Дискретные аналитические функции и ряды Тейлора тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Данилов Олег Александрович

Дискретные аналитические функции и ряды Тейлора

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 4 ШР 2011

Новосибирск — 2011

4841072

Работа выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Медных

Александр Дмитриевич

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., профессор

Демиденко Геннадий Владимирович к.ф.-м.н., доцент Семенов Александр Михайлович

Ведущая организация: Сибирский Федеральный

Университет

ЪО

Защита состоится 07 апреля 2011 года в 1о часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан ^ марта 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

А. Е. Гутман

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Понятие дискретной аналитической функции на гауссовой решетке С = Ъ %Ъ было введено Р. Ф. Айзексом1. Он классифицировал эти функции на функции первого и второго рода и исследовал функции первого рода.

Далее Ж. Ферран2 и Р. Дж. Даффин3 создали теорию дискретных аналитических функций второго рода. Важные результаты, связанные с поведением дискретных аналитических и гармонических функций на бесконечности были получены С. Л. Соболевым.4 Новые плодотворные аналитические и комбинаторные идеи принес Д. Цайльбергер.5 Их развил и обобщил А. Д. Медных.6 Другой подход к дискретным аналитическим функциям был предложен У. Терстоном,7 где была получена эффективная, быстросходящаяся аппроксимация в теореме Римана о конфо рмных отображениях односвязных римановых поверхностей.

Все вышеуказанные результаты основывались на различных непосредственных линейных и нелинейных дискретизациях уравнений Коши — Римана. Напомним1, что дискретная аналитическая функция первого рода / : Ъ + г Ъ С определяется линейным уравнением

а дискретная аналитическая функция второго рода — уравнением вида:

Пионерский шаг в понимании природы дискретных аналитических

1 Isaacs R.F. A Finite Difference Function Theory// Univ. Nac. Tucuman. Revista A. 1941. Vol. 2. P. 177-201.

2Ferrand J. Fonctions Preharmoniques et Functions Preholomorphes // Bull. Sci. Math., 2ndSer. 1944. Vol. 68. P. 152-180.

3Dufp.n R.J. Basic Properties of Discrete Analytic Functions// Duke Math. J. 1956. Vol. 23. P. 335-363.

4 Соболев С. Л. Об одном разностном аналоге полигармонического уравнения. //ДАН СССР. 1965. Т. 164. Н. 1. С. 54-57.

5Zeilberger D. A New Basis for Discrete Analytic Polynomials// J. Austral. Math. Soc. 1977. Vol. 23. (Series A). P. 95-104.

6Медных А.Д. Дискретные аналитические функции и ряд Тейлора // Теория отображений, её обобщения и приложения. Сб. науч. тр. Киев: Наук, думка. 1982. С. 137-144.

7Thurston W. P. The finite Riemann mapping theorem. Invited talk at international symposium on the occasion of the proof of the Bieberbach conjecture.// Purdue Univer- у

(1)

(2)

sity. 1985.

функций был предпринят Р. Дж. Даффиным8, где регулярная решетка Z + г Z была заменена на произвольный граф с ромбическими гранями. Далеко идущие обобщения этих идей были даны К. Мерка9, где линейная теория дискретных аналитических функций была распространена на дискретные римановы поверхности. R. Кэниён10 развил теорию оператора Дирака и построил функцию Грина для линейной теории на ромбических графах. Этот подход привел к важным приложениям в теории кодирования Р. Идальго11.

Второй подход, связанный с нелинейной теорией, основан на идеях У. Тёрстона и показывает, что шаровые упаковки являются естественным дискретным аналогом аналитических функций12 13 14 15. Одним из важнейших результатов данной теории является доказательство того, что голоморфное отображение в классической теории Римана может быть конструктивно аппроксимировано шаровыми упаковками16 17 18. Вариационный подход к шаровым упаковкам обсуждается в деталях в работе А. Бобенко, Б. Спрингборн19.

Слово "нелинейный"является базисным свойством уравнений, описывающих шаровые упаковки. Для функции / : Z+i Z С на регулярной

8Duffi п R. J. Potential theory on rhombic lattice. //J. Combinatorial Theory. 1968. Vol. 5. P. 258-272.

9Mercat Ch. Discrete Riemann surfaces and the Ising model.// Commun. Math. Phys. 2001. Vol. 218. P. 177-216.

10Kenyon R. The Laplacian and Dirac operators on critical planar graphs. // Invent. Math. 2002. Vol. 150. P. 409-439.

ílHidalgo R. A. Godoy M. M. Introducción a las estructaras de superficies de Riemann discretas. 2007. available at : // http: //docencia.mat.utfsm.cl/ rhidal-go/files/discreta.pdf

l2Beardon A. F., Stephenson K. The uniformizaron theorem for circle packings. // Indiana Univ. Math. J. 1990. Vol. 39. P. 1383-1425.

13Dubejko Т., Stephenson K. Circle packing: experiments in discrete analytic function theory. // Experiment. Math. 1995. Vol. 4. P. 307-348.

14Schramm O. Circle patterns with the combinatorics of the square grid. //Duke Math. J. 1997. Vol. 86. P. 347-389.

15 Stephenson K- Circle packing and discrete analytic function theory. //In: Handbook of complex analysis: geometric function theory, Vol. 1, Amsterdam: North-Holland. 2002. P. 333-370.

x^Rodin В., Sullivan D. The convergence of circle packings to Riemann mapping. // J. Diff. Geom. 1987. Vol. 26. P. 349-360.

17Rodin B.,Marden A. On Thurston's formulation and proof of Andreev's theorem. // Lect. Notes Math. 1990. Vol. 1435. P. 103-115.

18Яе Z.-X., Schramm O. The C. convergence of hexagonal disc packings to Riemann map. // Acta Math. 1998. Vol. 180. P. 219-245.

l9Bobenko A., Springborn B. Variational principles for circle patterns and Koebe's theorem. // Trans. AMS. 2004. Vol. 356. P. 659-689.

9П

решетке такое уравнение введено в

(fm+l,n /m,Tt)(/m+l,n+l fm,n+1) _ _^ ^^

(.fm )(/m+l,n+l -/ni+l.n)

Для шаровых упаковок с более глубокими комбинаторными идеями, обобщение этого уравнения на произвольные четырехугольные графы (планарные графы с четырехугольными гранями) дается в21.

Нетрудно увидеть, что в каком-то смысле, решения уравнений (1), (2) и (3) являются дискретными аналогами аналитических функций. Действительно, предположим, что решетке Z+iZ соответствует решетка (т+ in)£ € С. Тогда ограничения аналитических функций на эту решетку удовлетворяют соответствующим уравнениям с точностью до 0(е2). Более точно, если / : С —> С является аналитической, то

f(z + is)-f(z) . 2

f(z + e)-f(z) f(z + ie) — f(z + e)

f(z + s + ie)-f(z) (f(z + e) - f(z))(f(z + B + ie)- f(z + fe))

= i + 0(O, (4)

+ 0(£2), (5)

= -l + 0(£2) (6)

(/(* + »£) - /(*))(/(* + е + ге) - /(г + г))

Аналогичные соотношения справедливы на более общих графах.

До недавнего времени, линейная и нелинейная теории дискретных аналитических функций развивались раздельно. В работе А. Бобенко, К. Мерка, Ю. Суриса22 показано, что в некотором точном смысле первая теория является линеаризацией второй. Данная теория особенно богата для случая квазикристаллических замощений. Этот класс включает в себя как двойные периодические замощения (которые естественным образом рассматриваются на торе), так и непериодические, подобные замощениям Пенроуза. В работах И. А. Дынникова и С. П. Новикова23 изучены аналитические функции на треугольных и шестиугольных решетках.

20Nijhoff F., Capel H. The discrete Korteweg-de Vries equation. Acta Appl. Math. 1995. Vol. 39. P. 133-158.

21Bobenko A. I., Suris Y. B. Integrable equations on quad-graphs. // Internat. Math. Res. Notices. 2002. Nr. 11. 573-611.

22Bobenko A. I., Mercat Ch., Suris Y. B. Linear and nonlinear theories of discrete analytic functions. Integrable structure and isomonodromic Green's function. // J.Reine Angew. Math. 2005. Vol. 583. P. 117-161.

2iDynnikov I.A., Novikov S.P. Geometry of triangle equation on two-manifolds. // Moscow Math. J. 2003. Vol. 3. P. 419-438.

Цель работы.

Изучение свойств дискретных аналитических функций, заданных на гаусовой плоскости, а также дискретных аналитических функций многих: переменных, заданных на решетке Z2n С Сп.

Установление гомоморфизма пространства аналитических функций в круге на пространство дискретных аналитических на квадрате и описание его ядра.

Получение теорем существования и единственности разложения дискретной аналитической функции в ряд Тейлора по системе псевдостепеней.

Применение основных результатов теории дискретных аналитических функций к решению разностных уравнений.

Методы исследований.

Получение основных результатов опирается на идеи и на методы вещественного, комплексного и функционального анализа, теории интерполяции, исчисления конечных разностей и комбинаторного анализа.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) Доказано, что любая дискретная аналитическая функция одного или нескольких переменных разлагается в сходящийся ряд Тейлора.

2) Установлено, что разложение дискретной аналитической функции в ряд Тейлора неединственно.

3) Полностью описаны дискретные ряды Тейлора, тождественно равные нулю на заданных подмножествах гауссовой плоскости.

4) Дано описание дискретных рядов Тейлора, тождественно равных нулю в положительном октанте гауссова пространства.

5) Найдены системы псевдостепеней для линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Получены разложения решений указанных уравнений в ряды Тейлора по псевдостепеням. Изучены вопросы единственности таких разложений.

Теоретическая и практическая ценность.

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы специалистами, работающими в области геометрической теории функций, многомерного комплексного анализа, исчисления конечных разностей и комбинаторного анализа.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на следующих российских и международных конференциях и на семинарах ведущих научно-исследовательских институтов и университетов.

— на Девятой Казанской Летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", Казань, 1-7 июля, 2009 г.,

— на международной конференции "Аналитические функции многих комплексных переменных", Красноярск, 12-18 августа, 2009 г.,

— школе-конференции молодых ученых по геометрическому анализу, Горно-Алтайский Государственный Университет, 2-9 августа, 2010 г.,

— на международной конференции "7-th International Conference of Lattice Path Combinatorics and Applications", Сиена, Италия, 4-7 июля, 2010 г.

Кроме того, результаты диссертации обсуждались на семинаре отдела геометрии и анализа Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством академика Ю. Г. Решетняка, на семинаре "Геометрия и топология и их приложения" ИМ СО РАН под руководством чл.-корр. РАН И. А. Тайманова, на семинаре "Инварианты трехмерных мно-гоообразий" ИМ СО РАН под руководством чл.-корр. РАН А. Ю. Веснина, на семинаре отдела дифференциальных уравнений ИМ СОРАН под руководством профессора Г. В. Демиденко, на семинаре "Геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах" ИМ СО РАН под руководством профессора А. Д. Медных, на семинаре кафедры теории функций и функционального анализа МГУ под руководством чл.-корр. РАН Е. М. Чирки, на совместном семинаре кафедры теории функций и кафедры высшей математики Новосибирского Государственного Университета, на семинаре кафедры теории функций Сибирского Федерального Университета под руководством профессора А. К. Циха, на семинаре "Эварист Галуа" Новосибирского Государственного Университета под руководством профессора В. Г. Бардакова.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав основного содержания, и списка литературы из 37 использованных источников. Общий объем диссертации — 106 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описываются основные результаты диссертации и дается краткий обзор исследований по теме диссертации.

Первая глава посвящена изучению дискретных аналитических функций, заданных на квадратах гауссовой плоскости и их разложению в ряд

Тейлора. Доказано, что любая дискретная аналитическая функция разлагается в сходящийся ряд Тейлора. Установлено, что разложение дискретной аналитической функции в ряд Тейлора неединственно.

В частности доказано, что дискретная аналитическая функция, заданная на квадрате, совпадает со своим дискретным полиномом Лагранжа.

Дадим необходимые определения. Всюду в дальнейшем в главе 1, С = {х + гу:х, у € 2} — гауссова плоскость, а = {х + 1у Е О:х ^ О, у > 0} — ее положительный квадрант.

Рассмотрим комплекснозначную функцию /, определенную на некотором подмножестве Е С С. Если / определена на единичныом квадрате, содержащем точки {г, г+1, г+1+г, г+г), тогда / называется дискретной аналитической на этом квадрате, если справедливо равенство

/(2+1 +г) -/(г) = /(г + г)-/(г+1)

1 + г г - 1 ^

или, иначе

= + г/(г + 1) + г2/(г + 1 + г) + г3/(г + г) = 0. (8)

Если соотношение (7) справедливо для каждого единичного квадрата, принадлежащего множеству Е с С, мы говорим, что / является дискретной аналитической функцией на Е. Дискретная аналитическая функция, определенная на всем называется целой,

Множество всех дискретных аналитических функций на Е и на обозначим соответственно через 2?(Е) и Т>(&+).

Пусть г = х + {у е <К+, £ £ С. Мы положим )г| = тах{:г, у} и определим дискретный квадрат <Эд = {г е <5+: \г\ < Л} и круг = {£ е С: |£| < Д}. Обозначим через А(17я) и 2?(<3д) — множество аналитических на /7д и множество дискретных аналитических функций на <3д соответственно.

Систему псевдостепеней {^(з)}/^ определим формулой5

, . (¿ь((1 + г)е^+1> - ¿)*((1 - + г)* **(*) =-^-

. (9)

Как показано в работе Цайльбергера, они удовлетворяют следующим свойствам

(Л1) тг*(0)=0, к = 1,2,...

* (к

(А2) -пк{г1 + г2) = У] ( " )тг5(г1)тгк_а(22),

в=0

(ЛЗ) тго(-гг) = 1, тгф) =гк + Рк_х(х,у),

где Рк~\{х, у) является многочленом степени ^ к—1 относительно (х, у). Установлены следующие результаты.

оо / ( \к

Теорема 4. Пусть = } ак ( -- ) и^б Л(ир). Тогда ассоци-

оо

ировапный ряд /(г) = ^^ ак^к(^) сходится для всех г € <2 я и / 6 А:=0

2?(<5я)- Более того, в этом случае для каждого г — х + гуЕ (^я имеем

X

f(z)= £ с(х,у,5)Л», (10)

где

г

а Г — любой контур, содержащий внутри 0.

Теорема 5. Пусть Р и / те же самые, что и в теореме 4. Тогда для всех целых в, 0 ^ я < Я справедливы равенства

(12)

к=0 ^ '

*■(-*) = ( 1 + (13)

к=О ^ '

Теорема 6. Пусть N — целое неотрицательное число, а /(г) — дискретная аналитическая функция в квадрате <Здт+1- Тогда существует единственный дискретный полином

1(г) = а0 + + ... + дт(-г), (14)

такой, что = 1{г) для каждого г €

Теорема 8. (о ГОМОМОРФИЗМЕ). Пусть ^ 6 Л{ия) и f б Т>(С}д). Предположим, что Э(^) = /. Тогда для любого целого /V, такого что О < N < Я, справедливо разложение

Р = й ■ Рк + (15)

N к=1

— ассоциированный многочлен Лагранжа функции /(г) на СЗдт+г -а С?(£) — некоторая аналитическая в круге 1/ц функция. Таким образом,

где (.Рлг) = ,А(С/н) — главный идеал в Л{11п), порожденный многочленом .^лг.

В заключение главы 1 приводится пример неединственности разложения дискретной аналитической функции в ряд Тейлора.

Пример 7. Пусть

Очевидно, что = 0, й е 2. По теореме 5 имеем равенство для всех г е

С+

Во второй главе установлено, что любая дискретная аналитическая функция нескольких переменных, определенная в положительном октанте гауссова пространства разлагается в сходящийся ряд Тейлора. Дано описание рядов Тейлора, тождественно равных нулю в Дадим необходимые определения главы 2.

Обозначим через С = (2 + гЪ)п ~ {г = (21,^2,...,гг„), г^ — Xj + Уз € X, ] = 1,2,...,п} — п-мерное гауссово пространство, а

через = {г £ С : I ^ 0, у ^ 0} — его положительный октант. Псевдостепени {^¿(г)}^ определим формулой:

тхк{г) = ттк1(гг) • тт^г) • ... • ъкп(гп), (16)

где к = (кик2,...,кп), г - (гь г2,. ■. ,*„).

Пусть комплекснозначная функция ¡{г) определена на единичном кубе из содержащем точки {г, г + е^, г + ге^,г + (1 + з = 1,2,... , п}. Тогда /(г) называется дискретной аналитической функцией на указанном кубе, если справедливы равенства

/(г+(1+ »>;)-/(*) = ¡(г+ге^-Цг + е,) ■

г + 1 г — 1 ^ '

или, иначе

= Яг) + */(г + + ¿¡(г + (г + 1)е,) + г3/(* + ге,) = 0, 3 = 1,2,...,п.

Если соотношения (17), (18) справедливы для любого единичного куба, принадлежащего <Е+, тогда ¡{г) является дискретной аналитической функцией на <С+. Дискретная аналитическая функция на называется целой дискретной аналитической функцией. Множество всех таких функций обозначим через Р(С+). Установлены следующие результаты.

Теорема 12. Пусть f(z) € Х>(С+). Тогда найдётся целая аналитическая функция = ак-г.—ггттт такая, что ¡(г) = } а^к^),

геС+.

Теорема 13. Пусть = ^ аку.-гщ- такова, чтоЕ{£) £ А{Сп).

1*1=о +

оо

Тогда ассоциированный ряд /(г) = ^ а^к^) сходится для всех г £

1*1=0

и /(г) € Т>(&+). Более того, для любого г € справедливо равенство

Яг)= £ с(х,у,з)Р(з), (19)

где

( ^ 1 /" тт К1 + ~ [(1 ~ Щ1 + АУз ^

с(х'у> а) = I Ц-¡^—-

а Г — остов любого полидиска, содержащего внутри 0.

Теорема 14. Пусть Р, / те о/се, что и в теореме 13. Тогда для всех целых з € "Щ. справедливы равенства:

. *■(*) = (1 - ¿г1-1 ¿п (Ан^т, (21)

к=0,=1 ^Ч/

*■(-*) = (1 + ГИ £ П ( к. (22)

Теорема 15. Пусть Р, / те оке, что и в теореме 13. Тогда для всех целых 5 б2" справедливо равенство:

m - (1 - o-"<i+о--' Е £ иГ1"1*"1 (f+) (Г_)

/с^—0 fc —0

х f(k+ +ik~),

^ s

Следствие 2. Пусть F(£) — ^ afc (• i)|fc| — целая аналитическая

к=о

функция. Тогда f(z) — ^^ = 0, г € G+ если и только если F(s) =

k=О

0 для каждого s € Zn.

Третья глава посвящена приложениям теории дискретных аналитических функций к разностным уравнениям. Доказано, что любое решение уравнения Даффина разлагается в абсолютно сходящийся ряд Тейлора по псевдостепеням -кk{z). Установлена неединственность такого разложения. Доказано, что любое решение уравнения Даффина однозначно разлагается в ряд Ньютона по псевдостепеням Для двух других типов разностных уравнений доказано, что любое решение соответствующего уравнения разлагается в абсолютно сходящийся ряд Тейлора по соответствующей системе псевдостепеней. Установлена неединственность такого разложения.

Дадим необходимые определения. Рассмотрим комплекснозначную функцию /, определенную на некотором множестве В С О. Если / определена на тройке чисел {г, 2+1, г+г}, тогда / называется дискретной аналитической функцией первого рода на этой тройке, если справедливо соотношение:

/(г+1) -/(г) = /(* + г)-/(2) (24)

или, иначе:

«■(/(*)) = Я* + 1) + ¿Я* +») - (1 + = 0. (25)

Если соотношение (24) справедливо для всякой тройки {г, г + 1, г + г}, принадлежащей множеству Е С С, мы говорим, что / является дискретной аналитической функцией первого рода на Е. Дискретная аналитическая функция первого рода, определенная на всем называется дискретной целой функцией первого рода. Множество всех дискретных аналитических функций первого рода на Е и на обозначим соответственно Vх(Е) и Т>\ (<С+). Оператор сг введенный формулой (25) является дискретным аналогом оператора Коши — Римана из комплексного анализа, а само уравнение (25) называется уравнением Даффина.

Определим псевдостепени ттк(г) по формуле

(26)

е=о

а псевдостепени по формуле

(х^ = х(х - 1) • • • (а; - к + 1), при у — 0,

при у * 0,. (27)

где к = 0,1,2,....

Обозначим Ак/(хо) — к-разделенную разность которую определим

индуктивно:

Д/Ы = /(хо + 1) - /Ы, &21{хо) = Л/(®0 +1) - Д/Ы,

(28)

Д*7Ы - Ак~1/(хо + 1) - Д^/Ы-Установлены следующие результаты. Теорема 19. Любое решение /(г) разностного уравнения (25) на

оо

разлагается в абсолютно сходящийся ряд Тейлора /(г) = 0^71^(2),

к=0

г € Указанное разложение неединственно. При этом, /(г) = О при всех г е тогда и только тогда, когда = 0, я = 0,1,2,.. где

оо

ПО = Х>*£* 6 Л(С).

к=0

оо

Теорема 22. (о ГОМОМОРФИЗМЕ) Яусшъ £"(£) = ^ац^* е .Д(С), а

ь=о

оо

/(г) = ^^ акЖк(г) £ £>1(С+) ассоциированная с дискретная анали-к=о

тическая функция первого рода. Тогда отображение © : >—> /(г) осуществляет эпиморфизм линейного пространства -Л(С) на линейное пространство Р^С"1"). Ядро указанного гомоморфизма Кег0 имеет вид:

Кег 0 = = Г(£ + 1) вш(7гОЛ(С),

где Г (О — гамма-функция Эйлера. Для разностных уравнений

f(z+l) + f(z + г)-2f{z) = 0 (29)

2/(* + 1)-/(*+»)-/(г) =0 (30)

получены результаты, аналогичные теоремам 19 и 22 относительно соответствующих систем псевдостепеней 7^(2):

е=о

£=о

(32)

Теорема 23. Любая дискретная аналитическая функция первого рода /(г) разлагается в сходящийся ряд Ньютона

к=0

А!

6С+.

Указанное разложение всегда существует и единственно.

Благодарности.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю, профессору, доктору физико-математических наук Александру Дмитриевичу Медных за постановку задач, помощь в различных вопросах и постоянное внимание к работе.

Список публикаций автора по теме диссертации

[1] Данилов О. А. Интерполяционная формула Лагранжа для дискретной аналитической функции. // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2008. Т. 8. вып. 4. С. 3339.

[2] Данилов О. А., Медных А. Д. Дискретные аналитические функции многих переменных и формула Тейлора. // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9. вып. 2. С. 38-46.

[3] Данилов О. А. О разложении дискретных аналитических функций в ряд Тейлора. // Математические заметки ЯГУ. Т. 17. Вып. 2. С. 21-33.

[4] Данилов О. А. Формула Тейлора для дискретной аналитической функции, заданной на квадрате. // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского Казанское математическое общество. 'Теория функций, ее приложения и смежные вопросы." Материалы девятой Казанской Летней школы-конференции. Казань, 1-7 июля, 2009 г. Издательство Казанского математического общества, Издательство Казанского государственного унивесрситета. 2009. Т. 38. С. 104-105.

[5] Danilov О. A. Discrete analytic functions of several variables and Taylor expansion. // Тезисы международной конференции "Аналитические функции многих комплексных переменных" Красноярск, 12-18 августа, 2009 г. Издательство Сибирского Федерального Университета. Красноярск. 2009. С. 10.

[6] Danilov О. A. Mednykh A. D. Taylor expansion for discrete analytic functions. // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу. Горно-Алтайск, 2-8 августа, 2010 г. РИО Горно-Алтайского Государственного Университета. Горно-Алтайск. С. 34-40.

[7] Danilov О. A. Mednykh A. D. Discrete analytic functions in complex spaces and Taylor expansion. // Конференция "Lattice Path Combinatorics and Applications". Siena, Italy, 4-7 July, 2010. Abstracts. TJniversita' Degli Studi di Siena, Dipartimento di Scenze Matem-atiche e Informatiche " Roberto Magari " P. 129-134.

В работе [2] вклад авторов равноценный.

Данилов Олег Александрович

Дискретные аналитические функции и ряды Тейлора

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать Qi.03.2011. Формат 60 х 84 1/16. Усл.печ. л. 0,75 Печать офсетная

Тираж 100 экз. Заказ № 46

Редакционно-издательский центр НГУ 633090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2

Введение

1 Дискретные аналитические функции одного комплексного переменного и ряды Тейлора.

1.1 Определение и примеры дискретных аналитических функций.

1.2 Системы псевдостепеней {рк{г)}™=0.

1.3 Соотношение между аналитическими и дискретными аналитическими функциями.

1.4 Примеры разложений дискретных аналитических функций в ряд Тейлора.

2 Дискретные аналитические функции многих комплексных переменных и ряды Тейлора.

2.1 Основные определения и обозначения.

2.2 Голоморфные функции в С71, принимающие заданные значения на целочисленной решётке.

2.3 Многомерная формула Тейлора для целой дискретной аналитической функции.

Актуальность темы

Понятие дискретной аналитической функции на гауссовой решетке С = Ъ + г Ж была введено Р. Ф. Айзексом [1], 1941. Он классифицировал эти функции на функции первого и второго рода и исследовал функции первого рода.

Далее Ж. Ферран [2], 1944 и Р. Дж. Даффин [3], 1956 создали теорию дискретных аналитических функций второго рода. Важные результаты, связанные с поведением дискретных аналитических и гармонических функций на бесконечности были получены С. Л. Соболевым [4], 1965. Новые плодотворные аналитические и комбинаторные идеи принес Д. Цайльбергер [5], 1977. Их развил и обобщил А. Д. Медных [6], 1982. Другой подход к дискретным аналитическим функциям был предложен У. Тёрстоном в работе [7], 1985, где была получена эффективная, быстросходящаяся аппроксимация в теореме Римана для конформных отображений односвязных римановых поверхностей.

Все вышеуказанные результаты основывались на различных непосредственных линейных и нелинейных дискретизациях уравнений Коши — Римана. Напомним [1], что дискретная аналитическая функция : Ъ + г Ъ —У С первого рода определяется линейным уравнением т+1 (1) в то время как функции второго рода определяются уравнением вида: ш,п+1 — /т+1,п = ¿(/т+1

• (2)

Пионерский шаг в понимании природы дискретных аналитических функций был предпринят Р. Дж. Даффиным [8] , 1968 где регулярная решетка Ъ + г Ъ была заменена на произвольный граф с ромбическими гранями. Далеко идущие обобщения этих идей были даны К. Мерка

9], 2001, где линейная теория дискретных аналитических функций была распространена на дискретные римановы поверхности. Р. Кэниён

10], 2002 развил теорию оператора Дирака и построил функцию Грина для линейной теории на ромбических графах. Этот подход привел к важным приложениям в теории кодирования Р. Идальго [11], 2007г

Второй подход, связанный с нелинейной теорией, основан на идеях У. Тёрстона и показывает, что шаровые упаковки являются естественным дискретным аналогом аналитических функций ([12], 1990, [13], 1995, [14], 1997, [15], 2002.) Одним из важнейших результатов данной теории является доказательство того, что голоморфное отображение в классической теореме Римана может быть конструктивно аппроксимировано шаровыми упаковками ([16], 1987, [17], 1990, [18], 1998). Вариационный подход к шаровым упаковкам обсуждается в деталях в работе А. Бобенко, Б. Сприпгборн [19], 2004.

Слово "нелинейный"является базисным свойством уравнений, описывающих шаровые упаковки. Для функции / : Z + гZ —> С на регулярной решетке такое уравнение введено в [20], 1995: т+1,п /ш,п) (/ш+1,п+1 /т,п+1) ^ тп,п+1 /т,п) (Ут+1,п+1 /ш+1,п)

Для шаровых упаковок с более глубокими комбинаторными идеями, обобщение этого уравнения на произвольные четырехугольные графы (планарные графы с четырехугольными гранями) дается в [21], 2002.

Нетрудно увидеть, что в каком-то смысле, решения уравнений (1), (2) и (3) являются дискретными аналогами аналитических функций. Действительно, предположим, что решетке Ъ+гЪ соответствует решетка (т + т)е 6 С. Тогда ограничения аналитических функций на эту решетку удовлетворяют соответствующим уравнениям с точностью до 0{е2). Более точно, если / : С —>■ С является аналитической, то f{z + iE)-f^z)=i + 0{e*), (4) г + е)~ № =г + ОИ,------(5)г + ге) -/{г+ е) . , 2 и + е) - /(*))№ + е + 1е)~ /(г + ге)) + " /(*))№ + е + ¿е) - /(* + <0) 1 + ^ (6)

Аналогичные соотношения справедливы на более общих графах.

До недавнего времени, линейная и нелинейная теории дискретных аналитических функций развивались раздельно. В работе А. Бобенко, К. Мерка, Ю. Суриса [22], 2005 показано, что в некотором точном смысле первая теория является линеаризацией второй. Данная теория особенно богата для случая квазикристаллических замощений. Этот класс включает в себя как двойные периодические замощения (которые естественным образом рассматриваются на торе), так и непериодические, подобные замощениям Пенроуза. В работах И. А. Дынникова и С. П. Новикова изучены дискретные аналитические функции на треугольных и шестиугольных решетках [23], 2003.

Цель работы.

Изучение свойств дискретных аналитических функций, заданных на гаусовой плоскости, а также дискретных аналитических функций многих переменных, заданных на решетке Z2n С Сп.

Установление гомоморфизма пространства аналитических функций в круге на пространство дискретных аналитических на квадрате и описание его ядра.

Получение теорем существования и единственности разложения дискретной аналитической функции в ряд Тейлора по системе псевдостепеней.

Применение основных результатов теории дискретных аналитических функций к решению разностных уравнений.

Методы исследований.

Получение основных результатов опирается на идеи и на методы вещественного, комплексного и функционального анализа, теории интерполяции, исчисления конечных разностей и комбинаторного анализа.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) Доказано, что любая дискретная аналитическая функция одного или нескольких переменных разлагается в сходящийся ряд Тейлора.

2) Установлено, что разложение дискретной аналитической функции в ряд Тейлора неединственно.

3) Полностью описаны дискретные ряды Тейлора, тождественно равные нулю на заданных подмножествах гауссовой плоскости.

4) Дано описание дискретных рядов Тейлора, тождественно равных нулю в положительном октанте гауссова пространства.

5) Найдены системы псевдостепеней для линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Получены разложения решений указанных уравнений в ряды Тейлора по псевдостепеням. Изучены вопросы единственности таких разложений.

Теоретическая и практическая ценность.

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы специалистами, работающими в области геометрической теории функций, многомерного комплексного анализа, исчисления конечных разностей и комбинаторного анализа.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на следующих российских и международных конференциях и на семинарах ведущих научно-исследовательских институтов и университетов. на Девятой Казанской Летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", Казань, 1-7 июля, 2009 г., на международной конференции "Аналитические функции многих комплексных переменных", Красноярск, 12-18 августа, 2009 г., школе-конференции молодых ученых по геометрическому анализу, Горно-Алтайский Государственный Университет, 2-9 августа, 2010 г., на международной конференции "7-th International Conference of Lattice Path Combinatorics and Applications", Сиена, Италия, 4-7 июля, 2010 г.

Кроме того, результаты диссертации обсуждались на семинаре отдела геометрии и анализа Института математики им. С. JI. Соболева СО РАН под руководством академика Ю. Г. Решетняка, на семинаре "Геометрия и топология и их приложения" ИМ СО РАН под руководством чл.-корр. РАН И. А. Тайманова, на семинаре "Инварианты трехмерных многоообразий" ИМ СО РАН под руководством чл.-корр. РАН А. Ю. Веснина, на семинаре отдела дифференциальных уравнений ИМ СО РАН под руководством профессора Г. В. Демиденко, на семинаре "Геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах" ИМ СО РАН под руководством профессора А. Д. Медных, на семинаре кафедры теории функций и функционального анализа МГУ под руководством чл.-корр. РАН Е. М. Чирки, на совместном семинаре кафедры теории функций и кафедры высшей математики^ .Новосибирского Государственного Университета, на семинаре кафедры теории функций Сибирского Федерального Университета под руководством профессора А. К. Циха, на семинаре "Эварист Галуа" Новосибирского Государственного Университета под руководством профессора В. Г. Бардакова.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [31] - [37].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав основного содержания, и списка литературы из 37 использованных источников. Общий объем диссертации — 106 страниц.

1. 1.aacs R.F. A Finite Difference Function Theory // Univ. Nac. Tu-cuman. Revista A. 1941. Vol. 2. P. 177-201.

2. Ferrand, J. Fonctions Preharmoniques et Functions Preholomorphes // Bull. Sci. Math., 2ndSer. 1944. Vol. 68. P. 152-180.

3. Duffin R.J. Basic Properties of Discrete Analytic Functions 11 Duke Math. J. 1956. Vol. 23 P. 335-363.

4. Соболев С. JI. Об одном разностном аналоге полигармонического уравнения. // ДАН СССР. 1965. Т. 164. Н. 1. С. 54-57.

5. Zeilberger D. A New Basis for Discrete Analytic Polynomials // J. Austral. Math. Soc. 1977. Vol. 23 (Series A). P. 95-104.

6. Медных А.Д. Дискретные аналитические функции и ряд Тейлора // Теория отображений, её обобщения и приложения. Сб. науч. тр. Киев: Наук, думка. 1982. С. 137-144.

7. Thurston W. P. The finite Riemann mapping theorem. Invited talk at international symposium on the occasion of the proof of the Bieberbach conjecture. // Purdue University, 1985.

8. Duffin R. J. Potential theory on rhombic lattice. //J. Combinatorial Theory 1968. Vol. 5. P. 258-272.

9. Mercat Ch. Discrete Riemann surfaces and the Ising model. // Commun. Math. Phys. 2001. Vol. 218. P. 177-216.

10. Kenyon R. The Laplacian and Dirac operators on critical planar graphs. 11 Invent. Math. 2002. Vol. 150. P. 409-439.

11. Hidalgo R. A. Godoy M. M. Introducción a las estructaras de superficies de Riemann discretas. 2007. available at : // http: //docen-cia.mat.utfsm.cl/ rhidalgo/files/discreta.pdf

12. Beardon A. F., Stephenson K. The uniformization theorem for circle packings. // Indiana Univ. Math. J. 1990. Vol. 39. P. 1383—1425.

13. Dubejko T., Stephenson K. Circle packing: experiments in discrete analytic function theory. // Experiment. Math. 1995. Vol. 4. P. 307-348.

14. Schramm O. Circle patterns with the combinatorics of the square grid. //Duke Math. J. 1997. Vol. 86. P. 347-389.

15. Stephenson K. Circle packing and discrete analytic function theory. //In: Handbook of complex analysis: geometric function theory, Vol. 1. Amsterdam: North-Holland. 2002. P. 333-370.

16. Rodin B., Sullivan D. The convergence of circle packings to Riemann mapping. //J. Diff. Geom. 1987. Vol. 26. P. 349—360.

17. Rodin B.,Marden A. On Thurston's formulation and proof of An-dreev's theorem. // Lect. Notes Math. 1990. Vol. 1435. P. 103—115.

18. He Z.-X., Schramm 0. The С. convergence of hexagonal disc packings to Riemann map. // Acta Math. 1998. Vol. 180. P. 219—245.

19. Bobenko A., Springborn B. Variational principles for circle patterns and Koebe's theorem. // Trans. AMS. 2004. Vol. 356. P. 659-689.

20. Nijhojf F., Capel H. The discrete Korteweg-de Vries equation. // Acta Appl. Math. 1995. Vol. 39. P. 133—158.

21. Bobenko A. I., Suris Y. B. Integrable equations on quad-graphs. // Internat. Math. Res. Notices 2002. Vol. 11. P. 573—611.

22. Bobenko A. I., Mercat Ch., Suris Y. B. Linear and nonlinear theories of discrete analytic functions. Integrable structure and isomonodromic Green's function. // J.Reine Angew. Math. 2005. Vol. 583. P. 117-161.

23. Dynnikov I.A., Novikov S.P. Geometry of triangle equation on two-manifolds. // Moscow Math. J. 2003. Vol. 3. N. 2. P. 419-438.

24. Колмогоров A.H., Фомин С.В. Линейные пространства. // В книге: Элементы теории функций и функционального анализа. Физматлит. Москва. 2004.

25. Hamel G. // Math. Ann. !905. Bd. 60. N. 8. P. 459-462.

26. Шабат Б.В. Рост целых функций. // В книге: Введение в комплексный анализ. Наука. Москва. 1976. Часть 1.

27. Duffin R.J., Elmore L. Peterson The discrete analogue of class entire functions // J. Math. Anal. Appl. 1968. Vol. 21. P. 619-642.

28. Sheffer I. M. On Entire Function Interpolation // Amer. J. of Math. 1927. Vol. 49. No. 3. P. 329-342.

29. Kiselman Ch. Functions on discrete sets holomorphic in the sense of Ferrand, or monodiffric functions of the second kind. // Science in China Series A: Mathematics Apr. 2008. Vol. 51. No. 4. 604-619.

30. Гелъфонд А.О. Исчисление конечных разностей. Наука, Москва, 1967.Список публикаций автора по теме диссертации

31. Данилов О. А. Интерполяционная формула Лагранжа для дискретной аналитической функции. // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2008. Т. 8. вып. 4. С. 33-39.

32. Данилов О. А., Медных А. Д. Дискретные аналитические функции многих переменных и формула Тейлора. / / Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9. вып. 2. С. 38-46.

33. Данилов О. А. О разложении дискретных аналитических функций в ряд Тейлора. / / Математические заметки ЯГУ. Т. 17. Вып. 2. С. 21-33.

34. Danilov О. A. Mednykh A. D. Taylor expansion for discrete analytic functions. // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу. Горно-Алтайск, 2-8 августа, 2010 г. РИО Горно-Алтайского Государственного Университета. Горно-Алтайск. С. 34-40.