Применение дискретных функционалов для гармонического анализа периодических и непериодических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ, АЛЬ-ФАРАБИ

На правах рукописи

БАЙТАСОВА Турсун

ПРИМЕНЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ПЕРИОДИЧЕСКИХ И НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алма-Ата, 1992

Работа выполнена в Российском государственном^ педагогическом университете т.А.И.Герцена

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, доцент А.А.Киселев

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

академик АН РК В.М.Амербаев; кандидат физкко-математических наук М.Б.Сихов.

Ведущая организация: Институт прикладной математики

ЦКО АН РК.

Защита состоится " ■/ " 1992 г. в "

часов на заседании Регионального специализированного совета К 058.01.17 по присуждению ученой степени кандидата наук в Казахском государственном университете шл.Аль-Фараби по адресу: 480012, г.Алма-Ата, ул.Масанчи 39/47.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КазГУ.

Автореферат разослан " £<f " Си 1992 г.

Ученый секретарь Регионального специализированного совета, кандидат физико-математических наук, доцент —' А.А.Бедальбаев

Л'.. - 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРНО ТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Известно, что ряды Фурье являются мощным аппаратом исследования в теории функций, уравнениях математической физики, математическом анализе и других разделах математики.

В настоящее время, в век ЭВМ и средств вычислительной техники, ряда Фурье нашли широкое применение в физике, механике, радиотехнике, теплотехнике и т.д.

Обстоятельное изложение различных аспектов теории ортогональных функций можно найти в известных монографиях А.Зигмунда, Г.Харда, В.Рогозинского, С.Качмажа и Г.Штейнгауза, К.Кахана и т.д. Несмотря на большое число теоретических и

ь

прикладных исследований в теории тригонометрических ортогональных рядов, в настоящее время все еще имеется целый ряд нерешенных проблем. В частности, это относится к теории бисф-тогонадьных рядов, где за счет биортогональности можно было бы выражать коэффициенты ряда через дискретные функционалы вместо обычных формул Фурье. Разработка таких методов являет-зя одной из важнейших задач как в теоретическом, так и в при-¡шадном аспектах. Это связано с тем, что дискретизация непрерывных функций характерна для многих разделов прикладной математики, таких как вычислительная математика, разработка метода численных решений, теории передачи информации, теорети-геская радиотехника и т.д.

В этом направлении в 60, 70, 80-о годы были выполнены ?яд исследований А.А.КиселевымлЛ.А.Онуфрлевой, С.Щушбаевым, С.Жолдасовой, Я.И.Шломой, Н.С.Абдуллаевым.игдр. К этим работам фишкает и настоящая работа.

Цель работы. Конкретной целью работы являются разработка трех классов методов гармонического анализа периодических функций и одного метода, содержащего произвольный параметр, для гармонического анализа непериодических функций.

Научная новизна. Теоретическая и практическая пенностъ. В работе получены следувдие результаты:

- Обобщены биортогональные разложения Чебешева-Маркова с помощью введения дискретных функционалов и зависящих от параметра х. . Построены функции, сопряженные функционалам Ц», и '1/п. , получены достаточные условия для разложения ) в соответствущий биортогональ-ный ряд.

- Для случая, когда раскладывается в абсолютно сходящийся ряд Фурье, для построения применен обобщеншй метод суммирования биортогональных разложений.

- Изучен класс дискретных функционалов, обобщагацих понятие арифметического среднего функции. Построены функции сопряженные к этим функционалам и дан метод гармонического анализа, в котором используются указанные функционалы.

- Разработан алгоритм последовательной гармонизации, в котором используется особое символическое исчисление.

- Дм произвольных двух характеров Дирихле, одного четного и одного нечетного, построен метод гармонического анализа.

- Для гармонического анализа непериодических функций применена обобщенная формула суммирования Пуассона, которая связана с формулами арифметического обращения рядов. Получеш формулы, выражающие значения функции ) через дискретные значения ее преобразования Фурье £(1>) .

- Ь -

- Методы гармонического анализа непериодических функций применены к финитным функциям, а также к фут ищи™, имеющим финитный спектр и подучено условие финитности , выраженное через $ (и>) и условие финитности f С ^) » вяраяешюо через fot) .

Все перечисленные результаты исследования являются новыми. Они могут быть использованы для решения задач математического анализа и прикладной математики. Простота полученных формул открывает возможность широкого использования стандартных вычислительных машин для решения задач гармонического анализа.

Ойцая методика исследований. В работе использовались методы математического анализа, в частности, рядов Фурье. Все полученные результаты были доказаны с использованием свойств функ- ■ ций: функции Мебиуса Ji(^) , числа делителей Zen.) и характера Дирихле j[(tt, к.) по модулю к- .

Апробация результатов» Основные результаты работы докладывались на межвузовских ежегодных конференциях Терценовские

ч

чтения" (Ленинград, 1987-1990 гг.), научном семинаре проф.Ви-денского B.C. по теории цриближения функций (ЛГПИ,1988-1989 гг.), научном семинаре проф.Темиргалиева Н. - (КазГУ, 1992 г.), научном семинаре академика Амербаева В.М, (АН PK, 1992 г.), городском научном семинаре проф.Отелбаева М.О. (КазГУ, 1992 г.), научном семинаре профДенсыкбаева A.A. (КазГУ, 1992 г.).

' Публикации. По теме диссертации опубликованы четыре работы (I - 4).

Свзщура диссдрудцзд. Дисертационная работа состоит из введения и трех глав, разделенных на Ю параграфов и списка литературы.

- 6 -

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава диссертации называется "Дискретные функционалы и биортогональные системы" и содержит параграфы 1-3. Для тригонометрического ряда Фурье формулируется исходная задача: найти вычислимые дасщзетные функционалы, через значения которых будут выражаться, коэффициенты ряда Фурье.

Пусть - периодическая функция раскладывается в

абсолютно сходящийся ряд Фурье:

. •»** л?

= , (1.1)

в

Построим дискретные функционалы, а именно / 2П-! л (1Ъ1)Г \

(1.9)

которые для сдвига Ж »о были получены в работе [I] при интегрировании биортогональной системы Чебышева-Иаркова.

Теорема 1.1. Если Т - периодическая функция /С*) рао-кладывается в абсолютно сходящийся ряд Фурье (1.1), то при любом сдвиге X. и цри любом п. имеем

—ю., . пи. СО Тс ИХчЭХс .

= + се )> а.п)

I) - Киселев АЛ., Онуфриева Л.А. Применение биортогональных систем Чебышева и Маркова для приближения функций. В кн. Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций. М.: физматгиз, 1961, с.183-189.

I ПЦаЗХс -пиихС

(спч£ -с^е )у ц.12)

•О

?де знак означает суммирование по всем нечетным числам и ,

Формулы (1.11) и (1.12) выражают дискретные функционалы 1ерез гармонические составляющие функции / , вычисленные для гаобого фиксированного сдвига х .

Теорема 1.2. Если выполняется условие усилешюй абсолютной сходимости ряда Фурье (1.1), т.е. при некотором £ /О

(1.13)

Шж/

го справедливы формулы: ^^(кГ), ал4)

Ц-^Я, 5Л ...

П10&С -rílúZ&L , "_ / . & .«. / .

С^е - = -¿ Т2 П) fMlk, M)t (I.i5)

Л ~ Ъ л,

Зричем ряды в формулах (I.I4) и (I.I5) сходятся абсолютно. Здесь ji(d) - функция Мебиуса:

Íi, если 0.~í

Ot если CL делится на квадрат целого числа •>{ (-1)* если CL-P, P^-Ps , где P¿ - простые числа .

3 теореме^осуществляется преобразование ряда £урье (1Л) в биортогокальный ряд при выполнении условия (I.I3)

+ 7, (1.24)

Г8*/

где

и.) п. " '

(-о — (1.22)

м|/и ^ '

системы функций, сопряженные к системам функционалов (1.8) и (1.9). Суммы в (1.20) и (1.22) берутся по нечетньм делителям числа п, , а - функция Мебиуса.

Причем ряд (1.24) сходится абсолютно и равномерно в промежутке ]- —.

Теотерла 1.4 дает усиление теорем 1.2 и 1.3, основанное на идеях работы [1 ] . А именно,доказывается цри условии

(1.2 7)

функционалы ¿¿Л и

однозначно оцределяют функцию £ и. непосредственно ее коэффициенты Фурье.

В конце § I выписаны различные формулы для практического гармонического анализа, которые вытекают из доказанных теорем.

В § 2 для целей гармонического анализа используется дискретные функционалы, являющиеся обобщением функционалов

)' 1--<"*>*'■■• (2.1)

Д," о

введенных в 1965 году в работе [2] и названные арифметическими средними . Т - периодической функции / .

2) - Киселев A.A. Об одном методе гармонического анализа.

Тезисы докладов к научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава. Ленинградокий Электротехнический институт связи им.ггооф.Бонч-Бруевича, . Л., 1965, с.70-72.

Введены функционалы п-1

у п-1 т

П. - •3-г • • •

В теореме 2.1 доказывается, что если х не соизмерило с Т , то множество Функционалов ^И» , ^ и множество функций J , образует биортогональнуь систему. Здесь

м зг^ ' ""<■>■>-■ (2.4)

системы функций, сопряженные к системам функционалов (2.2) и (2.3). Сумма в (2.4) и (2.5) берется по делителям числа /п. . В теоремах 2.2 и 2.3 строится и изучается биортогоналышй

ряд

^^с.+Т^Шт.гКЫ+М (*> (2.Г7)

В теореме 2.4 доказывается, что если цри некотором £ >0 сходится ряд

£ (!апН , (2.23)

ТО

а^&МгпсЭХ - (2.24)

- 10 -

G» у

Sm. hn. тик - TZßfn)^ . (2.25)

iT* f

В У^ооеме £.5 условие (2.23) заменяется условием

7Z1 (lüm.1 + IBm.1) < ^ (2.26)

и получаются формулы

£Pr (X'f)' (2.27)

= ZZ^ у/^; ¿^ fr/J, (2.28)

где jCA'J - общее наименьшее кратное чисел 1,2,3, ... У-

В § 3 содержится алгоритм последовательной гармонизации, являющийся обобщением алгоритма, предложенного в [z] и [з] . Вводятся специальные линейные операторы /Л (т, . действующие на Т - периодические функции

UÍ-L (*>{) TZ fix* п^л.5,... (3.2)

/ D

В теореме 3fJ доказывается формула

, (3.3)

3) - Киселев A.A. Некоторые математические вопросы, связанные с обработкой результатов наблюдений в случае большого числа данных. Военно-Морская ордена Ленина Академия. Отчет о выполнении НИР й 1320, Л., 196I, с.94.

- II -

где [и,т] - общее наименьшее кратное чисел п, и т. . функционалы Ия. , Щ* выражаются с помощью . Формулы

гармонического анализа (2.27), (2.28) могут быть записаны с помощью оператора ¿я. / . Далее, построены своеобразное символическое исчисление /д, .

В теореме 3.2 получено разложение оператора

к\№

на множители. Применение этого разложения к формулам (2.27), (2.28) порождает метод последовательной гармонизации, позволяющий вычислить с любой точностью синус и косинус гармонику разложения Фурье заданной функции f путем последовательного применения операторов (I-Lp), Р* 2, Ъ, 3", •" > к выражению /П Lme ) f .

TZßCdJl^ W) ^ f.n/tecn'&

Глава I заканчивается таблицей для приближенного вычислэ- ' ния -ой гармоники ntOX и in. Sin п tú х .

Таким образом, в первой главе диссертации построены две биортогональные системы с дискретными функционалами.

Глава П "Методы гармонического анализа, использующие характеры Дирихле" состоит из параграфов 4-6.

В § 4 вводится в рассмотрение — произвольный

характер Дирихле по модула К и рассматриваются дискретные функционалы кп. , ,

ФЛМ-к (4.1)

А в теореме 4.1 доказана формула

(i í) = mft^^c*) слт т f (4>4)

-12 -

где % (й) - характер, сопряженный с ¿(а) , - означа-

ет отсутствие слагаемого, соответствующего а.-о,

/ % -/KiO¿1

Г

е cLi,

в

В теореме 4.£ доказана формула {"£0 - главный характер + (4.12)

а~ I '

где фСл) - функция Эйлера, (^(а) - суша Рамацудаана.

§ 5 посвящен обращению рядов с характерами. Доказано, что справедлива теорема 5.1. Пусть справедливы формулы

и пусть для некоторого £>о

(5.1)

тогда справедливы формулы обращения

Теорема 5.2. Если-вместо (5.1) выполняется

то будут справедливы формулы обращения

= 211 ¿я*, • (5.7)

* > т.

В § 6 доказывается теорема, позволяющая с любши двумя характерами по модулям и Яг, , четнда и не-

четным X, (п, с,), связать метод гармонического анализа, в основе которого лежат формулы

'-т. —

Шд) Р*/

/

(6.2)

т. .т.

Даны достаточные условия для справедливости этих формул

при некотором £>о .

Из формул (6.2) и (6.3) выводятся формулы для и

» непосредственно применимые в гармоническом анализе. В теореме 6.2 условие (6.4) заменяется условием

Параграф заканчивается рассмотрением нескольких примеров.

Таким образом, во второй главе построен еще один метод . армонического анализа для произвольных двух характеров Дирих-в, одного четного и одного нечетного,в котором используется декретные функционалы, зависящие от этих характеров.

Глава Ш посвящена применению дискретных функционалов для армонического анализа непериодических функций.

Пусть определена и абсолютно интегрируема в

- и пусть ее преобразование Фурье

(6.4)

т.*-!

(6.9)

- 14 -

/ f -¿U>é ,

обратное преобразование

( Л ¿аэ-б 4(<-о) 44о)сМ а,, Л J у- ^ _ (7.2)

Возникает вопрос, о возможности сведения идеи гармонического анализа непериодической функции , которая задана ври всех ^ , к периодическому случаю с помсшдао вспомогательной Т - периодической функции:

К (7.3) применяется простейший из методов гармонического анализа, который был предложен в [2 ] .

Вводятся средние арифметические функции Р(±) со сдвигом

X

3,...

и разложение Фурье функции

ЛКЙ,йь яг'

F(é) = HZ. C^Cf)& з _

m&¿ 7

(7.5)

(7.7)

Г • / / -/rUOÍL.

Смсг)=ф J Fteja oté . (7.4)

о

Доказывается теорема 7.J. Если абсолютно интегрк-руема в Jв™" £ и

f^+Tz*) (7.6)

причем

„_ * » ■ 21Г

211 ¡£(ти»11т.1 < а. , (7.н)

то справедлива формула '

В теореме 7.2. в которой условие (7.11) заменяется условием

А

1 Т (7.15)

доказывается формула

Л

Теоремы 7.1 и 7.2 дают возможность вычислять , ва-

бирая через дискретные значения исходной функции ) .

В § 8 эта идея используется для вывода формул представления различных Фурье-преобразований. Интересно отметить, что при преобразовании этих формул часто приходится использовать урав-нение-2йлзра-№нгольдта

В § 9 рассматриваются формулы аналогичные формулам, по кол

торым в § 7 вычисляли ^(ы) . Основанием для этого служит почти симметричность формул для прямого и обратного преобразования 1урье.

Формула Пуассона получается из формулы § 7 при Х^о а гь — 1 и имеет вид

2И /(лТ) ~ и> £(миэ)

пгегт (9.1)

- ¿.О -

Обозначая правую часть через ^ (ш) , заменяя Т на

и со на получим

«Л

Отсюда получается теорема 9.1. При условии

имеем

(9.2)

(9.3)

и * к Д. J л . (9.5) В теореме 9.2 условие (9.3) заменяется на условие

2И //бег; у- #6*7-;/ < — (9.8)

и доказывается формула

Формулы § 9 могут служить для вычисления значений исходной функции (сигнала) по известным значениям ее преобразования Фурье (спектра сигнала).

§ 10 посвящается функциям, обладанидам финитным спектром' или функциям финитным. Используя формулы (7.П) получим условие

л

финитности спектра £ С1*3) выраженное через функцию . Ана-

логично, используя формулы (9.3) получим условие финитности £(<-) выраженное через ее спектр .

В Заключении сформулированы основные результаты работы и некоторые вывода.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доценту А Д.Киселеву за постоянное внимание и поддержку в работе.

Публикации по теме диссертации

1. Байтасова Т. Об одном методе гармонического анализа -Алма-Ата, 1988. 14 с. - рукопись представлена КазПТИ им.Леншш. Деп. в КазНИИНТИ » 1858 Деп.

2. Байтасова Т. Дисщ)етные функционалы, связанные с понятием арифметического среднего функции - Л., 1989,. II с. - Рукопись представлена Ленинградским пединститутом. Деп. в ВИНИТИ

й 4257-389 Деп.

3. Байтасова Т. Применение дискретных функционалов для гармонического анализа непериодических функций - Л., 1989,

13 с. - Рукопись представлена Ленинградским пединститутом. Деп. в ВИНИТИ а 4371-В89 Деп.

4. Байтасова Т. Об арифметических методах гармонического анализа - Межвузовский сборник научных трудов. Ленинград. 1990. с.129-137.

Диссертациялы^ жумистз гармониялю^ аналиад{ц б!рнеша эд^-тер{ зерттелген.^ункциянын Фурье татарина я1ктелу!ндег! эрб!р синус,косинус гармоникаларын жеткШкт! дэлд^кпен есептеуге болатын формулалар бер}лген.Периодты функцияларга цолданылран эд^с.кемекш! периодты функция енг!зу ар^шш,-Фурье турленд!ру!нв-• де цолданылуы мумк!н екенд{Н керсет1лген.

МЗМТВДАМАСЫ