A: Math. Gen. 37 (2004) 10139 и ссылки в этой работе.

65. С. Bender, Introduction to PT-symmetric quantum theory, quant-ph/0501052.

66. Z. Ahmed, C.M. Bender, M.V. Berry, quant-ph/0508117.

67. M. Znojil, F. Cannata, B. Bagchi, R. Roychoudhury, Phys. Lett. В 483 (2000) 284.

68. G. Lévai, F. Cannata, A. Ventura, Phys. Lett. A 300 (2002) 271.

69. A. Mostafazadeh, J. Math. Phys. 43 (2002) 205; 43 (2002) 6343; 44 (2003) 943, Erratum.

70. A., Mostafazadeh, Nucl. Phys. В 640 (2002) 419.

71. С.Л. Яковлев, ТМФ 102 (1995) 323.

72. С.Л. Яковлев, ТМФ 107 (1996) 513.

73. М.А. Наймарк, Линейные дифференциальные операторы, Наука, ФМ, М., 1969.

74. N. Dunford, Bull. Am. Math. Soc. 64 (1958) 217.

75. B.C. Павлов, Итоги науки и техники, Соврем, пробл. мат. фунд. направ. 65 (1991) 95.

76. B.S. Pavlov, Partial Differential Equations, vol. VIII, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 65, Springer, Berlin, 1996.

77. E.B. Davies, Bull. London Math. Soc. 34 (2002) 513 и ссылки в этой работе.

78. А.А. Andrianov, F. Cannata, M.V. Ioffe, D.N. Nishnianidze, Phys. Lett. A 266 (2000) 341; quant-ph/9902057.

79. B.F. Samsonov, Phys. Lett. A 263 (1999) 274; quant-ph/9904009.

80. M.V. Ioffe, D.N. Nishnianidze, Phys. Lett. A 327 (2004) 425.

81. A.A. Andrianov, F. Cannata, J.-P. Dedonder, M.V. Ioffe, Int. J. Mod. Phys. A 10 (1995) 2683.

82. A.A. Andrianov, F. Cannata, J. Phys. A: Math. Gen. 37 (2004) 10297.

83. B.F. Samsonov, L.A. Shekoyan, Russ. Phys. J. 41 (5) (1998) 34.

84. D.J. Fernández С., R. Muñoz, A. Ramos, Phys. Lett. A308 (2003) 11; quant-ph/0212026.

85. D.J. Fernández С., E. Salinas-Hernández, J. Phys. A: Math. Gen. 36 (2003) 2537.

86. В.F. Samsonov, F. Stancu, Phys. Rev. С 67 (2003) 054005; nucl-th/0304010.

87. Б.Ф. Самсонов, A.M. Пупасов, Изв. ВУЗов, Физика 48 No 10 (2005) 20.

88. В.F. Samsonov, Phys/Lett. А 358 (2006) 105; quant-ph/0602101.

89. A.A. Andrianov, A.V. Sokolov, Nucl. Phys. В 660 (2003) 25; hep-th/0301062.

90. A.A. Andrianov, A.V. Sokolov, Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, 50 part 2 (2004) 539.

91. A.V. Sokolov, A.A. Andrianov, F. Cannata, J. Phys. A: Math. Gen. 39 (2006) 10207; quant-ph /0602207.

92. A.A. Андрианов, A.B. Соколов, Записки научных семинаров ПОМИ 335 (2006) 22; arXiv: 0710.5738.

93. A.A. Andrianov, F. Cannata, A.V. Sokolov, Nucl. Phys. В 773 PM] (2007) 107; math-ph/0610024.

94. A.V. Sokolov, Nucl. Phys. В 773 PM] (2007) 137; math-ph/0610022.

95. A.B. Соколов, Записки научных семинаров ПОМИ 347 (2007) 214.

96. Ф.А. Березин, Шубин М.А., Уравнение Шрёдингера, изд-во МГУ, М., 1983.

97. G. Dunne, J. Feinberg, Phys. Rev. D 57 (1998) 1271.

98. A. Khare, U. Sukhatme, J. Math. Phys. 40 (1999) 5473.

99. D.J. Fernández С., Supersymmetrically transformed periodic potentials, quant-ph/0301082.

100. B.E. Захаров, C.B. Манаков, С.П. Новиков, JI.П. Питаевский, Теория солитонов: метод обратной задачи, Наука, М., 1980.

101. Б.А. Дубровин, В.Б. Матвеев, С.П. Новиков, УМН 31 (1) (1976) 55.

102. F. Correa, V. Jakubsky, L.-M. Nieto, M.S. Plyushchay, Phys. Rev. Lett. 101 (2008) 030403; arXiv: 0801.1671.

103. M.V. Ioffe, J.M. Guilarte, P.A. Valinevich, Nucl. Phys. В 790 PM] (2008) 414; arXiv:0706.1344.

104. S.P. Maydanyuk, Ann. Phys. (NY) 316 (2) (2005) 440; hep-th/0607125.

105. A.A. Andrianov, M.V. Ioffe, V.P SnMnnnv/phys. Lett. A 174 (1993) 273.